WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

«СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ На правах рукописи Беляков Станислав Сергеевич ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АГРЕГИРОВАНИЯ В МЕТОДАХ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ АНАЛИЗА И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ...»

-- [ Страница 2 ] --

1, 1, R/S- траектория H- траектория 1, 1 log(R/S) 4 3 4 0,4 0,6 0, 0, 0, 0, 0, Смена тренда R/S- траектории 1 1,2 1,4 1,6 1, log(номер наблюдения) Рисунок 2.10 R / S - и H - траектории отрезка ВР Z На рис.2.10 R / S - траектория демонстрирует исчерпание в данном от1 резке ВР Z 646 цикла тем, что в точке = 4 этой R / S - траектории происходит смена тренда («срыв с тренда») без возвращения к первоначальному тренду каких-либо последующих точек. В точке = 4 H - траектория получает отрицательное приращение, т.е. во временном ряде H ( ), = 3,4,..., n (2.21) его уровень H (4 ) получает отрицательное приращение. Таким образом, R / S 1 траектория и H - траектория сигнализируют об исчерпании в ВР Z 646 цикла длины l = 4. Примечание 2.6 Рассматривая рис.2.10 и исследуя представленные на нем траектории, будем придерживаться утверждения, что по истечении длительности цикла (квазицикла) теряется память о начальных условиях для рассматриваемого ВР [109,110], т.е. теряется долговременная коррелированность последующих наблюдений по отношению к начальным. Таким образом, говоря об оценке глубины памяти для рассматриваемого начального отрезка данного ВР, подразумеваем длину первого цикла (квазицикла), который содержится в этом отрезке и его начало совпадает с началом этого отрезка. Из рис.2.9, а также примечаний 2.2 и 2.5 с очевидностью вытекает, что представленный в п. 2.3.1 алгоритм НР Херста может оказаться неприменимым в целях обнаружения в рассматриваемом ВР долговременной памяти, дифференцированной оценки ее глубины, а также распознавания наличия в рассматриваемых ВР циклов или квазициклов различной длины. Автор работы [11] был первым, кто понял, что периодическая компонента рассматриваемого ВР может быть обнаружена с помощью R / S - анализа. Однако, как указано в [110], это свойство алгоритма НР Херста позволяет нам определить лишь «среднюю длину» циклов этого ВР. Здесь же отмечено, что в терминах нелинейной динамики систем средняя длина цикла есть длительность, по истечении которой теряется память о начальных условиях или, что то же самое, память о начале цикла (квазицикла). Реальные экономические ВР содержат квазициклы различной длины, некоторые из которых пересекаются между собой. Ради строгости дальнейших утверждений оговоримся, что мы рассматриваем такие ВР вида (2.19), в которых всякая пара соседних уровней не совпадает между собой, т.е zi zi +1, i = 1, m 1. В этом случае является справедливым следующее Примечание 2.7 Если в ВР вида (2.19) некоторый уровень zi является началом определенного квазицикла K, то этот ВР не содержит какого-либо отличного от K цикла, который начинается с этого же уровня zi. Идея выявления содержащихся в рассматриваемом ВР квазициклов базируется на примечании 2.7 и состоит в следующем. В данном ВР вида (2.19) отметим каждый уровень zi, который является началом некоторого квазицикла. Удалим в этом ВР элементы z1, z 2,..., zi 1 и к оставшейся части ВР применим описанный в п.3 алгоритм последовательного R / S - анализа. Тогда на выходе этого алгоритма получим H - траекторию и R / S - траекторию, которые сигнализирует о наличии квазицикла, начинающего с уровня zi. Согласно примечанию 2.6, эти траектории наряду с выявлением указанного квазицикла представляют также оценку глубины памяти о начале представленного на вход алгоритма последовательного R / S - анализа усеченного ВР. Представленный ниже алгоритм получения нечеткой оценки «глубины памяти ВР в целом» в дальнейшем условимся называть «алгоритм последовательного R / S - анализа». Работа этого алгоритма начинается с формирования на базе рассматриваемого ВР семейства S (Z ) = {Z r }, r = 1,2,..., m, состоящего из m < n временных рядов Z r = z ir, i = 1,2,..., nr, где ряд Z r получается рекуррентно путем удаления первого элемента z1r 1 в ряде Z r 1. Здесь m определяется как наибольшее значение индекса r = m такое, что ряд z m еще имеет точку смены тренда в его R / S - траектории. Дальнейшая работа алгоритма последовательного R / S - анализа выполняется поэтапно.

Этап 1. Формирование на базе ВР Z семейства S (Z ) = {Z r }, Z r = z ir, i = 1,2,..., n r, r = 1,2,..., m, состоящего из m временных рядов Z r, где индексом i занумерованы элементы r -го ряда, получаемого из (r 1) -го ВР Z r 1 путем удаления его первого элемента z1r 1. Здесь m определяется как указано выше. Исходный ВР Z также принадлежит семейству S (Z ), в котором ему присвоено значение индекса r = 0. Этап 2. с помощью алгоритма последовательного R / S - анализа осуществляет фрактальный анализ временных рядов из семейства S (Z ) и формирование нечеткого множества значений глубины памяти о начале ряда для каждого ВР из этого семейства. Пусть для каждого из ВР Z r = z ir, i = 1, nr, r = 1, m в результате применения к нему алгоритма последовательного R / S - анализа построены R / S траектория и H - траектория, определяющие собой номер точки lr, который согласно примечанию 2.6 представляет собой оценку глубины памяти о начале ВР Z r. Введем следующие обозначения: N (l ) – количество всех рядов Z r из семейства S (Z ), у каждого из которых номер точки смены тренда lr равен числу l ;

l 0 = min l r ;

1 r m l = max l r ;

1 r m m = N (l ) ;

l =l l d (l ) = N (l ) – доля таких ряm дов в S (Z ), у каждого из которых потеря памяти произошла на глубине l ;

L0 = {l} – множество носителей [33], т.е. множество значений номеров точек смены тренда в рядах из семейства S ( Z );

L( Z ) = { (l, µ (l ) ) }, l L0, L(Z ) – нечеткое множество «глубины памяти для ВР Z в целом», µ (l ) – это значения функции принадлежности «глубины l » нечеткому множеству L(Z ). Значения µ (l ) пропорциональны числам d (l ), l L0 ;

они получаются путем нормирова ния значений долей d (l ) так, что µ (l ) < 1 для всякого l L(Z ). В качестве иллюстративного примера применим алгоритм последовательного R / S - анализа к реальному отрезку ВР Z 1 (2.1), в котором его уров ни zi представляют собой ежедневные курсы котировок акций РАО ЕЭС за период 28 октября 2004 г. – 31 марта 2005 г. В целях визуализации этого ВР на рис.2.11 дано его графическое представление. Промежуточные результаты применения алгоритма последовательного R / S - анализа к этому ВР представлены в табл.2.2.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Рисунок 2.11 Графическое изображение отрезка ВР Z 1 максимальных цен акций РАО ЕЭС Таблица 2.2 Нечеткое множество глубины памяти отрезка ВР Z 1 0 0 0 2 0 0 0 3 38 0,40 0,90 4 28 0,30 0,66 5 11 0,12 0,26 6 11 0,12 0,26 7 2 0,02 0,05 8 1 0,01 0,02 9 2 0,02 0,05 10 1 0,01 0, Этап 3. Формирование нечеткого множества (НМ) для семейства S (Z ) осуществляется путем попарного объединения элементов первой и последней строк таблицы вида табл.2.2. Например, конкретно из табл.2.1 получаем НМ L(Z ) = {(3;

0,90), (4;

0,66 ), (5;

0,26 ), (6;

0,26 ), (7;

0,05), (8;

0,02), (9;

0,05), (10;

0, 02 )}, графическое представление которого приведено на рис.2.12.

µ (l ) µ (l ) 0, 0, 0, 0, Рисунок 2.12 Графическое представление нечеткого множества L Z 1 глуби () l 0,05 0,02 8 0,05 9 0,02 10 ны памяти для отрезка ВР Z 1 котировок акций РАО ЕЭС в целом Примечание 2.8 Визуализируя рис.2.12 как графическое представление результата предпрогнозного анализа, в качестве наиболее важного отметим тот факт, что глубина памяти l = 3 фигурирует с наибольшими значениями функции принадлежности µ (3) = 0,9. Такое значение глубины памяти свидетельствует о весьма низкой трендоустойчивости многих отдельных отрезков 1 рассмотренного ВР Z 646. Вытекающее отсюда качественное заключение сви1 детельствует о слабой прогнозируемости рассмотренного ВР Z 646.

2.5 Фрактальный анализ временных рядов котировок четырех видов акций 2.5.1 Фрактальный анализ временных рядов ежедневных показателей Применим описанный в п.2.3.2 алгоритм последовательного R / S - анализа к отрезкам ВР ежедневных котировок акций Z k = z ik, где k = 1,4, i = 646, 745.

На рисунках 2.13-2.15 приведено графическое представление нечетких множеств (НМ) глубины памяти, полученных в результате описанного выше метода фрактального анализа к отрезкам следующих ВР: Z 2 – ВР ежедневных котировок акций Сбербанка, Z 3 – ВР ежедневных котировок акций Ростелеком, Z 4 – ВР ежедневных котировок акций Сибнефти.

1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 1 2 3 4 5 µ (l ) 0, 0, l 0,20 0,18 0,04 7 0,02 8 9 0,02 Рисунок 2.13 Графическое представление нечеткого множества L Z 2 глуби () ны памяти отрезка ВР Z акций Сбербанка котировок 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 µ (l ) 0,9 0, Рисунок 2.14 Графическое представление нечеткого множества L Z 3 глуби () 0,28 0,19 0,02 2 3 4 5 6 7 0,07 l 0,02 ны памяти отрезка ВР Z акций Ростелекома котировок 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0, µ (l ) 0, 0, Рисунок 2.15 Графическое представление нечеткого множества L Z 4 глу0,44 0,29 0,15 0, () l бины памяти отрезка ВР Z акций Сибнефти котировок Визуализируя рисунки 2.13-2.15 и сравнивая их с рис.2.12, по аналогии с примечанием 2.8 можем сформулировать следующее заключение относительно рассматриваемых ВР (2.1) – (2.4). Для каждого ВР Z k, k = 1,2,3,4 глубина памяти l = 3 фигурирует в соответствующем ему НМ с максимальным значением функции принадлежности µ (3) = 0,9. Такая глубина памяти с указанным высоким значением функции принадлежности свидетельствует о весьма низкой трендоустойчивости на значительной части протяженности каждого из четырех рассматриваемых ВР. Сформулированные выше выводы о слабой прогнозируемости рассматриваемых ВР Z k, k = 1,2,3,4 требуют реализации определенных конструктивных предложений, направленных на улучшение этой прогнозируемости. Представленные ниже предложения базируются на следующем высказывании, которое приведено в разделе «Число наблюдений против отрезка времени» в монографии [109]. «Предположим, что мы имеем систему, подобную циклу солнечных пятен, который длится 11 лет. Наличие в течение года одноминутных наблюдений, т.е. 525600 наблюдений, не поможет нам найти летний цикл. Однако наличие месячных чисел за 188 лет, т.е. 2256 наблюдений, было достаточным для отчетливого выявления 11- летнего цикла».

2.5.2 Фрактальный анализ временных рядов недельного интервала агрегирования Приведенная выше цитата означает, что автору монографии [109] известны публикации, в которых представлены результаты об улучшении показателей трендоустойчивости временных рядов путем использования простого агрегирования уровней, из которых состоят рассматриваемые ВР. Речь идет о следующей процедуре агрегирования. Сначала выбирается конкретное целое число q 2 и рассматриваемый ВР Z k = z ik, i = 1, n разбивается на n = q следующих друг за другом интервалов (отрезков) Z k (q ), j = 1, n. После чего в j n зависимости от содержательного смысла задачи вычисляются либо суммы j zk = zi Z j (q ) z ik, j = 1, n, например, (как в настоящем случае) максимумы z kj = max z kj, z i Z j (q ) j = 1, n, (2.22) либо средние значения элементов отрезка. Вычисленные таким образом ве личины z kj представляют собой соответствующие уровни нового ВР Z k = z kj, j = 1, n, 1 k 4.

(2.23) В представленной выше процедуре агрегирования число q называем термином «интервал агрегирования». В книге [109] рассматривается ВР индекса Доу-Джонса для акций промышленных компаний. В процессе анализа стабильности этих ВР использовались следующие интервалы агрегирования:

q = 5 (5- дневные прибыли), q = 20 (20- дневные прибыли), q = 60 (60- днев ные прибыли). В [109] уровни нового ВР вида (2.23) представляют собой суммы вида z j = zi. В настоящей работе эти уровни мы определяем как z i Z j (q ) экстремумы виды (2.22). Выбирая конкретное значение параметра агрегирования q, отметим, что исходные ВР (2.1) – (2.4) состоят из уровней, которые в календарном смысле относятся к будним дням. Иными словами, эти ВР можно разбить на недельные интервалы, принимая значение q = 5. Количество таких интерва лов n = 156. Применяя процедуру агрегирования вида (2.22) к каждому не дельному интервалу в исходных ВР (2.1) – (2.4), получаем новые (агрегированные) ВР, которые представлены выражениями (2.5) – (2.8). Графическое изображение этих ВР представлено соответственно на рисунках 2.16 – 2.19. В результате применения представленного в п.2.4.2. алгоритма последовательного R / S - анализа к агрегированным ВР (2.5) – (2.8) получены оценки глубины памяти этих ВР. Графическое изображение этих оценок в виде соответствующих нечетких множеств представлено на рисунках 2.20 – 2.23.

12 10 8 6 4 2 0 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 101 106 111 116 121 126 131 136 141 146 151 z i1, руб.

Номера наблюдений Рисунок 2.16 Графическое изображение ВР Z 1 еженедельных максимальных цен на акции РАО ЕЭС 18000,00 16000,00 14000,00 12000,00 10000,00 8000,00 6000,00 4000,00 2000,00 0,00 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 z i2, руб.

Номера наблюдений Рисунок 2.17 Графическое изображение ВР Z 2 еженедельных максимальных цен на акции Сбербанка 80 70 60 50 40 30 20 10 0 z i3, руб.

11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 101 106 111 116 121 126 131 136 141 146 151 Номера наблюдений Рисунок 2.18 Графическое изображение ВР Z 3 еженедельных максимальных цен на акции Ростелеком 120 100 80 60 40 20 0 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96101 111 121 131 141 151 106 116 126 136 146 z i4, руб.

Номера наблюдений Рисунок 2.19 Графическое изображение ВР Z 4 еженедельных максимальных цен на акции Сибнефти 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 1 2 3 4 5 6 µ (l ) 0,9 0, 0,38 0,23 0,13 0,02 8 0,02 9 0,05 Рисунок 2.20 Гистограмма нечеткого мно жества L Z 1 глубины памяти ВР Z 1 еженедельных максимальных цен на акции РАО ЕЭС () 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 µ (l ) 0,90 0, 0,40 0,23 0,21 0,09 0, Рисунок 2.21 Гистограмма нечеткого мно жества L Z 2 глубины памяти ВР Z 2 еженедельных максимальных цен на акции Сбербанка () 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0, µ (l ) 0, 0, 0,49 0,29 0,27 0, Рисунок 2.22 Гистограмма нечеткого множе ства L Z 3 глубины памяти ВР Z 3 еженедельных максимальных цен на акции Ростелеком () 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0, µ (l ) 0,9 0, 0,46 0, 0,21 0,09 0,04 Рисунок 2.23 Гистограмма нечеткого множе ства L Z 4 глубины памяти ВР Z 4 еженедельных максимальных цен на акции Сибнефти () На наш взгляд, достаточно одной лишь визуализации для осуществления сравнительного анализа нечетких множеств глубины памяти неагрегированных ВР (2.1) – (2.4) и соответствующих им агрегированных ВР (2.5) – (2.8). Фактически имеет место сильно выраженное соотношение подобия в следующих парах рисунков: рис. 2.12 и рис.2.20 (НМ ВР Z 1 и НМ ВР Z 1 );

рис. 2.13 и рис.2.21 (НМ ВР Z 2 и НМ ВР Z 2 );

рис. 2.14 и рис.2.22 (НМ ВР Z и НМ ВР Z 3 );

рис. 2.14 и рис.2.23 (НМ ВР Z 4 и НМ ВР Z 4 ). Из этого соот ветствия подобия вытекает, что сформулированное в примечании 2.8 заклю1 чение о низкой трендоустойчивости ВР Z 646 в полной мере относится к каж дому из четырех агрегированных ВР (2.5) – (2.8). Иными словами, процедура агрегирования с недельным интервалом фактически не привела к скольнибудь заметному улучшению предпрогнозных фрактальных характеристик полученных ВР (2.5) – (2.8). По этой причине используем повторную процедуру агрегирования, увеличивая вдвое параметр интервала агрегирования q.

2.5.3 Фрактальный анализ временных рядов двухнедельного интервала агрегирования Повторное использование процедуры агрегирования для значения q = 10 можем осуществить на базе временных рядов (2.5) – (2.8), рассматривая пары соседних уровней и выбирая из них максимум:

j +1 ~ ~ ~ 1 1 Z tk = max (z kj, z kj+1 ), t =, t = 1, n, n = n = 156 = 78. 2 2 (2.24) Применяя процедуру агрегирования вида (2.24) к каждому из четырех ~ ВР Z k, k = 1,4, получаем соответственно новые агрегированные ВР Z k, k = 1,4, которые представлены выражениями (2.9) – (2.12). Графическое изображение этих ВР представлено соответственно на рисунках 2.24-2.27. В результате применения представленного в п.2.4.2 алгоритма последовательного R / S - анализа к агрегированным ВР (2.9) – (2.12) получены оценки глубины памяти этих ВР. Графическое изображение этих оценок в виде соответствующих нечетких множеств представлено на рисунках 2.282.31.

12 10 8 6 4 2 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 ~ 1, руб. zi Номера наблюдений ~ Рисунок 2.24 Графическое изображение ВР Z 1 двухнедельных максимальных цен на акции РАО ЕЭС 18000,00 16000,00 14000,00 12000,00 10000,00 8000,00 6000,00 4000,00 2000,00 0,00 ~ 2, руб. zi 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 Номера наблюдений ~ Рисунок 2.25 Графическое изображение ВР Z 2 двухнедельных максимальных цен на акции Сбербанка 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 ~ 3, руб. zi Номера наблюдений ~ Рисунок 2.26 Графическое изображение ВР Z 3 двухнедельных максимальных цен на акции Ростелекома 120 100 80 60 40 20 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 ~ 4, руб. zi Номера наблюдений ~ Рисунок 2.27 Графическое изображение ВР Z 4 двухнедельных максимальных цен на акции Сибнефти 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0,28 0,33 0,42 0, µ (l ) 0, Рисунок нечеткого 0, 2.28 Гистограмма ~ L Z1 множества ~ Z1 глубины памяти ВР двухнедельных максимальных цен на акции РАО ЕЭС () 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 µ (l ) 0, 0,46 0,37 0,24 0, 0,03 1 2 3 4 5 6 7 Рисунок 2.29 Гистограмма нечетко~ го множества L Z 2 глубины памя~ ти ВР Z 2 двухнедельных максимальных цен на акции Сбербанка () 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 µ (l ) 0, 0, 0,34 0,25 0,27 0,07 1 2 3 4 5 6 7 0,03 0,03 Рисунок 2.30 Гистограмма нечетко~ го множества L Z 3 глубины памя~ ти ВР Z 3 двухнедельных максимальных цен на акции Ростелекома () 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 µ (l ) 0, 0, 0, 0, 0,23 0,09 0,04 Рисунок 2.31 Гистограмма нечетко~ го множества L Z 4 глубины памя~ ти ВР Z 4 двухнедельных максимальных цен на акции Сибнефти () Сравним рисунки 2.20 и 2.28, которые отражают собой глубину памяти агрегированных ВР соответственно для значений q = 5 и q = 10 ( q = 5 – недельный интервал агрегирования, q = 10 – 2-недельный интервал агрегирования). Результат визуализации этих рисунков можно сформулировать следующим образом. Имеются все основания считать, что в контексте пред~ прогнозных характеристик трендоустойчивость ВР Z 1 (2- недельное агрегирование) улучшилось самым существенным образом по сравнению с трен доустойчивостью ВР Z 1 (недельное агрегирование). Действительно, функция принадлежности для l = 3 уменьшила свое значение с µ (3) = 0,9 88 до µ (3) = 0,28. При этом для ВР Z 1 значения µ (l ) для всех l 4 увеличились по ~ сравнению с соответствующими значениями для ВР Z 1. Аналогичное заклю~ чение имеет место и для остальных агрегированных ВР Z k, k = 2,3,4. Таким ~ образом, с помощью процедуры агрегирования представляется возможным существенным образом улучшить значения фрактальных предпрогнозных характеристик.

2.6 Результат сравнительного анализа эффективности агрегирования Представляемые рисунками 2.12 – 2.15 нечеткие множества глубины памяти для временных рядов (2.1) – (2.4), записываются соответственно следующими выражениями:

L Z k = l ;

µ k (l ), ( ) {( )} l = 3,10 ;

k = 1,4, (2.25) где функция принадлежности µ k (l ) принимает строго положительные значения для всех l {3, 4,...,10}, кроме µ 2 (9) = µ 3 (10) = µ 4 (9) = µ 4 (10) = 0. С целью последующих ссылок запишем:

- нечеткие множества глубины памяти агрегированных с интервалом q = 5 ВР (2.5) – (2.8), представляемых соответственно рисунками 2.20 – 2.23, L Z k = l ;

µ k (l ), ( ) {( )} l = 3,10 ;

k = 1,4, (2.26) где функция принадлежности µ k (l ) принимает строго положительные значе ния для всех l {3, 4,...,10}, кроме µ 2 (10) = µ 3 (10) = µ 4 (9) = µ 4 (10) = 0 ;

- - нечеткие множества глубины памяти агрегированных с интервалом q = 10 ВР (2.9) – (2.12), представляемых соответственно рисунками 2.28 – 2.31, ~ ~ L Z k = l ;

µ k (l ), ( ) {( )} l = 3,10 ;

k = 1,4, (2.27) ~ где функция принадлежности µ k (l ) принимает строго положительные значе~ ~ ~ ~ ~ ния для всех l {3, 4,...,10}, кроме µ 1 (9) = µ 1 (10) = µ 2 (9) = µ 2 (10) = µ 4 (10) = 0.

Как отмечено в примечании 2.8, наиболее информативным показателем, характеризующим степень трендоустойчивости рассматриваемых ВР является представленное в соответствующих НМ L(Z k ), L(Z k ), L(Z k ) значение ~ ~ функции принадлежности µ k (l ), µ k (l ) и µ k (l ) для глубины памяти l = 3. При этом условимся считать, что для исходных ВР (2.1) – (2.4) длина интервала агрегирования q = 1. Для наглядности на рисунках 2.32 – 2.35 дано графическое представление динамики убывания значений функций принадлежности ~ µ k (3), µ k (3), µ k (3), k = 1,4 с ростом длины интервала агрегирования q.

1 0,9 0, µ 1 (3) µ 1 (3) ~ µ 1 (3) 1 0,9 0, µ 2 (3) µ 2 (3) ~ µ 2 (3) 0, 0,25 1 5 Рисунок 2.32 Динамика убывания значения функции принадлежности глубины l = 3 с ростом интервала агрегирования для ВР котировки акций РАО ЕЭС 1 0,9 0, Рисунок 2.3. Динамика убывания значения функции принадлежности глубины l = 3 с ростом интервала агрегирования для ВР котировки акций Сбербанка 1 0,9 0, µ 3 (3) µ 3 (3) ~ µ 3 (3) µ 4 (3) µ 4 (3) ~ µ 4 (3) 0,25 0 1 5 0, 0 1 5 Рисунок 2.34 Динамика убывания значения функции принадлежности глубины l = 3 с ростом интервала агрегирования для ВР котировки акций Ростелекома Рисунок 2.35 Динамика убывания значения функции принадлежности глубины l = 3 с ростом интервала агрегирования для ВР котировки акций Сибнефти Вторым по значению информативным показателем, характеризующим степень трендоустойчивости рассматриваемых ВР является значение центра тяжести (ЦТ) нечетких множеств (2.25), (2.26), (2.27). Значения ЦТ, обозна чаемые через C (Z k ), C (Z k ), C (Z k ), вычисляются с помощью известных фор~ мул дефазификации [65]:

C Zk = () l µ k (l ) l =3 µ (l ) k l =, C Zk = () l µ k (l ) l =3 µ (l ) k l =, ~ C Zk = () ~ l µ k (l ) l =3 ~ µ k (l ), k = 1,4.

l = Чем больше значение тяжести рассматриваемого ВР, тем большая степень трендоустойчивости присуща этому ВР. Для последующей оценки этой характеристики в зависимости от длины интервала агрегирования в табл. 2.1 представлены значения ЦТ нечетких множеств глубины памяти рассматриваемых ВР.

Таблица 2.3 Центры тяжести НМ глубин памяти при различных интервалах агрегирования ~ Z Z Z РАО ЕЭС 4,22 4,32 5,00 Сбербанк 3,99 4,42 4,78 Ростелеком 4,11 4,43 4,98 Сибнефть 4,25 4,5 5, На рис.2.36 дано графическое представление динамики возрастания значений ЦТ глубины памяти рассматриваемых ВР в зависимости от возрастания длины интервала агрегирования q.

5,3 5,1 4,9 4,7 4,5 4,3 4,1 3,9 1 5 10 РАО ЕЭС Сбербанк Ростелеком Сибнефть q Рисунок 2.36 Динамика возрастания значений центров тяжести глубины памяти рассматриваемых ВР в процессе возрастания интервала агрегирования 2.7 Выводы к главе В результате использования процедуры агрегирования получено улучшение предпрогнозных характеристик для каждого из четырех временных рядов котировки акций российских компаний. Этот результат не противоречит сути экономического содержания рассматриваемых финансовоэкономических показателей. Таким образом, появляются основания рассматривать процедуру агрегирования в качестве перспективного инструмента для улучшения предпрогнозных характеристик экономических временных рядов, для которых классические подходы к прогнозированию оказываются недостаточно эффективными.

Глава 3 ПРЕДПРОГНОЗНЫЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ КОТИРОВКИ АКЦИЙ НА БАЗЕ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ И АГРЕГИРОВАНИЯ 3.1 Фазовые пространства и фазовые портреты Отметим на дальнейшее, что в настоящей работе термин «эволюционный процесс» подразумевает определение такого понятия, как «фазовое пространство». Согласно установившимся представлениям, фазовое пространство означает совокупность мгновенных состояний рассматриваемой системы (экономической, технической, социальной, экологической и т.д.), снабженной определенной структурой в зависимости от рассматриваемых задач и поставленных целей. С математической точки зрения фазовое пространство – это множество с надлежащей структурой, элементы которого (фазовые точки) представляют (условно изображают) состояния системы. Чаще всего не делается различия между состояниями и изображающими их фазовыми точками в силу имеющего место изоморфизма между ними. Термин «эволюционный процесс» (или эволюция системы) означает хронологически упорядоченную последовательность точек фазового пространства, т.е. понятия «эволюционный процесс» и «эволюция системы» (изменение со временем ее состояний) рассматриваются как синонимы. Математическая формализация понятий «эволюционный процесс» или «эволюция системы» обычно включает в качестве существенной части определение соответствующего фазового пространства (или класса фазовых пространств) [58,90]. Эволюция системы может быть строго детерминированной или иметь стохастический характер. При исследовании эволюционного процесса исходной информацией является временной ряд, т.е. упорядоченная последовательность наблюдений за значениями некоторого показателя. При этом число переменных, определяющих поведение процесса, и тип функции, описывающий это поведение, заранее неизвестны.

Пусть эволюционный процесс определяется векторным итерационным уравнением Z t +1 = F Z t, t = 1,2,....

() (3.1) Здесь Z t - это вектор из n компонент, где n может быть очень большим числом и обычно включает много переменных, о которых мы ничего не знаем. Функция F в (1.3) переводит систему из одного момента времени в следующий, вид ее тоже неизвестен. Исследователь наблюдает временной ряд скалярных величин z t, t = 1,2,..., T. Наблюдения генерируются в соответствии с некоторой функцией z t = h(Z t ).

(3.2) Будем называть функцию h «функцией наблюдателя». Временной ряд образует траекторию, которая является плотной на аттракторе [55,90,92,93]. Для получения сведений об исходной системе нам нужен некоторый способ, с помощью которого мы сможем возвращаться от наблюдаемой к исследуемой системе. Этот способ осуществляется путем построения фазовой траектории [58,90], или, в другой терминологии, фазового портрета [45] размерности :

Z = {(z t, z t +1,...., z t + 1 )}, t = 1,2,...T.

() (3.3) Термины «фазовый портрет» или «фазовая траектория» обычно подразумевают, что соседние точки множества (3.3) для наглядности соединены отрезками прямой или кривой линии. Объективную информацию о характере поведения эволюционного процесса (3.1) исследователь может получить через наблюдения (3.2), опираясь на замечательную теорему Таккенса [21]: если система, которая порождает временной ряд, является n - размерной, и обеспечено выполнение неравенства 2n + 1, тогда в общем случае фазовые траектории воссоздают динамику исследуемой системы. Существует диффеоморфизм [90] между фазовыми траекториями и истинными данными, порождаемыми системой. Этот замечательный результат позволяет делать выво ды о поведении системы, опираясь на данные наблюдений, и, более того, получать информацию для прогнозирования этого поведения. В отличие от наиболее изученных дифференцируемых динамических систем в настоящей работе рассматриваем эволюционные процессы, которым присуще дискретное изменение наблюдаемых показателей во времени, т.е. изменения, происходящие в определенные промежутки времени (скачки). В этом случае соответствующее фазовое пространство является дискретным, а упорядоченная во времени последовательность значений наблюдаемого процесса называется временным рядом. Если эволюционный процесс, точнее, изменение во времени его состояний подчиняется некоторым вероятностным закономерностям, то его принято называть стохастическим процессом. Особого внимания заслуживают «кусочно-полиномиальные» подходы к представлению фазовых траекторий. Среди этих подходов, вероятнее всего, наиболее перспективным является использование сплайн функций [46,127] или, кратко, сплайнов. Отличительная особенность сплайнов заключается в том, что они состоят из отрезков степенного полинома малого порядка (степени). Эти отрезки сходятся в заданных узловых точках процесса (узлах решетчатой функции). Необходимой составной частью такого подхода является «сшивка» кусков сплайн-функции значениями самой функции и значениями ее производных. Такая структура сплайна автоматически собирает его отдельные фрагменты в единый ансамбль.

3.2 Фазовые портреты исходных временных рядов котировки акций В процессе моделирования временных рядов методами нелинейной динамики (теории хаоса) [21,145], по-видимому, наиболее важным вопросом является вопрос о том, содержит траектория рассматриваемого ВР аттрактор (странный аттрактор) [21,145]. Для обоснования ответа на этот вопрос к настоящему времени разработан ряд алгоритмов и тестов (вычисление корреляционной размерности, максимального показателя Ляпунова, К-энтропии Колмогорова, BDS-тест, тест остатков Брока), общее описание которых можно найти в [21,145]. Вышеуказанные методы получили название метрических тестов. К последним относится также инструментарий фрактального анализа [80,110,144]. Следует отметить достаточно высокую методическую и вычислительную сложность реализации метрических тестов. По этой причине они до настоящего времени не находили должного применения в реальном экономикоматематическом моделировании. Судя по ряду публикаций, можно говорить о наметившейся тенденции использования так называемых графических тестов в процессе моделирования социально-экономических ВР методами нелинейной динамики. Можно упомянуть графический тест хаоса [145], предложенный Гилмором. Этот тест выявляет неустойчивые квазипериодические периоды, заключенные в странном аттракторе. Для обнаружения таких орбит в рассматриваемом ВР наиболее удобным по своей реализации нам представляется подход, который можно называть термином «разложение фазового портрета на квазициклы». Рассмотрим какой-либо ВР Z = z i, i = 1, n и последовательность его отрезков (z i, z i +1,..., z i + M 1 ), i = 1,2,...n M + 1, называемых M - историями [35]. Здесь число M представляет собой размерность фазового портрета, который определяется в виде множества M (Z ) = { (z i, z i +1,..., z i + M 1 ) }, i = 1,2,..., n M + 1.

(3.4) В настоящей работе мы ограничимся фазовым портретом размерности M = 2, в частности, для ВР Z он определяется выражением 2 (Z ) = { ( z i, z i +1 ) }, i = 1,2,..., n 1.

(3.5) В целях визуализации на рисунках 3.1–3.4 дано графическое представление фазовых портретов ВР (2.1)–(2.4). Упомянутое выше разложение фазового портрета на квазициклы в существенной мере базируется на визуализации графического представления (на экране дисплея) фрагментов данного фазового портрета. При этом при нимается во внимание характер вращения звеньев, соединяющих соседние точки (xi, xi +1 ), (xi +1, xi + 2 ) визуализируемого фрагмента рассматриваемого фазового портрета. Определение термина «квазицикл» в некотором смысле близко к определению общепринятого понятия «цикл». Различие между этими двумя понятиями состоит в том, что начальная и конечная точки квазицикла не обязательно должны совпадать. Конечная точка квазицикла определяется ее вхождением в окрестность начальной точки. При этом допускается самопересечение начального и конечного звеньев квазицикла, если это приводит к наилучшему сближению его начальной и конечной точек.

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 z i1+ z1 i Рисунок 3.1 Фазовый портрет временного ряда Z 1 котировки акций РАО ЕЭС (2.1) 19000 17000 15000 13000 11000 9000 7000 5000 3000 z i2+ z i 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 13000 14000 15000 16000 17000 Рисунок 3.2 Фазовый портрет временного ряда Z 2 котировки акций Сбербанка (2.2) 85 75 65 55 45 35 25 z i3+ zi 35 45 55 65 Рисунок 3.3 Фазовый портрет временного ряда Z 3 котировки акций Ростелеком (2.3) 120 110 100 90 80 70 60 50 40 40 50 60 70 80 90 100 110 z i4+ z i Рисунок 3.4 Фазовый портрет временного ряда Z 4 котировки акций Сибнефти (2.4) Для каждого из представленных на рисунках 3.1 – 3.4 фазовых портретов осуществлено разложение их на квазициклы. На рис.3.5 представлены типичные квазициклы, составляющие большинство в указанных разложениях. Характерной особенностью этих квазициклов является то, что при малой их длине они содержат такие пары соседних звеньев, которые имеют противоположное направление вращения (см.рис.3.5 (а)). Вторая особенность рассматриваемых фазовых портретов состоит в том, что они содержат такие достаточно продолжительные отрезки траектории, в которых отсутствует цикличность (см.рис.3.5 (б)). Эти две особенности подтверждают полученный с помощью фрактального анализа и сформулированный в главе 2, п.

2.5.1 вывод о «плохих» предпрогнозных характеристиках рассматриваемых временных рядов (2.1) – (2.4) котировки акций российских компаний.

4,6 4,55 4,5 4,45 4,4 4, z i + zi 4,5 4,52 4,54 4, 8 7,5 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 z i + zi 5 6 7 а) б) Рисунок 3.5 Типичные квазициклы во временных рядах Z k, k = 1, Таким образом, из фазового анализа этих ВР вытекает необходимость применения к ним процедуры агрегирования с целью улучшения их предпрогнозных характеристик.

3.3 Фазовые портреты временных рядов котировки акций, агрегированных недельными интервалами С целью улучшения свойства цикличности в рассматриваемых временных рядах Z k, k = 1,4 котировки акций применим описанную ранее процедуру агрегирования (2.2) с интервалом агрегирования q = 5 (недельный интервал агрегирования). На рисунках 3.6-3.9 приведены фазовые портреты временных рядов агрегированных недельных котировок акций.

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z i1+ i z Рисунок 3.6 Фазовый портрет агрегированного с интервалом q = 5 временного ряда Z 1 котировки акций РАО ЕЭС 18000 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 z i2+ zi 4000 6000 8000 10000 12000 14000 Рисунок 3.7 Фазовый портрет агрегированного с интервалом q = 5 временного ряда Z 2 котировки акций Сбербанка 85 75 65 55 45 35 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 z i3+ z i Рисунок 3.8 Фазовый портрет агрегированного с интервалом q = 5 временного ряда Z 3 котировки акций Ростелекома 120 110 100 90 80 70 60 50 40 45 55 65 75 85 95 105 z i4+ z i Рисунок 3.9 Фазовый портрет агрегированного с интервалом q = 5 временного ряда Z 4 котировки акций Сибнефти Для каждого из представленных на рисунках 3.6 – 3.9 фазовых портретов осуществлено разложение их на квазициклы. На рис.3.10 представлены типичные квазициклы, составляющие большинство в указанных разложениях. Характерной особенностью этих квазициклов является то, что при малой их длине они содержат такие пары соседних звеньев, которые имеют противоположное направление вращения (см.рис.3.10).

4,4 4,35 4,3 4,25 4,2 4,15 4,1 4,05 4 3,95 4 4,02 4,04 4,06 4,08 4,1 4,12 4, z i + 100 98 96 94 92 zi+ zi 88 86 84 84 86 88 90 92 94 zi а) k б) Рисунок 3.10 Типичные квазициклы во временных рядах Z, k = 1, Из визуализации квазициклов фазовых портретов агрегированных вре менных рядов Z k, k = 1,4 на рисунках 3.6–3.9 вытекает, что процедура агре гирования с интервалом q = 5 фактически не привела к сколь-нибудь заметному улучшению предпрогнозных характеристик, в частности, цикличности агрегированных ВР (2.5) – (2.8). По этой причине используем повторную процедуру агрегирования, увеличивая вдвое параметр интервала агрегирования q.

3.4 Фазовые портреты временных рядов котировки акций, агрегированных двухнедельными интервалами На рисунках 3.11–3.14 представлены фазовые портреты 2 (Z k ), k = 1,4, ~ агрегированных с интервалом q = 10 временных рядов (2.9)–(2.12). В результате разложения этих фазовых портретов на квазициклы K rk, r = 1, mk, k = 1, выяснилось, что они характеризуются достаточно хорошими предпрогнозными свойствами. На рисунках 3.15–3.18 изображены квазициклы фазовых портретов агрегированных двухнедельным интервалом временных рядов Z k, k = 1,4 котировки акций четырех российских компаний.

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 ~1 zi ~ ~1 z i + Рисунок 3.11 Фазовый портрет агрегированного с интервалом q = 10 ~ временного ряда Z 1 котировки акций РАО ЕЭС 18000 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 ~2 z i + ~2 zi 4000 6000 8000 10000 12000 Рисунок 3.12 Фазовый портрет агрегированного с интервалом q = 10 ~ временного ряда Z 2 котировки акций Сбербанка 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 ~3 z i + ~3 zi Рисунок 3.13 Фазовый портрет агрегированного с интервалом q = 10 ~ временного ряда Z 3 котировки акций Ростелекома 120 110 100 90 80 70 60 50 40 40 50 60 70 80 90 100 110 ~4 z i + ~4 zi Рисунок 3.14 Фазовый портрет агрегированного с интервалом q = 10 ~ временного ряда Z 4 котировки акций Сибнефти ~1 z i +1 ~1 z i + 9 2 5,35 5,3 5, 6 5,5 5 4, 4 5 6 7 5,2 5,15 5,1 5,05 5 5 5,05 5,1 5,15 5,2 5,25 5,3 5,35 5, 4 3, ~1 zi 3 2,5 ~1 zi 4,5 4 3,5 3 2,5 2 2,5 2,7 2,9 3,1 3,3 3, 17 16 15 14 12 4,4 4,3 4,2 4,1 4 3,9 3, 20 24 21 22 4,2 4,3 4, 3, 3, 3, 3, 4, 4,7 4,6 4,5 4,4 4,3 4,2 4,1 4 4 4, 26 29 9 8 7 6 33 34 35 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4, 4 3 3 5 6 7 8 9 11 10,5 10 9,5 9 8,5 8 7,5 7 7 8 39 38 37 44 40 41 9,5 9,3 9,1 8,9 8,7 8,5 8,3 8, 48 47 45 8,1 8,3 8,5 8,7 8,9 9,1 9,3 9, 10,5 10 9,5 9 8,5 8 7,5 7 7 7,5 8 8,5 53 51 58 57 9, 54 52 8, 8, 65 7, 7, 60 6, 10 10, 6, 7, 7, 8, 8, 10 9,5 9 8,5 8 7,5 7 7 7,5 66 69 70 72 8,5 9 9, 67 8,7 8,5 8,3 8,1 7,9 7,7 7, 76 74 7,5 7,7 7,9 8,1 8,3 8, 1 Рисунок 3.15 Квазициклы K r, r = 1,12 агрегированного с интервалом q = 10 ~ временного ряда Z 1 котировки акций РАО ЕЭС 6500 6000 5500 5000 4500 4000 3500 3000 3500 4000 4500 4 6 2 3 5500 6000 5500 5000 4500 4000 3500 3000 3000 3500 4000 4500 7 11 5500 7500 7000 6500 6000 5500 5000 4500 4000 3500 3000 3000 4000 21 18 16 19 15 6000 7000 7500 7000 6500 6000 5500 5000 5000 28 24 25 26 7000 10000 9000 8000 7000 6000 5000 5000 32 30 37 36 29 34 31 8000 10000 40 45 39 44 7000 8000 9000 9000 8500 8000 7500 7000 6500 41 43 10500 10000 9500 9000 8500 8000 7500 7000 7000 7500 8000 50 47 49 9000 9500 14000 52 56 10000 53 54 12000 13000 12000 11000 10000 9000 13000 12500 12000 11500 11000 10500 10000 9500 9500 10000 58 59 57 60 14000 13500 13000 12500 12000 11500 68 11500 17000 16000 15000 14000 13000 12000 11000 10000 10000 11000 12000 76 74 73 69 75 14000 70 Рисунок 3.16 Квазициклы K r2, r = 1,11 агрегированного с интервалом q = 10 ~ временного ряда Z 2 котировки акций Сбербанка 2 3 6 30 35 42 40 15 14 9 13 10 30 32 7 36 34 32 50 36 38 42 41 40 39 38 38 16 46 45 44 43 42 41 23 22 25 21 20 40 41 39 38 37 36 36 38 65 60 55 50 45 40 35 35 28 32 31 26 29 57 55 53 51 49 47 36 35 51 53 55 70 68 66 64 62 60 58 56 54 52 48 39 42 40 38 67 66 65 64 63 62 61 45 46 60 61 62 63 64 65 66 78 76 74 72 70 68 66 64 62 60 51 50 47 56 73 64 63 62 61 55 52 69 67 65 65 57 75 61 59 57 65 70 75 70 65 60 55 50 45 40 43 48 53 58 66 72 77 66 64 75 74 62 76 59 60 61 62 70, 68 73 Рисунок 3.17 Квазициклы K r3, r = 1,12 агрегированного с интервалом q = 10 ~ временного ряда Z 3 котировки акций Ростелекома 75 70 65 60 55 50 45 40 40 45 50 2 5 1 6 8 47 52 57 62 70 65 60 55 50 45 45 50 12 16 11 60 75 70 17 24 22 21 45 50 55 60 25 19 20 60 55 50 95 90 85 34 31 30 60 65 70 75 80 63 68 73 70 65 110 100 90 80 70 60 60 38 39 37 90 85 80 75 43 44 65 60 55 110 105 100 95 90 85 80 75 70 48 49 50 51 90 100 90 85 80 75 70 65 54 53 52 65 70 75 80 85 101 96 91 86 81 76 71 66 61 56 56 61 66 71 76 60 59 57 115 110 105 100 95 90 85 80 75 70 64 80 100 110 68 105 100 72 74 70 75 80 85 90 67 68 73 78 83 85 100 Рисунок 3.18 Квазициклы K r4, r = 1,14 агрегированного с интервалом q = 10 ~ временного ряда Z 4 котировки акций Сибнефти В таблице 3.1 приведены результате разложения временных рядов Z k, k = 1,4 на квазициклы K rk, r = 1, mk, k = 1,4.

Таблица 3. Порядковый номер r квазицикла Длина Длина Длина Длина ~ 1 3 6 6 2 8 7 4 3 7 8 6 4 6 7 9 5 5 9 4 6 7 8 5 7 9 5 6 8 6 6 6 9 8 7 5 10 7 5 5 11 7 8 4 12 4 – 5 13 – – 4 – 14 – – 6 – n1 r nr2 nr 4 nr квазицикла квазицикла квазицикла квазицикла 1 Kr K r2 K r3 K r На основании визуализации и анализа разложения фазовых портретов ~ 2 Z k, k = 1,4 (см. рис.3.11–3.14) на квазициклы, представленные на рисун () ках 3.15–3.18, сформулируем выводы о предпрогнозной информации, получаемой на базе анализа фазовых портретов, а также улучшения характеристик этой информации путем использования процедуры агрегирования.

3.5 Предпрогнозный анализ временных рядов на базе их фазовых портретов и агрегирования На рисунках 3.15–3.18 все квазициклы помещены в габаритные прямоугольники. Построение такого прямоугольника состоит из следующих операций. Сначала в рассматриваемых квазициклах K rk выделяются две точки: первая с минимальным значением абсциссы, вторая – с максимальным значением абсциссы;

через эти выделенные точки проводим (пунктиром) отрезки прямых, параллельные оси ординат. Далее, в квазицикле K rk выделяются две точки: первая – с минимальным значением ординаты, вторая – с максимальным значением ординаты;

через эти выделенные точки проводим (пунктиром) отрезки прямых, параллельных оси абсцисс. Пересечение построенных двух пар параллельных прямых образует искомый габаритный прямоугольник для рассматриваемого квазицикла K rk ;

центр этого квазицикла представляется точкой пересечения диагоналей габаритного прямоугольника. В каждом габаритном прямоугольнике точка пересечения его диагоналей представляет центр вращения соответствующего квазицикла. Рассматривая направление вращения звеньев квазициклов на рисунках 3.15–3.18 (по часовой стрелке или против часовой стрелки), отметим, что явное большинство звеньев имеют направление вращения по часовой стрелке. Вместе с тем, на каждом из этих рисунков представлены квазициклы, в которых некоторые звенья имеют направление вращения против часовой стрелки. Для всякого ВР представляемую его фазовым портретом предпрогнозную информацию можно разделить на 3 группы. Первую группу составляет прогнозная информация, которая представляется разложением ФП этого ВР на квазициклы (см.рисунки 3.15–3.18 для ВР, рассматриваемых в настоящей работе). Вторую группу составляет прогнозная информация, представляемая траекториями дрейфа центров квазициклов, представленных на рисунках 3.15–3.18. Номера точек на этих траекториях совпадают с номерами r соответствующих квазициклов K rk, а координаты (x rk, y rk ), т.е. абсциссы и ординаты этих точек представляют собой координаты центров соответствующих квазициклов в фазовом пространстве 2 (Z k ), 1 k 4.

~ Фазовый анализ многочисленных временных рядов показал, что центры габаритных прямоугольников представляют собой либо точки на биссектрисе положительного ортанта, которые находятся в узкой - окрестности этой биссектрисы. Иллюстративным примером для этого утверждения служит рис.3.19. С целью повышения эффективности визуализации этой траектории целесообразно строить фазовый анализ портрет для временного ряда, состоящего из значений абсцисс x rk, r = 1,2,..., R k, где R k – число квазициклов, полученных при разложении фазового портрета 2 (Z k ).

~ На рисунках 3.19, 3.21, 3.23 и 3.25 дано графическое изображение траекторий дрейфа центров габаритных прямоугольников квазициклов, полученных при разложении фазовых портретов 2 (Z k ), k = 1,4, а также фазовых ~ портретов этих траекторий. Третью группу составляет предпрогнозная информация, представляемая траекторией дрейфа полупериметров габаритных прямоугольников квазициклов, полученных в результате разложения рассматриваемого ФП, а также фазовым портретом этой траектории. На рисунках 3.20, 3.22, 3.24 и 3.26 представлены соответственно траектории дрейфа полупериметров квазициклов фазовых портретов для рассматриваемых ВР Z k, k = 1,4, а также фазовые портреты этих траекторий.

~ 3.5.1 Предпрогнозная информация для временного ряда Z 1 котировки акций РАО ЕЭС ~ 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 8 6 4 2 0 ~1 z i + ~1 zi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 а) б) Рисунок 3.19 Траектория (а) дрейфа центров габаритных прямоугольников квазициклов ~ агрегированного с интервалом q = 10 временного ряда Z 1 и ее фазовый портрет (б) 10 8 6 4 2 0 0 5 10 10 8 6 4 2 0 ~1 z i + ~1 zi 5 а) б) Рисунок 3.20 Траектория дрейфа полупериметров габаритных прямоугольников квазициклов (а) на рис. 3.15 и ее фазовый портрет (б) 3.5.2 Предпрогнозная информация для временного ряда Z 2 котировки акций Сбербанка 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 ~ 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 ~2 zi + ~2 zi 2000 4000 6000 8000 10000 12000 а) б) Рисунок 3.21 Траектория (а) дрейфа центров габаритных прямоугольников квази~ циклов ВР Z 2 и ее фазовый портрет (б) 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 ~2 zi + ~2 zi 1000 2000 3000 4000 5000 6000 а) б) Рисунок 3.22 Траектория (а) дрейфа полупериметров габаритных прямоугольников квазициклов на рис. 3.16 и ее фазовый портрет (б) ~ 3.5.3 Предпрогнозная информация для временного ряда Z 3 котировки акций Ростелекома 80 60 40 20 0 30 40 50 60 70 80 70 60 50 40 30 ~3 zi + ~3 zi 30 40 50 60 70 а) б) Рисунок 3.23 Траектория (а) дрейфа центров габаритных прямоугольников квази~ циклов ВР Z 3 и ее фазовый портрет (б) 50 40 30 20 10 0 -1 1 3 5 7 9 11 50 40 30 20 10 0 - ~3 zi + ~3 zi 10 30 а) б) Рисунок 3.24 Траектория дрейфа полупериметров габаритных прямоугольников квазициклов (а) на рис. 3.17 и ее фазовый портрет (б) 3.5.4 Предпрогнозная информация для временного ряда Z 4 котировки акций Сибнефти 120 100 80 60 40 20 0 40 60 80 100 90 80 70 60 50 40 40 50 60 70 80 90 ~ ~4 zi + ~4 zi а) б) Рисунок 3.25 Траектория (а) дрейфа центров габаритных прямоугольников квази~ циклов ВР Z 4 и ее фазовый портрет (б) 70 60 50 40 30 20 10 0 0 2 4 6 8 10 12 14 70 60 50 40 30 20 10 0 ~4 zi + ~4 zi 20 40 60 а) б) Рисунок 3.26 Траектория (а) дрейфа полупериметров габаритных прямоугольников квазициклов рис. 3.18 и ее фазовый портрет (б) 3.6 Выводы к главе 1. Каждый из агрегированных с интервалом q = 10 временных рядов (2.9)–(2.12) содержит отчетливо выраженную циклическую компоненту. В составе этих компонент преобладают квазициклы, длина которых в типичном случае принимает значение из множества {4, 5, 6, 7, 8}. Содержательную календарную интерпретацию этих длин можно трактовать как наличие в динамике рассматриваемых временных рядов таких видов цикличности, как двухмесячные, 2,5- месячные, 3- месячные, 3,5- месячные и 4- месячные. При этом для различных ВР являются преобладающими различные виды цикличности: для «РАО ЕЭС» –3,5- месячные;

для «Сбербанка» – 3,5 и 4- месячные;

для «Сибнефти» – 2- месячные, 2,5- месячные и 3- месячные;

для «Ростелеком» – 2- месячные и 4- месячные. 2. Звенья квазициклов имеют, как правило, направление вращения по часовой стрелке. Доля звеньев, имеющих противоположное (против часовой стрелки) направление вращения составляет не более 10 %. Эту долю можно рассматривать в качестве косвенной оценки риска ошибочного прогнозирования рассматриваемых ВР на базе фазовых портретов. 3. Сравнительный анализ предпрогнозной информации по каждому из рассматриваемых ВР (2.9)–(2.12) представим с учетом разбиения ее на 3 группы. С точки зрения первой группы наиболее информативным является представленный на рисунках 3.12 и 3.16 ФП ВР Z 2 (2.10) котировки акций Сбербанка. Основанием для такого утверждения является тот факт, что этот ФП не содержит квазициклов длины 3 и 4, при этом большая часть квазициклов на рис.3.16 имеет в основном длину 8, а именно периодичность порядка четырех месяцев. При этом из 65 звеньев, составляющих эти квазициклы только 6 (т.е. ~9 %) имеют вращение против часовой стрелки. Остальные 3 из рассматриваемых ВР демонстрируют менее надежную прогнозируемость с точки зрения первой группы предпрогнозной информации. 4. С точки зрения второй группы наиболее информативным также является ФП агрегированного с интервалом q = 10 ВР Z 2 котировки акций Сбербанка. Как видно из рис.3.21, дрейф центров квазициклов, относящихся к этому ВР в основном концентрируются в весьма ограниченной окрестности биссектрисы положительного ортанта декартовых координат его фазового пространства. При этом, что очень важно, траектория дрейфа центров не имеет отрицательных (возвратных) приращений, т.е является монотонно возрастающей. Визуализация рисунков 3.15, 3.17 и 3.18 позволяет сделать заключение о значительной степени неопределенности второй группы прогнозной информации, относящейся к фазовым портретам ВР «РАО ЕЭС», «Сибнефти» и «Ростелекома».

~ ~ 5. Визуализация рисунков 3.20, 3.22, 3.24 и 3.26 также позволяет утверждать, что с точки зрения третьей группы прогнозной информации наименьшая неопределенность присуща траектории дрейфа полупериметров квазициклов, относящихся к ФП агрегированного временного ряда «Сбербанка». В терминологии [80] эта траектория имеет наиболее предсказуемый скейлинг (изменение частоты и амплитуды колебаний). Из вышеуказанного вытекает, что достаточно веские предпосылки для надежного прогнозирования имеются для агрегированного с интервалом q = 10 ВР котировки акций «Сбербанка». Остальные три из рассмотренных ВР нуждаются в дополнительном предпрогнозном анализе.

Глава 4 АДАПТАЦИЯ КЛЕТОЧНО-АВТОМАТНОЙ ПРОГНОЗНОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ КОТИРОВКИ АКЦИЙ 4.1 Особенности временных рядов, для которых традиционные методы прогнозирования неадекватны Областью применения предлагаемого в настоящей главе алгоритма прогнозирования являются эволюционные процессы, временные ряды (ВР) показателей которых обладают долговременной памятью [110]. К их числу относятся чаще всего либо природные ВР, либо ВР основных показателей эволюционных процессов в различных отраслях народного хозяйства: ВР урожайности в области растениеводства, ВР заболеваний в региональной или городской отрасли здравоохранения, ВР индекса цен стройматериалов, ВР стоимости ценных бумаг - государственных облигаций, курса валют, и др. Применение к этим ВР традиционных методов статистического анализа [110] весьма часто приводит к неудовлетворительному результату прогнозирования. Например, для ВР урожайности основных сельскохозяйственных культур, выращиваемых в южно-российской зоне рискового земледелия, является в принципе неправомерным использование классических методов прогнозирования, которые базируются на авторегрессии и скользящем среднем [110,112]. Причиной тому оказалось, что многие реальные ВР обладают долговременной памятью [110], что означает отсутствие независимости наблюдений и неподчинение ВР нормальному закону, более того, в характере их поведения проявляются такие свойства как хаотичность, наличие тяжелых хвостов [110] при отсутствии сезонной компоненты и долговременного тренда [60,62]. Таким образом, если у рассматриваемого ВР достаточно часто сменяется тренд и он обладает долговременной памятью, то применение к нему классических методов прогнозирования зачастую оказываются неадекватными. Отсюда естественным является вопрос о существовании таких принципиально новых моделей и методов прогнозирования, у которых «мешающий», в указанном выше смысле, фактор долговременной памяти становится «созидательным». Положительный ответ на этот вопрос удается не только обосновать, но и конструктивно реализовать, используя идеи искусственного интеллекта и алгоритмы, родственные генетическим («квазигенетические алгоритмы») [115], которые, в частности, могут быть реализованы на базе клеточных автоматов [80]. 4.2 Клеточные автоматы для прогнозирования экономических временных рядов их преимущества перед классическими методами Американский математик Дж.Нейман еще более полувека назад полагал, что многие сложные явления, такие как самовоспроизведение, рост и развитие, морфогенез, которые трудно моделировать с помощью дифференциальных уравнений, удастся описать с помощью клеточных автоматов [94]. К настоящему времени уже осознано, что теория клеточных автоматов (КА) по существу связывает два междисциплинарных подхода – синергетику и кибернетику. По своей сути клеточные автоматы реализуют собой алгоритмический подход к математическому моделированию процессов и систем, имеющих дискретный характер. Для исследования системы методами клеточных автоматов к настоящему времени можно выделить два подхода: статистический и конструктивный [80]. Реализация первого из них начинается с составления перечня всех возможных конфигураций, которые могут встречаться при неограниченном продолжении рассматриваемого временного ряда. На базе той информации можно вводить определения известных понятий теории детерминированного хаоса, аналоги ляпуновских показателей, фрактальных размерностей и т.д. Реализация второго подхода начинается с конструирования и анализа различных типов структур, возникающих в изучаемой системе или процессе, и выявления типа взаимодействия между структурами. В настоящей главе предлагается математическая модель и метод для анализа рынка ценных бумаг, в частности прогнозирование котировки акций ведущих российских компаний «РАО ЕЭС», «Сбербанк», «Ростелеком», «Сибнефть». Предлагаемая модель базируется на инструментарии линейных клеточных автоматов, которые имеют ряд преимуществ перед традиционными классическими моделями [80,94]. Важно отметить, что существующие к настоящему времени традиционные подходы к прогнозированию экономических ВР базируются на декомпозиции, т.е. на выделении из рассматриваемого ВР компонент тренда, сезонности, цикличности, а также остаточной компоненты. В работе [124] отмечено, что в результате проведения указанной «хирургической» операции декомпозиции теряется или искажается в отдельных случаях существенная информация о динамике поведения ВР, что негативным образом сказывается на точности получаемого прогнозного значения. Преимущество предлагаемого подхода к прогнозированию экономических временных рядов, а именно клеточно-автоматной прогнозной модели состоит в том, что она не использует указанную декомпозицию рассматриваемого ВР и, следовательно, снимает проблему потери информации при разложении ВР на компоненты. Второе замечание, относящееся к традиционным подходам к прогнозированию, обусловлено тем фактом, что при выборе тренда, при выделении сезонной компоненты, при определении циклических компонент неизбежно присутствует определенная мера субъективизма. Такого рода «проблема субъективизма» не возникает при построении клеточно-автоматной прогнозной модели просто потому, что она не оперирует понятиями тренд, сезонность, цикличность. Отмеченная в работе [124] проблема ограниченной преемственности макроэкономических данных является особенно характерной для экономики переходного периода, например, данные, относящиеся к начальному «социалистическому» периоду, по своей экономической сущности отличаются от данных, относящихся к завершающему «капиталистическому» периоду. Имеются основания утверждать, что проблема ограниченной преемственности макроэкономических данных в значительной степени снимается в кле точно-автоматной прогнозной модели по той причине, что эта модель оперирует не числовыми значениями измеряемых наблюдений, а качественными лингвистическими оценками. Аналогичным образом, в клеточно-автоматной прогнозной модели снимается или ослабляется известная проблема использования различных инструментов или методов измерения уровней (наблюдений) экономических ВР. Из сравнения традиционного и клеточно-автоматного подхода к прогнозированию вытекает четвертое замечание, отмечающее возможность привлечения в процесс клеточно-автоматного прогнозирования нечисловой (качественной, лингвистической и т.д.) информации, характеризующей динамику рассматриваемого процесса. Особого внимания заслуживает тот факт, что в отдельных случаях в результате применения клеточно-автоматной прогнозной модели к остаточной (считающейся не прогнозируемой традиционными методами) компоненте удается получить дополнительную информацию, использование которой приводит к более точному и надежному прогнозу. 4.3 Общая схема и принципы работы клеточно-автоматной прогнозной модели 4.3.1 Преобразование числового временного ряда в лингвистический временной ряд методом огибающих ломанных Алгоритм прогнозирования на базе клеточного автомата реализуется в системном единстве с процессом моделирования долговременной памяти и завершается получением прогноза, включая валидацию (оценивание погрешности результата). Алгоритм его реализации состоит из следующих шести этапов. Этап 1. Использование статистических методов [110,112] и визуализация для предварительного анализа данного ВР на предмет выявления наличия или отсутствия тяжелых хвостов, трендов, циклических или сезонных компонент и др. Этап 2. Фрактальный анализ [110] данного ВР с целью установления в нем долговременной памяти, включая оценку ее глубины, а также выявления в поведении ВР таких характеристик и тенденций, как трендоустойчивость или, наоборот, хаотичность, персистентность или антиперсистентность [110] и др. Вычислительная часть фрактального анализа базируется на алгоритме R/S- анализа [110]. Оценки, получаемые на выходе этого этапа, имеют числовую природу: наиболее адекватным является их представление в терминах и понятиях нечетких множеств [6,99,110]. Этап 3. Преобразование данного ВР в лингвистический временной ряд (ЛВР) с целью обеспечить возможность применить квазигенетический алгоритм [115], работающий с комбинаторными конфигурациями, составляющими собой структуру ЛВР и его терм-множество [33] W. Этап 4. Построение определяемой данным ЛВР генетической памяти клеточного автомата состоит из подэтапов:

- формирование множества M всех l -конфигураций, содержащих в полученном ЛВР, l = 1,2,..., L, где L - глубина памяти [80,110] этого ЛВР;

- вычисление частот и частостей переходов l - конфигураций из M в состояния-термы из W. Этап 5. Формирование прогноза для рассматриваемых ВР и ЛВР путем реализации «мягких вычислений» на базе построенной памяти КА:

- получение прогноза в виде нечеткого лингвистического множества (НЛМ);

- преобразование НЛМ в числовое нечеткое множество, которое при необходимости с помощью процедуры дефазификации [65] можно перевести в четкий числовой прогноз. Этап 6. Валидация, т.е. получение оценок погрешности для полученного прогноза для данных ВР и ЛВР. Все этапы предлагаемой прогнозной модели были осуществлены на временных рядах показателей котировки акций «РАО ЕЭС», «Сбербанк», «Ростелеком», «Сибнефть». Первые два этапа предлагаемого метода прогнозирования были осуществлены и реализованы в главах 2 и 3. Третий этап прогнозной модели состоит в формировании памяти клеточного автомата. С этой целью осуществим преобразование числового временного ряда в лингвистический временной ряд. В настоящей главе для целей иллюстрации, валидации и верификации прогнозной модели рассматриваем агрегированный временной ряд двухнедельной котировки акций российской компании «Сбербанк» за период с 1 апреля 2002 г. по 31 марта 2005 г.

~ Y = ~i, i = 1,2,..., t, y (4.1) где индексом t = 1,2,..., n, n = 78 перенумерованы полумесяцы этого периода. С целью визуализации на рис.4.1 дано графическое представление этого ряда в виде гистограммы.

Цена, руб.

0 1 3 5 7 9 1 1 1 3 1 5 1 7 1 9 2 1 2 3 25 2 7 2 9 3 1 3 3 3 5 37 3 9 4 1 4 3 4 5 4 7 4 9 5 1 5 3 5 5 5 7 5 9 6 1 6 3 6 5 67 6 9 7 1 7 3 7 5 7 Номер наблюдения Рисунок 4.1 Гистограмма агрегированного временного ряда котировки акций российской компании «Сбербанк» за период с 2002 г. по 2005 г.

По результатам фрактального анализа (п.2.5.3) исследуемый ВР (4.1) обладает долговременной памятью, глубина которой оценена в терминах нечетких множеств и представлена гистограммой на рис.2.29.

Для отражения долговременной памяти, присущей рассматриваемому ВР, предлагается использовать интервальные значения прогнозируемых показателей, для чего весь спектр наблюдаемых показателей разделяем на 3 альтернативы: низкий уровень, средний уровень, высокий уровень. Если каждому числовому значению элементов рассматриваемого ВР поставить в соответствие одну из этих альтернатив, то получим интервальный ВР или, в другой терминологии, лингвистический временной ряд (ЛВР). Преобразование ВР (4.1) в ЛВР означает замену числовых элементов ~, i = 1,2,..., t лингвистическими переменными, называемыми термами. Соyi вокупность этих термов принято называть терм - множеством [29,33,99], которое в настоящей главе обозначаем U = {u}. При этом принимаем, что множество U состоит из трех элементов: u = H - низкий уровень котировки курса акций, u = C - средний уровень, u = B - высокий уровень котировки курса акy ций. Заменяя элементы ~i ВР (2.10) соответствующими термами из U, по лучаем ЛВР U = ui, i = 1,2,..., n.

(4.2) В работе [52] предлагается строить ЛВР вида (4.2) путем построения трендовых коридоров для столбцов гистограммы (рис.4.1). Такой алгоритм [101] базируется на предположении, что в пределах отдельно взятого годового периода может присутствовать проблема преемственности макроэкономических данных. В настоящей диссертационной работе предлагается строить ЛВР на базе интервального подхода путем построения верхней и нижней огибающих ломаных для столбцов гистограммы на рис.4.1. Предлагаемый алгоритм преобразования числового ВР в ЛВР состоит из трех этапов. Первый этап начинается с визуализации гистограммы, представляющей ряд (4.1). На этой гистограмме выделяем жирными точками столбики, представляющие явно высокий курс акций, и столбики, представляющие явно низкий курс (см. рис.4.2). Далее, соединяя соседние жирные точки пунктир ными отрезками, получаем, как показано на рисунке 4.2, верхнюю огибающую ломанную (ВОЛ) и нижнюю огибающую ломанную (НОЛ). На втором этапе последовательно для каждого столбика гистограммы рассматриваем отрезок, соединяющий точку его пересечения с НОЛ точкой его пересечения с ВОЛ. Этот отрезок делим на три равновеликих интервала: нижний, средний и верхний. Отмечаем на каждом из таких отрезков концы среднего интервала, после чего каждую пару соседних верхних (нижних) концов средних интервалов соединяем пунктирным отрезком, в результате чего получаем границы срединной области гистограммы (СОГ). На третьем этапе исследуемый временной ряд преобразуем в ЛВР вида (4.2), осуществляя окрашивание каждого столбика гистограммы, как показано на рис.4.2. Рассматривая ~ yi iй столбик этой гистограммы, элемент ~i заy меняем термом H, если верх столбика находится ниже СОГ, иначе заменяем термом С, если его верх принадлежит СОГ и, наконец, заменяем термом В, если верх этого столбика находится выше СОГ. Работа третьего этапа, а вместе с ним и работа алгоритма заканчивается тогда, когда элемент ~n ряy да (4.1) заменяется соответствующим термом. Тем самым ЛВР (4.2) считается построенным. Полученный для агрегированного временного ряда двухнедельной котировки акций «Сбербанк» (4.1) лингвистический ВР (4.2) представлен таблицей 4.1, а соответствующим образом раскрашенная гистограмма представлена на рис.4.2.

Таблица 4.1 Агрегированный лингвистический временной ряд двухнедельной котировки акций «Сбербанк» i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ui Н С С В С В Н В С С Н Н Н С Н С С В С В С Н С Н Н С i 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 ui В С Н С С В С В В С Н С С Н С В В С Н Н С Н С Н Н С i 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 ui С В В С Н С С В С В С Н Н С С В С С В В С Н Н С С В Цена, руб Н-низкий С-средний В-высокий ВОЛ СОГ НОЛ 0 1 3 5 7 9 1 1 1 3 1 5 1 7 1 9 2 1 2 3 2 5 2 7 2 9 3 1 3 3 3 5 3 7 3 9 4 1 4 3 4 5 4 7 4 9 5 1 5 3 5 5 5 7 5 9 6 1 6 3 6 5 67 6 9 7 1 7 3 7 5 7 Номер наблюдения Рис.4.2 Гистограмма агрегированного лингвистического временного ряда котировки акций «Сбербанк» после 1-5 этапов алгоритма преобразования числового ВР в ЛВР 4.3.2 Частотный анализ памяти лингвистического временного ряда Как отмечается в [104], временные ряды вида (4.1) и ЛВР вида (4.2) обладают долговременной памятью [147]. Последнее означает, что такие ряды аккумулируют предыдущую информацию об уровне стоимости курса акций и степень ее влияния на последующие значения курса акций. Иными словами, в этих рядах заключена информация об определенных закономерностях, которые в научной литературе принято относить к так называемой долговре менной памяти. Наличие долговременной памяти у временного ряда (4.1) подтверждается результатами его фрактального анализа [110] или, в более узком смысле, R/S – анализа [110], примененного к (2.10). Основная числовая характеристика этого результата заключается в том, что полученные значения показателя Херста H колеблются для ряда (4.1) в пределах от 0,7 до 0,9. Многолетний опыт, накопленный для рядов с таким значением H свидетельствует, что в них имеют место долговременные корреляции между текущими и будущими событиями [110]. Эта характеристика является основанием для разработки метода прогнозирования на базе использования долговременной памяти. В [80] сформулировано предложение представлять наличие в ЛВР долговременной памяти в терминах и понятиях клеточного автомата, в частности, линейного клеточного автомата. Теория клеточных автоматов утверждает, что «если клетки располагаются линейно вдоль прямой, и каждая клетка находится в определенном состоянии, то состояние соседей слева от рассматриваемой клетки влияют на состояние этой клетки на следующем временном шаге» [80,94]. В терминах клеточного автомата значение лингвистической переменной конфигурациями u i +k + в ЛВР (4.2) (см.таб.4.1) определяется l u i + k l, u i + k l +1,..., u i + k, l = 1, k, т.е. конфигурациями длины l = 1,2,..., k в отрезке этого ряда (4.3) u i +1, u i + 2,..., u i + k, i = 1, n k + 1, где через k (4.4) обозначаем глубину памяти рассматриваемого ряда. Из результа тов проведенного R/S – анализа вытекает, что для представленного выше ВР (4.1) полумесячных курсов акций «Сбербанк» значение k ограничено сверху цифрой 10. Последнее означает, что для всякого i = 1,2,..., n k + 1 значение лингвистической переменной ui+k в (4.4) определяется лишь такими l конфигурациями вида (4.3), для которых l k = 10. Алгоритм нахождения глубины памяти основывается на частотной статистике переходов в состоя ния Н,С и В всех l -конфигураций, имеющих место в ЛВР (4.2).

Примечание 4.1 Через N l обозначим количество всех попарно различных l -конфигураций в ЛВР. Для принятого терм-множества U = {H, C, B} теоретически возможное количество различных l -конфигураций, l = 1,2,..., k, k = 10 составляет l = k l = 3 + 3 2 + 33 + 3 4 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39 + 310 = 88572, в то время как в реальном ЛВР, представленного в табл. 4.1, количество N l всех таких попарно различных l -конфигураций, l 10 составляет N = N l = 432. Из них l =1 N1 = 3, N2 = 9, N 3 = 18, N 4 = 34, N 5 = 45, N 6 = 56, N 7 = 64, N 8 = 67, N 9 = 68, N10 = 68. Тем самым установлен тот факт, что количество реальных l - кон фигураций составляет V = N l = k = l 432 100 0,48% от количества теоретиче ски возможных ВР.

l - конфигураций. Это говорит о высокой вариабельности ВР, т.е. о степени проявления долговременной памяти в ЛВР и косвенно в Через M (U ) обозначим множество всех l -конфигураций l k, k = 10, которые можно обнаружить в ЛВР (4.2);

M (U ) = U M l, где M l - это подмножестl =1 во всех l -конфигураций в ЛВР U при фиксированном l. Для рассматриваемых ВР Y и ЛВР U эти подмножества имеют следующий состав:

M 1 = {H, C, B}, M 2 = {HH, HC, HB, CH, CC, CB, BH, BC, BB}, HHH, HHC, HCH, HCC, HCB, HBC, CHH, CHC, ССН, CCB, CBH, CBC, CBB, M3 =. BHB, BCH, BCC, BCB, BBC Для l = 4,5,6,7,8,9,10 состав подмножеств M l (U ) представлен в приложении 1. Рассмотрим какую-либо фиксированную обозначим в виде отрезка 0 u10, u 2,..., u 0,..., u l0. j l -конфигурацию, которую (4.5) Работу клеточного автомата в рамках предлагаемой прогнозной модели организуем следующим образом. Если в ЛВР (4.2) выделен отрезок u i +1, u i + 2,..., u i + j,..., u i + l, совпадающей с (4.5), т.е. u i + j = u 0, j j = 1, l, то по отношению к следующему элементу u i + l +1 = u 0, u 0 U = {H, C, B} условимся говорить, что l -конфигурация (4.5) переходит в состояние u 0, т.е. в лингвистическую переменную u i +l +1, совпадающую с термом u 0. В предлагаемом авторами [102] подходе базовым является следующее теоретическое предположение. Пусть последовательность (4.4) неограниченно растет, т.е. в ряду u i, i = 1, n значение параметра n. Если в этой сколь угодно длинной последовательности некоторая конкретная фиксированная конфигурация (4.4) появляется и при этом всякий раз после нее следует переход в одно и тоже состояние u 0 {H, C, B}, то говорим, что конфигурация (4.5) обладает памятью. Пусть терм-множество U имеет мощность U 3. Тогда, если имеют место перемежающиеся переходы в два фиксированные состояния, то говорим, что отрезок (4.5), т.е. l -конфигурация (4.4) обладает частичной памятью. Если же фиксированная конфигурация демонстрирует переходы в каждое из трех состояний Н, С, В, то говорим, что память у данной конфигурации не обнаружена. Эту память можно представить либо комбинаторно, либо в форме ориентированных двудольных графов. Переходы всех конфигураций с частотами и частостями этих переходов представляют собой память клеточного автомата, являющаяся составной частью математической модели, предназначенной для прогнозирования ЛВР (4.2). На основании данных приложения 2 можно сформировать следующую статистику переходов и оценку памяти отдельных l - конфигураций ЛВР (4.2), составляющих множество M.

Таблица 4. Статистика переходов и оценка памяти соответствующих конфигураций для агрегированного временного ряда двухнедельной котировки акций «Сбербанк» Всего конфигураций шт. 3 9 18 34 45 56 64 67 68 68 432 Всего переходов шт. 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 725 Из них переходов 321значзнач значных ных ных шт. шт. шт. 0 0 3 2 4 3 4 10 4 17 15 2 28 16 1 41 14 1 58 6 64 3 66 2 68 348 70 14 полная % 22 22 50 62 73 91 96 97 100 Память отсутствие частичпамяти ная % % 45 56 44 36 25 9 4 3 100 33 22 6 22 2 l конфигурации 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Итого Для всякого отрезка длины 1 ( H, C или B ) и всякого отрезка длины (НН, НС, НВ, СН, СС, СВ, ВН, ВС, ВВ) в ряду u i, i = 1, n всякий раз находи лись случаи переходов в Н, С и В. Первые признаки наличия памяти (частичной- переход в два состояния) обнаружились при l = 2 : 22% демонстрируют переход только в одно состояние (память), 45% 2-конфигураций из числа встречающихся в ряду (4.1) демонстрируют частичную память;

для l = 3 22% 3-конфигураций вида (4.5) демонстрируют наличие памяти, т.е. с различной частотой переходы в какое-либо из трех состояний u {H, C, B} и 56% 3-конфигураций демонстрируют наличие частичной памяти. Для l = 4 50% 4-конфигураций в ряду (4.5) демонстрирует наличие памяти и 44% демонстрирует наличие частичной памяти. Для l = 5 наличие памяти демонстрирует 62% 5-конфигураций в ряду (2.1) и 36% демонстрирует частичную память. Для l = 6 наличие памяти демонстрируют 73% и 25% частичной памяти. Для l = 7 91% конфигураций демонстрирует память, а 9% - частичную память. Для l = 8 96% 8-конфигураций показывает память и 4%- частичную память. Для l = 9 память демонстрирует 97% 9-конфигураций и частичную память – 3%. Для l = 10 все 100% 10- конфигураций вида (4.5) де монстрируют наличие памяти. Частотная статистика из приложения 2 переходов l -конфигураций (4.5) в определенное состояние u 0 U = {H, C, B} формируется следующим образом. Сначала, для каждой 1-конфигурации u10 {H, C, B} подсчитываем количество ее переходов в каждое из трех состояний Н, С, В. Для наглядности эти переходы отражены в табл.4.3. Частота перехода это числа, означающие количество наблюдаемых в ЛВР (4.2) переходов каждой из трех 1конфигураций u10, u10 U в каждое из трех состояний Н, С, В. Например, из табл.4.5 видно, что имеем 7 переходов из Н в Н, 14 переходов из Н в С и 1 переход из Н в В. Количество переходов из С в Н, С и В равно соответственно 13, 10 и 14. Здесь же, количество переходов из В в Н, С и В равно 1, 13 и 4 соответственно. На основании этих данных можно вычислить эмпирические значения частостей переходов из 1-конфигураций в состояние Н, С, и В:

w1 (Н Н ) = w1 (Н С ) = w1 (H В ) = 7, w1 (C Н ) = w1 (С С ) = w1 (С В ) = 13, 37 10, 37 14 w1 (В H ) = w1 (В С ) = w1 (В В ) = 11, 18 13, 18 4. 14, 22 1 (4.6) 0 Далее, для каждой 2-конфигурации u10 u 2 M подсчитываем количество переходов в каждое из трех состояний Н, С, В. Таких конфигураций в конкретном ЛВР (4.2)оказалось девять. Как показано в приложении 2, имеем один переход из НН в Н, 6 переходов из НН в С, 4 перехода из НС в Н, 8 переходов из НС в С, два перехода из НС в В и один переход из НВ в С. На основании этих данных можно вычислить эмпирические значения частостей переходов из 2-конфигураций НН, НС, НВ в состояния Н, С и В:

w2 (НН Н ) = w2 (НН C ) = 1, 7 6, 7 w2 (НС Н ) = w2 (НС С ) = 4, 8, w2 (НВ H ) = 0, 1 w2 (НВ С ) =, (4.7) w2 (НН В ) = 0, w2 (НС В ) = 2, w2 (НВ В ) = 0. Аналогично, на основании приложения 2 вычисляются эмпирические значения частостей переходов из 2-конфигураций СН, СС, СВ, ВН, ВС, ВВ в Н, С и В. Далее, для каждого значения l {3,4,5,6,7,8,9,10} рассматриваем подмножество M l( 2) M всех l - конфигураций, встречающихся в ЛВР (4.2), мощность M l( 2 ) = N l( 2 ). По аналогии с (4.6), (4.7) вычисляем эмпирические значения частостей переходов из каждой конкретной l -конфигурации 0 u10 u 2...u l0 M l( 2 ) в состояние Н, С и В. 0 wl u10u2...ul0 Н, ( ) 0 wl u10u2...ul0 С, ( ) 0 wl u10u2...ul0 В, ( ) (4.8) l = 3,4,5,6,7,8,9,10. Значения этих частостей переходов представлены в прило жении 2. Статистика переходов и оценка памяти для l - конфигураций ЛВР агрегированных временных рядов котировки акций «РАО ЕЭС», «Ростелеком», «Сибнефть» отражена в таблицах 4.3-4.5.

Таблица 4.3 Статистика переходов и оценка памяти соответствующих l - конфигураций для агрегированного временного ряда котировки акций «РАО ЕЭС» Из них переходов 123значзначзначных ных ных шт. шт. шт. 0 2 6 14 23 35 44 51 54 58 60 62 l Конфигурации 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Итого Всего конфигураций шт. 3 9 17 26 36 46 52 57 60 62 63 64 Всего переходов шт. 77 55 55 58 60 63 64 65 66 66 66 66 полная % 22 35 54 64 76 85 89 90 94 95 97 100 Память частичотсутствие ная памяти % % 44 47 35 33 24 15 11 10 6 5 3 0 100 33 18 12 3 0 4 8 9 12 11 8 6 6 4 3 2 3 3 3 3 1 Таблица 4.4 Статистика переходов и оценка памяти соответствующих l - конфигураций для агрегированного временного ряда котировки акций «Ростелеком» l конфигурации 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Итого Всего конфигураций шт. 3 9 21 37 52 59 64 67 67 67 67 67 Всего переходов шт. 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 Из них переходов 123значных значзначных шт. ных шт. шт. 0 2 7 20 36 46 56 63 64 65 66 67 492 0 3 9 16 16 12 8 4 3 2 1 74 3 4 5 1 1 1 полная % Память частичная % отсутствие памяти % 100 45 24 3 2 2 22 33 54 68 78 88 94 96 97 99 33 43 43 30 20 12 6 4 3 1 Таблица 4.5 Статистика переходов и оценка памяти соответствующих l - конфигураций для агрегированного временного ряда котировки акций «Сибнефть» l конфигурации Из них переходов Всего конфигураций шт. 3 9 22 41 58 63 66 68 69 Память полная % 23 41 74 84 91 96 99 100 % 44 45 49 26 16 9 4 1 частичная отсутствие памяти % 100 56 32 10 Всего переходов шт. 78 76 75 75 74 73 72 71 70 1значных шт. 5 17 43 53 60 65 68 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Итого 2значных шт. 4 10 20 15 10 6 3 1 3значных шт. 3 5 7 4 Таблица 4.6 Статистика конфигураций и вариабельность агрегированных временных рядов котировки акций «РАО ЕЭС», «Ростелеком» и «Сибнефть» Наименование акций РАО ЕЭС Ростелеком Сибнефть Глубина памяти 13 12 10 Возможное число конфигураций теоретически 2391480 797160 88572 практически 560 580 468 Вариабельность временного ряда, % 0,02 0,07 0, 4.3.3 Формирование прогнозных значений котировки акций российской компании «Сбербанк», верификация и валидация прогнозной модели Для конкретного ЛВР, представленного в приложении 1 осуществим прогнозирование неизвестного терма u n +1 на основании известных членов этого ряда u i, i = 1, n с учетом вычисленных выше частостей вида (4.5)-(4.7), для l = 1,2,..., k, где k глубина памяти в ЛВР (4.2). Прогноз терма u n + представляется в виде нечеткого терм-множества (НТМ) U n+1 = {(H ;

µ H ), (C;

µ C ), (B;

µ B )}, где значение функции принадлежности µ удовлетворяет равенству µ H + µ C + µ B = 1. Значение, µ H, µ C, µ B вычисляются через значения частостей вида (4.6)-(4.8), получаемых для различных l конфигураций в следующем отрезке ЛВР u n l +1, u n k,..., u n.

(4.9) Сначала согласно (4.6) вычисляются частости переходов из 1конфигурации un в состояния Н, С, В: w1 (u n H ), w1 (u n C ), w1 (u n B ). Далее, согласно (4.7), вычисляются эмпирические значения частостей переходов из 2-конфигурации u n 1u n в состояния Н, С и В:

w2 (u n 1u n H ), w2 (u n 1u n C ) и w2 (u n1u n B ), после чего вычисляем значение частостей переходов из 3-конфигурации в u n 2 u n 1u n конфигурация в состояния Н, С и В. Если 3 u n 2 u n 1u n демонстрирует наличие памяти, например, w3 (u n 2 u n 1u n C ) = 1, то переходим к вычислению искомых значений µ H, µ C, µ B. Для этого сначала вычисляем ненормированные значения µ = w1 (u n H ) + w 2 (u n 1u n H ) + 0, H µ С = w1 (u n С ) + w2 (u n 1u n С ) + 1, µ B = w1 (u n B ) + w2 (u n 1u n B ) + 0 и их сумму 3 = µ + µ C + µ, после нормировH B ки, которых получаем µ H = µ H, µ C = µ C, µ B = µ B.

Если 3-конфигурация u n 2 u n 1u n не демонстрирует наличие памяти, то рассматриваем 4-конфигурации u n 3 u n 2 u n 1u n, для которой вычисляем частости ее переходов в состояния Н, С и В. Всякий раз к вычислению искомых µ H, µC, µ B переходим тогда, когда встретится такая l -конфигурация u n l +1u n l + 2...u n, которая демонстрирует наличие памяти, например, получаем единичное значение частости для терма В: w1 (u nl +1u n l + 2...u n B ) = 1. В таком случае, как было сказано выше, сначала вычисляем ненормированные значения функции принадлежности:

µ = w1 (u n H ) + w2 (u n 1u n H ) +... + wl 1 (u n l + 2 u n l +3...u n H ) + 0;

H µ C = w1 (u n С ) + w2 (u n 1u n С ) +... + wl 1 (u n l + 2 u n l +3...u n С ) + 0;

µ = w1 (u n B ) + w2 (u n 1u n B ) +... + wl 1 (u n l + 2 u n l +3...u n B ) + 1 B и значения их суммы l = µ H + µ C + µ. После чего, вычисляем искомое знаB = µ µ µH, µC = C, µ B = B. l l l чение функции принадлежности для НТМ U n +1 : µ H Представленный таблицей 4.1 ЛВР котировки акций «Сбербанк» заканчивается элементом u n = B, где n = 78 и соответствует 31 марту 2005 года. Осуществим прогноз котировки акций на следующий полумесяц (апрель) 2005 года, т.е. построим для отсутствующего элемента u n +1 его нечеткое 0 0 0 терм-множество U n0+1 = {(H ;

µ H ), (C;

µ C ), (B;

µ B )}. Прогноз осуществляется на лин гвистическом уровне, т.е. определенно можно сказать каким будет значение курса акций на следующем временном шаге: низким, средним или высоким. Учитывая установленную глубину памяти k = 10, рассматриваем отрезок ЛВР u n 9 u n 8 u n 7 u n 6 u n 5 u n 4 u n 3u n 2 u n 1u n = ССВВСННССВ.

(4.10) Для ряда (4.10) рассматриваем все его l конфигурации, l = 1, k, k = 10 : В;

СВ;

ССВ;

НССВ;

ННССВ;

СННССВ;

ВСННССВ;

ВВСННССВ;

СВВСННССВ;

ССВВСННССВ. Для l = 1 из приложения 2 получаем w1 ( B H ) = 4 13 1, w1 ( B C ) =, w1 ( B B ) =. 18 18 (4.11) Для l = 2 из приложения 2 получаем значения частостей переходов из 2-конфигурации СВ в термы Н, С, В:

w2 (СВ H ) = 1 8 4, w2 (СВ С ) =, w3 (СB В) =. 13 13 (4.12) Для l = 3 из приложения 2 получаем w3 (ССВ H ) = 0, w3 (ССВ С ) = 5 2, w3 (ССB В) =. 7 (4.13) Для l = 4 из приложения 2 имеем w4 ( НССВ H ) = 0, w4 ( НССВ С ) = 5 1, w4 ( НССВ В) =, 6 (4.14) Для l = 5 из приложения 2 получаем значение частостей w5 ( ННССВ H ) = 0, w5 ( ННССВ С ) = 1 1, w5 ( ННССВ В) =, 2 (4.15) Для l = 6 приложения 2 получаем w6 (СННССВ H ) = 0, w6 (СННССВ С ) = 1 1, w6 (СННССВ В) =, 2 (4.16) Для l = 7 приложения 2 имеем w7 ( ВСННССВ H ) = 0, w7 ( ВСННССВ С ) = 1, w7 ( ВСННССВ В) = 0, (4.17) Для l = 7 соответствующая 7-конфигурация ВСННССВ демонстрирует наличие памяти, в силу чего для ряда (4.2) процесс вычисления частостей можно прекратить. На основании значений частостей (4.11)-(4.17), вычисляем ненорми рованные значения функции принадлежности: µ Н = µС = 11 + + 0 = 0,14 ;

18 13 8 5 5 1 1 4 42111 + + + + + + 1 = 4,88 ;

µ В = + + + + + + 0 = 1,98 и их сумму 18 13 7 6 2 2 18 13 7 6 2 = 0,14 + 4,88 + 1,98 = 7,0. Далее, осуществляя операцию нормирования, полу чим искомое значение функции принадлежности:

0 µС = 0 µН = µ H 0,14 = = 0,02, l µ C 4,88 µ 1,98 0 = = 0,69, µ В = B = = 0,29. l l 7 Таким образом, прогнозное значение курса акций для i = n + 1 пред ставляется в виде НТМ U n0+1 = {(H ;

0,02), (C;

0,69), (B;

0,29)}. В лингвистических терминах этот прогноз можно сформулировать следующим образом: в середине апреля 2005 года ожидается средний курс акций или менее вероятно низкий, что соответствует реальности. Применительно к понятию «модель», термин «верификация» означает проверку структуры и логики модели, а термин «валидация» означает проверку соответствия данных, полученных на основе модели, реальному процессу. Для реализации этих видов проверки построенной прогнозной модели последовательно рассматриваем лингвистические временные ряды u i, i = 1,2,..., m, m = n r, r = 1, n k, (4.18) т.е., ряды (4.18) получаются путем удаления из ЛВР (4.2) последних r его членов. Для каждого фиксированного индекса m строим прогноз терма u m+1, представляемого в виде НТМ U m +1 = {(H ;

µ H ), (C ;

µ C ), (B;

µ B )}.

Пусть, в полученном НТМ U m+1, среди чисел µ H, µ C, µ B, максимальным является то число µ, {H, C, B }, у которого индекс совпадает с термом u m+1 ряда (4.2). Тогда, говорим, что для рассматриваемого индекса m прогнозная нечеткая модель привела к непротиворечивому прогнозу. В противном случае, говорим о противоречивом прогнозе для термина m.

4.3.4 Получение числового прогноза и оценка его точности Осуществим трансформацию прогнозного НТМ в числовой прогноз с помощью известной процедуры дефазификации НМ [65]. Пусть получено лингвистическое прогнозное значение урожайности 0 U n +1 = {(H ;

0,02), (C ;

0,69), (B;

0,29)}.

(4.19) Приведем описание процесса преобразования лингвистического нечеткого множества (ЛНМ) (4.19) в численное (классическое) НМ 0 0 0 Yn0+1 = y H ;

µ H, y C ;

µ C, y B ;

µ B.

{( )( )( )} (4.20) В качестве подходящих числовых значений элементов y u0, u {H, C, B} выбираются в ВР (4.2) ближайшие к элементам y u низкие, средние и высокие курсы акций, которые затем усредняются:

0 yH = 1 ( y 74 + y 75 ) = 1 (12100 + 11970) = 12035 ;

2 0 yC = 1 ( y 76 + y 77 ) = 1 (13350 + 14000) = 13675 ;

2 0 y В = y 78 = 16349.

Отсюда, с учетом представленных в ЛНМ (4.19) значений функции принадлежности µ H, µC, µ B получаем искомый прогноз в виде НМ Yn0+1 = {(12035;

0,02), (13675;

0,69), (16349;

0,29)}. Применяя к НМ Yn0+1 операцию дефа зификации [65], получаем прогнозное значение котировки акций в обычном числовом виде, т.е. Yn0+1 = µ t y t0 = 0,02 12035 + 0,69 13675 + 0,29 16349 = 14401,2, t = где индексом t = 1,2, перенумерованы соответственно термы Н,С,В:

µ1 = µ H = 0,02, µ 2 = µ C = 0,69, µ B = µ B = 0,29.

Согласно определению прогнозной модели на ее выходе можно получить ВР Y 0 прогнозных значений y i0, i = L, L + 1,..., n, занумерованных тем же индексом, которым были занумерованы значения курсов акций в исследуемом ВР (2.10). Тогда относительная погрешность прогнозирования для каждого наблюдения i {L, L + 1,..., n} вычисляется по формуле i = y i y i0 y i. В каче стве оценки точности прогнозирования принимаем среднее значение i = n 1 i. n L + 1 i=L На основании валидации результатов прогнозирования ВР котировки акций «Сбербанк» получена оценка средней числовой погрешности прогноза 7% (см. приложение 3).

Оценка погрешности результатов, полученных с помощью предлагаемой прогнозной модели, обосновывается также по отношению такого результата валидации, как ВР лингвистических нечетких множеств U : u i, i = L + 1,..., n. В этом случае погрешность i лингвистического прогно зирования для каждого наблюдения i принимается равной нулю, если в ряду 0 ЛНМ U : u i, i = L, L + 1,..., n для полученного ЛНМ U 0 = {(u10, µ1 ), (u 2, µ 2 ), (u 30, µ 3 )}, где максимальное значение функции принадлежности µ = max µ t достигается 1 t для такого индекса t = t 0, что в ЛВР (2.8) элемент u i совпадает с термом u t0, т.е. i = 0, если выполняется равенство u i = u t0, в противном случае значение i = 1. Погрешность лингвистического прогнозирования определяется как среднее значение = n 1 i. n L + 1 i=L На основании валидации результатов лингвистического прогнозирования ВР курса акций «Сбербанк» получена оценка средней погрешности лингвистического прогноза i = 8,3%, т.е. в процессе валидации прогнозная модель выдала один неточный прогноз в лингвистических термах для u 72 (см. приложение 3). В табл.4.7 отражены результаты клеточно-автоматной прогнозной модели для агрегированных двухнедельных временных рядов котировки акций ведущих российских компаний «РАО ЕЭС», «Ростелеком» и «Сибнефть».

Таблица 4.7 Результаты клеточно-автоматной прогнозной модели для агрегированных временных рядов котировки акций «РАО ЕЭС», «Ростелеком» и «Сибнефть».

Ошибка лингвистического прогноза Прогнозные значения в виде Результат дефацификации Завершающий отрезок Наименование котировки акций лингвистического нечеткого множества числового нечеткого множества Ошибка числового прогноза Глубина памяти НСВСССВСНННСВ РАО ЕЭС {(Н;

0,23),(С;

0,75),(В;

0,02)} {(8,2;

0,23),(8,6;

0,75),(9,4;

0,02)} 8, 23,5 % 14,5 % ВВСНННСВВССВ Ростелеком {(Н;

0,1),(С;

0,3),(В;

0,6)} {(50,8;

0,1),(57,9;

0,3),(65,3;

0,6)} 61, 18,6 % 12,8 % Сибнефть ННСНСВВСВВ {(Н;

0,04),(С;

0,8),(В;

0,16)} {(79;

0,04),(86,5;

0,8),(94;

0,16)} 87, 26,2 % 19,3 % Таким образом, с учетом предпрогнозных результатов полученных в предыдущих главах 2 и 3, можно утверждать, что реализация выбранного в настоящей работе подхода к моделированию представляет собой полную общепринятую последовательность устоявшего стандарта набора этапов моделирования: 1. Анализ объекта моделирования, включая структурирование, с целью формирования перечня параметров и показателей моделей. 2. Выбор адекватного подхода и используемых математических методов моделирования. 3. Численная реализация выбранных математических методов на базе конкретных исходных статистических данных. 4. Верификация, т.е. логический анализ модели и результатов моделирования. 5. Валидация используемых методов, включая оценку погрешности. 6. Доработка и представление окончательного варианта предлагаемого процесса моделирования. Вышеуказанная последовательность шести этапов моделирования реа лизована на временных рядах котировки акций известных российских компаний «РАО ЕЭС», «Ростелеком» и «Сибнефть» и наиболее полно представлена в настоящей диссертационной работе на конкретных исходных данных компании «Сбербанк».

4.4 Выводы к главе 1. Сопоставляя результаты предпрогнозного анализа, полученные в главах 2 и 3, с результатами прогнозирования, представленными в приложении 3 и таблице 4.7, представляется возможным утверждать, что результаты прогнозирования на базе клеточного автомата в достаточной степени согласуются с результатами предпрогнозного анализа, полученными как с помощью фрактального анализа, так и с помощью фазового анализа:

- достаточно значительным погрешностям числового и лингвистического прогноза временных рядов котировки акций компаний «РАО ЕЭС», «Ростелеком» и «Сибнефть» (см.табл.4.7) предшествовали неудовлетворительные предпрогнозные характеристики этих рядов (как исходных так и агрегированных);

- вполне приемлемым (т.е. сопоставимым с погрешностью исходных данных) погрешностям числового и лингвистического прогноза временного ряда котировки акций компании «Сбербанк» предшествовали вполне удовлетворительные прогнозные характеристики агрегированного ВР этой компании. 2. В контексте сложившихся к настоящему времени методов экономико-математического прогнозирования можно утверждать, что реализации собственно прогнозирования, по необходимости должен предшествовать этап предпрогнозного анализа. Имеется основание ожидать, что чем лучше предпрогнозные характеристики, тем лучше результаты прогнозирования. При этом целесообразно реализовать комбинированный подход к построению, визуализации и совместному использованию клеточного автомата, фа зовых портретов и фрактального анализа временных рядов для получения дополнительной прогнозной информации.

Заключение Основные результаты, полученные в ходе диссертационного исследований можно представить в виде следующего перечня: 1. Проведен анализ основных принципов существующих подходов к прогнозированию временных рядов, осуществлено обоснование факта ограниченной применимости классических методов прогнозирования для экономических временных рядов с памятью, составляющих предмет диссертационного исследования. 2. Сформулирована и развита авторская концепция агрегирования экономических временных рядов для получения предпрогнозной информации методами нелинейной динамики и теории хаоса, в частности фрактального анализа временных рядов, базирующейся на выявлении таких фундаментальных характеристик, как глубина памяти, наличие свойства персистентности и наличия (или отсутствия) свойства трендоустойчивости. 3. Выполнен предпрогнозный анализ временных рядов котировки акций на базе фазовых портретов и агрегирования этих рядов, в результате чего выявлена эффективность использования процедуры агрегирования. 4. Осуществлена адаптация вычислительной схемы этапов известной клеточно-автоматной прогнозной модели для прогнозирования временных рядов котировки акций. 5. Для получения дополнительной прогнозной информации реализован комбинированный подход к построению, визуализации и совместному использованию клеточного автомата, фазовых портретов и фрактального анализа временных рядов.

Список использованных источников 1. (EHIPS) ИКИ РАН. Генетические алгоритмы. Режим доступа: [http://www.iki.rssi.ru/ehips/Genetic.htm 09.08.2004]. 2. Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self -organized criticality: An explanation of 1/f – noise //Phys. Rev. Lett.1987. – P.128-140. 3. Billings S.A. Hong X. Dual - orthogonal radial function networks for nonlinear time series prediction // Neural Networks, 1998. 11. P. 479 - 493. 4. Cheland P.B., Scholes I. Soft Systems Methodology in Action. – Chichester, Wiley, 1990. 5. Cootner, P. “Comments on the Variation of Certain Speculative Prices,” in P. Cootner, ed., The Random Character of Stock Market Prices. Cambridge: MIT Press, 1964 a. 6. Fama, E.F. “Portfolio Analysis in a Stable Paretian Market,” Management Science 11, 1965 a. 7. Funobashi M., Moeda A., Morooka Y., Mori K. Fussy and Neural Hybrid Expert Systems: Sinergetic AI. – Alin Japan, IEEE,1995,august. – Pp.33-40. 8. Holden K., Peel D.A., Thomson J.L. Economic forecasting: an introduction. – Press Syndicate of the University of Cambridge, 1990. – 213 p. 9. Holland J. The dynamics of searches directed by Genetic Algorithms.In: LeeY.S. (ed.) Evolution, Learning and Cognition. - Word Scientific,Singapore,1988. 10. Honovar V. Symbolic Artificial Intelligence and Numeric Artificial Neural Networks: Toward a Resolution of Dichotomy. Invited chapter. In : Computational Architectures Integrating Symbolic and Neural Processes. Sun, R. a Bookman, L.(Ed) N.Y.: Kruwer, 1994. – Pp. 351-385. 11. Hurst H.E. The Long-Term Storage Capacity of Reservoirs, Transactions of the American Society of Civil Engineers, 116, 1951. 12. International workshop on combination of genetic algorithmsand neural networks (1992;

Baltimore, Md), June 6, 1992. / COGANN-92;

Ed. L.P. Whitley,J.P. Schoffer. - Los Alamatic (Ca) et al.: lEEEcomputer. soc. press, 1992. - VIII, 262p. 13. Jones A.J. Genetic algorithms and their applications to thedesign of neural networks//Neural computing and applications,v. 1, no. 1, 1993. 14. Karni, E, Decision Making Under Uncertainty: the Case of State – Dependent Preferences /E.Karni. – Cambridge: Harvard U.P., 1985. – 147 p. 15. Mandelbrot, B. “The Variation of Certain Speculative Prices” in P. Cootner, ed., The Random Character of Stock Prices. – Cambridge: MIT Press, 1964. 16. Mandelbrot, B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W.H. Freeman, 1982.

17. Osborne, M.F.M. “ Brownian Motion in the Stock Market,” in P. Cootner, ed., The Random Character of Stock Prices. – Cambridge: MIT Press, 1964. 18. Poggio Т., Girosi F.A. Theory of Networks for approximation and learning //A.I. Memo N 1140., C.B.I.P. Paper № 31. -1994.- 63 p. 19. Robert S. Pindyck, Daniel L. Rubinfeld. Econometric models and economic forecasts. – McGRAW-HILL,INC, 1991. – 596p. 20. Sharpe, W.F. Portfolio Theory and Capital Markets. – New York: MgGraw-Hill, 1970. 21. Тakens F. Detecting strange attractors in turbulence //Dynamical systems and turbulence, eds. D.Rand, L.Young. Berlin: Springer – Verlag. – Р. 366-382. 22. Ulam S. Sets, Numbers and Universes. Cambridge, Mass: MIT Press, 1974. – 258 p. 23. Vaughan, E.J. Fundamentals Risk and Insurance / E.J. Vaughan, C. M. Elliott. 2 nd Ed. – S. Barbara: John Wiley, 1978. – 642 p. 24. Wolfram S. (ed) Theory and Application of Cellular Automata. Singapore /Teaneck, N.J.: World Scientific, 1986. – 878 p. 25. Wolfram S. Cellular automata as models of complexity //Nature. 1984. V.341. – P.419-424. 26. Wolfram Stephen, A New Kind of Science, Wolfram Media, Inc, 2002. – 1280 p. 27. Абовский Н.П. и др. Разработка практического метода нейросетевого прогнозирования. //Труды VIII Всероссийской конференции «Нейрокомпьютеры и их применение » Сб.докл., 2002. - С. 1089 - 1097. 28. Айвазян С.А. Т.2: Основы эконометрики.– М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.– 432 с. 29. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Т.1: Теория вероятностей и прикладная статистика.– М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 656 с. 30. Александров В.В., Алексеев А.И., Горский Н.Д. Анализ данных на ЭВМ (на примере СИТО). – М.: Финансы и статистика, 1990. –192с. 31. Алексеев В.И., Максимов А.В. Использование нейронных сетей с двухмерными слоями для распознавания образов//Труды VIII Всероссийской конференции «Нейрокомпьютеры и их применение »: Сб. докл., 2002. - С. 69-72. 32. Алефельд Г.,Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. – М.: Мир, 1987. – 360 с. 33. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях: – Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2000. – 352 с. 34. Сизов Ю.С. Анализ портфелей ценных бумаг и управление ими в современной России. Режим доступа: [http://mirkin.eufn.ru/articles_1.htm#sizov4 03.2004]. 35. Бабков Г.А., Касаева М.Д., Перепелица В.А. Фрактальный анализ одного временного ряда урожайностей /Материалы V Всероссийского симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии», т.2. – Кисловодск: КИЭП, 2002.– С. 16-17.

36. Барский А.Б. Обучение нейросети методом трассировки //Труды VIII Всероссийской конференции «Нейрокомпьютеры и их применение»: Сб. докл., 2002.-С. 862-898. 37. Батищев Д.И. Генетические алгоритмы решения экстремальных задач. Воронеж: ВГУ, 1994. - 135 с. 38. Белим С.В. Математическое моделирование квантового нейрона//Труды VIII Всероссийской конференции «Нейрокомпьютеры и их применение»: Сб.докл., 2002. - С. 899 -903. 39. Бессонов В.А. Введение в анализ российской макроэкономической динамики переходного периода. – М.: ЦЭМИ РАН, 2003. – 151 с. 40. Билл Вильямс "Новые измерения в биржевой торговле", ИК Аналитика, 2000. – 262 с. 41. Бирман Э.Г. Сравнительный анализ методов прогнозирования //НТИ.Сер.2 – 1986. - №1. – С.11-16. 42. Бодянский Е.В., Кучеренко Е.И. Диагностика и прогнозирование временных рядов многослойной радиально-базисной нейронной сети //Труды VIII Всероссийской конференции «Нейрокомпьютеры и их применение»: Сб. докл., 2002. - С. 69-72. 43. Булашев С.В. Статистика для трейдеров. – М.: Компания «Спутник +», 2003. – 245 с. 44. Бутенко А.А. и др. Обучение нейронной сети при помощи алгоритма фильтра Калмана. //Труды VIII Всероссийской конференции «Нейрокомпьютеры и их применение »: Сб. докл., 2002. - С. 1120 - 1125. 45. Вайну Я. Корреляция рядов динамики. – М.: Статистика, 1977. –119с. 46. Винтизенко И.Г. Детерминированное прогнозирование в экономических системах /Труды III Международной конференции «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве». – Невинномысск: Изд-во ИУБиП. – С.30-37. 47. Виханский О.С. Стратегическое управление: Учебник. – М.: Гардарика, 1998.– 296 с. 48. Волкова В.Н., Денисов А.А. Основы теории систем и системного анализа: Учебник для студентов вузов, обучающихся по направлению «Системный анализ и управление». – СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003. – 520 с. 49. Вороновский Г.К., и др. Генетические алгоритмы, нейронные сети и проблемы виртуальной реальности. - X.: ОСНОВА, 1997. - 112 с. 50. Гаврилов А.В. Гибридные интеллектуальные системы. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. – 162 с. 51. Галушкин А.И. Теория нейронных сетей. Кн. 1: Учеб. Пособие для вузов. М.: ИПРЖР, 2001. - 385 с.

52. Гаскаров Л.В., Голинкевич Т.А. Мозгалевский А.В. Прогнозирование технического состояния и надежности радиоэлектронной аппаратуры. –М.: Сов.Радио, 1974. – 224 с. 53. Исаев С.А. Генетические алгоритмы и машинное обучение. Режим доступа: [http://www.blind.alfint.ru/modules.php?name=News&new_topic=3 29.04.2003]. 54. Головко В.А. Нейронные сети: обучение, организация и применение. Кн.4:Учеб.пособие для вузов/Общая ред. А.И. Галушкина. - М.: ИПРЖР, 2001.256 с. 55. Горелик А.Л., Скрипкин В.А. Методы распознавания: Учеб.пособие. – М.: Высш.шк., 1984. – 208 с. 56. Гусак А.Н. и др. Подход к послойному обучению нейронной сети прямого распространения//Труды VIII Всероссийской конференции «Нейрокомпьютеры и их применение » Сб.докл., 2002. - С. 931 - 933. 57. Данилов Д.А., Жиглявский А.А. (ред.) Главные компоненты временных рядов: метод «Гусеница». – Санкт-Петербург: Санкт-Петербургский государственный университет, 1997. – 308 с. 58. Динамические системы. Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. – М.: Наука, 1985. – Т. 1-4. 59. Долятовский В.А., Касаков А.И., Коханенко И.К. Методы эволюционной и синергетической экономики в управлении. – Отрадная: РГЭУ- ИУБиП-ОГИ, 2001.– 577 с. 60. Дудов А.С., Щадуев М.Г. О новых показателях в прогнозировании экономических процессов //Приложение к журналу «Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Общественные науки. – 2001.-1.– С.12-17. 61. Емельянов С. В., Ларичев О.И. Многокритериальные методы принятия решений. – М: Знание, 1985. – 32 с. 62. Еремин Д.М. Система управления с применением нейронных сeтей//Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. - 2001. -№9 -С. 8-11. 63. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 2000. – 416 с. 64. Жваколюк Ю.В. Внутредневняя торговля на рынке ФОРЕКС. – С-П.: Питер, 2000. – 186 с. 65. Жирабок А.Н. Нечеткие множества и их использование для принятия решений //Соросовский образовательный журнал. – 2001. – Т.7, №2. – С.109–115. 66. Зайченко Ю.П. Исследование операций: Нечеткая оптимизация: Учеб.пособие. – Киев: Выща школа, 1991. – 191 с. 67. Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. – М.: Мир, 1999. – 335 с.

68. Ибираимова Т.Б. Прогнозирование тенденций финансовых рынков с помощью нейронных сетей //Труды VIII Всероссийской конференции «Нейрокомпьютеры и их применение » Сб.докл., 2002 г. - С. 745 - 755. 69. Иванов М.Н. Анализ роста курса акций с применением нейронных сетей. //Труды VIII Всероссийской конференции «Нейрокомпьютеры и их применение» Сб.докл., 2002 г. - С. 756 - 772. 70. Кардаш В.А. Экономика оптимального погодного риска в АПК (теория и методы). – М.: Агропромиздат,1989.–167 с. 71. Касаев О.Б., Савченко В.И. Модели и методы прогнозирования технического состояния космических средств: Метод. пособие. – СПб.: ВИКУ им. А.Ф. Можайского, 1997. – 37 с. 72. Касти Дж. Связность, сложность и катастрофы: Пер. с англ. – М.: Мир, 1982. – 216 с. 73. Кендэлл М., Стюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. – М.: Наука, 1976. – 736 с. 74. Кобелев Н.Б. Практика применения экономико-математических методов и моделей /Учеб.-практ. пособие. – М.: ЗАО «Финстатинформ», 2000. – 246 с. 75. Колби Роберт. Энциклопедия технических индикаторов. – М.: Альпина Бизнес Букс, 2004. – 837с. 76. Кондратьев Н.Д. Большие циклы конъюнктуры //Вопросы конъюнктуры. – 1925. – Т. 1. вып. 1. – С. 28-79. 77. Короновский А.А., Трубецков Д.И. Нелинейная динамика в действии: Как идеи нелинейной динамики проникают в экологию, экономику и социальные науки. – Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2002. 78. Кравченко П.П. Как не проиграть на финансовых рынках. – М.: ДИС, 1998. – 416 с. 79. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 543 с. 80. Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Нестационарные структуры, динамический хаос, клеточные автоматы. В сб. Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. – М.: Наука, 1996. – С. 95-164. 81. Кучин Б.Л., Якушева Е.В. Управление развитием экономических систем: технический прогресс, устойчивость. – М.: Экономика, 1990. – 156 с. 82. Лащев А.Я., Глушич Д.В. Синтез алгоритмов обучения нейронных сетей. //Труды VIII Всероссийской конференции «Нейрокомпьютеры и их применение » Сб.докл., 2002 г. - С. 997 - 999. 83. Лекции по нейронным сетям и генетическим алгоритмам. Режим доступа: [http://infoart.baku.az/inews/30000007.htm 29.08.2002]. 84. Лизелотт С. Валютные операции - основы теории и практика, 1998. – 175 с.

85. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. – М.: Наука, 1987. – 510 с. 86. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику: Учеб. руководство. – М.: Наука, 1990.– 324 с. 87. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Нелинейность. Новые проблемы, новые возможности. В кн. Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. – М.: Наука, 1996. (Серия «Кибернетика: неограниченные возможности и возможные ограничения»).– С.165-190. 88. Малхотра Н.К. Маркетинговые исследования. Практическое руководство. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2002. – 960 с. 89. Миркин Я.М. Рынок ценных бумаг России: воздействие фундаментальных факторов, прогноз и политика развития. – М.: Альпина Паблишер, 2002. – 624 с. 90. Математика. Большой энциклопедический словарь /Гл.ред Ю.В. Прохоров. – М.: Большая Российская энциклопедия, 1998. – 848 с. 91. Мерфи Д. Межрыночный технический анализ. – М.: Диаграмма 2002. – 317 с. 92. Морозов Т.Г., Пикулькин А.В., Тихонов В.Ф. и др. Прогнозирование и планирование в условиях рынка. Учебное пособие для вузов. Под ред. Т.Г. Морозовой, А.В. Пикулина. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. – 318 с. 93. Назаров А.В., Лоскутов А.И. Нейросетевые алгоритмы прогнозирования и оптимизации систем. – СПБ.: Наука и Техника, 2003. – 384 с. 94. Нейман Дж. Теория самовоспроизводящихся автоматов. – М.: Мир, 1971. – 378 с. 95. Нейман Э.Л. Трейдер - Инвестор. – Киев: ВИРА-Р, 2003. – 640 с. 96. Недосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций. СПб: Сезам, 2002. - 181 с. 97. Новоселова Л. А. Правовое регулирование безналичных расчетов в Россиской Федерации. – М.: Де-Юре, 1995. – 515 с.. 98. Овчаренко Н.Ф. Роль и развитие статистики и экономико-математических методов //История науки и техники. – Москва: Научтехлитиздат, 2005. – №4. – С. 64-67. 99. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. – М.: Наука, 1981. – 208 с. 100. Перепелица В.А., Беляков С.С., Овчаренко Н.Ф. Фрактальный анализ временных рядов объемов инвестиций в основной капитал региона //Региональное приложение к журналу «Современные наукоемкие технологии».– 2004.– №2.– С.19-23. 101. Перепелица В.А., Зеляковская В.М. Завгороднева О.В., Зеляковский Е. В., Касаева М.Д. Управление рисками и прогнозирование в АПК «Экономика развития региона: проблемы, поиски, перспективы». Ежегодник Южной секции содействия развития экономической науки. ООН РАН. Вып. 4. – Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2004. – С.350-364. 102. Перепелица В.А., Касаева М.Д., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г. Использование инструментария клеточных автоматов для формирования прогнозных нечетких значений урожайности на базе временного ряда //Известия вузов. СевероКавказский регион. Естественные науки. – 2003. - № 4. – С. 5-11. 103. Перепелица В.А., Попова Е.В. Математические модели и методы оценки рисков экономических, социальных и аграрных процессов.- Ростов н/Д.: Изд-во Рост. ун-та, 2002. – 208 с. 104. Перепелица В.А., Попова Е.В. Математическое моделирование экономических и социально- экологических рисков. – Ростов н/Д.: Изд-во Рост. ун-та, 2001. – 126 с. 105. Перепелица В.А., Попова Е.В., Янгишиева А.М., Салпагаров А.Д. Использование методов нелинейной динамики для предпрогнозного анализа объемов стока горных рек //Экономический вестник научных центров ЧЭС. – 2005.– №1.– С.73-84. 106. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г., Касаева М.Д. Прогнозная модель урожайности на базе клеточных автоматов и нечетких множеств /Труды III Международной конференции «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве», г. Невинномысск, 30 мая 2003 г., Невинномысск: ИУБиП, 2003. – С. 163167. 107. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Узденов Р.Х. Квазициклы временных рядов объемов жилищного строительства. Труды III международной конференции «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве».– Невинномысск: ИУБП, 2003. – С.159-163. 108. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Узденов Р.Х., Такушинов А.Р. Различие фрактальных свойств временных рядов с наличием и отсутствием долговременной памяти. Там же, с.184-188. 109. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: Применение теории хаоса в инвестициях и экономике. М.: Интернет-трейдинг, 2004. – 304 с. 110. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. – М.: Мир, 2000. – 333 с. 111. Полетаев А.В., Савельева И.М. Циклы Кондратьева и развитие капитализма (опыт междисциплинарного исследования). – М.: Наука, 1993. – 249 с. 112. Пригожин И., Стингерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой. – М.: Прогресс, 1986.– 278 с. 113. Прикладные нечеткие системы: Пер. с япон. /К.Асаи, Д.Ватада, С.Иваи и др.;

под редакцией Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугэно. – М.: Мир, 1993. – 368 с.

114. Присняков В.Ф. Нестационарная макроэкономика: – Учебное пособие. – Донецк: Дон- НУ. – 2000. – 209 с. 115. Прогнозирование и планирование в условиях рынка: Учеб. пособие для студентов вузов /Под ред. Т.Г. Морозовой, А.В. Пикулькина. – М.: ЮНИТИ-Дана, 1999. – 318 с. 116. Прогностика. Термины и определения /Комитет научно-технической терминологии. Выпуск 109. – М.: Наука, 1990. – 56 с. 117. Пятецкий В.Е., Бурдо А.И. Имитационное моделирование процесса создания обучающихся систем. - В сб.: Имитационное моделирование производственных процессов. Под. ред. Мироносецкого Н.Б., - Новосибирск.1979. 118. Рубцов Б.Б. Мировые рынки ценных бумаг. – М.: Экзамен, 2002. – 448 с. 119. Растригин Л. А., Пономарев Ю.П. Экстраполяционные методы проектирования и управления. – М.: Машиностроение, 1986. – 120 с. 120. Розенблат Ф. Принципы нейродинамики: Персептрон и теория механизмов мозга. Пер. с англ. -М.: Мир, 1965. 121. Сафонова Т.Ю. Биржевая торговля финансовыми инструментами, 2000. – 542 с. 122. Сергеева Л.Н. Клеточные сети с опосредованным взаимодействием в микроэкономическом моделировании //Искусственный интеллект, №2 (специальный выпуск). – 1999. – С. 398-406. 123. Сергеева Л.Н. Моделирование поведения экономических систем методами нелинейной динамики (теории хаоса). – Запорожье: ЗГУ, 2002. – 227 с. 124. Сигел Э. Практическая бизнес-статистика.– М.: Издательский дом «Вильямс», 2002.– 1056 с. 125. Сигеру О., и др. Нейроуправление и его приложения. Пер. с англ. под peд. А.И. Галушкина. - М.: ИПРЖР, 2001. – 321 с. 126. Сорос Дж. Алхимия финансов, 2001. – 415 с. 127. Сплайн-функции в экономико-статистических исследованиях. – Новосибирск: Наука, 1987. – 206 с. 128. Таран В.А. Играть на бирже просто?! СПб.:

- Питер, 2005. – 256с. 129. Тихонов Э.Е. Совершенствование методов прогнозирования с использованием нейронных сетей и системы остаточных классов. Дисс. к.т.н. Ставрополь: СГУ, 2004. 130. Томпсон Дж.М. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике: Пер. с англ. – М.: Мир, 1985. - 254 с. 131. Тутубалин В.Н. Статистическая обработка рядов наблюдений. М.: – Знание, 1973. – 64 с.

132. Ульяницкая Н.М. Моделирование процессов управления развития производства. В сб. Управление развитием производственных систем. – Ростов-на-Дону: РГУПС, 1999. – С.104-169. 133. Управление риском: Риск. Устойчивое развитие. Синергетика. – М.: Наука, 2001. – 431 с. 134. Федер Е. Фракталы.– М.: Мир, 1991.– 260 с. 135. Фёрстер Э., Рёнц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа /Пер. с нем. – М.: Финансы и статистика, 1983. – 302 с. 136. Фишберн П.С. Теория полезности для принятия решения. – М.: Наука, 1978. – 298 с. 137. Фролов Ю.В. Интеллектуальные системы и управленческие решения. – М.: МГПУ, 2000. – 294 с. 138. Хубаев Г.Н. Качество подготовки специалистов: модели и алгоритмы анализа и прогнозирования /Материалы IV международной научно-практической конференции. Ростов-на-Дону, 2000.– С. 180-186. 139. Широков Р.В. Нейросетевые модели систем автоматического регулирования промышленных объектов. Дисс. к.т.н., Ставрополь: СГУ, 2003. 140. Швагер Д. Технический анализ. Полный курс. – М.: Альпина Бизнес Букс, 2005. – 806 с. 141. Шеннон Р.Ю. Имитационное моделирование систем – наука и искусство /Под ред.Е.К. Масловского. – М.: Мир, 1978. – 310 с. 142. Шибхузов З.М. Конструктивный TOWER алгоритм для обучения нейронных сетей из ТП – нейронов //Труды VIII Всероссийской конференции «Нейрокомпьютеры и их применение » Сб.докл., 2002. - С. 1066 - 1072. 143. Шарп У. Ф., Александер Г., Бэйли Д. В. Инвестиции. – М.: ИНФРА-М, 2004. – 1028 с. 144. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. – Ижевск: НИЦ « Регулярная и хаотичная динамика», 2001.– 528 с. 145. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение.– М.: Мир, 1988.– 240 с. 146. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др. – М.: ЮНИТИ, 2000. – 391 с. 147. Яновский Л.П. Принципы, методология и научное обоснование урожая по технологии «Зонт». – Воронеж: ВГАУ, 2000. – 379 с.

Приложение Множество всех l - конфигураций, l = 4,10, в ЛВР «Сбербанка» М НННС ННСН ННСС ННСВ НСНН НСНС НССН НССВ НСВС НСВВ НВСС СННН СННС СНСН СНСС СНСВ ССНН ССНС ССВС ССВВ СВНВ СВСН СВСС СВСВ СВВС ВНВС ВСНН ВСНС ВССН ВССВ ВСВН ВСВС ВСВВ ВВСН Итого М НННСН ННСНС ННССВ ННСВС НСННС НСНСН НСНСС НССНС НССВС НССВВ НСВСН НСВВС НВССН СНННС СННСН СННСС СННСВ СНСНН СНССН СНССВ СНСВВ ССННН ССНСВ ССВСС ССВСВ ССВВС СВНВС СВСНН СВСНС СВССВ СВСВН СВСВС СВСВВ СВВСН ВНВСС ВСННС ВСНСН ВСНСС ВССНН ВССВВ ВСВНВ ВСВСН ВСВВС ВВСНН ВВСНС Итого М НННСНС ННСНСН ННСНСС ННССВС ННССВВ ННСВСН НСННСС НСННСВ НСНСНН НСНССВ НССНСВ НССВСС НССВСВ НССВВС НСВСНС НСВВСН НВССНН СНННСН СННСНС СННССВ СННСВС СНСННС СНССНС СНССВС СНСВВС ССНННС ССНСВВ ССВССВ ССВСВН ССВСВС ССВСВВ ССВВСН СВНВСС СВСННС СВСНСН СВСНСС СВССВВ СВСВНВ СВСВСН СВСВВС СВВСНН СВВСНС ВНВССН ВСННСН ВСННСС ВСНСНН ВСНССВ ВССННН ВССВВС ВСВНВС ВСВСНН ВСВСНС ВСВВСН ВВСННС ВВСНСС Итого М НННСНСС ННСНСНН ННСНССВ ННССВСС ННССВВС ННСВСНС НСННССВ НСННСВС НСНСННС НСНССВС НССНСВВ НССВССВ НССВСВН НССВСВС НССВСВВ НССВВСН НСВСНСС НСВВСНН НВССННН СНННСНС СННСНСН СННССВС СННССВВ СННСВСН СНСННСС СНСННСВ СНССНСВ СНССВСВ СНСВВСН ССНННСН ССНСВВС ССВССВВ ССВСВНВ ССВСВСН ССВСВВС ССВВСНН ССВВСНС СВНВССН СВСННСС СВСНСНН СВСНССВ СВССВВС СВСВНВС СВСВСНН СВСВСНС СВСВВСН СВВСННС СВВСНСС ВНВССНН ВСННСНС ВСННССВ ВСНСННС ВСНССНС ВСНССВС ВССНННС ВССВВСН ВСВНВСС ВСВСННС ВСВСНСН ВСВВСНС ВВСННСН ВВСННСС ВВСНССН ВВСНССВ Итого М НННСНССВ ННСНСННС ННСНССВС ННССВССВ ННССВВСН ННСВСНСС НСННССВВ НСННСВСН НСНСННСС НСНССВСВ НССНСВВС НССВССВВ НССВСВНВ НССВСВСН НССВСВВС НССВВСНС НСВСНССВ НСВВСННС НВССНННС СНННСНСС СННСНСНН СННССВСС СННССВВС СННСВСНС СНСННССВ СНСННСВС СНССНСВВ СНССВСВС СНССВСВВ СНСВВСНН ССНННСНС ССНСВВСН ССВССВВС ССВСВНВС ССВСВСНН ССВСВСНС ССВСВВСН ССВВСННС ССВВСНСС СВНВССНН СВСННССВ СВСНСННС СВСНССВС СВССВВСН СВСВНВСС СВСВСННС СВСВСНСН СВСВВСНС СВВСННСН СВВСННСС СВВСНССН СВВСНССВ ВНВССННН ВСННСНСН ВСННССВС ВСНСННСВ ВСНССНСВ ВСНССВСВ ВССНННСН ВССВВСНН ВСВНВССН ВСВСННСС ВСВСНСНН ВСВВСНСС ВВСННСНС ВВСНССНС ВВСНССВС Итого М НННСНССВС ННСНСННСС ННСНССВСВ ННССВССВВ ННССВВСНС ННСВСНССВ НСННССВВС НСННСВСНС НСНСННССВ НСНССВСВС НССНСВВСН НССВССВВС НССВСВНВС НССВСВСНН НССВСВСНС НССВСВВСН НССВВСНСС НСВСНССВС НСВВСННСН НВССНННСН СНННСНССВ СННСНСННС СННССВССВ СННССВВСН СННСВСНСС СНСННССВВ СНСННСВСН СНССНСВВС СНССВСВСН СНССВСВВС СНСВВСННС ССНННСНСС ССНСВВСНН ССВССВВСН ССВСВНВСС ССВСВСННС ССВСВСНСН ССВСВВСНС ССВВСННСС ССВВСНССВ СВНВССННН СВСННССВС СВСНСННСВ СВСНССВСВ СВССВВСНН СВСВНВССН СВСВСННСС СВСВСНСНН СВСВВСНСС СВВСННСНС СВВСНССНС СВВСНССВС ВНВССНННС ВСННСНСНН ВСННССВСС ВСНСННСВС ВСНССНСВВ ВСНССВСВС ВСНССВСВВ ВССНННСНС ВССВВСННС ВСВНВССНН ВСВСННССВ ВСВСНСННС ВСВВСНССН ВВСННСНСН ВВСНССНСВ ВВСНССВСВ Итого М НННСНССВСВ ННСНСННССВ ННСНССВСВС ННССВССВВС ННССВВСНСС ННСВСНССВС НСННССВВСН НСННСВСНСС НСНСННССВВ НСНССВСВСН НССНСВВСНН НССВССВВСН НССВСВНВСС НССВСВСННС НССВСВСНСН НССВСВВСНС НССВВСНССВ НСВСНССВСВ НСВВСННСНС НВССНННСНС СНННСНССВС СННСНСННСС СННССВССВВ СННССВВСНС СННСВСНССВ СНСННССВВС СНСННСВСНС СНССНСВВСН СНССВСВСНН СНССВСВСНС СНССВСВВСН СНСВВСННСН ССНННСНССВ ССНСВВСННС ССВССВВСНН ССВСВНВССН ССВСВСННСС ССВСВСНСНН ССВСВВСНСС ССВВСНССВС СВНВССНННС СВСННССВСС СВСНСННСВС СВСНССВСВВ СВССВВСННС СВСВНВССНН СВСВСННССВ СВСВСНСННС СВСВВСНССН СВВСННСНСН СВВСНССНСВ СВВСНССВСВ ВНВССНННСН ВСННСНСННС ВСННССВССВ ВСНСННСВСН ВСНССНСВВС ВСНССВСВСН ВСНССВСВВС ВССНННСНСС ВССВВСННСС ВСВНВССННН ВСВСННССВС ВСВСНСННСВ ВСВВСНССНС ВВСННСНСНН ВВСНССНСВВ ВВСНССВСВС Итого Приложение Частотный анализ памяти клеточного автомата, для агрегированного ВР двухнедельной котировки акций «Сбербанк», представленный комбинаторно Частота переходов Частота переходов Переход в Н,С и В Переход в Н,С и В Всего переходов Всего переходов Глубина конфигурации Глубина конфигурации Переход из l - конфигурации Часто сть, w 6 0,318 0,636 0,045 0,351 0,270 0,378 0,056 0,722 0,222 0,143 0,857 0,286 0,571 0,143 1,000 0,462 0,538 0,200 0,800 0,077 0,615 0,308 1,000 0,538 0,154 0,308 1,000 1,000 0,333 0,500 0,167 0,500 0,500 0,125 0,875 0,500 0,500 1,000 0,167 0, Переход из l -конфигурации Часто сть, w 12 0,125 0,500 1,000 1,000 0,429 0,571 0,500 0,500 0,250 0,500 0,250 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,500 0,500 1,000 0,833 0,167 1,000 1,000 1,000 1,000 0,200 0,600 0,200 1,000 0,250 0,750 1,000 1,000 1,000 0,200 0,800 1,000 1,000 0, 1 Н 1 С В НН НС НВ СН 2 СС СВ ВН ВС ВВ ННН ННС НСН НСС 3 НСВ НВС СНН 3 Н С В Н С В Н С В Н С Н С В С Н С Н В Н С В В Н С В С С Н С В Н С Н В С В С Н С 4 7 14 1 13 10 14 1 13 4 1 6 4 8 2 1 6 7 2 8 1 8 4 1 7 2 4 4 1 2 3 1 2 2 1 7 1 1 1 1 5 7 СВС СВВ ВНВ ВСН ВСС ВСВ ВВС НННС ННСН ННСС ННСВ НСНН НСНС НССН НССВ НСВС НСВВ НВСС СННН СННС СННС СНСН СНСС СНСВ ССНН ССНС 4 ССВС ССВВ СВНВ СВСН 18 7 14 1 13 10 13 1 13 4 1 6 4 8 2 1 9 С В С С Н С Н В Н С В Н Н С В С С Н С С С В Н С Н С Н С В Н Н В В Н В С В С С Н 10 1 4 4 1 3 4 1 1 1 2 1 4 1 2 3 1 2 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 3 1 1 1 1 4 2 1 11 8 4 1 7 2 4 4 1 2 3 1 2 2 1 6 1 1 1 1 5 2 4 1 1 1 5 2 1 СНС ССН ССВ СВН СВС ВСНС ВССН ВССВ ВСВН ВСВС ВСВВ ВВСН НННСН ННСНС ННСВС НСННС НСНСН НСНСС НССНС НССВС НССВВ НСВСН НСВВС НВССН СНННС СННСН СННСС СННСВ СНСНН СНССН СНССВ СНСВВ ССННН ССНСВ ССВСС ССВСВ ССВВС СВНВС СВСНН СВСНС СВССВ СВСВН СВСВС СВСВВ Н С В Н С С В В Н С Н В В Н С Н С С Н Н С В Н В В С В С С Н Н Н С В С С С С С С В В Н С В Н С С Н С В В Н С 2 4 1 1 1 5 2 1 3 3 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 3 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 7 2 7 1 4 1 1 1 2 1 4 1 2 1 2 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 3 1 1 1 1 4 2 1 1 2 1 1 2 0,286 0,571 0,143 0,500 0,500 0,714 0,286 1,000 0,375 0,750 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,500 0,500 1,000 0,500 1,000 0,500 0,500 1,000 1,000 1,000 0,200 0,800 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,250 0,500 0,250 1,000 1,000 1,000 0,500 0,500 1,000 1,000 1,000 1, СВСС СВСВ СВВС ВНВС ВСНН ВСНС ВССНН ВССВВ ВСВНВ 5 ВСВСН ВСВВС ВВСНН ВВСНС НННСНС ННСНСН ННСНСС ННССВС ННССВВ ННСВСН НСННСС НСННСВ НСНСНН НСНССВ НССНСВ НССВСС НССВСВ НССВВС НСВСНС НСВВСН НВССНН СНННСН СННСНС СННССВ СННСВС СНСННС СНСННС СНССНС СНССВС СНСВВС ССНННС ССНСВВ ССВССВ ССВСВН ССВСВС ССВСВВ ССВВСН С В Н С В Н С С Н Н С С Н С Н С С С Н В С С С В С С С В В Н С В Н С Н Н С Н С В Н С В В В Н Н С В В Н С Н С 2 1 1 2 1 4 1 3 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 2 1 1 1 4 4 1 3 4 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 3 1 1 1 1 1 2 1 0,667 1,000 0,250 0,500 0,250 1,000 1,000 1,000 0,250 1,000 1,000 1,000 0,500 0,500 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,250 0,500 0,250 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,500 0,500 1,000 0,500 0,500 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,500 0, СВВСН ВНВСС ВСННС ВСНСН 5 ВСНСС СВСВВС СВВСНН СВВСНС ВНВССН ВСННСН ВСННСС ВСНСНН ВСНССН ВСНССВ ВССННН ВССВВС ВСВНВС ВСВСНН ВСВСНС ВСВВСН ВВСННС ВВСНСС НННСНСС ННСНСНН ННСНССВ ННССВСС ННССВВС ННСВСНС НСННССВ НСННСВС НСНСННС НСНССВС НССНСВВ НССВССВ НССВСВН НССВСВС НССВСВВ НССВВСН НСВСНСС НСВВСНН НВССННН СНННСНС СННСНСН СННССВС СННССВВ СННСВСН СНСННСС СНСННСВ СНССНСВ Н С Н Н С Н Н В Н С С Н С В С С С С Н С С Н С Н С Н В В С С В Н С В Н С В С В В Н С С В С С С Н С С С В С В 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 3 1 3 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,500 0,500 1,000 0,333 0,667 1,000 0,333 0,667 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,500 0,500 0,500 0,500 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1, СВНВСС СВСННС СВСНСН СВСНСС СВССВВ СВСВНВ СВСВСН ССВСВСН ССВСВВС ССВВСНН ССВВСНС СВНВССН СВСННСС СВСНСНН СВСНССВ СВССВВС СВСВНВС СВСВСНН СВСВСНС СВСВВСН 7 СВВСННС СВВСНСС ВНВССНН ВСННСНС ВСННССВ ВСНСННС ВСНССНС ВСНССВС ВССНННС ВССВВСН ВСВНВСС ВСВСННС ВСВСНСН ВСВВСНС ВВСННСН ВВСННСС ВВСНССН ВВСНССВ НННСНССВ ННСНСННС ННСНССВС ННССВССВ ННССВВСН ННСВСНСС НСННССВВ НСННСВСН НСНСННСС НСНССВСВ НССНСВВС НССВССВВ НССВСВНВ Н С Н В С С Н С С Н С С Н В С С Н С С Н С Н С Н В Н Н С В В В Н Н Н С Н С С В С С С С В В С В С С В С Н С С 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,500 0,500 0,500 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,500 0,500 0,500 0,500 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1, СНССВСВ СНСВВСН ССНННСН ССНСВВС ССВССВВ ССВСВНВ СНННСНСС СННСНСНН СННССВСС СННССВВС СННСВСНС СНСННССВ СНСННСВС СНССНСВВ СНССВСВС СНССВСВВ СНСВВСНН ССНННСНС ССНСВВСН ССВССВВС ССВСВНВС ССВСВСНН ССВСВСНС ССВСВВСН ССВВСННС ССВВСНСС СВНВССНН СВСННССВ СВСНСННС СВСНССВС СВССВВСН СВСВНВСС СВСВСННС СВСВСНСН СВСВВСНС СВВСННСН СВВСННСС СВВСНССН СВВСНССВ ВНВССННН ВСННСНСН ВСННССВС ВСНСННСВ ВСНССНСВ ВСНССВСВ ВССНННСН ВССВВСНН ВСВНВССН ВСВСННСС ВСВСНСНН ВСВВСНСС ВВСННСНС С В Н С Н С С В С В Н С В Н С Н С С С Н Н С С Н С С В Н С В В Н Н С Н С С В С С С Н С С В С В С С Н В С Н Н 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0,667 0,333 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,500 0,500 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1, НССВСВСН НССВСВВС НССВВСНС НСВСНССВ НСВВСННС НВССНННС ННССВВСНС ННСВСНССВ НСННССВВС НСННСВСНС НСНСННССВ НСНССВСВС НССНСВВСН НССВССВВС НССВСВНВС НССВСВСНН НССВСВСНС НССВСВВСН НССВВСНСС НСВСНССВС НСВВСННСН НВССНННСН СНННСНССВ СННСНСННС СННССВССВ СННССВВСН СННСВСНСС СНСННССВВ СНСННСВСН СНССНСВВС СНССВСВСН СНССВСВВС СНСВВСННС ССНННСНСС ССНСВВСНН ССВССВВСН ССВСВНВСС ССВСВСННС ССВСВСНСН ССВСВВСНС ССВВСННСС ССВВСНССВ СВНВССННН СВСННССВС СВСНСННСВ СВСНССВСВ СВССВВСНН СВСВНВССН СВСВСННСС СВСВСНСНН СВСВВСНСС СВВСННСНС Н С Н С С Н Н С С Н С В Н Н Н С С Н С В В С С С С В С В С С Н Н С Н Н В С Н Н С Н С В С С С С В С Н В С Н Н 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,500 0,500 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,500 0,500 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1, ВВСНССНС ВВСНССВС НННСНССВС ННСНСННСС ННСНССВСВ ННССВССВВ ВСНССНСВВ ВСНССВСВС ВСНССВСВВ ВССНННСНС ВССВВСННС ВСВНВССНН ВСВСННССВ ВСВСНСННС ВСВВСНССН ВВСННСНСН ВВСНССНСВ ВВСНССВСВ Н Н Н С Н С С В СВ Н Н С Н С Н Н С СВ Н Н С Н С С В С ВС Н Н С С В С С В ВС Н Н С С В В С Н СС Н Н С В С Н С С ВС Н С Н Н С С В В СН Н С Н Н С В С Н СС Н С Н С Н Н С С ВВ Н С Н С С В С В СН Н С С Н С В В С НН Н С С В С С В В СН Н С С В С В Н В СС Н С С В С В С Н НС Н С С В С В С Н СН Н С С В С В В С НС Н С С В В С Н С СВ Н С В С Н С С В СВ Н С В В С Н Н С НС Н В С С Н Н Н С НС С Н Н Н С Н С С ВС В В В В С С С Н С С С Н С В С Н В С С В Н Н В В С В С С С Н Н С Н С С В Н С В 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1, СВВСНССНС СВВСНССВС ВНВССНННС ВСННСНСНН ВСННССВСС ВСНСННСВС С Н Н С Н С Н Н СС С Н Н С С В С С ВВ С Н Н С С В В С НС С Н Н С В С Н С СВ С Н С Н Н С С В ВС С Н С Н Н С В С НС С Н С С Н С В В СН С В С Н Н С С В СС С В С Н С Н Н С ВС С В С Н С С В С ВВ С В С С В В С Н НС С В С В Н В С С НН С В С В С Н Н С СВ С В С В С Н С Н НС С В С В В С Н С СН С В В С Н Н С Н СН С В В С Н С С Н СВ С В В С Н С С В СВ В Н В С С Н Н Н СН В С Н Н С Н С Н НС В С Н Н С С В С СВ В С Н С Н Н С В СН В С Н С С Н С В ВС В С Н С С В С В СН В С Н С С В С В ВС В С С Н Н Н С Н СС В С С В В С Н Н СС В С В Н В С С Н НН В С В С Н Н С С ВС В С В С Н С Н Н СВ В С В В С Н С С НС В В С Н Н С Н С НН В В С Н С С Н С ВВ В В С Н С С В С ВС В В Н С В Н В С С С Н С Н В Н С С Н С В С Н В С С С В С Н Н Н В В С С С В С С Н 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1, Приложение Результат реализации процесса валидации прогнозной модели для отрезка ВР котировки акций «Сбербанк» u i, i = 67, Переходы l- конфигурации в Н,С,В Исходные термы Прогнозируемый полумесяц lконфигураци я U = {(Н;

µН ), (C;

µC ), (В, µВ )} Прогнозное нечеткое терм-множество Исходны е числовые данные, тыс.руб 6 Численны й прогноз, тыс.руб Погрешно сть числовая, % Погрешно сть лингвисти ческая 1 14.03. 7 14236, 8 14, Н ВВСННСС С В Н ССВВСННС С В Н ССВВСНН С В Н ВССВВСН С В Н ВССВВС С В Н ВССВВ С В Н ВССВ С В Н СВСС С В Н ННССВС С В Н ВСННССВ С В Н СВСННСС С В Н СВСННС Итого С В Средняя погрешность 6,27% 8,3% U={(Н;

0,3), (С;

0,6), (В;

0,1)} С 12650 12004,98 5, U={(Н;

0,09), (С;

0,04), (В;

0,87)} В В 28.02. U={(Н;

0,4), (С;

0,5), (В;

0,1)} С 13066, 7, С 14.02. U={(Н;

0,09), (С;

0,9), (В;

0,007)} С 13510, 1, С 31.01. U={(Н;

0,5), (С;

0,4), (В;

0,1} Н 12834, 6, Н 17.01. U={(Н;

0,8), (С;

0,08), (В;

0,1)} Н 11547, 4, Н 03.01. U={(Н;

0,48),(С;

0,49), (В;

0,03)} С 13365, 2, С 20.12. U={(Н;

0,1), (С;

0,5), (В;

0,4)} В 13860, 3, С 06.12. U={(Н;

0,3), (С;

0,1), (В;

0,6)} В 12919, 13, В 22.11. U={(Н;

0,2),(С;

0,5),(В;

0,3)} С 12928, 4, С 08.11. U={(Н;

0,1), (С;

0,7), (В;

0,2} С 12761, 3, С 25.10. U={(Н;

0,1), (С;

0,04), (В;

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.