WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

«ЯРОСЛАВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. ДЕМИДОВА П. Г. на правах рукописи Палей Дмитрий Эзрович ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ ФАЗОВОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА С НЕЛИНЕЙНЫМ ФИЛЬТРОМ ...»

-- [ Страница 2 ] --

2.4. Выводы 1. В результате выполненных обобщенной исследований модели изучены с основные динамические цепи свойства ДСФС пилообразной фильтром фильтром и характеристикой фазового детектора и различными нелинейными фильтрами в управления: и пропорционально-интегрирующим пилообразного возможных типа, в астатическим ограничивающего области ограничивающего и пилообразного типа. К числу основных свойств относятся: существования системе периодических квазипериодических движений, условия возникновения предельных циклов, их бифуркации в зависимости от различных параметров, области устойчивости в большом и целом, полоса захвата. 2. Для проведения исследований была предложена оригинальная методика, основанная на качественно-аналитическом подходе при анализе отображений на цилиндре и торе систем с линейным фильтром. Результатом ее применения явились впервые полученные точные значения границ областей существования различных движений в ДСФС с линейными фильтрами. В частности, получены точные значения полосы захвата ИСФС с пропорциональноинтегрирующим фильтром для произвольных значений параметров. Найдена область параметров системы, где полоса захвата ограничивается циклами второго рода с одним проскальзыванием, а при больших усилениях - кратным захватом. 3. Для анализа ДСФС с линейным интегратором дополнительно предложена оригинальная методика качественно-аналитического исследования, основанная на переходе от цилиндрического фазового пространства к торроидальному с границами, исключающими нелинейные отображения по координате. Методика позволила свести всевозможные нелинейные движения по двум координатам к движениям только по координате x и значительно упростить процесс анализа. В результате получены точные границы существования периодических движений различных типов и условия на максимальную частотную расстройку, при которой в системе всегда обеспечивается синхронизм. Построены области на плоскости параметров (D,m) для импульсной и (D,m) и (SC,m) для цифровой систем, в которых существует единственное периодическое движение - кратный захват. 4. С помощью предложенной методики изучена динамика ДСФС с ограничивающим ПИФ, характерным для цифровых систем и ограничивающим интегратором, характерным для импульсных систем. Результатом явилось построение областей устойчивости в целом для произвольных параметров системы, установление закономерностей изменения полосы захвата от параметров нелинейности фильтра. Для ЦСФС установлен разрывный характер зависимости полосы захвата от усиления. С ростом границ нелинейности M разрывность пропадает. Для ИСФС с интегратором также установлен разрывный характер полосы захвата в зависимости от усиления. Доказано существование периодических движений при малых усилениях практически при для любых параметров p, m. 5. В ходе исследования ДСФС с ограничивающим фильтром установлено существование кроме периодических движений притягивающих множеств двух типов, точки которых располагаются на границах Ф(y) (циклов-интервалов). Вектор состояния при данном режиме совершает хаотические перемещения в ограниченной области фазового пространства и сигнал на выходе системы по своим статистическим характеристикам соответствует случайному процессу. 6. Исследованы динамические свойства ДСФС с пилообразным пропорционально-интегрирующим фильтром и пилообразным интегратором. Найдены области параметров системы, где нелинейные свойства фильтра не влияют на установившиеся движения, а также области параметров где система ведет себя подобно ДСФС с линейным фильтром. Описаны возможные периодические движения, их бифуркации в зависимости от параметров системы. В результате анализа установлено, что в данной системе существуют семейства периодических движений. Циклы 89 одного семейства имеют одинаковый период, и разные координаты векторов r pn, описывающих нелинейное отображение на каждой итерации. Показано, что разбиение пространства параметров (,) имеет периодичность относительно областей существования циклов одного семейства. Результатом исследований явилось построение областей устойчивости в целом, зависимость полосы захвата от параметров нелинейности для цифровой СФС. Показана возможность значительного увеличения полосы захвата в области больших усилений за счет увеличения форсирования m. 7. В результате исследований ДСФС с пилообразным интегратором установлено существование состояний, эквивалентных состоянию синхронизма (Cm). При этом поведение системы в окрестности Cm совпадает с поведением системы в окрестности основного состояния синхронизма. Показано, что Cm могут существовать даже при отсутствии основного состояния равновесия. Подобные состояния объясняются вращением по координате, отвечающей за состояние фильтра, и связаны с переполнением интегратора на каждом системном такте.

3. Динамика ДСФС с синусоидальной характеристикой детектора Данная глава посвящена исследованию динамических свойств СФС с синусоидальной характеристикой детектора и нелинейным фильтром в цепи управления. Объектом исследования этой главы выступает обобщенная модель ДСФС второго порядка с нелинейным фильтром в цепи управления (1.1.1). Следует сказать, что существует большое количество работ, посвященных исследованию систем с синусоидальной характеристикой ФД [28,33-35,54]. Однако в большинстве из этих работ рассматриваются модели первого и второго порядка с линейным фильтром. В основном, в этих работах исследуются случаи для частного набора параметров или рассматриваются характеристики отдельных движений. Для примера можно назвать работы, где исследованы динамические характеристики ДСФС второго порядка для случая нулевых начальных расстроек [34]. В работе [28] полоса захвата ДСФС 2-го порядка исследуется при помощи частотных методов, однако полученные оценки носят приближенный характер. Что касается дискретных систем с нелинейным фильтром, то можно говорить об ограниченном количестве работ, в том числе и о работах выполненных автором диссертации или в соавторстве с ним. В этих работах предложены методики и алгоритмы, основанные на качественно-численном подходе, позволяющие получить достаточно полные сведения о поведении ДСФС второго порядка с синусоидальной характеристикой детектора. Так в [48,49,55] исследуются периодические и квазипериодические движения на фазовой плоскости в дискретных системах второго порядка с нелинейным фильтром в цепи управления для различных вариантов нелинейности фильтра. Проведенные в диссертации исследования обобщают полученные ранее результаты по исследованию ДСФС нелинейным фильтром в цепи управления. Основная цель этой главы - установление общих закономерностей поведения ДСФС с нелинейным фильтром для синусоидальной характеристики детектора, изучение областей существования и бифуркаций возможных в системе устойчивых движений, приводящих к потере глобальной устойчивости состояния синхронизма, определение на основе полученных данных областей устойчивости в целом.

В отличие от СФС с пилообразной характеристикой детектора, в данном случае исследование периодических движений достаточно затруднено, т.к. аналитическое описание поведения системы зачастую невозможно. Это обуславливает применение наряду с качественно-аналитическими численных методов. В частности, большое значение приобретает задача нахождения областей в пространстве параметров СФС, при которых на фазовой плоскости реализуется качественно различная картина взаимного расположения входящих и выходящих сепаратрис неустойчивых стационарных состояний (инвариантных многообразий системы). В ходе исследований анализируются ДСФС с двумя вариантами фильтров: нелинейный пропорционально интегрирующий фильтр (ПИФ) (d<1);

нелинейный интегратор с форсированием (d=1). При этом основное внимание уделяется исследованию областей существования и бифуркации различных периодических движений в зависимости от параметров системы, в особенности от параметров нелинейности фильтра. Эти данные используются далее для нахождения области глобальной устойчивости состояния синхронизма. Решаются следующие задачи:

- описание характеристикой фильтра;

- отыскание качественно-аналитическими и качественно-численными методами периодических и квазипериодических движений, существование которых возможно в системе, изучение их бифуркаций;

- построение в пространстве параметров областей, в которых существуют движения заданной структуры;

- определение глобальной устойчивости состояния синхронизма. Методика исследований подобна методике, применявшейся во второй главе. Области существования периодических движений и предельных инвариантных кривых строятся с помощью качественно-аналитических и качественно-численных методов. Вначале координаты точек заданного цикла вычисляются аналитически, а если это невозможно, то находятся численно. Затем методом продолжения по параметру строится область существования. Как и в случае с пилообразной характеристикой детектора, на первом этапе изучаются динамические свойства системы с линейным фильтром в цепи управления. На втором этапе, на основе полученных данных, рассматриваются общих свойств модели ДСФС с синусоидальной детектора для каждого конкретного вида нелинейностей ДСФС с нелинейным фильтром. В ходе исследований строится фазовый портрет системы, определяются области параметров, в которых реализуется качественно различная структура фазового пространства. Далее в пространстве параметров качественно-численными методами анализируются области существования всевозможных периодических движений и исследуется область устойчивости в целом состояния синхронизма. 3.1. Система с линейным фильтром в цепи управления Рассмотрим модель с линейным фильтром в цепи управления. Для этого положим в (1.1.1) F()=Sin(), Ф(y) - линейная функция. С учетом этого для случая пропорционально-интегрирующего фильтра (d<1) система (1.1.1) будет иметь вид n +1 = n Sin( n ) + xn xn +1 = Sin( n ) + dxn + g (1 d ) (3.1.1) Для конкретных типов СФС параметры,, g выражаются через физические параметры аналогично п.2.1. В случае линейного интегратора d=1 и (3.1.1) примет вид n +1 = n Sin( n ) + xn xn +1 = Sin( n ) + xn (3.1.2) 3.1.1. Система с пропорционально интегрирующим фильтром в цепи управления Опишем основные свойства ДСФС с синусоидальной характеристикой ФД на примере СФС с линейным ПИФ в цепи управления. Фазовое пространство этого типа СФС представляет собой фазовый цилиндр, развертка которого представлена на рис. 3.1. Выделим аналогично системе с пилообразной характеристикой детектора следующие кривые: L,m - линии с сохранением координаты по модулю 2, Lx,0 - линия с сохранением координаты x: L,m : x= Sin( )±2m;

m=0,±1,±2… Lx,0 : x=(- Sin()+g(1-d))/(1-d) Точки пересечения кривых L,0 и Lx,0 Oj - есть стационарные состояния системы. На периоде Sin() таких точек две. Они имеют координаты:

(3.1.3) g (1 d ) g (1 d ) O1 = arcsin, (1 d ) + (1 d ) +, T g (1 d ) g (1 d ) O2 = arcsin, (1 d ) + (1 d ) +.

T (3.1.4) На пересечении кривой Lx,0 и кривых L,m (m=±1,±2..) возникают циклы структуры (u/1) или кратные захваты. Из (3.1.3) следует, что вектора точек этих циклов имеют координаты:

( g - 2m)(1 - d) ( g - 2m)(1 - d) Om,1 = arcsin, (1 d ) + (1 d ) + T, T (3.1.5), ( g 2m)(1 d ) ( g 2m)(1 d ) Om,2 = arcsin, (1 d ) + (1 d ) + существует при выполнении условия где m=±1,±2... Из построения легко заметить, что состояние синхронизма > ( g ) (1 d ).

Когда выполняется (3.1.6) кривые L,0 и Lx,0 пересекаются.

(3.1.6) Аналогично (3.1.6) найдем условия на параметры системы, при которых возможны кратные захваты: ( g 2 u )( 1 d ) < 1. (1 d ) + (u/1) (u=0,±1,±2...) определяется системой неравенств ( (1 d ) + ) Cos(i ) > 0 1 d + (d ) Cos(i ) > 0 2(1 + d ) + ( (1 + d )) Cos( ) > 0. i (3.1.8) (3.1.7) Область локальной устойчивости неподвижной точки j цикла структуры Как это следует из (3.1.8), на периоде Sin() только одна из неподвижных точек цикла может быть устойчива, другая неустойчива. На рис. 3.2 в пространстве параметров (,) показаны области локальной устойчивости стационарного состояния и нескольких кратных захватов для g=1, d=0.5.

x D A WU O / WS / O2 B C L, L x, Рис. 3.1 Фазовое пространство СФС с синусоидальной характеристикой ФД и линейным ПИФ.

(2/1) (1/1) O =(g)(1d) O =(g)(1d) Рис. 3.2. Области локальной устойчивости циклов структуры (u/1) для d=0.5, g=1.

x SI WS WU O2 L, Lx, Рис. 3.3. Фазовое пространство ДСФС с линейным ПИФ.

Система уравнений (3.1.1) задает отображение пространства векторов состояний системы в себя. Оно инвариантно относительно преобразования gg+2m (где m=±1, ±2...). При этом все движения в системе переходят в подобные им движения, но при каждой итерации координата n получает дополнительное приращение 2m, а координаты xn всех точек изменяются на 2m. Т. е. циклы (u/k) переходят в циклы (u+km)/k. В силу этого без нарушения общности можно рассматривать g в пределах 0

1 d 1 d В силу этого, при анализе установившихся движений в фазовом g < x< g+.

(3.1.11) пространстве, можно ограничиться областью внутри притягивающего слоя. На рис. 3.1 притягивающий слой системы обозначен горизонтальным пунктиром.

При анализе движений в системе особенно важно взаимное расположение сепаратрисных кривых неустойчивых стационарных состояний. Для практики особенно интересен случай, когда выходящая сепаратрисная инвариантная кривая седла не пересекает входящую и лежит ниже нее, т.к. при этом становятся невозможны движения с постоянным возрастанием или убыванием фазы. Подобная структура фазового пространства показана на рис. 3.1 (кривая WU ниже кривой WS). Покажем, что это выполняется при >g+/(1-d), > g + (1 d ) при 1 arccos + 2 1 + g + <, (1 d ) если <1, (3.1.12) если >1.

При выборе начальных условий ниже (выше) кривой L,0 итерация происходит с уменьшением (увеличением) координаты. При >g+/(1-d) L,0 пересекает границы притягивающего слоя. Рассмотрим область G (ABCD) в фазовом пространстве, образованную верхней и нижней границей притягивающего слоя, а также частями кривой L,0, лежащими между точками A, B и C, D (рис. 3.1). Эти точки лежат на пересечении L,0 с границами притягивающего слоя. Найдем далее условия, при которых область G отображается в себя. Для этого достаточно рассмотреть отображение отрезка (AD), принадлежащего верхней границе притягивающего слоя n +1 = n Sin( n ) + g + / ( 1 d );

(AD).

(3.1.13) Если n+1 < / 2, то отображение происходит всегда внутрь области G. Несложно видеть, что это всегда выполняется при <1, а в случае >1 n+1 достигает максимума при =-arccos(1/). Таким образом, при выполнении (3.1.12) скольжения по фазе в системе становятся невозможны. Проанализируем далее существующие в системе устойчивые движения, определяющие область глобальной устойчивости состояния синхронизма, а также ее изменение в зависимости от параметров для различных начальных расстроек по частоте. 1. На рис. 3.4 показаны области существования различных периодических движений системы с линейным ПИФ для нулевой расстройки. Штриховкой отмечена ОГУ системы, ограниченная сверху первым кратным захватом (цикл структуры (1/1)) или циклами первого рода, которые существуют в области больших,. При малых d верхняя граница ОГУ определяется циклом первого рода структуры (0/4) (рис. 3.4а). Это движение принадлежит семейству циклов первого рода структуры (0/k), области существования которых располагаются вблизи верхней границы локальной устойчивости СФС. Области существования нескольких устойчивых циклов этого семейства показаны на рис. 3.4а. При увеличении d верхняя граница возникновения кратного захвата перемещается в сторону меньших, и он становится определяющим для ОГУ системы (рис. 3.4б). Это приводит к уменьшению области глобальной устойчивости. Вместе с тем при увеличении d в области локальной устойчивости при больших, появляются кратные захваты более высокого порядка, а также возникают различные циклы первого и второго рода (рис. 3.4б). Это цикл второго рода периода два (1/2). Потеря устойчивости этого цикла при увеличении происходит с удвоением периода. Это приводит к рождению устойчивого цикла (2/4), который теряет в свою очередь устойчивость с удвоением периода и т.д. Области существования циклов с увеличением периода значительно уменьшаются, так что уже для циклов периода 16 они практически равны нулю. На рис. 3.4б показаны области существования только циклов (1/2), (2/4). Характерным также является возникновение цикла первого рода структуры (0/4). Точки этого цикла при g=0 располагаются попарно симметрично относительно состояния синхронизма. 2. При ненулевых расстройках в области малых значений потеря глобальной устойчивости происходит вследствие рождения структуры, которую будем далее называть структурой (C) (рис. 3.3). Характерным для этой структуры является то, что входящая сепаратриса неустойчивой стационарной точки (WS) лежит ниже выходящей сепаратрисы (WU). Это приводит к возникновению притягивающей инвариантной кривой (кривая SI на рис. 3.3). Движение вдоль кривой происходит с постоянным возрастанием фазы. Вследствие этого ОГУ в области малых уменьшается (рис. 3.5). В области больших, ограничение ОГУ происходит первым кратным захватом. С увеличением расстройки граница области его существования перемещается в область меньших, (рис. 3.5а). При дальнейшем росте g описанные тенденции сохраняются. Вместе с тем область существования цикла второго рода (2/1) опускается ниже границы первого кратного захвата и также уменьшает область глобальной устойчивости (рис. 3.5б).

(2/4) (1/2) (0/5) (2/1) (3/1) (3/3) (0/8) (0/6) (1/1) (0/4) (0/4) (1/1) а) б) Рис. 3.4. Области существования различных периодических движений системы с линейным ПИФ для g=0: а) d=0.5;

б) d=0.8.

(0/3) (0/3) (1/1) (С) (1/1) (С) (1/2) а) б) Рис. 3.5. Области существования различных периодических движений системы с линейным ПИФ для d=0.5: а) g=1;

б) g=2.

Проанализируем полосу захвата системы (границу области глобальной устойчивости системы в пространстве параметров (D,H)). Анализ выполним для ИСФС с линейным ПИФ по графикам рис. 3.6. Рассмотрим предварительно область локальной устойчивости системы. Она определяется неравенствами (3.1.8). Из (2.1.3) следует, что при нулевых значениях H граница области локальной устойчивости определяется системой неравенств D(1 d ) > 0 1 d > D(d (1 m)(1 d ) p 2(1 + d ) > D(1 + d 2(1 m)(1 d ) p (3.1.14) и достигает максимального значения по D, когда выполняется условие:

m = p (d + 1) 4(1 d ).

(3.1.15) С увеличением H происходит расширение области локальной устойчивости в сторону больших D. Это происходит вследствие уменьшения значения Cos( i ) ( i - координата состояния синхронизма) с увеличением H. Изучим далее изменение полосы захвата системы в зависимости от изменения ее параметров. При малых значениях m правая граница полосы захвата определяется кратным захватом (цикл (1/1)). Верхняя граница полосы захвата определяется возникновением структуры (C), описанной выше (рис. 3.6а). С увеличением m наблюдаются следующие тенденции: 1. Нижняя граница возникновения структуры (C) сдвигается в сторону больших H. При этом правая граница полосы захвата начинает определяться также циклами второго рода k>1. Это приводит к расширению полосы захвата в области малых D (рис. 3.6б, 3.6в). 2. При дальнейшем увеличении m правая граница полосы захвата начинает определяться границей локальной устойчивости состояния синхронизма (рис. 3.6в, 3.6г). При приближении значений m к единице граница локальной устойчивости уже полностью определяет правую границу полосы захвата. Это приводит к уменьшению полосы захвата по D и ограничению снизу диапазона расстроек, в которых обеспечивается захват из любых начальных условий. 3. При m близких к единице, наряду с ограничением снизу, наблюдается расслоение полосы захвата циклами второго рода на несколько подобластей (рис. 3.6г). При этом верхняя граница полосы захвата по прежнему определяется структурой (С) и близка к единичному значению.

З З (С) (1/2) (1/3) (1/4) (С) (1/1) Граница локальной устойчивости (1/1) D D а) б) З (1/4) (1/3) З (1/2) (1/1) (2/2) (С) (1/5) Граница локальной устойчивости Граница локальной устойчивости (1/2) D D в) г) Рис. 3.6. Полоса захвата ИСФС с линейным ПИФ для p=0.1: а) m=0.1;

б) m=0.3;

в) m=0.5;

г) m=0.9.

В целом можно сказать, что при увеличении коэффициента m от нуля до единицы происходит расширение полосы захвата системы в области малых усилений с появлением одновременно ограничения в области больших D. Аналогичное качественное поведение полосы захвата в зависимости от m наблюдается при различных значениях p. Приведенные зависимости полосы захвата можно использовать и для анализа ЦСФС с линейным ПИФ. Для этого достаточно воспользоваться формулами (2.1.2), (2.1.3), связывающими параметры реальных систем с параметрами обобщенной модели.

3.1.2. Система с интегратором в цепи управления Рассмотрим основные свойства обобщенной модели ДСФС с линейным интегратором в цепи управления (3.1.2). Они будут во многом аналогичны свойствам модели (3.1.1). На рис. 3.7 представлена развертка фазового цилиндра. В отличие от фазового пространства системы с пропорционально интегрирующим фильтром отображение с сохранением координаты x в данном случае происходит с вертикальных прямых ( Lx,m: =±m;

m=0, ±1,±2… ) и не зависит от начальной расстройки. Линии отображения с сохранением значения координаты mod 2 проходят так же, как и в системе с ПИФ L,m: x= Sin()±2m;

m=0,±1,±2… Точки пересечения кривой L,0 и прямых Lx,m Oj есть стационарные состояния системы. Они имеют координаты: Oj=(0,2j;

j=0,±1,±2..). Несложно видеть, что в данной системе прямые Lx,m пересекаются со всеми линиями L,m, m=±1,±2... Таким образом, в рассматриваемой модели существует бесконечное множество кратных захватов (циклов структуры (u/1);

u=±1,±2...). Рассмотрим основные свойства данной системы: Система (3.1.2) инвариантна относительно замены (( mod 2),x)((mod2),x±2m). При этом все движения в системе переходят в подобные им движения, а координата на каждом шаге получает дополнительное приращение 2m. Т. е. циклы структуры (u/k) переходят в циклы (u+km)/k. В силу этого поведение данной системы можно рассматривать на торе, период которого определяется неравенствами -,-x (3.1.16) На рис. 3.8 показана область локальной устойчивости отображения системы (3.1.2) в пространстве параметров (,) и области существования устойчивых периодических движений различной структуры. Анализ проведен для одного периода фазового тора. На других периодах существуют аналогичные циклы, но координата на каждом шаге получает дополнительное приращение 2m. Как видно из рисунка, в области больших, существует устойчивые циклы первого рода структуры (0/3), (0/4). Эти движения существовали и в системе с ПИФ (при d<1). В области малых, существуют устойчивые циклы второго рода. Это прежде всего циклы периода два, имеющие структуру (±1/2). Точки этих движений имеют координаты T T r r q1 = [0, ], q2 = [, ] для цикла (1/2), T T r r q1 = [0, ], q2 = [, ] для цикла (-1/2).

Данные движения характерны именно для системы с интегратором. Их отличительной особенностью является то, что значение координаты x при движении по циклу остается неизменным и равным ±, а фазовая координата постоянно возрастает или убывает. Приращение разности фаз за период дискретизации равно. На практике это означает, что частота ПГ является стабильной и отличается от частоты входного сигнала в 1.5 раза. Устойчивость этого движения определяется собственными значениями матрицы системы (3.1.2), линеаризованной в точках цикла: (3.1.17) 1 1 1 + 1 A= 1 1 При увеличении, подобно тому как это было и в системе с ПИФ, этот цикл теряет устойчивость с удвоением периода. Это ведет к возникновению цикла (2/4), который также теряет устойчивость с удвоением периода. Далее этот процесс повторяется. Области существования устойчивых циклов данной структуры сильно уменьшаются с увеличением периода. Также в области малых, существуют циклы второго рода больших периодов, например цикл (1/3). Штриховкой на рис. 3.8 помечена область параметров системы, в которой существуют только кратные захваты. Как будет показано в дальнейшем, система с пилообразным интегратором (случай линейной со сбросом характеристики) в этой области параметров глобально устойчива.

x O /2 / O L, Lx, Рис. 3.7. Фазовое пространство СФС с синусоидальной характеристикой ФД и линейным интегратором.

(0/3) (0/4) (2/4) (1/2) (1/3) Рис. 3.8. Области существования различных периодических движений системы с линейным интегратором.

3.2. Система с ограничивающим фильтром в цепи управления Проанализируем ДСФС с синусоидальной характеристикой фазового детектора и ограничивающим фильтром в цепи управления. Поведение системы в этом случае описывается уравнением (1.1.1). Рассмотрим вначале общие свойства системы. Далее более детально рассмотрим свойства ДСФС с нелинейным ПИФ и нелинейным интегратором. Соответствующие математические модели будут выглядеть следующим образом:

n +1 = n Sin( n ) + xn xn +1 = g ( d ( g xn ) + Sin( n )) (3.2.1) для системы с ограничивающим ПИФ, n +1 = n Sin( n ) + xn xn +1 = g ( g xn + Sin( n )) (3.2.2) для системы с ограничивающим ИФ.

3.2.1. Общие свойства ДСФС с синусоидальной характеристикой ФД и ограничивающим фильтром Опишем общие свойства ДСФС с синусоидальной характеристикой ФД и ограничивающим фильтром в цепи управления. 1. Из-за ограниченности характеристики Ф(y) фильтра в цепи управления фазовым пространством системы будет ограниченный по координате x цилиндр (рис. 3.9). Максимальное и минимальное значение координаты x соответственно равны g±M. Определим условия существования состояния равновесия в зависимости от параметров Ф(y). Как видно из рис 3.9, для существования состояния синхронизма необходимо, чтобы его координата x находилась в интервале [ M + g, M + g ]. Согласно (3.1.4) это будет выполняться при выполнении системы неравенств g( 1 d ) M+g> ( 1 d ) + g( 1 d ) M + g <. ( 1 d ) + (3.2.3) x D A M+gH O / O / B -M+gH L, C Lx, Рис. 3.9. Фазовое пространство СФС с синусоидальной характеристикой ФД и ограничивающим ПИФ.

x M+g M+g -M+g O‘ O‘ O O ‘ -M+g L, L, Lx, Lx, Рис. 3.10. Фазовый портрет цикла структуры (0/2)H для СФС с синусоидальной характеристикой ФД и ограничивающим ПИФ.

Рис. 3.11. Развертка фазового цилиндра СФС с синусоидальной характеристикой ФД и ограничивающим ПИФ.

При нарушении условий (3.2.3) в системе возможны только движения с постоянным возрастанием или убыванием фазы. На практике это означает, что сигнал (напряжение или код) на выходе нелинейного фильтра не может обеспечить требуемое для синхронизма значение частоты перестраиваемого генератора. 2. При d<1 система имеет притягивающий слой (3.1.11). Легко показать, что при выполнении условия M> 1 d (3.2.4) притягивающий слой лежит внутри области фазового пространства, ограниченной Ф(y). Таким образом, при выполнении (3.2.4) нелинейность фильтра практически не влияет на поведение СФС. Заметим, что (3.2.3), (3.2.4) совпадают с аналогичными условиями, полученными во второй главе для систем с пилообразной характеристикой ФД. 3. Для системы с линейным фильтром была получена оценка на параметры системы, при которых невозможны скольжения по фазе (выражение (3.1.12)). Рассмотрим, каким образом вторая нелинейность влияет на данную оценку, если (3.2.4) не выполняется. Покажем, что при выполнении условий:

> M+g, > M + g 2 arccos( 1 / ) + 1 + M + g < / для <1 (3.2.5) для > выходящая и входящая сепаратрисы седел не пересекаются и выходящая лежит ниже входящей. Доказательство можно провести подобно тому, как это было сделано для системы с линейным фильтром (см. п.3.1.1). Различие состоит в том, что верхняя и нижняя границы области ABCD в данном случае определяются нелинейностью Ф(y). Отображение отрезка (AD), принадлежащего верхней границе нелинейности фильтра, имеет вид n+1 = n Sin( n ) + M + g ;

(AD) 3.2.2. Система с пропорционально интегрирующим фильтром в цепи управления Рассмотрим основные свойства системы (3.2.1) при d<1. 1. Анализ начнем со случая нулевых начальных расстроек (g=0). При малых значениях M в системе наблюдаются два основных типа движений. Первое движение - цикл периода k=2 структуры (0/2)H. Его точки лежат на границах нелинейности Ф(y). Структура фазового пространства, при которой могут существовать циклы данного типа, показана на рис. 3.10. Для существования этого цикла необходимо, чтобы отображение из точки цикла происходило на границу Ф(y). Это эквивалентно выполнению условий:

Sin(1 ) > g (1 d ) + (1 + d ) M, Sin( 2 ) < g (1 d ) (1 + d ) M, (3.2.6) где 1, 2 - координаты точек цикла на верхней и нижней границе Ф(y) соответственно. Так как итерации происходят с границ Ф(y), устойчивость данного движения определяется линеаризованными в точках цикла коэффициентами при координате в первом уравнении системы (3.2.1). Они определяются выражением 1=1-Cos(1), 2=1-Cos(2).

Движение будет устойчиво, когда выполняется условие:

12<1 или (1 - Cos(1 ))(1 - Cos( 2 )) < (3.2.7) Таким образом, определяет в пространстве параметров область существования цикла, а параметр определяет область устойчивости. Второе движение - циклы первого рода периода k=1, возникающие на пересечении границ Ф(y) c кривой L,0 и имеющие структуру (0/1)H. Для существования таких движений необходимо, чтобы точки пересечения L,0 и границ Ф(y) были притягивающими по координате x. Это будет выполняться, когда кривая L,0 пересекает верхнюю границу Ф(y) под кривой Lx,0. Из (3.1.3) следует, что это происходит при выполнении следующих условий:

> M + g M (1 d ) > M + g (3.2.8) M=0. M=0. M=0. M=0. M=0. M=0. M=0. а) б) Рис. 3.12. Границы ОГУ системы с ограничивающим ПИФ для g=0: а) d=0.3;

б) d=0.6.

(0/8) (0/16) (0/4) Рис. 3.13. Области существования различных периодических движений в системе с ограничивающим ПИФ для d=0.3, M=1.5, g=0.

Соответственно, для существования цикла на нижней границе Ф(y) необходимо, чтобы кривая L,0 пересекала ее над кривой Lx,0, т.е. должны выполняться неравенства:

< M + g M (d 1) > M + g (3.2.9) Структура фазового пространства, при которой могут существовать циклы этого типа показана на рис. 3.11. Аналогично циклу (0/2)H, устойчивость определяется линеаризованными в точках цикла коэффициентами при координате в первом уравнении системы (3.2.1) и задается следующими неравенствами: 1 ± 1 ( M + g) / )2 < 1 для циклов на верхней границе, 1 ± 1 ( M + g) / )2 < 1 каждой границе Ф(y) будет устойчивой, другая будет неустойчива. Когда система находится в одном из них, разность фаз остается постоянной с течением времени. Отсюда следует вывод, что эти движения следует рассматривать как состояния синхронизма, возникающие в системе при выполнении условий (3.2.8), (3.1.10) или (3.2.9), (3.2.11), соответственно, на верхней и нижней границах Ф(y). Обозначим эти состояния как O1, O1. В отличие от состояния синхронизма O1, в состояниях O1, O1 поведение системы определяется только первым уравнением (3.2.1), где координата x равна M+g для O1 и -M+g для O1. (3.2.11) для циклов на нижней границе. Соответственно, только одна точка на (3.2.10) n+1=nSin(n) ± M+g (3.2.12) Таким образом, в точках O1, O1 система ведет себя как ДСФС первого порядка с ненулевой начальной расстройкой. На практике это означает, что нелинейный фильтр все время находится в насыщении и фактически вносит постоянное смещение по частоте. Рассмотрим поведение системы в окрестности этих точек. Сделаем это на примере O1. Отрезок на верхней границе Ф(y) между точками O2 и точкой пересечения Lx,0 с границей Ф(y) является притягивающим по координате x. Поэтому при выборе начальных условий на этом отрезке дальнейшее движение вектора состояния будет определяться уравнением (3.2.12) и происходить вдоль верхней границы Ф(y). При выборе начальных условий из области прилегающей к верхней границе Ф(y) и выполнении условия (d(g-x0)+Sin(0))

При малых значениях M определяющим для ОГУ системы становятся условия существования состояния синхронизма (3.2.3). На рис. 3.14 представлено последовательное изменение ОГУ системы с ростом начальной расстройки для M=0.4 и d=0.5. При малых g в области больших, существует цикл (0/2)H, характерный для случая нулевых расстроек. В области отрицательных и малых ОГУ системы ограничивается условиями (3.2.3) (условия существования состояния синхронизма (R)). При увеличении g происходит дальнейшее ограничение ОГУ за счет ограничения области параметров существования состояния синхронизма (рис. 3.14б). При достаточно больших расстройках возникает цикл второго рода структуры (1/2) (рис. 3.14в). Этот цикл характерен для систем с линейным фильтром (рис. 3.5б). В данном случае в области существования состояния равновесия точки этого цикла находятся внутри области [M+g,-M+g] по координате x. При увеличении или уменьшении точки этого цикла начинают ограничиваться Ф(y). После ограничения устойчивость цикла практически полностью определяется первым уравнением (3.2.1). Вследствие этого при ограничении область его существования зависит только от. Этим явлением вызваны резкие перегибы области существования данного цикла на рис. 3.14в. При больших M уже незначительная расстройка приводит к исчезновению цикла (0/4) в области больших,. Это в свою очередь приводит к тому, что ОГУ практически полностью совпадает с областью локальной устойчивости системы (рис. 3.15а). Далее ОГУ, как это было и для малых M, с ростом g ограничивается условиями (3.2.3). Но, в отличие от предыдущего случая, при больших расстройках в области существования состояния равновесия возникает большое количество движений первого и второго рода (рис. 3.15б). Это прежде всего циклы второго рода (1/2), циклы первого рода (0/3) и движения, возникающие при потере ими устойчивости с удвоением периода. Это циклы (2/4),...(n/2n), возникающие из (1/2), и циклы (0/6)...(0/32n), возникающие из (0/3). Перечисленные движения характерны для системы с линейным фильтром. В данном случае из-за значительной величины M они не ограничиваются Ф(y).

(0/2) (R) (R) (R) (R) а) б) (R) (1/2) Рис. 3.14. Области существования различных периодических движений (R) в системе с ограничивающим ПИФ для d=0.5, M=0.4:

а) g=0.5;

б) g=1;

в) g=2.

в) (2/4) (1/2) (2/6) (1/3) (0/3) (0/6) (0/ (0/2) (R) (R) а) б) (R) (0/2) (0/3) (2/4) (2/5) Рис. 3.15. Области существования различных периодических движений в системе с ограничивающим ПИФ (1/2) (1/3) для d=0.5, M=1.3: а) g=0.5;

б) g=2;

в) g=2.5.

в) Существенным отличием от системы с линейным фильтром является то, что в этом случае не возникают кратные захваты. Вследствие этого наблюдается расширение ОГУ в сторону больших,. При больших, ОГУ ограничивается циклами первого рода структуры (0/2). В отличие от подобных циклов, существующих в системе при малых M, только одна точка этого цикла лежит на границе Ф(y). При дальнейшем увеличении g области существования вышеописанных движений смещаются в сторону меньших. Вместе с тем происходит дальнейшее ограничение ОГУ условиями (3.2.3) (рис. 3.15в). Используя полученные ранее результаты исследования области глобальной устойчивости, проанализируем зависимость полосы захвата от параметров для ЦСФС с ограничивающим ПИФ. Такие зависимости приведены на рис. 3.16. Пунктиром отмечена граница существования состояния равновесия. В результате анализа установлено, что при малых значениях M полоса захвата системы определяется в основном условиями существования состояния равновесия (3.2.3). При увеличении M и выполнении условий (3.2.3) граница полосы захвата определяется циклами второго рода или возникновением притягивающей инвариантной кривой (структура (С)), которые существовали в системе с линейным фильтром. С дальнейшим ростом M полоса захвата перестает зависеть от параметров Ф(y) (M1) и начинает определяться движениями, которые существовали в системе с линейным фильтром. Из этого можно сделать вывод, что для достижения максимального значения полосы захвата необходимо выбрать такое M, чтобы при расстройках менее единицы движения в системе не зависели от влияния Ф(y).

3.2.3. Система с интегратором в цепи управления Рассмотрим основные свойства обобщенной модели СФС с ограничивающим интегратором в цепи управления (3.2.2). Существенное отличие от ДСФС с линейным фильтром состоит в отсутствии кратный захват структуры (k/1) существует, если выполняется условие M+g>k.

в данной системе бесконечного множества кратных захватов. Как это следует из (3.2.2), (3.2.13) Описанное свойство позволяет решить задачу отыскания области глобальной устойчивости состояния синхронизма для СФС с ограничивающим интегратором. Проанализируем свойства системы в зависимости от параметров Ф(y). 1. При малых расстройках и малых значениях M поведение системы качественно не отличается от поведения СФС с ограничивающим ПИФ. ОГУ системы ограничивается справа циклами структуры (0/2)H. Слева ограничения области глобальной не устойчивости не происходит, т.к. в системе с ограничивающим интегратором в области локальной устойчивости состояния синхронизма существует дополнительных состояний синхронизма, характерных для системы с ограничивающим ПИФ. Это связано с тем, что данные движения существуют при выполнении условий (3.2.8), которые выполняются только в области отрицательных. А данная система локально устойчива при положительных. Граница возникновения циклов (0/2)H может быть вычислена аналитически из условия (3.2.7), полученного в предыдущем разделе. С увеличением M эта граница сдвигается вправо и при M 1.1 выходит за пределы области локальной устойчивости. При этом система становится глобально устойчива во всей области локальной устойчивости. С дальнейшим ростом M, возникает цикл первого рода (0/4). Аналогичное движение возникало и в системе с ПИФом. 2. С ростом частотных расстроек наблюдаются существенные отличия от ДСФС с ПИФ. В предыдущем случае определяющими для ОГУ были условия существования состояния синхронизма. С увеличением расстройки происходило постепенное уменьшение области параметров (, ), в которой оно существовало. В системе с ограничивающим интегратором, как уже отмечалось, значения координат состояния синхронизма не зависят от расстройки. При выполнении условий:

M + g > 0 M + g < 0, (3.2.14) состояние синхронизма существует при любых,. При значениях (M+g)<1..1.5 ОГУ практически совпадает с областью локальной устойчивости. При значениях M+g, сравнимых со значением, в системе начнут возникать циклы второго рода, которые порождаются соответствующими циклами системы с линейным фильтром (рис. 3.5б). На рис. 3.17 показано изменение ОГУ системы и областей существования различных циклов при приближении значения M+g к. С возрастанием расстройки в области малых, первым возникает цикл второго рода (1/3)H. Вначале точки его лежат на границе Ф(y), а с увеличением g отрываются от нее и переходят в цикл (1/3), характерный для системы с линейным фильтром. На рис. 3.17а показаны области существования этого цикла, а также циклов удвоенного периода, порожденных от него при потере им устойчивости. Потеря устойчивости цикла (1/3)H, может сопровождаться рождением движения, представляющего собой набор равномерно заполняемых траекторий в фазовом пространстве. Пример такого движения показан на рис. 3.18. Оно возникает вследствие ограничения нелинейностью Ф(y) свободной окрестности неустойчивого цикла (1/3). С увеличением M+g область его существования уменьшается, т.к. граница Ф(y) отодвигается от точки цикла. С дальнейшим ростом g возникает цикл второго рода (1/2) (рис. 3.17б). Точки его лежат на границе Ф(y). Вначале область его существования представляет в пространстве параметров собой узкую полосу. Точки его лежат на границе Ф(y). Чем ближе M+g к значению, тем больше область его существования. В конце концов она становится равной области существования данного цикла в системе с линейным фильтром. Рассмотрим полосу захвата этой СФС. Анализ показал, что при малых M (0..1.5) верхняя граница полосы захвата определяется условиями существования состояния синхронизма (3.2.14). С увеличением M полоса верхняя граница полосы захвата начинает определяться циклами второго рода. На рис. 3.19 показано изменение области захвата системы при увеличении M от 1.5 до 2.5. Она отмечена штриховкой. Также на графиках показаны области существования основных периодических движений, определяющих границы этой области. Пунктиром отмечена граница существования состояния равновесия. При M=1.5 (рис. 3.19а) верхняя граница полосы захвата определяется условиями (3.2.14), а движениями, ограничивающими полосу захвата, являются циклы второго рода (1/3) и (1/2). При больших расстройках точки цикла (1/3) не ограничиваются Ф(y) - поэтому границы областей его существования представляют собой в пространстве параметров (SC,H) вертикальные прямые. С уменьшением g цикл ограничивается нелинейностью фильтра. Точки цикла (1/2) при этом выборе параметров лежат на границах нелинейности Ф(y).

З З M=0. M= Граница локальной устойчивости Граница локальной устойчивости M= M=0. M=0. M=0. M=0. M=0. SС SС а) а) m=2;

б) m=1.

б) Рис. 3.16. Полоса захвата ЦСФС с ограничивающим ПИФ для d=0.6:

(0/3) (0/8) (0/4) (0/3) (1/2) (0/1) (1/3) (1/3) (2/6) а) б) Рис. 3.17. Области существования различных периодических движений в системе с ограничивающим интегратором для M=2: а) g=0.5;

б) g=1.

x M+g O1 L, -M+g Рис. 3.18. Фазовое пространство СФС с синусоидальной характеристикой ФД и ограничивающим интегратором.

нTp (1/2) нTp (1/3) (1/3) (2/1) (2/4) (1/2) D D а) б) Рис. 3.19. Полоса захвата ИСФС с ограничивающим интегратором для p=1, m=2: а) M=1.5;

б) M=2.

При дальнейшем увеличении M области существования этих циклов перемещается в сторону меньших расстроек, что ведет к ограничению области захвата, а при больших значениях усиления верхняя граница полосы захвата определяется первым кратным захватом (рис. 3.19б). Таким образом, полоса захвата при малых значениях M определяется условиями существования состояния равновесия. С ростом M она принимает сложную форму, определяемую циклами второго рода, возникающими в данной системе.

3.3. Система с пилообразным фильтром в цепи управления Проанализируем ДСФС для случая пилообразной характеристики фильтра в цепи управления. Наличие двух периодических нелинейностей позволяет рассматривать данную систему на торе. При анализе СФС с линейным фильтром уже рассматривался частный случай системы на торе - СФС с линейным интегратором в цепи управления. Этому случаю соответствует значение M=. В этом разделе рассмотри свойства системы для произвольных M. В начале данного раздела изучим общие свойства ДСФС с синусоидальной характеристикой детектора и пилообразным фильтром. Далее более детально рассмотрим свойства ДСФС с нелинейным ПИФ и нелинейным интегратором.

3.3.1. Общие свойства ДСФС синусоидальной характеристикой ФД и пилообразным фильтром На рис. 3.20 показана развертка фазового тора. Опишем его структуру. Подобно тому, как это было сделано для системы с пилообразной характеристикой ФД и пилообразной характеристикой фильтра, введем линии отображения с сохранением координаты x mod 2M Lx,m : x=g-(2mM+Sin())/d;

m=±1, ±2, ±3.. (3.3.1) Как и для в системе с ограничивающим фильтром, в данном случае нелинейность Ф(y) ограничивает область существования состояния равновесия. Оно существует, когда точка пересечения прямых L,0 и Lx,0 пределах периода фазового тора, т.е. выполняются условия (3.2.3).

находится в x Lx, M+g O Lx, -M+g L, Lx, Рис. 3.20. Фазовое пространство СФС с синусоидальной характеристикой ФД и пилообразным ПИФ.

(0,3/1) (0,2/1) (0,0+1/2) (0,1/1) (0,5-5/2) (0,4-4/2) (0,3-3/2) (0,2-2/2) (0,1+2/2) ПМ (0,1-1/2) Рис. 3.21. Области существования различных периодических движений в системе с пилообразным ПИФ для d=0.1, M=0.1, g=0.

Аналогично системе с ограничивающим фильтром, притягивающий слой по x будет лежать в пределах Ф(y) при выполнении неравенства (3.2.4). В этом случае все движения в системе с течением времени попадают в притягивающий слой, т.е. в установившемся режиме поведение системы совпадает с поведением СФС с линейным фильтром. Рассмотрим общие свойства периодических движений, возможных в данной системе. По аналогии с классификацией, введенной во второй главе, предельным циклом (u,v/k) будем называть периодическое движение периода k, при котором абсолютное приращение координат и x равно 2u и 2Mv соответственно. В случае необходимости вместо абсолютных приращений будем расшифровывать структуру движения, указывая в числителе приращение координат mod 2 и x mod 2M на каждой итерации. На пересечении линии L,0 и линий Lx,m возникают кратные захваты по координате x или циклы структуры (0,m/1) (m=±1,±2..). Отметим, что подобные движения возникали и в системе с пилообразной характеристикой фазового детектора. Так как значение координаты при движении в этом цикле остается постоянным, то частота генератора в кольце синхронизации совпадает с частотой внешнего воздействия и система находится в синхронизме. При этом за один системный дискрет нелинейность фильтра успевает сброситься m раз. Таким образом движения этого типа можно рассматривать в качестве состояний синхронизма. На одном периоде F() L,0 и Lx,m имеют две точки пересечения. Будем обозначать их как C1,m, C2,m. Координаты этих точек определяются из (3.3.1), (3.1.3) и соответственно равны:

dg 2mM dg 2mM r c1,m = arcsin, d + d +, T T (3.3.2) dg 2mM dg 2mM r c2,m = arcsin, d + d +. Циклы C1,m, C2,m существуют, когда их x координаты попадает в диапазон, ограниченный функцией Ф(y). Это выполняется при dg 2mM > M + g d + dg 2mM

x a2 a1 b x M+g M+g Lx, Lx, O b O L, b1 b O O L, Lx, -M+g Lx, a4 a -M+g а) б) Рис. 3.23. Структура притягивающего множества ПМ1 в фазовом пространстве СФС с пилообразным ПИФ.

Устойчивость цикла будет определяться собственными значениями r матрицы отображения A( c j,m ) (j=1,2;

m=±1,±2..). Для расчета устойчивости можно воспользоваться системой неравенств (3.1.8), выразив Сos(j) согласно dg 2mM (3.3.2) - Cos( j ) = 1. Соответственно, на периоде F() одна d + точка будет устойчива, а другая неустойчива.

3.3.2. Система с пропорционально интегрирующим фильтром в цепи управления Рассмотрим динамику СФС с нелинейным ПИФ в цепи управления. 1. Анализ начнем со случая нулевых расстроек. При g=0 и малых значениях M наблюдается следующая картина распределения областей существования различных устойчивых движений в пространстве параметров (рис. 3.21, 3.22). ОГУ системы помечена штриховкой. В данном случае в системе, как это было и СФС с пилообразной характеристикой ФД существуют семейства циклов одного периода и схожей структуры. Вследствие этого качественная картина распределения областей существования различных периодических движений в пространстве параметров повторяется. При движении из ОГУ в сторону увеличения, возникает цикл первого рода (0,1-1/2), принадлежащий семейству циклов (0,n-n/2). Циклы данного семейства с большими значениями n располагаются в области параметров с большим,.

Точки циклов, принадлежащих данному семейству, располагаются симметрично относительно состояния равновесия O1. Из (3.2.1) несложно получить, что они лежат на пересечении кривой x=-2+Sin() и прямых x=(Sin( )+2mM-g(1-d))/(d+1) (m=1,2,3...). Так как координаты точек симметричны относительно состояния равновесия, то данного семейства определяется собственными устойчивость циклов значениями матрицы отображения в одной из точек цикла. Ее можно получить из системы неравенств (3.1.8), где Cos(j) необходимо вычислить в точке цикла. При движении в сторону меньших, возникают дополнительные состояния синхронизма, циклы второго рода (0,m/1), описанные в предыдущем разделе. Точки этих циклов располагаются на пересечении линий Lx,m L,0.

Также при малых возникает семейство циклов второго рода структуры (0,(m-1)+m/2). Области существования циклов данного типа в пространстве параметров расположены вблизи оси =0, причем области существования циклов с меньшим m содержат в себе области существования циклов с большим m (рис. 3.21, 3.22). При малых значениях ОГУ системы также ограничивается устойчивым притягивающим множеством (назовем его ПМ1). Простейший пример этого множества показан на рис. 3.23. Для существования ПМ1 характерной является следующая структура фазового пространства. Неустойчивая сепаратрисная инвариантная кривая (на рисунке она показана пунктиром), выходящая из неустойчивого состояния O2, пересекает границу нелинейности Ф(y) и нелинейно продолжается от другой границы Ф(y). При этом отрезок сепаратрисы (a1,a2) отображается в отрезок (a3,a4). Далее происходит еще одно нелинейное отображение. Отрезок (a3,a4) нелинейно отображается по x в область фазового пространства выше сепаратрисной кривой. Таким образом, образуется устойчивое притягивающее множество, состоящее из равномерно заполняемых отрезков. Разрушение ПМ1 происходит, когда неустойчивая сепаратриса перестает пересекать границы нелинейности Ф(y). Так как при нахождении системы в ПМ1 не происходит перескоков фазы, то среднее ее значение остается постоянным. Т.е. система находится в квазисинхронизме. При увеличении d происходит расширение области локальной устойчивости в сторону больших,. Это приводит к тому, что в ее пределы попадает больше циклов семейства (0,n-n/2), описанного выше, при больших,. С другой стороны, при малых,, области существования устойчивых циклов уменьшаются (рис. 3.22). С увеличением M циклы семейств описанных выше с большим количеством проскальзываний выходят за границы области локальной устойчивости как для больших, так и для малых,. Область существования ПМ1 также уменьшается. Это связано с тем, что при увеличении M область параметров, где выходящая сепаратриса пересекает границу Ф(y), уменьшается. Все это ведет к расширению ОГУ системы. Данная тенденция сохраняется с дальнейшим ростом M. Это приводит к тому, что при малых значениях d (порядка 0.1..0.2) и при значениях M порядка 1..1.7 система глобально устойчива практически во всей области локальной устойчивости. При больших значениях d также наблюдается расширение ОГУ. Иллюстрацией этому может служить рис. 3.24 где показана ОГУ системы для d =0.5 и различных значений M. При значениях M более 1.8..1.9 начинают сказываться эффекты, присущие СФС с линейным фильтром. Так например, в области больших, возникает цикл первого рода периода 4. 2. Рассмотрим расстройках. При малых значениях M ОГУ системы начинает ограничиваться сверху циклами второго рода по x. Причем, в отличие от системы с пилообразной характеристикой ФД, в области отрицательных возникают движения с постоянным убыванием значения координаты x (рис. 3.25). При увеличении расстройки области существования циклов этого типа расширяется. Возрастает также область существования движения ПМ1 в области малых. Это связано с тем, что при увеличении M, область параметров, где выходящая сепаратриса пересекает границу Ф(y), увеличивается. Нижняя граница ОГУ определяется условиями существования состояния равновесия (3.2.3). При дальнейшем увеличении M циклы периода более двух выходят из области локальной устойчивости и ОГУ системы начинает ограничиваться, в основном, циклами различной структуры периода два (рис. 3.26). При значениях g, сравнимых с M, верхняя граница ОГУ системы определяется за счет исчезновения состояния синхронизма. В этом случае система начинает вести себя практически так же, как и система с ограничивающим фильтром. При больших M с ростом g возникает устойчивое притягивающее множество (будем называть его ПМ2). Его структура показана на рис. 3.28. Неустойчивая сепаратриса, выходящая из точки O2 вверх, пересекает нижнюю границу Ф(y) и нелинейно продолжается выше себя. При этом некоторый отрезок кривой (a1,a2) отображается в отрезок (a3,a4). На рис. 3.28 показан пример образующегося при этом устойчивого притягивающего множества. ПМ2 существует вблизи верхней границы области локальной устойчивости и ограничивает ОГУ сверху (рис. 3.27). Это движение в отдельных областях переходит в циклы второго рода по координате x. В области малых M возникает инвариантная кривая, характерная для системы с линейным фильтром. Она возникает, когда неустойчивая сепаратриса точки O2 лежит выше устойчивой и не пересекает ее.

далее поведение системы при отличных от нуля М=1.6 М=1. М=1 М=0. Рис. 3.24. Границы ОГУ системы с пилообразным ПИФ для d=0.5, g=0.

(0,2-2/2) (0,1/3) (0,1/4) (0,-1/3) (0,1/2) ПМ (0,1-1/2) Рис. 3.25. Области существования различных периодических движений в системе с пилообразным ПИФ для d=0.5, M=0.4, g=0.1.

(0,1/1) (0,1/2) (0,1-1/2) ПМ Рис. 3.26. Области существования различных периодических движений в системе с пилообразным ПИФ для d=0.5, M=0.4, g=0.5.

(0,1/2) (0,0-1+1/3) ПМ (0,1/3) (0,1/4) (1,0/5) Рис. 3.27. Области существования различных периодических движений в системе с пилообразным ПИФ для d=0.5, M=1.3, g=1.

При дальнейшем увеличении расстройки возникают циклы второго рода, характерные для СФС с линейным фильтром. Рассмотрим полосу захвата системы в зависимости от M. Анализ проведем для ЦСФС с пилообразным ПИФ на основе графиков, приведенных на рис. 3.29, 3.30. В результате анализа установлено, что при малых значениях M полоса захвата системы определяется в циклами второго рода по x структуры (1/k). На рис. 3.29 приведена полоса захвата системы (заштрихованная область) и основные периодические движения, ее ограничивающие. Показана область локальной устойчивости системы. Пунктиром показана граница существования состояния равновесия, которая определяет полосу захвата в системе с ограничивающим фильтром. Из графика видно, что по сравнению с системой с ограничивающим фильтром, в данном случае наблюдается существенное уменьшение полосы захвата по H. На рис. 3.30 показаны границы полосы захвата для различных значений M. С ростом M полоса захвата расширяется в сторону больших расстроек. Вместе с тем в области больших усилений полоса захвата начинает ограничиваться снизу движениями второго рода по x (в данном случае это цикл (0,1-1/2)). При некотором M верхняя граница полосы захвата, как и для ограничивающего фильтра, начинает совпадать с полосой захвата системы с линейным фильтром (M>1.5). В этом случае она определяется движениями второго рода, существующими в системе с линейным фильтром. Таким образом, максимальная полоса захвата в системе достигается для значений M, при которых движения в системе не зависели от влияния Ф(y).

3.3.3. Система с интегратором в цепи управления Изучим основные свойства ДСФС с интегратором, имеющим пилообразную характеристику. Как и для любой системы с астатическим фильтром, имеющим ограничение на максимальное выходное напряжение, для рассматриваемой является характерным следующее: 1. Координаты состояния синхронизма в фазовом пространстве не зависят от начальной расстройки. Для системы с синусоидальной характеристикой детектора оно существует при любых,, пока выполняются условия (3.1.6).

x M+g a3 a x M+g Lx, O a1 a -M+g -M+g L, а) б) Рис. 3.28. Структура притягивающего множества ПМ2 в фазовом пространстве СФС с пилообразным ПИФ.

З (0,1/6) (0,1/5) (0,1/4) (0,1/2) (0,1/3) SC Рис. 3.29. Полоса захвата ЦСФС с пилообразным ПИФ для d=0.6, m=1, M=0.4.

З Граница локальной устойчивости M=0.1 M=0.4 M=0.7 M= M=1.3 M=1. SC Рис. 3.30. Полоса захвата ЦСФС с пилообразным ПИФ для d=0.6, m=1.

M=1. M=1. M=2. g=0. M= g=0. g=0. g=0. M=2. g=0. M= g=0. g=0. Рис. 3.31. Границы ОГУ системы с пилообразным интегратором для g=0.

Рис. 3.32. Границы ОГУ системы с пилообразным интегратором для M=0.7.

2. В системе существует ограниченное количество кратных захватов. Кратный захват структуры (k/1) существует, если выполняется условие (3.2.13). Как показал анализ, основные закономерности разбиения пространства параметров на области существования различных движений для данной системы и ДСФС с ПИФ, имеющей аналогичную нелинейность фильтра, совпадают. Например повторяются все типы движений. Отличие состоит в количественных зависимостях и изменениях. Ниже эти отличия будут проанализированы. Анализ начнем со случая нулевых расстроек. В системе с пилообразным интегратором нижняя граница области существования цикла структуры (0,11/2) проходит при меньших, чем граница области локальной устойчивости системы. Вследствие этого при малых M система глобально неустойчива. При увеличении M до значений порядка 1.6..2 правая граница области существования этого цикла смещается в сторону меньших. Это приводит к возникновению ОГУ вблизи правой границы области локальной устойчивости. На рис. 3.31 показаны границы ОГУ системы для различных значений M. Система глобально устойчива справа от показанных границ. При M>2 ОГУ разбивается циклом структуры (0,0-1+0+1/4). C дальнейшим ростом M происходит рождение устойчивых движений, характерных для СФС с линейным фильтром. При расстройках, отличных от нуля, анализ дал следующие результаты. 1. При малых M наблюдается возникновение ОГУ вблизи нижней границы области локальной устойчивости. Данное явление происходит вследствие разрушения цикла (0,1-1/2). На рис. 3.32 показаны границы ОГУ для M=0.7 и различных g. 2. С увеличением g верхняя граница ОГУ, определяемая циклом (0,1-1/2), сдвигается в сторону больших. Правая граница ОГУ определяется циклами второго рода по x. С увеличением g области существования этих циклов возрастают. Это приводит к тому, что левая граница ОГУ с ростом M сдвигается в сторону больших. 3. При приближении -M+g к нулю ОГУ системы резко убывает, и при M+g больших нуля в системе перестают выполняться условия существования состояния равновесия (3.2.14). При больших M с ростом g наблюдается схожая последовательность изменения ОГУ за исключением того, что при значениях M+g близких к, возникают циклы второго рода, характерные для системы с линейным фильтром. Из вышесказанного можно сделать вывод, что при нулевых расстройках область глобальной устойчивости системы мала. Это связано с предельными циклами, возникновение которых обуславливается симметричной структурой фазового пространства. При ненулевых расстройках симметрия фазового пространства нарушается - это ведет к возрастанию ОГУ, особенно в области малых значений,.

3.4. Статистическая динамика ДСФС с синусоидальным детектором и нелинейным фильтром 3.4.1. Постановка задачи Данный раздел посвящен исследованию свойств обобщенной модели (1.1.1) при наличии шумового воздействия на входе системы. Как показано выше, наличие второй нелинейности может в значительной степени изменить поведение системы. Особенно это касается режимов захвата. Не меньший интерес вызывает анализ влияния второй нелинейности на стационарные свойства ДСФС, включая характеристики связанные с динамикой. Это связано с тем, что при наличии шума может значительно измениться характер поведения системы вблизи границ областей существования различных движений. В пользу этого говорят следующие качественные рассуждения. Под влиянием шума возможен выход вектора состояния системы из области притяжения одного движения и переход в окрестность состояния синхронизма или другого движения. Из общих соображений понятно, что чем меньше область притяжения цикла, тем меньше вероятность нахождения вектора состояния системы в его окрестности. На практике интерес представляет случай, когда стационарная вероятность нахождения в окрестности состояния синхронизма достаточно велика. Это означает, что среднее время до срыва синхронизма (выхода вектора состояния из окрестности состояния синхронизма) много больше, чем среднее время до попадания в окрестность состояния синхронизма из окрестности предельных циклов. Вместе с тем возможна ситуация, когда при малой вероятности нахождения системы в области притяжения какого-либо цикла в стационарном случае, абсолютное значение времени выхода из этого цикла достаточно велико. С практической точки зрения данная ситуация является нежелательной. Приведенные рассуждения позволяют ввести понятие статистической области глобальной устойчивости (СОГУ). Данная область определяет параметры системы, в которых среднее время до срыва состояния синхронизма не меньше заданной величины и среднее время попадания в окрестность состояния синхронизма не больше заданной величины. Исследованию СОГУ в зависимости от параметров системы и посвящен этот раздел. Шумовое воздействие представляет собой белый гауссов шум.

3.4.2. Стохастическая модель и описание движений в ДСФС с нелинейным фильтром Математическая модель обобщенной системы (1.1.1) при наличии аддитивного шума на входе будет выглядеть следующим образом:

n +1 = n ( F (n ) + n ) + xn xn +1 = g ( M, d ( g xn ) + ( F (n ) + n )), (3.4.1) где n - значение белого гауссового шума, приведенного к выходу фазового детектора. Для описания статистических свойств СФС воспользуемся аппаратом марковских последовательностей. Условные плотности вероятности перехода системы из одного состояния в другое в этом случае описываются уравнением Колмогорова-Чепмена [70]. rr rr rr r µ ( q j |qi ) = µ ( q j |qk )µ ( qk |qi )dqk, (3.4.2) где - фазовое пространство системы.

rr При фиксированных начальных условиях q = q0 получим rr rr rr r pk +1 (q |q0 ) = µk (q | z ) pk ( z |q0 )dz, (3.4.3) rr rr где pk ( q|q0 ) = p( qk |q0 ) - условная плотность вероятности попадания rr r r rr системы в состояние qk при фиксированном значении q0 ;

µ k ( q| z ) = µ ( qk |qk 1 ) r вероятности перехода в состояние qk из состояния r произвольного qk 1. Найдем для нее аналитическое выражение.

плотность Из (3.4.1) следует, что случайные процессы xn, n линейно зависимы с коэффициентом корреляции равным единице. Вследствие этого условная r r плотность вероятности перехода из состояния qk 1 в состояние qk имеет вид:

µ ( k, xk | k 1, xk 1 ) = k mk ( xk mxk ) p, (3.4.4) где p плотность вероятности случайного процесса n ;

mk, mxk математические ожидания k и xk соответственно. Из (3.4.1) следует, что mk = k 1 F ( k 1 ) + xk 1, mxk = g f M, d g f xk 1 F (k 1 ).

( ( ) ) (3.4.5) Несложно видеть, что в данной системе марковская последовательность rr будет однородной, т.е. плотности вероятности перехода µ( qk |qk 1 ) не зависят от времени k. Учитывая сделанное ранее допущение, что шум n гауссов, из (3.4.4) с учетом (3.4.5) получим:

µ( k, xk | k 1, xk 1 ) = k mk ( xk mxk ) (3.4.6) ( xk mxk )2 1, exp 2D 2 D 2 где D - дисперсия входного шума. Стационарная плотность вероятности, приведенная к интервалу по (, ), определяется из (3.4.3) и с учетом (3.4.5), (3.4.6) удовлетворяет интегральному уравнению:

g+ M g M p( x2, 2 ) = 1 m ( x2 mx 2 ) (3.4.7), ( x2 mx 2 )2 1 p( x1,1 ) dx1 d1 exp 2 D 2 2D Для нахождения среднего времени до выхода вектора состояния за границу rr определенной области из заданных начальных условий q = q0 можно воспользоваться следующим выражением [70] r rr r M ( q0 ) = 1 + P ( z |q0 )dz, (3.4.8) rr где функция P ( z |q0 ) является решением интегрального уравнения rr rr rr rr r (3.4.9) P(q |q0 ) = µ (q |q0 ) + µ (q | z ) P( z |q0 )dz.

rr Плотность вероятности перехода µ(q | z ) определяется по формулам (3.4.5), (3.4.6).

3.4.3. Исследование статистической области глобальной устойчивости Рассмотрим вначале основные свойства системы (3.4.1) при наличии шума. Найти решение (3.4.3), (3.4.7), (3.4.8) аналитически не представляется возможным. Численное решение может быть найдено при помощи любого из известных методов решения интегральных уравнений Фредгольма [71], в этом разделе при расчетах использовался метод последовательных приближений. Анализ показывает, что при наличии в системе нескольких устойчивых периодических движений СПВ представляет собой двумерную поверхность с локальными максимумами, соответствующими точкам движений в автономной системе. При стремлении дисперсии к нулю СПВ приближается к набору в функций, пронормированных на величину отношения областей притяжения к площади всего фазового пространства. Соответственно в предельном случае (D=0) СПВ начинает зависеть от начальных условий. На рис. 3.33 приведены результаты расчета плотности вероятности ДСФС с синусоидальной характеристикой детектора и пилообразным фильтром. В системе существует цикл структуры (0,1-1/2), в одной из точек которого и были выбраны начальные условия. Графики соответствуют ситуациям, отстоящим во времени через четное число итераций, поэтому плотность вероятности отлична от нуля в одной и той же точке цикла. Из приведенных графиков видно, что с течением времени вероятность нахождения системы в окрестности состояния синхронизма увеличивается. Это сопровождается уменьшением вероятности нахождения системы в цикле. Расчет показывает, что в итоге вероятность нахождения системы в синхронизме равна 0.995. Вместе с тем, приведенные графики могут служить иллюстрацией достаточно медленного перехода векторов состояния из области притяжения цикла. Согласно численному решению уравнений (3.4.8), (3.4.9), среднее время выхода равно примерно 500 итераций.

n= P=0. n= P=0. x x a) б) n= P=0. n=1200 P=0. x x в) г) Рис. 3.33. Последовательное преобразование плотности вероятности системы с пилообразным фильтром с начальными условиями, взятыми в точке цикла, для M=1, =1.2, =0.9, g=0, d=0. Проанализируем далее СОГУ системы при наличии в ней предельных циклов. Важным вопросом при проведении такого анализа является выбор окрестности состояния синхронизма, попадание в которую является критерием выхода системы из периодического движения. Соответственно срыв синхронизма происходит при выходе из этой области. Возьмем в качестве такой окрестности область притяжения состояния синхронизма автономной системы. Этот выбор оправдан, так как из-за влияния нелинейности фазового детектора и фильтра эта область может состоять из большого количества несвязанных подобластей. Вместе с тем, вследствие дискретности перемещения вектора состояния в фазовом пространстве, попадание в каждую из этих подобластей приводит систему в окрестность состояния синхронизма. В соответствии с вышесказанным, применим для расчета следующую методику: 1) На основе результатов, полученных ранее, определим существующие в автономной системе устойчивые движения. Найдем их точки. 2) Определим область притяжения состояния синхронизма автономной системы. 3) Используя формулы (3.4.8), (3.4.9), численно найдем среднее время до первого попадания в область притяжения состояния синхронизма из начальных условий в точках цикла для неавтономной системы. 4) Используя формулы (3.4.8), (3.4.9), численно найдем среднее время до срыва синхронизма из начальных условий в состоянии синхронизма системы. На рис. 3.34-3.40 приведены результаты численного расчета СОГУ для различного среднего времени достижения области притяжения состояния синхронизма. Во всех графиках среднее время до срыва синхронизма (выхода из области притяжения состояния синхронизма) превышает 5000. Анализ полученных данных подтверждает ранее сделанное предположение о том, что среднее время выхода системы из области притяжения периодического движения сокращается с уменьшением этой области. Когда область притяжения периодических движений невелика и сравнима с величиной D по координате и с величиной D по координате x, время перехода из области притяжения этих движений в окрестность состояния синхронизма не велико. И наоборот, когда предельные циклы имеют значительную область притяжения, время велико. Таким образом, наибольшее расширение СОГУ по сравнению с ОГУ происходит в случаях, когда ОГУ ограничивается предельными циклами с небольшими областями притяжения. Заметим, что с увеличением, влияние шума растет, так как шумовое воздействие входит в разностные уравнения через эти коэффициенты. 1. На рис. 3.34, 3.35 представлены результаты расчета СОГУ для системы с линейным ПИФ. Из графиков видно, что наибольшее расширение СОГУ по сравнению с ОГУ автономной системы наблюдается для циклов, имеющих небольшие области притяжения движений. На рис. 3.34 это цикл первого рода (0/4), на рис. 3.35 это цикл второго рода (1/2) (см. рис. 3.3,3.5б). Область притяжения кратных захватов (циклов (1/1)) становится достаточно большой даже при выборе параметров вблизи границы существования этого движения. Вследствие этого граница СОГУ практически совпадает с границами областей существования этих циклов. 2. На рис. 3.36, 3.37 представлены результаты расчета СОГУ для случая ограничивающего фильтра. При малых значениях M, как это было показано ранее, в системе существуют циклы, точки которых располагаются на границах Ф(y). Это циклы структуры (0/2)H и (0/1)H (рис. 3.36). За счет влияния нелинейности Ф(y) области притяжения этих циклов достаточно велики. Это приводит к тому, что разрушить их может только шумовое воздействие с достаточно большой дисперсией. Вследствие этого СОГУ данной системы не сильно отличается от ОГУ. Полоса захвата системы при малых M определяется условиями существования состояния синхронизма, вследствие этого СОГУ практически совпадает с ОГУ. С увеличением M возникают движения не все точки которых лежат на границах Ф(y). Области притяжения этих циклов невелики,. Это ведет к увеличению за счет них СОГУ. На рис. 3.37 это движения (0/3), (0/6), (1/2), (2/4) (см. рис. 3.15б). Границы СОГУ определяются движениями с большим временем выхода. На рис. 3.37 это инвариантная кривая в области малых, и цикл (0/2) в области больших,.

Рис. 3.34. СОГУ ДСФС с линейным ПИФ для d=0.8, g=0, D =10-3.

Рис. 3.35. СОГУ ДСФС с линейным ПИФ для d=0.5, g=2, D =10-3.

Рис. 3.36. СОГУ системы с ограничивающим ПИФ для d=0.3, M=0.1, g=0, D =10-3.

Рис. 3.37. CОГУ ДСФС с ограничивающим ПИФ для d=0.5, M=1.3, g=2, D =10-3.

100 200 10 50 100 а) a) D =10-4, б) D =10- Н б) Рис. 3.38. СОГУ ДСФС с пилообразным ПИФ для d=0.1, M=0.1, g=0.

100 SС Рис. 3.39. СОГУ ЦСФС с пилообразным ПИФ для d=0.6, m=1, M=1, D =10-3.

Рис. 3.40. CОГУ системы с пилообразным интегратором для M=0.7, g=0.4, D =10-3.

3. Анализ СОГУ системы с пилообразным фильтром проведем по рис. 3.38-3.40. При малых значениях M правая граница ОГУ системы определяется семейством циклов (0,k-k/0), а левая дополнительными состояниями синхронизма (0,k/1). Так как циклы этих семейств имеют небольшие области притяжения, это приводит к тому, что уже при незначительных значениях D СОГУ значительно превышает ОГУ. На рис. 3.38 показаны результаты расчета СОГУ для различных дисперсий входного шума. Наибольшее расширение ОГУ происходит с увеличением. Это связано с одной стороны с увеличением влияния шумового воздействия, с другой стороны - с уменьшением при больших области притяжения циклов. Также это можно объяснить увеличением числа периодических движений при меньших. На рис. 3.39 показан результат расчета статистической полосы захвата системы. В отличие от системы с насыщающим фильтром ее границы определяются в основном циклами второго рода по x. Области притяжения их невелики, вследствие этого они разрушаются при наличии шума. Наиболее значительное расширение ее происходит в области больших D. Аналогичная картина наблюдается и в системе с пилообразным интегратором рис. 3.40. Расширение ОГУ происходит в основном за счет разрушения циклов второго рода по координате x. В автономной системе они определяют левую границу ОГУ. Таким образом, наиболее существенное влияние шумового воздействия на ОГУ наблюдается в системе с пилообразным фильтром. Это обусловлено тем, что в этой системе ОГУ ограничивается циклами с небольшими областями притяжения.

3.5.Выводы 1. В ходе проведенных исследований изучены основные динамические свойства обобщенной модели ДСФС с синусоидальной характеристикой и различными нелинейными фильтрами: пропорционально-интегрирующим ограничивающего и пилообразного типа, астатическим ограничивающего и пилообразного типа. К числу изученных свойств относятся: области существования периодических и квазипериодических устойчивых движений, условия возникновения различных устойчивых движений, их бифуркации в зависимости от различных параметров, области устойчивости в большом и целом, полоса захвата. 2. Для проведения исследований была предложена методика, основанная на качественно-аналитическом и численно-качественном подходах анализа отображений с синусоидальной нелинейностью на цилиндре и торе. Результатом ее применения явился целый ряд условий и аналитических оценок, определяющих движения системы. Получены значения границ областей существования различных движений в ДСФС с линейным пропорциональноинтегрирующим и астатическим фильтрами. Получены точные значения полосы захвата. Сравнивая полученные результаты с данными исследования системы с пилообразной характеристикой детектора, можно сказать, что при малых значениях p в данном случае захват обеспечивается в значительно более широком диапазоне усилений. Это объясняется тем, что кратные захваты в системе c синусоидальной характеристикой детектора существуют в области больших значений D. 3. С помощью предложенной методики изучена динамика обобщенной модели ДСФС с синусоидальной характеристикой детектора и ограничивающим фильтром. Установлены общие закономерности поведения системы на фазовой плоскости. Найдены области параметров системы, где нелинейные свойства фильтра не влияют на установившиеся движения в системе. Описаны возможные периодические движения, их бифуркации в зависимости от параметров системы. В конечном результате получены области устойчивости в целом и графики полосы захвата для произвольных параметров системы. Показано, что при малых значениях M полоса захвата определяется условиями существования состояния синхронизма, в отличие от системы с пилообразным детектором, где она определялась циклами-интервалами. С ростом границ нелинейности Ф(y) полоса захвата определяется в основном вращательными движениями по. 4. Для случая пропорционально-интегрирующего ограничивающего фильтра, характерного для цифровых систем, установлена возможность существования в системе движений, аналогичных состояниям синхронизма. Показано, что в этих режимах ДСФС ведет себя подобно системе первого порядка. При этом нелинейный фильтр находится в насыщении, а процесс подстройки частоты перестраиваемого генератора обеспечивает линейный пропорциональный канал. Показано, что данный режим реализуется только при отрицательных значениях параметра.

5. Исследованы динамические свойства ДСФС с синусоидальной характеристикой детектора и пилообразными пропорциональноинтегрирующим фильтром и интегратором. Описаны возможные периодические движения, их бифуркации в зависимости от параметров системы. В результате анализа установлено, что в данной системе существуют семейства периодических движений. Циклы одного семейства имеют одинаковый период и разные абсолютные приращения координат, x. Пространство параметров (,) имеет периодичность относительно областей существования циклов одного семейства. Аналогичная картина наблюдается и в системе с пилообразным детектором. Конечным результатом исследований явилось построение областей устойчивости в целом, зависимость полосы захвата от параметров нелинейности. Показано, что при малых M полоса захвата этой системы определяется вращательными движениями по координате x, как и в системе с пилообразным детектором. Это приводит к существенному уменьшению полосы захвата по сравнению с системой, имеющей ограничивающий фильтр. 6. Изучены возможные типы устойчивых предельных движений в системе с пилообразным фильтром. В частности, установлено, что устойчивые предельные множества в данной системе возникают при нелинейном продолжении неустойчивой сепаратрисы седла за границы Ф(y). Рассмотрены возможные типы данных множеств, найдены области их существования в пространстве параметров. Как и в системе с пилообразной характеристикой детектора, установлена возможность существования в системе нескольких состояний, эквивалентных состоянию синхронизма (С1,m, С2,m). Данные движения обусловлены вращательными движениями по координате x. Показано, что С1,m, С2,m могут существовать даже при отсутствии основного состояния равновесия. 7. Изучено поведение ДСФС с синусоидальным детектором при наличии дополнительного шумового воздействия. Рассмотрено влияние шума на возможные в системе периодические движения. Показано, что предельные циклы могут разрушаться под воздействием шума. Путем численного решения уравнения Колмогорова-Чепмена получены области статистической полосы захвата. Установлено, что наибольшее расширение области глобальной устойчивости достигается в системе с пилообразным фильтром, т.к. она ограничивается в этом случае движениями с малыми областями притяжения.

4. Экспериментальные исследования ДСФС с нелинейным фильтром 4.1. Постановка задачи Целью настоящей главы является проверка наиболее принципиальных результатов теоретических исследований обобщенной математической модели ДСФС с нелинейным фильтром в цепи управления, выполненных в предыдущих главах, и дополнительные исследования, вызванные необходимостью учета в некоторых случаях допущений, которые были сделаны при выводе обобщенной модели. Особенно актуальными дополнительные исследования являются для импульсных систем, поскольку сделанные в отношении их допущения: постоянство периода дискретизации, нулевое время стробирования детектора, неидеальность запоминания детектором, фиксированное время срабатывания нелинейности фильтра - могут стать при определенных условиях достаточно весомыми и оказать заметное влияние на динамические процессы. Допущения об отсутствии эффектов квантования, сделанные для цифровых и импульсно - цифровых систем, для динамики системы имеют значительно меньшее значение. Учитывать все вышеперечисленные факторы в обобщенной модели нецелесообразно, так как, во-первых, теряется общность, во-вторых, модель становится настолько сложной, что исключается возможность какого-либо качественно-аналитического исследования. Необходимо подчеркнуть, что большинство перечисленных допущений являются достаточно традиционными при исследовании как импульсных, так и цифровых систем фазовой синхронизации [3,7,14,58,61]. Дополнительные исследования ниже выполняются с помощью компьютерного моделирования на ПЭВМ. Причем для импульсной системы это выливается в самостоятельное исследование, хотя и тесно связанное с исследованиями обобщенной математической модели. Для цифровой СФС необходимость в самостоятельном исследовании отпадает, так как эту функцию практически в полном объеме берет на себя вычислительный блок, входящий в состав цифровой системы и выполняющий все вычисления. Другой целью главы является выработка рекомендаций для пользователей и разработчиков по конкретному управлению состоянием ДСФС (начальным или промежуточным) для обеспечения наиболее благоприятных условий в кольце, отвечающих требуемым характеристикам. Такие рекомендации должны основываться исследований на результатах проведенных качественно-аналитических моделирования и обобщенной модели, компьютерного экспериментальных исследований лабораторных модулей. С другой стороны, они должны учитывать простоту и эффективность управления состоянием колец. С точки зрения решаемых в диссертации задач управление может быть направлено на обеспечение максимальных частотных расстроек, при которых система гарантированно попадает в режим синхронизации. При этом, как будет показано далее, эффект может быть достигнут не только за счет выбора параметров, обеспечивающих максимальную полосу захвата в системах с нелинейным фильтром, но и за счет управления одной или двумя координатами. Это становится возможным благодаря наличию информации о возможных, ограничивающих захват движениях, их областях притяжения, бифуркациях. В процессе проводимых исследований решаются следующие задачи: 1. Построение компьютерной модели импульсной СФС с ограничивающим интегратором, учитывающей сделанные ранее допущения. 2. Исследование компьютерной модели импульсной СФС в диапазоне физических параметров, соответствующем диапазону параметров обобщенной модели, и в необходимом диапазоне начальных условий системы. 3. Разработка и экспериментальные исследования динамических характеристик лабораторного модуля импульсной СФС с астатическим нелинейным фильтром в контрольных режимах и заданных начальных условиях. 4. Разработка и экспериментальные исследования динамических характеристик лабораторного модуля цифровой СФС на базе вычислительного блока, позволяющего смоделировать произвольные режимы функционирования системы, включая движения из произвольных начальных условий.

4.2. Компьютерное моделирование импульсной СФС с интегратором в цепи управления При моделировании импульсных и цифровых колец синхронизации будем пользоваться принципами, изложенными в [73,74]. При этом сначала создаются алгоритмические модели отдельных узлов кольца по заданным передаточным функциям и нелинейным характеристикам. Далее, в соответствии со структурой системы составляется общая схема модели, реализуемая в виде программы на алгоритмическом языке. Процессы (дискретные и непрерывные), протекающие в импульсных СФС, можно с достаточной точностью заменить дискретными во времени t=kt, где t - выбранный шаг дискретизации времени, k=0,1,2…. Расчетными моделями узлов системы при этом являются алгоритмы, позволяющие преобразовать на ЭВМ с допустимой погрешностью дискретные реализации входных сигналов в дискретные реализации выходных сигналов. Для цифровых систем моделирование отдельных узлов проводится с учетом конечности их разрядной сетки, с применением методов целочисленных вычислений. Моделирование непрерывных узлов и сигналов ЦСФС осуществляется так же, как и для импульсных систем. В основу компьютерной модели положена структурная схема, приведенная на рис. 4.1. В дополнение к уже известным на схеме приняты обозначения: ГПН - генератор пилообразного напряжения;

РЭ - релейный элементы;

ЗУ запоминающее устройство;

ФИ - формирователь импульсов. Моделирование на ЭВМ отдельных импульсных и непрерывных узлов представленных схем приводилось по методике, изложенной в [78]. Все приведенные в главе расчеты выполнены с помощью системы программирования Borland Pascal® ver.7.0, Borland Delphi® 3.0. 4.2.1.Блок-схема моделирующего алгоритма На рис. 4.2 представлена блок-схема алгоритма, моделирующего протекающие в ИСФС процессы.

ИФД eог(t) ГПН РЭ ЗУ eд(t) ФНЧ Ф(1/Tfp)+m e фнч (t) ПГ e пг e фи (t) ФИ Рис. 4.1. Структурная схема компьютерной модели импульсной СФС с нелинейным фильтром.

Начало Ввод параметров t'=t;

t=t+h e инт (t)= eинт (t)+ eд (t)h/Tf e инт (t)>M нет да e инт (t)=M e инт (t)<-M нет да e инт (t)=-M e фнч (t)= eинт (t)+m e (t) д Расчет e пг (t) eпф(t)> да нет t-s1> в нет да e д (t)=E0+ E (t/Tp -[(t-s1)/T ]) p s1=t eд (t)=e д (t')+2Eд h/Tp e д (t)=eд (t')-gEh/T p Рис. 4.2. Блок схема моделирующего алгоритма импульсной СФС с ограничивающим интегратором. Шаг разбиения временной оси для приближенных вычислений выбирается из условия заданной точности численного решения выражений, описывающих процессы в системе. Исходя из этого, в проведенных исследованиях шаг выбирался из выражения h =, где Tp- период опорного сигнала, P - целое P положительное число, что обеспечивало численное решение моделирующих Tp выражений любого из отдельных узлов схемы с точностью не менее второго порядка малости. Для начала расчета процессов в исследуемой системе производится ввод физических параметров системы, а также начальных условий. Кроме физических параметров, непосредственно связанных с моделью, определяются дополнительные переменные и устанавливается их стартовое значение. Для расчета модели ИФД с учетом дискретных помех, возникающих на частоте сравнения, задаются длительности импульсов выборки формирователя импульсов ФИ. Кроме того, вводится коэффициент p1, определяющий потери в запоминающим устройстве ЗУ. Компьютерная модель позволяет учесть следующие особенности системы:

- переменный интервал регулирования;

- произвольное время срабатывания нелинейности фильтра;

- неидеальность запоминания детектора;

- отличие детектора "выбока-запоминание" от экстраполятора нулевого порядка. С точки зрения возможного влияния на динамические процессы наибольшее значение имеет переменный интервал дискретизации и произвольное время срабатывания нелинейности фильтра. Третья и четвертая особенности больше сказываются на спектральных характеристиках выходного сигнала. На основе моделей отдельных звеньев и моделирующего алгоритма всей системы разработано специализированное программное обеспечение для ЭВМ, которое позволяет проводить исследование динамических характеристик изучаемого объекта, а также определять полосу захвата системы в широком диапазоне изменения ее параметров. Воспользуемся для определения полосы захвата следующей методикой. Введем интервал времени TС, необходимый для попадания системы в режим синхронизма. Режимом синхронизма определим состояние системы, при котором значение частоты выходного сигнала находится в малой окрестности расчетного fпг=fвх сколь угодно длительное время. Величина TС определяется из условия максимальной длительности переходных процессов, согласованной с практическим применением. Для расчетов компьютерной модели используем соотношение TС=50Tp, где Tp - период опорного сигнала кольца. Задача сводится к исследованию поведения системы при представлении начальной расстройки H=(огпг0)/SуE в виде ступенчатой функции с интервалом равным TС. Величина скачка ступеней функции зависит от желаемой точности измерения. При положительных (отрицательных) H в качестве полосы захвата будем брать минимальное (максимальное) значение начальной расстройки, при которой исчезает режим биений. С учетом сказанного алгоритм расчета полосы захвата может быть сформулирован следующим образом: 1. Задается начальное значение обобщенного коэффициента усиления кольца D. 2. Задается значение начальной расстройки H, для которого система находится в режиме биений. 3. Действующее H уменьшается на малую величину, определяемую желаемой точностью измерения, например 0.01. Уменьшение расстройки H производится увеличением пг0. 4. Производится расчет процессов в устройстве на интервале времени TС для различных начальных условий в системе. Анализируется режим биений. Если режим биений сохранился, то происходит возврат к пункту 3. 5. Для принятия решения о нахождении системы в полосе захвата необходимо провести перебор возможных начальных условий для расчета процессов в модели с целью проверки существования в ней единственного устойчивого состояния синхронизма. Для выполнения подобной процедуры используется легко реализуемый на ЭВМ метод Монте-Карло [37]. В случае нахождения хотя бы одного набора начальных условий, для которых захвата не происходит, необходимо вернуться к пункту 3. Если такого не обнаружено, то текущее H соответствует граничному значению полосы захвата. 6. Для продолжения расчета изменяется значение обобщенного коэффициента усиления D и происходит переход к пункту 2. Предложенный алгоритм аналогично выполняется и для отрицательных значений H. 4.2.2. Анализ результатов исследования компьютерной модели На рис. 4.3-4.4 приведены зависимости полосы захвата импульсной СФС с нелинейным ограничивающим интегратором в цепи управления, полученные в результате компьютерного эксперимента. Графики построены в плоскости параметров (D,НТp). Сплошной линией показаны результаты, полученные при компьютерном полученная моделировании, при пунктиром показана полоса захвата, исследованиях обобщенной модели качественно аналитическими методами. Проведем сравнительный анализ результатов исследования обобщенной модели и компьютерного эксперимента. При малых значениях M полоса захвата обобщенной модели ограничивается сверху в основном условиями существования состояния равновесия. Левая ее граница определяется циклами второго рода по координате, правая - условиями локальной устойчивости стационарного состояния. В центре полоса захвата разделяется областью существования цикла (1/1)H, точка которого лежит на границе нелинейности Ф(y). С ростом M область существования этого цикла расширяется и начинает определять и верхнюю границу полосы захвата (см. рис. 4.3в). Несколько иная картина наблюдается в компьютерном эксперименте. Прежде всего следует отметить качественное совпадение с результатами анализа полосы захвата ИСФС с линейным фильтром и переменным интервалом дискретизации [14] в области малых значений усиления. При положительных расстройках по частоте наблюдается уменьшение полосы захвата, при отрицательных увеличение. Этот факт объясняется соответствующим увеличением и уменьшением обобщенных коэффициентов усиления в кольцах за счет переменного интервала дискретизации. ЗTp H< ЗTp (1/1)H H< H> H> (1/1)H D D а) б) ЗTp H< H> (1/1)H Рис.4.3. Полоса захвата ИСФС с ограничивающим интегратором для p=0.5, m=1;

а) M=0.2, б) M=0.4, в) M=0.7.

D в) ЗTp (1/1)H ЗTp H< H> H< H> (1/1)H (1/1)H D D а) б) ЗTp H< H> (1/1)H Рис.4.4. Полоса захвата ИСФС с ограничивающим интегратором для p=0.5, M=0.4;

а) m=0.5, б) m=1.5, в) m=2.

D в) Сравнивая результаты, можно отметить совпадение верхней границы полосы захвата, полученной для компьютерной модели и обобщенной модели. Вместе с тем наблюдаются различия, обусловленные влиянием нелинейности фильтра. В основном это касается цикла структуры (1/1)H. Область существования этого цикла для обобщенной модели разбивает полосу захвата на две части. В компьютерной модели область существования этого цикла сдвигается. Для положительных расстроек она переходит в сторону меньших усилений в кольце D, для отрицательных - в сторону больших усилений и вообще выходит за границу локальной устойчивости. Это можно объяснить тем, что для положительных расстроек текущий коэффициент усиления в кольце, определяемый интервалом дискретизации, возрастает, и циклы возникают при меньших D. Для отрицательных расстроек текущее усиление, наоборот, уменьшается за счет меньших интервалов дискретизации, и циклы возникают при больших D. Похожий эффект возникает и в результате учета произвольного времени срабатывания нелинейности фильтра. Допущение в обобщенной модели, сделанное в связи с введением фиксированного времени срабатывания, приводит некоторому эквивалентному увеличению усиления в кольце в режимах, связанных с насыщением фильтра. В компьютерной модели этого завышения нет. Учет произвольного времени срабатывания равносилен уменьшению усиления и в этом смысле эквивалентен действию отрицательных расстроек. Смещение области существования цикла (1/1)H влево при положительных расстройках говорит о том, что влияние переменного интервала дискретизации значительно сильнее произвольного времени срабатывания нелинейности фильтра. При малых значениях M цикл (1/1)H существует в области больших расстроек и не ограничивает полосу захвата (рис. 4.3а). Для положительных расстроек с ростом M область существования цикла (1/1)H смещается в область меньших H и D (рис. 4.3б) и при некотором значении выходит за границу существования циклов второго рода (рис. 4.3в) в области малых усилений. Несколько иная картина наблюдается при изменении форсирования m. При малых значениях m цикл (1/1)H определяет левую границу области захвата (рис. 4.3а), а с ростом m область его существования смещается в сторону больших расстроек и меньших усилений (рис. 4.3б, 4.4.б). Далее он опять выходит за границу существования циклов второго рода (рис. 4.3в). Влияние переменного интервала дискретизации на циклы второго рода значительно слабее. По этой причине левая граница полосы захвата, определяемая этими движениями, практически совпадает с границей, полученной при качественно аналитическом анализе. В целом анализ приведенных графиков подтверждает результаты аналитических исследований. Отличия в полученных результатах связаны с моделью кольца СФС, использованного для компьютерного эксперимента, в частности с переменным интервалом дискретизации и произвольным временем срабатывания нелинейности фильтра. Наблюдается хорошее совпадение результатов исследования модели с постоянными и переменными интервалами дискретизации в системе. 4.3. Экспериментальные частоты КВ-диапазона Цель экспериментальных исследований - проверка основных результатов теоретических исследований обобщенной модели ДСФС с ограничивающим интегратором, а также результатов компьютерного моделирования импульсной СФС. Для решения данной задачи был разработан лабораторный модуль однокольцевого синтезатора. Принципиальная схема модуля приведена в приложении 2. В основе схемы лежит типовое импульсное кольцо фазовой синхронизации с делителем в цепи обратной связи, имеющее астатизм второго порядка. Повышение степени астатизма достигается постановкой в цепь управления интегратора и обуславливается требованием минимизации фазовых ошибок в стационарном состоянии. Подобные требования могут быть связаны, например, с решением задач по синтезу сигналов с угловой модуляцией, в том числе сигналов со специальной формой изменения частоты и фазы, с формированием когерентных пачек радиоимпульсов на заданной частоте и т.д. Использование для проведения экспериментальных исследований лабораторного модуля синтезатора частоты позволило решить ряд проблем. Вопервых на его базе создаются реальные устройства, а значит, эксперимент максимально приближен к конкретным разработкам. Во-вторых, в синтезаторном варианте имеется возможность управления с высокой точностью 155 исследования однокольцевого синтезатора начальной расстройкой по частоте в кольце ДСФС и начальной разностью фаз. Первое достигается автоматически, второеприменением режима предустановки делителя частоты в цепи обратной связи. Синтезатор функционирует в коротковолновом диапазоне. Основные его параметры и характеристики имеют следующие значения:

- диапазон синтезируемых частот, МГц - шаг частотной сетки, кГц - уровень паразитных составляющих в спектре синтезируемых сигналов, дБ - диапазон значений коэффициентов деления, N - диапазон значений усилений в кольце, D -50дБ 280...360 0.1...0.5 7.0...9.0 25. В состав синтезатора входит перестраиваемый генератор на основе м/c 531ГГ1, импульсно-фазовый детектор, выполненный по схеме «выборказапоминание», трехдекадный делитель частоты, реализованный на м/c 555ИЕ7, фильтр нижних частот, выполненный на основе нелинейного интегратора с дополнительным пропорциональным каналом. Интегратор выполнен по классической схеме на операционном усилителе м/c 544УД2 с конденсатором в цепи обратной связи, зашунтированным встречно включенными стабилитронами. Тип диодов определяет абсолютное значение максимального напряжения интегратора Mf=UMAX. Пропорциональный канал выполнен на м/c 544УД2. Для проведения эксперимента в кольце предусмотрено изменение коэффициента усиления путем переключения зарядных конденсаторов генератора пилообразного напряжения, входящего в состав детектора, изменение постоянной времени интегратора и изменение коэффициента усиления пропорционального канала. Начальные условия задаются выбором коэффициента деления N (начальная расстройка по частоте) и предустановкой делителя (начальная разность фаз). На рис. 4.3,4.4 точками отмечены значения предельных начальных расстроек по частоте, полученных в результате проведенного эксперимента. Следует отметить высокое совпадение полученных результатов с данными компьютерного моделирования. Расхождение составляет не более 5%. Несколько завышенная оценка объясняется в первую очередь ограниченной точностью задания в эксперименте начальных условий по частоте и фазе. Используя полученные результаты, можно сформулировать рекомендации пользователям и разработчикам класса таких систем в виде алгоритмов и рекомендаций по управлению начальным состоянием в кольцах. Как показал анализ, полоса захвата ограничивается движениями второго рода по. Области притяжения этих циклов располагаются в фазовом пространстве системы вблизи верхней границы Ф(y) для отрицательных начальных расстроек, вблизи нижней границы Ф(y) для положительных расстроек и малы по сравнению с областью притяжения состояния синхронизма. Предустановкой нелинейного интегратора в насыщение соответствующего знака (отрицательное для H<0 и положительное для H>0) можно задать в системе начальные условия, которые заведомо приведут к возникновению синхронизма. Таким образом можно существенно расширить область захвата системы. По результатам экспериментальных исследований можно говорить, вопервых, о высоком качественном совпадении с результатами компьютерного моделирования и результатами исследования обобщенной модели. Во-вторых, о высоком количественном совпадения результатов с результатами компьютерного моделирования. 4.4. Экспериментальные исследования цифровой СФС с квадратурным аналого-цифровым преобразователем на входе 4.4.1. Описание программно-аппаратного комплекса «Цифровые системы» Экспериментальные «Цифровые системы», исследования разработанного цифровой на системы фазовой синхронизации проводилось на базе аппаратно-программного комплекса кафедре Ярославского государственного университета «Динамика электронных систем». Комплекс состоит из двух частей: аппаратной и программной. 1. Аппаратная часть комплекса представляет собой лабораторный модуль, состоящий из аналого-цифрового квадратурного преобразователя и блока ввода-вывода информации в компьютер. Его структурная схема показана на рис. 4.5. Квадратурный преобразователь состоит из генератора опорного сигнала фиксированной частоты, двух идентичных смесителей (м/c 526ПС1) соответственно в синфазном и квадратурном каналах, двух фильтром нижних частот, сигналы с которых поступают на два АЦП (м/c 1113ПВ1) блока вводавывода информации. Из блока ввода-вывода кодовые последовательности через плату ввода-вывода поступают в компьютер. Тактовая частота системы равна 32 кГц (время преобразования АЦП 30мкс, количество разрядов n=10), частота ГС 8 мГц, диапазон входных частот 8 мГц ± 10 кГц. 2. Программная часть комплекса представляет собой систему моделирования и анализа цифровых систем произвольной структуры. Узлы моделируемых устройств выбираются из библиотеки элементов. При этом имеется возможность создавать цифровые системы произвольной степени сложности. Модель каждого узла учитывает реальные особенности цифровых устройств, прежде всего это конечность разрядной сетки. Имеется возможность установки параметров узлов и их состояния в начальный момент времени. В качестве входного сигнала системы могут использоваться либо модельный сигнал с генераторов различных типов, взятых из библиотеки элементов «Цифровых систем», либо реальный сигнал, поступающий с аппаратной части комплекса. Наблюдение процессов на выходах отдельных узлов исследуемой системы производится при помощи компьютерных аналогов цифровых измерительных приборов: осциллографа, анализатора спектра, вольтметра и т.д. Причем при исследовании системы с реальным сигналом они могут функционировать в режиме реального времени. Структурная схема синхронно-фазового демодулятора на основе цифровой системы фазовой синхронизации в рабочем окне «Цифровых систем» показана на рис. 4.6. При построении системы полагалось, что все блоки имеют пятнадцать информационных и один знаковый разряд. Блок схема алгоритма работы системы представлена на рис. 4.7. Исследование проводилось в два этапа. На первом этапе синфазная и квадратурная составляющая формировались программным способом, и комплекс функционировал в режиме компьютерного моделирования. На втором этапе сигнал с генератора сигналов поступал на вход квадратурного преобразователя, и комплекс функционировал в режиме реального времени.

Квадратурный преобразователь 526ПС1 140УД Блок ввода информации 1113ПВ См. ФНЧ АЦП U0Cos(гс t) eвх(t) ГС U0Sin(гс t) 526ПС1 140УД БУ РС 1113ПВ См. ФНЧ АЦП Рис. 4.5. Структурная схема лабораторного модуля ЦСФС с квадратурным преобразователем на входе.

Нелинейный цифровой фильтр Квадратурный преобразователь Рис. 4.6. Рабочее окно программно-аппаратного комплекса «Цифровые системы» с моделью цифровой системы фазовой синхронизации.

Начало Ввод параметров, инициализация состояния узлов 1 Получить КSВХ, КCВХ КS = КSВХ КCЦГ, взять старшие разряды КS КФП = КS - КC КУ = КФП SСХ КC = КCВХ КSЦГ, взять старшие разряды КC К = КУ + К Кm = mКУ КУ = Кm + К К = К К = К + КЦФ t = 2К / 2L, L - разрядность сумматора КSЦГ = A sin(t) КCЦГ = A cos(t) Рис. 4.7. Блок схема моделирующего алгоритма ЦСФС с интегратором в цепи управления.

Очевидно, что возможное отличие результатов, полученных на двух этапах исследований, может быть объяснено реальными свойствами квадратурного преобразователя и блока ввода-вывода информации. К числу их в первую очередь относится различие амплитудно-частотных и фазо-частотных характеристик, каналов квадратурного преобразователя и блока ввода информации. 4.4.2. Блок-схема алгоритма экспериментальных исследований Для расчета полосы захвата системы использовалась процедура, подобная методике для импульсной СФС с пилообразной характеристикой фазового детектора и линейным фильтром, описанной в [75]. Введен интервал времени, равный NС - количеству дискретов необходимых для попадания системы в режим синхронизма. В качестве режима синхронизма определим состояние системы, при котором значение частоты выходного сигнала находится в малой окрестности расчетного fвых=fвх сколь угодно длительное время. Начальная расстройка представлялась в виде ступенчатой функции с интервалом равным NС. Величина скачка ступеней функции зависит от желаемой точности измерения. В качестве полосы захвата будем брать минимальное значение начальной расстройки, при которой исчезает режим биений. С учетом сказанного алгоритм расчета полосы захвата может быть сформулирован следующим образом: 1. Выбирается стартовое значение коэффициента усиления кольца SC, в соответствии с выбранным значением задаются параметры узлов системы. 2. Задается значение начальной расстройки H, для которого система находится в режиме биений. 3. Действующее H уменьшается на малую величину, определяемую желаемой точностью измерения, например 0.01. Уменьшение расстройки H производится уменьшением входной частоты. 4. Производится расчет процессов в устройстве на интервале времени NС для различных начальных условий в системе. Анализируется режим биений. Если режим биений сохранился, то происходит возврат к пункту 3.

5. Решение о нахождении системы в полосе захвата принимается при равенстве частот входного сигнала и сигнала цифрового генератора fвых=fвх на протяжении NС. 6. Для продолжения расчета изменяется значение обобщенного коэффициента усиления SC, и происходит переход к пункту 2. Предложенный алгоритм работает также и для отрицательных значений H. Комплекс «Цифровые системы» позволяет задавать состояния всех узлов системы в момент времени n=0. Это делает возможным при исследованиях компьютерной модели однозначно задать начальные условия в системе и построить области существования различных периодических движений в пространстве параметров. Алгоритм данного расчета может быть сформулирован следующим образом: 1. Выбираются параметры обобщенной системы и начальные условия n, xn, соответствующие выбранному периодическому движению «Д».

2. Производится перерасчет параметров обобщенной модели в параметры узлов ЦСФС. Также производится перерасчет значений n, xn в начальные значения кодов узлов ЦСФС. 3. Действующий параметр какого-либо узла «R» уменьшается или увеличивается последовательно, с необходимой точностью. 4. Производится расчет процессов в устройстве на интервале времени NС из состояния системы, полученного при предыдущем значении параметра «R». 5. Если система приходит в желаемое движение «Д», то необходимо вернуться к пункту 3 и продолжить изменение параметра «R». 6. Если система не приходит в желаемое движение «Д», то необходимо произвести обратный перерасчет параметров ЦСФС в параметры обобщенной модели. 7. Для продолжения построения области существования движения «Д» изменяется значение других параметров ЦСФС и происходит переход к пункту 3. 4.4.3. Анализ результатов эксперимента На рис. 4.8, 4.9 приведены зависимости полосы захвата цифровой СФС с нелинейным ПИФом в цепи на управления, рис. 4.9 для полученные фильтра с в результате экспериментальных исследований. ограничивающего фильтра, На рис. 4.8 показаны результаты для пилообразной характеристикой. Сплошной линией показаны зависимости, полученные в результате компьютерного эксперимента, точками показаны результаты исследований с реальным входным сигналом, пунктирной линией показаны соответствующие зависимости, полученные при исследованиях обобщенной модели. Сравнение результатов, приведенных на рис. 4.8, 4.9, позволяет сделать следующие выводы. Во-первых с высокой степенью точности совпали результаты исследований обобщенной и компьютерной (входной сигнал формируется программным способом) моделей для всех параметров ЦСФС, использованных в эксперименте. Это подтверждается зависимостями для ограничивающего (рис. 4.8) и пилообразного (рис. 4.9) пропорционально-интегрирующего с пилообразным интегратором, фильтров. Это подтверждается и результатами исследования областей глобальной устойчивости для ЦСФС приведенные на рис 4. 10. Во-вторых можно говорить и о достаточно хорошем совпадении (единицы процентов) результатов экспериментальных исследований ЦСФС с реальным входным сигналом. Результаты приведены на рис. 4.8-4.10 в виде точек, поставленных рядом с соответствующими кривыми. Некоторое несовпадение объясняется различием амплитудно-частотных и фазо-частотных характеристик каналов квадратурного преобразователя. Используя результаты проведенных аналитических и экспериментальных исследований, сформулируем рекомендации по управлению состоянием системы с целью расширения области захвата. Для ЦСФС с ограничивающим фильтром они будут такими же как и для импульсных систем. Предустановка начального состояния нелинейного интегратора в насыщение соответствующего знака (отрицательное для H<0 и положительное для H>0) гарантированно приводит систему в состояние синхронизма, так как при этом исключается возможность возникновения движений второго рода по, ограничивающих полосу захвата.

З З M=0. M=0. M=0. M= M=1. M=0. M=0.

M=1. M= M=0. SС SС Рис. 4.8. Полоса захвата ЦСФС с ограничивающим ПИФ для d=0.6, m=1.

Рис. 4.9. Полоса захвата ЦСФС с пилообразным ПИФ для d=0.6, m=1.

Анализ движений в системе с пилообразным фильтром показал, что полоса захвата ограничивается циклами второго рода по координате x. В этом режиме происходит постоянное переполнение и сброс нелинейного фильтра. Разность фаз при этом принимает значения определенного знака (положительные для положительных расстроек и отрицательные для отрицательных). Таким образом, для приведения системы в область притяжения состояния синхронизма необходимо предустанавливать знак начальной разности фаз в зависимости от знака частотной расстройки.

4.5. Выводы 1. Для проверки результатов анализа обобщенной модели и проведения дополнительных исследований, учитывающих допущения, сделанные при выводе обобщенной модели, разработана компьютерная модель импульсной и цифровой систем фазовой синхронизации. Модель реализована в виде программного комплекса для ЭВМ и позволяет проводить исследования динамических характеристик системы, включая определение полосы захвата для широкого диапазона изменения параметров системы. 2. С помощью компьютерной результатов модели исследована ИСФС с и и для ограничивающим интегратором в цепи управления. Исследования показали качественное в совпадение модели за счет компьютерного интервала интервала эксперимента дискретизации дискретизации исследований обобщенной модели. Количественные отличия связаны с учетом компьютерной что переменного переменного произвольного времени срабатывания нелинейности фильтра. В частности установлено, положительных расстроек области существования движений, ограничивающих полосу захвата, перемещаются в область меньших усилений. И наоборот, для отрицательных расстроек - в область больших усилений. При этом для положительных расстроек полоса захвата компьютерной модели проходит ниже значений, полученных при исследовании обобщенной модели, для отрицательных расстроек - выше. 3. С целью проверки результатов исследования обобщенной модели ИСФС с нелинейным интегратором разработан лабораторный модуль однокольцевого синтезатора частоты КВ-диапазона. Исследования синтезатора показали высокую степень совпадения экспериментальных результатов и результатов компьютерного моделирования для различных значений физически реализуемых параметров. Подтверждены качественно и количественно все тенденции изменения динамических свойств ИСФС. 4. С целью проверки результатов исследования обобщенной модели цифровых СФС был разработан программно-аппаратный комплекс, позволяющий выполнять компьютерные исследования ЦСФС с нелинейным фильтром и исследовать компьютерную модель. Исследования системы с различными типами нелинейных фильтров 165 в цепи управления:

ограничивающим и пилообразным ПИФ, пилообразным интегратором показали высокое совпадение с результатами исследования обобщенной модели. 5. Применение програмно-аппаратного комплекса в режиме работы с реальным сигналом также подтвердило совпадение с результатами исследований обобщенной модели. Некоторая разница объясняется не функционированием программной части системы (собственно ЦСФС), а неидентичностью преобразователя. 6. Выработаны рекомендации по управлению состоянием системы с целью расширения полосы захвата. Для импульсных и цифровых систем с ограничивающим фильтром они заключаются в предустановке начального состояния интегратора в насыщение, знак которого зависит от знака начальной расстройки. Для цифровых систем с пилообразным фильтром - в предустановке знака начальной разности фаз в зависимости от знака частотной расстройки. квадратурных каналов входного цифро-аналогового Заключение 1. В диссертационной работе исследована нелинейная динамика нескольких типов дискретных систем фазовой синхронизации с нелинейным фильтром в цепи управления, объединенных одной математической моделью. Рассмотрены фильтры с двумя вариантами наиболее часто встречающихся на практике нелинейностей: ограничивающей и пилообразной. Ограничивающая нелинейность характерна для импульсных, цифровых и импульсно-цифровых систем синхронизации, пилообразная - для цифровых и импульсно-цифровых. 2. Предложена обобщенная математическая модель дискретных СФС с нелинейным исследований, фильтром. включая Ее нелинейная динамика явилась объектом и области существования периодических квазипериодических движений, их устойчивость, бифуркации в зависимости от различных параметров, области устойчивости в большом и целом состояний синхронизма. представления 3. Для Обоснован результатов выбор параметров обобщенной модели для исследований, обобщенной обеспечивающий предложена наилучшую методика, физическую интерпретацию результатов исследования. исследования модели основанная на качественно-аналитическом анализе процессов в дискретных системах. Отличительной ее особенностью является анализ структуры фазового пространства на основе выделения в нем областей линейного и нелинейного отображения, линий отображения с заданным изменением координат, и, в конечном итоге, нахождение условий изменения качественного поведения системы. На первом этапе исследуется обобщенная модель с линейным фильтром. На втором этапе на основе полученных данных исследуются свойства системы с нелинейным фильтром. 4. Предложенная методика позволила подробно исследовать процессы в обобщенной модели дискретной СФС с пилообразной и синусоидальной характеристиками детектора без учета нелинейных свойств фильтра. На основе анализа областей существования различных движений получены точные значения полосы захвата ДСФС с линейным ПИФ. В частности, для системы с пилообразной характеристикой детектора разработан простой алгоритм точного определения полосы захвата для широкого диапазона параметров системы.

Его основу составляет доказательство того факта, что полоса захвата ограничивается циклами второго рода с одним проскальзыванием. Для системы с синусоидальной характеристикой детектора показано, что кратные захваты возникают при гораздо больших значениях усиления, чем в системе с пилообразным детектором. Это приводит к расширению полосы захвата в сторону больших усилений для случая узкой полосы фильтра. 5. Для анализа ДСФС с линейным интегратором и пилообразной характеристикой детектора предложен метод качественно-аналитического исследования, основанный на переходе от цилиндрического фазового пространства к торроидальному с границами, исключающими нелинейное отображение по одной из координат. Метод позволил свести всевозможные нелинейные движения по двум координатам к движениям по одной и значительно упростил процесс анализа. Его применение позволило разбить пространство параметров на области существования движений качественно различной структуры. В частности, найдена область параметров, где в системе существуют только кратные захваты. При ограничении начальных частотных расстроек данная область может выступать в качестве области, обеспечивающей устойчивость в целом состояния синхронизма. 6. Выполнен анализ дискретных СФС с ограничивающим фильтром. Исследованы общие свойства систем данного типа. Найдены условия на параметры системы, при которых устойчивость в целом определяется условиями существования состояния равновесия и может быть вычислена аналитически. Описаны возможные периодические движения, их бифуркации в зависимости от параметров системы. Построены графики полосы захвата в зависимости от значений параметров системы. Показано, что область захвата может носить разрывный характер в области больших усилений. Это объясняется возникновением при этих параметрах кратных захватов на границах нелинейности фильтра. 7. Для ДСФС с ограничивающим пропорционально-интегрирующим фильтром и синусоидальной характеристикой детектора установлен факт существования движений, аналогичных состоянию синхронизма. Показано, что в этих режимах нелинейный фильтр находится в насыщении и ДСФС ведет себя подобно системе первого порядка. Установлено, что эти циклы возникают только при отрицательных значениях. Для ДСФС с ограничивающим ПИФ и пилообразной характеристикой детектора установлено существование кроме периодических движений притягивающих множеств двух типов, точки которых располагаются на границах Ф(y) (циклов-интервалов). В пространстве обобщенных параметров (,) цикл-интервал первого типа существует при достаточно больших и ограничивает область устойчивости в целом справа. Цикл-интервал второго типа существует при малых и отрицательных. Он определяет левую границу области устойчивости в целом. Для ДСФС с ограничивающим установлено интегратором и пилообразной периодических характеристикой детектора существование движений второго рода по координате при малых усилениях практически для любых параметров фильтра. 8. Выполнен анализ дискретных СФС с пилообразным фильтром. Исследованы общие свойства систем данного типа. Рассмотрены возможные периодические движения и их бифуркации. Установлено существование в системе семейств периодических движений. Циклы одного семейства имеют одинаковый период и разные абсолютные приращения координат, x. Установлена возможность существования в системе нескольких состояний, эквивалентных состоянию синхронизма. Показано, что эти движения могут существовать даже при отсутствии основного состояния равновесия. Для СФС с пилообразной характеристикой детектора показано, что поведение системы в их окрестности совпадает с поведением системы в окрестности основного состояния синхронизма. Построены графики полосы захвата в зависимости от усиления в системе. Показано, что при малых M полоса захвата этой системы определяется вращательными движениями по координате x. А при увеличении M начинает определяться движениями второго рода по, характерными для систем с линейным фильтром. 9. Установлено, что в ДСФС с пилообразным ПИФ и синусоидальной характеристикой детектора могут существовать устойчивые предельные множества. Они возникают при нелинейном продолжении неустойчивой сепаратрисы седла за границы Ф(y). Рассмотрены возможные типы данных множеств, найдены области их существования в пространстве параметров. Для системы с пилообразным интегратором и синусоидальной характеристикой детектора показано, что область устойчивости в большом для малых M ограничивается движениями второго рода по x и расширяется в сторону увеличения при отличных от нуля расстройках. 10. Исследовано поведение системы с синусоидальной характеристикой детектора при наличии дополнительного шумового воздействия. Показано, что предельные циклы могут разрушаться под воздействием шума, и вследствие этого увеличивается область захвата системы. Путем численного решения уравнения Колмогорова-Чепмена получены области статистической полосы захвата. Установлено, что наибольшее расширение области захвата достигается в системе с пилообразным фильтром, для которого является характерным наличие движений с малыми областями притяжения. 11. Для проверки результатов анализа обобщенной модели и проведения дополнительных исследований, учитывающих допущения, сделанные при выводе обобщенной модели, разработаны компьютерные модели импульсной и цифровой реализована систем в фазовой синхронизации. Модель и импульсной СФС виде программного комплекса позволяет проводить исследования динамических характеристик системы, включая определение полосы захвата для широкого диапазона изменения параметров системы. Моделирование цифровой СФС проведено с помощью программноаппаратного комплекса, позволяющего исследовать работу ЦСФС в режиме компьютерной модели и в режиме реального времени при работе с физическим сигналом. 12. Исследования компьютерной модели ИСФС показали качественное совпадение обобщенной результатов модели. компьютерного эксперимента отличия и исследований с учетом в Количественные связаны компьютерной модели переменного интервала дискретизации и произвольного времени срабатывания нелинейности фильтра. Показано расширение полосы захвата для случая отрицательных расстроек и уменьшение ее для положительных расстроек.

Исследования компьютерной модели ЦСФС системы с различными типами нелинейных фильтров в цепи управления: ограничивающим и пилообразным ПИФ, пилообразным интегратором показали высокое совпадение с результатами исследования обобщенной модели. 13. Для проверки результатов исследования обобщенной модели ИСФС с нелинейным фильтром разработан лабораторный модуль однокольцевого синтезатора частоты КВ-диапазона. Исследования синтезатора показали высокую степень совпадения экспериментальных результатов и результатов компьютерного моделирования для различных значений физически реализуемых параметров. Подтверждены качественно и количественно все тенденции изменения динамических свойств ИСФС. 14. В результате проведенных экспериментальных исследований выработаны практические рекомендации для пользователей и разработчиков по конкретному управлению состоянием ДСФС для достижения наиболее оптимальных режимов работы. В частности, показано, что для увеличения области захвата ДСФС с ограничивающим фильтром необходимо предустанавливать начальное состояние фильтра в насыщение, знак которого зависит от знака частотной расстройки. Это позволит гарантированно привести систему в состояние синхронизма. Аналогично, для ДСФС с пилообразным фильтром, необходимо устанавливать знак начальной разности фаз в зависимости от знака частотной расстройки.

Литература 1. Радиопередающие устройства / Под ред. В.В. Шахгильдяна. - М.: Радио и связь, 1990. - 432 с. 2. Стиффлер Дж. Теория синхронной связи. - М.: Связь, 1975. - 488 с. 3. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.С. Системы фазовой автоподстройки частоты. - М.: Связь. - 1972. - 447 с. 4. Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь: Пер с англ./Под ред. В.В. Маркова.- М.: Связь, 1979. - 592 с. 5. Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами. М.: 1985. С.384. 6. Журавлев В.И. Поиск и синхронизация в широкополосных системах. М.: Радио и связь, 1986.- 240с. 7. Цифровые системы фазовой синхронизации /М.И. Жодзишский, С.Ю. Сила-Новицкий, В.А. Прасолов и др. Под ред. М.И. Жодзишского - М.: Сов. Радио, 1980. - 208 с. 8. Цифровые радиоприемные системы: Справочник. / М.И. Жодзишский, Р.Б. Мазепа, Е.П. Овсянников и др./ Под ред. М.И. Жодзишского - М.: Радио и связь, 1990. - 208с. 9. Жодзишский М.И. Проектирование цифровых устройств обработки широкополосных сигналов. - М.: МАИ, 1986. - 52с. 10. Тузов Г.И., Сивов В.А., Прытков В.И. и др. Помехо-защищенность радиосистем со сложными сигналами /Под ред.Тузова Г.И. - М.: Связь, 1985. 279 с. 11. Тузов Г.И., Прытков В.И. Система синхронизации, использующая сложные фазоманипулированные сигналы // Системы фазовой синхронизации: Сб. науч. ст. М.: 1985. - 126 с. 12. Манасевич В. Синтезаторы частот. Теория и проектирование: Пер. с англ. / Под.ред. А.С. Галина. - М.: Связь, 1979. - 384 с. 13. Шапиро Д.Н., Паин А.А. Основы теории синтеза частот. - М.: Радио и связь, 1981. - 264 с. 14. Системы фазовой автоподстройки частоты с элементами дискретизации / Под ред. В.В. Шахгильдяна. - М.: Связь, 1989. - 320 с.

15. Губернаторов О.И., Соколов Ю.Н. Цифровые синтезаторы частот радиотехнических систем. - М.: Энергия, 1973. - 176 с. 16. Клепацкая И.И. Цифровые синтезаторы частоты для СВЧ возбудителей дискретной сетки частот // Техника средств связи. Сер. Техника радиосвязи. 1981. - вып. 8. - С. 96 - 105. 17. Клепацкая И.И., Киселев Е.В. Цифровые синтезаторы частот ВЧ -, СВЧ - диапазонов // Техника средств связи. - 1983. - вып. 6. - С. 90 - 95. 18. Левин В.А., Малиновский В.Н., Романов С.К. Синтезаторы частот с системой импульсно-фазовой автоподстройки. - М.: Радио и связь, 1989.- 232 с. 19. Рожков А.В., Попов В.Н. Синтезаторы частот в технике радиосвязи. М.: Радио и связь, 1991.- 364 с. 20. Баланов О.А., Кабанов А.И. Принципы построения синтезаторов частоты СВЧ диапазона // Электросвязь. - 1987. - №2. - С. 53-56. 21. Шахгильдян В.В., Пестряков А.В., Кабанов А.И. Общие принципы построения быстродействующих синтезаторов частот на основе ФАПЧ // Электросвязь. - 1983. - №10. - С. 36-42. 22. "Разработка и исследование возбудителей передающих и демодуляторов приемных трактов ЧМ колебаний СВЧ диапаона": Отчет о НИР (заключительный) / Ярославский гос. ун-т. Руководитель Брюханов Ю.А. Ярославль, 1989. - 164 с. 23. Казаков Л.Н. "Разработка и исследование быстродействующих широкополосных синтезаторов частоты" Дис.... канд. тех. наук./ Моск. инст-т радиотехн. электрон. и автомат. - М.: 1988. - 172 с. 24. Шахгильдян В.В., Пестряков А.В. Перспективные направления развития динамической теории дискретных систем фазовой синхронизации для устройств синтеза и стабилизации частот // Электросвязь. - 1993. - №11. - С. 3842. 25. Шахгильдян В. В., Пестряков А. В. Исследование динамики системы ФАПЧ с цифровым интегратором // Системы и средства передачи информации по каналам связи: Сб. научн. ст. - Л.,- 1980. 26. Пестряков А. В. Использование 1990. - Т.35. - Вып. 11. - С. 2334-2340.

метода усреднения для анализа импульсных систем фазовой синхронизации // Радиотехника и электроника. 27. Пестряков А. В. Применение асимптотических методов для анализа дискретной системы фазовой синхронизации // Теоретическая электротехника. Республ. межвед. научн. техн. сб. - Львовский гос. ун-т. - 1989. - Вып. 47. - С. 135-139. 28. Корякин Ю.А., Леонов Г.А. Определение полосы захвата в системах импульсно - фазовой автоподстройки частоты // Радиотехника. - 1977. - Т. 32. №6. - С. 65-72. 29. Карничев А. М., Корякин Ю. А., Леонов Г.А. Аппроксимация полосы захвата многосвязных дискретных систем фазовой синхронизации // Радиоэлектроника. 1982. №1. С. 81-84. (Изв. вузов СССР). 30. Белых В. Н., Максаков В. П. Динамика цифровых систем фазовой синхронизации первого и второго порядка // Динамика систем. 1976. Вып. 11. 31. Белых В. Н., Максаков В. П. Качественное исследование разрывного отображения цилиндра из теории фазовой синхронизации // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Сб. научн. ст. М., 1982. 32. Максаков В. П., Панченко И. О. Оценка области захвата цифровой системы фазовой синхронизации второго порядка // Теоретическая отображения электроника. Львов, 1986. Вып. 41. 33. Белых В. Н., Лебедева Л. В. 776. 34. Лебедева Л.В. Качественное поведение траекторий и бифуркации дискретных фазовых систем. Дис.... канд. физ. мат. наук., Н. Новгород - 1993. 35. Шахтарин Б.И. Квазигармонический метод и его применение к анализу нелинейных фазовых систем.. - М.: Энергоатомиздат, 1987. - 192с. 36. Шахтарин Б.И., Курочка Б.Я., Морозова В.Д. О полосе захвата дискретной ФАП с пилообразной характеристикой // Радиотехника и электроника. - 1986. - № 4. - С. 745-751. 37. Шахтарин Б.И., Курочка Б.Я., Морозова В.Д. Исследование нелинейной ИФАПЧ третьего порядка // Теоретическая электроника: Республ. межвед. научн. технич. сб. - Львовский гос. ун-т. - 1989. - Вып. 47. - С. 83-94. 38. Шахтарин Б.И. Анализ кусочно-линейных систем с фазовым регулированием. - М.: Машиностроение, 1991. - 192с.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.