WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |

«ont С.Г.Гиндикин РАССКАЗЫ О ФИЗИКАХ И МАТЕМАТИКАХ Издание третье, расширенное МЦНМО, НМУ 2001 ББК 22.1 Г49 Г49 С. Г. Гиндикин. Рассказы о физиках и математиках. — 3-е изд., расширенное. М.: МЦНМО, ...»

-- [ Страница 3 ] --

С этим обстоятельством связан исторический курьез. Математики с незапамятных времен занимались тригонометрическими функциями, но синусоида впервые появилась лишь в XVII веке, причем не как гра фик синуса, а как... «спутница циклоиды» (отчасти это можно объ яснить тем, что долго не рассматривали функций неалгебраического происхождения).

«Спутница циклоиды» разбивает ее на три части (рис. 7а на 128 Тайны циклоиды с. 127): фигуру под синусоидой и две симметричные фигуры, на званные «лепестками Роберваля». В силу свойства 2 площадь фигуры под синусоидой равна 2: эта фигура равносоставлена с прямоугольником такой площади (рис. 7б). Рассмотрим один «лепесток». Горизонталь на высоте y = 1 - cos t пересекает его по отрезку AtEt длины | sin t| (см. рис. 3). Переместив эти го ризонтальные отрезки (при всевозможных t) вдоль своих гори зонталей так, чтобы их левые концы попали на одну вертикаль, мы получим полукруг единичного круга (рис. 8). В силу прин ципа Кавальери площадь «лепестка» равна площади этого по лукруга, т. е. /2. Значит, площадь фигуры под аркой цикло иды с r = 1 равна 2 + 2(/2) = 3 (и следовательно, 3r при r = 1).

Вопрос о вычислении площа дей сегментов циклоиды являет ся менее элементарным. Гюйгенс не без гордости писал: «Я первый промерил площадь той части цик лоиды, которая получится, если отсчитать от вершины 1/4 часть оси и провести параллель основа Рис. 8.

нию. Эта часть составляет поло вину площади правильного шестиугольника, вписанного в обра зующий круг».

Таутохрона. Галилей утверждал, что период колебаний математи ческого маятника определяется только его длиной l и не зависит от угла его максимального размаха. Гюйгенс, выяснив, что это утверждение справедливо лишь для малых углов, решил по строить маятник, период колебаний которого и в самом деле не зависел бы от (такой маятник называется таутохронным или изохронным).

Построение изохронного маятника Гюйгенс разделил на два этапа:

1) нахождение кривой, по которой должен двигаться конец ма ятника (таутохроны);

2) нахождение подвески маятника, обеспечивающей движение его конца по таутохроне.

Циклоида и изохронный маятник Рис. 9.

Мы начнем с поисков таутохроны (существование которой за ранее не очевидно).

Конец математического маятника движется по дуге окружно сти точно так же, как тяжелая материальная точка — по жело бу, контур которого совпадает с этой окружностью. Если прене бречь силами трения и сопротивления воздуха, то тяжелая точка, пущенная по круговому желобу без начальной скорости с высо ты H, пройдя нижнее положение, снова поднимется на высоту H и далее будет совершать периодические колебания, поднимаясь то в одну, то в другую сторону на высоту H. Неверное утвер ждение Галилея состояло в том, что при этом период колеба ний T (H) не зависит от H. Наша задача — определить, какой формы должен быть желоб, чтобы то, что утверждал Галилей, было верным.

Благодаря счастливой случайности (они в истории науки иг рают не последнюю роль), Гюйгенс изучал циклоиду (в связи с конкурсом Паскаля, 1658 год) в то самое время, когда искал изохронный маятник. Именно циклоида и оказалась таутохроной!

Вероятно, сам Гюйгенс этого заранее не ожидал (так можно по нимать его слова: «я обнаружил пригодность ее (циклоиды) для измерения времени, исследуя ее по строгим правилам науки и не подозревая ее применимости»).

Рассмотрим на желобе, сделанном по форме перевернутой циклоиды (рис. 9;

r — радиус производящего круга) тяжелую материальную точку;

пусть в начальный момент времени она находится на высоте H (в точке C0 на рисунке). Попытаемся найти время, через которое она окажется в нижней точке B (вершине циклоиды). Тогда через 2 она будет в точке C2 цик лоиды, симметричной относительно вертикальной оси точке C0, через время T = 4 (полный период) вернется в точку C0. Нас интересует зависимость от H.

130 Тайны циклоиды Пусть в момент времени t тяжелая точка занимает положе ние Ct на высоте h = h(t). Вектор скорости (t) в момент времени t направлен по касательной к циклоиде в точке Ct;

его длина |(t)| (величина скорости) определяется из закона сохранения энергии:

m|(t)| = mg(H - h(t)), т. е.

|(t)| = 2g(H - h(t)).

Посмотрим, как движется проекция нашей точки на верти каль C0B. В момент времени t эта проекция занимает положе ние Ct, а в момент времени она окажется в точке B (см. рис. 9), пройдя отрезок C0B длины H. Скорость w(t) в момент време ни t этого прямолинейного движения (в точке Ct на рис. 9) — это проекция вектора скорости (t) на вертикаль: w(t) = |(t)| cos, где — угол между кусательной к циклоиде и вертикалью. По скольку (см. (9)) cos = (2r - y)/2r и y = 2r - h(t), имеем cos = h(t)/2r, а значит g w(t) = · h(t)(H - h(t)).

r Итак, закон изменения скорости у нашего прямолинейного движения довольно сложный. Но Гюйгенс заметил (решаю щая догадка!), что при равномерном вращательном движении по окружности диаметра H вертикальная компонента скорости имеет тот же вид, что и w(t). Действительно, построим на отрез ке C0B как на диаметре полуокружность, и пусть Ct — точка этой полуокружности, лежащая на высоте h(t). Длина отрезка CtCt равна h(t)(H - h(t)).

Из подобия прямоугольных треугольников, заштрихованных на рис. 9 (их стороны взаимно перпендикулярны: OCt — ра диус, в точке Ct проведены касательная к полуокружности и вертикаль), следует, что вектор длины (H/2) g/r, касательный к окружности в точке Ct, имеет вертикальную проекцию дли ны w(t). Значит, когда наша точка C движется по циклоиде, соответствующая ей точка C равномерно вращается с угловой Циклоида и изохронный маятник скоростью g/r радиан в секунду (не зависящей от H!). За вре мя = r/g точка C пройдет полуокружность C0B, за то же время точка C пройдет отрезок C0B, а сама точка C — ду гу циклоиды C0B. Итак, мы не только доказали таутохронность циклоиды (т. е. что не зависит от H), но и нашли полный период колебаний:

r T = 4 = 4. (10) g Фактически доказано, что движение тяжелой материальной точки по циклоидальному желобу можно представить в виде суммы равно мерного вращательного движения с угловой скоростью, не зависящей от того, с какой высоты H пущена точка, и некоторого (вообще говоря неравномерного) поступательного движения. При H = 2r это легко вы вести из кинематического определения циклоиды и соотношения (9) на с. 125.

Формула (10) настолько напоминает гипотетическую форму лу Галилея для периода математического маятника (T = 2 l/g, где l — длина), что было естественно попытаться использовать (10) для обоснования последней. И в самом деле, с помощью (10) Гюй генс получил первое строгое доказательство формулы для перио да колебаний математического маятника при малых углах разма ха. Он заметил, что при малых углах круговой желоб почти не отличатеся от циклоидального, и оставалось только понять, при каком соотношении между длиной l математического маятника и параметром l циклоиды это отличие наименьшее. Оказалось, что при l = 4r (это не очевидный факт;

мы еще к нему вернемся).

Подставляя в (10) r = l/4, получаем знаменитую формулу для периода математического маятника: T = 2 l/g (при малых ).

Циклоидальный маятник. Создавая первую модель часов, Гюй генс надеялся скомпенсировать отклонение простого (математи ческого) маятника от изохронности, уменьшая в процессе откло нения его длину. Длину маятника можно регулировать, устано вив «щеки» (рис. 10а), на которые в процессе отклонения будет наматываться нить подвески. Попытки экспериментально подо брать нужную зависимость длины маятника от угла отклонения не дали успеха, и Гюйгенс в следующих своих конструкциях ча сов устанавливает вместо щек ограничители размаха. Когда же 132 Тайны циклоиды а) б) Рис. 10.

выяснилось, что циклоида — таутохрона, стало понятно, что фор ма щек должна быть такой, чтобы конец маятника двигался по циклоиде.

Гюйгенс искал форму щек, рассуждая (в несколько вольном пересказе) примерно так. Пусть имеется препятствие, ограничен ное кривой L, в некоторой точке O которого закреплена нерастя жимая нить длины l (рис. 10б). Натянутую нить мы наматываем на препятствие, наблюдая за кривой M, которую описывает неза крепленный конец нити. Гюйгенс называл кривую M «разверт кой» кривой L;

теперь M называют эвольвентой кривой L, а L — зволютой кривой M (с одной эволютой связывается много эволь вент, отвечающих разным длинам l). Нам нужно найти эволюту циклоиды.

Кривая M состоит из таких точек B, что сумма длин от резка касательной BA к кривой L в точке A и дуги AO кри вой L равна l (см. рис. 10б — это в точности означает натяну тость частично намотанной на L нити). Первая догадка Гюйгенса заключалась в том, что касательная к кри вой M в точке B перпендикулярна к AB, т. е. что AB — касательная к кривой L в точке A — является одновременно и норма лью к кривой M в точке B. Проще все го пояснить этот факт, исходя из кинема тического определения кривой M. Вспом ним, что вектор скорости направлен по ка сательной к траектории движения и что при Рис. 11.

изменении действия сил вектор скорости не может изменить ся мгновенно (подробнее об этом см. ниже). «Обрубим» в точ Циклоида и изохронный маятник Рис. 12.

ке A препятствие, но будем продолжать движение натянутой нити (рис. 11);

тогда конец нити начнет двигаться по окруж ности с центром в точке A;

векторная же скорость его в точ ке B не изменится;

поэтому в точке B у кривой и окружности с центром A будет общая касательная, перпендикулярная к ра диусу BA.

Когда вы прочтете в этой главе раздел, посвященный рулет там, вы заметите, что если рассматривать нити разной длины, то описанное движение конца нити продолжается до такого дви жения всей плоскости как твердой пластины, при котором точки кривой L являются мгновенными центрами вращения, а различ ные эвольвенты — траекториями точек плоскости. Из этого заме чания сразу следует перпендикулярность отрезка AB к касатель ной к кривой M в точке B.

Следующая догадка Гюйгенса состояла в том, что в «хоро шей» ситуации зволюта кривой восстанавливается однозначно (помните, у одной кривой много эвольвент)! Дело в том, что нормали к кривой M в разных точках — это касательные к ее эволюте L. «Хорошую» же кривую по касательным можно восста новить: взяв много касательных, построить описанную ломаную и, «учащая» затем касательные, все лучше приближать кривую (говорят, что кривая огибает множество своих касательных).

Нам нужно найти кривую, касательные к которой будут нор малями к заданной циклоиде. Гюйгенс догадался, что этой кривой будет такая же циклоида, только поднятая на 2r и сдвинутая на полпериода (так, что ее вершины совпадают с остриями исходной циклоиды;

см. рис. 12 на следующей странице).

134 Тайны циклоиды В самом деле, пусть r = 1, и пусть l и l — направляющие прямые соответственно нижней и верхней циклоид, O и O — их начальные точки (l на две единицы выше l;

O на единиц пра вее O). Возьмем на прямой l точку C и рассмотрим положения производящих кругов (обеих циклоид), когда они касаются l в этой точке C. Пусть C и C — диаметрально противоположные ей точки соответственно верхнего и нижнего кругов, A и A — соответствующие точки циклоид. Дуга CC A равна по длине от резку OC;

поэтому она на больше дуги C A, равной по длине отрезку O C. Отсюда C CA = C CA, и точки A, C, A лежат на одной прямой. Остается заметить, что CA — касательная к верхней циклоиде, а CA — нормаль к нижней (AC — касательная к ней).

Теперь мы знаем, что щеки таутохронного маятника должны быть циклоидальными, и что длина нити l должна равняться 4r (именно при таком значении l мы в качестве эвольвенты получим нужную циклоиду). При малых же углах размаха регулирую щие щеки почти не влияют на длину маятника, и циклоида близка к дуге окружности радиуса 4r (см. конец предыдущего пункта).

Теорема Кристофера Рена. Эволюты и вычисление длин кривых.

Решив задачу о циклоидальном маятнике, Гюйгенс не остано вился, понимая, что им создана замечательная математическая теория. Он пишет: «Для применения моего изобретения к маят никам мне необходимо было установить новую теорию, а именно, теорию образования новых линий при посредстве развертывания кривых линий. Здесь я столкнулся с задачей сравнения кривых и прямых линий. Я изучил этот вопрос несколько далее, чем нужно было для моей цели, так как теория показалась мне изящной и новой».

Прежде всего Гюйгенс заметил, что когда нить маятника це ликом наматывается на щеку, то конец его оказывается в вершине циклоиды;

значит, длина нити маятника (4r) совпадает с длиной половины арки циклоиды, и, значит, длина арки циклоиды рав на 8r. Эту теорему в 1658 году сформулировал и доказал Кристо фер Рен;

Гюйгенс же, как мы видим, получил очень естественное доказательство этой теоремы.

Теорема Кристофера Рена произвела на современников очень Циклоида и изохронный маятник сильное впечатление, и вот почему. Вычислением длин кривых математики интересовались не меньше, чем вычислением площа дей. Вначале, по аналогии с квадратурой (см. с. 126), они инте ресовались «ректификацией» — построением циркулем и линей кой отрезка соответствующей длины;

позже стали интересовать ся и алгебраической ректификацией — выражением длины кривой при помощи любых алгебраических операций. Мы уже говорили, что квадратуры некоторых фигур были найдены еще античны ми математиками;

кривую же, для которой была бы возможна хотя бы алгебраическая ректификация, математики безуспешно искали вплоть до второй полонины XVII века. Начали думать, что такой кривой вообще нет (так можно толковать слова Де карта «мы, люди, не можем найти соотношения между прямы ми и кривыми»). Ректификация циклоиды, полученная Реном, опровергла эту точку зрения. Затем Ферма получил ректифика ции нескольких других кривых;

однако во всех этих примерах фигурировали неалгебраические кривые, и скептики «уточнили» гипотезу, предположив, что невозможна алгебраическая ректифи кация алгебраических кривых (они справедливо объясняли, что, конечно, искусственно построить кривую, допускающую ректи фикацию, можно). Однако и в таком виде гипотеза оказалась неверной (первый опровергающий эту гипотезу пример был по строен еще в 1657 году, но оставался неизвестным): Нейль, Хейрат и Ферма независимо предъявили в качестве алгебраической кри вой, допускающей алгебраическую ректификацию, одну и ту же полукубическую параболу ay2 = x3. Совпадение это казалось ми стическим до тех пор, пока Гюйгенс не вскрыл, в чем причина исключительности этой малозаметной кривой: она является эво лютой параболы. Точнее, эволютой параболы y = x2 является кривая x 2/ y = + 3.

2 Теория Гюйгенса вообще максимально прояснила вопрос о ректификации. Результаты о циклоидальном маятнике и связан ные с ними вопросы составили содержание большей части книги Гюйгенса «Маятниковые часы», вышедшей в 1673 году.

В заключение мы предлагаем читателям несколько задач с весьма почтенной репутацией.

136 Тайны циклоиды Две задачи Галилея 1. Докажите, что под действием силы тяжести материальная точка про ходит все хорды окружности, оканчивающиеся в нижней точке окруж ности, за одно и то же время (аналогично — для хорд, начинающихся в верхней точке окружности).

2. Пусть есть кривая L (достаточно «хорошая») и точка A, не лежащая на L. Найдите на L такую точку B, чтобы отрезок AB проходился ма териальной точкой под действием силы тяжести за минимальное время.

Задачи Ньютона Пусть есть центральное поле, в котором силы пропорциональны рассто янию r до центра: F (r) = kr, k > 0.

Ньютон заметил, что в таком поле гипоциклоиды (см. о них ниже в этой главе) играют ту же роль, что циклоиды — в поле сил тяжести:

гипоциклоиды являются (в этом поле) таутохронами (Ньютон называл их изохронами), а эволютами гипоциклоид являются подобные же ги поциклоиды (это — чисто геометрический факт, не относящийся к меха нике, но он позволяет устроить гипоциклоидальный маятник, а заодно и вычислить длину гипоциклоиды).

Попробуйте доказать эти утверждения.

2. Рулетты и касательные к ним Некоторые вопросы выяснились для меня первоначально при помощи механического метода, после чего их надо было до казать геометрически, ибо исследование упомянутым мето дом не может дать подлинного доказательства. Однако, ра зумеется, легче найти доказательство, если сперва с помо щью этого метода получено известное представление о во просе, чем искать доказательство, не зная заранее, в чем суть дела. Архимед Укороченные циклоиды. Пока мы следили только за одной (фик сированной) граничной точкой производящего круга;

ясно, что и другие граничные точки будут двигаться по таким же циклоидам, только сдвинутым вдоль прямой. Проследим теперь за траекто риями внутренних точек круга. Возникающие кривые называются укороченными циклоидами (рис. 13);

они характеризуются отно шением k = /r, где R — радиус производящего круга, — рассто яние от центра круга до наблюдаемой точки. При k = 0 получаем Рулетты и касательные к ним прямую, по которой движется центр круга, а при k = 1 — цикло иду.

Рис. 13.

Задача 4. Докажите, что нормаль к укороченной циклоиде прохо дит через нижнюю точку производящего круга.

Заметим, что точка, движущаяся по укороченной циклоиде, нигде не имеет нулевой скорости. В нижней точке скорость на правлена горизонтально и ее величина равна R -. Это означает, что к качению окружности радиуса добавляется скольжение со скоростью R - (поступательное движение).

Удлиненные циклоиды. Вовлечем в качение круга его внешние точки (можно представить себе, что на колесо, движущееся по рельсу, надет обод). Эти точки движутся по кривым, которые на зываются удлиненными циклоидами (рис. 14). Все рассуждения, которые ранее были приведены для укороченных циклоид, до словно переносятся на удлиненные. Здесь только k = /r > 1.

Заметим лишь, что в нижней точке удлиненной циклоиды ско рость направлена в сторону, противоположную движению круга (|1| =, 2 = r, > R).

Обращали ли вы внимание на то, что нижние точки обода колеса вагона движутся назад?

Мгновенный центр вращения. Итак, мы вовлекли в качение круга по прямой все точки плоскости. Каждая точка движется по своей траектории, но все эти траектории согласованы, так как движу Рис. 14.

138 Тайны циклоиды щиеся точки составляют твердое тело. Характеристическим свой ством твердого тела с точки зрения кинематики является то, что при движении расстояния между всеми его точками остаются неизменными. Мы ограничимся здесь рассмотрением лишь та ких движений твердых пластин, которые можно производить, не выводя пластины из плоскости (запрещается, например, их пере ворачивать). Нас будет интересовать, какие ограничения накла дывает на скорости точек пластины условие твердости (заметим, что вопрос о движении трехмерных твердых тел намного сложнее рассматриваемой нами плоской задачи).

Вот некоторые закономерности движения твердых пластин.

Принцип вовлечения. Движение твердой пластины однозначно определяется движениями любых двух ее точек. Движение двух различных точек, при котором сохраняется расстояние между ними, можно, и притом единственным образом, продолжить до движения всей плоскости как твердой пластины.

Это утверждение носит чисто геометрический характер. Мы не будем приводить его доказательства, ограничившись нагляд ными пояснениями. Во-первых, движение прямолинейного стерж ня полностью характеризуется движением двух его точек, а во вторых, если треугольник составлен из жестких стержней, то дви жение одного из них однозначно приводит в движение весь тре угольник. В результате в движение двух точек A, B можно во влечь прямую AB, а затем всякую точку C вне AB.

Принцип инерции. Если на твердую пластину не действуют ни какие внешние силы (а лишь внутренние силы, обеспечивающие твердость), то она совершает равномерное прямолинейное или равномерное вращательное движение.

При рассмотрении произвольных движений пластин нам по требуется еще один фундаментальный принцип механики: ско рость не может измениться мгновенно (для изменения ско рости требуется ненулевое время). В частности, если в момент времени t0 изменить силы, действовавшие на движущуюся точ ку, то скорость (t0) не изменится, а значит, если (t0) = 0, не изменится и касательная к траектории в момент t0 (хотя сама траектория начиная с этого момента может стать иной).

Пусть в момент времени t0 на движущуюся твердую пласти Рулетты и касательные к ним ну перестали действовать внешние силы. Тогда, с одной стороны, скорости точек в момент времени t0 останутся прежними, а с дру гой стороны, движение должно подчиняться сформулированному принципу инерции. Поэтому при движении твердой пластины в каждый момент времени t может иметь место лишь одна из двух возможностей;

а) скорости всех точек равны (как векторы);

б) существует единственная точка Ot, в которой скорость рав на нулю;

в произвольной же точке A пластины скорость направле на перпендикулярно к вектору OtA, а ее величина пропорциональ на расстоянию от A до Ot. (Коэффициент пропорциональности зависит только от момента времени t.) Из того, что скорость не может измениться мгновенно, нетруд но вывести, что переход от ситуации а) к б) и наоборот возможен лишь в те моменты, когда пластина останавливается (скорости всех точек равны нулю). Поэтому в промежутках между останов ками либо всюду имеет место ситуация а), либо всюду б). Можно показать, что в случае а) траектория любой точки A получает ся из траектории некоторой точки B параллельным переносом на вектор BA. Мы будем рассматривать случай б) (то есть считать, что в каждый момент времени имеется единственная точка Ot с нулевой скоростью). Будем называть Ot мгновенным центром вращения в момент t. (В примере с качением круга по прямой мгновенным центром вращения является точка соприкосновения круга с направляющей прямой.) Если известен мгновенный центр вращения Ot, то нормали к траекториям в момент времени t (прямые OtAt), а следова тельно, и касательные, строятся автоматически. Наоборот, если в момент t известны скорости двух точек пластины, то взяв точку пересечения нормалей к этим скоростям, мы получим мгновенный центр вращения Ot.

Пусть теперь твердая пластина движется по неподвижной плоскости. Рассмотрим на этой плоскости кривую L, составлен ную из мгновенных центров вращения во все моменты времени;

кривую L называют неподвижным центроидом;

мы будем назы вать ее «рельсом». С другой стороны, рассмотрим на пластине кривую C, составленную из всех таких точек, которые оказы ваются мгновенными центрами вращения в какие-то моменты 140 Тайны циклоиды Рис. 15.

времени;

C называют подвижным центроидом;

мы будем назы вать C «колесом». Введенные «несерьезные» термины, вероятно, подсказали вам, что исходное движение можно получить, если рассмотреть качение без скольжения нашего кривого «колеса» по кривому «рельсу» и вовлечь в это качение остальные точки (рис. 15). Отсюда можно вывести равенство длин дуги «колеса» и соответствующей дуги направляющего «рельса» (по которой эта дуга «колеса» прокатилась). При этом разрешается, чтобы при качении «колесо» пересекало «рельс».

Часто под рулеттами понимают траектории, которые описы вают точки плоскости при ее движении как твердой пластины с условием (б) во все моменты времени, т. е. при некотором качении.

Ко всем рулеттам мы научились проводить нормали и касатель ные. При этом оказалось, что не нужно даже уметь проводить касательные к «колесу» и «рельсу» (это было бы необходимо, если пользоваться сложением скоростей). В наших механических рас смотрениях мы вышли за пределы XVII века;

замечательно, од нако, что способ проведения нормалей к общим рулеттам открыл Декарт, определявший их с помощью качения (не зная, сколь об щий характер носят движения, порожденные качениями).

Эпициклоиды. Рассмотрим теперь рулетты, получающиеся при качении круга по кругу. Пусть круг радиуса r катится по внеш Рулетты и касательные к ним ней стороне окружности радиуса R. Траектории граничных точек катящегося круга («колеса») называются эпициклоидами. Их вид зависит от k = R/r (рис. 16 на с. 142). Если k — целое, то по движный круг, прокатившись один раз по границе неподвижного, сделает k оборотов и эпициклоида будет иметь k заострений и k арок. Эпициклоиду при k = 1 называют кардиоидой (она на поминает стилизованное изображение сердца). Если k = p/q — несократимая дробь, то подвижный круг, сделав q оборотов, p раз прокатится по неподвижному. Если же k будет иррациональным числом, то никакой периодичности не будет, и наблюдаемая точка никогда не вернется в исходное положение. (Можно доказать, что получающаяся в этом случае бесконечная траектория заполняет кольцо {R OA R + 2r}, подходя сколь угодно близко к любой его точке, но не в каждую попадая.) Касательные к эпициклоидам легко строятся с помощью мгновенного центра вращения — точки соприкосновения кругов.

Докажите, что касательная к эпициклоиде (в некоторой точ ке) проходит через точку соответствующего подвижного круга, диаметрально противоположную точке соприкосновения с непо движным.

Замечание. При построении эпициклоид и решении задач нужно помнить следующее. Если A — начальное положение наблюдае мой точки (рис. 18 на с. 143), а в некоторый момент времени подвижный круг касается неподвижного в точке B, то эпицикло иде принадлежит такая точка его границы C, что дуга BA равна по длине дуге BC;

учитывая разницу радиусов, получаем BC R = = k.

BA r Траектории движения внутренних (соответственно внешних) то чек подвижного круга при рассматриваемом качении называют ся укороченными (соответственно удлиненными) эпициклоидами (рис. 17 на с. 143;

мы ограничиваемся целыми k).

Задача 5. Пусть точка A равномерно вращается вокруг точки O1, которая, в свою очередь, равномерно вращается вокруг точки O;

OO1 = r2, O1A = r1. Пусть оба вращения происходят по часовой стрелке;

v1 и v2 — величины линейных скоростей. Покажите, что 142 Тайны циклоиды а) k = 3 б) k = 1 в) k = г) k = 2 д) k = Рис. 16.

Рулетты и касательные к ним Рис. 17. Укроченные и удлиненные эпициклоиды движение точки A будет происходить по какой-то эпициклоиде (быть может, укороченной или удлиненной). Какими соотноше ниями определяется характер кривой?

Гипоциклоиды. Рулетты, получающиеся при качении круга ради уса r по внутренней стороне окружности радиуса R > r, называ ются гипоциклоидами (соответственно, удлиненными или укоро ченными).

Можно также в качестве аналога такого движения рассмотреть качение обруча ради уса R, внутренней стороной касающегося гра ницы неподвижного круга радиуса r < R.

Соответствующие рулетты называются пери циклоидами. Но оказывается, что они сов падают с эпициклоидами (см. приложение в конце главы).

Задача 6. Пусть вращения, описанные в Рис. 18.

задаче 5, происходят в двух противопо ложных направлениях (одно — по, другое — против часовой стрел ки). По каким траекториям будет при этом двигаться точка A?

Мы не ставили перед собой цели строго доказать все ре зультаты, полученные нами из кинематических соображений. В некоторых случаях это сделать просто: механические рассуж дения заменяются математическими почти автоматически (для этого оказывается достаточно скорости заменить производными).

В других случаях такие «заменители» найти сложнее (напри 144 Тайны циклоиды мер, там, где рассматривается движение пластин или изменяются силы). Однако чисто математические рассмотрения не могут полностью заменить механическую интерпретацию, во многих случаях дающую возможность увидеть простой и красивый ответ.

3. Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды Ошибка Галилея. В самом начале XVII века юный Галилей пы тался экспериментально проверить свою догадку о том, что сво бодное падение — равноускоренное движение. Когда он перенес наблюдения с Пизанской башни в лабораторию, ему стало очень мешать то, что тела падают «слишком быстро». Чтобы замед лить это движение, Галилей решил заменить свободное падение тел их движением по наклонной плоскости, предположив, что и оно будет равноускоренным. Проводя эти опыты, Галилей обра тил внимание на то, что в конечной точке величина скорости тела, скатившегося по наклонной плоскости, не зависит от угла наклона плоскости, а определяется только высотой H и совпадает с ко нечной скоростью тела, свободно упавшего с той же высоты (как вы хорошо знаете, в обоих случаях |v|2 = 2gh. Изучив движе ния по наклонным плоскостям, Галилей перешел к рассмотрению движения материальной точки под действием силы тяжести по ломаным линиям. Сравнивая времена движения по различным ломаным, соединяющим фиксированную пару точек A и B, Гали лей заметил, что если через эти две точки A, B провести четверть окружности (это всегда можно сделать;

подумайте, как?) и впи сать в нее две ломаные M и L, такие, что ломаная L «вписана» в ломаную M (см. рис. 19), то материальная точка из A в B быстрее попадает по ломаной M, чем по ломаной L (попытай тесь доказать это). Увеличивая у ломаной число звеньев и пере ходя к пределу, Галилей получил, что по четверти окружности, соединяющей две заданные точки, материальная точка спустит ся быстрее, чем по любой вписанной в эту четверть окружности ломаной. Из этого Галилей сделал ничем не аргументированный вывод, что четверть окружности, соединяющая пару заданных точек A, B (не лежащих на одной вертикали), и будет для матери альной точки, движущейся под действием силы тяжести, линией Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды наискорейшего спуска (позже линию наискорейшего спуска ста ли называть брахистохроной). Впоследствии выяснилось, что это утверждение Галилея было не только необоснованным, но и оши бочным.

Швейцария. Конец XVII века. «Про гуливаясь по улицам Базеля и об суждая всевозможные математиче ские вопросы, Иоганн и Якоб Бер нулли наткнулись на следующий во прос: какую форму могла бы принять свободно висящая цепь, укрепленная в двух своих концах? Они скоро и легко сошлись на том взгляде, что цепь примет ту форму равновесия, при которой ее центр тяжести будет Рис. 19.

лежать возможно ниже... Физическая часть задачи этим исчер пана. Определение кривой с наиболее низким центром тяжести при данной длине между двумя точками A и B есть уже задача только математическая.» (Мах).

Исследовав цепную линию (так называется линия, форму ко торой принимает гибкая тяжелая нерастяжимая нить, подвешен ная в двух точках), братья Бернулли заинтересовались другими задачами, в которых разыскиваются кривые, отвечающие наи меньшему значению той или иной величины. В 1696 году Иоганн Бернулли опубликовал заметку «Новая задача, к разрешению ко торой приглашаются математики». Впрочем, эта «новая» задача уже рассматривалась Галилеем. Речь шла о нахождении брахи стохроны — линии, соединяющей фиксированную пару точек, по которой материальная точка спустится под действием силы тяже сти быстрее всего. Задача о брахистохроне, недоступная в начале века даже великому Галилею, оказалась очень своевременной в конце века. Она была очень быстро решена и самим Иоганном Бернулли, и его братом Якобом, и их учителем Лейбницем, а так же Ньютоном и Лопиталем. Мы расскажем о решении Иоганна Бернулли: оно совершенно неожиданным образом использует со ображения из геометрической оптики!

«Без всякого еще метода, при помощи одной своей геометриче 146 Тайны циклоиды Рис. 20.

ской фантазии Иоганн Бернулли одним взглядом решает задачу умело, пользуясь при этом тем, что случайно уже известно, — картина поистине замечательная и удивительно красивая. Мы должны признать в Иоганне Бернулли истинно художественную натуру, действующую в области естествознания. Брат его, Якоб Бернулли, был научным характером совсем другого рода. Ему было уделено больше критики, но гораздо меньше творческой фантазии. И он решил ту же задачу, но гораздо более тяжело весным образом. Зато он не упустил случая развить с большей основательностью общий метод для решения задач этого рода. Та ким образом, мы находим в обоих братьях разделенными те две стороны научного таланта, которые в величайших исследовате лях природы, каким был, например, Ньютон, бывают соединены с необычайной силой.» (Мах).

Принцип Ферма. Еще в 140 году до н. э. Клавдий Птолемей соста вил подробную таблицу зависимости угла преломления светового луча при переходе из воздуха в воду от угла падения, но лишь в 1621 году Снеллиус угадал аналитическую закономерность, свя зывающую эти углы:

sin падения = k, sin преломления где k — коэффициент преломления, константа для фиксированной пары сред.

В 1650 году Ферма дал замечательную интерпретацию этого закона. Он отправлялся от известного еще Герону Александрий скому факта, что равенство углов падения и отражения можно Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды Рис. 21.

вывести из предположения, что при отражении свет выбирает на икратчайший путь (рис. 20).

Ферма предположил, что путь распространения света меж ду двумя точками есть такой путь, для прохождения которого свету требуется наименьшее время по сравнению с любым дру гим путем между этими точками, — теперь это утверждение носит название «приниипа Ферма». Из принципа Ферма, в част ности, следует, что поскольку в однородной среде скорость света постоянна, то наименьшее время приходится на путь наименьшей длины. Отсюда следует, что путь света в однородной среде, не имеющей препятствий, прямолинеен, а также закон отражения.

Если же среда имеет переменную плотность, и скорость света в различных ее участках различна, то путь распространения света, на прохождение которого уходит наименьшее время, уже не дол жен быть прямолинейным. Посмотрим, что происходит в случае преломления. (Все наши дальнейшие рассмотрения относятся к плоскому случаю).

Пусть прямая l разделяет две среды (на плоскости), в первой из которых скорость света равна c1, а во второй c2;

A1 и A2 — точки, лежащие по разные стороны от l. Найдем на l такую точ ку B, что sin 1/ sin 2 = c1/c2, где 1 — угол падения, 2 — угол преломления (см. рис. 21). Существование и единственность такой точки B легко доказывается. Пусть C — любая другая точка пря мой l. Опустим из нее перпендикуляры CE и CF на A1B и A2B соответственно.

Тогда ECB = 1, F CB = 2, и прохождение отрезка BE со скоростью c1 займет столько времени, сколько прохождение отрезка BF со скоростью c2. Значит, свету на прохождение пу ти A1BA2 нужно столько же времени, сколько на прохождение 148 Тайны циклоиды Рис. 22.

двух отрезков: A1E со скоростью c1 и F A2 со скоростью c2.

Так как длины отрезков A1C и A2C больше длин отрезков A1E и F A2 соответственно, то свету на прохождение пути A1CA2 нуж но больше времени, чем на прохождение пути A1BA2 и, значит, точка C не годится.

Таким образом, из принципа Ферма следует закон преломле ния Снеллиуса, причем коэффициент преломления светового луча из одной среды в другую оказывается равным отношению скоро стей света в этой паре сред1.

Из принципа Ферма также следует, что в сложной слоистой оптической среде, состоящей из горизонтальных «полос», в каж дой из которых скорость света постоянна: c1, c2,... (рис. 22), свет будет распространяться по плоской ломаной с вершинами на раз деляющих эти полосы прямых, причем если i — угол, который звено ломаной, лежащее в области со скоростью света ci, образует с вертикалью, то sin j/cj = const для всей ломаной. Действитель но, если sin j/cj = sin j+1/cj+1 для некоторого j, то по принципу Ферма по такой ломаной свет распространяться не может: верши ну ломаной на границе соответствующих сред можно передвинуть так (не меняя остальных вершин), что общее время, затраченное светом, уменьшится.

Если же в некоторой неоднородной оптической среде скорость света меняется непрерывно, но так, что в точках горизонталей (т. е. в точках с одинаковыми ординатами) она одна и та же: c(y) Принцип Ферма получил обоснование в волновой теории света, построен ной Гюйгенсом в 1672 – 1673 годах.

Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды (значение y = 0 соответствует начальному положению точки, из которой выходит луч), то предельным переходом получаем, что в этой среде путь распространения света между двумя точками есть такая кривая L, что sin (y) = const, (11) y через (y) обозначен угол, который касательная, проведенная к кривой L в точке с ординатой y, образует с вертикалью.

Чтобы перейти к задаче о брахистохроне, заметим, что соот ношение (11) мы получили из принципа Ферма, пользуясь лишь тем, что в фиксированной точке нашей неоднородной среды ве личина скорости света фиксирована и не зависит от направления распространения света (в наших примерах она была постоянна на горизонталях). Но, как мы уже отмечали выше, для тела, дви жущегося только под действием силы тяжести, |v(y)| = 2gy, где y — пройденный по вертикали путь, «потеря» высоты, — и мы получаем, что и в этой задаче величина скорости в каждой фик сированной точке плоскости фиксирована и не зависит от того, по какому пути происходит движение. Поэтому все выводы из принципа Ферма могут быть перенесены и сюда. Следовательно, чтобы попасть из одной заданной точки в другую за минимально возможное время, материальная точка должна двигаться по та кому пути L, соединяющему эти две точки (мы предполагаем, что точки не лежат на одной вертикали), для которого sin (y) = const, (12) y где (y) — угол между вертикалью и касательной к кривой L, проведенными в точке с ординатой y.

Нам остается лишь отыскать кривую, удовлетворяющую условию (12).

Опять циклоида! Математики XVII века привыкли к тому, что циклоида — это «па лочка-выручалочка» во многих вопросах.

И вот ей снова было суждено подтвердить Рис. 23.

свою «репутацию» — брахистохрона также оказалась циклоидой!

150 Тайны циклоиды В самом деле, если через (y) обозначить угол, который каса тельная, проведенная к циклоиде с параметром r (получающейся при качении без скольжения по прямой {y = 0} круга радиуса r) в точке с ординатой y составляет с вертикалью, то sin (y) = y/2r (см. формулу (9) на с. 125). Более того, как мы уже отмечали, циклоида является единственной кривой, удовлетворяющей это му соотношению. Таким образом, брахистохроной, соединяющей две данные точки A и B (не лежащие на одной вертикали), слу жит часть арки (или арка) перевернутой циклоиды (см. рис. 23), причем в «верхней» точке A находится острие этой циклоиды. По скольку мы рассматриваем только одну (первую) арку циклоиды, то ее параметр r по точке B определяется однозначно.

Дуга циклоиды, являющаяся брахистохроной, может быть больше полуарки циклоиды. В этом случае материальная точка, двигаясь под действием силы тяжести по брахистохроне, снача ла спустится вниз (дойдя до вершины перевернутой циклоиды), а затем начнет снова подниматься вверх. И тем не менее такое движение оказывается более экономным по времени, чем если бы материальная точка отправилась из A в B по прямой!

Для сравнения отметим, что хотя перевернутая циклоида яв ляется и таутохроной, и брахистохроной, в первом случае нужно брать дугу с концом в вершине циклоиды, а во втором — с началом в острие.

Несколько задач. Вернемся к оптике. Теперь мы знаем, что если в плоской неоднородной среде величина скорости света меняется по закону c(x, y) = k H - y (т. е. аналогично изменению вели чины скорости материальной точки, движущейся под действием силы тяжести), то в такой среде свет между двумя точками будет распространяться по дугам перевернутых циклоид с остриями на прямой {y = H}.

Попробуйте сейчас решить несколько задач на отыскание в оп тически неоднородной среде пути распространения света между двумя точками, если в этой среде задан закон изменения величи ны скорости света.

3адача 7. Величина скорости света меняется по закону c(x, y) = k(y -a). Докажите, что свет между двумя точками будет распространяться по дугам полуокружностей с диаметрами на прямой {y = a} (причем Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды «начальная» точка находится на этой прямой).

3адача 8. Величина скорости света меняется по закону k (x, y) =.

a - y Докажите, что в этом случае свет между двумя точками будет распро страняться по дугам парабол.

Пока во всех задачах величина скорости света зависела толь ко от y. Если же оптическая среда такова, что эта зависимость более сложная, например, величина скорости света постоянна не на горизонталях, а на каких-то кривых — линиях постоянства скорости света, — то свет между двумя точками будет распро страняться по такой кривой L, для которой sin (c(x0, y0)) = const, c(x0, y0) где (c(x0, y0)) — угол между касательной к кривой L и нормалью к линии постоянства скорости света c(x, y) = c(x0, y0).

3адача 9. Величина скорости света меняется по закону c(x, y) = = k 1 - r2, где r = x2 + y2 — расстояние от начала координат.

Докажите, что в такой среде свет между двумя точками будет распро страняться по дугам окружностей, перпендикулярных к окружности радиуса 1 с центром в начале координат.

3адача 10. Величина скорости света меняется по закону c(x, y) = kr.

Докажите, что в этом случае свет между двумя точками будет рас пространяться по дугам гипоциклоид (см. «упражнения Ньютона» со с. 136).

Если в задачах 7 – 10 c(x, y) интерпретировать как величину скоро сти некоторого механического движения, то полученные при решении этих задач траектории распространения света будут брахистохронами для соответствующих механических систем.

Основная задача механики заключается в том, чтобы определить положение движущегося тела в любой мо мент времени. Из школьного учебника по физике Аналогия между механикой и оптикой. Итак, в механике обычно ищется траектория материальной точки, если известны действу ющие на точку силы и заданы начальные положение и вектор 152 Тайны циклоиды скорости (начальные условия). Однако можно интересоваться не индивидуальными траекториями, а описанием всей совокупности траекторий при заданном законе изменения действующих сил (дополнительное задание начальных условий будет тогда выде лять из этой совокупности траекторий конкретную траекторию).

Так, классический результат Галилея о движении брошенного тела (горизонтально или под углом к горизонту) заключается в том, что в случае силы тяжести множество траекторий состоит из дуг парабол.

Использование оптики в чисто механических задачах навело на мысль попытаться выделить возможное множество траекторий для конкретной механической системы каким-нибудь условием минимальности, аналогичным принципу Ферма. Об этом думал Лейбниц, но первая формулировка принадлежит Мопертюи. Од нако его построения касались всего мироздания в целом и не содержали точных утверждений. Первая точная формулиров ка принадлежит Эйлеру (учившемуся математике у Иоганна Бернулли). Она относится к следующей специальной ситуации.

Пусть материальная точка движется по плоскости под дей ствием такой силы, что потенциальная энергия зависит только от положения точки: U = U(x, y). В силу закона сохранения энергии величина скорости точки |v| тогда также зависит только от (x, y):

|v(x, y)| = (E - U(x, y)).

m Рассмотрим плоскую неоднородную оптическую среду, в которой k величина скорости света меняется по закону c(x, y) =.

v(x, y) Принцип Эйлера состоит в том, что траектории света, распро страняющегося в такой среде, будут совпадать с возможными траекториями исходной механической системы (материальной точки массы m с потенциальной энергией U(x, y)). Разумеется, принцип Эйлера можно сформулировать так, что в нем не будет идти речь о распространении света.

В частности, из задачи 8 и принципа Эйлера следует приве денное выше утверждение Галилея о траектории материальной точки, движущейся под действием силы тяжести.

Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды Поясним тепреь принцип Эйлера. Для простоты ограничимся случаем, когда U(x, y), а значит и |v|, зависит только от y. По скольку на горизонталях потенциальная энергия постоянна, сила будет направлена вертикально, горизонтальная компонента век тора ускорения равна нулю, а горизонтальная компонента вектора скорости постоянна, то есть |v(y)| sin (y) = const, (13) где (y) — угол между вектором скорости и вертикалью в точке траектории с ординатой y. Соотношение (13) вместе с (11) и да ет принцип Эйлера для данного частного случая. (В общем же случае следует учесть, что силы действуют перпендикулярно к линиям постоянства потенциальной энергии и что, следователь но, компоненты вектора скорости, касательные к этим линиям постоянства, не меняются.) В современной механике принципы, обобщающие принцип Эй лера (такие, как, например, принцип Гамильтона), играют исклю чительно важную роль.

Эпилог Героическая история циклоиды завершилась с концом XVII ве ка. Она так таинственно возникала при решении самых разных задач, что никто не сомневался, что она играет совершенно ис ключительную роль. Пиетет перед циклоидой держался долго, но прошло время, и стало ясно, что она не связана с фундамен тальными законами природы, как, скажем, конические сечения.

Задачи, приводившие к циклоиде, сыграли огромную роль в ста новлении механики и математического анализа, но когда величе ственные здания этих наук были построены, оказалось, что эти задачи являются частными, далеко не самыми важными. Про изошла поучительная историческая иллюзия. Однако, знакомясь с поучительной историей циклоиды, можно увидеть много прин ципиальных фактов из истории науки.

154 Тайны циклоиды Рис. 24.

Приложение В этом приложении мы, как и обещали, объясним, почему пери циклоиды (с. 143) совпадают с эпициклоидами. Напомним, что именно надо доказать.

Утверждение. Пусть обруч радиуса R, висевший на неподвиж ном круге радиуса r < R, начинают катить без скольжения по этому кругу. Тогда точка обруча описывает ту же траекторию, которую описывала бы точка колеса радиуса R - r, катящегося снаружи по тому же кругу радиуса r (рис. 24).

Обозначим радиус колеса R - r через.

Напомним, что кривые, описываемые при указанном качении точками границы колеса, называются эпициклоидами, а кривые, опи сываемые точками обруча, — перициклоидам.

Докажем, что при указанном в условии соот ношении между радиусами (R = r + ) пери циклоиды совпадают с эпициклоидами.

Зафиксируем по одной точке на колесе и на обруче. Пусть в начальный момент точки, наблюдаемые на колесе и обруче, совпадают с одной и той же точкой A границы неподвиж Рис. 25.

ного круга (рис. 25). Пусть для определенно сти и колесо, и обруч катятся по кругу против Тайны циклоиды а) б) Рис. 26.

часовой стрелки. Если в некоторый момент колесо касается непо движного круга в точке B, то точка, наблюдаемая на его границе (точка эпициклоиды), занимает такое положение C, что длины дуг AB и BC равны (дуга BC выбирается с учетом направления качения) — рис. 26а.

Аналогично, положение точки C, наблюдаемой на обруче (точки перициклоиды), в тот момент, когда он касается непо движного круга в точке B, находится из условия равенства длин дуг AB и B C, с учетом направления качения (см. рис. 26б).

Докажем, что для любой точки B на границе неподвижного круга можно так подобрать точку B (тоже на границе неподвиж ного круга), что соответствующие точки C (эпициклоиды) и C (перициклоиды) совпадут (рис. 27а). (Из нашего доказательства будет ясно также, как по B выбирать B.) Возьмем точку B так, чтобы отношение длин дуг AB и BB было равно /r: тогда радианная мера дуги BC равна радианной а) б) Рис. 27.

156 Тайны циклоиды мере дуги BB — обозначим ее через. Имеем дл. AB = дл. BC =, дл. BB = r.

Поэтому дл. B C = дл. AB = r+, и радианная мера дуги B C также равна. Пусть O — центр неподвижного круга, O1 — поло жение центра колеса в момент, когда оно касается неподвижного круга в точке B, O2 — положение центра обруча в момент каса ния обруча с неподвижным кругом в точке B ;

точки {O, B, O1} и {O2, O, B } лежат на одной прямой.

Пусть 0 < <. Имеем (рис. 27б) OB = OB = r, O2B = R, OO2 = R - r =, OB = O1C =, O1O = r + = R, BOB = OO1C =, Значит, четырехугольник OO1CO2 — па раллелограмм, откуда O2C = R, CO2B =. Таким образом, точка C лежит на окружности радиуса R с центром в O2, причем радианная мера дуги B C равна. Это и означает, что C совпа дает с C. Итак, мы доказали, что если по неподвижному кругу прокатились дуги колеса и обруча одной и той же радианной ме ры <, то получившиеся точки эпициклоиды и перициклоиды совпадут.

Остается убедиться в справедливости этого утверждения и при. Посмотрите сами, во что превращается рисунок 27а при =, а также при < < 2. Отметим, что поскольку раз ность между длинами обруча и колеса равна 2r — длине границы неподвижного круга, то в тот момент, когда и колесо, и обруч сделают полные обороты, наблюдаемые точки, вновь попав на границу неподвижного круга, займут одно и то же положение A1.

Случай 2 < < 4 сводится к случаю < 2, если считать точку A1, начальной точкой вместо A. Если же считать A1, на чальной точкой и одновременно изменить направление качения, то случай 2 сведется к случаю.

БЛЕЗ ПАСКАЛЬ Паскаль носил в душе водоворот без дна.

Ш. Бодлер, «Пропасть» Блезу Паскалю была присуща удивительная разносторонность, которая была характерна для эпохи Возрождения, но уже почти изжила себя в XVII веке. Еще не наступило время полного раз межевания естественных наук (скажем, физики и математики), но занятия гуманитарные и естественнонаучные уже обычно не совмещались.

В историю естествознания Паскаль вошел как великий физик и математик, один из создателей математического анализа, про ективной геометрии, теории вероятностей, вычислительной тех ники, гидростатики. Франция чтит в Паскале одного из самых замечательных писателей: «Тонкие умы удивляются Паскалю как писателю самому совершенному в величайший век французского языка... Каждая строка, вышедшая из-под его пера, почитается как драгоценный камень» (Жозеф Бертран). Далеко не все согла шались с мыслями Паскаля о человеке, его месте во Вселенной, смысле жизни, но никто не оставался равнодушным к строкам, за которые их автор заплатил жизнью и которые удивительным образом не старились. В 1805 г. Стендаль писал: «Когда я читаю Паскаля, мне кажется, что я читаю себя». А через сто лет в 1910 г.

Л. Н. Толстой читал «чудного Паскаля», «человека великого ума и великого сердца» и «не мог не умилиться до слез, читая его и сознавая свое полное единение с этим умершим сотни лет тому назад человеком». Поучительно сопоставить, как старятся идеи естественнонаучные и гуманитарные.

Перевод К. Бальмонта.

158 Блез Паскаль (1623 – 1662) Упомянем еще об одной грани наследия Паскаля — его практических достижени ях. Некоторые из них удосто ились высшего отличия — се годня мало кто знает имя их автора. Для И. С. Тургенева мерилами удобства и просто ты были «яйцо Колумба» и «Паскалева тачка». Узнав, что великий ученый изобрел са мую обыкновенную тачку, он писал Н. А. Некрасову: «Кста ти я в одном месте говорю о Паскалевой тачке — ты знаешь, что Паскаль изобрел эту, по видимому, столь простую ма Паскаль в юности шину». А еще Паскалю при надлежит идея омнибусов — общедоступных карет («за 5 су») с фиксированными маршрутами — первого вида регулярного город ского транспорта.

Паскаль — один из самых знаменитых людей в истории чело вечества. Ему посвящена необъятная литература. Каких только сторон жизни и наследия Паскаля не касалось «паскалеведение»!

Особенно популярен Паскаль во Франции. Имеется своеобразное свидетельство этого: портрет Паскаля был воспроизведен на ас сигнациях (в числе других французских писателей, удостоивших ся в разное время такой чести, — Корнель, Расин, Мольер, Мон тескье, Вольтер, Гюго, Сент-Экзюпери).

Палочки и монетки. Когда мы учимся рисовать графики, то в ка лейдоскопе безымянных кривых иногда появляются кривые, име ющие какое-то название или носящие чье-то имя: спираль Ар химеда, трезубец Ньютона, конхоида Никомеда, лист Декарта, локон Марии Аньези, улитка Паскаля... Редко кто усомнится в том, что это тот же Паскаль, которому принадлежит «закон Паскаля». Однако в названии замечательной кривой 4-го поряд ка увековечено имя Этьена Паскаля (1588 – 1651) — отца Блеза Блез Паскаль (1623 – 1662) Паскаля. Э. Паскаль, как было принято в роде Паскалей, слу жил в парламенте (суде) города Клермон-Феррана. Совмещение юридической деятельности с занятиями науками, далекими от юриспруденции, было делом нередким. Примерно в это же вре мя посвящал математике свой досуг советник тулузского парла мента Пьер Ферма (1601 – 1665). Хотя собственные достижения Э. Паскаля были скромными, его основательные познания поз воляли ему поддерживать профессиональные контакты с боль шинством французских математиков. С великим Ферма он об менивался трудными задачами на построение треугольников;

в споре Ферма с Рене Декартом (1596 – 1650) о задачах на мак симум и минимум Паскаль выступал на стороне Ферма. Б. Пас каль унаследовал добрые отношения отца со многими математи ками, но вместе с тем к нему перешли и напряженные отношения с Декартом.

Рано овдовев, Этьен Паскаль посвящает себя главным образом воспитанию своих детей (кроме сына, у него было две дочери — Жильберта и Жаклина). У маленького Блеза очень рано обна руживается поразительное дарование, но, как это часто бывает, в сочетании с плохим здоровьем. (Всю жизнь с Б. Паскалем случа лись странные происшествия;

в раннем детстве он едва не погиб от непонятной болезни, сопровождавшейся припадками, которую семейная легенда связывает с колдуньей, сглазившей мальчика.) Этьен Паскаль тщательно продумывает систему воспитания детей. На первых порах он решительно исключает математику из числа предметов, которым обучает Блеза: отец боялся, что ранняя увлеченность математикой помешает гармоничному развитию, а неизбежные напряженные размышления повредят слабому здо ровью сына. Однако 12-летний мальчик, узнав о существовании таинственной геометрии, которой занимался отец, уговорил его рассказать о запретной науке. Полученных сведений оказалось достаточно для того, чтобы начать увлекательную «игру в геомет рию», доказывать теорему за теоремой. В этой игре участвовали «монетки» — круги, «треуголки» — треугольники, «столы» — пря моугольники, «палочки» — отрезки. Мальчик был застигнут от цом в тот момент, когда он обнаружил, что углы треуголки состав ляют столько же, сколько два угла стола. Э. Паскаль без труда узнал знаменитое 32-е предложение первой книги Евклида — тео 160 Блез Паскаль (1623 – 1662) рему о сумме углов треугольника. Результатом были слезы на гла зах отца и доступ к шкафам с математическими книгами. История о том, как Паскаль сам построил евклидову геометрию, известна по восторженному рассказу его сестры Жильберты. Этот рассказ породил очень распространенное заблуждение, заключающееся в том, что раз Паскаль открыл 32-е предложение «Начал» Евклида, то он открыл перед этим все предыдущие теоремы и все аксиомы.

Нередко это воспринималось как аргумент в пользу того, что ак сиоматика Евклида — единственно возможная. На самом же деле, вероятно, геометрия у Паскаля находилась на «доевклидовском» уровне, когда интуитивно неочевидные утверждения доказывают ся путем сведения к очевидным, причем набор последних никак не фиксируется и не ограничивается. Лишь на следующем, су щественно более высоком уровне делается великое открытие, что можно ограничиться конечным, сравнительно небольшим набо ром очевидных утверждений — аксиом, предположив истинность которых, можно остальные геометрические утверждения дока зать. При этом, наряду с неочевидными утверждениями (такими, как, например, теоремы о замечательных точках треугольника), приходится доказывать «очевидные» теоремы, в справедливость которых легко поверить (например, простейшие признаки равен ства треугольников).

Собственно, 32-е предложение — первое неочевидное в этом смысле предложение «Начал». Нет сомнения, что у юного Пас каля не было ни времени для огромной работы по отбору аксиом, ни, скорее всего, потребности в ней.

Это интересно сопоставить со свидетельством А. Эйнштейна, который в те же 12 лет в значительной степени самостоятельно постигал геометрию (в частности, нашел доказательство теоремы Пифагора, о которой узнал от дяди): «Вообще мне было доста точно, если я мог в своих доказательствах опираться на такие положения, справедливость которых представлялась мне бесспор ной».

Примерно в 10 лет Б. Паскаль сделал первую физическую ра боту: заинтересовавшись причиной звучания фаянсовой тарелки и проведя поразительно хорошо организованную серию экспери ментов при помощи подручных средств, он объяснил заинтересо вавшее его явление колебанием частичек воздуха.

Блез Паскаль (1623 – 1662) «Мистический шестивершинник», или «великая паскалева теоре ма». В 13 лет Б. Паскаль уже имеет доступ в математический кружок Мерсенна, в который входило большинство парижских математиков, в том числе Э. Паскаль (Паскали жили в Париже с 1631 г.).

Францисканский монах Марен Мерсенн (1588 – 1648) сыг рал в истории науки большую и своеобразную роль ученого организатора1. Его основная заслуга состояла в том, что он вел обширную переписку с большинством крупных ученых мира (у него было несколько сот корреспондентов). Мерсенн умело концентрировал информацию и сообщал ее заинтересованным ученым. Эта деятельность требовала своеобразного дарования:

умения быстро понимать новое, хорошо ставить задачи. Обладав ший высокими нравственными качествами Мерсенн пользовался доверием корреспондентов. Иногда письма Мерсенна адресова лись совсем молодым ученым. Так, в 1648 г. он начал перепи сываться с 17-летним Гюйгенсом, помогая в его первых шагах в науке и предвещая, что тот станет «Аполлонием и Архимедом...

грядущего века».

Наряду с заочным коллективом корреспондентов существовал и очный кружок — «четверги Мерсенна», в который и попал Блез Паскаль. Здесь он нашел себе достойного учителя. Им был Же рар Дезарг (1593 – 1662), инженер и архитектор, создатель ориги нальной теории перспективы. Его главное сочетание «Черновой набросок вторжения в область того, что происходит при встрече конуса с плоскостью» (1639 г.) нашло лишь нескольких читате лей, и среди них особое место занимает Б. Паскаль, сумевший существенно продвинуться вперед.

Хотя в то время Декарт прокладывал в геометрии совер шенно новые пути, создавая аналитическую геометрию, в основ ном геометрия едва достигла уровня, на котором она находи лась в Древней Греции. Многое из наследия греческих гео метров оставалось неясным. Это прежде всего относилось к теории конических сечений. Самое выдающееся сочинение на эту тему — 8 книг Аполлония — было известно лишь частично.

При оценке деятельности Мерсенна надо иметь в виду, что первый науч ный журнал — «Журнал ученых» — был основан в 1665 г.

162 Блез Паскаль (1623 – 1662) «Konika» Предпринимались попытки дать модернизиро ванные изложения теории, среди которых наиболее из вестное принадлежит Кло ду Мидоржу (1585 – 1647), члену кружка Мерсенна, но его сочинение фактически не содержало новых идей. Де зарг заметил, что система тическое применение метода перспективы позволяет по строить теорию конических сечений с совершенно новых позиций.

Рис. 28. Рассмотрим центральную проекцию (из некоторой точки O) картинок на плоскости на плоскость. Применять такое преобразование в теории кони ческих сечений очень естественно, поскольку само их опреде ление — как сечений прямого кругового конуса — можно пере фразировать так: все они получаются при центральном проек тировании из вершины конуса на различные плоскости одного из них (например, окружности). Далее, заметив, что при цен тральном проектировании пересекающиеся прямые могут перей ти или в пересекающиеся или в параллельные, объединим два последних свойства в одно, считая, что все параллельные друг другу прямые пересекаются в одной «бесконечно удаленной точ ке»;

разные пучки параллельных прямых дают разные бесконеч но удаленные точки;

все бесконечно удаленные точки плоско сти заполняют «бесконечно удаленную прямую». Если принять эти соглашения, то две любые различные прямые (уже не ис ключая параллельных) будут пересекаться в единственной точ ке. Утверждение, что через точку A вне прямой m можно про вести единственную прямую, параллельную m, можно перефор мулировать так: через обычную точку A и бесконечно удален ную точку (отвечающую семейству прямых, параллельных m) проходит единственная прямая — в результате в новых услови ях без всяких ограничений справедливо утверждение, что через Блез Паскаль (1623 – 1662) две различные точки проходит един ственная прямая (бесконечно уда ленная, если обе точки бесконечно удалены). Мы видим, что получает ся очень изящная теория, но для нас важно то, что при центральном про ектировании точка пересечения пря- мых (в обобщенном смысле) перехо дит в точку пересечения.

Важно продумать, какую роль в этом утверждении играет введе ние бесконечно удаленных элемен тов (при каких условиях точка пере сечения переходит в бесконечно уда ленную точку, когда прямая пере ходит в бесконечно удаленную пря мую). Не останавливаясь на исполь Рис. 29.

зовании этого простого соображения Дезаргом, мы расскажем о том, как замечательно применил его Паскаль.

В 1640 г. Б. Паскаль напечатал свой «Опыт о конических се чениях». Небезынтересны сведения об этом издании: тираж — экземпляров, 53 строки текста напечатаны на афише, предна значенной для расклейки на углах домов (про афишу Паскаля достоверно не известно, но Дезарг заведомо рекламировал таким способом свои результаты). В афише, подписанной инициалами автора, без доказательства сообщается следующая теорема, ко торую ныне называют теоремой Паскаля. Пусть на коническом сечении L (на рисунке 29 L — парабола) произвольно выбраны и занумерованы 6 точек. Обозначим через P, Q, R точки пересе чения трех пар прямых (1, 2) и (4, 5);

(2, 3) и (5, 6);

(3, 4) и (6, 1).

(При простейшей нумерации — «по порядку» — это точки пере сечения противоположных сторон шестиугольника.) Тогда точки P, Q, R лежат на одной прямой1.

Сформулируйте самостоятельно следствия, получающиеся из этой теоре мы, когда некоторые из рассмотренных точек являются бесконечно удален ными.

164 Блез Паскаль (1623 – 1662) Рис. 30.

Паскаль вначале формулирует теорему для окружности и ограничивается простейшей нумерацией точек. В этом случае это элементарная, хотя и не слишком простая задача. А вот переход от окружности к любому коническому сечению очень прост. Нужно преобразовать при помощи центральной проекции такое сечение в окружность и воспользоваться тем, что при центральном про ектировании прямые переходят в прямые, а точки пересечения (в обобщенном смысле) — в точки пересечения. Тогда, как уже до казано, образы точек P, Q, R при проектировании будут лежать на одной прямой, а отсюда следует, что и сами точки P, Q, R обладают этим свойством.

Теорема, которую Паскаль назвал теоремой о «мистическом шестивершиннике», не была самоцелью;

он рассматривал ее как ключ для построения общей теории конических сечений, покрыва ющей теорию Аполлония. Уже в афише упоминаются обобщения важных теорем Аполлония, которые не удавалось получить Дез аргу. Дезарг высоко оценил теорему Паскаля, назвав ее «великой паскалевой»;

он утверждал, что в ней содержатся первые четыре книги Аполлония.

Паскаль начинает работу над «Полным трудом о конических сечениях», который в 1654 г. упоминается как оконченный в по слании «знаменитейшей Парижской математической академии».

От Мерсенна известно, что Паскаль получил около 400 следствий из своей теоремы. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) был последним, кто видел трактат Паскаля уже после его смерти, в 1675 – 1676 гг. Несмотря на совет Лейбница, родные не опублико вали рукопись, а со временем она была утеряна.

В качестве примера приведем одно из самых простых, но и Блез Паскаль (1623 – 1662) самых важных следствий из теоремы Паскаля: коническое сече ние однозначно определяется любыми своими пятью точками.

Действительно, пусть {1, 2, 3, 4, 5} — точки конического сечения и m — произвольная прямая, проходящая через (5). Тогда на m су ществует единственная точка (6) конического сечения, отличная от (5). В обозначениях теоремы Паскаля точка P является точкой пересечения (1, 2) и (4, 5), Q — точка пересечения (2, 3) и m, R — точка пересечения (3, 4) и P Q, а тогда (6) определится как точка пересечения (1, R) и m.

«Паскалево колесо». 2 января 1640 г. семья Паскалей переезжает в Руан, где Этьен Паскаль получает место интенданта провинции, фактически ведающего всеми делами при губернаторе. Этому на значению предшествовали любопытные события. Э. Паскаль при нял активное участие в выступлениях парижских рантьеров, за что ему грозило заточение в Бастилию. Он был вынужден скры ваться, но в это время заболела оспой Жаклина, и отец, несмотря на страшную угрозу, навещал ее. Жаклина выздоровела и да же участвовала в спектакле, на котором присутствовал кардинал Ришелье. По просьбе юной актрисы кардинал простил ее отца, но одновременно назначил его на должность. Бывший смутьян должен был проводить в жизнь политику кардинала (читателей «Трех мушкетеров» это коварство, наверное, не удивит).

Теперь у Этьена Паскаля было очень много счетной работы, в которой ему постоянно помогает сын. В конце 1640 г. Блезу Пас калю приходит мысль построить машину, чтобы освободить ум от расчетов «с помощью пера и жетонов». Основной замысел воз ник быстро и оставался неизменным на протяжении всей работы:

«... каждое колесо или стержень некоторого разряда, совершая движение на десять арифметических цифр, заставляет двигаться следующее только на одну цифру». Однако блестящая идея — это только первый шаг. Несравненно больших сил потребовала ее ре ализация. Позднее в «Предуведомлении» тому, кто «будет иметь любознательность видеть арифметическую машину и пользовать ся ею», Блез Паскаль скромно пишет: «Я не экономил ни время, ни труд, ни средства, чтобы довести ее до состояния быть тебе полезной». За этими словами стояло пять лет напряженной ра боты, которая привела к созданию машины («паскалева колеса», 166 Блез Паскаль (1623 – 1662) как говорили современники), надежно, хотя и довольно медлен но, производившей четыре действия над пятизначными числами.

Паскаль изготовил около пятидесяти экземпляров машины;

вот только перечень материалов, которые он перепробовал: дерево, слоновая кость, эбеновое дерево, латунь, медь. Он потратил мно го сил на поиски лучших ремесленников, владеющих «токарным станком, напильником и молотком», и ему много раз казалось, что они не в состоянии достичь необходимой точности. Тщательно продумывается система испытаний, в их число включается пере возка на 250 лье. Паскаль не забывает и о рекламе: он заручается поддержкой канцлера Сегье, добивается «королевских привиле гий» (нечто вроде патента), много раз демонстрирует машину в салонах и даже посылает экземпляр шведской королеве Христине.

Наконец, налаживается производство;

точное число произведен ных машин неизвестно, но до настоящего времени сохранилось восемь экземпляров.

Поражает, как блестяще умел делать Паскаль самые разные вещи. Сравнительно недавно стало известно, что в 1623 г. Шик кард, друг Кеплера, построил арифметическую машину, однако машина Паскаля была гораздо совершенней.

«Боязнь пустоты» и «великий эксперимент равновесия жидкостей».

В конце 1646 г. до Руана докатилась молва об удивительных «ита льянских опытах с пустотой». Вопрос о существовании пустоты в природе волновал еще древних греков;

в их взглядах на этот во прос проявилось присущее древнегреческой философии разнооб разие точек зрения: Эпикур считал, что пустота может существо вать и действительно существует;

Герон — что она может быть по лучена искусственно, Эмпедокл — что ее нет и ей неоткуда взять ся, и, наконец Аристотель утверждал, что «природа боится пу стоты». В средние века ситуация упростилась, поскольку истин ность учения Аристотеля была установлена практически в за конодательном порядке (еще в XVII веке за выступление про тив Аристотеля во Франции можно было попасть на каторгу).

Воспоминания о «боязни пустоты» еще долго сохранялись, о чем свидетельствует следующий пассаж из неоконченного про изведения Ф. М. Достоевского «Крокодил»: «Как же достигнуть устройством крокодила, чтоб он глотал людей? Ответ еще яснее:

Блез Паскаль (1623 – 1662) устроив его пустым. Давно уже решено физикой, что природа не терпит пустоты. Подобно тому и внутренность крокодила долж на именно быть пустою, чтобы не терпеть пустоты, а следственно беспрерывно глотать и наполняться всем, что только есть под ру кою».

Классический пример «боязни пустоты» демонстрирует вода, поднимающаяся вслед за поршнем, не давая образоваться пусто му пространству. И вдруг с этим примером произошел казус. При сооружении фонтанов во Флоренции обнаружилось, что вода «не желает» подниматься выше 34 футов (10,3 метра). Недоумева ющие строители обратились за помощью к престарелому Гали лею, который сострил, что, вероятно, природа перестает боять ся пустоты на высоте, превышающей 34 фута, но все же пред ложил разобраться в странном явлении своим ученикам Торри челли и Вивиани. Вероятно, Торричелли (а, возможно, и само му Галилею) принадлежит мысль, что высота, на которую мо жет подняться жидкость в насосе, обратно пропорциональна ее удельному весу. В частности, ртуть должна подняться на высо ту в 13,3 раза меньшую, чем вода, т. е. на 76. Опыт приобрел масштабы, более благоприятные для лабораторных условий, и был проведен Вивиани по инициативе Торричелли. Этот опыт хорошо известен, но все же напомним, что запаянная с одного конца метровая стеклянная трубка заполняется ртутью, откры тый конец зажимается пальцем, после чего трубка переворачи вается и опускается в чашку с ртутью. Если отнять палец, то уровень ртути в трубке упадет до 76. Торричелли делает два утверждения: во-первых, пространство над ртутью в трубке пу сто (потом его назовут «торричеллиевой пустотой»), а во-вторых, ртуть из трубки не выливается полностью, поскольку этому пре пятствует столб воздуха, давящий на поверхность ртути в чаш ке. Приняв эти гипотезы, можно все объяснить, но можно по лучить объяснение и введя специальные, довольно сложно дей ствующие силы, препятствующие образованию вакуума. Принять гипотезы Торричелли было непросто. Лишь немногие из его со временников смирились с тем, что воздух имеет вес;

некоторые, исходя из этого, поверили в возможность получения вакуума, но поверить, что легчайший воздух удерживает в трубке тяжелую ртуть, было почти невозможно. Упомянем, что Галилей пытал 168 Блез Паскаль (1623 – 1662) ся объяснить этот эффект свойствами самой жидкости, а Декарт утверждал, что кажущийся вакуум всегда заполнен «тончайшей материей».

Паскаль с увлечением повторяет итальянские опыты, приду мав много остроумных усовершенствований. Восемь таких опытов описаны в трактате, опубликованном в 1647 г. Он не ограничи вается опытами с ртутью, а экспериментирует с водой, маслом, красным вином, для чего ему потребовались бочки вместо чашек и трубки длиной около 15. Эффектные опыты выносятся на ули цы Руана, радуя его жителей. (До сих пор гравюры с винным барометром любят воспроизводить в учебниках физики.) На первых порах Паскаля более всего интересует вопрос о доказательстве того, что пространство над ртутью пусто. Была распространена точка зрения, что кажущийся вакуум заполняет материя, «не имеющая свойств» (вспоминается подпоручик Киже из повести Ю. Н. Тынянова, «не имеющий фигуры»). Доказать отсутствие такой материи просто невозможно. Четкие высказы вания Паскаля очень важны в плане постановки более широкой проблемы о характере доказательств в физике. Он пишет: «По сле того как я доказал, что ни одна из материй, которые доступны нашим чувствам и которые нам известны, не заполняет это про странство, кажущееся пустым, мое мнение, пока мне не докажут существование какой-то материи, заполняющей его, — что это про странство в самом деле пусто и лишено всякой материи». Менее академические высказывания содержатся в письме ученому-иезу иту Ноэлю: «Но у нас больше оснований отрицать ее (тончайшей материи — С. Г.) существование, потому что нельзя его доказать, чем верить в нее по той единственной причине, что нельзя до казать, что ее нет». Итак, необходимо доказывать существование объекта и нельзя требовать доказательства его отсутствия (это ассоциируется с юридическим принципом, состоящим в том, что суд должен доказать виновность и не вправе требовать от обви няемого доказательств невиновности).

На родине Паскаля в Клермоне жила в это время старшая сестра Б. Паскаля Жильберта;

ее муж Флорен Перье, служа в суде, свободное время посвящал наукам. 15 ноября 1647 г. Пас каль отправляет Перье письмо, в котором просит сравнить уровни ртути в трубке Торричелли у подножия и на вершине горы Пюи Блез Паскаль (1623 – 1662) де-Дом: «Вы понимаете, если бы высота ртути на вершине горы оказалась меньшей, чем у подошвы (я так думаю по многим осно ваниям, хотя все, писавшие об этом предмете, придерживаются другого мнения), то из этого можно было бы заключить, что един ственная причина явления — тяжесть воздуха, а не пресловутый horror vacui (боязнь пустоты — С. Г.). Ясно, в самом деле, что вни зу горы воздух должен быть сгущеннее, чем наверху, между тем как нелепо предполагать в нем больший страх пустоты у под ножия, нежели на вершине». Эксперимент по разным причинам откладывался и состоялся лишь 19 сентября 1648 г. в присутствии пяти «уважаемых жителей Клермона». В конце года вышла бро шюра, в которую были включены письмо Паскаля и ответ Перье с очень скрупулезным описанием опыта. При высоте горы около 1,5 разница уровней ртути составила 82,5 ;

это «повергло участ ников эксперимента в восхищение и удивление» и, вероятно, было неожиданным для Паскаля. Предположить существование пред варительных оценок невозможно, а иллюзия легкости воздуха бы ла очень велика. Результат был столь ощутим, что уже одному из участников эксперимента аббату де ла Мару приходит в голо ву мысль, что результаты может дать эксперимент в куда более скромных масштабах. И, действительно, разница уровней ртути у основания и наверху собора Нотр-Дам-де-Клермон, имеющего вы соту 39, составила 4,5. Если бы Паскаль допускал такую возмож ность, он не стал бы ожидать десять месяцев. Получив известие от Перье, он повторяет эксперименты на самых высоких зданиях Парижа, получая те же результаты. Паскаль назвал этот экс перимент «великим экспериментом равновесия жидкостей» (это название может вызвать удивление, поскольку речь идет о равно весии воздуха и ртути и тем самым воздух назван жидкостью).

В этой истории есть одно запутанное место. Декарт утверждал, что именно он подсказал идею эксперимента. Вероятно, здесь про изошло какое-то недоразумение, так как трудно предположить, что Паскаль сознательно не ссылался на Декарта.

Паскаль продолжает экспериментировать, используя наряду с барометрическими трубками большие сифоны (подбирая корот кую трубку так, чтобы сифон не работал);

он описывает разницу в результатах экспериментов для различных местностей Фран ции (Париж, Овернь, Дьепп): Паскаль знает, что барометр можно 170 Блез Паскаль (1623 – 1662) использовать как высотомер (альтиметр), но вместе с тем пони мает, что зависимость между уровнем ртути и высотой местности не проста, и обнаружить ее пока не удается. Он замечает, что показания барометра в одной и той же местности зависят от по годы;

сегодня предсказание погоды — основная функция баромет ра (прибор для измерения «изменений воздуха» хотел построить Торричелли). А однажды Паскаль решил вычислить общий вес атмосферного воздуха («мне хотелось доставить себе это удоволь ствие, и я провел расчет»). Получилось 8,5 триллиона француз ских фунтов.

Мы не имеем возможности останавливаться на других опы тах Паскаля о равновесии жидкостей и газов, поставивших его наряду с Галилеем и Симоном Стевином (1548 – 1620) в число со здателей классической гидростатики. Здесь и знаменитый закон Паскаля, и идея гидравлического пресса, и существенное развитие принципа возможных перемещений. Одновременно он придумы вает, например, зрелищно эффектные опыты, иллюстрирующие открытый Стевином парадоксальный факт, что давление жидко сти на дно сосуда зависит не от формы сосуда, а лишь от уровня жидкости: в одном из опытом наглядно видно, что требуется груз в 100 фунтов, чтобы уравновесить давление на дно сосуда воды ве сом в одну унцию;

в процессе опыта вода замораживается, и тогда хватает груза в одну унцию. Паскаль демонстрирует своеобраз ный педагогический талант. Было бы хорошо, если бы и сегодня школьника удивляли те факты, которые поражали Паскаля и его современников.

Физические исследования Паскаля были прерваны в 1653 г. в результате трагических происшествий, о которых мы расскажем ниже.

«Математика случая». В январе 1646 г. Этьен Паскаль во вре мя гололеда вывихнул бедро, и это едва не стоило ему жизни.

Реальность потери отца произвела ужасное впечатление на сы на, и это прежде всего сказалось на его здоровье: головные боли стали невыносимыми, он мог передвигаться лишь на костылях и был в состоянии проглотить только несколько капель теплой жид кости. От врачей-костоправов, лечивших отца, Б. Паскаль узнал об учении Корнелия Янсения (1585 — 1638), которое в то время Блез Паскаль (1623 – 1662) распространялось во Франции, противостоя иезуитизму (послед ний существовал к тому времени примерно сто лет). На Паскаля произвел наибольшее впечатление побочный элемент в учении Ян сения: допустимо ли бесконтрольное занятие наукой, стремление все познать, все разгадать, связанное прежде всего с неограни ченной пытливостью человеческого ума или, как писал Янсений, с «похотью ума». Паскаль воспринимает свою научную деятель ность как греховную, а выпавшие на его долю беды — как кару за этот грех. Это событие сам Паскаль назвал «первым обращени ем». Он решает отказаться от дел «греховных и противных Богу».

Однако это ему не удается: мы уже забежали вперед и знаем, что вскоре он каждую минуту, которую ему оставляет болезнь, посвя тит физике.

Здоровье несколько улучшается, и с Паскалем происходят ве щи, мало понятные для его близких. Он мужественно переносит в 1651 г. смерть отца, и его рационалистические, внешне холод ные рассуждения о роли отца в его жизни резко контрастируют с реакцией пятилетней давности (он пишет, что теперь присутствие отца не является «абсолютно необходимым», что он нуждался бы в нем еще десять лет, хотя присутствие отца было бы полезно всю жизнь).

А потом у Паскаля появились знакомые, мало подходящие для янсениста. Он путешествует в свите герцога де Роанне и знако мится там с кавалером де Мере, человеком высокообразованным и умным, но несколько самоуверенным и поверхностным. С де Мере охотно общались великие современники, и только поэтому его имя сохранилось в истории. При этом он умудрился писать Паскалю письма с поучениями по разным вопросам, не исключая и матема тики. Сейчас все это выглядит наивным и, по словам Сент-Бёва, «такого письма вполне достаточно, чтобы погубить человека, его писавшего, во мнении потомства». Тем не менее довольно дли тельное время Паскаль охотно общался с де Мере, он оказался способным учеником кавалера по части светской жизни.

Мы переходим к истории о том, как «задача, поставленная перед суровым янсенистом светским человеком, стала источни ком теории вероятностей» (Пуассон). Собственно, задач было две, и, как выяснили историки математики, обе они были известны задолго до де Мере. Первый вопрос состоит в том, сколько раз 172 Блез Паскаль (1623 – 1662) нужно кинуть две игральные кости, чтобы вероятность того, что хотя бы один раз выпадут две шестерки, превысит вероятность того, что две шестерки не выпадут ни разу. Де Мере и сам ре шил эту задачу, но, к сожалению,... двумя способами, давшими разные ответы: 24 и 25 бросков. Будучи уверенным в одинаковой достоверности обоих способов, де Мере обрушивается на «непо стоянство» математики. Паскаль, убедившись в том, что правиль ный ответ — 25, даже не приводит решения. Основные его усилия были направлены на решение второй задачи — задачи «о справед ливом разделе ставок». Происходит игра, все участники (их число может быть больше двух) вначале делают ставки в «банк»;

игра разбивается на несколько партий, и для выигрыша банка надо вы играть некоторое фиксированное число партий. Вопрос состоит в том, как следует справедливо разделить банк между игроками в зависимости от числа выигранных ими партий, если игра не до ведена до конца (никто не выиграл числа партий, достаточного для получения банка). По словам Паскаля, «де Мере... даже не смог подступиться к этому вопросу... ».

Никто из окружения Паскаля не сумел понять предложенное им решение, но все же достойный собеседник нашелся. Между 29 июля и 27 октября 1654 г. Паскаль обменивается письмами с Ферма (при посредничестве Пьера Каркави, продолжавшего дея тельность Мерсенна). Часто считают, что в этой переписке роди лась теория вероятностей. Ферма решает задачу о ставках иначе, чем Паскаль, и первоначально возникают некоторые разногласия.

Но в последнем письме Паскаль констатирует: «Наше взаимопо нимание полностью восстановлено», и далее: «Как я вижу, истина одна и в Тулузе, и в Париже». Он счастлив тем, что нашел велико го единомышленника: «Я и впредь хотел бы по мере возможностей делиться с Вами своими мыслями».

В том же 1654 г. Паскаль опубликовал одну из самых попу лярных своих работ «Трактат об арифметическом треугольнике».

Теперь его называют треугольником Паскаля, хотя оказалось, что он был известен еще в Древней Индии, а в XVI веке был переот крыт Штифелем. В основе лежит простой способ вычислять число k- k k k сочетаний Cn индукцией по n (по формуле Cn = Cn-1 + Cn-1).

В этом трактате впервые принцип математической индукции, ко торый фактически применялся и раньше, формулируется в при Блез Паскаль (1623 – 1662) вычной для нас форме.

В 1654 г. Паскаль в послании «Знаменитейшей Парижской ма тематической академии» перечисляет работы, которые готовятся им к публикации, и в их числе трактат, который «может по праву претендовать на ошеломляющее название Математика случая“ ».

” Луи де Монтальт. Вскоре после смерти отца Жаклина Паскаль уходит в монастырь, и Блез Паскаль лишается присутствия очень близкого человека. Какое-то время его привлекает возможность жить, как живет большинство людей: он подумывает о том, чтобы купить должность в суде и жениться. Но этим планам не суждено было сбыться. В середине ноября 1654 г., когда Паскаль переезжал мост, передняя пара лошадей сорвалась, а коляска чудом задер жалась у края пропасти. С тех пор, по словам Ламетри, «в обще стве или за столом Паскалю всегда была необходима загородка из стульев или сосед слева, чтобы не видеть страшной пропасти, в которую он боялся упасть, хотя знал цену подобным иллюзиям».

23 ноября происходит необычайный нервный припадок. Находясь в состоянии экстаза, Паскаль записывает на клочке бумаги мысли, которые проносятся в его голове: «Бог Авраама, Бог Исаака, Бог Иакова, но не Бог философов и ученых... ». Позднее он перенес эту запись на пергамент;

после его смерти обе бумаги обнару жили зашитыми в его камзоле. Это событие называют «вторым обращением» Паскаля. С этого дня, по свидетельству Жаклины, Паскаль чувствует «огромное презрение к свету и почти непре одолимое отвращение ко всем принадлежащим ему вещам». Он прерывает занятия и с начала 1655 г. поселяется в монастыре Пор-Рояль (оплоте янсенистов), добровольно ведя монашеский образ жизни. В это время Паскаль пишет «Письма к провинциа лу» — одно из величайших произведений французской литерату ры. «Письма» содержали критику иезуитов. Они издавались от дельными выпусками — «письмами», — начиная с 23 января 1656 г.

до 23 марта 1657 г. (всего 18 писем). Автора — «друга провинциа ла» — звали Луи де Монтальтом. Слово «гора» в этом псевдониме (la montagne) уверенно связывают с воспоминаниями об опытах на Пюи-де-Дом. Письма читали по всей Франции, иезуиты были в бешенстве, но не могли достойно ответить (королевский духовник отец Анна предлагал 15 раз — по числу написанных к тому време 174 Блез Паскаль (1623 – 1662) ни писем — сказать, что Монтальт — еретик). За автором, оказав шимся смелым и талантливым конспиратором, охотился судебный следователь, которого контролировал сам канцлер Сегье, когда то покровительствовавший создателю арифметической машины (по свидетельству современника, уже после двух писем канцлеру «семь раз отворяли кровь»), и, наконец, в 1660 г. государствен ный совет постановил сжечь книгу «мнимого Монтальта». Но это было по существу символическим мероприятием. Тактика Пас каля дала поразительные результаты. «Делались попытки самы ми различными способами показать иезуитов отвратительными;

Паскаль сделал больше: он показал их смешными», — так оцени вает «Письма» Вольтер. «Шедевром шутливой логики» назвал их Бальзак, «кладом для комедиографа» — Расин. Образы Паскаля предвещали появление мольеровского Тартюфа.

Работая над «Письмами», Паскаль ясно понимал, что пра вильное владение логикой важно не только математикам. В Пор Рояле много думали о системе образования, и существовали даже специальные янсенистские «маленькие школы». Паскаль актив но включился в эти размышления, сделав, например, интересные замечания о первоначальном обучении грамоте (он считал, что нельзя начинать с изучения алфавита). В 1667 г. посмертно вы шли два фрагмента работы Паскаля «Разум геометра и искусство убеждения». Это сочинение не является научной работой;

его на значение более скромно — быть введением к учебнику геометрии для янсенистских школ. Многие высказывания Паскаля произво дят очень сильное впечатление, и не верится, что такая четкость формулировок была достижима в середине XVII века. Вот одно из них: «Все должно быть доказано, и при доказательстве нельзя использовать ничего кроме аксиом и ранее доказанных теорем.

Никогда нельзя злоупотреблять тем обстоятельством, что разные вещи нередко обозначаются одним и тем же словом, поэтому опре деляемое слово должно быть мысленно заменено определением».

В другом месте Паскаль замечает, что обязательно существуют неопределяемые понятия. Исходя из этих высказываний, Жак Адамар (1865 – 1963) считал, что Паскалю оставался маленький шаг, чтобы произвести «глубокую революцию во всей логике — революцию, которую Паскаль мог бы осуществить тремя века ми раньше, чем это действительно случилось». Вероятно, здесь Блез Паскаль (1623 – 1662) имеется в виду тот взгляд на аксиоматические теории, который сложился после открытия неевклидовой геометрии.

Удивительные события не переставали происходить в жизни Паскаля. В страшный для него 1654 год у его любимой племян ницы Маргариты появилась опухоль в уголке глаза. Врачи были бессильны помочь девочке, состояние которой непрерывно ухуд шалось. В марте 1657 г. к глазу приложили хранившийся в Пор Рояле «святой терний» (колючка, по преданию, снятая с терно вого венца Христа), и... опухоль пошла на убыль. «Чудо святого терния», по словам Жильберты Перье (матери Маргариты), «бы ло засвидетельствовано знаменитыми врачами и искуснейшими хирургами и легализовано торжественным постановлением церк ви». Слухи о случившемся произвели настолько сильное впечат ление на церковь, что янсенистский монастырь в очередной раз избежал закрытия. Что касается Паскаля, то «радость его была столь огромна, что ум его отдался этому чувству всецело, и у него явилось много удивительных мыслей о чудесах» (Жильберта Пе рье). Великий ученый поверил в чудо! Он писал: «Невозможно разумно рассуждать против чудес». Позднее он даже попытался дать определение чуда: «Чудо — это действие, которое превыша ет естественную силу способов, при нем употребляющихся... ».

Потом были предприняты многочисленные попытки рациональ но объяснить случившееся (одно из объяснений: причиной опу холи была металлическая соринка, а терний обладал магнитным свойством). С тех пор на печати Паскаля был изображен глаз, окруженный терновым венцом.

Амос Деттновиль. «Я провел много времени в изучении отвле ченных наук;

недостаток сообщаемых ими сведений отбил у меня охоту к ним. Когда я начал изучение человека, я увидел, что эти отвлечения ему несвойственны и что я еще больше запутался, углубляясь в них, чем другие, не зная их». Эти слова Паскаля характеризуют его настроение в последние годы жизни. И все же полтора года из них он занимался математикой...

Началось это весной 1658 г. как-то ночью, когда во время страшного приступа зубной боли Паскаль вспомнил одну нере шенную задачу Мерсенна про циклоиду. Он замечает, что напря женные размышления отвлекают от боли. К утру он уже доказал 176 Блез Паскаль (1623 – 1662) целый ряд результатов о циклоиде и... исцелился от зубной бо ли. Поначалу Паскаль считает случившееся грехом и не собира ется записывать полученные результаты. Позднее, под влиянием герцога де Роанне, он изменяет свое решение, в течение восьми дней, по свидетельству Жильберты Перье, «он только и делал, что писал, пока рука могла писать». А затем в июне 1658 г. Пас каль, как это часто делалось тогда, организовал конкурс, предло жив крупнейшим математикам решить шесть задач про циклоиду.

Наибольших успехов добились Христиан Гюйгенс (1629 – 1695), решивший четыре задачи, и Джон Валлис (1616 – 1703), у кото рого с некоторыми пробелами были решены все задачи. Но наи лучшей была признана работа неизвестного Амоса Деттонвиля.

Гюйгенс признавал позднее, что «эта работа выполнена столь тонко, что к ней нельзя ничего добавить». Заметим, что «Amos Dettonville» состоит из тех же букв, что «Louis de Montalte» (если вы будете проверять это, имейте в виду, что в XVII веке буквы u и v не различались). Так придуман новый псевдоним Паскаля1.

На премиальные 60 пистолей труды Деттонвилля были изданы.

Теперь несколько слов о работе. Мы уже говорили о цикло иде. Эту кривую описывает точка круга, катящегося по прямой без скольжения. Первоначальный интерес к циклоиде стимули ровался тем, что ряд интересных задач для нее удалось решить элементарно. Например, по теореме Торричелли, чтобы провести касательную к циклоиде в точке A, нужно взять соответствующее этой точке положение производящего (катящегося) круга и соеди нить его верхнюю точку B с A. Вот еще одна теорема, которую Торричелли и Вивиани приписывают Галилею: площадь криволи нейной фигуры, ограниченной аркой циклоиды, равна утроенной площади производящего круга.

Задачи, рассмотренные Паскалем, уже не допускают элемен тарных решений (площадь и центр тяжести произвольного сег мента циклоиды, объемы соответствующих тел вращения и т. д.).

Еще одна анаграмма этого имени «Соломон де Тульти» (Salomon de Tulti») появилась в последнем произведении Пас каля «Мысли» среди авторов, которым он следует (наряду с Эпиктетом и Монтенем). Паскалеведы немало потрудились в поисках загадочного философа, пока догадались, в чем дело.

Блез Паскаль (1623 – 1662) На этих задачах Паскаль разработал по существу все, что необхо димо для построения дифференциального и интегрального исчис ления в общем виде. Лейбниц, который делит с Ньютоном славу создателя этой теории, пишет, что когда по совету Гюйгенса он ознакомился с работами Паскаля, его «озарило новым светом», он удивился, насколько был близок Паскаль к построению общей теории и неожиданно остановился, будто «на его глазах была пе лена».

Для работ, предвосхищавших появление дифференциального и интегрального исчисления, было характерно то, что интуиция их авторов сильно опережала возможности провести строгие до казательства;

математический язык был недостаточно развит, чтобы перенести на бумагу ход мыслей. Выход был найден позд нее путем введения новых понятий и специальной символики.

Паскаль не прибегал ни к какой символике, но он так виртуозно владел языком, что временами кажется, что у него в этом просто не было потребности. Приведем высказывание Н. Бурбаки: «Вал лис в 1655 г. и Паскаль в 1658 г. составили каждый для своего употребления языки алгебраического характера, в которых, не записывая ни единой формулы, они дают формулировки, кото рые можно немедленно, как только будет понят их механизм, записать в формулах интегрального исчисления. Язык Паскаля особенно ясен и точен;

и если не всегда понятно, почему он от казался от применения алгебраических обозначений не только Декарта, но и Виета, все же нельзя не восхищаться его мастер ством, которое могло проявиться лишь на основе совершенного владения языком». Хочется сказать, что здесь Паскаль-писатель помог Паскалю-математику.

«Мысли». После середины 1659 г. Паскаль уже не возвращался ни к физике, ни к математике. В конце мая 1660 г. он в последний раз приезжает в родной Клермон;

Ферма приглашает его заехать в Тулузу. Горько читать ответное письмо Паскаля от 10 августа.

Вот несколько выдержек из него: «... в настоящее время я зани маюсь вещами, столь далекими от геометрии, что с трудом вспо минаю о геометрии... хотя Вы тот человек, кого во всей Европе я считаю самым крупным математиком, не это качество привле кает меня;

но я нахожу столько ума и прямоты в Вашей беседе 178 Блез Паскаль (1623 – 1662) и поэтому ищу общения с Вами... я нахожу математику наибо лее возвышенным занятием для ума, но в то же время я знаю, что она столь бесполезна, что я делаю малое различие между человеком, который только геометр, и искусным ремесленником.

Поэтому я называю ее самым красивым ремеслом на свете, но, в конце концов, это лишь ремесло. И я часто говорил, что она хороша, чтобы испытать свою силу, но не для приложения этой силы... ». И, наконец, строчки, говорящие о физическом состоя нии Паскаля: «Я так слаб, что не могу ни ходить без палки, ни ездить верхом. Я не могу даже ехать в экипаже более двух или трех лье... ». В декабре 1660 г. Гюйгенс дважды посетил Паскаля и нашел его глубоким стариком (Паскалю было 37 лет), который не в состоянии вести беседу.

Паскаль решает разобраться в самых сокровенных тайнах че ловеческого существования, в смысле жизни. Он растерян: «Я не знаю, кто меня послал в мир, я не знаю, что такое мир, что та кое я. Я в ужасном и полнейшем неведении... Как я не знаю, откуда я пришел, так же точно не знаю, куда уйду... Вот мое по ложение: оно полно ничтожности, слабости, мрака». Его занятия естественными науками не могут помочь ответить на возникшие вопросы: «Знание физики не утешает меня в незнании начал нрав ственности в момент страданий». Когда-то Паскаль писал: «Нет нигде настоящих доказательств, кроме как в геометрии и там, где ей подражают». Но на сей раз геометрия не может быть образ цом (хотя немало людей пыталось строить математическую тео рию нравственности!). А. С. Пушкин писал не без иронии: « Все, ” что превышает геометрию, превышает нас“, — сказал Паскаль.

И вследствие того написал свои философские мысли!». Но Пас каль не видит здесь противоречия. Он искал истину на другом пути: «Я одобряю только тех, которые ищут с болью в серд це». Паскаль пишет: «Все наше достоинство заключено в мысли.

Не пространство и не время, которых мы не можем заполнить, возвышают нас, а именно она, наша мысль. Будем же учить ся хорошо мыслить: вот основной принцип морали». Он неодно кратно возвращается к этому вопросу: «Человек, по-видимому, создан, чтобы мыслить;

в этом все его достоинство, вся его заслу га;

вся его обязанность в том, чтобы мыслить как должно... А о Блез Паскаль (1623 – 1662) чем думают люди?... о том, как бы потанцевать, поиграть на лютне, попеть, написать стихи, покататься на карусе ли и т. д., как бы постро иться, сделаться королем...

Все достоинство человека в его мысли. Но что такое эта мысль? Как она глупа!» Но хорошо мыслить — небезопас но: «Крайнюю степень ума об виняют в безумии точно так же, как полное отсутствие ума.

Хороша только посредствен ность». Паскаль много думает о роли религии в жизни чело века. Почти нет вопроса, ми мо которого он проходит. Он продумывает человеческую ис торию, подчеркивает роль слу чая в ней («Если бы нос Клео патры был бы короче, вся по верхность земли приняла бы другой вид»), повествует о страшных сторонах человеческой жизни («Может ли быть что-нибудь неле пее факта, что такой-то человек имеет право убить меня, потому что он живет по ту сторону реки или моря и потому что его пра вительство в ссоре с моим, хотя я никакой не имею с ним ссоры»).

Высказывания Паскаля по самым разным вопросам необычайно проницательны. Его мысли о государстве ценил Наполеон, ко торый, находясь в изгнании на острове св. Елены, говорил, что «сделал бы Паскаля сенатором».

Паскаль не окончил главную книгу жизни. Оставшиеся мате риалы были изданы посмертно в разных вариантах, под разными названиями. Чаще всего книгу называют «Мысли».

Популярность этой книги была необычайной. Мы ограничим ся тем, что подчеркнем ее влияние на деятелей русской культуры.

Не все принимали ее. И. С. Тургенев называл «Мысли» «самой ужасной, самой несносной книгой из всех когда-либо напечатан 180 Блез Паскаль (1623 – 1662) ных», но писал, что «... никогда еще никто не подчеркивал то го, что подчеркивает Паскаль: его тоска, его проклятия ужас ны. В сравнении с ним Байрон — розовая водица. Но какая глу бина, какая ясность — какое величие!... Какой свободный силь ный, дерзкий и могучий язык!... ». Н. Г. Чернышевский писал о Паскале: «... погибать от избытка умственных сил — какая слав ная погибель... ». Полемика с Паскалем прошла через всю жизнь Ф. М. Достоевского. Для Л. Н. Толстого Паскаль был одним из самых почитаемых мыслителей. Имя Паскаля постоянно встреча ется в составленном им «Круге чтения» (около 200 раз). Паскаль для Л. Н. Толстого писатель, «пишущий кровью сердца».

Блез Паскаль скончался 19 августа 1662 г. 21 августа в церкви Сент-Этьен-дю-Мон был составлен «Похоронный акт»: «В поне дельник 21 августа 1662 г. был похоронен в церкви покойный Блез Паскаль, при жизни стремянный, сын покойного Этьена Паска ля, государственного советника и президента палаты сборов в Клермон-Ферране. 50 священников, получено 20 франков».

ВЫСОКОЙ ГЕОМЕТРИИ НАЧАЛА Но это лишь начала некоей много более высокой Геометрии, которая распространяется на труднейшие и прекраснейшие задачи прикладной Математики, и едва ли кому-нибудь удаст ся заняться с той же легкостью такими вещами, не пользуясь нашим дифференциальным исчислением или ему подобны ми. Лейбниц В 1684 г. в журнале «Acta Eruditorum», выходившем с 1682 г. в Лейпциге («Труды ученых», или, как говорят сейчас, «Ученые за писки»), появилась семистраничная статья Готфрида Вильгельма Лейбница (1646 – 1716) «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления». Это была первая публикация по дифференциаль ному исчислению, хотя возникло оно лет на двадцать раньше, а первые шаги старше еще на пятьдесят лет и относятся к самому началу XVII века.

Золотой век анализа. Анализ бесконечно малых... Как видятся сегодня вехи героического века его создания? В самом нача ле XVII века Галилей (1564 – 1642) изучает равноускоренное движение в связи со свободным падением. Как исследовать неравномерное движение, если вся наша интуиция относится к равномерному движению? Можно считать, что на малых участ ках времени движение мало отличается от равномерного. Но удобнее считать, что на «бесконечно малых» интервалах оно просто является равномерным. Появляется очень расплывчатый образ неравномерного движения, рассыпающегося на бесконечное множество бесконечно малых интервалов (нулевых?) с равно мерным движением. Лишь через двести лет этот образ удалось превратить в математически корректное понятие, но все это время 182 Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) математики решительно и успешно работали с ним. А по том от прямолинейного дви жения перешли к криволиней ному: движение тела, брошен ного под углом к горизонту.

Появляется идея рассматри вать кривые как траектории движений. Так Галилей иссле дует параболу.

Впрочем, у Галилея был ве ликий предшественник в этих рассмотрениях: Архимед опре делил свою спираль кинема тически. Вообще, век анализа долго продолжался с оглядкой на Архимеда. Уже в XVI ве ке ученые настойчиво изучали его труды по вычислению пло щадей и объемов криволиней Готфрид Вильгельм Лейбниц ных фигур и тел. В Древней Греции был развит логически безупречный метод доказательства формул для криволинейных квадратур и кубатур — метод исчерпания. Формула доказывалась от противного при помощи приближения кривого тела с двух сто рон ступенчатыми телами с любой точностью. Этим методом бле стяще владел Архимед, а до него Евдокс доказал таким образом формулы для объема пирамиды и конуса. Теперь мы знаем (в XVII веке это не было известно), что когда Архимед искал фор мулы (а не доказывал их), он разрезал тело на бесконечно малые слои (неделимые), а потом пользовался механическими сообра жениями. Из переписки Галилея мы знаем, что он много думал о методе «неделимых», но не написал задуманной книги.

Вскоре после того, как математики XVII века занялись про блемой измерения криволинейных площадей и объемов, им стало тесно в рамках метода исчерпания. Первым, кто предпочитает двигаться по скользкой дороге бесконечно малых, был Кеплер (1571 – 1630). В 1616 г. выходит его «Новое измерение винных бо Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) чек», где он исследует практическое правило измерения объема бочки при помощи одного замера линейкой, просунутой в налив ное отверстие. Он не приводит доказательства по Архимеду, смело работает с бесконечно малыми, но выражает уверенность в воз можности провести строгое доказательство. Кеплер пишет, что он излагает принципы Архимеда «лишь настолько, насколько это го достаточно для удовлетворения ума, любящего геометрию, а полные во всех частях строгие доказательства следует искать в самих книгах Архимеда, если кто не убоится тернистого пути их чтения». Эта позиция (строгие доказательства провести можно, но мы этого делать не будем) надолго становится удобной за щитой от необходимости проводить строгие доказательства. Вот несколько примеров. Ферма: «Было бы легко дать доказатель ство в духе Архимеда... достаточно предупредить об этом раз и навсегда, чтобы избежать постоянных повторений». Паскаль:

«Один из методов отличается от другого только способом выра жения». Барроу: «Это доказательство можно было бы удлинить апагогическим (от противного — С. Г.) рассуждением, но для че го?». Но находились критики, которые пытались остановить лю бителей вольно обращаться с бесконечно малыми, заклиная их именем Архимеда. Против Кеплера было направлено сочинение Андерсона, ученика Виета, «Иск Архимеда» (1616 г.). Еще через сто лет Ролль констатировал, что «характер точности не господ ствует больше в геометрии с тех пор, как к ней примешали новую систему бесконечно малых».

Кеплер еще при формулировке своего второго закона рассмат ривал площадь, заметаемую отрезком, соединяющим Солнце с планетой, как «сумму» этих отрезков. Каждый следующий мате матик пытался разработать более безопасные процедуры работы с бесконечно малыми. Кавальери (ок. 1598 – 1647) был близок к Га лилею и удостоился от Галилея высшей похвалы — был назван «со перником Архимеда». Кавальери посвятил методу неделимых две книги (1635, 1647). Он исходит из того, что площадь определяется длинами отрезков, по которым фигура пересекается семейством параллельных прямых (аналогично для объема). Кавальери уве рен, что его процедуры имеют преимущества по сравнению с прие мами Кеплера: «Всякий, кто видел трактат упомянутого Кеплера о движении Марса, может легко убедиться на основании наших 184 Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) исследований, как легко ему было впасть в ошибку... исходя из предположения, что площадь эллипса равновелика совокупности всех расстояний планеты, вращающейся на эллиптической линии, от Солнца». Кавальери считал, что надо осторожно работать с непараллельными отрезками, но Кеплер не ошибался! Только ин туиция могла защитить математиков от заблуждений при работе с бесконечно малыми.

Кавальери применяет свои методы к вычислению площади криволинейной трапеции под параболами y = xn(в современных b обозначениях xn dx). С огромным трудом он постепенно увели a чивает n, дойдя между 1635 г. и 1647 г. до n = 9. Но к этому времени Ферма (1601 – 1655) уже умел вычислять площади для всех рациональных n = -1 (в 1644 г. он сообщил об этом Кавалье ри, но первые результаты относятся еще к 1629 г.). Математики начинают ощущать свое превосходство над древними. В 1644 г.

Торричелли писал: «Несомненно, что геометрия Кавальери есть удивительное по своей экономии средство для нахождения тео рем... Это — истинно царская дорога среди зарослей математи ческого терновника... Жаль мне древней геометрии, что она ли бо на знала, либо не хотела признавать учения о неделимых».

Как же обстоит дело в случае n = -1, выпавшем из рассмот рений Ферма? И здесь выяснилось поразительное обстоятельство:

x при квадратуре гиперболы появляются логарифмы ( dy/y = ln x). Этот замечательный факт постепенно выкристаллизовывал ся, начиная с работы Сент-Винцента (около 1647 г.). Логариф мы появились у Непера (1550 – 1617) в самом конце XVI века при помощи кинематических рассмотрений, очень напоминавших первые механические построения Галилея. Однако долго они вос принимались как чисто вычислительное средство (таблицы!) и не пересекались с теоретическими исследованиями. Как писал Торричелли, Непер «следовал только арифметической практике» (грубо говоря, еще не было логарифмической или показательной функций), и лишь с середины века эти функции начинают по являться (в значительной степени в связи с квадратурами). Это было принципиально, что при квадратуре алгебраической функ ции простого вида появляется трансцендентная. Был подробно исследован вопрос о квадратуре круга и его частей, и здесь выяс Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) нилось, что квадратура алгебраической функции ( 1 - x2) ведет к тригонометрическим (круговым) функциям. Кстати, и синусо ида появилась тогда же как промежуточный объект при вычис лении площади под циклоидой («спутница циклоиды»).

Постепенно в круг интересов математиков все более начинают входить задачи на проведение касательных к кривым. Древние умели проводить касательные лишь к коническим сечениям, да еще Архимед умел строить касательную к своей спирали. Так что в этой задаче с самого начала математики XVII века были ли шены поддержки древних. Начиная с 1629 г. Декарт (1596 – 1650) и Ферма, соревнуясь друг с другом, разрабатывают общие прин ципы построения касательных, причем последний связывает их с задачами на максимум и минимум. Параллельно Торричелли и Роберваль (1602 – 1675) предлагают искусственные приемы по строения касательных, интерпретируя их как направления ско рости при движении по кривой и искусно представляя движение по кривой как сложное движение, составленное из более простых.

В 50 – 60-е годы, отправляясь от результатов Декарта – Ферма, Слюз, Гудде, Гюйгенс находят совершенно автоматические пра вила построения касательных к широким классам алгебраических кривых. Характерно, что никто из авторов не спешил обнародо вать свое правило. В 1659 г. Гудде пишет Схоутену: «Я прошу вас сохранить в тайне все, что я вам пишу, и не говорить кому бы то ни было, что найдено нечто подобное. Необходимо, чтобы мои луч шие открытия либо были известны только самым интимным моим друзьям, либо чтобы они стали известны всем». Характерная ил люстрация эпохи! Информация распространяется в основном при помощи писем, редко выходят книги, а первый журнал («Журнал ученых» в Париже) стал выходить в 1665 г. Быстрая публика ция еще не воспринималась как естественное средство сохранить приоритет. Считалось вполне допустимым «придержать» метод, чтобы самому извлечь максимальные следствия.

В 1668 г. Николай Кауфман (1620 – 1689), более известный под именем Меркатор, опубликовал в книге «Логарифмотехника» за мечательный способ вычислять логарифмы:

x dx x2 x3 x = ln(1 + x) = x - + - +..., 1 + x 2 3 186 Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) где можно обеспечить любую точность, взяв достаточное число членов (ряд для ln 2 был ранее получен Броункером). Позже вы яснилось, что этот ряд знали уже Гудде (1656 г.) и Ньютон (1665), но они не торопились с публикацией. Постепенно рады становят ся важнейшим средством как для вычислений, так и для тео ретических рассмотрений. Например, Грегори (1638 – 1675) имел очень интересный план применить ряды к доказательству транс цендентности и к доказательству, что некоторые задачи (вычис ление дуги эллипса или гиперболы) не сводятся к элементарным функциям.

Мы очень бегло описали ситуацию в первой половине века бес конечно малых, причем мы не только опустили многие славные страницы истории (результаты Паскаля, Ферма), не упомянули многие достойные имена (Валлис, Фабри), но и сильно огрубили картину, не обсуждая многочисленные переходящие друг в друга этапы становления результатов, авторство которых очень условно и часто несправедливо закреплено за теми или иными математи ками: «... открытие произошло в результате почти неуловимых переходов, и спор по этому поводу о приоритете был бы равно силен спору месяцу скрипкой и тромбоном относительно точного момента появления определенной мелодии в симфонии» (Бурба ки).

К началу 60-х годов математики накопили немало фактов. На чал очерчиваться круг задач, решаемых при помощи бесконечно малых. Выкристаллизовались два основных направления: вычис ление квадратур и построение касательных. Ситуация с этими задачами была существенно различной. В то время как в зада че о касательных, более молодой, появились достаточно общие методы, в задаче о квадратурах все оставалось на уровне от дельных задач и искусственных приемов. Например, Декарт был уверен, что общие приемы в этих задачах не существуют. Все бо лее осознавалась замечательная связь, которая имелась между этими задачами. Они оказались взаимно обратными, что наибо лее естественно было усмотреть при помощи кинематических рас смотрений: нахождение скорости (мгновенной) по пути сводится к построению касательной, а путь находится по скорости при по мощи квадратур. Эта связь, которая наметилась уже у Галилея, в весьма полном виде появляется у Барроу (1630 – 1677) в его лекци Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) ях, изданных в 1669 – 1670 г., хотя эксплуатируется она еще явно недостаточно.

Активность в области теории бесконечно малых к концу 60-х годов заметно падает. Ферма и Декарта уже нет в живых, Гюй генс уже сделал свои главные работы. Остававшиеся задачи с трудом поддавались искусственным приемам, да и не было на математическом небосклоне такого созвездия математиков пер вой величины, как двадцать лет назад. Необходим был перелом, для которого требовался очень талантливый человек, который бы отважился на некоторое время отказаться от движения впе ред и переосмыслил все с самого начала, разгрузил теорию от искусственных приемов, и только упростив и систематизировав способы решения известных задач, двинулся вперед. Необходимо было превратить теорию бесконечно малых в исчисление — набор достаточно простых формальных, но широко действующих ре цептов. Нужно было превратить теорию из искусства в ремесло.

В таком виде ее не только можно будет вывести из узкого круга посвященных, но и крупным математикам это позволило бы без затраты усилий пройти часть пути и сконцентрировать усилия на более глубоких вопросах. Характерно, что еще работающие гиганты, прежде всего Гюйгенс, не чувствовали в этом потреб ности: их устраивала работа по-старому. Этот труд должен был взять на себя математик следующего поколения.

«Бог сказал: да будет Ньютон! — и наступил свет» — сказа но в популярном четверостишии А. Попа. Ньютон (1642 – 1727) и создал исчисление во время своих двухлетних чумных каникул (1665 – 67 гг.) в Вулсторпе, когда после окончания Кембриджско го университета он оказался на своей ферме отрезанным из-за чумы от внешнего мира. В эти два года он получил свои самые замечательные результаты по механике и математике. Перед этим он слушал лекции Барроу и возможно от него усвоил идею си стематически рассматривать кривые как функции от времени:

«вероятно, что лекции д-ра Барроу могли навести меня на рас смотрение образования фигур с помощью движения, хотя я теперь и не помню этого». Очень поучительное высказывание! Ньютон строит исчисление флюксий. У него независимое переменное — это всегда время, и флюксии — это скорости, производные по вре мени. Подробно разрабатываются правила вычисления флюксий 188 Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) (наши правила дифференцирования). Дальше исследуется обрат ная задача — нахождение флюент. Это операция интегрирования, и Ньютон систематически выясняет, какие правила для нее можно получить, эксплуатируя то, что она обратна дифференцированию (нахождению флюксий по Ньютону).

Это дает немало удобных приемов, поскольку с флюксиями (производными) все выглядит просто. По такой схеме — диффе ренцирование предшествует интегрированию — обычно строится анализ и сегодня. Но главный конек Ньютона — это ряды. Он очень ценит свою формулу для бинома (1 + x)k при любых (не обязательно натуральных) k. Он воспринимает ряды как универ сальный метод решения аналитических задач и не видит для него ограничений.

В октябре 1666 г. Ньютон составляет черновой набросок тео рии, а в 1669 г. летом он передает конспект своих результатов Барроу, а через него Коллинзу в Лондон. В 1670 – 71 гг. Ньютон готовит подробное сочинение по методу флюксий, но не находит издателя, и сочинения Ньютона по анализу начали появляться в печати лишь после 1704 г. Кое-какая информация о его работах распространялась среди математиков, кое-кто имел возможность познакомиться с рукописью, хранившейся у Коллинза. Ньютон не торопился с публикацией, спокойно наблюдая как некоторые его результаты переоткрывались и публиковались другими (напри мер, результаты о рядах — Меркатором). Вряд ли кто-нибудь из окружающих мог оценить важность исчисления, более обращали внимание на конкретные результаты. Да и сам Ньютон больше ценил их и выдвигал на первый план метод рядов, а не исчисле ние. Итак, к 70-м годам «активными остаются только Ньютон в Кембридже и Дж. Грегори, уединившийся в Абердине, к которым в скором времени со всем пылом неофита (вновь посвященного — С. Г.) присоединяется Лейбниц» (Бурбаки).

Лейбниц и его путь в математику. Всю свою жизнь Лейбниц был нацелен на глобальные проблемы, на всеобъемлющие теории. Его путь в математику был нестандартен, и в этом отчасти причи на того, что он отдавал предпочтение методу в век, когда более ценили конкретные результаты. В жизни Лейбница было мно го планов. Некоторые поражают своей грандиозностью. Новые замыслы вытесняли старые, нередко увлекавшемуся автору не Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) хватало реализма. Почти ни одной из задуманных книг он не до писал до конца, а большинство оставил в самом начале (лишь несколько книг по философии постигла лучшая участь). Но как трудно сохранить реализм, когда замыслы далеко обгоняют век!

Уже с 13 – 14 лет Лейбниц мечтает о перестройке логики, о со здании алфавита человеческих мыслей, в котором можно было бы записывать все мыслительные процессы. Постепенно зреет глав ная идея его жизни: создание «универсальной характеристики», «универсального языка». «Универсальная математика является, так сказать, логикой воображения»;

она должна заняться всем, «что в области воображения поддается точным определениям».

Язык должен быть защищен от записи неправильных мыслей:

«химеры, которые не понимает даже тот, кто их создает, не смогут быть записаны его знаками». Он грезит о машине, которая будет доказывать теоремы, хочет превратить мышление в исчисление, арифметизировать его так, чтобы можно было заменять рассуж дения вычислениями и решать споры при помощи математиче ских выкладок. Трижды приступал Лейбниц к реализации своего грандиозного, сильно опередившего время замысла, но всякий раз останавливался, пройдя лишь первые шаги. Только в XX веке, когда многое из задуманного Лейбницем оказалось явью в рам ках математической логики, стало ясно, что его замыслы были не столь утопичны, сколь прозорливы.

Лейбница интересуют разнообразные применения математи ки, и он верит в безграничные ее возможности. Он готовится стать юристом и в 18 лет пытается строить юриспруденцию как мате матическую теорию с аксиомами и теоремами, думает о приме нении вероятностных соображений в судопроизводстве. В 20 лет он оказывается от кафедры в Нюрнбергском университете: его не привлекает спокойная академическая карьера. Планы Лейбница более честолюбивы: «я давно в душе лелеял другое» и «я считал недостойным молодого человека сидеть, точно пришпиленный к месту;

дух мой горел желанием стяжать большую научную славу и посмотреть свет». Он принимает приглашение герцога Иоганна Филиппа и переезжает в Майнц. Лейбниц хочет воспользовать ся ситуацией и, пусть в рамках довольно скромного государства, создать совершенный свод законов. Постепенно его планы ста новятся все более широкими и одновременно менее реалистиче 190 Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) скими. Он задумывает перестройку всей юридической науки, на чинает три грандиозные монографии. Вероятно, когда в 1717 г.

непременный секретарь Французской академии наук Фонтенель в «Похвальном слове Лейбницу» назвал его великим юристом, у него были основания.

У Лейбница немало интересных идей, но скоро приходит оче редь совершенно другого замысла. Живший в Майнце известный дипломат Бойнебург увлекает Лейбница грандиозными планами изменить европейскую политику. Их замыслам тесно в провинци альном Майнце. Они берутся за предложение курфюрста Бран денбургского найти мотивировку для избрания на польский пре стол немецкого князя. Лейбниц сочинил блестящий меморандум, который, впрочем, не помешал проиграть дело: правильная прак тическая дипломатия оказалась эффективнее политического пам флета. Следующий прожект касался организации союза немецких государств против Франции. Он содержал немало остроумных хо дов, но реализовать его не удалось. Наконец, третий грандиозный проект: вовлечь Францию в войну с Турцией с тем, чтобы осла бить ее влияние в Европе. Для реализации проекта Лейбниц едет в Париж. Единственным результатом было то, что Лейбниц по существу лишился поддержки курфюрста, который не очень был заинтересован в советнике, пытавшемся через его голову пере страивать европейскую политику.

Возможно, то обстоятельство, что Лейбниц остался не у дел, переключило эту кипучую натуру на математику. Первоначально в планах Лейбница математике предназначалась вспомогательная роль. В 1666 г. он издает в Лейпциге «Диссертацию о комбина торном искусстве», в которой он сообщает, что его не интересует открытие новых арифметических истин: математика должна по мочь ему разработать «логику открытия». И в Майнце он находит время для «математических досугов». В 1676 г. он работает над конструкцией арифметической машины, интересуется машиной Паскаля. Лейбниц привез в Париж некоторые математические результаты. Осенью 1672 г. они были темой обсуждения с Гюй генсом, который в те годы работал в Париже. Речь шла о сумми ровании числового ряда a1 +a2 +...+an +... при помощи подбора такой последовательности b1, b2, b3,..., что an = bn - bn+1. Тогда a1 +... + an = b1 - bn+1. Лейбниц рассматривает ряд примеров, Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) когда работает его правило, и удачно, что под правило подошел пример, предложенный Гюйгенсом:

1 1 + +... + +...

1 · 2 2 · 3 n(n + 1) (здесь bn = 1/n). Они оба не знали, что этот прием не был нов, да и речь шла об очень частном вопросе. Лейбниц тем не менее был высокого мнения о своих достижениях. Позднее он трезво оценивал ситуацию: «Когда я приехал в 1672 г. в Париж, я был математиком-самоучкой, но опыт мой был невелик, мне не хвата ло терпения пройти долг цепь доказательств... Я хотел плавать самостоятельно без учителя... В этом высокомерном математи ческом невежестве я уделял внимание только истории и праву, видел в их изучении свою цель. Однако математика была для ме ня более приятным развлечением».

В 1673 г. Лейбниц посетил Лондон в составе майнцской ди пломатической миссии. Контакты с английскими математиками подействовали на него отрезвляюще. Он узнал что его основные результаты не новы, а современная математика далеко впереди.

У Лейбница оставался единственный путь войти в современную математику — начать все с начала. 27 лет — не самый подходя щий возраст для старта в науку молодых, но Лейбница это не смущает, он имел все основания позднее назвать себя «самым уча щимся из смертных» (письмо Я. Бернулли, 1703 г.). С осени 1673 г.

начинаются годы математического ученичества Лейбница, уме ло направляемого Гюйгенсом. Гюйгенс угадал в самоуверенном «переростке» подлинный дар. «... Гюйгенс, который, как я пред полагаю, считал меня более способным, чем я был на самом деле, дал мне экземпляр только что изданного Маятника“. Для меня ” это было началом или поводом для более глубоких математиче ских занятий.» Итак, все началось с великой книги «Маятниковые часы». Затем последовали Сент-Винцент, Декарт, Слюз, Валлис, и прежде всего Паскаль. Лейбниц увидел, что Паскаль по существу применяет очень общий метод к частной задаче и, пораженный, что «глаза Паскаля были закрыты», пытается вычленить этот метод и применить его к другим задачам. Так появляется так на зываемый метод «характеристического треугольника», в котором бесконечно малый треугольник заменяется конечным, что было 192 Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) существенным прогрессом по сравнению с методом неделимых.

Лейбницу было бы неплохо почитать и более классические тексты, но он торопится;

он в самом деле смог пробраться «к геометрии воистину с черного хода». Появляются результаты, удивившие Гюйгенса, например, ряд 1 1 = 1 - + - +....

4 3 5 Потом оказалось, что его знал Грегори. Гюйгенс рассчитывал, что при помощи ряда можно получить квадратуру круга (а Грегори, напротив, рассчитывал таким способом доказать трансцендент ность ). Лейбниц занимается не только анализом. Он пытается найти формулу для решения общего алгебраического уравнения (именно общего, частные проблемы его мало интересуют), анали зирует формулу Кардано в комплексной области (удивляет Гюй генса соотношением 1 + -3 + 1 - -3 = 6), работает над циркулем, который позволяет находить корни любого уравнения (подобно тому как обычный циркуль позволяет находить корни квадратного).

Все же главные результаты связаны с бесконечно малыми.

Лейбниц писал, что уже в 1673 г. он «заполнил несколько сот страниц», но еще «не считал этот труд достойным быть издан ным. Ибо мне наскучило заниматься мелочами, когда передо мной открылся Океан».

Много теорем было получено в первый год «ученичества», но большинство из них можно было найти у Грегори или Барроу.

Однако общие приемы позволяли получать все проще и единооб разнее. Путь Лейбница был выбран: он строит исчисление беско нечно малых.

Характер его таланта, его предыдущий научный опыт как нельзя лучше отвечали этой цели. Он четко продумывает вопрос о классе функций, которые должно рассматривать в анализе (са мо слово «функция» впервые появляется у Лейбница в 1673 г.).

Он решительно отвергает идею ограничиться алгебраическими функциями (геометрическими кривыми по Декарту) и считает, что необходимо рассматривать и трансцендентные функции (тер мин Лейбница;

Декарт в этих случаях говорил о механических кривых). С первых шагов он сопровождает построение исчисле Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) ния разработкой символики, которая в конечном счете приняла у него вид, дошедший до наших дней.

Лейбниц, как никто до него, понимал важность удачной сим волики, причем не только в математике. Исчисление бесконечно малых дало ему прекрасный повод для реализации этой идеи.

Хорошая символика не только упрощает пользование исчисле нием, но и по существу необходима для овладения им. В 1678 г.

Лейбниц писал Чирнгаузу: «Следует заботиться о том, чтобы знаки были удобны для открытий. Это достигается в наибольшей мере тогда, когда знаки коротко выражают и как бы отобра жают глубочайшую природу вещи, и при этом удивительным образом сокращается работа мышления». Лейбниц всюду искал возможность ввести удобную символику. Стоит упомянуть, что к нему восходит метод решения систем линейных уравнений при помощи определителей, в связи с чем он писал Лопиталю (1693 г.): «Часть секрета анализа состоит в искусстве хорошо употреблять применяемые знаки, и по этому малому образцу Вы видите, сударь, что Виет и Декарт еще не познали все его тай ны». Следует подчеркнуть, что в исчислении Ньютона не было развитой символики. Он сам писал, что «не дал своего метода в форме символов и не придерживался какого-либо определен ного вида символов для флюент и флюксий». Показательно, что Гюйгенс не оценил пользы аналитической символики. При его даровании он был в состоянии без нее обходиться. Лейбниц пы тался объяснить преимущества: «Я вполне себе представляю, что вы располагаете методом, эквивалентным моему исчислению разностей. Ибо то, что я называю dx или dy, вы можете обо значить другой буквой. Однако это примерно то же самое, как если бы вместо корней или степеней всегда хотели подставлять буквы... Посудите сами, насколько это было бы затруднитель но... » То, без чего мог обойтись Гюйгенс, было совершенно необходимо для превращения анализа в повседневное практи ческое средство. Вероятно, символика явилась решающей при чиной, по которой мы пользуемся сегодня анализом в варианте Лейбница.

Уже в 1674 г. Лейбниц уверен, что «все учение о суммах и квадратурах может быть сведено к анализу — вещь, на которую никто до сих пор не надеялся». К концу 1675 г. в первом при 194 Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) ближении исчисление построено, и Лейбниц имел повод убедить ся в его эффективности. Важным моментом было решение за дачи Дебона, которой занимался Декарт, но не смог довести ре шение до конца: «Еще в прошлом году я поставил перед собой вопрос, который можно отнести к труднейшим во всей геомет рии, поскольку распространенные до сих пор методы здесь по чти ничего не дают. Сегодня я нашел его решение и я приведу его анализ» (11 ноября 1675 г.). Речь идет о нахождении кри вой с постоянной подкасательной (отрезок между проекцией точ ки A на ось OX и точкой пересечения касательной в точке A с осью OX). Трудность заключается в том, что решение связано с логарифмической функцией. К середине 1676 г. дифференци альное и интегральное исчисление сложилось окончательно. Он поражается, что «благодаря этому исчислению все предстает пе ред очами и в уме с восхитительной краткостью и ясностью».

Лейбниц, как и Ньютон, стремился создать мощный метод, не заботясь на этой стадии о достаточно строгом обосновании исчис ления. «Ньютон и Лейбниц, повернувшись спиной к прошлому, решили временно искать оправдание новым методам не в строгих доказательствах, а в обилии результатов и их взаимной согласо ванности» (Н. Бурбаки). Еще на стадии ученичества Лейбницу казалось, что Грегори слишком увлекается «доказательствами на античный лад». Для Лейбница конкретные результаты, в первую очередь, рассматривались как возможная иллюстрация его мето да. Возможно, здесь сказалось, что он никогда не умел легко де лать выкладки и всегда завидовал вычислителям «из железа или меди». Позднее (1696 г., письмо Лопиталю) он связывал это с тем, что одновременно занимался многими разными вещами: «Моему уму, занятому другими предметами, не удается сосредоточиться в необходимой мере, из-за этого я ежеминутно спотыкаюсь, а когда я напрягаю внимание, у меня появляется неприятное ощущение какого-то жара». В 1699 г.: «вычисления становятся приятнее, ко гда их делишь с кем-нибудь, а я не в состоянии долго заниматься вычислениями, если мне не помогают».

В 1675 г. в Париже у Лейбница был достойный напарник, его соотечественник Чирнгауз (1651 – 1708). Их способности были во многом дополнительны, и это делало их сотрудничество особен но плодотворным. Чирнгауз занимался больше всего алгебраиче Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) скими уравнениями, но интересовался также и квадратурами.

Лейбницу было больно, что его товарищ не смог оценить пользу исчисления: «... некоторые квадратуры, которые получены тобою пространно, но изящно, и сами по себе красивы, я считаю только следствиями общего исчисления. А пишу я это, мой друг, так как с сожалением вижу, что ты часто теряешь много времени и толь ко потому, что не пожелал с достаточным вниманием отнестись к некоторым моим замечаниям» (1678 г.).

Лейбниц, разумеется, слышал, что Ньютон владеет какими-то мощными методами, и решает обсудить с ним свой новый метод.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.