WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ярославский государственный университет им. П.Г.Демидова На правах рукописи УДК 621.396 Казаков Леонид Николаевич НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ ...»

-- [ Страница 2 ] --

Согласно (2.2.1) точка O(0, x0) с увеличением g будет смещаться вверх. Решая неравенство x< с учетом (1.1.1) при =1 (точки O, B, D слились), можно получить условие на существование равновесного состояния : g /((1 d ) + ) < 1. (2.2.2) Заметим, что структура фазового пространства симметрична относительно смены знака g, поэтому в дальнейшем, не теряя общности, будем рассматривать g>0. Данный результат следует непосредственно из уравнения - 80 (1.1.1), для которого легко доказывается инвариантность относительно одновременной замены n = –n, xn = –xn, g = –g. На рис. 2.14 стрелками показаны направления движения системы в каждой из областей, ограниченных прямыми L,0 и Lx,0. Сами прямые являются границами, при переходе которых направление движения по соответствующей координате меняется на противоположное. По сути они представляют собой дискретные аналоги изоклин вертикальных (L,0) и горизонтальных (Lx,0) касательных. Для определения областей с положительным направлением изменения координат согласно (1.1.1) необходимо решить систему неравенств n+1 n = F ( n ) + xn > 0. xn+1 xn = F ( n ) (1 d ) xn + g > (2.2.3.) Области с отрицательным направлением изменения координат получаются из неравенств, противоположных (2.2.3). Зная направление движения системы, можно предположить с большой вероятностью ее состояние после очередного шага. Например, легко увидеть, что движение из областей BOD (вниз и влево) и AOC (вверх и вправо) может происходить только вовнутрь развертки цилиндра и будет линейным. Движение из области COBCL будет происходить вверх и влево и при определенных условиях приведет к выходу системы за левую границу развертки. Определим области нелинейного отображения, стартуя из которых система выйдет либо за правую (=1), либо за левую (= –1) границы развертки фазового цилиндра и попадет на ее соседний период. Для нахождения первой из них (обозначим ее через Q1) положим в первом уравнении (1.1.1) n+1 = 1, в результате придем к уравнению прямой (KD), стартуя с которой система попадет на правую границу развертки фазового цилиндра. Положив в первом уравнении (1.1.1) n+1 = 3, придем к уравнению верхней границы Q1 (K1D1), стартуя с которой система попадет на правую границу соседнего периода фазового цилиндра. Еще две границы задаются отрезками KK1 и DD1, принадлежащих соответственно прямым = –1 и = 1 и ограниченных отрезками KD и K1D1. Уравнения границ области Q1 имеют вид: KD: x=(-1)+1, K1D1: x=(-1)+3, (2.2.4) - 81 KK1: = –1, (2-) < x < (4-), DD1: = 1, < x < (2+). Аналогично можно определить границы области нелинейного отображения (обозначим ее через Q-1), движение из которой будет происходить на соседний период фазового цилиндра с пересечением границы =-1. Уравнения границ области Q-1 будут иметь вид: CL: x=(–1)–1, C1L1: x=(–1)–3, LL1: =1, (–4) < x < (–2), CC1: =-1, (––2) < x < –. Прямые KD и CL ограничивают области линейного и нелинейного r отображения. Отображение вектора qn, принадлежащего области Q0, находящейся между прямыми KD и CL (между областями Q-1, Q1), происходит линейно. В этом случае для него справедливо следующее линейное уравнение, которое получается из (1.1.1) заменой F1() =, 1 r rr qn +1 = TL qn + r, где TL = 1 r 0, r =. d gH (2.2.6) (2.2.5) Область Q1 нелинейно отображается в некоторую область Q1. При этом границы области Q1 : DD1, KK1, KD и K1D1 отображаются соответственно в границы области Q1 : KD, KD, DD и KK. Уравнения их можно получить, выполнив ряд одиночных отображений (1.1.1), задав в качестве начальных условий крайние точки границ области Q1. С учетом представления движений системы на одном периоде фазового цилиндра уравнения будут иметь вид: KD : x=d+d(1+)–+g, –1 1, KD : x=d+d(3–)++g, –1 1, DD : =–1, (d–+g) < x < (d(2–)++g), KK :=1, (d(+2)–+g) < x < (d(4–)++g) Аналогично область Q-1 нелинейно отображается в область Q-1 с границами CL, CL, CC, LL.Уравнения границ также получаются из (1.1.1) в результате отображения из начальных условий, определяемых крайними точками границ Q-1, и имеют вид: (2.2.7) - 82 CL: x=d-d(1+)++g, –1 1, CL: x=d-d(3–)–+g, –1 1, CC : =1, (–d(2–)–+g) < x < (–d++g), LL : =–1, (–d(4–)–+g) < x < (–d(2+)++g). Области Q1 и Q-1 имеют форму параллелограмма и играют важную роль при определении условий существования периодических движений.

Условия существования периодических движений r Введем в рассмотрение вектор pj, координаты которого определяются r характером отображения (1.1.1). В случае линейного отображения p j = ( 0,0 ) T. r В случае нелинейного отображения p j = ( ±2,0 ) T, при этом знак "+" (2.2.8) соответствует выходу за левую границу развертки фазового цилиндра, знак "–" r соответствует выходу за правую границу. Назначение вектора pj состоит в r возврате вектора состояния q на (j+1) шаге в интервал [–1,1] по координате x (в случае нелинейного отображения). Пусть на (j+1 шаге произошло нелинейное отображение, приведшее к выходу вектора состояния за границу развертки фазового цилиндра r rr r q'j +1 = TL q j + r, [ q'j +1 ]x > 1, (2.2.9) r где [ q'j +1 ] x - координата x вектора состояния. r В результате действия вектора pj вектор состояния вновь возвращается на развертку фазового цилиндра: r r r rrr q j + 1 = q'j + 1 + p = TL q j + r + p.

(2.2.10) В случае линейного отображения выражение (2.3.10) приводится к виду r r rr q j + 1 = q'j + 1 = TL q j + r.

r В соответствии с (1.1.1) и (2.2.6) для заданного начального состояния q0 r можно представить вектор состояния qn в произвольный момент времени n в виде :

n1 r r r nr qn = TL q0 + TLj ( pn j 1 + r ). j = (2.2.11) - 83 Если предположить, что существует периодическое движение периода k (kкратные неподвижные точки), то должно выполняться условие замыкания r r цикла qk = q0. С учетом этого согласно (2.2.11) можно выписать выражение для вектора, определяющего начальное состояние на цикле, k (2.2.12) r Заметим, что в качестве начального состояния q0 в силу цикличности движения может выступать любое из k состояний цикла. Выражение (2.2.12) является общим и будет справедливо для периодических движений с произвольным числом нелинейных отображений на периоде. С помощью (2.2.12) можно вычислить координаты произвольной точки цикла, если задана его структура. Структура цикла определяется периодом k и r конкретным набором векторов pj, 0 j k–1. С другой стороны, при заданной структуре цикла выражение (2.2.12) дает лишь необходимое условие его существования. Оно не гарантирует того, что все точки цикла будут находиться именно в тех областях с характерными движениями, которые определены структурой. Необходимо, чтобы состояния, из которых происходят линейные отображения, принадлежали области Q0, а состояния, из которых происходят нелинейные отображения – соответствующим областям Q1 либо Q-1. Данное утверждение эквивалентно требованию попадания всех точек цикла заданной структуры в отрезок [–1,1] по координате. Таким образом, для существования периодических движений необходимо и достаточно выполнение двух условий: 1) условия замыкания (2.2.12), определяющего координаты точек цикла заданной структуры;

2) структурного условия, гарантирующего попадание всех точек цикла заданной структуры в отрезок [–1,1] по координате. Если выполнены оба условия, то цикл существует, и наоборот, если цикл существует, то эти условия автоматически выполняются.

r q0 = r r TLj( pk j 1 + r ) j = k TLj pk j j = r E TLk = E TLk r r. + E TL - 84 Покажем, что если существует периодическое движение, то оно устойчиво, когда выполнены условия локальной устойчивости состояния равновесия (1.1.1) (собственные значения матрицы TL по модулю меньше единицы). r Пусть существует цикл периода k с несколькими проскальзываниями, q0 – вектор, координаты которого соответствуют первой точке цикла на j - ом r проскальзывании, q1 – вектор, координаты которого соответствуют первой r r rr точке цикла на j+1 проскальзывании. Тогда q1 = ( TL ) n q0 + b, где b постоянный вектор, n - количество точек цикла, приходящихся на j - е r r проскальзывание. Зададим вектор q0*, близкий к вектору q0. Через n итераций rr rr он отобразится в вектор q1* : q1* = (TL ) n q0* + b. Несложно видеть что вектор r rr rrr r r q1 = q1 q1* выразится через q0 = q0 q0* следующим образом q1 = (TL ) n q0. Таким образом, точки двух траекторий будут сближаться, а значит цикл будет устойчив, если собственные значения матрицы TL по модулю меньше единицы. Согласно критерия Раусса-Гурвица для дискретных систем это будет иметь место при выполнении следующих условий:

(1 d ) + > 0,1 + d ( 1) > 0,(2 )(1 + d ) + > (2.2.13) Алгоритм возникновения периодических движений Из (2.2.12) следует, что вектор произвольной k-кратной точки можно представить в виде: r rr q j = l j + gb, (2.2.14) k r где l j = i = TLi pk i E TLk r r, b = ( E T L ) 1( 0,1) T.

r Вектор l j зависит от структуры цикла и положения конкретной точки r цикла;

вектор b не зависит ни от структуры цикла, ни от конкретной точки цикла. Согласно (2.2.14) при изменении начальной расстройки g все точки цикла, не меняя взаимного расположения, сдвигаются в фазовом пространстве r по траекториям, параллельным вектору b. Данное утверждение является - 85 принципиальным и будет положено в основу алгоритма определения граничных условий возникновения k-кратных точек. На рис. 2.15 приведен фрагмент развертки фазового цилиндра системы, r поясняющий сказанное. Показан ряд векторов q 0 (k), построенный в соответствии с (2.2.12) для циклов различных периодов с одним проскальзыванием. Вектора соответствуют состояниям, в которые должна прийти система после нелинейного отображения за правую границу развертки r r фазового цилиндра. Для этого случая p j = ( 0,0 ) T, 0 j < k-1;

pk 1 = ( 2,0 ) T. В r соответствии с (2.2.12) вектор начальной точки q 0 (k) будет иметь вид r r r pk 1 r + q0( k ) = E TLk E TL. (2.2.15) r r r Согласно рис. 2.15 только вектор q0 (3) = l0 (3) + g b находится в области Q1. Это означает, что только для цикла с k=3 выполнено структурное условие существования.

r l ( 1) r gb r gb r gb xn r q0 ( 1) r l ( 2) Q r q0 ( 2) D ( 2 ;

0 ) r l ( 3) r l ( 6) r l ( 4) 0 r l ( 5) r q0 ( 3) ( 1 ;

0 ) n ( 1 ;

) C Q - Рис. 2.15. Фрагмент развертки фазового цилиндра СФС с F1() r При увеличении g модуль вектора gb будет расти и, вполне вероятно, что r в область Q1 попадет и вектор q 0 (2). Это приведет к тому, что в системе будут существовать одновременно уже два устойчивых цикла с одним проскальзыванием с k=2 и k=3. В общем случае число одновременно существующих циклов может быть и больше.

- 86 Таким образом, для выполнения структурного условия существования r простейшего цикла периода k необходимо, чтобы вектор q 0 (k) коснулся одной из границ области Q1. С учетом полученных выше уравнений границ (2.2.7) r для этого необходимо, чтобы координаты вектора q 0 (k) были решением хотя бы одного из этих уравнений. С другой стороны, совместное решение уравнений (2.2.7) и (2.2.15) позволит определить граничные значения обобщенных параметров,, d, g, при которых возникнет цикл. Если такое решение отсутствует, то цикла данной структуры не существует. Рассмотрим процедуру отыскания граничных параметров на примере левой границы области Q1 - DD : =–1, (d–+g) < x < (d(2–)++g) (рис. 2.16). Запишем с учетом (2.2.15) условие касания границы в виде: r r r 1 pk 1 r + = 0k = q 0 ( k ) = k E TL E TL x0 k x0 k. (2.2.16) (d + g ) < x0 k < (d (2 ) + + g ) r r С учетом вида pk 1 = ( 2,0 ) T и r = (0, g )T перейдем от (2.2.16) к системе: g (TL E ) 1 12 = 1 + 2 (TLk E ) 1 11 k 1 1 x0 k = 2 (TL E ) 21 g (TL E ) 22, (d + g ) < x0 k < (d (2 ) + + g ) [ ] [ ] [ ] [ ] (2.2.17) где через [•]i,j обозначен элемент матрицы i, j.

r Первое из уравнений (2.2.17) отвечает за нахождение вектора q 0 (k) на прямой =–1, второе уравнение и неравенство отвечают за нахождение r вектора q 0 (k) в диапазоне значений координаты y, соответствующем границе области Q1. Система (2.2.17) содержит в качестве неизвестных обобщенные параметры,, d, g. Первые три из них входят в уравнения нелинейно через матрицу TL и их можно определить численным способом. Обобщенная начальная расстройка g входит в уравнения (2.2.17) линейно и при заданных,, d может быть найдена из первого уравнения (2.2.17):

- 87 1 + 2 (TLk E ) 1 11 g=. (TL E ) 1 [ [ ] ] (2.2.18) Второе уравнение и неравенство позволяют ответить на вопрос, r действительно ли вектор q 0 (k) коснулся левой границы области Q1 или произошло просто касание прямой =–1. Первый случай соответствует возникновению простейшего предельного цикла 2-го рода периода k. Во втором случае цикла не возникает. Возможность выразить граничное значение обобщенной расстройки g через другие параметры системы позволяет построить простой алгоритм определения полосы захвата. Основу алгоритма составляет процедура определения минимальной расстройки gmin, соответствующей границе возникновения простейших циклов. Анализ возможных решений систем уравнений, написанных с учетом дугих границ области Q1 и аналогичных (2.2.16)-(2.2.18) (отличаются вторым уравнением и неравенством), позволяет ответить на вопрос о выполнении структурного условия возникновения периодических движений при касании r вектором q 0 (k) других границ. Значения обобщенных параметров, соответствующие всем границам области нелинейного отображения, определяют диапазон параметров, в котором существуют циклы данного периода. Задача упрощается при анализе конкретных физических свойств системы. Например, для определения полосы захвата необходимо отыскать минимальное значение обобщенной расстройки gmin, при которой возникают периодические движения. Установлено, что с ростом g циклы появляются при касании r вектором q 0 (k) левой границы Q1 (рис. 2.15). В этом случае для определения границы простейших циклов периода k достаточно найти решение (2.2.17). Выражения, аналогичные (2.2.15) можно выписать и для циклов с произвольным числом проскальзываний. Например, для ПЦ2 с двумя проскальзываниями они имеют вид: r r r ( E + TLk 1 ) pk 1 1 r q0( k 1) = + E TL, E TLk 1+ k 2 (2.2.19) - 88 (2.2.20) где k=k1+k2 –период цикла, k1, k2 – число точек на каждом из r r r проскальзываний, q 0 (k) p k 1 1 = p k 2 1 = ( 2,0 ) T. Выполнением структурного условия для данного типа цикла будет принадлежность обоих векторов (2.2.19), (2.2.20) области Q1 Соответственно, условием возникновения цикла будет касание одним из векторов границы Q1, при этом второй вектор должен принадлежать области Q1. Процедура определения граничных значений обобщенных параметров в основном повторяет описанную выше процедуру для простейших циклов 2-го рода. Отличие состоит в увеличении количества уравнений, решение которых подлежит анализу, и соответственно больших временных затратах, связанных с численным способом определения обобщенных параметров. Для решения конкретных задач необходимость анализа сложных движений может отпасть. Например, ниже будет доказано, что полоса захвата дискретных систем 2-го порядка определяется простейшими циклами 2-го и 1-го рода. Для решения данной задачи алгоритм опреления границ возникновения циклов может быть предельно упрощен. Заметим, что для отыскания границ предельных циклов 1-го рода должны быть задействованы обе области нелинейного отображения Q1 и Q–1. В связи с этим для простейших циклов количество анализируемых уравнений удваивается по сравнению с простейшими циклами 2-го рода. В целом, с учетом проведенного выше анализа предлагается следующий алгоритм для нахождения областей существования периодических движений заданной структуры:

- в соответствии с выражением (2.2.15) выписываются все векторы состояний, в которые система приходит после нелинейных отображений, r q0 i( k ), 1< i < m, где m – количество нелинейных отображений на периоде цикла, для циклов 2-го рода равно числу проскальзываний;

r - для каждого из векторов q0 i( k ) решается система уравнений, определяющих нахождение вектора на каждой из границ областей нелинейного отображения Q1 или Q–1 ((2.2.17) для левой границы Q1 и аналогичные для других границ);

в общем случае решение производится численно и сводится к r r r ( E + TLk 2 ) pk 2 1 r q0( k 2) = + E TL, E TLk 1+ k - 89 отысканию диапазона обобщенных параметров,, d, g, обеспечивающих нахождение вектора на границе Q1 или Q–1 ;

- для найденных значений обобщенных параметров, относящихся к конкретным границам областей нелинейного отображения, выполняется проверка структурного условия (для движений с несколькими нелинейными r отображениями нахождение вектора q0 i( k ) на одной из границ области нелинейного отображения не является достаточным условием);

- выполняется коррекция диапазонов значений обобщенных параметров по результатам проверки выполнения структурного условия. Предлагаемый алгоритм наиболее просто реализуется при анализе областей существования периодических движений в зависимости от обобщенной расстройки g. В этом случае второй пункт алгоритма выполняется без привлечения численных методов. 2.2.2. Модель СФС с треугольной нелинейностью Пусть F() = Fс(). Линейность функции Fc() на участках монотонности позволяет рассматривать отображение (1.1.1) в виде "склейки" двух линейных отображений: rr [c,c] l1 A1q n + r G1, r. (2.2.21) qn+1 = r r r A 2 q n + r m G2, [ c, 2 c ] l 2 где 1 c 1 1 + /(1 c) 1 r T, A 2 =, m = (1 /(1 c) )(, ). A1 = c d /(1 c) d Для линейных отображений Gi, i=1,2 и k li, k = 0, n 1 справедливы следующие выражения : r r r qn = Min q0 + N inri, где Min = Ain, Nin = n 1 k = (2.2.22) r rrrr r2 = r m.

Aik, r1 = r, На рис. 2.16 приведена развертка фазового цилиндра дискретной ФАС с Fc() для c=0.5. Показаны линия сохранения координаты n - L,0 и линия сохранения координаты xn - Lx,0.В отличии от системы с пилообразной нелинейностью данные линии являются ломаными и имеют две точки - 90 пересечения О и О, что соответствует двум равновесным на периоде Fc() состояниям. Уравнения линий записываются следующим образом: L,0 : xn = F ( n ) ;

Lx,0 : xn = ( F ( n )) (1 d ). Равновесные точки имеют координаты: O(c ;

) и O ((1 )(1 c ) + c;

). Точка O - особая точка типа узел или фокус, O - особая точка типа седло. Линии L1 и L2 - соответственно входящая и выходящая сепаратрисы седловой точки, L2 - продолжение выходящей сепаратрисы на следующем периоде.

x Q 2+ Q 1+ Q" 2+ L O L, Q1+ O L2 L L x, Рис. 2.16. Развертка фазового цилиндра СФС с Fс() Кусочно-линейный характер Fc() позволяет провести разбиение фазового пространства на области линейного (не приводящего к выходу за пределы данного линейного участка) и нелинейного отображений. Выделим области Qi+ и Qi-, отображение из которых приводит к выходу за линейный участок с возрастанием и убыванием координаты соответственно. Образы рассматриваемых областей после отображения будем обозначать через Qi+ и Qi, а их продолжения на следующий (предыдущий) период – Qi и Qi + (на рис. 2. приведены только области, приводящие к возрастанию " ' " ' координаты xn ). Согласно принятых обозначений Q2 + = Q2 +,Q2 = Q2.

Области нелинейного отображения Qi + (Qi ) имеют форму клина, неограниченно продолжающего в сторону возрастания (убывания) координаты y.

Границы этих областей задаются прямыми = limax, = limin и - 91 x = limax + Fc ( ) (x = l min i + Fc ( )), где limax, limin – максимальное и минимальное значение координаты на i-ом линейном участке Fc(). В соответствии с (1.1.1) можно выписать уравнения границ областей, в которые происходит нелинейное отображение. Например, для области Q1+, с учетом представления движений на одном периоде фазового цилиндра, уравнения границ имеют вид:

= c, = 2 c, x = d + g dc + (d )Fc ( ), x = d + g + dc + (d )Fc ( ), (2.2.23) " а сама область имеет форму параллелограмма. Границы области Q2+ описываются уравнениями:

= c, = c, x = d + g d ( 2 c) + (d )Fc (2 c ), x = d + g dc + (d )Fc (c ).

(2.2.24) Условия существования периодических движений Для определения условий существования циклических движений необходимо конкретизировать их структуру по числу шагов в рамках линейных отображений Gi, которое будем обозначать через kij, где i равно номеру участка, j - порядковому номеру проскальзывания. Тогда для произвольного ПЦ2 структуры u/k можно записать :

k k G1 11 G2 21 r r r r q11 q21 q12 + p k k G1 12 G2 22 r r r r q12 q22 q13 + p, k k G1 1u G2 2 u r r r r q1u q2 u q11 + p (2.2.25) где Gi i j обозначает ki j -кратное отображение в рамках i-го линейного участка r характеристики Fc() и j - го проскальзывания, qi j - вектор начальной точки цикла, являющейся первой на i-м участке и j-м проскальзывании;

как и в r r п. 2.3.1 вектор p =(-2, 0)Т возвращает вектор состояния системы q n ( n, xn ) на развертку фазового цилиндра. Для цикла структуры 1/5, приведенного для примера на рис. 2.17, k11=2, k21=3.

k - 92 x x L L L x, O O L L, O O L L,0 L L1 L x, а) б) Рис. 2.17. Примеры предельных циклов 2-го рода в СФС с Fс() r Необходимо отметить, что в соответствии с (2.2.25) начальные векторы qi j должны принадлежать областям нелинейного отображения. Например, для движений с постоянным возрастанием координаты : r " " qi j Q1+,Q2 +,Q1+,Q2 +. (2.2.26) Выражение (2.2.26) имеет место для произвольного цикла 2-го рода. В случае простейших циклов задействовано не более двух областей нелинейного отображения. Используя (2.2.21) и (2.2.22), можно по аналогии с п 2.2.1 выписать условия замыкания цикла, выражая координаты начальных точек через r параметры отображения. Например, для вектора q11 начальной точки справедливо следующее выражение: r r r q11 = M 2 u[ M 1u...[ M 21[ M 11q11 + N 11r ] + rr r r rr r. + N 21 ( r m ) + p] +...+ N 1ur ] + N 2 u ( r m ) + p Из (2.2.25) можно выразить вектор начальной точки цикла : r r r q11 = 11 + gн11, где:

(2.2.27) (2.2.28) 11 = (E M 2 uM 1u...M 21M 11 ) r r l =1 k = l + u u M 2 k M 1k [N 2l m + p] u u r r 11 = (E M 2u M 1u...M 21M 11 )1{ M 2 k M 1k [M 2l N1l + N 2l ]} (0,1)T l =1 k =l + - 93 Выражения, аналогичные (2.2.28), можно выписать и для других точек цикла. Таким образом, для любого периодического движения условия замыкания имеют вид: r r r q i j = i j + g i j. (2.2.29) Полученные выражения являются линейными относительно начальной расстройки g. Как и в случае пилообразной нелинейности этот результат является принципиальным и позволяет сформулировать критерий для определения минимального и максимального значений g, при которых существует цикл. Суть его состоит в том, что при заданной структуре одна из точек цикла должна находиться на границе, а остальные внутри соответствующих областей нелинейного отображения Qi+, Qi"+. Это условие замыкания цикла является необходимым для его существования. Другим необходимым условием является соблюдение структуры цикла (2.2.25) (структурное условие): r (2.2.30) Gin (qi j ) li, n = 0, k i j 1. В совокупности условия (2.2.29) и (2.2.30) являются необходимыми и достаточными для существования периодического движения произвольной структуры. На основании этих условий может быть получен алгоритм определения границ областей существования произвольного цикла заданной структуры в пространстве параметров. Суть алгоритма заключается в следующем:

- в соответствии с выражением (2.2.29) выписываются все векторы r начальных состояний qi j, в которые система приходит после нелинейных отображений;

для простейшего цикла 2-го рода количество таких векторов равно двум;

- совместным решением (2.2.29) и уравнений границ областей нелинейного отображения (2.2.23), (2.2.24) и аналогичных им, определяются обобщенные расстройки g, обеспечивающие нахождение начальных векторов на одной из границ соответствующих области нелинейного отображения;

- для найденных значений g выполняется проверка структурного условия (2.2.30);

- осуществляется коррекция диапазона обобщенных расстроек с учетом проверки структурного условия.

- 94 Предложенный алгоритм позволяет определить диапазоны и других обобщенных параметров,, d, для которых существуют периодические движения. Для этого необходимо воспользоваться численными методами совместного решения уравнений (2.3.29), (2.3.23), (2.3.24) даже в случае прстейших движений.

Устойчивость периодических движений Рассмотрим устойчивость периодических движений в системе с Fc(). Условия устойчивости можно выписать, задавая возмущение в начальной точке цикла и определяя через него отклонение за период цикла. В соответствии со структурой (2.2.25) и выражениями (2.2.21), (2.2.22) получим: r r k k qp = A k 2 u A11u...A k 21 A111 q0. (2.2.31) 2 2 Согласно (2.2.31) для локальной устойчивости рассматриваемого движения k k достаточно, чтобы все собственные числа матрицы [ A2 2 u... A1 11 ] были по модулю меньше единицы. Ситуация принципиально отличная от системы с пилообразной нелинейностью, в которой при локально устойчивом равновесном состоянии все существующие циклы также являются локально устойчивыми. Наличие неустойчивой ветви у нелинейности Fc() (матрица А2 имеет собственные значения, превышающие единичное значение) приводит к тому, что с ростом числа точек, приходящихся на эту ветвь, появляются неустойчивые циклы. На рис. 2.17 приведены примеры устойчивых периодических движений. На рис. 2.17а - одиночный цикл ПЦ2 структуры 1/5(23) - (две точки на устойчивой ветви, три точки на неустойчивой ветви характеристики). Достаточно явно просматривается влияние седла (O) на формирование траектории цикла. На рис. 2.17б показаны два цикла ПЦ2 - цикл структуры 1/8(35) и цикл структуры 1/9(45). Увеличение числа одновременно существующих циклов связано, как правило, с усилением колебательности в системе.

Условия существования квазипериодических движений Наличие седлового равновесного состояния в системе с Fc() обуславливает возможность возникновения еще одного вида нелинейных движений - квазипериодических. Существование этих движений определяется взаимным расположением устойчивого и неустойчивого сепаратрисных - 95 многообразий седла. Для отображения (1.1.1) эти многообразия являются одномерными и представляют собой ломаные линии. Условия возникновения квазипериодических движений могут быть определены на основе анализа траекторий движения системы, проходящих через область седла. При этом возможны две принципиально разные ситуации, определяемые двумя типами реализуемых в системе седел. Первая из них связана с седлом 1-го типа (собственные значения матрицы А2 1 и 2 удовлетворяют условиям 0<1<1, 2>1), вторая - с седлом 2-го типа (–1<1<0, 2>1) [38].

Для первого случая на рис. 2.18 приведены развертки фазового цилиндра с различным взаимным расположением сепаратрис седла. Ломаная сплошная линия L2 представляет собой отображение выходящей сепаратрисы седла L2 на следующий период развертки. Ломаная пунктирная линия L1 представляет собой продолжение входящей сепаратрисы L1 на устойчивый участок характеристики. В зависимости от начальной расстройки возможны три ситуации взаимного расположения ломаных L1 и L2. Для первой ситуации (наибольшая начальная расстройка) L2 проходит выше L1, нигде не касаясь ее. Продолжение ее на неустойчивом участке проходит выше седла. Если в начальный момент изображающая точка находится чуть выше выходящей сепаратрисы седла L2, то ее траектория движения будет бесконечно проходить в окрестности ломаной, состоящей из участков L2 и L2. Это движение является квазипериодическим. Для второй ситуации (средняя начальная расстройка) две ломаные касаются в ряде точек, причем касание происходит одновременно на всех линейных участках L2, включая точку на границе линейных участков характеристики. В этом случае продолжение L2 на неустойчивом участке характеристики попадает непосредственно в окрестность седла. Данная ситуация является граничной для возникновения квазипериодического движения, описанного выше. Для третьей ситуации (наименьшая начальная расстройка) ломаные пересекаются, а продолжение L на неустойчивом участке имеет колебательный характер и развивается по двум сценариям.

- 96 xn Q 1+ Q" 2+ L L 2 L x, Q1+ L Q 2+ O L, O L n а) xn Q 1+ Q" 2+ L 2 L x, O O Q1+ L L Q 2+ n L L, б) xn Q 1+ Q" 2+ L 2 L x, O O Q1+ L L2 L Q 2+ n L, в) Рис. 2.18. Развертка фазового цилиндра СФС с Fс() - 97 Согласно первому сценарию изображающая точка при движении по неустойчивому участку проходит ниже седла и попадает в область притяжения устойчивого равновесного состояния. Согласно второму сценарию изображающая точка скользит выше седла и вдоль выходящей сепаратрисы L2 попадает на следующий период характеристики в окрестности L2, и движение повторяется. Рано или поздно данная точка окажется в области притяжения устойчивой равновесной точки. Используя проведенный анализ траекторий движения через окрестность седла, можно предложить алгоритм определения начальной расстройки, приводящей к появлению квазипериодических движений в системе. Знание такой расстройки достаточно важно, поскольку как будет показано ниже, именно квазипериодические движения в ряде случаев ограничивают область глобальной устойчивости системы. Согласно рис. 2.18б основу алгоритма составляет условие касания линий L2 и L1 в точке =с, или условие касания линии L2 с входящей сепаратрисой седла L1 в точке =с. Для второго случая (седло 3-го типа) оценить граничную ситуацию возникновения квазипериодических движений сложнее, поскольку движение в окрестности седла носит знакопеременный относительно выходящей сепаратрисы L2 характер и с большой вероятностью будет сваливаться на следующем периоде в область притяжения устойчивого равновесного состояния. Очевидно, что в этом случае граница возникновения устойчивых квазипериодических движений будет сдвинута в сторону больших начальных расстроек. Величина сдвига определяется амплитудой колебаний относительно выходящей сепаратрисы и может быть рассчитана численно. В то же время граничное значение начальной расстройки, определяемое согласно предложенному выше для седла 1-го типа алгоритму, может быть использовано в качестве оценки снизу и для этого случая.

- 98 2.3. Нелинейные процессы в кусочно-линейных СФС 2.3.1. Анализ установившихся нелинейностью движений в СФС с пилобразной На рис. 2.19-2.22 на плоскости обобщенных параметров, приведено распределение областей существования периодических движений различной структуры, полученные с помощью предложенного алгоритма. Штриховкой показана область глобальной устойчивости. Для параметров, из этой области система из любых начальных условий придет в устойчивое равновесное состояние (состояние синхронизма). Отметим, что не вся ограниченная треугольником устойчивости область, реализуется в конкретной физической системе. Представленные результаты относятся к обобщенной модели (1.1.1). На рис. 2.19 и рис. 2.20 темной заливкой выделены области глобальной устойчивости импульсной СФС 2-го порядка, полученные из выражений (1.1.7), (1.1.9), связывающих параметры, с физическими параметрами. Область обобщенных параметров,, соответствующая цифровой СФС, занимает координатный угол > 0, > 0 и может быть получена из выражений (1.1.16), (1.1.17).

(0/4) (2/6) (1/2) (1/5) (0/6) (1/3) (2/1) (0/10) (2/4) (0/5) (0/3) (0/2) (1/1) Рис. 2.19. Области существования ПЦ СФС с F1() для d = 0.1, g = 0 Выполним анализ приведенных результатов. При нулевой обобщенной расстройке область глобальной устойчивости снизу ограничивается границей - 99 локальной устойчивости. Справа сверху она ограничивается областью первого кратного захвата (цикл (1/1)). Дальнейшее увеличение, приводит к возникновению кратного захвата второго порядка (цикл (2/1)) и различных циклов 1-го рода (циклы (0/6), (0/10)) и 2-го рода c несколькими проскальзываниями (u/k, u>1). Слева сверху область глобальной устойчивости ограничивается циклом 1го рода структуры (0/2). Точки этого цикла располагаются в фазовом пространстве симметрично относительно состояния синхронизма и находятся в областях, образованных пересечением Q1Q-1 и Q-1Q1. Соответственно при Q1Q-1= или Q-1Q1= существование цикла этого типа невозможно.

(0/2) (0/10) (2/6) (2/4) (2/4) (1/3) (1/7) (1/8) (0/6) (1/5) (1/2) (1/2) (1/3) (1/5) (0/6) (2/8) (1/1) (2/5) (R) (3/8) (R) (1/3) (2/6) (2/5) (2/5) а) а) g = 0.1, б) g = 0. б) Рис. 2.20. Области существования ПЦ СФС с F1() с d = 0.1 для С уменьшением возникают циклы 1-го рода структуры (0/k) с k>2. Существование этих циклов обуславлено симметрией фазового пространства при g=0. Данные циклы возникают попарно и располагаются симметрично относительно состояния синхронизма. Согласно рис. 2.19 область глобальной устойчивости для импульсной СФС ограничена только кратным захватом (1/1), для цифровой СФС со стороны малых дополнительно ограничена циклом 1-го рода (0/2). С увеличением g область глобальной устойчивости (рис. 2.20, 2.21) уменьшается за счет области параметров, в которой отсутствует состояние - 100 равновесия (граница обозначена через (R)). Возникают движения с постоянным возрастанием фазы или циклы 2-го рода различной структуры (рис. 2.20б).

(1/2) (1/3) (1/4) (1/5) (1/2) (1/3) (1/1) (2/1) (1/4) (1/5) (1/6) (1/6) (1/1) (1/7) (R) (1/9) а) показанные в разном масштабе б) Рис. 2.21. Области существования ПЦ СФС с F1() для d = 0.75, g = 0.0625, Далее, уже при незначительных расстройках g происходит уменьшение областей циклов 1-го рода в области малых значений. Это связано с нарушением симметрии фазового пространства. За счет этого область устойчивости при малых, и небольших g увеличивается (рис 2.20а, 2.20б). С ростом g значительно возрастают области циклов 2-го рода (на рис. 2.21 для сравнения точками показаны границы области глобальной устойчивости, полученные методом усреднения [30,33], при d, значительно отличных от единицы, метод дает значительную ошибку). При этом область глобальной устойчивости ограничивается циклами структуры (1/k). Покажем, что данный факт не является случайностью и действительно при определении границы области глобальной устойчивости при больших частотных расстройках достаточно ограничиться циклами структуры (1/k). Циклы 2-го рода, определяющие область глобальной устойчивости Докажем утверждение, устанавливающее очередность возникновения циклов с различным числом проскальзываний в зависимости от обобщенной расстройки. r (2.3.1) Пусть b > 0 и Q1Q-1=.

[] - 101 Если при обобщенной расстройке g =g1 не существует ни одного периодического движения, то с ростом g первым возникает цикл 2-го рода структуры (1/k). Причем данный цикл возникает при достижении вектором r q 0 (k) границы области нелинейного отображения Q1, принадлежащей прямой =-1.

x 13 xn x x 14 M D x x 15 x (– 1,0 ) (0,0 ) (1,0 ) M n Рис. 2.22. Развертка фазового цилиндра СФС с F1() Для доказательства обратимся к рис. 2.22, на котором изображена ситуация, соответствующая отсутствию циклов 2-го рода. Показаны фрагменты нескольких движений, начинающихся на прямой =-1 в точках x1k и попадающих после некоторого числа итераций на прямую =1 в точки с координатой x2k. Для существования цикла структуры 1/k необходимо выполнение условия x2k x1k. В рассматриваемом случае для каждого k значение x2k1 приращение координаты y на разных периодах должно иметь разный знак. Это выполняется только в том случае, если уже существует цикл типа (1/k). r Из выражений для границ областей Q-1 Q1 и координат вектора b можно показать, что условия (2.3.1) эквивалентны системе неравенств:

< (1 + d ) + g, < (d 1) (2.3.2) - 102 Полоса захвата импульсной СФС с F1() Построим на основе предложенного выше алгоритма определения областей существования периодических движений и доказанного утверждения об очередности возникновения циклов с одним и более проскальзываниями алгоритм нахождения полосы захвата импульсной ФАС. В основе его лежит задача определения минимального значения, при котором исчезают все периодические движения Согласно приведенному выше доказательству, для этого достаточно найти минимальную расстройку g, при котором исчезнут все циклы структуры (1/k). Бифуркация рождения/исчезновения цикла данной структуры происходит, r когда вектор q 0 (k) будет находиться на левой границе области Q1 – DD :

=–1, (d–+g ) < x < (d(2–)++g) (для g > 0).

В этом случае, для определения обобщенной начальной расстройки, соответствующей моменту бифуркации, достаточно воспользоваться выражением (2.2.18). В свою очередь, нормированная полоса захвата gз может быть найдена как минимальное значение из полученных gk: gз= min ( gk ). (2.3.3) Согласно (2.4.3) для нахождения min (gk), а следовательно и min, необходим перебор достаточно большого числа k. Однако на самом деле такой необходимости нет. Алгоритм предполагает задание некоторого kmax, заведомо превышающего значение k, соответствующее gз. В случае комплексных собственных значений r матрицы TL поведение вектора l (рис. 2.15) носит колебательный характер по параметру k (годограф с ростом периода цикла описывает закручивающуюся спираль вокруг точки (-2,0) ) и в качестве kmax достаточно взять половину периода колебаний. В случае действительных собственных значений возможны две ситуации. r Если распределение вектора l носит монотонный характер при стремлении к r точке (-2,0), то min=1. Если у распределения l имеется максимум, то достаточно в качестве kmax взять значение k, соответствующее этому максимуму. На рис. 2.23 приведены результаты расчета полосы захвата импульсной СФС для различных значений коэффициента фильтра m и двух значений - 103 постоянной фильтра (сплошные линии). Заметные изгибы на графике вызваны сменой периода цикла, определяющего полосу захвата. Наибольшая полоса захвата наблюдается в области малых D и больших m. При уменьшении наблюдается уменьшение полосы захвата. Тоже наблюдается с ростом D.При стремлении и m 1 кривая полосы захвата стремится к кривой дискретной СФС 1-го порядка. На рис. 2.24 приведены зависимости полосы захвата от D для различных постоянных фильтра и двух значений постоянной форсирования m.

1.0 0. 0. 0.9 1.0 0.8 0. 0.9 0.9 0.8 0.6 0.4 0. 0. 0.6 0.4 0.2 m=0 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 D 0. 0. 0. 0. m= 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. D а) б) Рис. 2.23. Полоса захвата СФС с F1() для а) = 0.1, б) = 1. 5 5 0. =0. 0. =0. D D а) б) Рис. 2.24. Полоса захвата СФС с F1() для а) m = 0, б) m = 0.5 Для сравнения на некоторые кривые точками нанесены результаты, полученные в [9] методом Монте-Карло. Наблюдается практически полное - 104 совпадение результатов. Штриховой линией показаны результаты, полученные первой формой метода усреднения, штрих-пунктирной – второй формой метода усреднения [33]. Наблюдается расхождение с обеими формами, особенно при малых D, m и больших, при которых условия разделения на быстрые и медленные движения в (1.1.1) выполняются в меньшей степени. При анализе периодических движений в импульсной СФС установлено отсутствие предельных циклов 1-го рода. Это подтверждается рис. 2.19 и рис. 2.23, 2.24. Наличие таких движений могло бы привести к ограничению полосы захвата снизу (область малых расстроек обеспечивает симметрию фазового пространства и создает условия для возникновения ПЦ1). Такая ситуация возникает например в цифровой СФС.

2.3.2. Устойчивость дискретной СФС с треугольной нелинейностью Анализ периодических движений в импульсной ФАС позволил выявить ряд закономерностей:

1. В системе существует множество предельных циклов 2-го рода с u 1.При этом все циклы представляют собой движения либо с постоянным увеличением ( > 0), либо с постоянным уменьшением ( < 0) фазы. 2. Как и в системе с пилообразной нелинейностью с ростом начальной расстройки первым возникает ПЦ2 с u=1. Данный результат является принципиальным для определения полосы захвата системы. Области существования циклов с u > 1 располагаются между областями существования циклов с u=1. При этом структура таких циклов является комбинацией структур соседних циклов с u=1. Например, цикл с u=2 и количеством шагов на каждом из периодов нелинейности Fc() n и n+1 соответственно существует между областями циклов с u=1 с периодами n и n+1. 3. В системе невозможны циклы 1-го рода. Доказательство этого содержится в невыполнении условий (2.2.29) и (2.2.30), отрицающих движение с различным направлением изменения координаты x. 4. С уменьшением с наблюдается уменьшение областей существования устойчивых предельных циклов. Подобное объясняется, в свою очередь, уменьшением областей нелинейных отображений Qi+, Qi+. На рис. 2.25, 2.26 на плоскости D,D приведено семейство областей существования периодических движений в импульсной СФС с Fc() для различных значений с и параметров фильтра, m.

- 105 Выполним анализ приведенных результатов. 1. Существуют цепочки циклов фиксированного периода (k=const), отличающиеся разным числом точек на устойчивой ветви. С ростом D наблюдается перетекание точек с устойчивой ветви на неустойчивую. Ограничение такого перетекания определяет условие локальной устойчивости циклов. Примером может служить цепочки 32-23, 33-24 на рис. 2.25б.

D 20 D 0. 0. 0. 0. 22 0. 32 0. 13 0. 0. 0. 0. 1. 1. D 0. 0. 1. 1. D а) m = 0 для а) с = 0.75, б) с = 0. D б) Рис. 2.25. Области существования предельных циклов в СФС с Fc() = 1.0, D 0. 0. 0. 0. 0. 0. 43 0. 0. 0. 0. 1. 1. D 0. 0. 1. 1. D а) m = 0 для а) с = 0.75, б) с = 0. б) Рис. 2.26. Области существования предельных циклов в СФС с Fc() = 0.1, - 106 2. Как и в СФС 1-го порядка, существуют цепочки, образованные циклами с фиксированным числом точек на устойчивой ветви структуры 1/k. Подобные цепочки содержат бесконечный ряд циклов, в пределе имеющих структуру 1/l+, где l - количество точек на устойчивой ветви. В отличие от системы 1-го порядка, где существовала только одна цепочка подобного типа с l=1, здесь возникают цепочки с различным числом точек на устойчивой ветви. С ростом периода циклов в цепочках, область существования их уменьшается и в пределе стремится к нулю. Предельные области определяют границу глобальной устойчивости системы Примером служит цепочка 21-22-23-...-2 на рис. 2.25а,б. 3. Пространство между предельными областями существования циклов в цепочках заполняются областями квазипериодических движений. Границы таких движений (показаны жирными линиями) определяют в интервалах между предельными областями цепочек границу глобальной устойчивости системы. С ростом квазипериодические движения переходят в периодические движения с большим числом проскальзываний, структура их становится регулярной, представляющей комбинацию структур ближайших циклов, входящих в состав соседних цепочек. По мере дальнейшего увеличения циклы с большим числом проскальзываний переходят в более простые с меньшим числом проскальзываний с последующим вероятным переходом в простейшие циклы структуры 1/k. 4. С ростом постоянной фильтра наблюдается уменьшение областей существования предельных циклов с одновременным сдвигом в сторону больших частотных расстроек. 5. Влияние коэффициента форсирования m на области существования периодических и квазипериодических движений во многом повторяет влияние постоянной. При m1 наблюдаются качественно те же изменения, что и при увеличении. Объяснение состоит в том, что в обоих случаях система стремится по своим свойствам к импульсной СФС 1-го порядка.

Полоса захвата импульсной СФС с Fc() На рис. 2.27 и рис. 2.28 на плоскости параметров D,D приведены зависимости полосы захвата импульсной СФС. Справа кривые ограничены - 107 областью локальной устойчивости равновесного состояния (вертикальные линии).

D D 1. 1.0 0.8 0. 0.8 0.5 0.6 0.2 0.4 m=0 0. = 1. c = 0. 0.6 0.2 0. = 1. c = 0.7 0.5 1. 0. 1. m=0 0. 0. 1. D 0. 0. 1. 1. D а) для а) с = 0.75, б) с = 0. D б) Рис. 2.27. Полоса захвата импульсной СФС с Fc() с = 1. D 1 0.0 0. 1 0.0 0. m= c = 0.7 0.6 2.0 1.0 0. m=0 c = 0. 0.6 2. 0. 0.4 0. 1. 0. 1 0. 0. = 0. 0.0 0.5 1.0 1.5 D = 0. 0.0 0.5 1.0 1.5 D а) б) Рис. 2.28. Полоса захвата импульсной СФС с Fc() с m = 0 для а) с = 0.75, б) с = 0.5 Отметим некоторые общие закономерности приведенных зависимостей: 1. Зависимости носят разрывный характер, который объясняется сменой структуры движения, ограничивающего полосу захвата. В точках разрыва первого рода (перегибы, рис. 2.27а,б) происходит пересечение границ существования двух различных движений. При дальнейшем увеличении D продолжают существовать оба движения. Точки разрыва второго рода - 108 (рис. 2.27а,б, рис. 2.28а,б) появляются при потере устойчивости движением, ограничивающим полосу захвата, при этом граница существования других движений располагается выше. 2. С уменьшением параметра с уменьшается значение D, при котором нарушается равенство полос удержания и захвата. Данное значение D является бифуркационным для смены типа устойчивой равновесной точки с узла на фокус. 3. Зависимость полосы захвата от постоянных фильтра и m отражает характер влияния этих параметров на полосу фильтра. Полоса захвата в целом растет с увеличением и m. Для сравнения на рис. 2.27б и рис. 2.28б точками показаны результаты, полученные в [71,72] методом Монте-Карло. Следует отметить высокое совпадение. На рис. 2.29 на плоскости 1/с, D приведены зависимости полосы захвата от параметра нелинейности с при фиксированном значении коэффициента D. Данные кривые позволяют наиболее наглядно показать влияние параметров нелигнейности Fc() на полосу захвата. Анализ кривых показывает, что существуют три вида зависимостей. Для первого из них с ростом 1/с наблюдается монотонное уменьшение полосы захвата (D=0.2 и D=0.5). Для второго - зависимость от с отсутствует (D=1.5), объясняется тем, что полоса захвата ограничивается кратными захватами, граница возникновения которых не зависит от вида характеристики. Третий вид характеризуется достаточно сложной зависимостью. В ряде случаев наблюдается очевидное увеличение полосы захвата (рис. 2.29а, D=1.5, область малых 1/c), в ряде случаев зависимость носит колебательный характер (D=1.0). Третий вид реализуется при достаточно больших значениях D. Объединяя три группы зависимостей, можно сделать следующий вывод. При малых значениях D с ростом 1/с возникает незначительный проигрыш по полосе захвата. Однако данный проигрыш может компенсироваться значительным выигрышем в быстродействии за счет оптимизации коэффициента усиления в системе путем выбора формы характеристики - 109 детектора. При больших D оптимизация характеристики может дать больший эффект, поскольку наряду с быстродействием можно добиться увеличения полосы захвата за счет выбора с.

D D 1.0 0.6 1.5 0.4 1.0 0.4 0.5 0.5 0.2 D = 0.2 0.2 D = 0.2 0.6 1. 0.0 1. 2. 3. 1 /c 0.0 1. 2. 3. 1 /c а) б) Рис. 2.29. Зависимость полосы захвата СФС с Fc() от 1/c 2.3.3. Переходные режимы Раздел посвящен анализу применения двух вариантов метода усреднения для оценки длительности переходных процессов, описываемых отображением (1.1.1). Метод усреднения завоевал достаточно большую популярность в теории непрерывных нелинейных динамических систем, в том числе систем синхронизации [30]. При определенных ограничениях на параметры метод позволяет получить достаточно точные оценки как на установившиеся движения так и на характеристики переходных процессов. Применительно к дискретным системам с периодической нелинейностью он получил развитие в целом ряде работ, посвященных анализу нелинейной динамики дискретных СФС [27,32,33,]. Метод предполагает разделение переменных отображения (1.1.1) на быстрые и медленные и соответственно раздельный анализ уравнений 1-го порядка, содержащих эти переменные. Область параметров, для которых это возможно, легко установить, перейдя от (1.1.1) к уравнению в разностях n = xn F ( n ), xn = (1 d ) xn F ( n ) + g (2.3.4) где n = n +1 n, xn = xn +1 xn.

- 110 Если предположить, что (1 d ) << 1, << 1, g << 1, то (2.3.4) можно переписать n = xn F ( n ), xn = µf ( n, xn ) (2.3.5) где µ <<1, f ( n, xn ) - ограниченная функция. Согласно (2.3.5) координата xn является медленной функцией времени, координата n – быстрой функцией времени. Разделение переменных на быстрые и медленные позволяет перейти от системы (2.3.5) к системе двух относительно независимых уравнений 1-го порядка, одно из которых описывает движение быстрой координаты n при постоянной координате xn (xn= x). Второе уравнение описывает движение медленной координаты xn при усредненной функции быстрой координаты F(n). Уравнение для быстрой координаты имеет вид n = F ( n ) + x.

(2.3.6) (2.3.7) Уравнение для медленной координаты имеет вид x = (1 d ) x F ( x) + g, быстрой координаты при фиксированном значении x.

где Qi+, Qi"+ - функция, полученная усреднением по траекториям движений Анализ времени переходных процессов при наличии F (x) может быть выполнен в соответствии с (2.3.7) по традиционной схеме. Согласно [15] время переходного процесса Tп складывается из времени установления частоты Tf и времени установления фазы T. Первое из них определяется движением по траекториям, охватывающим цилиндр, второе – движением по траекториям без охвата цилиндра. Для F()=F1() второе движение является линейным. Tп = Tf + T. (2.3.8) Время установления частоты может быть получено в результате перехода от уравнения 1-го порядка в разностях (2.3.7) к дифференциальному уравнению dx 1 = ( (1 d ) x F ( x) + g ). dt T Время установления частоты выразится следующим образом Tf = T xk x (2.3.9) (1 d ) x F ( x ) + dx g, (2.3.10) - 111 где x0 – начальное значение координаты x, xk – конечное значение координаты x, определяемое критерием оценки перехода к движению без охвата цилиндра. В [27,33] в качестве конечного значения x принято значение xk=. Автор диссертации использует в качестве xk значение, определяющее точку пересечения усредненной кривой F (x) с предельной инвариантной кривой, разделяющей фазовый цилиндр на области движений с охватом и без охвата цилиндра. На рис. 2.30 приведены кривые F (x) для двух типов усреднения. Кривая I1 получена усреднением решения уравнения (2.3.6), запускаемого с левой границы цилиндра [27,33], I2 – усреднением координаты на инвариантных кривых, запускаемых при заданном x также с левой границы цилиндра. Инвариантная кривая L1 ограничивает область движений без охвата цилиндра сверху, инвариантная кривая L2 ограничивает область движений без охвата цилиндра снизу.

x L I I O L LЛО Lx LЛО Рис. 2.30. Кривые F (x), полученные различными способами усреднения На рис. 2.31 приведено семейство инвариантных кривых, построенных для различных x. Для F1() инвариантные кривые строятся непосредственно через решение системы (1.1.1) при подстановке F()= путем исключения из решения времени. Уплотнение инвариантных кривых со сменой знака приращения x подчеркивает наличие устойчивых периодических движений в системе. Простое уплотнение кривых без смены знака x говорит о возможности возникновения периодических движений при незначительном изменении параметров. Соответственно при расстройках по частоте, близких к - 112 полосе захвата, плотность инвариантных кривых будет неограниченно возрастать и приводить к бесконечному времени. Усреднение F() для заданного x происходит на инвариантной кривой, запущенной из точки (–1, x) до пересечения с границей цилиндра = 1. Количество точек, по которым проводится усреднение, может быть достаточно произвольным и определяется требуемой точностью. В расчетах F (x) оно составило порядка 30- x L x<0 x>0 x< L Lx LЛО LЛО O Рис. 2.31. Семейство инвариантных кривых СФС 2-го порядка Усреднение F (x) на инвариантных кривых учитывает изменение координаты x на периоде фазового цилиндра и соответсвенно снижает требования критерия быстрых и медленных движений. Точность усреднения не зависит от количества точек, охватывающих фазовый цилиндр;

фактически усреднение на инвариантных кривых происходит и по времени и по начальным условиям. На рис. 2.32 приведены результаты расчетов времени подстройки частоты для различных вариантов усреднения быстрой координаты: усреднения по инвариантным кривым (1), усреднения численного решения по начальным условиям (2), усреднение по времени решения отображения 1-го порядка. Результаты, полученные усреднением численного решения по начальным условиям, следует рассматривать в качестве эталонных. Анализ результатов позволяет сделать следующие выводы. При малых усилениях и сравнительно большой инерционности результаты, полученные усреднением по инвариантным кривым и численным способом, совпадают с высокой степенью - 113 точности (рис. 2.32б). Усреднение по времени решения отображения 1-го порядка дает завышенную оценку. С ростом усиления но сохранением инерционности результат повторяется (рис. 2.32в). При большом усилении и сравнительно малой инерционности фильтра при малых расстройках по частоте указанная тенденция вновь наблюдается;

с ростом расстройки усреднение по инвариантным кривым дает завышенную оценку, усреднение по времени решения отображения 1-го порядка дает результат, близкий к численному решению (рис. 2.32а,б).

T f/T D = 1,0 m = 0,5 = 0,1 T f/T D = 0,1 m = 0,5 = 0, а) T f/T б) D = 1,0 m=0 = 0,1 T f/T D = 1,0 m = 0,5 = 1, в) г) Рис. 2.32. Время установления частоты для разных вариантов усреднения быстрой координаты: 1 – по инвариантным кривым;

2 – по начальным условиям численного решения;

3 – усреднение решения уравнения 1-го порядка - 114 На рис. 2.33 приведены результаты расчета времени подстройки частоты, полученные усреднением по инвариантным кривым. Результаты подтверждают известные закономерности зависимости времени от различных параметров системы.

Tf/T Tf/T D = 1,0 = 0,1 m = 0,0 0, = 0, D = 0, 0, m = 0,0 0,9 0,9 0, а) Tf/T б) D = 1,0 m = 0,5 Tf/T D = 0,1 m = 0, = 0, = 0, 0,05 0, 0, 1, 1, в) г) Рис. 2.33. Время установления частоты при усреднении по инвариантным кривым для а) D = 1.0, p = 0.1;

б) D = 0.1, p = 0.1;

в) D = 1.0, m = 0.5;

г) D = 0.1, m = 0. -115 2.4. Использование качественно-численных методов дискретных СФС с синусоидальной нелинейностью для анализа 2.4.1. Особенности методики расчета бифуркационных параметров неподвижных точек гладких отображений Построение алгоритмов расчета бифуркационных параметров, при которых возникают или теряют устойчивость k-кратные неподвижные точки в системе с гладкой нелинейностью Fs(), в общем случае затруднительно. Если в системе с Fc() основные бифуркации, связанные с рождением и потерей устойчивости неподвижными точками, определяющими устойчивость в целом системы, происходят при попадании изображающей точки на границы линейных участков и на этом строится алгоритм расчета бифуркационных параметров, то в системе с синусоидальной нелинейностью подобной однозначности в построении алгоритма расчета не существует. Все бифуркации связаны с достижением границ локальной устойчивости k-кратных точек G1, G-1, G. В случае 1-кратных точек, включая кратные захваты, эти границы выписываются в аналитическом виде. Для неподвижных точек повышенной кратности определение границ G1, G-1, G в аналитическом виде невозможно. Наиболее приемлемым подходом в этом случае может служить численный метод продолжения по параметру, применяемый к найденной тем или иным способом начальной области существования периодического движения (в качестве начальной области достаточно использовать точку на плоскости параметров) [53]. В п. 2.1 в качестве примера была рассмотрена область существования предельного цикла структуры (0/4), возникающего на границе G в точке = /2 (рис. 2.4). Стартуя из точки А границы G методом продолжения по параметру можно построить всю область существования цикла данного типа с одновременной фиксацией соответствующих границ G1, G-1, G 4-кратной точки, входящей в состав цикла (0/4). Аналогично строится алгоритм расчета областей существования других циклов, возникающих на границах локальной устойчивости 1-кратных точек (рис. 2.4). Найденные области существования циклов (k-кратных точек), расположенных на границах устойчивости 1-кратных точек, совместно с установленными границами их устойчивости G1, G-1, G, используются в качестве базы для последующего шага в установлении бифуркационной -116 картины системы. Основой такого шага служит утверждение о существовании типовых бифуркаций, возникающих при переходе неподвижной k-кратной точкой соответствующих границ области локальной устойчивости (см. п. 2.1): 1) переход границы G-1 независимо от кратности неподвижной точки происходит через бифуркацию удвоения периода;

2) переход границы G.сопровождается в зависимости от значения рождением циклов 1-го рода соответствующих периодов либо квазипериодических движений, происходящих по замкнутым инвариантным кривым;

3) переход границы G1 сопровождается слиянием устойчивой и неустойчивой k-кратных точек с образованием сложной точки узел-седло с последующим разрушением цикла, приводящим к уплотнению траекторий. Как и в случае кусочно-линейных СФС, процедура уточнения характера движений может быть ограничена конкретной направленностью исследований. Для отыскания области устойчивости в целом, например, достаточно определить область существования граничных движений. К числу их относятся, как правило, движения с минимальным числом проскальзываний на периоде. Пусть F() = Fs(), отображение (1.1.1) в этом случае будет иметь вид n+1 = n Sin( n ) + xn xn+1 = Sin( n ) + dxn + g (2.4.1) Для частного случая g = 0 отображение (2.4.1) изучалось в [54], где получен ряд важных для практики результатов относительно существования притягивающего слоя, областей существования колебательных движений и кратных захватов. Ниже приводятся результаты исследований нелинейных процессов для произвольных частотных расстроек g. Результаты приведены в виде расчетных выражений для областей существования простых (1-кратных) неподвижных точек, оценок границ притягивающих областей, в виде полученных методом продолжения по параметру областей существования kкратных неподвижных точек, входящих в состав предельных циклов 1-го и 2-го рода, областей существования инвариантных притягивающих множеств, возникающих из пересечения седловых сепаратрисных многообразий. На рис. 2.34 приведена развертка фазового цилиндра отображения (2.4.1). Выделим аналогично системе с F1() следующие линии: L,m - линию отображения с изменением координаты на 2m, Lx,0 - линию отображения с сохранением координаты x:

D -117x A WU O / WS / O2 B C L, L x, Рис. 2.34 Фазовое пространство дискретной СФС с Fs() (2/1) (1/1) O =(g)(1d) O =(g)(1d) Рис. 2.35. Области локальной устойчивости циклов структуры (u/1) для d=0.5, g= x SI WS WU O2 L, Lx, Рис. 2.36. Фазовое пространство СФС для случая большой колебательности а) б) -118 L,m : x= Sin( )±2m;

m=0,±1,±2… Lx,0 : x=(- Sin()+g)/(1-d) (2.4.2) Точки пересечения кривых L,0 и Lx,0 - состояния равновесия системы. На периоде Sin() таких точек две:

g g, O1 = arcsin (1 d ) + (1 d ) +, g g, O2 = arcsin (1 d ) + (1 d ) +. T T (2.4.3) На пересечении кривых Lx,0 и L,m (m=±1,±2..) возникают циклы структуры (u/1) или кратные захваты. Согласно (2.4.2) они имеют координаты:

g - 2m(1 - d) g - 2m(1 - d) Om,1 = arcsin (1 d ) +, (1 d ) +, T g 2m(1 d ) g 2m(1 d ) Om, 2 = arcsin (1 d ) +, (1 d ) +, T (2.4.4) Из (2.4.3) можно получить условие существования состояния равновесия (2.4.5) > g (1 d ). По аналогии с (2.4.5) найдем условия на параметры системы, при которых возможны кратные захваты:

g 2m(1 d ) < 1. (1 d ) + (u/1) (u=0,±1,±2...) определяется системой неравенств ( (1 d ) + ) Cos(i ) > 0 1 d + (d ) Cos(i ) > 0 2(1 + d ) + ( (1 + d )) Cos( ) > 0. i (2.4.6) Область локальной устойчивости неподвижной точки i цикла структуры (2.4.7) Как это следует из (2.4.7), на периоде Sin() только одна из неподвижных точек цикла может быть устойчива, другая неустойчива. На рис. 2.35 в пространстве параметров (,) показаны области локальной устойчивости стационарного состояния и нескольких кратных захватов для g=0.5, d=0.5. Система уравнений (2.4.1) задает отображение пространства векторов состояний системы в себя. Оно инвариантно относительно преобразования gg+2m(1-d) (где m=±1, ±2...). При этом все движения в системе переходят в -119 подобные им движения, но при каждой итерации координата n получает дополнительное приращение 2m, а координаты xn всех точек изменяются на 2m. Т. е. циклы (u/k) переходят в циклы (u+km)/k. В силу этого без нарушения общности можно рассматривать g в пределах 0

Известно, что при d<1, g = 0 для произвольных параметров в фазовом пространстве существует притягивающий слой [54]. Для данной системы он определяется так же как и для СФС с пилообразной характеристикой детектора: (2.4.10) g g

>g/(1-d)+/(1-d), <1, (2.4.11) >1.

g > 1 d + (1 d ) 1 g arccos + 2 1 + + <, 1 d (1 d ) 2 При выборе начальных условий ниже (выше) кривой L,0 итерация происходит с уменьшением (увеличением) координаты. При >g/(1-d)+/(1d) L,0 пересекает границы притягивающего слоя. Рассмотрим область G (ABCD) в фазовом пространстве, образованную верхней и нижней границей притягивающего слоя, а также частями кривой L,0, лежащими между точками A, B и C, D (рис. 2.34). Эти точки лежат на пересечении L,0 с границами притягивающего слоя. Найдем далее условия, при которых область G отображается в себя. Для этого достаточно рассмотреть отображение отрезка (AD), принадлежащего верхней границе притягивающего слоя (2.4.12) n+1 = n Sin ( n ) + g /(1 d ) + /(1 d ) ;

(AD). Если n+1 < / 2, то отображение происходит всегда внутрь области G. Несложно видеть, что это всегда выполняется при <1, а в случае >1 n+1 достигает максимума при =-arccos(1/). Таким образом, при выполнении (2.4.11) скольжения по фазе в системе становятся невозможны.

2.4.2. Анализ областей существования установившихся движений в СФС с синусоидальной нелинейностью. Устойчивость Проанализируем существующие в системе устойчивые движения, определяющие область глобальной устойчивости состояния синхронизма, а также ее изменение в зависимости от параметров для различных начальных расстроек по частоте. 1. На рис. 2.37 показаны области существования различных периодических движений системы с ПИФ для нулевой расстройки. Темной заливкой отмечена область устойчивости в целом системы, ограниченная сверху первым кратным захватом (цикл структуры (1/1)) или циклами первого рода, которые существуют в области больших,. При малых d верхняя граница области -121 (2/4) (1/2) (0/5) (2/1) (3/1) (3/3) (0/8) (1/1) (0/4) (0/4) (0/6) (1/1) а) для g=0: а) d=0.5;

б) d=0.8.

б) Рис. 2.37. Области существования периодических движений (0/3) (0/3) (1/1) (С) (1/1) (С) (1/2) а) а) g=0.5;

б) g=1. б) Рис. 2.38. Области существования периодических движений для d=0.5:

-122 устойчивости определяется циклом первого рода структуры (0/4) (рис. 2.37а). Это движение принадлежит семейству циклов первого рода структуры (0/k), области существования которых располагаются вблизи верхней границы локальной устойчивости СФС. Области существования нескольких устойчивых циклов этого семейства показаны на рис. 2.37а. При увеличении d верхняя граница возникновения кратного захвата перемещается в сторону меньших, и он становится определяющим для ОГУ системы (рис. 2.37б). Это приводит к уменьшению области глобальной устойчивости. Вместе с тем при увеличении d в области локальной устойчивости при больших, появляются кратные захваты более высокого порядка, а также возникают различные циклы первого и второго рода (рис. 2.37б). Это цикл второго рода периода два (1/2). Потеря устойчивости этого цикла при увеличении происходит с удвоением периода. Это приводит к рождению устойчивого цикла (2/4), который теряет в свою очередь устойчивость с удвоением периода и т.д. Области существования циклов с увеличением периода значительно уменьшаются, так что уже для циклов периода 16 они практически равны нулю. На рис. 2.37б показаны области существования циклов (1/2), (2/4). Характерным также является возникновение цикла первого рода структуры (0/4). Точки этого цикла при g=0 располагаются попарно симметрично относительно состояния синхронизма. 2. При ненулевых расстройках в области малых значений потеря глобальной устойчивости происходит вследствие рождения структуры, которую будем далее называть структурой (C) (рис. 2.36). Характерным для этой структуры является то, что входящая сепаратриса неустойчивой стационарной точки (WS) лежит ниже выходящей сепаратрисы (WU). Это приводит к возникновению притягивающей инвариантной кривой (кривая SI на рис. 2.36). Движение вдоль кривой происходит с постоянным возрастанием фазы. Вследствие этого ОГУ в области малых уменьшается (рис. 2.38). В области больших, ограничение ОГУ происходит первым кратным захватом. С увеличением расстройки граница области его существования перемещается в область меньших, (рис. 2.38а). При дальнейшем росте g описанные тенденции сохраняются. Вместе с тем область существования цикла второго рода (1/2) опускается ниже границы первого кратного захвата и также уменьшает область глобальной устойчивости (рис. 2.38б). Проанализируем полосу захвата системы (границу области глобальной устойчивости системы в пространстве параметров (D,)).

-123 Рассмотрим предварительно область локальной устойчивости системы. Она определяется неравенствами (2.4.7), от которых можно перейти к неравенствам, определяющим области локальной устойчивости в пространстве физических параметров D(1 d ) > 0 1 d > D(d (1 m)(1 d ) p 2(1 + d ) > D(1 + d 2(1 m)(1 d ) p (2.4.13) и достигает максимального значения по D, когда выполняется условие:

m = p (d + 1) 4(1 d ).

(2.4.14) С увеличением происходит расширение области локальной устойчивости в сторону больших D. Это происходит вследствие уменьшения крутизны Fs() в точке равновесия с увеличением. Выполним анализ полосы захвата системы в зависимости от изменения ее параметров. При малых значениях m правая граница полосы захвата определяется кратным захватом (цикл (1/1)). Верхняя граница полосы захвата определяется возникновением структуры (C), описанной выше (рис. 2.39а). С увеличением m наблюдаются следующие тенденции: 1. Нижняя граница возникновения структуры (C) сдвигается в сторону больших. При этом правая граница полосы захвата начинает определяться также циклами второго рода k>1. Это приводит к расширению полосы захвата в области малых D (рис. 2.39б, 2.39в). 2. При дальнейшем увеличении m правая граница полосы захвата начинает определяться границей локальной устойчивости состояния синхронизма (рис. 2.39в, 2.39г). При приближении значений m к единице граница локальной устойчивости уже полностью определяет правую границу полосы захвата. Это приводит к уменьшению полосы захвата по D и ограничению снизу диапазона расстроек, в которых обеспечивается захват из любых начальных условий. 3. При m близких к единице, наряду с ограничением снизу, наблюдается расслоение полосы захвата циклами второго рода на несколько подобластей (рис. 2.39г). При этом верхняя граница полосы захвата по прежнему определяется структурой (С) и близка к единичному значению. В целом можно сказать, что при увеличении коэффициента m от нуля до единицы происходит расширение полосы захвата системы в области малых -124 З З (С) (1/2) (1/3) (1/4) (С) (1/1) Граница локальной устойчивости (1/1) D D а) б) З (1/4) (1/3) З (1/2) (1/1) (2/2) (С) (1/5) Граница локальной устойчивости Граница локальной устойчивости (1/2) D D в) г) Рис. 2.39. Полоса захвата ИСФС с линейным ПИФ для p=0.1: а) m=0.1;

б) m=0.3;

в) m=0.5;

г) m=0.9.

-125 усилений с появлением одновременно ограничения в области больших D. Аналогичное качественное поведение полосы захвата в зависимости от m наблюдается при различных значениях p. Приведенные зависимости полосы захвата можно использовать и для анализа цифровой СФС ПИФ. Для этого достаточно воспользоваться соотношениями, связывающими параметры цифровой СФС систем с обобщенными параметрами. Рассмотрим нелинейные свойства отображения (2.4.1) для d = 1, что соответствует обобщенной модели СФС с линейным интегратором в цепи управления. На рис. 2.40 приведена развертка фазового цилиндра СФС с интегратором. В отличие от фазового пространства системы с ПИФ отображение с сохранением координаты x в данном случае происходит с вертикальных прямых ( Lx,m: =±2m;

m=0, ±1,±2… ) и не зависит от начальной расстройки. Линии отображения с сохранением значения координаты mod 2 проходят так же, как и в системе с ПИФ L,m: x= Sin()±2m;

m=0,±1,±2… Точки пересечения кривой L,0 и прямых Lx,m Oj есть стационарные состояния системы. Они имеют координаты: Oj=(0,2j;

j=0,±1,±2..). Несложно видеть, что в данной системе прямые Lx,m пересекаются со всеми линиями L,m, m=±1,±2... Таким образом, в рассматриваемой модели существует бесконечное множество кратных захватов (циклов структуры (u/1);

u=±1,±2...). Рассмотрим основные свойства отбражения: Система инвариантна относительно замены (( mod 2),x)((mod2),x±2m). При этом все движения в системе переходят в подобные им движения, а координата на каждом шаге получает дополнительное приращение 2m. Т. е. циклы структуры (u/k) переходят в циклы (u+km)/k. В силу этого поведение данной системы можно рассматривать на торе, период которого определяется неравенствами (2.4.15) -,- x На рис. 2.41а на плоскости параметров (,) приведены области существования устойчивых периодических движений различной структуры системы (2.4.1) для d = 1. Как следует из данных, в области больших, существует устойчивые циклы первого рода структуры (0/3), (0/4). Эти движения существовали и в системе с ПИФ (d<1).

-126 x O /2 / O L, Lx, Рис. 2.40. Фазовое пространство астатической СФС (0/3) (0/3) (0/8) (0/4) (0/4) (2/4) (2/6) (1/2) (1/3) (1/3) а) б) Рис. 2.41. Области существования периодических движений астатической СФС а) с линейным интегратором, б) с нелинейным интегратором -127 В области малых, существуют устойчивые циклы второго рода. Это прежде всего циклы периода два, имеющие структуру (±1/2). Точки этих движений имеют координаты T T r r q1 = [0, ], q2 = [, ] для цикла (1/2), T T r r q1 = [0, ], q2 = [, ] для цикла (-1/2).

(2.4.16) Данные движения характерны для системы с интегратором. Их отличительной особенностью является то, что значение координаты x при движении по циклу остается неизменным и равным ±, а фазовая координата постоянно возрастает или убывает. Приращение разности фаз за период Т равно. С практической точки зрения это означает, что частота ПГ является стабильной и отличается от частоты входного сигнала ровно в 1.5 раза. Устойчивость этого движения определяется собственными значениями матрицы системы, линеаризованной в точках цикла: (2.4.17) 1 1 1 + 1 A= 1 1 При увеличении, подобно тому как это было и в системе с ПИФ, этот цикл теряет устойчивость с удвоением периода. Это ведет к возникновению цикла (2/4), который также теряет устойчивость с удвоением периода. Далее этот процесс повторяется. Области существования устойчивых циклов данной структуры сильно уменьшаются с увеличением периода. Также в области малых, существуют циклы 2-го рода больших периодов, например, цикл (1/3). Штриховкой на рис. 2.41а помечена область параметров системы, в которой существуют только кратные захваты. Учитывая характер фазовых портретов, реализующих циклы 2-го рода при малых усилениях (2.4.16), от них легко избавиться, введя ограничение по координате x. Это в свою очередь можно сделать, применив в качестве астатического фильтра цифровой интегратор с насыщением [84] Области устойчивости для астатической СФС с нелинейным интегратором показаны на рис. 2.41б. Как следует из результатов, в области малых усилений система устойчива глобально (кратные захваты в системе с нелинейным интегратором также отсутствуют). Подобные режимы имеют важное значение для синхроннофазовых демодуляторов на основе цифровых СФС с усредняющими фильтрами на основе цифровых интеграторов.

- 2.5. Применение качественных квантования в цифровых СФС методов для анализа эффектов Пусть функция F() имеет вид, приведенной на рис. 1.1г,д, а в цепи управления СФС используется независимый пропорциональный канал. Отображение (1.1.1) в этом случае будет представлять собой модель цифровой СФС с АЦП внутри кольца, если координата принимает любое значение, и модель с АЦП на входе кольца, если координата принимает ограниченное число значений из некоторого ряда, определяемого разрядностью преобразователя [148] Для большого числа уровней квантования методика расчета установившихся движений аналогична использованной в п. 2.2. В качестве основного результата следует рассматривать существование циклов 1го рода периода k=2 ( = ), представляющих собой колебательный тип движений. На рис. 2.42 на плоскости физических параметров приведены зависимости полосы захвата от усиления. Для малых m, d полоса ограничена в области малых расстроек циклами ПЦ1, в области больших расстроек, как и в случае импульсной СФС, циклами ПЦ2.

D D d = 0. m = 5. d = 0. 0. 0.8 m = 5. 0.6 1. 0.6 1. 0. 0. 0.2 0.5 0. 0.2 0.5 0. 0. 0. 0. 0. D 0. 0. 0. 0. D а) б) Рис. 2.42. Полоса захвата цифровой СФС 2-го порядка Главная особенность ПЦ1 четного периода состоит в их симметричности, этим объясняется то, что они возникают при малых частотных расстройках (фазовое пространство максимально симметрично) и исчезают с их ростом. Циклы возникают при малых m и ограничивают полосу захвата снизу. Верхняя - граница полосы захвата цифровой ФАС, как и для импульсной системы, определяется движениями структуры (1/k), характер возникновения которых мало отличается от импульсных систем. Возникновение данных циклов, как и циклов с несколькими проскальзываниями, связано с переходом неподвижных точек черец границы нелинейности и рождением пары k-кратных точек устойчивый узел-седло либо устойчивый фокус-седло. Для сравнения штриховой линией на рис. 4.42 показана граница полосы захвата, полученная методом усреднения [30]. Наибольшее совпадение результатов наблюдается при больших d и m. Точность совпадения значительно падает с уменьшением m, d. Причины кроются в степени строгости выполнения условий разделения движений на быстрые и медленные либо в вырождении уравнения быстрой координаты [33]. Значительная ошибка метода усреднения связана с существованием циклов 1-го рода, которых метод "не замечает" (рис. 2.42а). Рассмотрим влияние конечной разрядной сетки на процессы в СФС. Известны различные подходы решения подобной задачи. В [47,147] предлагается использовать линейную модель системы, при этом ошибки квантования моделируются эквивалентным внешним воздействием. Получены оценки уровня сигнала на выходе системы, обусловленного конечной разрядной сеткой. Доказано, что при условии апериодических процессов (импульсная характеристика одного знака, соответствует малому усилению системы), уровень сигнала не превышает половины дискрета квантования. С ростом усиления выходной сигнал растет пропорционально "податливости" системы [47]. В [146] предлагается близкий к описанному статистический подход, согласно которому используется также линейная модель системы а ошибки квантования моделируются внешним шумовым сигналом, имеющим эквивалентные шумам квантования статистические характеристики. Известен подход, основанный на аналитическом описании сигнала, вызванного эффектами квантования, позволяющий получить точные значения параметров сигнала [40,146]. Однако его возможности ограничены частными случаями, когда описываемый сигнал представляет собой простейшие периодические движения минимального периода.

-130 В разделе для анализа эффектов квантования в цифровых СФС предлагается методика, основанная на качественных методах. В отличии от известных, она позволяет анализировать поведение системы не только в окрестности состояния равновесия, но и в окрестности периодических движений большой амплитуды. Анализ движений на фазовом цилиндре позволяет опеределить тенденции нелинейного поведения, вызванного конечной разрядной сеткой, изучить возможные качественные изменения движений, характер влияния различных параметров. Пусть АЦП находится внутри кольца, а координата может принимать любое значение. Анализ влияния конечной разрядной сетки в этом случае сводится к учету конечного числа состояний нелинейной функции F(). Предлагается подход, основанный на построении инвариантных кривых. Уравнение инвариантных кривых или уравнение, не содержащее времени, можно получить из (1.1.1) в предположении, что значение функции F() остается постоянным в некотором диапазоне. Это выполняется, если координата находится в интервале одной полочки F(). Уравнение имеет следующий вид F ( 0 ) g F ( 0 ) + (1 d ) x + F ( 0 ) g x x0 1 d, (2.5.1) ( x) = 0 ln ln d 1 d (1 d ) x0 + F ( 0 ) g где 0, x0 – координаты начальной точки, из которой запускается инвариантная кривая. Кривая (2.5.1) имеет две ветви, асимптотически стремящиеся к прямой xa = g F ( 0 ). 1 d g F ( 0 ) (1 d ) F ( 0 ) g F ( 0 ) +. ln d 1 d (2.5.2) Одна из ветвей имеет экстремум при xэ = (2.5.3) Вторая ветвь является монотонной и при условии xэ < xa неограниченно скользит вдоль прямой (2.5.2) в сторону больших при стремлении x xa. При условии xэ > xa ветвь стремится в сторону малых. Положение -131 асимптотической прямой (2.5.2) и только от координаты 0.

x экстремальной точки (2.5.3) зависят Q1 a1 b Lx Q a b Lx L L Lx c d2 b a L Lx c d2 b L a 0 1 0 а) б) Рис. 2.43. Примеры инвариантных кривых цифровой СФС Механизм построения инвариантной кривой поясняется рис. 2.43. Выбирается некоторая точка, движение в окрестности которой представляет интерес. К числу таких относятся точки с координатами простых либо кратных неподвижных точек отображения (1.1.1). На рис. 2.43 такой точкой является 2кратная неподвижная точка устойчивого колебательного движения ak. На интервале полочки, которой соответствует выбранная точка, согласно (2.5.1) строится отрезок инвариантной кривой, проходящей через ak, - a1b1. Затем из концов построенного отрезка a1b1 запускаются инвариантные кривые (2.5.1), которые за один системный дискрет придут соответственно в точки a2, b2. Из точек a2, b2 вновь запускаются инвариантные кривые до пересечения с границей полочки, которой соответствуют a2, b2, при этом формируются отрезки с2b2 и d2а2. Запуск инвариантных кривых из концов этих отрезков может привести к двум различным ситуациям, приведенным на рис. 2.43. В первом случае они пересекают начальный отрезок a1b1 либо его продолжение (рис. 2.43а), во втором случае не пересекают. Повторение процедуры в первом случае приведет к выходу за границу цилиндра = 1 и разрушению колебательного движения. Во втором случае этого не произойдет. В общем случае пересечение с начальной инвариантной -132 кривой еще не гарантирует выхода за границу цилиндра. В силу этого речь должна идти о существовании некоторой предельной инвариантной кривой (x ) lim, ограничивающей движение из заданной области, к которой будут стремиться другие разрушаются при существования существования кривые. Учитывая, что периодические движения переходе граничных точек нелинейности, факт следует рассматривать в качестве о условия Отсутствие (x ) lim движения.

(x ) lim говорит неизбежном разрушении движения колебательного движения. Процедура отыскания предельной инвариантной кривой включает в себя последовательное построение инвариантных кривых согласно (2.5.1), запущенных из окрестности заданной точки, по описанной выше схеме. Количество итераций, необходимых для ответа на вопрос о ее существовании, зависит от параметров системы, включая количество уровней квантования N, от положения неподвижной точки, ее кратности. Как показали расчеты, в любом случае оно не превышает 10 итераций, обеспечивая достоверный результат. На рис. 2.44 на плоскости физических параметров D, D приведены области существования одного из вращательных движений цифровой СФС 2-го порядка (цикл 2-го рода структуры 1/4) для различных N. Анализ результатов показывает, что с уменьшением числа уровней квантования, наблюдается уменьшение диапазона частотных расстроек, в котором существует цикл. С ростом усиления D тенденция эта усиливается, при малых N цикл перестает существовать (рис. 2.44а, D > 0.5). Аналогичный результат характерен и для других типов движений. В конечном итоге уменьшение областей существования как колебательных так и вращательных движений с уменьшением числа уровней квантования приводит к увеличению области захвата системы. На рис. 2.45 приведен график среднего увеличения полосы захвата цифровой СФС 2-го порядка от N по сравнению с системой, в которой не учитываются эффекты квантования.

-133D 0. D 0. 0. 0. N= N= 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. D 0. 0. 0. 0. 0. D а) D 0. б) D 0. 0. N= 0. N= 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. D 0. 0. 0. 0. 0. D в) г) Рис. 2.44. Влияние конечной разрядной сетки на области существования цикла для m = 0.5, d = 0.5 а) N = 16, б) N = 32, в) N = 64, г) N = 128.

N Рис. 2.45. Увеличение полосы захвата цифровой СФС для d = 0.5, m = 0.1, D = 0.3 Для анализа колебательных движений в окрестности состояния равновесия обратимся к рис. 2.46, на котором приведена часть фазового пространства -134 цифровой системы с изображенными на ней линиями отображения с сохранением координат L, Lx и инвариантной кривой э (x ), имеющей экстремум на левой границе полочки. Координата x э определяется выражением (2.5.3), для которого начальная точка 0, x0 выбирается на правой границе полочки F(). Полочка ломаной Lx, x = xa, представляет собой асимптоту, к которой стремится кривая э (x ). В точку b система попадает при движении вдоль асимптоты x = xa в результате отображения из точки а. В точки a и b система попадает в результате отображения соответственно их точек a и b.В общем случае в зависимости от параметров системы они могут находиться по разные стороны относительно кривой э (x ) и границы = 0. На рис. 2.46 точки находятся внутри указанных линий.

x Lx xа xэ а b L b a э(x ) ( 0,x 0 ) Рис. 2.46. Инвариантные кривые цифровой СФС в окрестности состояния равновесия для d = 0.1, m = 0.5, D = 0. Возможный характер движения в окрестности состояния равновесия определяется местоположением точек а, b относительно линий э (x ) и = 0. Если точки а, b находятся между кривой э (x ) и границей = 0, то движение системы представляет собой колебания, ограниченные кривыми э (x ) и b-b. Движение расположено на двух соседних ступеньках функции F(). Если точки а, b либо одна из них не переходят границы = 0, то из них происходит повторное отображение согласно того же уравнения инвариантной кривой, приводящее систему в область, находящуюся слева от кривой э (x ). В -135 результате реализуется движение, расположенное на трех соседних ступеньках F(). Если точки а, b либо одна из них находятся слева от э (x ), то реализуется движение, также занимающее три соседние ступеньки F(). На рис. 2.47 приведены типичные фазовые портреты цифровой СФС для окрестности состояния равновесия для различных расстроек по частоте. Все движения представляют собой отображения отрезков, подчиняющиеся описанным выше движениям. С ростом g линия Lx смещается вверх относительно линии L, при этом последовательно реализуются следующие сценарии. При малых растройках (рис. 2.47а) движение ограничено экстремальной кривой э (x ) и происходит в интервале двух ступенек F(). С ростом g (рис. 2.47б) реализуется сценарий, когда точка b не переходит границы = 0 и часть точек выходят за э (x ), в результате движение происходит на трех ступенях F(). Дальнейшее увеличение расстройки приводит к росту отрезка а-б, его отображение а-b принадлежит той же полочке F(), причем расположенное правее самого отрезка а-б (рис. 2.47в,г). Это приводит к тому, что в качестве асимптотической прямой x = xa начинает выступать нижняя полочка Lx.Процессы на качественном уровне начинают повторяться, занимая две ступени F(). Это подтверждается фазовыми портретами, приведенными на рис. 2.47д,е, являющимися отражением портретов, приведенных на рис. 2.47а,в. зеркальным Таким образом, при малых постоянных цифрового фильтра и усилении системы (D < 1) максимальный размах движений в системе, представляющих собой отображение отрезков, составляет 2-3 дискрета в зависимости от расстройки по частоте. Для оценки влияния конечной разрядной сетки F() при других параметрах системы обратимся к рис. 2.48, на котором приведено семейство областей локальной устойчивости обобщенной модели (1.1.1) для разных значений d. Для удобства на области нанесены линии физических параметров цифровой СФС для разных коэффициентов пропорциональности фильтра m. Движение по линиям физических параметров для конкретного m снизу вверх согласно (1.1.16), (1.1.17) соответствует росту усиления и приближает систему к границе устойчивости G либо G-1. Отдельно выделена область устойчивости -136 Lx L L x L а) б) L x L Lx L в) г) Lx L L Lx д) е) Рис. 2.47. Фазовые портреты цифровой СФС в окрестности состояния равновесия для разных расстроек g d = 0.1, D = 0. -137 с нанесенной на ней линиями физических параметров ОА и ОВ для d = 0.1, которая будет использована при анализе движений в системе с АЦП на входе кольца (рис. 2.48б).

m = 0. d= 0. m = m=1 A 2 m= d= 0. d=0. B m= O а) б) Рис.2.48. Области локальной устойчивости обобщенной модели СФС для разных d На рис. 2.49 приведены типичные фазовые портреты для d = 0.5, m = 2 при различных усиления системы = DS = D. При малых D на одном дискрете укладывается несколько точек и хорошо работает теория инвариантных кривых, дающая периодические движения (рис. 2.49а). С ростом D увеличиваются скачки координат при отображениях и применение инвариантных кривых затруднено. В то же время сохраняется периодическая структура движений. Приближение к границе G-1 приводит к росту амплитуды периодических движений и количеству движений (рис. 2.49б, существует два цикла, помеченных соответственно крестиками и ноликами). Увеличение постоянной фильтра d (рис. 2.50) на качественном уровне повторяет предыдущий результат. Отличие состоит в том, что движения носят сложный квазипериодический характер. При малых D по-прежнему движение локализовано минимальным количеством ступеней F() и хорошо объясняется с помощью теории инвариантных кривых (рис. 2.50а). С ростом D наблюдается размывание области пространства, занимаемой движением. При этом, в случае -138 x x а) б) Рис. 2.49. Фазовые портреты цифровой СФС для d = 0.5, m = 2, g = 0.1 а) D = 0.5, б) D = 1. x x а) б) Рис. 2.50. Фазовые портреты цифровой СФС для d = 0.9, g = 0.05 а) D = 0.1, m = 2;

б) D = 1, m = -139 движения по прямой физических параметров в сторону комплексной границы устойчивости G размывание происходит по обеим координатам, в случае движения в сторону G-1 размывание носит достаточно локализованный характер, определяемый знакопеременным процессом (рис. 2.50б). Вблизи границ устойчивости размеры движений соизмеримы с размерами периода фазового цилиндра.

x x x а) x б) x в) x г) д) е) Рис. 2.51. Изменение фазового портрета цифровой СФС при увеличении усиления для d = 0,1;

m = 1 Рассмотрим влияние конечной разрядной сетки на процессы в цифровой СФС в окрестности состояния равновесия для АЦП на входе кольца. В этом случае дополнительно к условиям, использованных при решении предыдущей задачи, необходимо добавить конечное число состояний координат и x. Ограничение координат обобщенной модели конечным числом возможных значений придало движениям системы организованный периодический -140 характер независимо от ее параметров, хотя ряд основных тенденций сохранился. К числу их в первую очередь относится рост амплитуды колебаний с увеличением усиления системы. При малых усилениях поведение системы принципиально отличается и характеризуется так называемым эффектом "размножения состояний равновесия" (рис. 2.51а,б). Суть его состоит в том, что на линии Lx возникают дополнительные состояния равновесия (ложные состояния синхронизма), выйти из которых за один шаг система может лишь при достаточном усилении. В противном случае за счет эффектов округления система будет возвращаться в исходное состояние. Подобный эффект имеет место при движении по линиям физических параметров до точек 1 и 1 (рис. 2.48б). При движении по линиям физических координат в интервале 1-2 и 1-2 в системе существует единственное состояние равновесия, обеспечивающее режим, близкий к состоянию синхронизма. Дальнейшее поведение системы согласно рис. 2.48б при движении по линиям с m = 1 и m = 4 (соответственно в сторону границы G и G-1) будет различным и качественно повторять результаты для АЦП внутри кольца. При движении в сторону G (m = 1) возникают периодические движения с достаточно низким периодом (на рис. 5.51г-е период k = 4), число их и размер растет по мере приближения к границе G. При движении в сторону G-1 (m = 4) возникают периодические движения с периодом k = 2 (рис. 5.52в-е), число их и размер также растет по мере приближения к границе G-1. Наличие подобных движений объясняется существованием отрицательного собственного значения линеаризованной матрицы системы. Рост d (усиление интегрирующих свойств фильтра) заметно меняет фазовую картину лишь при движении по линии физических параметров с m = 1, вызывая увеличение периода движений при стремлении к границе G (рис. 2.53). Характер движений при стремлении к G-1 не меняется. Отметим, что при движении по прямой с m = 4 c ростом параметра (рис. 2.48б) возникают кратные захваты (рис. 2.52б-е), характер возникающих движений в окрестности которых качественно повторяет движения в окрестности основного состояния равновесия.

-141x x x а) x б) x в) x г) д) е) Рис. 2.52. Изменение фазового портрета цифровой СФС с ростом усиления для d = 0,1;

m = x Рис. 2.53. Фазовый портрет цифровой СФС в окрестности основного состояния равновесия для d = 0,5;

m = 1.

- 142 2.6. Использование качественно-аналитических неавтономных дискретных СФС методов для анализа В разделе с помощью методики, предложенной для анализа нелинейных процессов в автономных СФС (см. п.п. 2.2, 2.4), изучаются процессы при наличии внешних периодических воздействий по частоте. Для кратного отношения периода изменения входной частоты Твх и периода дискретизации системы Т, Твх/Т=k, где k-целое число, разработаны алгоритмы, позволяющие рассчитать области существования различных установившихся режимов, включая область устойчивого слежения (движение в неавтономной системе без проскальзывания по фазе с периодом, равным Твх). Для произвольного отношения Твх/Т=k1/k2, где k1, k2-целые числа, предлагаемая методика с учетом незначительной модификации также может быть применена. Результаты анализа неавтономных режимов СФС при периодическом по частоте воздействии представляют большой практический интерес, поскольку позволяют ответить на ряд важных вопросов, связанных с выбором параметров устройств, функционирующих в условиях переменной входной частоты. К числу их относятся различные поисковые по частоте системы, системы слежения за входной частотой при наличии детерминированной помехи на входе, устройства, выполняющие функциии частотных и фазовых демодуляторов. Для непрерывных СФС задача анализа неавтономных режимов при периодическом по частоте воздействии на сегодняшний день решена в достаточной для практики степени [5,8,82,155]. В случае дискретных СФС можно назвать ограниченное число работ, посвященных анализу неавтономных систем. При этом большинство из них посвящено исследованию поисковых по частоте режимов различных модификаций СФС [99,100,102]. Анализу возможных установившихся периодических и квазипериодических движений, обусловленных частотными изменениями на входе, посвящено незначительное число работ, в том числе автора диссертации [175,176]. 2.6.1. Методика расчета областей существования установившихся движений при периодическом по частоте воздействии Методика анализа неавтономных режимов дискретных СФС предполагает переход в новую временную шкалу, дискрет которой совпадает с периодом изменения входной частоты Твх (в случае некратного отношения Твх и Т дискрет - 143 равен наименьшему общему кратному Твх и Т). Рассмотрим для начала бесфильтровую СФС, уравнение которой имеет вид n +1 = n F ( n ) + g + un, (2.6.1) где un – одномерное внешнее воздействие, его можно рассматривать в качестве изменяющейся во времени частотной расстройки. Не теряя общности, от (2.6.1) можно перейти к виду n+1 = n F ( n ) + g n, где gn – зависящая от времени мгновенная частотная удовлетворяющая условию g n < M, для n.

(2.6.2) расстройка, Пусть период внешнего воздействия кратен периоду дискретизации кольца Tвх=kT. В этом случае все движения в системе будут также периодическими с периодом Ta, кратным Tвх, Ta=lTвх=lkT, l=1, 2, 3,…. Соответственно режим слежения будет представлять движения в системе с периодом k без проскальзывания фазы. Подобный режим выполняет функцию, аналогичную состоянию равновесия (простой неподвижной точке) в системе при постоянном входном воздействии. Для анализа режимов слежения системы (2.6.2) перейдем к новой временной шкале с дискретом, совпадающим с периодом входного сигнала Tвх. В новом времени режиму слежения будет соответствовать неподвижная точка, а движениям с периодом Ta - l-кратная неподвижная точка. Будем описывать поведение системы с помощью переменной n,i, 0 i < k, совпадающей в новой шкале со значениями n,i = n, 0. Построим функцию последования f ( n, 0, g n, 0 ), связывающую состояния системы в два соседние момента времени новой шкалы, n+1,0 = f ( n,0, g n,0 ).

(2.6.3) Для общего вида нелинейности F() и типа входного воздействия это сделать можно численным способом. В случае кусочно-линейной F() и ЛЧМвоздействия функцию f ( n, 0, g n, 0 ) можно выписать в аналитическом виде. Пусть F()=F1(). Уравнение (2.6.1) представим в виде n+1 = (1 ) n + g + u0 + ju + pn, (2.6.4) где pn – вектор, учитывающий нелинейные отображения: pn = 0 при n 1, pn = ±2i при n > 1, i =1, 2, …;

u0 – значение входной частоты, соответствующее - 144 началу периода ЛЧМ;

j – порядковый номер дискрета на периоде ЛЧМ, 0 j < k, u – шаг приращения входной частоты. С учетом (2.6.4) установим связь между переменной n, 0 :

k 1 j = соседними значениями n+1,0 = (1 ) n,0 + (1 ) j Vk j 1, k (2.6.5) где V j = g + u0 + ju + p j. После преобразований получим:

1 (1 ) k n+1, 0 = (1 ) k n, 0 + ( g + u0 ) + (k 1) + (1 ) k k 1 j = +.

(2.6.6) u + (1 ) j pk j Выражение (2.6.6) определяет функцию последования в новой шкале времени. Для существования режима слежения необходимо выполнение условия p j = 0, j. В этом случае для неподвижной точки будет справедливо выражение g + u0 (k 1) + (1 ) k +2 u, k < 1. (1 (1 ) k ) k 1 j = k = (2.6.7) На периоде входного воздействия может произойти в общем случае k нелинейных отображений, которые описываются слагаемым (1 ) j pk j 1.

Согласно (2.6.6) на плоскости n, 0, n+1, 0 функция последования f ( n, 0, g n, 0 ) будет представлена параллельными отрезками, лежащими на различной высоте по координате n+1, 0. Конкретные расположения отрезков будут определяться соответствующими комбинациями p0 p1... p k 1. При наличии пересечения соответствующего участка с линией старта ( n+1, 0 = n, 0 ) в системе существует режим "квазислежения", при котором на периоде входного сигнала происходят скольжения по фазе, а абсолютное приращение фазы за период составляет величину pj.

j = k На рис. 2.54, 2.55 приведены графики функции последования для различных параметров СФС. На рис. 2.54 – для малого усиления системы, рис. 2.55 – для большого усиления. Функции представляют собой набор - 145 n+ 0 20 2 0 2 0,,,,,, n+ 2 00 2 0 2 0,,,,,,,000000 2,,,,, 0 20 0 2 2 0,,,,,, 00 0 2 0 2 0,,,,,, 0,00002,2,,,, 0 20 0 2 0 2,,,,,, 00 2 0 2 0 2,,,,,, 0 0 20 0 2 2,,,,,, 000 0 00 0,,,,,, 00,0020,,2,,, n а) б) Рис. 2.54. Функция последования СФС с малым усилением для k =7 а)U = 0.5, g = 0.9, = 0.1;

б)U = 0.5, g = 0.02, = 0. n n+ 22 22 222,,,,,, n+ 00 00 000,,,,,, 2222222,,,,,, 0000000,,,,,, 00 22 222,,,,,, 0000 022,,,,,, 0000 222,,,,,, 0022222,,,,,, 0000022,,,,,, 0002 222,,,,,, 0002222,,,,,, 0000 0 02,,,,,, 0000222,,,,,, 0222 2 22,,,,,, 0222222,,,,,, 0000002,,,,,, n а) б) n Рис. 2.55. Функция последования СФС с большим усилением для k =7 а)U = 0.5, g = 1.1, = 1.95;

б)U = 0.5, g = 0.87, = 1. - 146 отрезков, наклон которых определяется. Длительность отрезков зависит от комбинации комбинации p0 p1... p k 1. Для малого наиболее характерными являются с характерным чередованием линейных и нелинейных отображений на периоде (рис. 2.54а), для большого - комбинации без чередования линейных и нелинейных отображений. Комбинация вида "0,0,0,0,0,0,0" соответствует движению без нелинейных отображений. Точка пересечения отрезка функции f ( n, 0, g n, 0 ) с данной комбинацией и линии переключения определяет состояние слежения системы (рис. 2.55а,б). Комбинация вида "2,2,2,2,2,2,2" соответствует движению системы с нелинейным отображением одного знака на каждом шаге. Точка пересечения отрезка функции f ( n, 0, g n, 0 ) с данной комбинацией и линии переключения определяет состояние кратного слежения, аналога кратному захвату системы для постоянного по частоте воздействия (рис. 2.55а). Точки пересечения отрезков f ( n, 0, g n, 0 ) с другими комбинациями определяют в большом времени существование как простых неподвижных точек (период движения равен k), так и кратных. Во втором случае каждая из точек соответствует одному из состояний движения с периодом lkТ. Изменение постоянной расстройки g приводит к смене типа неподвижных точек. Согласно рис. 2.54 при малом усилении режим слежения невозможен. При малом g характерным является и полное отсутствие неподвижных точек, при этом возникают движения с нелинейным отображением разных знаков (рис. 2.54б). Создаются условия для возникновения движений, аналогичных циклам 1-го рода. При большом усилении существует режим слежения и дополнительно несколько циклов, аналогов колебательным и вращательным движениям. При этом наблюдается зависимость от четности периода k. Для четных k режим слежения как правило ограничивается режимом кратного слежения. Для нечетных k режим слежения ограничивается либо кратным слежением, либо циклами 2-го рода, в которые переходит кратное слежение в результате уменьшения числа нелинейных отображений на периоде ЛЧМ. Проведенный анализ подтверждается результатами, приведенными на рис. 2.56. На плоскости, g приведены области существования различных движений соответственно для четного (рис. 2.56а, k=10) и нечетного периодов входного воздействия (рис. 2.56б, k=7). Следует подчеркнуть стройную схему - 147 g = = Кратный захват =6 =4 =2 = Состояние слежения а) g =12 = Кратный захват 0,0,2,2,2,2, =4 = 0,0,0,0,2,2, 0,0,0,0,0,0, = Состояние слежения б) Рис. 2.56. Области существования установившихся движений а)U = 0.3, k = 10 б)U =0.5, k= - 148 образования областей существования циклов. При малом усилении с ростом расстройки наблюдается возникновение циклов 2-го рода с равномерным увеличением количества нелинейных отображений. Данные циклы образуют группы, которые с ростом усиления также дают движения с большим числом нелинейных отображений. Количество таких групп равно k-1, в качестве k-ой группы при больших расстройках выступает кратное слежение с изменением фазы, равным 2k. С ростом усиления в случае четного k граница кратного слежения уходит в область больших расстроек (рис. 2.56а), в случае нечетного k – в область малых расстроек с переходом в границы циклов 2-го рода с меньшим числом нелинейных отображений (рис. 2.56б). Для, близких к нулю режим слежения отсутствует. В целом характер полученных областей на качественном уровне повторяет результаты, полученные для дискретных систем 2-го порядка. Это можно объяснить тем, что неавтономное отображение 1-го порядка путем введения второй координаты может быть сведено к автономному отображению 2-го порядка. Основным результатом проведенного анализа является установление области глобального слежения за входным сигналом. Выбором параметров кольца можно добиться устойчивой работы системы при значительных амплитудах входного воздействия и расстройках по частоте. Рассмотрим обобщенную модель неавтономной дискретной СФС 2-го порядка n+1 = n F ( n ) + xn + un, xn+1 = dxn F ( n ) + g (2.6.8) где un – входное воздействие. Для изучения движений используем основные положения, предложенные для расчета областей существования различных движений автономных СФС 2го порядка (п. 2.2). На рис. 2.57 изображено фазовое пространство рассматриваемой системы (для случая большого ). Линия отображения с сохранением координаты x (Lx) имеет то же уравнение, что и в автономной системе x= g. 1 d (2.6.9) - 149 x +U 2,2,2, U 2+U 2U Lx L 0,0,0, Рис. 2.57. Фазовое пространство неавтономной СФС для = 1.5, = 0.5, d = 0.3, g = 0.2, U = 0. 0.7 0.6 0. g=0. 0. 0.3 0. Рис. 2.58. Области существование режима слежения для d = 0.3, U = 0.2, k = - 150 Линия отображения с сохранением координаты (L) в отличии от автономной системы изменяет свое положение в зависимости от un x = u n.

(2.6.10) и x = + U, где U – амплитуда переменной Соответственно на фазовом цилиндре она занимает полосу, ограниченную прямыми x = U составляющей входной частоты. Аналогично линии отображения с изменением координаты на ±2, точки пересечения которых с (2.6.9), определяют первые кратные захваты, изменяют свое положение x = ±2 + un.

(2.6.11) По аналогии с автономной системой в фазовом пространстве системы (2.6.8) существует притягивающий слой, определяемый точками пересечения линией Lx границ фазового цилиндра (на рис. 2.57 выделен штриховой линией) g g+. (2.6.12) 1 d. g + U < 1 d (2.6.13) Построим отображение, описывающее рассматриваемую систему в новой шкале времени, дискрет которой совпадает с периодом входного сигнала. С этой целью запишем (2.6.8) в векторной форме r rrr (2.6.14) qn +1 = A qn + un + pn, r где A - матрица линейного отображения, u n - вектор входного воздействия, r u u + ju u0 ju r r = + un = n = 0 g 0 = u0 + v j, g g 0 j k-1. r pn = ( pn, 0)T - вектор нелинейного отображения на n-ом шаге.

(2.6.15) Совместим начало периода входного сигнала с моментами отсчета временной шкалы с дискретом kT (j=0). В этом случае в соответствии с (2.6.14) r можно записать выражение для qn+1, - 151 k 1 r rr r kr qn+1, 0 = A qn, 0 + A j (u0 + vk j 1 + pk j 1 ). j = (2.6.16) Сворачивая суммы в (2.6.16), приходим к отображению в новом времени E Ak r E Ak r kr u0 + qn+1, 0 = A qn, 0 + EA EA k +1 k. (2.6.18) u k 1 j r (k 1) A kA + A _ 0 + A pk j 1 ( E A) 2 j =0 От (2.6.18) можно перейти к условиям существования неподвижных точек. Как и в случае автономных систем к ним относится условие замыкания и структурное условие (п. 2.2). Условие замыкания определяется из выражения r r r qn+1, 0 = qn, 0 = qk, 0 и для точки с j=0 будет иметь вид E Ak r E Ak (k 1)u u0 + 0 EA EA r k 1. qk, 0 = ( E A ) (2.6.19) k +1 k k 1 (k 1) A kA + A u r j _ 0 + A pk j 1 2 ( E A) j =0 r Аналогично получаются условия замыкания для состояний qk, j, 1 j k-1.

(k 1)u Структурное условие требует нахождение всех неподвижных точек на периоде r в областях, соответствующих вектору p j. Для p j =±1 это области нелинейного отображения, для p j =0 - области линейного отображения. В свою очередь, для r возникновения неподвижной точки необходимо, чтобы один из векторов qk, j, 0 j k-1, касался границы области нелинейного отображения. На рис. 2.57 для примера приведены два периодических движения с k = 4 : режим слежения "0,0,0,0" и режим кратного слежения "2,2,2,2,".

2.6.2. Устойчивость режима слежения в СФС 2-го порядка при пилообразном и гармоническом воздействиях На основе предложенной методики разработан алгоритм расчета параметров системы и входного сигнала, при которых возникают неподвижные точки. Результатом применения алгоритма явились области существования различных движений и режимов, в том числе режима слежения ( p j = 0, 0 j k-1). Анализ движений позволил установить области параметров, при которых режим слежения глобально устойчив.

- 152 На рис. 2.58 на плоскости обобщенных параметров, приведены области существования режима слежения для постоянной амплитуды входного сигнала и различных расстройках g.Качественно повторяются результаты, полученные для автономной системы. С ростом g наблюдается смещение границы существования от границы локальной устойчивости G1. В то же время имеется отличие, связанное с несовпадением границы существования режима слежения с G-1 для воздействий с четными периодами. Кроме того, в окрестности границы локальной устойчивости G имеется незначительная замкнутая область, в которой также отсутствует режим слежения, размер области увеличивается с ростом g. На рис. 2.59 приведены области существования режима слежения для нулевой расстройки и соответственно четного (рис. 2.59а) и нечетного (рис. 2.59б) периодов входного сигнала. В случае нечетного k граница G-1 совпадает с границей существования, но существует область для больших,, в которой нет режима слежения. С ростом U области, в которых не существует режима слежения, увеличиваются. На рис. 2.60 приведены области существования кратных режимов слежения соответственно с положительным (рис. 2.60а ) и отрицательным (рис. 2.60б) изменением фазы. При больших усилениях системы и близких к нулю расстройках данные движения могут существовать одновременно (рис. 2.57). С ростом U область их существования уменьшается. На рис.2.61 приведены области глобальной устойчивости режима слежения. Со стороны больших усилений область ограничена режимами кратного слежения разлиных знаков приращения фазы. Со стороны малых усилений – границей существования и колебательными движениями. Для импульсной СФС с ПИФ (область параметров,, ограничена прямыми ОА, ОА) ограничение области слежения связано в основном с кратными режимами. Для системы с независимым пропорциональным каналом, например цифровой СФС (область параметров,, ограничена прямыми ОВ и ОВ) ограничение связано с кратными режимами при больших усилениях и с колебательными движениями при малых усилениях. С ростом расстройки g значительную роль в ограничении области слежения, как и в случае автономных систем, начинают играть вращательные движения.

- 0. U=0. 0. 0. U=0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. а) а) d = 0.3, g = 0, k = 4 б) d = 0.3, g = 0, k = б) Рис. 2.59. Области существования режима слежения для 0. 0. U=0. 0. 0. 0. 0. 0. U= 0. 0. а) для d = 0.3, g = 0, k = б) Рис. 2.60. Области существования режима кратного слежения а) с увеличением фазы, б) с уменьшением фазы - 4,4,4,4 -4,-4,-4,- -2,-2,-2,- 0,-2,0, -2,2,-2, 2,-2,2,- 2,2,2, -2,-2,-2,- -2,0,0, 0,-2,0, 2,2,2, 0,-2,2, а) а) d=0.3, U=0.2, g=0 б) d=0.3, U=0.5, g= 0,-2,2,-2, б) Рис. 2.61. Область устойчивости режима слежения для k = -2,-2,-2,-2,- -2,2,-2,2, 2,2,2,2, -2,2,-2,2, 0,-2,0,0, 2,2,2,2, -2,-2,-2,-2,- -2,0,0,0, а) а) d=0.3, U=0.2, g=0 б) d=0.3, U=0.5, g= б) Рис. 2.62. Область устойчивости режима слежения для k= - 155 На рис. 2.63 приведены области устойчивого слежения для обобщенной модели с астатическим фильтром (d = 1). Подобная модель имеет большое значение для цифровых синхронно-фазовых демодуляторов, в которых к качестве усредняющих фильтров применяются цифровые интеграторы. Анализ результатов показывает, что на качественном уровне повторяется ситуация для автономной астатической СФС (рис. 2.41а, решающего значения вид нелинейности F() не играет) В области малых усилений существует целый ряд циклов 2-го рода. Внешнее воздействие приводит к их частичному "тушению" (рис. 2.63а,б). Как и в случае автономной системы (п. 2.4) рекомендацией для использования режимов СФС с малым усилением может служить применение ограничивающих фильтров (ограничивающих интеграторов) [84]. Ограничение частотных расстроек за счет нелинейного фильтра приводит к разрушению периодических движений в области малых усилений и гарантирует устойчивую работу астатической СФС. На рис. 2.64 для различных параметров обобщенной модели d приведены области устойчивого слежения для случая синусоидального частотного воздействия. Результаты получены с применением качественно-численных методов расчета. Основные тенденции, установленные для ЛЧМ-воздействия получили подтверждение и в данном случае. В частности, для малых и средних d (рис. 2.64а,б) при малых, область устойчивого слежения ограничена циклами 1-го рода с различным числом проскальзываний на периоде движений. При больших обобщенных усилениях, ограничение области слежения наступает за счет кратных захватов. Отличительной особенностью синусоидального воздействия является устойчивая тенденция смещения области слежения с ростом амплитуды U в сторону больших. С ростом d (рис. 2.64в) в области малых усилений появляются циклы 2-го рода, избавиться от которых можно также за счет применения ограничивающих фильтров. В случае некратного отношения Твх и Т предложенная методика также может быть применена. При этом новая шкала времени будет иметь дискрет, равный Твхk2 = Тk1. Подобный подход будет использован в главе 4 при анализе нелинейных процессов в дискретных связанных СФС.

- 156 -2,0,-2,0,-2,0 2,0,2,0,2, а) -1,-1,-1,0,-1, -1,0,-1,0,-1, б) Рис. 2.63. Область устойчивости режима слежения астатической СФС для k = 6 а) U = 0.2, б) U = 0. - 157 U=0. U=0. U=0. U=0. U=0. U=0. U=0. U=0. U=0. U=0. а) б) U=0. U=0. U=0. U=0. U=0. в) Рис. 2.64. Области устойчивого слежения для синусоидального воздействия по частоте для k=10 а) d = 0.1, б) d = 0.5, в) d = 0. - 158 2.7. Применение метода гармонической линеаризации периодических движений дискретных СФС для анализа Для анализа высокочастотных периодических движений (движений с малым периодом) в разделе разработан алгоритм на основе метода гармонической линеаризации [38,47,147]. Интерес к методу объясняется тем, что с одной стороны дискретные периодические движения с минимальным периодом (k=2,3,4) представляют собой гармонические колебания, в этом случае метод обеспечивает абсолютно точный результат. С другой стороны, например, для анализа неустойчивых периодических режимов систем с гладкими нелинейностями он по сути является единственным, дающим достаточно точный результат. Пусть разность фаз на входах детектора имеет вид периодической функции n = a0 + a cos( n + ), нормированная частота, k - период, - начальная фаза. Представим n в виде ряда (2.7.1) где а - амплитуда колебаний, а0 – постоянная составляющая, =2/k n = Cm = m= N Cm e jm n, N (2.7.2) 1 k 1 n e jm n, k n = N=k/2 для четных k, N=(k-1)/2 для нечетных k. Выходной сигнал детектора un будет также периодическим с периодом k. Запишем его в виде ряда un = F ( n ) = Bm = m= N Bm e jm n, N (2.7.3) 1 k 1 un e jm n. k n = В соответствие с методом гармонической линеаризации для периодических движений, существующих в системе, имеет место уравнение [38] C1 = B1W (e j ), (2.7.4) где W (e j ) - дискретный коэффициент передачи линейной части системы.

- 159 Переход к (2.7.4) при анализе периодических движений возможен при условии высоких фильтрующих свойств линейной части (линейная часть обладает фильтрующим свойством), либо при наличии предположения о близости периодических колебаний к гармоническим. Для дискретных СФС наиболее выполнимым является второе условие. Решениям (2.7.4) соответствуют периодические движения (2.7.1) с конкретным набором параметров a,,.

Если решений нет, то периодические движения отсутствуют. Введем коэффициент гармонический линеаризации K ( a,, ) = B1 (a,, ). C1 (a,, ) (2.7.5) Уравнение (2.7.4) с учетом K ( a,, ) будет иметь вид K ( a,, ) W ( e j ) = 1.

(2.7.6) Получим коэфициенты гармонической линеаризациии для различных структур периодических движений. 1. Пусть k=2, в этом случае (2.7.1) будет иметь вид n = a0 + a cos( n + ).

0 = a0 + a cos, 1 = a0 + a cos( + ).

(2.7.7) Соответственно переменная n имеет на периоде колебаний два значения: (2.7.8) На рис.2.65 приведены возможные варианты расположения точек 0, 1 на характеристике детектора. Точки могут располагаться только на разных периодах. Пусть они расположены на соседних периодах. В этом случае F ( 0 ) = a0 + a cos 2 F (1 ) = a0 a cos F ( ).

(2.7.9) F ( ) • - • - - • • - а) б) Рис. 2.65. Варианты расположения неподвижных точек с k = - 160 Соответственно B1 = a cos 1, а выражение для K ( a,, ) примет вид (1 a cos )e j. K ( a,, ) = a (2.7.10) Определим область а и, в которой выполняется структура движения, для этого выпишем условия на точки 0, 1.

1 a0 + a cos 3 1 a0 a cos.

(2.7.11) Анализ неравенств (2.8.11) приводит к следующим ограничениям на параметры: сos >0, [- /2, /2], 0 < a0 < 2, 0 < a cos < 2.

примут вид (2.7.12) Если дополнительно потребовать F ( 0 ) < F (1 ), то ограничения на параметры 0.5 < a0 < 1.5, 0 < a cos < 1, [ / 2, / 2].

Im 3/8 2/ (2.7.13) W(ej) /8 0 -/8 -2/ = D=0.3 m=0 d=0.2 L(a,,) -3/ Re Рис. 2.66. Семейство годографов L(a, ) для k = 2 На рис. 2.66 на комплексной плоскости Re( L(a, )), Im( L(a, )) приведено семейство годографов функции 1 a e j L(a, ) = = K (a,, ) (1 a cos ) (2.7.14) для различных значений начальной фазы. Годографы представляют собой лучи, выходящие из начала координатной плоскости. При a cos L (a, ) ( F ( 0 ) < F (1 ), 2.65а);

при a cos = 1 происходит поворот фазы - 161 L(a, ) на. При последующем росте амплитуды a cos 2 годографы из "– " стремятся к Re( L(a, )) = 1 ( F ( 0 ) > F (1 ), рис. 2.65б). На рис. 2.66 приведен также годограф функции W (e j ) дискретной СФС с независимым пропорциональным каналом. Анализ взаимного расположения годографов для первого вида распределения точек показывает, что при = движение периода k=2. Для F ( ) для =0 движения выполняется условие (2.7.6), то есть в системе существует колебательное F ( 0 ) > F (1 ) колебательные существовать не могут.

• - - • Рис. 2.67. Расположение неподвижных точек с k = 2 в случае больших а Определим условие существования циклов с большими амплитудами, для которых условие a cos < 2 не выполняется, соответственно точки 0, 1 могут находиться не на соседних периодах. Пример такого движения приведен на рис. 2.67. Для этого случая можно записать F ( 0 ) = a0 + a cos 2 N F (1 ) = a0 a cos Тогда, (2.7.15) где N= N1+1, N1 – целое число периодов между точками 0 и 1.

B1 = a cos N, соответственно коэффициент гармонической линеаризации ( N a cos )e j, [- /2, /2]. K ( a,, ) = a (2.7.16) Для произвольного N запишем: 1[-1 ;

1], 0[-1+2N ;

1+2N]. Тогда ограничения на параметры колебания будут иметь вид N 1 < a cos < N + 1, N 1 < a0 < N + 1.

Если потребовать выполнение условия F(0) < F(1), то (2.7.17) 1[0 ;

1], 0[-1+2N ;

2N], и ограничения на параметры будут следующими - 162 N 1 < a cos < N, N 0.5 < a0 < N + 0.5.

(2.7.18) Найдем зависимость среднего значения на выходе нелинейного элемента F ( n ) от a0. В установившемся режиме в СФС это значение определяет постоянную частотную расстройку.

1 F = (a0 + a cos 2 N + a0 a cos ) = a0 N. 2 С учетом (2.7.18) F [ 0.5;

0.5].

(2.7.19) На рис. 2.68 на комплексной плоскости для N = 2 приведено семейство годографов функции a e j, [- /2, /2]. L(a, ) = ( N a cos ) Im W(ej) 3/8 2/8 /8 (2.7.20) = D=3 m=0 d=0. -/ L(a,,) -3/ -2/ Re Рис. 2.68. Семейство годографов L(a, ) для k = 2 в случае больших а В отличие от случая N = 1 лучи стартуют под определенными углами с вертикали Re( L(a,, )) = 1 и приходят на вертикаль Re( L(a,, )) = 3. Правая полуплоскость соответствует условию F ( 0 ) < F (1 ), левая F ( 0 ) > F (1 ). Для существования периодических движений необходимо, чтобы годограф функции W (e j ) пересек границу Re(W (e j )) = 1. Для системы 2-го порядка это возможно для достаточно большого усиления, при котором сама система теряет устойчивость. Такая ситуация приведена на рис. 2.68 (годограф W (e j ) охватывает точку (-1, j0)), существующий цикл неустойчив. Для произвольного N границы существования годографа L ( a,, ) определяются выражениями Re( L(a,, )) = N 1 и Re( L(a,, )) = ( N + 1).

- 163 F ( ) 1 - • • - 2 0 • Рис. 2.69. Расположение неподвижных точек с k = 3 Рассмотрим периодические движения с k=3. В этом случае на периоде движения согласно (2.7.1) значения разности фаз определятся выражениями:

0 = a0 + a cos, 1 = a0 + a cos( на рис 2.69, 2 4 + ), 2 = a0 + a cos( + ). 3 (2.7.21) С учетом принятого расположения точек i на функции F(), приведенного F ( 0 ) = a0 + a cos, F (1 ) = a0 + a cos( 4 F ( 2 ) = a0 + a cos( + ) 2 3 Соответственно 2 + ),.

2 4 j j 1 2 4 3 B1 = ((a0 + a cos ) + (a0 + a cos( + ))e + (a0 2 + a cos( + ))e 3 ), 3 3 3 и согласно (2.7.5) коэффициент гармонической линеаризации K (a, 2 / 3, ) = B1, ae j 1 a cos 0, 1 a cos( 2 + ) 0, (2.7.22) 5 [ ;

].

26 На рис. 2. приведено семейство годографов функции L(a, 2 / 3, ) = 1, построенное для различных значений. Анализ K (a, 2 / 3, ) взаимного расположения семейства с годографом функции W (e j ) позволяет сделать вывод о невозможности циклов с k=3 в системе второго порядка, однако не исключает их существование в системах более высокого порядка.

- 164 Im 5/6 L(a,2/3,) W(e j ) 5/8 D=0.3 m=0.5 d=0. =2/3 / 7/12 13/24 Re Рис. 2.70. Семейство годографов L(a, ) для k = 3 Среднее на периоде значение F ( n ) = a0 2 / 3. Если предположить существование периодического движения, то F ( n ) необходимо связать с начальной расстройкой в системе, в установившемся режиме должно выполняться условие F ( n ) =. Рассмотрим периодические движения с k=4, частота движения = / 2. В этом случае на периоде движения согласно (2.7.1) значения разности фаз определятся выражениями:

0 = a0 + a cos, 1 = a0 + a cos( + ), 3 2 = a0 + a cos( + ), 3 = a0 + a cos( + ) F( ).

(2.7.23) • 1 0 • 2 3 1 • - - • Рис. 2.71. Расположение неподвижных точек с k = 4 С учетом принятого расположения точек i на функции F(), приведенного на рис 2.87, значения нелинейной функции определятся выражениями F ( 0 ) = a0 + a cos 2, F (1 ) = a0 a sin 2, F ( 2 ) = a0 a cos, F ( 3 ) = a0 + a sin Соответственно.

- 165 1 B1 = ((a cos 1) j (a sin + 1)), ae j, L(a, / 2, ) = (a cos 1) + j (a sin + 1) (2.7.24 ) [ ;

0], F ( n ) = 4(a0 1).

Im L(a,/2,) / W(e j ) -/8 -2/8 -3/8 =/2 D=0.3 m=0.5 d=0.2 Re -/ Рис. 2.72. Семейство годографов L(a, ) для k = 4 На рис. 2.72 приведено семейство годографов функции L(a, / 2, ) = 1, построенное для различных значений. Как и в K (a, / 2, ) случае k=3 можно сделать вывод о невозможности циклов с k=4 в системе второго порядка. Полученные выражения для коэффициента гармонической линеаризации будут применены для анализа периодических движений в СФС 3-го порядка и СФС с циклическим прерыванием режима автоподстройки.

2.8. Выводы 1. На основе общих положений качественных методов теории нелинейных колебаний и теории бифуркаций определены направления анализа условий возникновения периодических и квазипериодических движений в СФС 2-го порядка с синусоидальной и кусочно-линейной характеристиками детектора Для синусоидальной нелинейности основой возникновения и потери устойчивости k-кратными неподвижными точками, составляющими периодические движения, является попадание на границы областей локальной устойчивости, построенных на основе линеаризованных матриц k-кратных - 166 отображений. Для кусочно-линейных функций основу возникновения и потери устойчивости k-кратными неподвижными точками составляет условие попадания на границы линейных участков. Необходимым условием возникновения квазипериодических движений для любых периодических нелинейностей является касание входящих и выходящих сепаратрисных многообразий седловой точки. 2. Разработана методика расчета бифуркационных параметров кусочнолинейных отображений 2-го порядка, позволяющая находить границы областей существования различных типов периодических и квазипериодических движений. Основу методики составляют необходимые и достаточные условия возникновения k-кратной неподвижной точки через образование промежуточной сложной точки узел-седло либо фокус-седло и условия касания входящего и выходящего сепаратрисных многообразий на границах линейных участков характеристики. 3. На основе предложенной методики для пилообразной и треугольной нелинейностей разработаны алгоритмы, позволяющие для обобщенных и физических параметров получить области существования различных периодических и квазипериодических движений. Для обоих видов нелинейностей получены распределения областей колебательных и вращательных движений, установлены закономерность и очередность их возникновения. Доказано утверждение о первоочередности возникновения циклов 2-го рода с одним проскальзыванием с ростом частотной расстройки. Для треугольной нелинейности доказано существование предельных циклов 2го рода с бесконечным числом состояний на неустойчивой ветви нелинейности, определяющих узловые точки зависимости полосы захвата. Граница, соединяющая узловые точки, определяется квазипериодическими движениями. Исследованы области устойчивости в большом и в целом, полосы захвата систем. Для СФС с треугольной характеристикой показана возможность оптимизации параметров нелинейности с целью обеспечения наилучших динамических свойств. 4. Разработаны методика и алгоритмы расчета бифуркационных параметров возникновения и потери устойчивости периодических и квазипериодических движений в дискретных СФС 2-го порядка с синусоидальной нелинейностью. Основу алгоритма составил численный метод продолжения по параметру, позволяющий по некоторой заданной начальной - 167 области восстановить всю область существования движения данной структуры. Выполнен анализ устойчивости в большом и в целом, исследованы зависимости полосы захвата СФС с синусоидальным детектором с различными типами фильтров в цепи управления. 5. Выполнен анализ двух способов оценки длительности переходных процессов в СФС 2-го порядка, основанных на усреднении быстрой координаты исходной модели. Согласно 1-го способа усреднение выполняется в предположении постоянства медленной координаты. Согласно 2-го способа усреднение быстрой координаты выполняется по инвариантным кривым с учетом изменения второй координаты. Показано, что усреднение по инвариантным кривым при достаточно высокой инерционности фильтра в системе имеет преимущества в точности. С помощью данного метода получены оценки длительности переходных процессов для различных параметров. 6. Разработана методика анализа влияния на установившиеся процессы в цифровых СФС конечной разрядной сетки аналого-цифрового преобразования. Основу методики составляет анализ поведения инвариантных кривых, построенных в окрестности интересующих движений. Доказано, что существование конечной разрядной сетки способствует разрушению движений с большими амплитудами, что в конечном итоге приводит к увеличению области устойчивой работы системы. В окрестности состояния равновесия влияние дискрета функции F() приводит к различного типа движениям, к числу которых относятся ложные состояния равновесия, колебательные движения, отображения отрезков, сложные квазипериодические движения. Исследованы характер и области различных движений для различных вариантов постановки АЦП в систему. 7. Разработаны методика и алгоритмы анализа установившихся движений в неавтономных дискретных СФС 1-го и 2-го порядка для периодического по частоте воздействия. Для систем 1-го порядка предложена эффективная методика, основанная на построении функции последования в новой шкале времени, совпадающей с периодом входного воздействия. Для исследования неавтономной СФС 2-го порядка предложена модификация качественноаналитического метода, разработанного для анализа автономных систем 2-го порядка, учитывающая динамику изменения геометрии фазового цилиндра. С помощью разработанных методов исследованы области возможных - 168 периодических движений в системе и области устойчивого слежения за входной частотой, в том числе в зависимости от величины воздействия, для различных типов воздействия и фильтра системы. 8. Для анализа периодических движений в дискретных СФС адаптирован метод гармонической линеаризации применительно к системам с периодической нелинейностью. Получены выражения коэффициента гармонической линеаризации для кусочно-линейного детектора с учетом периодичности характеристики для нескольких типов входных сигналов, в том числе симметричных и несимметричных. Сформулированы необходимые условия существования периодических движений с точки зрения частотных свойств приведенной линейной части системы. Доказана возможность существования при близких к нулю частотных расстройках симметричных движений с частотой = в СФС 2-го порядка с фильтром, имеющим независимый пропорциональный канал. Подобная модель характерна для цифровых СФС.

- 169 Глава 3. Нелинейная динамика кусочно-линейных дискретных СФС третьего порядка В главе получили развитие методы исследования нелинейной динамики дискретных СФС, предложенные в предыдущем разделе, применительно к кусочно-линейным системам 3-го порядка. В качестве объекта исследования выступает отображение (1.1.2), представляющее собой математическую модель ряда импульсных и цифровых систем синхронизации с различными фильтрами в цепи управления. Для импульсных СФС рассматриваются два типа фильтров: последовательное соединение двух пропорционально-интегрирующих фильтров и колебательное звено 2-го порядка, для цифровой СФС последовательное соединение двух интегрирующих фильтров 1-го порядка с дополнительными пропорциональными каналами. Как и в случае СФС 2-го порядка разрабатываемые в главе методы основываются на общих положениях качественных методов теории дискретных нелинейных колебаний, теории бифуркаций и метода гармонической линеаризации. Основу их составляет анализ установившихся движений: состояний равновесия, периодических и квазипериодических движений. С помощью предложенных методов изучаются следующие основные характеристики дискретных СФС: области существования вращательных и колебательных движений и бифуркации, приводящие к их возникновению и потере устойчивости, области существования квазипериодических движений и бифуркации, приводящие к их возникновению, области устойчивости в большом и в целом, полосы захвата. Как показано во введении, существует ограниченное число работ, посвященных изучению нелинейной динамики дискретных СФС 3-го порядка, в которых получены достаточно полные и точные результаты. Это в основном касается работ, в которых численными методами исследуются периодические движения и полоса захвата систем синхронизации [9,73], и работ, выполненных с участием автора диссертации качественными методами [106,110-112,177,183]. Целью настоящей главы является теоретическое обобщение результатов исследования нелинейной динамики СФС 3-го порядка, как в части развития качественно-численных методов анализа, так и в части исследования конкретных систем, описываемых обобщенной моделью (1.1.2).

- 170 3.1. Фазовые портреты возникновения неустойчивости неподвижных точек кусочно-линейных отображений 3-го порядка Исследование установившихся движений кусочно-линейных СФС 3-го порядка выполнено на основе изучения типовых бифуркаций фазовых портретов отображения (1.1.2). К числу их относятся: 1) потеря устойчивости k-кратными неподвижными точками, связанная с переходом границ локальной устойчивости G1, G-1, G ;

2) потеря устойчивости k-кратными неподвижными точками, связанная с переходом граничных точек нелинейности (i=±c для Fc() и i=±1 для F1());

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.