WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ярославский государственный университет им. П.Г.Демидова На правах рукописи УДК 621.396 Казаков Леонид Николаевич НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ ...»

-- [ Страница 3 ] --

3) бифуркации фазовых портретов, вызванные пересечением сепаратрисных инвариантных многообразий k-кратных седловых точек. На качественном уровне основные закономерности возникновения неподвижных k-кратных точек у отображений 2-го и 3-го порядков повторяются [111]. Переход границ областей локальной устойчивости G1, G-1, G приводит к потере устойчивости неподвижных точек и качественно близким движениям. Границы существования неподвижных точек кусочно-линейных отображений обоих порядков в общем случае при ненулевых частотных расстройках не совпадают с границами локальной устойчивости. В фазовом пространстве границам существования соответствуют границы линейных участков. Это позволяет условие попадания k-кратной неподвижной точки на границу линейности рассматривать в качестве одного из необходимых условий возникновения периодических движений периода k [110]. На рис. 3.1 на плоскости обобщенных параметров, приведены сечения тела локальной устойчивости отображения (1.1.2) для различных значений обобщенного параметра. Сечения имеют форму, близкую к треугольной, и ограничены кривыми G1, G-1, G, соответствующими переходу одного из собственных значений линеаризованной матрицы отображения (1.1.2) через значения ±1 или e ± j. Линия R на сечениях ограничивает область существования простой неподвижной точки, ее уравнение получается из (1.1.2) и имеет вид = g (1 d h).

(3.1.1) - 171 = -1, d = 0,5 h = -0. = -0, d = 0,5 h = -0.25 A B A C C R B а) = d = 0,5 h = -0.25 G A G1 C R G0 G- A б) B = 0, d = 0,5 h = -0.25 B R C в) г) Рис.3.1. Сечения тела локальной устойчивости СФС 3-го порядка Особенность перехода границ устойчивости в случае отображения 3-го порядка состоит в большом многообразии возможных комбинаций собственных значений линеаризованной матрицы А, сответствующих границе. Таблица 1 Собственные значения матрицы A 1) 0 < 1 < 1, 0 < 2 < 1, 0 < 3 < 1, Тип устойчивой точки устойчивый узел 1-го типа устойчивый узел 2-го типа устойчивый узел 3-го типа 1, 2, 3 - веществ.

2) 1 < 1 < 0, 1 < 2 < 0, 1 < 3 < 0, 1, 2, 3 - веществ.

3) 0 < 1 < 1, 1 < 2 < 0, 1 < 3 < 0, 1, 2, 3 - веществ.

- 172 4) 0 < 1 < 1, 0 < 2 < 1, 1 < 3 < 0, устойчивый узел 4-го типа устойчивый фокус 1-го типа устойчивый фокус 2-го типа устойчивый фокус 3-го типа устойчивый фокус 4-го типа 1, 2, 3 - веществ.

5) 0 < 1 < 1, 0 < Re ( 2, 3 ) < 1 - веществ., 2, 3 - компл.-сопр.

6) 0 < 1 < 1, 1 < Re ( 2, 3 ) < 1 - веществ., 2, 3 - компл.-сопр.

7) 1 < 1 < 0, 0 < Re ( 2, 3 ) < 1 - веществ., 2, 3 - компл.-сопр.

8) 1 < 1 < 0, 1 < Re ( 2, 3 ) < 1 - веществ., 2, 3 - компл.-сопр.

В соответствие с табл. 1 потере устойчивости неподвижной точки при переходе через границу G1 соответствуют три типа узлов, при переходе границы G-1 также три типа узлов, при переходе колебательной границы G четыре типа фокусов. Переход через границы G, G-1 происходит на линейных участках функций F1() и Fc() и сопровождается соответственно бифуркациями устойчивый фокус - комплексное седло, устойчивый узел вещественное седло. Как и в случае отображений 2-го порядка данные бифуркации приводят к возникновению инвариантных замкнутых кривых, представляющих собой квазипериодические движения (см. п. 2.1). В силу существования для кусочно-линейных отображений границы R (при g0), не совпадающей с G1, в общем случае бифуркации возникновения как простых так и k-кратных неподвижных точек происходят на этой границе. При этом рождается неподвижная точка (один из типов устойчивого узла либо фокуса) одновременно с одним из типов седловой неподвижной точки. Исчезновение неподвижной устойчивой точки происходит также на границе R в результате слияния устойчивого узла либо фокуса с седловой точкой с последующим образованием потока уплотненных траекторий. Условие возникновения пары неподвижных точек на границах кусочно-линейных отображений будет положено ниже в основу методики расчета бифуркационных параметров. Образование квазипериодических движений в условиях существования неподвижных точек определяется взаимным расположением инвариантных - 173 y а б б y а x б а x а) седло–узел (1,2,3= 1.1;

0.3;

0.8) y б) седло–фокус (1,2,3 = 1.1;

0.6±0.5i) y x а x а в) седло–фокус (1,2,3 = 0.8;

0.9±0.7i) y а y г) седло–узел (1,2,3 = 1.1;

-0.6;

0.4) x б а x д) седло–фокус (1,2,3= -1.2;

0.5±0.4i) е) седло–узел (1,2,3 = 0.5;

-1.1;

1.2) Рис. 3.2. Фазовые портреты в окрестности седловой точки разного типа - 174 сепаратрисных многообразий простой или k-кратной седловой неподвижной точки. Отличие от отображения 2-го порядка состоит в большем числе типовых фазовых портретов в окрестности седловой точки, определяемых разнообразием самой точки. На рис. 3.2а-е приведены фазовые портреты в окрестности основных типов седловой точки. Для седловых неподвижных точек, приведенных на рис. 3.2а,б,г,д, входящее сепаратрисное многообразие является двумерным, выходящее - одномерным. Для точек, приведенных на рис. 3.2в,е, входящее сепаратрисное многообразие является одномерным, выходящее - двумерным. При анализе условий возникновения квазипериодических движений, необходимо учитывать характер движения в окрестности входящих и выходящих многообразий. Для части приведенных на рис. 3.2 седловых точек, квазипериодические движения не реализуются. Как и в системе второго порядка, не имеет смысла рассматривать варианты, при которых хотя бы для одного из корней выполняется неравенство Rei < –1, так как знакопеременный относительно устойчивого сепаратрисного многообразия характер движения всегда приводит к попаданию в окрестность устойчивого состояния равновесия. Во-вторых, аналогичные соображения позволяют сделать вывод о невозможности существования рассматриваемого квазипериодического движения в случае, когда комплексно-сопряженные корни являются неустойчивыми. При этом траектория движения по неустойчивому участку представляет собой спираль вокруг устойчивой сепаратрисы, в результате чего часть выходящего многообразия также принадлежит области притяжения устойчивого состояния. И в-третьих, анализ характеристического уравнения для неустойчивого участка в широком диапазоне изменения параметров показал, что в рассматриваемой системе не реализуется вариант седла, при котором существует два положительных неустойчивых действительных корня. Все выше сказанное позволяет при анализе условий существования рассматриваемого типа движений ограничиться рассмотрением варианта, при котором выходящее сепаратрисное многообразие является одномерным, а входящее двумерным. Граничное значение для возникновения квазипериодических движений в этом случае, так же как и для системы второго порядка, определяется из условия касания сепаратрисными многообразиями друг друга (см. п. 2.2).

- 175 3.2. Методика расчета бифуркационных параметров неподвижных точек кусочно-линейных отображений Предлагаемая в разделе методика расчета бифуркационных параметров кусочно-линейных отображений 3-го порядка является развитием методики, предложенной для систем 2-го порядка. Она основана на утверждениях о возможности возникновения неподвижных точек на границах линейных участков функций Fс() и F1(). Для возникновения простых неподвижных точек данных утверждений достаточно. Для возникновения k - кратных неподвижных точек сформулированные утверждения выступают в качестве необходимых. Достаточность, как и в случае систем 2-го порядка, обеспечивается дополнительным структурным условием (п. 2.2). 3.2.1. Модель СФС с пилообразной нелинейностью Пусть F()=F1(). В силу периодичности F1() фазовым пространством отображения (1.1.2) будет трехмерный цилиндр, сечения развертки которого показаны на рис. 3.3. На рис. 3.3а приведено сечение фазового пространства плоскостью yn = 0, на рис. 3.3б - плоскостью xn = x01. (x01- координата равновесного состояния). Прямые L,0 (АВ), Lx,0 (CD) и Ly,0 являются сечениями поверхностей отображения с сохранением координат, x и y соответственно. Уравнения этих поверхностей могут быть получены из (1.1.2) соответственно при n +1 = n, xn +1 = xn, y n +1 = y n : L,0 : x=, Lx,0 : x=(y– +g)/(1–d), Ly,0 : y=hx –. Поверхность отображения с сохранением координаты y определена при условии xn = x01. Следует отметить, что в уравнение для L,0 не вошла координата y, значит рассматриваемая поверхность перпендикулярна плоскости y = 0. Кроме того, поверхность L,0 проходит через начало координат, и, как и в системе 2-го порядка, не зависит от нормированной начальной расстройки g. Точка пересечения указанных поверхностей является равновесным состоянием системы (одновременно выполняются условия n+1 =n, xn+1=xn и yn+1=yn ) и имеет координаты O(01, x01, y01). (3.2.1) - 176 y C (1,0,0) B (1,,0) G (1,2+,0) Q (0,1,0) 0 (0,1,0) Q L*x,0 (1,0,0) D x Q - L*,0 A L (1,2,0) U (1,4,0) (2,0,0) а) B' y x = x _ r lj * qj L' Q' 1 G' (-1, x 01,0) (1, x 01,0) U' б) Рис. 3.3. Сечения фазового цилиндра СФС 3-го порядка По аналогии с системой 2-го порядка могут быть найдены области пространства, стартуя из которых решение (1.1.2) попадет на границы периода нелинейности F1() n=1 и n= –1. Искомые области представляют собой набор плоскостей GQ,m (индекс m - номер периода F1(), на границу которого попадает решение), уравнения которых имеют вид : GQ,m : x=(-1) +2m-1, m=1,2,3... и GQ,m : x=(-1)+2m+1, m=-1,-2,-3... (3.2.3) В (3.2.2) и (3.2.3), как и в уравнение для L,0, не вошла координата y, следовательно данные плоскости перпендикулярны плоскости yn = 0. (3.2.2) - 177 Стрелками показаны направления движения вектора состояния r qn (n, xn, yn) вдоль направлений n и xn при отображении в каждой из четырех зон, образованных отрезками AB и CD. На рис. 3.3а заштрихованы области нелинейного отображения с выходом соответственно за границы n=+1 и n=–1 развертки фазового цилиндра – Q1 и Q-1. С двух сторон области Q1 и Q-1 ограничены плоскостями n=±1, с третьей плоскостью x=1–(1–) для Q1 (отображение в направлении увеличения xn) и плоскостью x=–1–(1–) для Q–1 (отображение в направлении уменьшения n ). По направлениям yn и одному из направлений xn области Q1 и Q–1 неограниченны. Между областями Q1 и Q–1 находится область Q0, отображение из которой происходят линейно. При нелинейном отображении область Q1 переходит в область Q 1. При этом точка B(1,,0) отображается в точку B'(–1, d–+g, h–);

L(–1, 2–,0) в точку L'(–1, d(2–)++g, h(2–)–), и т. д. r Изменение координаты [qn ]y вектора состояния в области Q1 приводит к r изменению координаты вектора [qn+1 ]x в Q 1 : при увеличении (уменьшении) r r [qn ]y - увеличивается (уменьшается) [qn+1 ]x. Таким образом, вся область Q1 отображается в бесконечную по оси xn полосу, ограниченную по оси n плоскостями n=±1 и еще дополнительно двумя параллельными плоскостями, являющимися отображениями плоскостей n=±1.

Аналогичные рассуждения приводят к построению области Q 1, которая является отображением Q–1. Необходимо заметить, что наблюдается пересечение областей Q 1 и Q–1, а также Q 1 и Q1, что принципиально отличает рассматриваемую систему от системы второго порядка. Рассмотрим итерации с начальными условиями из произвольного вектора r r r состояния q0 = ( 0, x0, y 0 ). Согласно (1.1.2) вектор qn выразится через q0 следующим образом:

n1 r rr nr qn = A q0 + A j ( r + pn j 1 ), j = (3.2.4) где A - линеаризованная матрица, соответствующая (1.1.2) - 178 1 F1/ ( ) 1 0 A = F1/ ( ) d 1, F1/ ( ) h r при линейном отображении p j = ( 0, 0, 0 ) Т, в случае нелинейного отображении r p j = ( ±2, 0, 0 ) Т, при этом знак "+" соответствует выходу за границу =–1, знак r "–" соответствует выходу за границу x=+1. Вектор p j возвращает вектор состояния системы на (j+1)–ом шаге в интервал [–1;

1] по координате x. Перепишем (3.2.4) в виде:

r r r n1 r qn = A nq0 + ( E A n ) ( E A ) 1 r + A j pn j 1.

j = (3.2.5) Для существования цикла периода k необходимо выполнение условия r r замыкания – qk = q0. С учетом этого условия из (3.2.5) следует выражение для вектора начальной точки цикла:

k 1 r r r k 1 q0 = ( E A ) ( A j pk j 1 ) + ( E A ) 1 r. j = (3.2.6) Выражение (3.2.6) можно рассматривать как первое необходимое условие существования цикла - условие замыкания. Вторым условием является нахождение всех векторов состояний цикла заданной структуры в пределах интервала n 1 - структурное условие. Выполнение этого условия означает, что все вектора состояний цикла находятся в соответствующих им областях Q1, Q0, Q-1. В противном случае (3.2.6) может формально привести к некоторому состоянию, не являющемуся точкой цикла. Сформулированные условия необходимы и достаточны для существования цикла заданной структуры. Аналогично дискретной СФС 2-го порядка можно показать, что произвольный цикл, существующий в системе с нелинейностью F1(), устойчив при выполнении условий локальной устойчивости отображения (1.1.2). Рассмотрим цикл структуры (u/k), где u - количество нелинейных отображений на периоде цикла, k - период цикла. Для предельного цикла 1-го рода u=0, для предельного цикла 2-го рода в случае вращения по координате в сторону увеличения u > 0, в случае вращения в сторону уменьшения - 179 координаты - u < 0. В соответствии с (3.2.6) вектор произвольной точки цикла можно представить в виде r rr q j = l j + gb, j = 1...k, (3.2.7) k 1 r r r r где l j = ( E A k ) 1( A j pk j 1 ), b = ( E A ) 1( 0,1,0 ) T ;

l j - вектор, зависящий r от структуры цикла и выбора начальной точки, b - вектор, не зависящий ни от структуры цикла, ни от его начального состояния. При изменении g происходит смещение всех точек цикла в фазовом r пространстве вдоль вектора b. Это может привести как к возникновению, так и к разрушению цикла вследствие перехода точек цикла между областями Q1, Q0, Q–1, а также при пересечении векторами точек цикла плоскостей n= ±1. Найдем условия на обобщенную расстройку g, при которой существует цикл заданной структуры (u/k). Для этого воспользуемся сформулированными выше условиями существования цикла. Из (3.2.7) определим значения r обобщенной расстройки g – j и g+ j, при которых вектор состояния q j пересекает соответственно границы n= –1 и n= 1 соответственно: r r 1 [l j ]1 + 1 [l j ]1 r g =,g j = r j [b ]1 [b ] j = (3.2.8) Все точки цикла пересекут плоскость n= –1 при выполнении условия g > max( g ), хотя бы одна точка цикла пересечет плоскость n=1 при j j =1...k выполнении условия g < min ( g + ). Цикл может существовать при j j =1...k max( g )< min ( g + ) j j j =1... k j =1...k (3.2.9) j =1... k j =1... k в диапазоне расстроек max ( g ) < g < min ( g + ). j j Таким образом, для вычисления диапазона начальных расстроек, при которых существует цикл, необходимо для каждой точки цикла вычислить два значения обобщенной расстройки (3.2.8) и найти диапазон g, удовлетворяющий условию (3.2.9) для всех точек цикла. Рассмотрим условия существования ПЦ1. Очевидно, их появление наиболее вероятно в фазовом пространстве, для которого характерно симметричное или близкое к нему расположение плоскостей отображения.

- 180 Согласно рис. 3.3 это касается в первую очередь плоскости отображения с сохранением координаты xn (сечение СД). Для обеспечения симметрии эта плоскость должна проходить вблизи начала координат, что возможно при малых и равных нулю g. Соответственно, при увеличении g должно происходить разрушение циклов 1-го рода. Согласно структуре цикл ПЦ1 должен содержать четное число нелинейных отображений. При этом, так как каждая нелинейная итерация сопровождается попаданием вектора состояния в соответствующие области Q±1, то можно утверждать, что с ростом g последним исчезнет ПЦ1 с наименьшим числом нелинейных итераций, т.е. с двумя (одна в положительном направлении изменения координаты, другая - в отрицательном). Данное утверждение подтверждается расчетами и будет использовано ниже. Более того, можно показать, что существуют только ПЦ1 структуры (0/2). Объяснение этому состоит в том, что движение из Q 1 в Q–1 и из Q 1 в Q1 невозможно. Исключение составляет ситуация, когда все точки цикла находятся в областях, являющихся пересечением Q 1, Q–1 и Q 1, Q1 соответственно. Это выполняется при k=2.

m 1= m 2= 0 1= 2= 5 0. D Рис. 3.4. Области существования предельного цикла 1-го рода с k = 2 На рис. 3.4 приведены зависимости максимальной частотной расстройки, при которой возникают ПЦ1 от коэффициента усиления в системе D. С ростом D наблюдается линейное увеличение расстройки, при этом существует максимум для некоторых значений 1, 2. Для приведенных графиков такой максимум соответствует 1 =1, 2 =2. С ростом m1, m2 области существования ПЦ1 уменьшаются и при m1, m2 порядка 0.4..0.5 исчезают полностью.

- 181 В отличие от ПЦ1 для ПЦ2 характерно постоянное увеличение координаты в случае > 0 и уменьшение в случае < 0. Условия для существования циклов данного типа возникают при нарушении симметрии фазового пространства, т.е. при увеличении. При этом, как и в дискретной ФАС 2-го порядка, с ростом первыми возникают простейшие циклы структуры (1/k). Это подтверждается результами, приведенными на рис. 3.5, 3.6. Показаны типичные зависимости минимальной от усиления в системе, при которой возникают циклы структуры (1/k) и (2/k). Правая граница кривых определяется условиями локальной устойчивости. Перегибы на кривых объясняются рождением цикла с новым значением периода.

u= u= m 1= m 2= 0 1= m 1 = 0.3 m 2 = u= 1= 1 2= u= 2= 5 2= 2 2 = 0. 2= 2 2 = 0. 0. D D Рис. 3. Рис. 3. Из приведенных графиков видно, что циклы структуры (2/k) возникают при гораздо больших значениях начальной расстройки, при этом с ростом m1 (рис. 3.6) граница их возникновения еще сильнее сдвигается в сторону больших. Аналогичная тенденция наблюдается и с ростом 1, 2. Следует отметить, что циклические движения с u>2 возникают при еще больших. Таким образом, для определения верхней границы начальной расстройки = max достаточно проанализировать ПЦ2 структуры (1/k), что существенно упрощает задачу определения полосы захвата системы.

- 182 Алгоритм определения полосы захвата Построим алгоритм определения полосы захвата. В основе его лежит условие возникновения простейших предельных циклов 1-го и 2-го рода. При этом в общем случае необходимо определить два значения начальной расстройки min, max. При < max исчезают все ПЦ2, при > min исчезают все ПЦ1. Найдем max, для этого определим значение k, при котором возникают ПЦ2 структуры (1/k). Для определенности будем считать начальным состоянием на цикле состояние, в которое приходит система после нелинейного r отображения через границу n=1. Для этого случая p j = ( 0,0,0 ) T, 0 j < k-1;

r r pk 1 = ( 2,0,0 ) T. Согласно (3.2.6) вектор начального состояния q0 будет иметь вид r r r r pk 1. (3.2.10) + q0 = E Ak E A Цикл 2-го рода периода k будет существовать при выполнении условий (3.2.9) и возникнет с учетом (1.1.2) и (3.2.8) при частотной расстройке 1 + 2[( E A k ) 1 ]11 = [( E A) 1 ] k (3.2.11) Граница возникновения циклов определится выражением k = max = min ( 2 ). k =1...k max (3.2.12) Осталось найти k, для которого найденное значение начальной расстройки будет наименьшим, определяющим граничное условие возникновения ПЦ2. Алгоритм предлагает задание некоторого kmax, заведомо превышающего искомое k. Рекомендации выбора kmax аналогичны системе 2-го порядка (р. 2.3) и сводятся к следующему. В случае комплексных собственных значений r матрицы A поведение вектора l носит колебательный характер по параметру k (конец вектора с ростом периода цикла k описывает закручивающуюся спираль вокруг точки (-2,0,0) и в качестве kmax достаточно взять половину периода колебаний. В случае действительных собственных значений возможны две ситуации. r Если распределение вектора l носит монотонный характер при стремлении к r точке (-2,0,0), то = 2 = 1. Если у распределения l имеется максимум, то - 183 достаточно в качестве kmax взять значение k, соответствующее этому максимуму. Определим min, для этого найдем значение, при котором исчезают ПЦ1 структуры (0/k). Точки таких циклов расположены на двух периодах нелинейности F(). Будем считать, что на одном периоде нелинейности цикл имеет k1 точек, а на другом - k2 точек (k1+k2=k). Из (3.2.6), (3.2.7) получим аналогичное (3.2.10) выражение для двух r r начальных векторов q01 и q02 (вектора состояний цикла, в которые система приходит после двух нелинейных отображений с переходом соответственно границ фазового цилиндра =1 и =–1) : r r r r p + A k 2 1 p+ r, + q01 = E A ( E Ak ) (3.2.13) r r r r A k 1 1 p + p+ r q02 = + E A ( E Ak ) r r где: p = ( 2, 0, 0) T, p + = ( 2, 0, 0) T. По аналогии с (3.2.11) можно выписать k k выражения для двух значений расстройки 11 и 12, соответствующих r r нахождению начальных векторов q01 и q02 на границах развертки цилиндра.

Границей возникновения цикла 1-го рода периода k будет условие k k 1k = min( 11, 12 ).

(3.2.14) Для отыскания граничного значения, определяющеего возникновение ПЦ1, необходимо выбрать максимальное значение расстройки из всех найденных для существующих циклов, т.е. = min = max ( 1k ). При этом k =1...k max максимальные анализируемые k1 и k2 выбираются аналогично ПЦ2. На рис. 3.7 приведены зависимости полосы захвата импульсной СФС с F1() в пространстве параметров (,D), построенные в соответствии с предложенным выше алгоритмом. Расчет произведен для различных значений 1, 2 и m1. Верхняя граница области определяется ПЦ2, нижняя - ПЦ1.

Анализ приведенных зависимостей с позиции глобальной устойчивости ФАС позволяет сделать следующие выводы: 1. С ростом 1, 2 области устойчивости по усилению D расширяются. Наиболее значительное увеличение наблюдается при больших m1. Например, для m1=0.8 при увеличении 1, 2 от значений 0.5...0.8 (рис. 3.7а) до значений - 184 2...4 (рис. 3.7б) области устойчивости по параметру D увеличиваются в 2...4 раза.

1=0.5 m2=0 2=0. 1=1 m2=0 2= m1=0.8 0. m1=0.8 0. 0. D D а) б) Рис. 3.7. Полоса захвата СФС 3-го порядка с F1() 2. Граница областей глобальной устойчивости по начальной расстройке также значительно расширяется с ростом 1, 2. Однако зависимость от m1 носит более сложный характер. Вблизи границ локальной устойчивости наблюдается уменьшение верхней границы с ростом m1. Наоборот, в дальней зоне от границы локальной устойчивости (средние D) наблюдается существенное увеличение верхней границы с ростом m1. 3. Ограничение устойчивости снизу по частотной расстройке (ограничение циклами 1-го рода) наиболее сильно проявляется при малых m1 и, как отмечалось выше, носит немонотонный характер. Наиболее существенное ограничение наблюдается при больших D (рис. 3.7б) и может достигать значений 0.3...0.4. Существование циклов 1-го рода приводит к иному, в отличие от общепринятого, понятию полосы захвата. Поскольку эти циклы существуют при малых расстройках, а циклы 2-го рода при больших, то нужно говорить в общем случае о диапазоне частотных расстроек, в котором обеспечивается режим синхронизма при любых начальных условиях :

min max, (3.2.15) - 185 где min- граница возникновения ПЦ1, max - граница возникновения ПЦ2. На первый взгляд ПЦ1 могут создать определенные трудности в практическом использовании рассматриваемых систем, поскольку режимы с малыми расстройками находят широкое применение. Однако, как показывает анализ, эти циклы возникают при значениях, близких к ±1, и обладают незначительной областью притяжения. В этом случае за счет управления начальной фазой от них легко избавиться. Другой эффективный путь использование треугольной нелинейности.

3.2.2. Модель СФС с треугольной нелинейностью Пусть F()=Fс().

Основные закономерности возникновения периодических движений 2-го рода и квазипериодических движений в системе 3-го порядка с треугольной нелинейностью повторяют на качественном уровне результаты, полученные для системы 2-го порядка (п. 2.2.2, 2.3.2). При этом качественно повторяются как итоговые зависимости, так и механизмы, объясняющие их. В связи с этим ниже на них подробно останавливаться не будем. Количественные отличия будут продемонстрированы на ряде графиков, посвященных анализу полосы захвата. Совершенно иная ситуация с циклами 1-го рода, существование которых было установлено в системе с пилообразной нелинейностью. Анализ их представляется важным, поскольку они, как было показано, возникают при малых начальных расстройках и ограничивают область захвата по частоте снизу. Исследования показали, что при условии локальной устойчивости равновесного состояния существует предельный цикл периода k=2 структуры 0/2. Данный цикл возникает в области малых расстроек по частоте и близкой к пилообразной нелинейности Fс(). При этом точки цикла располагаются симметрично относительно равновесного состояния на краях устойчивого участка Fс(). Сечения фазового пространства при пилообразной характеристике детектора и нулевой приведены на рис.3.8. На рис. 3.8а показано сечение фазового пространства плоскостью y = y01, на рис. 3.8б – r r плоскостью x = x01. Вектора q01 и q02 соответствуют начальным точкам цикла. Структура возникающего движения такова: стартуя из пересечения областей Q1 и Q1 (область следующего периода нелинейности Fc(), в + - 186 которую отображается вектор состояния в случае возрастания координаты ), изображающая точка попадает на предыдущий период характеристики в область Q1 (область предыдущего периода нелинейности Fc(), в которую отображается вектор состояния в случае убывания координаты ), одновременно оказываясь в области Q1+. В результате на следующем шаге система возвращается в исходную точку, цикл замыкается. Таким образом, сама структура предельного цикла 1-го рода предполагает симметричность фазового портрета. При нарушении этой симметрии, которое возможно вследствие увеличения расстройки или изменения формы характеристики, разрушается и сам цикл.

x Q1+ N O M r q 11 r q x Q1+ N M O r q Q Mr q Q M a) y Q N N a) y Q r q r q r q Q1 + r q Q1 + б) б) Рис. 3.8.

Рис. 3. Фазовые портреты при выборе параметров на границе области существования цикла приведены на рис. 3.9 и рис. 3.10. На первом из них показано движение для > 0, стационарное состояние O смещено из начала координат. Точки цикла располагаются симметрично относительно точки O, но r при этом вектор q02 оказывается на границе периода характеристики. Дальнейшее увеличение начальной расстройки приводит к выходу этой точки за пределы периода характеристики, в результате чего цикл разрушается.

- 187 На рис. 3.10 симметрия фазового портрета нарушена за счет изменения формы характеристики с пилообразной на треугольную при = 0. Такое изменение приводит к смещению границ устойчивого участка, в результате которого обе точки цикла оказываются на его границах. При дальнейшем уменьшении c эти точки оказываются за пределами устойчивого участка характеристики, цикл разрушается. Количественную оценку границы циклов 1-го рода можно получить, рассмотрев изменение области их существования в пространстве параметров при изменении формы характеристики. На рис. 3.11 приведены области существования ПЦ1 на плоскости D, для разных значений с. Границы областей представляют собой почти прямые линии, наклон которых зависит только от параметров фильтра (1, m1, 2, m2 ). Изменение с не приводит к изменению формы этих кривых, а смещает их по оси абсцисс. Циклы ПЦ1 исчезают в двух случаях: во-первых, при некотором максимальном значении параметра cmax ;

во-вторых, при пилообразной характеристике детектора и определенных параметрах фильтра.

x Q 1+ N O r q 12 N M r q Q a) M y Q r q r q Q1 + б) Рис. 3.10 На рис. 3.12 приведены зависимости cmax от постоянной времени одного из звеньев фильтра. Можно отметить сильное влияние параметров на приведенные зависимости.

- 188 С практической точки зрения интерес представляют параметры фильтра, при которых предельные циклы 1-го рода (режим квазисинхронизма) невозможны. На рис. 3.13 приведены области существования ПЦ1 на плоскости 1, 2 при равных коэффициентах форсирования m1, m2. Для m1 = m2 = существует граница, близкая к прямой линии, выше которой циклов не существует. С увеличением m1, m2 область существования циклов симметрично ограничивается по 1, 2 и исчезает при m1 = m2 0.165. На рис. 3.14 показаны области существования ПЦ1 для m1=0 и различных m 2. С ростом m 2 наблюдается значительное уменьшение области существования по координате 2. Анализ приведенных результатов показывает, что факт существования циклов 1-го рода при пилообразной или близкой к ней характеристике детектора определяется только параметрами фильтра и не связан с усилением системы.

cmax 0.5 0. 0.05 с=1.0 0.0 0. 0. 0. 0. 2=3. 0. 1. –0. 0. –0. 0. 0. 1. 1. D 0.9 0. 0.2 0.3 0. 1. 2.0 3. 5. Рис. 3. Рис. 3. Для пилообразной нелинейности предельных циклов 1-го рода, отличных от 0/2, не существует. Это объясняется тем, что для существования цикла первого рода необходима смена направления движения по координате, обусловленная нелинейным отображением. Для F1() это возможно только в том случае, когда появляется возможность перехода из области Q1 в область + Q1 и возврата обратно в исходное состояние. При условии локальной устойчивости равновесного состояния такой возможности нет – система при - 189 движении из рассматриваемых областей обязательно попадает в область притяжения состояния синхронизма (исключение составляет случай, когда указанные области Q1 и Q1 пересекаются ) [110]. + 5. 0.05 5.0 3.0 0.1 0.2 0.3 0.5 m1= 0. 3.0 2.0 1. 0. 2.0 1. 0. 0.5 0.3 0.2 0. 0. 0.5 0. m1=m2=0. 0. 0. 0.2 0.3 0. 1. 2.0 3.0 5. 0. 0.2 0.3 0. 1. 2.0 3.0 5. Рис. 3. Рис. 3. Для треугольной нелинейности изменение направления движения по координате x может происходить на неустойчивом участке Fc(), при этом возврат на устойчивый участок характеристики будет происходить вблизи выходящей сепаратрисы седла. Формально появляются условия для возникновения предельных циклов 1-го рода другой структуры. Однако при условии локальной устойчивости такое движение всегда приводит систему в область притяжения равновесного состояния. Режим квазисинхронизма, отличный от простейшего ПЦ1, существовать также не может. Отметим, что за границей локальной устойчивости подобные режимы возникают и в зависимости от параметров системы и начальной расстройки могут быть как периодическими, так и квазипериодическими. На рис. 3.15 и 3.16 приведены зависимости полосы захвата импульсной СФС 3-го порядка от усиления и параметров нелинейности на плоскости D, D (рис. 3.15а,б) и плоскости 1/с, D (рис. 3.16а,б). Приведенные зависимости качественно повторяют кривые, полученные для импульсной СФС 2-го порядка. Общая тенденция заключается в увеличение полосы захвата с ростом 1, 2 и m1, m2. Принципиальное отличие - 190 состоит в ограничении области захвата снизу для пилообразной нелинейности за счет возникновения ПЦ1 (рис. 3.15а). Аналогичное ограничение наблюдается для Fс() при значениях c, близких к единице. Для сравнения на рис. 3.15б точками показаны результаты, полученные в [9,73] методом Монте-Карло. Зависимости, приведенные на рис. 3.16, позволяют проанализировать полосу захвата при изменении длительности устойчивой ветви характеристики детектора и ответить на вопрос о ее оптимальной величине. Как и в случае импульсной СФС 2-го порядка, при малых D наблюдается слабая зависимость полосы захвата от формы характеристики. Имеет место некоторый проигрыш для Fc(), увеличивающийся с ростом крутизны устойчивой ветви.

D D 0. m1=m2=0 1=1.0 2=2.0 0. 1=10.0 2=100. c=0.5 m1=m2= 0. 0. 0. 0.5 c=1. 0. 1=1.0 2=100.0 1=1.0 2=10.0 1=1.0 1=1.0 =1.0 2=0.1 0.1 0. 0. 0. 0. 1. 1. D 0. 0. 1. 1. D а) б) Рис. 3.15. Полоса захвата импульсной СФС с Fс() С ростом D (до границы локальной устойчивости) за счет сдвига границы возникновения квазипериодических движений в сторону больших максимум полосы захвата обеспечивается в случае Fc(). При различных соотношениях параметров фильтра выигрыш по полосе захвата может достигать по сравнению с F1() до 50%. На рис. 3.16а показаны также ограничения области захвата снизу за счет ПЦ1. Избавиться от подобных ограничений можно за счет увеличения крутизны (уменьшения длительности) устойчивого участка характеристики.

- 191 D m 1= m 2= 0 1 = 1.0 2 = 2. D 1.0 0.3 0.5 1. 0. 0.2 D = 0.2 1.0 0.1 0. 0. D =0. 0. 0.0 1. 1. 1. 1. 1. 1/c 0.0 1. m 1 = 0.2 m 2 = 2.0 1 = 1.0 2 = 2. 1. 1. 1. 1. 1/c а) б) Рис. 3.16. Зависимость полосы захвата от параметра нелинейности Таким образом, если для импульсной СФС 2-го порядка в ряде случаев пилообразная нелинейность может оказаться достаточно оптимальной (малое усиление, малая инерционность фильтра), то в СФС 3-го порядка переход к треугольной характеристике детектора может быть связан не только с обеспечением максимально возможных полос захвата, но и обеспечением гарантированного захвата в области малых расстроек.

3.3. Установившиеся процессы в импульсной СФС с колебательным звеном В разделе изучается нелинейная динамика кусочно-линейной импульсной СФС 3-го порядка с фильтром в цепи управления, представляющим собой последовательный колебательный контур. Основное внимание уделяется анализу движений в системе для случая высокой добротности контура. Для малой добротности поведение системы качественно не отличается от системы с двойным ПИФ (п. 3.2) и рассматриваться не будет [111]. Основу исследований составляет методика и алгоритмы, предложенные в предыдущих разделах. Анализ начнем с колебательных движений.

- 192 Предельные циклы 1-го рода На рис.3.17 в пространстве параметров D, приведены области существования цикла 1-го рода с k = 2 при изменении параметров нелинейности Fc(). Как и в случае системы с двойным ПИФ, границы области представляют собой почти прямые линии, наклон которых зависит только от параметров фильтра. Уменьшение длительности устойчивого участка характеристики не приводит к изменению формы этих кривых, а только смещает их по оси абсцисс. Для каждого набора параметров и начальной расстройки существует cкр, определяющее границу существования ПЦ1. Сравнение с областями существования ПЦ1 в системе с двойным ПИФ (рис. 3.11) позволяет сделать вывод о существенно большем размере областей в системе с колебательным звеном, при этом колебания существуют при меньших с. На рис. 3.18 приведены зависимости cкр от резонансной частоты колебательного контура. Необходимо отметить сильное влияние параметров фильтра на приведенные зависимости. Особенно это проявляется в области малых затуханий. Так, при < 0.1 имеется область значении резонансной частоты, при которой рассматриваемый цикл существует даже для очень малых c (cкр = 0.2 при = 0.1). При малом затухании наблюдаются резкие спады при (2k +1), k = 0,1,2...

(3.3.1) Движения, соответствующие данной ситуации, характеризуются значительными амплитудами. Объяснение этому содержится в большом значении коэффициента передачи линейной части системы на частоте цикла = при выполнении соотношения (3.3.1). Согласно (3.3.1) спады наблюдаются с периодичностью 2 и характеризуются постепенным уменьшением с ростом k. В свою очередь, это можно объяснить уменьшением модуля коэффициента передачи на частоте = с ростом резонансной частоты контура. Сравнение с зависимостями для cкр импульсной СФС с двойным ПИФ (рис. 3.12) подтверждает предположение о значительно большем диапазоне параметра нелинейности, при котором существует данный тип движений. В случае большого затухания в контуре кривые cкр от качественно повторяют зависимости cкр от для апериодического звена.

- cкр =2.0 =2. 0.1 с = 1.0 0.95 0.9 0. 2. 0. 1. 0. 0. = 0. 0. -0. 0. -0.2 0.0 0.5 1.0 1. D 0.0 0. 0.2 0.3 0. 1. 2.0 3. 5. Рис.3. Рис. 3. На рис. 3.19 на плоскости параметров, приведены области существования ПЦ1 с k=2. Результаты позволяют оценить более конкретно влияние фильтра на поведение системы в области малых частотных расстроек. При < цикл 1-го рода существует при любом затухании в контуре. С уходом внутрь приведенной области ( < 0.5) указанный цикл существует только при расстройках н<0.01 и cкр>0.99. При малом затухании в контуре появляются дополнительные области существования цикла вблизи частот = (2k +1), размер которых с ростом k уменьшается.

0. 0. 0.2 0.3 0. 1. 2.0 3. 5. Рис.3.19 Область существования ПЦ1 СФС с колебательным звеном - 194 В отличии от СФС с двумя ПИФ, в системе с колебательным звеном существуют колебательные движения с периодами k = 3 и k = 4. Движения с нечетным периодом относятся к несимметричным и возникают при значительных частотных расстройках. Движения с k = 4 как и рассмотренные ранее с k = 2 относятся к симметричным и возникают в области малых частотных расстроек. Подробно данный тип движений будет изучен в разделе 3.4.

Предельные циклы 2-го рода Анализ предельных циклов 2-го рода показал, что закономерности в расположении областей их существования, выявленные при исследовании дискретных СФС второго порядка, в основном сохраняются при большом затухании >.Повышение добротности контура приводит к значительным изменениям параметрического портрета системы. На рис.3.20 показаны зависимости областей существования ПЦ2 в импуьсной СФС с F1() для различных. При = (рис.3.20а) система ведет себя подобно импульсной СФС с двойным ПИФ. С ростом периода цикла уменьшаются области существования, при начальной расстройке <1 возможно существование цикла любого периода. Незначительное увеличение добротности (рис.3.20б) приводит к вытеснению областей существования ПЦ2 большого периода за границу =1 без заметного изменения областей существования циклов с малым периодом. Дальнейшее увеличение добротности приводит к перераспределению областей существования циклов. Для ПЦ2 с периодом кратным отношению частоты дискретизации и резонансной частоты контура, равным 2/, (в данном случае близко к 3) происходит увеличение размеров областей, для остальных - уменьшение (рис.3.20в,г). Указанное увеличение областей связано с качественным изменением поведения системы в фазовом пространстве. Сказанное поясняет рис.3.21, на котором приведен пример ПЦ2 структуры 1/9. Характерной особенностью приведенного цикла является наличие нескольких колебательных движений в пределах линейного отображения, связанных с изменением направления движения по координате. Число шагов между сменой направления движения определяется указанным соотношением частоты дискретизации и резонансной частоты контура. Структура траектории цикла - 195 Dн Dн 20 0. 0. 0. 0. 0. 0. 50 0. 0. 0. 0. 1. 1. D 0. 0. 1. 1. D а) Dн Dн б) 0. 0. 0. 50 40 0. 0. 60 0. 50 60 0. 0. (15) 0. 0. 1. 1. D 0. 0. 0. 0. 0. D в) с=1.0, = 2. г) Рис.3.20. Области существования ПЦ2 с одним проскальзыванием для а) = 2.0;

б) = 1.0;

в) = 0.5;

г) = 0. - 196 x g2 g Q1+ g g g g5 g8 g O g Q Рис.3.21. Пример расположения точек ПЦ2 структуры 1/9 для c = 1.0, D = 0.33, = 0.94, = 2.0, = 0. D D 0. 0. 30 0. 0. 40 31 0. 0. 36 3 0. 0. 6 0. 0. 1. 1. D 0. 0. 0. 0. D а) для с = 0.6, e = 0.4, = 2.0 а) = 1.0;

б) = 0. б) Рис.3.22. Области существования ПЦ2 с одним проскальзыванием - 197 такова, что наиболее близко к области нелинейного отображения Q1+ приближаются точки с номерами, кратными отношению указанных частот. rrr Последовательность этих точек (на рисунке g3, g6, g9 ) образует монотонную огибающую. Для треугольной нелинейности Fс() увеличение добротности контура сказывается как на областях существования ПЦ так и на условиях возникновения квазипериодических движений (рис.3.22). В отличие от пилообразной нелинейности, увеличение областей существования наблюдается для циклов с числом шагов по устойчивой ветви кратным отношению 2/ (для F1() такое увеличение наблюдалось для циклов, период которых кратен этому отношению). Наблюдается разрыв горизонтальных цепочек и исчезновение ряда вертикальных, в состав которых входят циклы с большими периодами. С другой стороны, в горизонтальных цепочках циклов появляются дополнительные звенья за счет возникновения ПЦ2 с колебательными движениями на устойчивой ветви, нарушающие установленные ранее закономерности изменения структуры в рамках фиксированного периода (рис.3.22, цикл структуры 6-3).

Квазипериодические движения Анализ квазипериодических движений дал следующие результаты. При малой добротности колебательного звена, как и в случае апериодического звена, все собственные значения седловой точки действительны: 1>1, 0<2<3<1. Процессы при этом имеют знакопостоянный характер относительно входящего и выходящего сепаратрисных многообразий особой точки. Условие касания многообразий (п. 3.2.2) дает точную границу возникновения квазипериодических движений. Повышение добротности приводит к изменению типа седловой особой точки на седло-фокус: одно из собственных значений 1>1, два других 2, 3 комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью. Свободные процессы при этом на неустойчивом участке характеристики являются знакопеременными и колебательными относительно выходящей сепаратрисы. В этом случае условия касания сепаратрисных многообразий могут служить только оценкой для определения границы существования рассматриваемых движений. На рис.3.22а данная оценка показана утолщенной линией. Здесь же пунктиром показана полученная численно граница возникновения - 198 квазипериодических движений. Сравнение границ, полученных двумя способами, для широкого диапазона изменения параметров показало, что существенное отличие возникает только вблизи границы локальной устойчивости равновесного состояния. При других параметрах оценка дает вполне удовлетворительный результат. Дальнейшее повышение добротности контура приводит к новой бифуркации неустойчивой равновесной точки. Пара комплексных корней превращается в действительные и один из них становится меньше –1. В результате данной бифуркации свободное решение на неустойчивом участке представляет собой знакопеременный относительно входящей сепаратрисы процесс. Как показано в первой главе, подобная ситуация исключает квазипериодические движения при начальной расстройке < 1. В конечном итоге исчезновение квазипериодических движений и вытеснение областей существования предельных циклов вверх с повышением добротности в область > 1 приводит к равенству полос удержания и захвата при условии локальной устойчивости равновесной точки. В целом проведенный анализ позволяет сделать вывод о том, что полоса захвата СФС с колебательным звеном ограничена снизу симметричными предельными циклами 1-го рода, сверху предельными циклами 2-го рода с одним проскальзыванием, несимметричными циклами 1-го рода и квазипериодическими движениями.

Полоса захвата импульсной СФС с колебательным звеном На рис.3.23 приведены зависимости полосы захвата для СФС с колебательным звеном для различных затуханий в контуре. Отмеченное выше вытеснение областей существования ПЦ2 большого периода в область больших начальных расстроек с ростом добротности обуславливает увеличение диапазона значений D, при которых з = 1. Данный результат характерен для обоих типов нелинейности (рис.3.23а,б). Однако в случае пилообразной нелинейности с уменьшением наблюдается увеличение области существования симметричных циклов 1-го рода, что приводит к значительному ограничению в области малых начальных расстроек (рис.3.23а).

- 199 D з = 0. D з = 0. 1.0 2. 0.4 1. 0. 0. 0. 2. 5.0 0. 0. 0.1 5.0 0.0 0.5 1.0 1.5 D 0. 0. 0. 1. 1. D а) б) Рис.3.23. Полоса захвата импульсной СФС с колебательным звеном для = 2.0 а) c = 1.0;

б) c = 0.6 На рис. 3.24 приведены зависимости полос захвата импульсной СФС с колебательным звеном, полученные для параметров фильтра, обеспечивающих подавление = 10 дБ. Кривые позволяют для фиксированного подавления выбрать параметры фильтра, обеспечивающие максимальную полосу захвата. Учитывая тот факт, что большинство кривых имеет ярко выраженный максимум, для обеспечения желательной полосы захвата достаточно выбрать параметр D близким к значению, обеспечивающему этот максимум. Для импульсной СФС с колебательным звеном увеличение добротности приводит к значительному увеличению значения максимума как в случае пилообразной (рис. 3.24а), так и в случае треугольной (рис. 3.24б) нелинейностей. В случае F1() для большой добротности (сплошная линия) наблюдается сильное ограничение снизу, от которого можно избавиться переходом к треугольной нелинейности. Выполним анализ формы характеристики детектора с позиции обеспечения максимальной полосы. Для этого обратимся к рис. 3.25, на котором приведены зависимости полосы захвата СФС от крутизны устойчивого участка характеристики для различных значений усиления D. Как и в случае импульсной СФС 2-го порядка, при малых D наблюдается слабая зависимость полосы захвата от формы характеристики.

- 200 D з D з 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. D 0. 0. 1. 1. D а) б) Рис.3.24. Полоса захвата ИСФС с колебательным звеном, для = 10 дБ ( = 3.1, = 0.45;

= 3.5, = 2.2;

= 5.0, = 6.2;

= 10.0, = 25. ) а) с = 1.0;

б) с = 0.6, e = 0. Dз Dз 0. 0. 0. 0. 0. D = 0.5 1. 0. 0.9 D = 0. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1/c 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1/c а) б) Рис.3.25. Зависимости полосы захвата ИСФС с колебательным звеном для а) = 3.0, = 1.0;

б) = 0.2, = 1. - 201 С ростом D (до границы локальной устойчивости) за счет сдвига границы возникновения квазипериодических движений в сторону больших максимум полосы захвата обеспечивается в случае треугольной нелинейности. Для колебательного звена с большой резонансной частотой зависимость носит избирательный характер. Для крутизны 1/с<1.5 оптимальной является треугольная характеристика с максимумом в точке 1/c=1.2, при этом выигрыш в полосе захвата по сравнению с F1() составляет до 15%. В случае колебательного фильтра с малой резонансной частотой (рис. 3.25б) оптимальной является треугольная характеристика с максимально возможной крутизной устойчивого участка. Выигрыш в полосе в этом случае достигает 20%. В случае большой резонансной частоты (рис. 3.25а) выигрыш может доходить до 75%. На приведенных графиках показаны также ограничения области захвата снизу за счет симметричных циклов 1-го рода, характерные для малых крутизн 1/с. Избавиться от подобных ограничений можно за счет увеличения крутизны устойчивого участка характеристики. Таким образом, если для импульсной СФС 2-го порядка в ряде случаев пилообразная нелинейность может оказаться достаточно оптимальной (малое усиление, малая инерционность фильтра), то в СФС 3-го порядка уход от пилообразной характеристики может быть связан с обеспечением гарантированного захвата в области малых расстроек.

3.4. Применение метода гармонической линеаризации для анализа устойчивости СФС 3-го порядка В предыдущих разделах главы показана возросшая роль в динамическом поведении СФС 3-го порядка по сравнению с системами 2-го порядка колебательных движений. Повышение фильтрующих свойств за счет использования ФНЧ боле высоких порядков сопровождается усложнением поведения в области малых частотных расстроек. Если в системах 2-го порядка подобный тип движений был установлен лишь для СФС с независимым пропорциональным каналом, то для систем 3-го порядка установлено существование колебательных движений практически для любых фильтров цепи управления. К тому же, если в СФС 2-го порядка доказано существование движений только максимальной частоты (=), то в СФС 3-го порядка вырос - 202 частотный диапазон существующих колебаний, как для симметричных (четного периода) так и несимметричных (нечетного периода) колебаний. Важность учета колебательных движений при разработке систем синхронизации требует оценки условий их возникновения с точки зрения частотных свойств линейной части. В разделе это осуществляется с помощью метода гармонической линеаризации. Выражение для коэффициента гармонической линеаризации и годографы для различных параметров гармонических движений получены в п. 2.7. Воспользуемся ими для анализа движений в дискретных СФС 3-го порядка. Учитывая роль периодических движений в импульсных СФС с колебательным звеном и цифровых СФС с двойным ПИФ, ниже остановимся подробнее на моделях этих систем. Запишем коэффициенты передачи линейной части систем в z – области: 1) для импульсной СФС с колебательным звеном в цепи управления [43] W ( z ) = a + D a ( z 1)( z d cos c) abd ( z 1) sin c +2, +2 2 z 1 z 2dz cos c + d z 2dz cos c + d 2 (3.4.1) 1 уT 2 D 2 2 2 D=, = 0T, = T, a = 2, c = ( ), b= / ( ) 2 1 2, d =e ;

2) для цифровой СФС с двумя включенными последовательно ПИФ в цепи управления [43] W ( z ) = D(m1 + 1 1 1, )(m2 + ) z d1 z d2 z 1 (3.4.2) 0 < d1, 2 < 1.

Колебательные движения в импульсной СФС 3-го порядка На рис. 3.26-3.28 на комплексной плоскости приведены годографы линейной части импульсной СФС с колебательным звеном, построенные в соответствии с (3.4.1) и годографы функции L ( a,, ), обратной коэффициенту гармонической линеаризации, построенные для колебательных движений различных периодов k согласно (2.7.14), (2.7.23) и (2.7.24).

- 203 Im W(e j ) L(a,,) k=2 D=0.5 * =0.05 *=1. Re а) Im W(e j ) L(a,,) k=2 D=1 *=0.05 * =1. Re б) Рис. 3.26. Годографы L(a,, ) и W (e j ) ИСФС 3-го порядка для k=2 а) устойчивого движения, б) неустойчивого движения На рис. 3.26 приведены годографы для k = 2. Наличие точек пересечения W (e j ) и L(a,, ) говорит о существовании периодических движений с k = 2. Ситуации на рис. 3.26а соответствует устойчивое движение, на рис. 3.26б – неустойчивое движение. На качественном уровне результаты для k = 2 повторяют полученные ранее для СФС с независимым пропорциональным каналом. Необходимым и достаточным условием существования такого типа движений является попадание годографа функции W (e j ) в правую полуплоскость. Этого можно достичь за счет роста усиления в системе. Однако при этом не исключается потеря устойчивости в результате охватывания годографом точки (–1,j0).

- 204 Im W(e j ) L(a,2/3,) k=3 D=0.5 *=0.05 *= Re а) Im L(a,2/3,) W(e j ) k=3 D=1 *=0.01 *= Re б) Рис. 3.27. Годографы L(a,, ) и W (e j ) ИСФС 3-го порядка для k=3 а) устойчивого движения, б) неустойчивого движения На рис. 3.27 приведены годографы для k = 3. Существование из диапазона допустимых значений для данного типа движений (2.7.23), для которого выполняется равенство W (e j 2 / 3 ) = L(a, 2 / 3, ), говорит о наличии периодических движений с частотой = 2 / 3. На рис. 3.27а,б приведены примеры устойчивых движений, на рис. 3.27в – пример неустойчивого движения. Для существования данного типа движений необходимо, чтобы годограф функции W (e j ) в точке = 2 / находился в правой полуплоскости, а мнимая часть функции W (e j ) в этой точке была близка к нулю. Эти условия не были выполнены в СФС 2-го порядка с независимым пропорциональным каналом.

- 205 Im W (e j ) L(a, /2, ) k= 4 D=1 * = 0.0 5 * = 4. Re а) Im W (e j ) L(a, /2, ) k= 4 D=3 * = 0.1 * = 1. Re б) Рис. 3.28. Годографы L(a,, ) и W (e j ) ИСФС 3-го порядка для k=4 а) устойчивого движения, б) неустойчивого движения На рис. 3.28 приведены годографы для k = 4. Существование из диапазона допустимых значений для данного типа движений (2.7.24), для которого выполняется равенство W (e j / 2 ) = L(a, / 2, ), говорит о наличии периодических движений с частотой = / 2. На рис. 3.28а,б приведены примеры устойчивых движений, на рис. 3.28в – пример неустойчивого движения. Для существования данного типа движений необходимо, чтобы годограф нулю. На рис. 3.29 приведены области существования колебательных движений соответственно с k = 2, k = 3 и k = 4. Области устойчивых движений отмечены темной заливкой. Устойчивые движения возникают в области небольших затуханий и усилений D при значительных частотах колебательного звена. С ростом усиления колебания теряют устойчивость. функции W (e j ) в точке = / находился в правой полуплоскости., а мнимая часть функции W (e j ) в этой точке была близка к - 206 * k=2 D= * = k= 2 D= = а) * * б) * k=3 D=0. * =0. k=3 D= =0. * в) г) * * k=4 D=0, * = k=4 D= = * д) е) * Рис. 3.29. Области ПЦ1 ИСФС с колебательным звеном для а,б) = ;

в,г) = 2/3;

д,е) = / - 207 Приведенные результаты получены без учета постоянной составляющей, отвечающей за частотную расстройку в СФС. Циклы четного периода являются симметричными, постоянная составляющая близка к нулю и они существуют при малых. Рост приводит к разрушению циклов. Цикл с k=3 – несимметричный и может существовать лишь при ненулевых частотных расстройках. Уменьшение приводит к разрушению циклов. В этом они близки к вращательным движениям.

Колебательные движения в цифровой СФС 3-го порядка На рис. 3.30 на комплексной плоскости приведены годографы линейной части цифровой СФС с двойным ПИФ, построенные в соответствии с (3.4.2) и годографы функции L(a,, ), построенные для колебательных движений различных периодов k согласно (2.7.14), (2.7.23) и (2.7.24). На рис. 3.30а приведены годографы для k = 2, на рис. 3.30б – для k = 3, на рис. 3.30в– для k = 4. Для всех случаев выполнены условия существования устойчивых периодических движений. Как и в случае импульсной СФС с колебательным звеном необходимым условием существования движений является нахождение годографа функции W (e j ) в соответствующих точках в правой полуплоскости. На рис. 3.31 на плоскости D, приведены области существования колебаний с k=3 для различных коэффициентов усиления пропорционального канала. Подтверждается несимметричный характер колебаний, этим объясняется смещение частотных расстроек, при которых существуют движения, в область больших значений. На рис. 3.32 приведены области существования этих же циклов в зависимости от параметра нелинейности. Сохраняется тенденция, согласно которой колебательные движения разрушаются с переходом от пилообразной нелинейности к треугольной. Для указанных на рис. 3.32 параметров предельным значением является с = 0.92. С точки зрения предельной длительности устойчивого участка нелинейности цифровая СФС ближе к импульсной СФС с двойным ПИФ, чем к импульсной СФС с клебательным звеном.

- 208 Im L(a,,) / W(e j ) = D=0.15 m 1 =0.1 m 2 =1.5 d 1 =0.1 d 2 =0. -/ -2/ -3/ Re а) Im L(a,,) W(e ) j 3/8 =2/ D=0.3 m 1 =0.1 m 2 =0.1 d 1 =0.1 d 2 =0.1 -5/12 -/2 -11/ Re б) Im W(e ) j L(a,,) / =/ D=0.3 m 1 =0.1 m 2 =0.1 d 1 =0.1 d 2 =0. -/ -/ -3/ -2/ Re в) Рис. 3.30. Годографы L(a,, ) и W (e j ) цифровой СФС 3-го порядка для а) =, б) = 2 / 3, в) = / - 209 2. 3. 1. 0. m2=0. D Рис. 3.31. Области существования ПЦ1 с k =3ЦСФС с F1() для d1 = 0.1, d2 = 0.25, m1 = c=1.0 0.98 0.95 0. D Рис. 3.32. Области существования ПЦ1 с k =3 ЦСФС с Fc() для d1 = 0.1, d2 = 0.25, m1 = 0, m2 = 1. - 210 m m m2=0.0 0.25 0.5 1.0 1.5 0.75 3.0 m2=0.0 0.25 0.5 1.0 3. d а) б) Рис. 3.33. Области существования ПЦ1 цифровой СФС для k =3 а) d2 = 0.25, m2 = 0 б) d2 = 0.75, m2 = 0 m d m2=0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1. d1 в) Рис. 3.34. Области существования ПЦ1 цифровой СФС для k =4, d2 = 0. - 211 На рис. 3.33, 3.34 на плоскости физических параметров приведены области существования колебательных движений периода k = 3 и k = 4. Результаты позволяют понять роль конкретных параметров для колебательных движений. Например, увеличение коэффициентов пропорциональности m1 и m2 приводит к существенному уменьшению областей существования до полного их разрушения. На снове полученных результатов можно осуществить оптимизацию параметров фильтра цепи управления с целью обеспечения устойчивой работы дискретной СФС 3-го порядка в области малых расстроек.

3.5. Выводы 1. На основе общих положений теории бифуркаций определены направления анализа условий возникновения периодических и квазипериодических движений в СФС 3-го порядка с кусочно-линейной характеристикой детектора Как и в случае СФС 2-го порядка основу возникновения и потери устойчивости k-кратными неподвижными точками составляют условие попадания на границы линейных участков. Необходимым условием возникновения квазипериодических движений является касание входящих и выходящих сепаратрисных многообразий седловой точки. Отличие от систем 2-го порядка состоит в большом количестве различных типов седловых точек и соответственно количестве возможных сценариев движений в окрестности сепаратрисных многообразий. 2. Получила развитие методика расчета бифуркационных параметров кусочно-линейных отображений 3-го порядка, позволяющая находить границы различных типов периодических и областей существования квазипериодических движений. Основу методики составляют необходимые и достаточные условия возникновения k-кратной неподвижной точки через образование промежуточной сложной точки узел-седло либо фокус-седло и условия касания входящего и выходящего сепаратрисных многообразий на границах линейных участков характеристики. 3. На основе предложенной методики для пилообразной и треугольной нелинейностей разработаны алгоритмы, позволяющие для обобщенных и физических параметров получить области существования различных периодических и квазипериодических движений. Для обоих видов - 212 нелинейностей получены распределения областей колебательных и вращательных движений, установлены закономерность и очередность их возникновения. Как и в случае СФС 2-го порядка доказано утверждение о первоочередности возникновения циклов 2-го рода с одним проскальзыванием с ростом частотной расстройки. Доказано существование в системах 3-го порядка при малых частотных расстройках высокочастотных колебательных движений, область существования которых с переходом к треугольной нелинейности существенно уменьшается. Исследованы области устойчивости в большом и в целом, полосы захвата СФС с двумя последовательно включенными пропорционально-интегрирующими фильтрами. Для СФС с треугольной характеристикой показана возможность оптимизации параметров нелинейности с целью обеспечения наилучших динамических свойств. 4. Выполнены исследования нелинейной динамики импульсной СФС с фильтром 2-го порядка, представляющим собой последовательный колебательный контур. Принципиальным отличием данной модели от рассмотренных раннее является более сложное поведение в области малых частотных расстроек и широкий спектр как симметричных так и несимметричных колебательных движений. Для пилообразной нелинейности ограничения полосы захвата снизу составляют при малых затуханиях порядка 0.15 - 0.2 даже в области средних усилений. Доказано существование симметричных движений с частотой = для малого затухания фильтра в случае треугольной нелинейности с с < 0.5. 5. Периодические движения в импульсных СФС с колебательным звеном и цифровых СФС с двумя последовательно включенными интегрирующими фильтрами с независимыми пропорциональными каналами исследованы методом гармонической линеаризации. С позиции частотных свойств приведенной линейной части систем доказана возможность существования как симметричных (четного периода, k = 2, 4 ), так и несимметричных (нечетного периода, k = 3) колебательных движений. Симметричные циклы возникают при близких к нулю частотных расстойках, несимметричные - при достаточно больших расстройках. Дано объяснение возможности избавиться от подобных движений за счет перехода к треугольной нелинейности с коротким устойчивым участком характеристики.

- 213 Глава 4. Некоторые вопросы исследования динамики двухкольцевых СФС тороидального типа Как было показано во введении, нелинейная динамика связанных дискретных СФС исследована в значительно меньшей степени по сравнению с однокольцевыми системами. Основные работы в этой области посвящены связанным непрерывным системам синхронизации [115-118,121,155], либо применению непрерывных моделей для анализа дискретных систем [114,119,120]. Непосредственно анализу динамики дискретных моделей связанных СФС посвящено ограниченное число работ. К их числу относятся работы, посвященные исследованию глобальной устойчивости идентичных связанных импульсных систем фазовой автоподстройки [113,181], и ряд работ, выполненных при участии автора диссертации [122-126], посвященных разработке методики анализа нелинейной динамики и исследованию конкретных моделей дискретных связанных систем синхронизации. В главе выполнено теоретическое обобщение полученных ранее результатов исследования моделей различных типов связанных дискретных систем. В части методик исследования получили дальнейшее развитие методы анализа нелинейной динамики однокольцевых СФС. Основанные на общих положениях качественных методов теории нелинейных дискретных колебаний и теории бифуркаций методы адаптированы к кусочно-линейным моделям с двумя периодическими нелинейностями и двумя временными дискретами. По аналогии с однокольцевыми системами в основу методов положены условия возникновения k-кратных неподвижных точек и их бифуркации. С помощью предложенных методик в главе изучаются динамические свойства трех типов связанных и комбинированных систем. К числу их относятся двухкольцевая СФС с преобразованием частоты в выходном кольце, двухкольцевая СФС без преобразования частоты, комбинированная импульсноцифровая система частотно-фазовой автоподстройки. Все исследуемые системы относятся к классу дискретных систем с несколькими временными дискретами. Математические модели систем получены в главе 1. Исследуются следующие динамические характеристики систем : области существования колебательных и вращательных движений, области устойчивости в большом и в целом, полосы захвата по частоте, длительность переходных процессов.

- 214 4.1. Бифуркации неподвижных точек кусочно-линейных отображений с двумя временными дискретами. Эквивалентные линейные модели Методика расчета бифуркационных параметров связанных систем как и в случае однокольцевых СФС основана на условиях попадания k-кратной неподвижной точки на границу линейных участков функции Fс(). Особенность методики обусловлена необходимостью использования в математическом описании связанных систем новой шкалы времени и неоднозначным в общем случае сценарием возникновения периодических движений заданной структуры в новой шкале. Подобный подход был отчасти применен во второй главе для анализа установившихся движений в неавтономных системах, находящихся под воздействием периодических по частоте сигналов. Учитывая важность для установления основных бифуркаций неподвижных точек знаний областей локальной устойчивости рассматриваемых систем в новой шкале времени, в разделе решается также задача построения эквивалентной модели связанных систем и выполняется анализ ее свойств. Методику построения эквивалентных линейных моделей дискретных связанных систем с двумя временными дискретами рассмотрим на примере двухкольцевой СФС с преобразованием частоты, уравнение которой в зависимости от типа фильтра имеет вид (1.2.23) либо (1.2.28). С учетом введенной в первой главе временной шкалы nT, где Т = k1T2 = k2T1, запишем в векторном виде линеаризованное уравнение связанной системы r r r qn+1, 0 = Aэ qn, 0 + b, (4.1.1) r где: qn,0 - вектор состояния системы, Aэ - эквивалентная квадратная матрица, переводящая систему из одного состояния в соседнее, отстоящее на интервал r r T. размерность Аэ совпадает с размерностью вектора qn, 0 ;

b - вектор воздействия, компоненты которого зависят от начальных расстроек в кольцах. Задача линеаризации исходных нелинейных уравнений сводится к r построениию матрицы Аэ и вектора b. Переход к временной шкале nT, ставит ряд вопросов. Анализируя локальную устойчивость эквивалентной модели, ничего нельзя сказать конкретного о поведении колец и системы в целом в промежутках между nT и - 215 (n+1)T. При этом существование устойчивых состояний равновесия в моменты времени nT еще не гарантирует состояние равновесия внутри временных дискретов. Ответом на поставленный вопрос может служить дополнительный анализ состояний равновесия в промежутках "линейной" временной шкалы и анализ возможных периодических движений в системе, в состав которых входили бы неподвижные точки, совпадающие по времени со шкалой nT. r Отсутствие состояний равновесия, отличных от q0, исключает возможность возникновение незатухающих движений в области линейных участков характеристик F ( ) и Ф( ). Можно предположить далее, что движения в окрестности состояния равновесия будут затухать и в том случае, если несмотря на устойчивость "в малом" эквивалентной системы, одно или оба кольца по отдельности не отвечают требованиям локальной устойчивости. Такая ситуация является достаточно распространенной для связанных систем. С позиции поблемы устойчивости это означает, что устойчивость системы "сильнее" неустойчивости колец. Рассмотрим методику определения элементов матрицы Аэ. Необходимые для этого преобразования выплним в два этапа. На первом этапе осуществим линеаризацию функций F ( ) и Ф( ) в исходных временных шкалах nT1 и nT2. На втором этапе избавимся от временной зависимости внутри шкалы nT. Выпишем в соответствии с (1.2.23) уравнение для состояний равновесия r q0 = ( 0, x0 )T (1 l ) k1 µ (1 ) F ( 0 ) Ф( 0 ) = 1 l k 2, µ k 2 F ( 0 ) + Ф( 0 ) = 2 l k где F ( ) 1, Ф( ) 1.

(4.1.2) Анализ решений системы уравнений (4.1.2) с учетом ограничений на r нелинейные функции позволяет определить область существования q0 и ответить на характерный для связанных систем вопрос о единственности r состояния равновесия. Существование множества состояний q0 объясняется исключительно взаимным влиянием колец. Системы с таким свойством - 216 r относятся к классу нейтральных. Реализация конкретного состояния q0 будет зависеть от начальных условий в системе. Предположим, что в окрестности состояния r q кусочно-линейные (4.1.3) функции F ( ) и Ф( ) не имеют разрывов и представимы в виде F ( n,i ) = F ( 0 ) + n,i, Ф( n,i ) = Ф( 0 ) + n,i.

Тогда уравнение (1.2.23) с учетом (1.2.2) можно записать в виде (1 l ) n, ( i ) n,i +1 = n,i k (1 µ / l ) n, (i ) + k2 v 1. µ v = n,i n, (i ) n, (i ) n,i +1 k2 l k (4.1.4) При наличии функций (i) и (i) систему уравнений (4.1.4) нельзя считать линейной. Переход к полностью линейной модели вида (4.1.1) возможен только в новой временной шкале nT. Для произвольного соотношения k1 и k2 такой переход связан с большим числом промежуточных решений в точках, определяемых (i) и (i) и не обладает универсальностью. Предлагается алгоритм косвенного вычисления компонент матрицы Аэ по заданному начальному и полученному согласно (4.1.4) конечному состоянию системы. Конечное состояние возникает после k = k1k2 итераций отображения (4.1.4). Для полного определения элементов матрицы Аэ необходимо повторить расчеты для нескольких начальных условий, число повторов определяется порядком системы. Суть предложенного метода можно пояснить следующими r рассуждениями. Пусть q1 - начальное состояние системы, не совпадающее с r состоянием равновесия, q2 - состояние, в которое придет система через k = k1k2 итераций. Тогда согласно (4.1.1) имет место уравнение r r q2 = Aэ q1. (4.1.5) Выражение (4.1.5) является записанной в матричном виде системой линейных уравнений относительно переменных ai, j и bi, j, в качестве которых выступают элементы матрицы Аэ. Для нахождения всех элементов ai, j и bi, j необходимо воспользоваться количеством уравнений вида (4.1.5), равным порядку матрицы Аэ.

- 217 Для кратного соотношения k1 и k2 элементы матрицы Аэ удается выписать в аналитическом виде. В этом случае можно положить k2=1 (при k1 > k2). Линеаризованная модель будет иметь вид n+1, 0 = a11 n, 0 + a12 n, 0, n+1, 0 = a21 n, 0 + a22 n, (4.1.6) k (1 ) (1 k ) µ a11 = 1 (1 ) (1 l ), l l k (1 ) 2 (1 l ) (1 k ) a12 =, µ µ 1 k + 1, a21 = l k a22 = k, =1.

Анализ собственных значений матрицы Аэ с учетом полученных выражений для ее элементов даст ответ на вопрос о локальной устойчивости состояний равновесия, определяемых уравнением (4.1.2). Для линеаризации уравнения (1.2.28) используем несколько иной подход. С учетом (4.1.3) запишем (1.2.28) в виде (1 m) (1 d 0 ) µ n, (i ) + n,i +1 = n,i + n,i 1 k1 l Ф (1 l ) + n, ( i ) k2 v. µ v = n,i n, (i ) n, (i ) n,i +1 k2 l k1 (1 m) (1 d 0 ) 2 n, ( i ) n,i +1 = d 0 n,i k Ф (4.1.7) Для произвольного отношения k1 и k2 переход к уравнению (4.1.1) можно осуществить с помощью описанного выше косвенного метода. Для кратного соотношения (4.1.7) преобразутся к виду - 218 (1 m) (1 d 0 ) µ n, 0 + n,i +1 = n,i + n,i 1 k Ф l (1 l ) + n,i v. µ v = (1 ) n,i n, 0 n,i +1 lk (1 m) (1 d 0 ) 2 = d 0 n,i n, 0 n,i +1 Ф k (4.1.8) Представим (4.1.8) в виде матричного уравнения r r qn,i +1 = R qn,i + Q n, 0, (1 m)(1 d 0 ) µ ) k (1 ф l µ. Q= lk 2 (1 m)(1 d 0 ) ф k (4.1.9) где R – квадратная матрица размерностью 3x3, Q – вектор той же размерности, (1 l ) 1 R = 0 0 1 0, d0 (4.1.10) С учетом (4.1.10) от уравнения (4.1.9) можно перейти к уравнению вида E Rk r r Q n,0, qn+1, 0 = R k qn, 0 + ER Уравнение (4.1.11) сводится к виду r r qn+1, 0 = Aэ qn, 0, (4.1.11) (4.1.12) а11 где Aэ = а21 а a12 а22 а Элементы {ai, j } получаются непосредственно из (4.1.11), достаточно громоздки a13 а23. а и здесь не приводятся. Уравнение (4.1.12) представляет собой линейную модель двухкольцевой связанной СФС с преобразованием частоты и пропорциональноинтегрирующим фильтром в выходном кольце. Анализ собственных значений матрицы Аэ позволяет ответить на вопрос о локальной устойчивости состояний равновесия уравнения (1.2.28) и соответственно на вопрос об устойчивости в малом состояния синхронизма двухкольцевой системы. Для связанной двухкольцевой системы без преобразования частоты линейные уравнения в общем случае будут иметь вид (4.1.12), где матрица Аэ - 219 =0 1.0 =0.1 =0.2 =0.2 =0.5 µ=0.1 k1/k 2 =3/2 2= µ=0 1.0 µ=0.1 µ=0.2 µ=0. =0.5 µ=0.1 k1/k 2 =3/2 2= 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 2. 0. 1. 1. 2. а) б) Рис. 4.1. Области существования состояний синхронизма двухкольцевой СФС с преобразованием частоты µ=0.2 µ=0.15 µ=0.1 µ=0.05 µ=0 µ=0.05 µ=0.1 =0.1 k 1= 3 k 2= 2. 2. µ=0.1 k 1= 2 k 2= 2. 2. 1. 1. =0.9 =0.5 =0. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 2. 0. 1. 1. 2. а) б) Рис. 4.2. Области локальной устойчивости двухкольцевой СФС с преобразованием частоты - 220 имеет размерность 2x2 в случае бесфильтровых колец (нелинейное уравнение (1.2.9)) и 3x3 для случая фильтра в одном из колец (нелинейное уравнение (1.2.17) ). Для произвольного соотношения k1 и k2 элементы матриц ищутся численным способом по описанной выше методике. Для кратного соотношения в случае бесфильтровых колец элементы ai, j имеют вид k (1 ) (1 k ) µ a11 = 1 + l, (1 ) 2 l k l (1 k ) a12 =, 1 a21 = (4.1.13) µ 1 k + 1, l k a22 = k. Для СФС с ПИФ в выходном кольце матрица R и вектор Q имеют вид (1 m)(1 d 0 ) (1 ) k ф µ. Q= lk (1 m)(1 d ) 2 0 ф k l 1 1 R = 0 0 1 0, d0 (4.1.14) На рис. 4.1 на плоскости, 1 приведены области существования состояний равновесия в двухкольцевой бесфильтровой СФС с преобразованием частоты. Влияние коэффициентов µ и на области по координате 1 близко. Наблюдается незначительное сокращение области с ростом взаимных связей. Объясняется это тем, что рост µ и приводит к эквивалентному увеличению начальных расстроек в связанной системе. Влияние на границу области существования по координате связано с ограничением локальной устойчивости и выражено значительно сильнее у коэффициента µ. При µ > 0 наблюдается расширение области, при µ < 0 – сужение. Объясняется данный факт тем, что дополнительный канал, содержащий µ, по отношению к верхнему кольцу образует ветвь отрицательной обратной связи. На рис. 4.2 на плоскости параметров, приведены области локальной устойчивости, построенные на основе анализа собственных значений матрицы подтверждающие сделанный вывод. Максимум увеличения области Аэ, - 221 m= 0.4 k1/k2=3/ 5. m= 0. m= 0.5 m= 0. µ=0.1 =0.1 =0. k1/k2=3/ 5. 0. µ=-0.1 =0.1 =0. 0. 4.0 m= 0.2 3. 4. m=0. m= 0.7 m= 0.8 m= 0. 3. 0.6 0. 2. m= 0. 2. m= m= 0. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 2. 0. 1. 1. 2. а) б) m= 0.5 5.0 m= 0.2 4.0 m= 0.7 3.0 m= 0.6 m= 0.4 m= 0. k1/k2=3/ k1/k2=3/ µ=0.1 =0.1 =0. 5. m=0. µ=-0.1 =0.1 =0. 4. 0. m= 0.8 m= 0.9 m= 0.99 m= 0.1 m= 3. 0. 2. 2. 0. 1. 1. 0. 0.5 1.0 1.5 2. 0. 0. 1. 1. 2. в) г) Рис. 4.3. Области локальной устойчивости двухкольцевой СФС с ПИФ с преобразованием частоты для k1/k2 = 3/ - m= 0.4 k1/k2= 10. 0. 5. m= 0.1 m= 0. µ=0.1 =0.1 =0. k1/k2= µ=-0.1 =0.1 =0. 4. m= 0.6 m= 0.7 m= 0.8 m= 0. 8. 3. 6. m=0.0 0. 2. m= 0 m= 0. 4. 0. 1. 2. 0. 0. 0. 1. 1. 2. 0. 1. 1. 2. а) б) m= 0. k1/k2= k1/k2= 5. m= 0.5 m= 0.2 m= 0.1 m= 0.6 m= 0.7 m= 0. µ=0.1 =0.1 =1. 2. µ=-0.1 =0.1 =1. 4. 2. m=0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0. 3. 1. 2. m= m= 0. m= 0. m= 0. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 2. 0. 1. 1. 2. в) г) Рис. 4.4. Области локальной устойчивости двухкольцевой СФС с ПИФ с преобразованием частоты для k1/k2 = 10/ - 223 устойчивости приходится на усиление второго кольца, соответсвующее его оптимальным динамическим свойствам. На рис. 4.3, 4.4 приведены области локальной устойчивости для двухкольцевой СФС с ПИФ с преобразованием частоты для разных соотношений периодов дискретизации. По координате область по-прежнему ограничена значением, близким к = 2. По координате зависимость носит достаточно сложный характер. Как в случае бесфильтровых колец, более сильное влияние на устойчивость оказывает коэффициент µ.С ростом µ наблюдается существенное увеличение диапазона устойчивости по, особенно в области малых и больших В области средних с ростом µ наблюдается провал, похожий на тот, что наблюдается в однокольцевых СФС с ПИФ. Это говорит о том, что дополнительный канал с µ оказывает аналогичное влияние. При этом роль постоянной времени играет обобщенный коэффициент усиления нижнего кольца. При узкой полосе фильтра (рис. 4.3в,г) наблюдается увеличение области устойчивости в области малых, туда же смещены провалы зависимостей, с ростом полосы (рис. 4.3а,б) провалы смещаются в сторону больших.Смена знака µ приводит качественно к тому же результату, что и в случае бесфильтровых колец. С ростом отношения k1/k2 основные закономерности сохраняются, с той разницей, что экстремальные области устойчивости смещаются в сторону малых значений (рис. 4.4). Объяснить это можно тем, что увеличение k1/k2 равносильно повышению частоты дискретизации кольца подставки, соответственно эквивалентное влияние на систему достигается при меньшем усилении. На рис. 4.5 приведены области локальной устойчивости для двухкольцевой СФС без преобразования частоты. Основное отличие от системы с преобразованием состоит в симметрии областей относительно параметров колец и коэффициентов µ,. Влияние коэффициентов абсолютно одинаково, при этом если один из коэффициентов стремится к нулю, влияние второго также исчезает, и область устойчивости принимает вид квадрата со сторонами,.равными двум ( = =2). Наиболее сильное влияние µ и наблюдается при k1 = k2 (рис. 4.5а). С ростом одного из периодов дискретизации происходит изменение границы устойчивости, связанной с усилением быстрого кольца (кольца с большей частотой дискретизации).

- k 1 =1 k 2 = µ=0. =-0. µ=0. µ=0. µ=-0. µ=-0. µ=-0. а) k1= 1 k2= µ=-0. µ=-0. =-0. k1= 2 k2= =0. µ=-0. µ=0. =0. =0. µ=0. µ=0. =-0. б) k 1 =1 k 2 = в) k 1 =10 k 2 = =0. =-0. µ=0. µ=-0. =0. =-0. µ=0. µ=0. µ=-0. =-0. г) преобразования частоты д) Рис. 4.5. Области локальной устойчивости двухкольцевой СФС без - 225 Оценка длительности переходных процессов двухкольцевых СФС В отличии от однокольцевых систем, для которых одна из координат отвечает за частотную расстройку, в двухкольцевых СФС обе основные координаты отвечают за фазовое рассогласование. В этой ситуации, при условии устойчивости системы в целом, целесообразно на практике в качестве оценки времени переходного процесса использовать оценку движения по координатам и в линейном приближении. Такая оценка может быть получена на основе анализа максимального из собственных значений матрицы Аэ - max. На рис. 4.6, 4.7 приведены зависимости max от параметров соответственно бесфильтровой двухкольцевой СФС с преобразованием частоты и СФС с ПИФ в выходном кольце. Здесь же приведены зависимости времени переходного процесса в системах, построенные также с применением max. Анализ показывает, что влияние взаимных связей приводит к следующему основному результату: увеличение положительных связей приводит к некоторому росту времени переходного процесса с одновременным расширение области параметров, в которой поддерживается относительно высокое быстродействие (рис. 4.6а,б). Объяснить это можно следующим образом. В начальный момент времени дополнительное кольцо с µ увеличивает частотную расстройку в выходном кольце, способствуя увеличению скорости изменения координат. Существование такой расстройки по времени совпадает со временем наиболее активной работы кольца подставки. Увеличение отношения k1/k2 сглаживает этот эффект. Зависимости времени переходного процесса двухкольцевой СФС с ПИФ во многом качественно повторяют аналогичные зависимости однокольцевых СФС от параметров фильтра. Отметим снижение быстродействия при уменьшении m. Однако наряду с этим растет область усилений, в которой поддерживается высокое быстродействие. Взаимные связи оказывают стабилизирующе влияние. Особенно этот факт характерен для усиления кольца подставки (рис. 4.7в,г). Аналогичный результат можно отметить при изменении ф. Наличие полочек на кривых длительности переходных процессов позволяет оптимизировать работу системы при большом разбросе параметров.

- max 0. =0.5 =0.1 k 1= 3 k 2= nпер (10 ) - max 0. 20 =1.0 =0.1 k 1= 3 k 2= nпер (10 ) - µ=0. µ=0. 20 0. µ=0. 0. µ=0. 10 10 0. µ=0. 0. µ=0. 6 µ= µ= 0. 0. 0. 1. 1. 2. 0. 1. 1. 2. а) max б) nпер (10 ) - 0. =1.75 =0.1 k 1= 3 k 2= max 0. =1.0 =0.1 k 1= 3 k 2= nпер (10 ) - 0. µ= 15 0. 15 0. µ=0. 8 0. 8 µ=0. µ=0. 0. µ=0. 0. µ=0. µ=0.2 µ=0.15 µ=0 0. 1. 1. 2. µ=0. 0. 1. 1. 2. в) г) Рис. 4.6 Зависимость max и nпер двухкольцевой СФС с бесфильтровыми кольцами для а) = 0.5;

б) = 1.0;

в) = 1.75;

г) = 1. - max nпер (10 ) - max 0. m= 0. = пер =µ=0.1 -3 =1 (10 ) k 1 / k =3/2 2 40 m=0. n = 20 0. m=0. =µ=0.1 =1 10 k 1 / k =3/2 2 =0.5 8 m=0. 0. =10 = =0. 10 8 0. m=0. 0. 0. m=0. 0. 1. 2. 3. 4. 1. 3. 4. 6. а) max б) nпер (10 ) - max 0. 20 0. nпер =µ=0.1 -3 =1 (10 ) k 1 / k =3/2 2 40 m=0. m= 0. m=0. 0. =0. 15 10 0. m=0. =µ=0.1 =1 10 k 1 / k =3/2 2 =0.5 0. = m=0. 0. m=0. 0. = = = 0. 1. 1. 2. 0. 1. 1. 2. в) г) Рис.4.7. Зависимость max и nпер двухкольцевой СФС c ПИФ для а) = 1.0, ф =0.5;

б) = 1.0, m = 0.5;

в) = 1.0, ф =0.5;

г) = 1.0, m = 0. - 228 4.2. Особенности методики анализа устойчивости дискретных СФС тороидального типа с двумя временными дискретами В основу методики положены условия возникновения и потери устойчивости k-кратных неподвижных точек, определяющих колебательные и вращательные движения. Как и в случае однокольцевых СФС, подобные движения возникают при переходе неподвижными точками границ линейных участков кусочно-линейных функций F ( ) и Ф( ). В фазовом пространстве этому условию соответствует касание изображающей точкой границ областей нелинейного отображения. Справедливы следующие утверждения [123,124]: 1) все периодические движения в системе имеют период, кратный T = T1 k2 = T2 k1 ;

2) существует большое число движений одного периода с одним количеством проскальзываний по фазе на периоде, причина в большом числе возможных нелинейных отображений внутри дискрета T;

3) наличие двух нелинейностей F ( ) и Ф( ). приводит к новому типу периодических движений - комбинированным циклам с характерными нелинейными отображениями по обеим координатам. Обратимся к рис. 4.6, на котором изображена развертка одного периода тороидального фазового пространства системы с двумя периодическими нелинейностями F ( ) = F1 ( ) и Ф ( ) = Ф1 ( ). На рисунке приняты следующие обозначения: AB - линия отображения с сохранением координаты, уравнение которой может быть получено из первого уравнения (1.2.9) либо (1.2.23);

СD линия отображения с сохранением координаты, ее уравнение может быть получено из второго уравнения (1.2.9) либо (1.2.23). Аналогично можно построить прямые MN и KL, соответствующие отображению с изменением координат и на m1 и m2 периодов. Уравнения последних определяются путем подстановки в (1.2.9), (1.2.23) равенств:

n,i +1 = n,i + 2 m1 n,i +1 = n,i + 2 m r qn,i = ( n,i, n,i )T на величину, кратную периоду.

(4.2.1) Выражение (4.2.1) определяет нелинейное смещение вектора состояния Пересечение прямых AB и CD (точка O) соответствует состоянию равновесия системы. Пересечения прямых MN и AB, а также KL и CD образуют точки кратных захватов O1 и O2. На рис.4.6 показаны также области - 229 нелинейного отображения: Q1 и Q2 области, из которых происходит нелинейное отображение по и соответственно;

Q1 и Q2 - области, в которые попадает вектор состояния в результате нелинейного отображения по и. Согласно рис. 4.6 одновременно существуют три неподвижные точки - O, O1 и O2 - состояние синхронизма и два кратных захвата. В случае локальной устойчивости системы все три состояния будут также устойчивыми [123].

L C K O2 Q -1 Q1 B Q O D M Q2 A O1 N - Рис. 4.6. Развертка периода фазового тора двухкольцевой СФС (сечение в плоскости, ) Введем некоторые определения. Будем называть циклом структуры u1 u2, r1 r2 периодическое движение периода k, для которого приращение k координаты равно 2(u1 u 2 ), приращение координаты равно 2( r1 r2 ) за k шагов с дискретом. Числа u1, r1 характеризуют число итераций с увеличением соответствующих координат на период, числа u2, r2 - с уменьшением. Назовем циклом первого рода (ПЦ1) периодическое движение, для которого u1 = u2 0 и r = r2 0 ;

циклом второго рода (ПЦ2) - периодическое 1 движение, для которого u1 u2 0 или r r2 0, при этом, если одновременно u1 0, u2 0 или r 0, r2 0, то такой цикл будем называть комбинированным (ПЦК). Примеры циклических движений различных структур для k1 = k2 = 1 приведены на рис.4.7. Для сокращения здесь и ниже нулевые значения u1, u2, r1, r2 в записи структуры цикла опускаются. Цикл второго рода периода - 230 A C B O Q1 Q _ Pn,j D - Q O _ Pn,j - D B C - A - Q а) б) B O D C B C Q _ Pn,j - Q _ Pn,j - Q Q O _ Pn,j+ _, Pn,j+ Q - Q - A A D в) г) Рис. 4.7. Примеры периодических движений двухкольцевой СФС для k1 = k2 = 1 а) ПЦ2 структуры ( 1 0,0 0,1 0 ), ), б) ПЦ2 структуры ( 3 1 1,0 1 0,0 1 ) в) ПЦ2 структуры ( ), г) ПЦ1 структуры ( 3 - 231 три с одним нелинейным отображением по координате изображен на рис. 4.7а, структура цикла имеет вид - 0,1. Сплошными r линиями показано движение вектора qn,i, пунктирными - нелинейное r r r r отображение qn,i +1 = qn,i pn,i, где pn,i - вектор нелинейного смещения, для r рис. 4.2а p n,i = 0. На рис.4.7б приведен пример ПЦ2 с k = 2 с одним нелинейным отображением по координате структуры 1, 0, 2 r соответствующий вектор нелинейного смещения на периоде цикла pn,i =. 0 На рис. 4.7в приведен пример ПЦ2 c k = 3 с нелинейным отображением по обеим координатам и структуры 1, 1 c векторами нелинейного 0 r 2 r смещения pn,i = и pn,i = На рис. 4.7г приведен пример ПЦ1 структуры 2 r r с векторами p n,i = 2 и p n,i = 2. 0 0 Для построения алгоритма расчета параметров исследуемых систем, при которых возникают периодические движения, получим выражения для условия замыкания, аналогичные однокольцевым системам. Представим нелинейное отображение, описывающее динамику рассматриваемой системы, в виде: r rrr (4.2.2) qn +1 = Aэ qn + b pn, r где: Aэ - линеаризованная матрица системы, b - приведенный вектор r постоянного воздействия, pn = (p1, p 2 )T - суммарный взвешенный вектор n n r r нелинейного смещения qn за время T. Компоненты вектора pn определяются r компонентами векторов нелинейного смещения pn,i за время T. r Для k - итераций вектора qn в шкале n T получим:

1 1, 0 r где pn + j - суммарный вектор нелинейного смещения за (n+j) - й шаг r r отображения qn. В случае линейного отображения все векторы pn+ j,i, а значит r и pn + j имееют нулевые компоненты.

r r E A эk r b q n + k = A эk q n + E Aэ k 1 j= r A эk 1 j p n + j, (4.2.3) - 232 (4.2.4) r при этом хотя бы один из векторов pn+ j,i должен иметь отличную от нуля координату. При подстановке (4.2.3) в (4.2.4) получаем выражение для определения точек траектории ПЦ k 1 r r* k 1 j qn = ( E Aэ ) 1 b ( E Aэk ) 1 Aэ S n+ j. j = Для движения r r qn + k = q n, периода k необходимо выполнение условия (4.2.5) периода k определяются векторов Точки выражением r r r r* r* r* qn, qn+1,..., qn+ k 1 (4.2.5) при траектории (k-1) цикла циклических перестановках ( p n, p n +1,..., p n + p 1 ). Выражение (4.2.5) аналогично полученному во второй главе. r Найденный из уравнения (4.2.5) вектор qn будет определять точку траектории периодического движения заданной структуры. Анализ условий существования периодических движений заключается в определении параметров системы для которых выполняется (4.2.5).. В свою очередь, для возникновения движений необходимо определить граничные или бифуркационные значения параметров. Эта процедура основывается на анализе rr r последовательности векторов нелинейного смещения pn, pn +1,..., pn + k 1, соответствующих заданной структуре цикла. Докажем, что периодическое движение будет устойчивым, если устойчива r матрица Aэ. Пусть q0 начальное состояние (4.2.5) периодического движенения, rr r r определенного последовательностью pn, pn +1,..., pn + k 1. Предположим, что q1 начальное состояние некоторого движения, соответствующего той же rr r r r последовательности pn, pn +1,..., pn + k 1 и отстоящего от q0 на величину q1, rr r r r r rrr q1 = q0 + q1. Через k итераций q1 перейдет в q2. Сравним q1 и q2 = q2 q0 :

k 1 r r r r q1 = q1 ( E Aэ ) 1 b + ( E Aэk ) 1 Aэk 1 j p n + j, j= r E Aэk r k 1 k 1 j r r r q 2 = Aэk q1 + b Aэ p n + j ( E A э ) 1 b + EA j=0 k 1 r r + ( E Aэk ) 1 Aэk 1 j p n + j = Aэk q1.

j= (4.2.6) Согласно (4.2.6), цикл будет устойчив, если собственные значения матрицы Aэ по модулю меньше единицы. Определенные выражением (4.2.5) точки траектории циклического движения должны удовлетворять следующим требованиям:

- 233 1) все точки траектории в сечении фазового пространства плоскостью (, ) должны попадать в квадрат < 1, < 1 ;

2) хотя бы одна из точек траектории X n,i должна принадлежать области нелинейного отображения Q1, Q2.

При выполнении перечисленных требований условие (4.2.5) выступает необходимым для существования ПЦ структуры, определяемой r последовательностью векторов нелинейного смещения pn+ j,i, j = 0,1,..., k 1, i = 0,1,..., k1 k 2 1.

Рассмотрим методику определения области существования цикла заданной структуры. Выражение для нелинейного отображения (4.2.2) определяет изменение состояния системы в шкале времени T, однако не содержит в явном виде информации о нелинейном смещении в моменты между n T и ( n + 1) T (за исключением случая равных периодов дискретизации). Вся информация об r этом содержится в значении координат вектора смещения pn, который r непосредственно определяется последовательностью векторов pn+ j,i, i = 0,1,..., k1 k 2 1. Для отображения (4.2.2) и заданной последовательности r { pn+ j,i } введем понятие областей Q1,k и Q1,k. Из области Q1,k происходит r нелинейное движение вектора состояния qn, в область Q1,k он попадает после k шагов в шкале T. Пример областей Q1,k и Q1,k для k1 / k2 = 3 / 2 при условии существования единственного вектора нелинейного смещения 2 r pn, 2 = 0 приведен на рис. 4.8а. Локальная устойчивость приводит к сужению области Q1,k по сравнению с Q1,k, при этом чем больше k, тем эта область будет меньше.

Определить разбиение квадрата < 1, < 1 на области аналогичные Q1,k и Q1,k r для различных возможных последовательностей { pn,i } при заданных параметрах системы можно отображением квадрата < 1, < 1 в себя k раз с дискретом T. Полученное разбиение определит наборы подобластей Q j,k и и соответствующие им последовательности векторов нелинейного r смещения p j, 0 j k 1. При этом в случае линейного отображения (4.2.2) r все вектора p j, 0 j k 1, имеют только нулевые компоненты. Как было указано выше, для возникновения предельного цикла необходимо, чтобы хотя Qj,k - 234 C B _ Pn,j Q 1,6 Q1, O - 4 3 A - D а) C B Q2 QS O - Q Q S Q A - Q D б) C B Q2 QS O - Q Q S Q 2 Q A - D в) Рис. 4.8. Примеры областей нелинейного отображения - 235 r бы один из векторов p j, 0 j k 1, случае условие существование был отличен от нулевого. В этом движения периода (4.2.7) циклического p k определится выражением: Q1,k Q1,k I Q2,k Q2,k...Q p,k Q,k IQ1,k p Смысл записи (4.2.7) заключается в том, что для возникновения ПЦ периода r p k вектор состояния qn за p итераций в шкале n T обязан последовательно пройти через пересечения областей Qj,k I Q j +1,k при этом вернувшись в Q,k I Q1,k. Поставленное условие вытекает из требования p r сохранения последовательности векторов p j, 0 j k 1, для заданной пересечение структуры цикла. Еще одно условие на положение начальной точки цикла определяется выражением (4.2.7), а именно принадлежность к пересечению Q,k I Q1,k. Пример ситуации (4.2.7) для k = 2 приведен на рис. 4.8б. p Разбиение фазовой плоскости на подобласти Q j,k и Qj,k, соответствующие r определенному набору векторов p j, 0 j k 1, позволяет графически решить задачу о существовании ПЦ. При изменении параметров системы или начальных расстроек 1, картина распределения подобластей трансформируется, происходит нарушении цепочки (4.2.7), при этом исчезает существующий цикл. Граничная ситуация исчезновения цикла с k = 2 приведена на рис. 4.8в. Анализируя сказанное выше, глобальную устойчивость стационарного состояния можно определить исходя из невозможности существования хотя бы одной цепочки вида (4.2.7). На рис. 4.8б,в последняя обозначена через QS. Если при нелинейном отображении Qi,k Qi,k область Qi,k полностью принадлежит области QS, то объединение Qi,k U QS также будет областью сходимости стационарного состояния. Продолжая рассуждения, можно определить условие глобальной устойчивости стационарного состояния через условие существования пересечений областей нелинейного отображения: Q1,k Q1,k I Q2,k Q2,k...Q p,k Q,k QS, (4.2.8) p заполняющих все множество значений < 1, < 1.

- 236 4.3. Устойчивость связанных и комбинированных систем синхронизации В разделе выполнен анализ областей устойчивости в большом и в целом, полосы захвата двухкольцевых связанных СФС с преобразованием и без преобразования частоты и комбинированной системы частотно-фазовой автоподстойки. 4.3.1. Двухкольцевые СФС с преобразованием частоты Модель СФС с бесфильтровыми кольцами На рис. 4.9, 4.10 в двух вариантах координатных плоскостей: (, 1 ) и (, 1 ) приведены области существования различных периодических движений двухкольцевой бесфильтровой СФС соответственно для положительных и отрицательных взаимных связей. Первый вариант удобен для иллюстрации общей картины распределения областей существования ПЦ в параметрах одного и второго колец, второй - для определения полосы захвата системы. Как показал анализ процессов в связанной системе, влияние коэффициента в значительной степени слабее, чем влияние коэффициента µ […]. Объясняется это наличием канала подставки, через который дополнительное влияние оказывает µ. По этой причине основное внимание при анализе будет уделено процессам в СФС в зависимости от коэффициента µ Приведенные зависимости на рис. 4.9, 4.10 позволяют определить области глобальной устойчивости состояний синхронизма системы. Результаты на рис. 4.9, 4.10 приведены для простейшего некратного соотношения периодов k1 / k2 = 3 / 2 при 2 = 0. В то же время они являются достаточно типичными и для других достаточно близких соотношений k1 и k2 С ростом соотношения k1 и k2 наблюдается процесс усиления независимости колец, в этом случае хорошей оценкой процессов могут служить результаты анализа динамики отдельных колец (см. п. 2). Выполним анализ приведенных результатов. Их характерной особенностью является наличие предельных циклов с нелинейным смещением только по координате. Будем называть такие движения собственными циклами выходного кольца системы. Анализ показывает (рис. 4.9а, 4.10а), что 1,0 1,0 1,0 эти циклы образуют ряд следующего вида:,,,..., 1 2 - 237 1 7,0 6.6 12,0. 5,0 6.6 10,0. 1.0 10,0. 6,0 8,0 5.6 4,0 3.6 7.6 10,0 1,0 9.6 1.6 8,0 9.6 6,0 7.6 4,0 5.6 3,0 2,0 4.6. 3,0 4,0 3 6.6 7.6 5 1,0 2. =0 =0.5 2 =µ=0.1 k1/k 2 3 / 2 = 2,0 3. 1,0 1. 2,0 1.. 1.0 116 1,0 6. 2, =0 =0.5 2 =µ=0.1 k1/k 2 3 / 2 = 8,0. 136 6,0. 0.75 8,0. 0. 1,0 1,0 5.6 2,0 2.6 9.6 1,0 2,01,0 2,0 3.6 4.6 7.6 5. 2,0 1. 0. 4,0 9.6 4,0. 116 4,0. 136 2,0. 116 1,0 6. 0. 2,0 9.6 1,0 5. 2,0 5.6 1,0 3.6 2,0 7.6 1,0 4. 0. область захвата 0. область глобальной устойчивости 1.0 1.5 2. 2,0. 0. 0. 1. 1. 2. а) б) Рис. 4.9. Области устойчивости СФС с преобразованием для µ > 1 6,0 8,0.. 56 4,0 76 10,0. 36. 96 1,0. 16 6,0 8,0.. 76 =0 =0.5 =0 µ=0. 2,0. 16 1 1,0 1. = 2 2,0. 116 1,0 2,0 6.6 3.6 1,0 1,0 5.6 2,0 2.6 9.6 1,0 2,01,0 2,0..6 7.6 3 6 5.6 1.0 10,0. 4,0. 56 3,0. 1. =0.5 = 2,0 1. µ=0.1 k1/k 2 3 / 2 = k1/k 2 3 / 2 = 8,0. 136 6,0. 0.75 8,0. 4,0. 76 1,0. 26 2,0. 56 1,0. 36 2,0. 76 1,0. 0. 2,0. 0. 0. область захвата 0. 0. 2,0. 96 1,0. область глобальной устойчивости 1.0 1.5 2. 0. 0. 1. 1. 2. а) б) Рис. 4.10. Области устойчивости СФС с преобразованием для µ < - 238 1,0,... p +. В промежутках между циклами данного ряда возникают ПЦ, p 2,0 2,0 2,0 структуры которых можно выписать в следующий ряд:,,,..., 3 5 2,0 2 p +1,... p +. Каждый элемент данного ряда может быть получен из двух ссоседних элементов предыдущего путем сложения соответствующих составных частей символической записи, например:

1,0 1,0 1 + 1,0 2,0. Действие этого правила распространяется на + 2 3 2+3 5 циклы с тремя и более проскальзываниями, заполняющими пространство между ПЦ первого ряда. Известно, что при µ = =0 области существования ПЦ различных структур, за исключением кратных захватов и состояния равновесия, не пересекаются [90]. Объяснить это можно тем, что в этом случае кольцо подставки становится независимым и при наличии захвата в нем поведение системы полностью определяется выходным кольцом. Для положительных µ и области ПЦ начинают пересекаться и заходят в область существования состояния равновесия, что ведет в целом к уменьшению его области глобальной устойчивости (рис. 4.9а). При этом зависимость полосы захвата системы в параметрах выходного кольца принимает вид аналогичный СФС 2-го порядка (п. 2.3). Области состояния равновесия и кратных захватов изменяются незначительно, в то время как области других ПЦ наслаиваются на них. Подобный результат можно объяснить тем, что канал с µ по отношению к выходному кольцу следует рассматривать как источник увеличения частотных расстроек (см. рис.1.10). Последнее, в свою очередь, снижает фактическое значение начальных расстроек, при которых отсутствуют периодические движения. Очевидно, чем быстрее снимается дополнительная расстройка (за счет активности кольца подставки), тем меньше влияние дополнительных связей. Активность кольца подставки повышается, например, при больших отношениях k1 / k2. Для отрицательных µ и наблюдается обратный эффект. Предельные циклы находятся вне области равновесия и не оказывают влияния на его устойчивость (рис. 4.10). Полоса захвата определяется фактически свойствами выходного кольца, ее зависимость имеет вид, определяемый свойствами - 239 однокольцевой СФС (рис. 4.10б). Эффект вытеснения предельных циклов за границу области существования состояния равновесия при отрицательных связях наиболее проявляется в системе с ПИФ. Графики на рис.4.9, 4.10 приведены для 2 = 0, в этом случае картина распределения областей на плоскости (, 1 ) имеет симметричный вид относительно 1 = 0. При 2 0 симметрия и закономерности распределения областей сохраняется, однако вся картина смещается по оси 1 на величину (1 l ) k1 2. Подобные результаты приведены на рис. 4.11. v k На рис.4.12 приведено распределение областей существования ПЦ в параметрах кольца подставки при положительных связях. Сравнивая результаты, можно отметить сходство в распределении областей собственных циклов выходного кольца и кольца подставки. Для малого с ростом начальной расстройки кольца 2 в системе возникают ПЦ с нелинейным смещением по координате. В области средних значений (0. 5 < < 1. 5 ) при увеличении 2 в системе возникают ПЦ с нелинейным отображением по координате. Область больших усилений заполнена циклами с нелинейным смещением как по, так и по. При 2, близких к единице, возникают циклы комбинированной структуры с нелинейным смещением по координатам как в сторону увеличения так и в сторону их уменьшения. Число подобных ПЦ растет с ростом µ. В то же время для отрицательных µ подобные циклы не существуют. На рис. 4.13 приведено распределение областей периодических движений бесфильтровой СФС на плоскости начальных расстроек 1, 2. Характерным является симметричное относительно начала координат разбиение всей плоскости на области кратных захватов и стационарного состояния, границы которых определяются уравнениями: (1 l) k1 µ = 1 + 2 m1, (1 ) l k2 v µ v k l k + = 2 + 2 m2, (4.3.1) где m1, m2 - целые числа, соответствующие кратности захвата. Из графиков следует, что при нулевых связях для области не перекрываются друг с другом (4.13а). В случае положительных µ и происходит разворот областей и - 240 5,0 3.6 8,0 5.6 3,0 2.6 4,0 3. 2 =0. =0.5 µ==0.1 k1/k 2 =3/ 2,0 1. 1. 1,0 1. 0. 2,0 1,0 5.6 3.6 2,0 7.6 2,0 7.6 1,0 3.6 1,0 2. 2,0 3. область глобальной устойчивости 2,0 5.6 1,0 2.6 2,0 3. -0. 2,0 1. -1.0 0. 1. 1. 2. Рис. 4.11. Область устойчивости выходного кольца для 2 0,18 11.6 1,3 1.6 2,0 1. 1. 0,2 1.6 0,9 0,12 5.6 7.6 0,5 0,3 3.6 2.6 0,4 3.6 0,9 0,6 7.6 5. =0.5 =µ=0.1 k1/k 2 =3/2 1 = 3,6 2.6 3,0 4,0 2.6 3. 0. 0,12 11.6 0,6 9,6 7.6 11. 0,9 0,1 8.6 1.6 0,3 4.6 0,3 5.6 0,1 2.6 0,3 7.6 0,3 8. 32,4 5. 1,0 1. 2,3 1. 0. 0,6 9.6 0,6 11. 2,0 3. 0. область глобальной устойчивости 0. 1. 1. 2. Рис. 4.12. Область устойчивости кольца подставки - 241 1. 2,3 1. =1.0 =1.0 =µ=0 k1/k 2 =3/ 2,0 1.6 0,3 1. 0. область захвата -0. 0,3 1. 2,0 1. 2,3 1. -1. -1. -0. 0. 1. а) 1. 1,2 1.6 2,3 1. =1.0 =1.0 =µ=0.1 k1/k 2 =3/ 1,0 1. 2,0 1.6 0,3 1.6 1,1 1.6 0,2 1. 0. 21,4 2.6 0,1 1.6 21,2 2. 1,3 1.6 12,4 2. 1,3 1.6 12,2 2. 1,0 1. область захвата 0,1 1.6 1,2 1. -0. 0,2 1.6 0,3 1.6 1,1 1.6 2,0 1. -1. 2,3 1. -1. -0. 0. 1. б) Рис. 4.13. Область захвата СФС с преобразованием на плоскости частотных расстроек - 242 частичное их перекрытие (рис.4.13б), кроме того в окрестности пересечений возникают циклы сложных структур с нелинейным смещением по обеим фазовым координатам. В этой же области возникают ПЦ комбинированной 1 2, 4 2 1, 2 1 2, 4 2 1, 2 структуры: ( ), ( ), ( )и( ). Подобные циклы являются 26 26 26 26 промежуточными между циклами с нелинейным смещением в сторону увеличения и убывания координат. Появление их связано с возникновением периодических движений в окрестности точек разрыва рабочих характеристик фазовых детекторов функций F() и Ф( ). Для отрицательных связей между кольцами перекрытия областей существования циклов различных структур не наблюдается. Зависимости границ захвата СФС в параметрах выходного кольца для различных значений коэффициентов µ и приведены на рис. 4.14а. Необходимо подчеркнуть достаточно сильное влияние на область захвата в области средних усилений (0. 5 < < 1. 5 ) коэффициента µ (зависимость от параметра выражена более слабо и при µ = 0 практически исчезает). Рост положительных связей между кольцами приводит к уменьшению полосы захвата системы. Подобную зависимость можно объяснить различной природой периодических движений, ограничивающих сверху область захвата системы. Влияние отрицательных связей на полосу захвата бесфильтровой связанной СФС практически отсутствует, поскольку отсутствует влияние на область существования кратного захвата, определяющего полосу захвата. Для анализа все возникающие в системе периодические движения предлагается условно разбить на две группы. В первую следует отнести кратные захваты. Специфика таких ПЦ заключается в постоянстве состояний фазовых детекторов и частот сигналов перестраиваемых генераторов колец. Фактически такое состояние можно отнести к разряду статических состояний системы. Во вторую группу ПЦ относятся все остальные периодические движения, возникающие в системе. Как показывает анализ, существование последних определяется динамическими свойствами колец системы, вследствие периодического изменения координат системы (выходные потенциалы фазовых детекторов, управляющие напряжения, частоты сигналов перестраиваемых генераторов). Анализ областей ПЦ, приведенных на рис. 4.14а показывает, что в диапазоне средних усилений (0. 5 < < 1. 5 ) границу полосы захвата определяют - 243 =0.5 =0.1 k1/k 2 =3/2 2 = 1. µ= µ=0.05 µ=0.1 µ=0. µ=0.2 0. 0. область захвата 0. 0. 1. 1. 2. а) µ=0.2 µ=0.1 1.0 µ=0 =0.5 =0.1 k1/k 2 =3/2 1 = 0. 0. 0. область захвата µ=0.1 µ=0.2 µ=0 1.0 1.5 2. 0. б) Рис. 4.14. Полоса захвата выходного кольца (а) и кольца подставки (б) - 244 ПЦ2, появление которых связано с динамическим увеличением расстройки за счет введения дополнительных связей. При этом влияние цепи с µ связано с непосредственным воздействием через управление перестраиваемым генератором кольца поставки, а также через структурное воздействие на это кольцо. В свою очередь, чем ближе к оптимальным подобраны динамические характеристики колец, тем выше граница, определяемая этими движениями. В области малых усилений ( < 0. 5 ) увеличение µ и также ведет к сокращению полосы захвата, причем количественное влияние обоих коэффициентов близко. Подобная зависимость объясняется внесением дополнительных постоянных расстроек в выходное кольцо за счет ненулевых µ и, что эквивалентно уменьшению полосы удержания выходного кольца системы. В диапазоне больших усилений ( >1. 5 ) расширение полосы захвата при увеличении коэффициентов µ и связано с сокращением области кратного захвата, которое можно рассматривать, как статическое состояние системы. При этом очевидно, что основные закономерности изменения последней будут аналогичны области состояния равновесия. Зависимости границ полосы захвата системы в параметрах кольца подставки для различных значений коэффициентов взаимосвязи µ приведены на рис. 4.14б. При µ = 0 кольцо подставки становится независимым и, естественно, было бы ожидать результатов, аналогичных дискретной СФС 1-го порядка. Однако наблюдается сокращение полосы захвата в большом диапазоне средних значений усиления за счет появления циклических движений второго рода в выходном кольце системы. На рис.4.14б эта граница имеет вид гиперболы. С ростом µ она изменяется несущественно, в то же время область захвата для малых значительно вытягивается. Поднятие "полочки при малых можно объяснить постоянным компенсирующим влиянием канала с µ по отношению к расстройке кольца подставки. Граничное значение 2 в данном случае определяется существованием состояния синхронизма в системе. При больших усилениях ( >1. 5 ) увеличение µ приводит к сокращению области, определяемой кратным захватом кольца подставки (статические свойства), и ее увеличению за счет компенсирующего влияния на режим захвата в процессе подстройки. Рост соотношения k1 / k2 можно рассматривать как увеличение частоты дискретизации кольца подставки, соответственно повышение его активности в - 245 связанной системе. Фактически это приводит к тому, что кольца становятся менее зависимы. В этом случае зависимости полос захвата колец системы приближаются к виду однокольцевой СФС 1-го порядка [15].

Модель СФС с ПИФ в выходном кольце При анализе двухкольцевой СФС с бесфильтровыми кольцами была установлена принципиально различная роль знака коэффициентов взаимных связей между кольцами. Положительные связи приводят к перекрещиванию областей существования различных периодических движений между собой, включая область существования состояния равновесия. Как следствие, уменьшение области захвата колец, при этом характер ее зависимости повторяет аналогичный для одокольцевых систем 2-го порядка. Роль отрицательных связей противоположна, однако с учетом относительной независимости области кратного захвата, определяющего полосу захвата СФС 1-го порядка, от связей между кольцами, связанная система повторяет результат независимых колец 1-го порядка. Иначе обстоит дело в связанной системе с фильтром в выходном кольце. На рис. 4.15-4.16 приведены области существования различных периодических движений двухкольцевой СФС с ПИФ в двух вариантах координатных плоскостей:

(, 1 ) и (, 1 ) соответственно для положительных и отрицательных взаимных связей.. Прежде всего отметим, что даже µ = = 0 наблюдается значительное перекрытие областей существования предельных ПЦ2 различных структур, тем самым подтверждается вывод об одновременном существовании циклов в СФС 2-го порядка с ПИФ [70]. Аналогичный результат был получен для двухкольцевой бесфильтровой СФС при µ 0, 0. Наличие положительных связей привело к еще более сильному пересечению и, как следствие, к более сложной картине распределения одновременно существующих периодических движений. На рис. 4.15а,б приведены результаты анализа областей существования периодических движений и полосы захвата при µ > 0, > 0, позволяюшие количественно оценить изменение границ областей ПЦ. Отрицательные связи приводят, во-первых, к уменьшению областей перекрытия различных движений, что упрощает в целом поведение связанных систем, даже по сравнению с однокольцевыми 2-го порядка (рис. 4.16а,б). Во вторых, наблюдается вытеснение вращательных движений за границу - 1 6,0 8,0. 56 4,0 7.6 10,0 1,0 3.6 9.6 1.6 8,0 6,0. 9.6 7 6 4,0 5.6 3,0 2,0 3,0 4.6. 36 5.6 4,0 7.6 1,0 2. 1. 1. 2,0 9.6 1,0 4.6 2,0 7.6 1,0 2,0 3.6. 5 6 2,0 3. =0.5 =0.5 m=0.5 =0 2 µ=0.1 =0.1 k1/k = 3 / 2 2,0 1. 0. =0.5 =0.5 m=0.5 =0 2 =0.1 µ=0.1 k1/k = 3 / 2 2,0 1. 0. 1,0 2. 1,0 1. 0. 4,0 9. 0. 2,0 9. 2,0 5.6 1,0 3.6 2,0 7.6 1,0 4. 0. область захвата 0. 2,0 1. область глобальной устойчивости 1.0 1.5 2. 2,0. 0. 0. 1. 1. 2. а) б) Рис. 15. Области устойчивости СФС с ПИФ в выходном кольце для µ > 1 6,0 8,0. 56 4,0 7.6 10,0 3.6.6 9 1,0 1.6 8,0 6,0. 9.6 7 6 4,0 5.6 3,0 2,0 3,0 4.6 3.6 5.6 4,0 7. 1. =0.5 µ=0.1 =0 2 k1/k = 3 / 2 =0 m=0.5 =0. 1. 2,0 9.6 1,0 4.6 2,0 7.6 1,0 2,0 3.6. 5 6 2,0 3. =0.5 =0.5 m=0.5 =0 2 µ=0.1 =0.1 k1/k = 3 / 2 2,0 1. 0. 0. 1,0 2. 0. 1,0 2.6 2,0 1. 1,0 1. 0. 2,0 9. 2,0 5.6 1,0.6 3 2,0 7.6 1,0 4. 0. область захвата 0. 2,0. область глобальной устойчивости 1.0 1.5 2. 0. 0. 1. 1. 2. а) б) Рис. 4.16. Области устойчивости СФС с ПИФ в выходном кольце для µ < - 247 k 1=1 k 2=1 2=0 =0.5 =0.1 1=0.1 m =0. 1. 0. 0.5 µ=0.3 0.25 µ=0.1 µ=0.2 µ=0. 0. 1. 1. 2. Рис. 4.17. Области существования колебательных движений 32,0 4.3 1,0 1. 1. 21,0 3. 2 = =0.5 =0.1 1=0.1 m =0.05 k 1=3 k 2= µ=0.15 0.75 µ=0.2 µ=0.25 0.5 µ=0.15 0.25 µ=0.2 µ=0. 0. 1. 1. 2. Рис. 4.18. Области существования циклов различного типа - 248 существования состояния равновесия. Все это приводит к увеличению полосы захвата системы по сравнению не только со связанными системами с положительными связями, но и однокольцевыми 2-го порядка. Анализ нелинейного поведения системы в зависимости от параметров фильтра выявил ряд особенностей. К их числу относятся предельные циклы 1го рода, возникающие в области малых начальных расстроек при положительных связях, а также значительное число различных циклов 2-го рода комбинированной структуры. Циклы 1-го рода возникают с ростом постоянной времени фильтра (малое p ) и уменьшении коэффициента форсирования (малое m ). На рис. 4.17 приведены области ПЦ 1-го рода, возникающие в системе при малых начальных расстройках. Циклы возникают при положительных µ и разрушаются с их уменьшением. Характер областей существования и их зависимость от параметров на качественном уровне полностью повторяют аналогичные результаты для СФС 3-го порядка (р. 3.3, 3.4). Это, в свою очередь, подтверждает тот факт, что существование определенного типа движений, надо связывать не с конкретной физической системой, а с реализацией ряда формальных признаков, присущих данному типу движений. В отношении симметричных циклов 1-го рода к их числу в первую очередь относится симметрия фазового портрета и возможность изменения направления движения. Второе является признаком систем высокого порядка. С ростом начальных расстроек вид фазового портрета теряет симметрию, что приводит к постепенному исчезновению ПЦ1 и замене их сначала циклами второго рода комбинированной структуры, занимающими промежуточное положение, а затем циклами с нелинейным смещением одного знака. Сказанное подтверждается результатами, приведенными на рис. 4.18. Анализ распределения областей движений двухкольцевых СФС с ПИФ на плоскости начальных расстроек ( 1, 2 ) для положительных (рис. 4.19а) и отрицательных (4.19б) взаимных связей подтвердил на качественном уровне результаты, полученные для бесфильтровой СФС. Положительные связи приводят к сужению области захвата, отрицательные – к расширению. На рис. 4.20, 4.21 приведены области захвата двухкольцевой СФС с ПИФ в выходном кольце для различных связей между кольцами. С ростом положительных связей наблюдается уменьшение полосы захвата системы в области средних усилений (0. 5 < < 1. 5 ) (рис. 4.20а). Наоборот, с ростом - 249 1. 2,3 1.6 0,1 1. k1 = 3 / 2 /k 2 =µ=0. 2,0 1.6 0,2 1.6 0,3 1. =1.0 =1.0 =1.0 m =0. 0. 1,0 1. 1,3 1. 21,4 2.6 1,3 1. область захвата 12,4 2. -0. 0,2 1.6 0,3 1.6 2,0 1. 1,0 1.6 0,1 1.6 2,3 1. -1. -1. -0. 0. 1. а) 1. 2,3 1. k1 = 3 / 2 /k 2,0 1.6 0,3 1. =1.0 =1.0 =0 µ=0.1 =1.0 m =0. 0. 1,0 1. 1,3 1. область захвата 1,3 1. -0. 1,0 1.6 0,3 1.6 2,3 1. -1. -1. -0. 0. 1. б) Рис. 4.19. Область захвата двухкольцевой СФС с ПИФ для а) положительных связей, б) отрицательных связей - 250 0.99 0. =0.5 =1.0 =0 µ=0. k1=3 k2=2 2= =0.5 =1.0 =0 µ=-0. 0.75 0.5 0.25 0. k1=3 k2=2 2= 0.5 0.25 m=0. m=0. Область захвата Область захвата а) б) Рис. 4.20. Полоса захвата двухкольцевой СФС для а) µ > 0, б) µ < -0.2 -0.1 0. =0.5 =1.0 = m=0.5 k1=3 k2=2 2= µ=0. 0.2 0. Область захвата Рис. 4.21. Полоса захвата двухкольцевой СФС для различных параметров ПИФ - 251 отрицательных связей наблюдается увеличение полосы захвата. Данный результат подтверждается зависимостями, приведенными на рис. 4.21. Уменьшение параметров фильтра m и приводит к сокращению области захвата выходного кольца системы (рис.4.20), подобная зависимость была получена для отдельного кольца импульсной СФС второго порядка [2-я глава]. Введение положительных связей приводит к более заметному снижению границы области захвата, особенно в области средних усилений (0. 5 < < 1. 5 ) (рис. 4.20а). Введение отрицательных связей подобную тенденцию существенно ослабляет (рис. 4.20б). Как и в случае бесфильтровых колец, рост соотношения k1 и k2 приводит к ослаблению влияния связей между кольцами, при больших соотношениях кольца можно считать независимыми.

4.3.2. Двухкольцевые СФС с двумя внешними опорными колебаниями Результаты исследования устойчивости двухкольцевой СФС с двумя внешними опорными колебаниями получены с применением методики и алгоритмов, полученных в разделе 4.2. Поскольку система без преобразования частоты является структурно симметричной, то с учетом взаимного влияния достаточно результаты представить для одного из колец. На рис. 2.22 – 2.24 приведены области существования различных периодических движений и полосы захвата двухкольцевой СФС для различных знаков взаимных связей. На рис. 4.22 это сделано для соотношения k1 / k2 = 2 при нулевой частотной расстройке во втором кольце 2 = 0, на рис. 4.23 – для k1 / k2 = 5 и различных частотных расстройках во втором кольце. Отметим, что в силу абсолютной симметрии колец при k1 / k2 = 1 изменение знаков взаимных связей на противоположные с сохранением их абсолютных значений ничего не меняет. С ростом соотношения k1 / k2 но сохранением связей заметных изменений также не наблюдается. При малых отношениях сказывается симметрия, при больших, как и в случае системы с преобразованием частоты, кольца становятся практически независимыми. Кольца становятся независимыми и при стремлении одной из связей к нулю. Данный результат имел место и при анализе локальной устойчивости связанной СФС (рис. 4.5).

- 252 1,0 2,0 2 1 5 1 2,0 5 µ=±0.5 =±0.5 2=0 =0. k1=2 k2= 2,0 5 1 2,0 5 1 1,0 2 µ=±0.25 =±0.25 2= k1=2 k2= =0. 1,0 3 2,0 7 1 1,0 4 1 1,0 5 1,0 3 2,0 7 1 1,0 4 1 1,0 5 1,0 6 1,0 6 а) б) µ=0.25 =-0.25 2=0 =0. k1=2 k2= 2,0 1,0 5 1 2 1 2,0 5 2,0 5 1 2,0 5 1 1,0 2 µ=0.5 =-0.5 2=0 =0. k1=2 k2= 1,0 3 2,0 7 1 1,0 4 1 1,0 5 1,0 3 2,0 7 1 1,0 4 1 1,0 5 1,0 6 1,0 6 в) г) Рис. 4.22. Области существования периодических движений двухкольцевой СФС для k1 = 2, k2 = - 253 2,0 1,0 5 1 2 1 2,0 5 µ=-0.5 =0.5 2=0 =0. k1=5 k2= 2,0 5 1 1,0 2,0 2 1 5 0,4 0,4 0,4 31 0,4 32 µ=-0.5 =0.5 2=0.25 =0. k1=5 k2= 1,0 3 1,0 3 4, 1,0 4 4 1,0 5 1 1,0 6 1 1,0 7 1,0 4 1,0 5 1,0 6 1 1,0 7 а) б) 0,4 µ=-0.5 =0.5 2=0. 0,1 4 2,0 1,0 5 1 2 0,1 5 0,4 µ=-0.5 =0.5 2=0. 0,4 18 2,0 5 1,0 2 =0. 0,4 1,0 4 k1=5 k2= 1,0 3 1,0 3 0,1 5 0,4 171 0,4 19 =0. 0,4 k1=5 k2= 1,0 5 1,0 4 0,1 0,4 4 1 21 0,4 0,4 19 0,4 0,4 31 0,4 32 1,0 5 1 1,0 6 1 1,0 7 0,4 18 0,4 1,0 6 1 1,0 7 0,4 0,4 0,4 21 1 221 31 0,4 32 0,4 в) г) Рис. 4.23. Области существования периодических движений двухкольцевой СФС для k1 = 5, k2 = - 254 С ростом абсолютных значений µ и при одинаковых знаках наблюдается уменьшение области существования состояния равновесия как по расстройке 1 так и по усилению (рис. 4.22а,б). Рост абсолютных значений µ и при разных знаках приводит к увеличение области существования состояния равновесия, однако оно сопровождается в области средних появлением периодических движений 2-го рода (рис. 4.22в,г), ограничивающих область устойчивости. За счет связей различных знаков области существования ПЦ2 смещаются в сторону больших усилений. Введение расстройки по частоте во второе кольцо существенно сужает область устойчивости за счет возникновения циклов 2-го рода по второй из координат (рис. 4.23а-г). Характерным для значительных расстроек 2 является существование циклов с большими периодами (рис. 4.23в,г). Для малых усилений с ростом 2 (рис. 4.23б-г) наблюдается ограничение области устойчивости, вызванное нарушением условия существования состояния равновесия. На рис. 4.24 приведены результаты анализа зависимости полосы захвата от усиления для различных значений коэффициента µ и фиксированного значения = 0.5. Для рис. 4.24а,б усиление второго кольца = 0.5, для рис. 4.24в,г - = 0.1. Для всех зависимостей характерен следующий результат. При 2 = 0 (рис. 4.24а,в) при изменении µ от достаточно больших положительных значений до отрицательных наблюдается уменьшение полосы захвата в области малых усилений. При 2 0 (рис. 4.24б,г) в области малых усилений захват отсутствует, особенно это проявляется при больших усилениях во втором кольце (рис. 4.24б). При больших усилениях зависимость полосы захвата носит неоднозначный характер. Для значительных усилений во втором кольце (рис. 4.24а,б, = 0.5 ) с уменьшением µ граница полосы захвата монотонно сдвигается вправо в сторону больших до границы локальной усойчивости. В случае малых усилений во втором кольце (рис. 4.24в,г, = 0.1) с изменением µ правая граница полосы захвата ведет себя немонотонно. Подобный характер объясняется достаточно сложной диаграммой распределения областей существования циклов 2-го рода с увеличением координаты при малых (рис. 4.23).

- 255 =-0.5 2= 0.75 0.5 0. =-0.5 2=0.25 =0. -0.5 -0.25 µ=0 0. 1. =0. k1=5 k2= k1=5 k2= µ= -0.25 0.5 -0.5 0.75 1. а) =-0.5 2= 0.75 0. б) =-0.5 2=0.25 =0. k1=5 k2= 1. =0. -0.5 -0.25 µ=0 0. k1=5 k2= 0. µ= -0.25 0.5 -0.5 0.75 1. в) г) Рис. 4.24. Полоса захвата двухкольцевой связанной СФС для k1 = 5, k2 = - 256 4.3.3. Импульсно-цифровые системы частотно-фазовой автоподстройки В разделе изучается нелинейная динамика двух вариантов комбинированной системы, математической моделью которых являются отображения (1.2.37) и (1.2.38) с F ( ) = F1 ( ). Первый случай соответствует условию T1 / T2 > 1, второй - T1 / T2 < 1. Для T1 / T2 > 1 в новой шкале времени 0, Т1, 2Т1,..., nТ1 состояние системы r полностью определяется вектором состояния qn = ( n, Yn )T. Согласно (1.2.37) характер процессов не зависит от. Собственные значения линеаризованной матрицы, соответствующей (1.2.37), имеют значения: 1 = 1, 2 = 1-d0( - /k). Вследствие равенства единице одного из собственных значений, стационарное состояние зависит от r вектора начального состояния q0 = ( 0, Y0 )T, соответственно рассматриваемая система должна быть отнесена к системам нейтрального типа. Локальная устойчивость состояния равновесия определится выражением |1-d0(-/k)|< (4.3.2) На рис. 4.25 приведена развертка фазового цилиндра системы. Здесь приведен ряд вспомогательных построений. Прямые отображения с сохранением координат n и Yn имеют соответственно вид: n = Yn и (1 d)Yn=n. Поскольку = /(1-d), то прямые совпадают. Используя периодичность по, получим множество возможных стационарных состояний системы в виде отрезка АВ:

n = Yn. n < (4.3.3) Отрезок АВ делит полосу |n|<1 на две области, в каждой из которых в случае устойчивой системы движение вектора состояния происходит в одном направлении - в сторону АВ. На рис. 4.25 области Q1, Q2 – области нелинейного отображения с проскальзыванием фазы на период;

Q1, Q2 – области, в которые происходит отображение соответственно из Q1, Q2. Заметим, что фазовый портрет системы симметричен относительно начала координат. Докажем, что в рассматриваемой системе не возникает циклы 2-го рода. Предположим обратное, существует простейший цикл с одним проскальзыванием периода k. Линеаризованная система, соответствующая - 257 r r (1.2.37) описывается матричным уравнением q n +1 = Aq n где матрица А имеет вид 1 1 A=. d (4.3.4) В этом случае необходимое условие возникновения цикла примет вид r rrr qn+1 = Ak qn + p = qn, (4.3.5) r где p = (2, 0)T - вектор нелинейного отображения на периоде. Из (4.3.5) следует r r ( A k E ) qn = p. (4.3.6) Поскольку одно из собственных значений матрицы равно единице, то матрица ( Ak E ) - линейно зависимая, отсюда уравнение (4.3.6) не имеет решения для r p = (2, 0)T. Это в свою очередь означает, предельных циклов 2-го рода с одним проскальзыванием не существует. Аналогично можно показать, что не существует ПЦ2 и с другим числом проскальзываний.

Y N Q1 A Q Y Q1 E G A -1 N - Q Q M B Q F P B Q2 P Рис. 4. Рис. 4. Полученный результат вполне логично вытекает из симметрии фазового цилиндра и всех дополнительных построений. По этой же причине естественно предположить существование симметричных движений ПЦ1. Рассмотрим возможность их возникновения. Прямые АN и ВР ограничивают области нелинейного отображения. Их уравнения соответственно имеют вид:

- 258 1 1 1 1 Y+,= Y. (4.3.7) 1 1 1 1 Отсюда видно, что наклон прямых АN и ВР зависит от значения разности = (1-). В случае, когда эта разность отрицательна, развертка фазового цилиндра имеет вид, приведенный на рис. 4.26. Прямые EG и MF - границы области Q1 описываются соответственно уравнениями = 1 1 1 1 Y+,= Y 1 1 1 Точки F (3d -;

1) и M(2d - ;

-1) при выполнении условий устойчивости (4.3.2) лежат соответственно правее точек Р(-2;

1) и В(-;

-1). Следовательно области Q2 и Q1 не пересекаются. Это приводит к невозможности ПЦ1. В случае <0 условие устойчивости (4.3.2) не выполняется, поэтому эта ситуация не рассматривается. Из условия 0 < <1 следует 1 < d < 1. Для 0

X N Y Q G S A Q E Q D N G E A / -1 - M Q B J P Q Q B B M Q S F C L P Рис. 2.27 Рис. 4.28 Таким образом, рассмотренный вариант системы обладает устойчивостью в целом при любых параметрах, обеспечивающих локальную устойчивость стационарных состояний.

- 259 Пусть T2/T1 > 1. Система уравнений имеет вид (1.2.38). Линеаризованная модель, соответствующая данному случаю, запишется следующим образом:

1 k k n+1, 0 = n, 0 ( xn ), 1 k k xn+1 = (1 ) xn ( n, 0 ( xn )) + (4.3.8) где =1-/k. Произведя замену Yn = 1 k ( xn ), получим систему уравнений (4.3.9) n+1, 0 = k n, 0 + Yn. Yn+1 = k 1 (1 k ) n, 0 + (1 k 1 )Yn Перейдем к матричному уравнению вида r r q n +1 = Aq n, k 1 r, qn ( n, 0, Yn ) T. A = k 1 k k 1 (1 ) 1 (4.3.10) Матрица A имеет собственные значения 1 = 1, 2 = k-1(-). Как и в предыдущем случае, существует множество стационарных зависящих от начальных условий, устойчивых при (1 состояний, k )( 1 k ) < 1.

(4.3.11) Аналогично система уравнений стационарных соcтояний имеет вид k ( 1 ) = Y. < (4.3.12) В координатах (, х) система (4.3.12) запишется следующим образом 1 = ( x ). < (4.3.13) Вследствие того, что одно из собственных значений матрицы А равно единице, в системе не возникают ПЦ2. Проанализируем возможность возникновения циклов 1-го рода. Рассмотрим развертку фазового цилиндра, приведенную на рис. 4.28. Здесь отрезок АВ представляет множество стационарных состояний (4.3.13). Аналогично первому случаю вся полоса | |<1 делится отрезком АВ на две части, в каждой из которых движение конца вектора состояний системы - 260 происходит в одном направлении - в сторону АВ (при условии локальной устойчивости). На рис 4.28 Q1, Q2 - области нелинейного отображения. Границы области линейного отображения (стартуя из нее вектор состояния не попадает в области Q1, Q2) - прямые AN и BP, уравнения которых определяются условием k 1 k ( x ) = ±1.

(4.3.14) Таким образом, для локально устойчивой системы попадание в область ANBP означает существование единственного стационарного состояния, расположенного на отрезке АВ. Рассмотрим два случая, соответствующие малому и большому усилению в кольце ИФАПЧ. Пусть а/k<1. Несложно показать, что необходимым условием r возникновения ПЦ1 является попадание вектора q n в область цилиндра (за исключением области линейных движений ANBP): при < < xn < + 2 2, < и при > (4.3.15) + < xn < 2 2. (4.3.16) < 1 На рис. 4.29 этим условиям соответствуют заштрихованные области в прямоугольнике MFGL. Справедливость приведенных рассуждений легко доказать, производя отображение отрезка хn=const. Анализируя неравенства (4.3.15), (4.3.16), несложно заметить, что диапазон возможных значений увеличивается при 2. Для начальных условий, выходящих за рамки (4.3.16), неограниченно возрастает |хn|. Отметим, что в случае 1 область возможных циклов (4.3.15) лежит внутри области линейного отображения, поэтому ПЦ1 не возникают, а значит в этом случае система является глобально устойчивой.

- 261 Z1 L X G P B X B Z C -1 P N -1 D A A N M F Рис. 4.29 При Рис. 4. > 1 достаточные условия возникновения ПЦ1 получаются непосредственно из условия n+2, 0 = n, 0, Yn +2 = Yn. Начальные точки возможных циклов на плоскости располагаются на отрезках параллельных прямых в полосе < 1 в зависимости от количества проскальзываний и номеров шагов, на которых произошли проскальзывания. Анализ поведения системы на плоскости состояний в области, ограниченной необходимыми условиями (4.3.15), показывает, что по мере увеличения (1 < 2) первыми возникают циклы с одним проскальзыванием на на периоде Т2. Приведенные рассуждения количество проиллюстрированы рис. 4.30, здесь /k < 1, > 1, проскальзываний на периоде Т2 равно одному, шаг проскальзывания – второй. Таким образом, в случае /k < 1 нижняя граница области глобальной устойчивости по параметру определяется условиями возникновения циклов с одним проскальзыванием на периоде Т2. Общий вид плоскости состояний при /k > 1 приведен на рис. 4.31. Здесь AD и BC - прямые, ограничивающие области нелинейного отображений Q1, Q2;

AN, BP - прямые, ограничивающие область линейных движений. Прямые AN, BP рассчитываются по начальным точкам (n,0;

xn), (n+1,0;

xn+1), при этом их наклон имеет постоянное значение, равное C1 = n+1, 0 n, xn+1 xn = 1 k k. и BC фиксирован параметрами (4.3.17) системы Наклон прямых AD C 2 = /( k ).

- 262 Из (4.3.17) следует, что наклон прямых AN, BP может изменять знак в зависимости от k, так как = 1-/k < 0, причем, при четном k их наклон отрицательный, при нечетном k - положительный. Поэтому в зависимости от четности k в системе существуют периодические движения различного вида. При четном k и выполнении условий 1 k k < k (4.3.18) возможны ПЦ1 несимметричной структуры (рис. 4.31). Из начальных состояний, находящихся в заштрихованной области, возникают циклы:

n + m,0 = n,0, xn + m = xn (4.3.19) при этом m принимает широкий спектр значений. При четном k и k 1, < k 1 k (4.3.20) а также при k нечетном циклов типа (4.3.19) не существует. Однако в данном случае остаются ПЦ1 симметричной структуры n+2, 0 = n, 0, Yn +2 = Yn, условия возникновения которых определяются аналогично случаю /k < 1. Таким образом, анализ фазовых портретов для T2/T1 > 1 позволяет сделать следующие выводы. Характер движений в системе не зависит от, а стационарные состояния определяются начальными условиями. В отличие от случая T1 / T2 > 1, для определенных параметров системы движения 1-го рода, что ограничивает диапазон значений, обеспечивающих устойчивость в целом. Область глобальной устойчивости обусловлена следующими условиями. При малом усилении в кольце СФС (/k < 1) и малом усилении в кольце ЦЧАП ( 1) периодические движения отсутствуют, система устойчива в целом. В полосе 1 < 2 в системе возможны ПЦ1. Первыми при увеличении возникают циклы с одним проскальзыванием на периоде Т2. В случае большого усиления в кольце СФС (/k > 1) циклы возникают как при большом, так и при малом усилении в цифровом кольце. Отличие состоит в том, что для > 1 возможны ПЦ1 симметричной и несимметричной структуры, в то время как при < 1 возникают циклические движения только вида (4.3.19).

- 263 Для конкретных инженерных задач области параметров глобальной устойчивости для малого усиления в кольце СФС (/k<1) определяются минимальными значениями, при которых возникают ПЦ вида n+2,0 = n,0, Yn +2 = Yn, с одним проскальзыванием на периоде Т2. В случае большого усиления в кольце СФС (/k > 1) для устойчивой в целом системы диапазон значений ограничен сверху ПЦ1 вида n+2, 0 = n, 0, Yn +2 = Yn, а также условием (4.3.18) возникновения циклов несимметричной структуры (4.3.19) при четном k. В качестве примера на рис. 4.31, 4.32 приведено распределение областей существования ПЦ1 для k=4 и k=7 с числом проскальзываний на периоде Т2, равным 1, 2, 4 и 7.

k c =2 k c =2 k c =1 k c =4 k c =4 k c =1 k c =2 k c =7 k c =1 1 k c = ПЦ несимметричной структуры Рис. 4. Рис.4. Различным областям соответствуют циклы с различной структурой (линией 1 ограничена область локальной устойчивости). Анализ приведенных рисунков позволяет установить диапазон параметров, обеспечивающих устойчивость системы в целом.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.