WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

«Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права А.Н. Малахов Н.И. Максюков В.А. Никишкин Высшая математика (учебное пособие) Москва 2003 УДК – 517 ББК – 22.11 ...»

-- [ Страница 3 ] --

( ( ( ( (m) B1) Bm) P(x) B11) B21) B 1 m = + +... + +... + +... + + 1 m Q(x) x - b1 (x - b1)2 (x - b1) x - bm (x - bm ) (1) ( ( ( (1) ( M х + N1) M11) х + N11) M х + N21) 1 + +... + +... (1) (x2 + p1x + q1) (x2 + p1x + q1)2 (x2 + p1x + q1) (n) ( (n) (n) (n) ( M х + Nn) M1 х + N1 M х + N2n) n 2 n + + +... + n (x2 + pn x + qn ) (x2 + pn x + qn )2 (x2 + pn x + qn ) ( ( ( (n) В этом разложении B11), B(1),..., B(m),M11), N11),...,M, N(n) - некоторые веще 2 m n n ственные постоянные, часть которых может быть равна 0.

(i) Замечание. Для определения постоянных M, N(i), B(i) в общем j j j случае следует привести равенство (1) к общему знаменателю и после этого сравнить коэффициенты при одинаковых степенях в числителях.

При этом, если степень многочлена Q(x) равна l, то вообще говоря, в числителе правой части равенства (1) после приведения к общему зна менателю получается многочлен степени l-1, т.е. многочлен с l коэффи (i) циентами, число же неизвестных M, N(i), B(i) также равняется l.

j j j Таким образом, мы получаем систему l уравнений с l неизвестны ми. Существование у нее решения вытекает из доказанной теоремы.

Рассмотрим основные методы разложения на простейшие дроби.

1.6.6. Метод неопределенных коэффициентов x2 - Найдем разложение на простейшие дроби для.

x(x2 -1) Общий вид разложения в этом случае x2 -1 A Bx + C Dx + E = + + x(x2 +1)2 x (x2 +1)2 x2 + Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, имеем x2-1=A(x2+1)2+(Bx+C)x+(Dx+E)( x2+1)x Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

при х0 A=-1 Отсюда находим: A=- при х C+E=0 B= при х2 2A+B+D=1 C= при х3 E=0 D= при х4 A+D=0 E=0, поэтому искомое разложение имеет вид:

x2 -1 1 2x x = - + + x(x2 +1)2 x (x2 +1)2 x2 + 1.6.7. Метод вычеркивания P(x) Пусть знаменатель Q(x) правильной рациональной дроби Q(x) имеет вещественное число а корнем кратности. Тогда среди простей P(x) ших дробей, на сумму которых раскладывается дробь, есть дробь Q(x) А Р(а) Q(x). По лемме 1 коэффициент А =, где (х) =.

(х - а) (а) (x - a) Правило: для вычисления коэффициента А при простейшей дроби А, соответствующей вещественному корню а многочлена Q(x) (х - а) P(x) кратности, следует вычеркнуть в знаменателе дроби скобку Q(x) (х - а) и в оставшемся выражении положить х=а. Отметим, что этот прием применим лишь для вычисления коэффициентов при старших степенях простейших дробей, соответствующих вещественным корням Q(x).

Метод вычеркивания особенно эффективен в случае, когда знаме натель Q(x) имеет лишь однократные вещественные корни, т.е. когда Q(x)=(x-a1)(x-a2)... (x-an). Тогда справедливо представление P(x) A1 A2 A n = + +...+, Q(x) x - a1 x - a x - a 2 n все коэффициенты которого могут быть вычислены по методу вычерки вания. Для вычисления коэффициента Ак следует вычеркнуть в знамена P(x) теле дроби скобку (х-ак) и в оставшемся выражении положить Q(x) х=ак.

x A1 A A Найти разложение дроби = + + (x2 -1)(x - 2) x -1 x +1 x - x 1 A1 = = = x= (x - 2)(x +1) -12 x -1 A2 = = = - x=- (x -1)(x - 2) (-2)(-3) x A3 = = x= x2 -1 Отсюда x 1 1 = - - + (x2 -1)(x - 2) 2(x -1) 6(x +1) 3(x - 2) Замечание. Метод вычеркивания снижает трудоемкость вычислений и в более сложных случаях.

Разложить правильную дробь 3x4 + 2x3 + 3x2 - (x - 2)(x2 +1) x2+1 имеет комплексные корни 3x4 + 2x3 + 3x2 -1 B Mx + N1 M x + N 1 = + + x (x - 2)(x2 +1)2 - 2 x2 +1 (x2 +1) Метод неопределенных коэффициентов приводит к системе 5-го поряд ка. Если же В определить методом вычеркивания, то система будет уже только 4-го порядка.

1.6.8. Интегрирование некоторых классов функций 1.6.8.1. Интегрируемость рациональной дроби Прежде всего отметим, что всякую неправильную рациональную дробь можно (посредством деления числителя на знаменатель “уголком”) представить в виде суммы алгебраического многочлена и правильной рациональной дроби.

x4 - x3 +1 4x + Пример. = x2 - 2x + ( ) x2 + x + 2 x2 + x + x4- x3 + 1 x2+x+ x4+x3+2x2 x2 - 2x -2x3-2x2+ -2x3-2x2-4x Остаток 1+4х Интегрировать многочлен мы умеем. В силу теоремы о разложе нии правильной рациональной дроби с вещественными коэффициентами на простейшие, вопрос сводится к интегрированию простейших дробей:

B B Mx + N Mx + N 1. II. III. IY.

x - b x2 + px + q x ( - b ) x2 + px + q () Здесь =2,3,...;

=2,3,...;

В, М, N, b, p, q - некоторые вещественные числа, причем трехчлен х2+px+q не имеет вещественных корней, т.е.

p2-4q<0.

B dt I. dx = B = Bln t + c = Bln x - b + c t = x - b () x ( - b t ) B dt B 1 B II. = B = - + c = + c -1 - t t 1- ( - ) x ( - b x ) ( - b ) Здесь t=x-b p p x III. x2 + px + q = + + q - p2 p2 p Положим a = + q - q - > 0. Произведя подстановку t =, бу 44 дем иметь Mp t Mt + N - d d(t2 + a2) Mx + N 2 M Mp 1 a = dt = + N - x2 + px + q t2 + a2 2 t2 + a2 2 a t + a M 2N - Mp t M = ln(t2 + a2) + arctg + c = ln(x2 + px + q) + IY.

2 2a a p x + 2N - Mp + arctg + c p2 p 2 q - q 4 Аналогично III получаем d t2 + a ( ) - Mp dt Mx + N M 2N = + = 2 2 x2 + px + q t2 + a t2 + a () ( ) ( ) M 2N - Mp dt = + - 2 21- t2 + a t2 + a ( ) ( ) ( ) dt Обозначим K =. Установим для этого интеграла рекуррент 2 t + a ( ) ную формулу 2 t + a - t ( ) [ ]dt dt 1 a dt K = = = = 2 2 2 2 a a t2 + a t2 + a t + a ( ) ( ) ( ) d t2 + a ( ) 1 dt 1 2tdt = - = K - t - 2 -1 2 t t2 + a 2 2 2 a 2a a 2a t2 + a t2 + a ( ) ( ) ( ) Для вычисления последнего интеграла применим формулу интегрирова ния по частям, полагая в ней u=t, du=dt d t2 + a ( ), = d = - 2 2 t + a ( -1 t2 + a ) ( ) ( ) 1 t K = K + - K -1 - 2 -1 22 a 2a - ( ) 2a -1 t + a ( ) ( ) Отсюда t 2 - K = + K -1 22 a 2 - 2- ( ) 2a -1 t + a ( ) ( ) dt 1 t ( = 1) K = = arctg + c 2 t + a a a Используя рекуррентную формулу, вычислим К2, K3,... и т.д.

Замечание. На практике К чаще вычисляют непосредственно с помо щью подстановки t=atgu Примеры.

xdx 1.

(x2 -1)(x - 2) x -1 1 = - +, 2(x (x2 -1)(x - 2) -1) 6(x +1) 3(x - 2) xdx 1 dx 1 dx 2 dx = - - + = (x2 -1)(x - 2) 2 x -1 6 x +1 3 x - 1 1 2 (x - 2)2 = - ln x -1 - ln x +1 + ln x - 2 + C = ln + C 2 6 3 (x -1)12(x +1) x6 + 2x4 + 2x2 - 2. Вычислим dx. Согласно общему правилу, выделим x(x2 +1) целую часть, разделив числитель на знаменатель;

получим x6 + 2x4 + 2x2 -1 x2 - = x +.

x(x2 +1)2 x(x2 +1) Правильную рациональную дробь разложим на простейшие x2 -1 1 2x x = - + +, отсюда x x(x2 +1)2 (x2 +1)2 x2 + x6 + 2x4 + 2x2 - 1 dx 2xdx x dx = xdx - + + dx = x(x2 + 1)2 x (x2 + 1)2 x2 + x2 d(x2 + 1) 1 d(x2 + 1) = - ln x + + = 2 x2 + 1 2 x2 + x2 1 1 x2 1 x2 + = - ln x - + ln(x2 + 1) + C = - + ln + C 2 x2 + 1 2 2 x2 + 1 x 1.6.8.2. Интегрирование некоторых иррациональностей 1.6.8.2.1. Рациональные функции от нескольких аргументов Определение 1. Многочленом степени n от двух аргументов x и y назы вается выражение вида Pn (x,y) = a + a10x + a y + a x2 + a11xy + a y2 +...+a xn +...+a yn, 00 01 20 02 n00n в котором через a,a10,...,a,...,a обозначены постоянные веществен 00 n0 0n ные числа такие, что среди чисел a,a,...,a есть хотя бы одно чис n0 (n -1)1 0n ло, отличное от нуля.

Определение 2. Рациональной функцией от двух аргументов x и y назы вается выражение вида Pn (x, y) R(x, y) =, Qm (x, y) где Pn(x,y) и Qm(x,y) - многочлены от двух переменных степени n и m соответственно.

Утверждение. Если R(x,y) - рациональная функция от двух аргументов x и y, R1(t), R2(t), R3(t) - три произвольных рациональных функции от одной переменной t, то выражение R R1(t), R (t) R (t) () 2 представляет собой рациональную функцию от одной переменной.

Замечание. В дальнейшем для доказательства интегрируемости в эле ментарных функциях некоторых выражений мы будем посредством специально подобранной подстановки сводить интеграл от рассматри ваемых выражений к интегралу от рациональной дроби.

1.6.8.2.2. Интегрирование выражений вида x + m Rx,, x + где mN+,,,, = const.

m x + x + t - m m Положим t =, тогда t =, x = (t).

m x + x + - t Интеграл перейдет в (R(),t) (t)dt.

Аналогично можно рассмотреть рациональные функции нескольких пе ременных и интегралы вида rs x + x + R x,,,...dx, x + x + где все показатели r, s,... рациональны;

надо лишь привести эти показа тели к общему знаменателю m, чтобы под знаком интеграла получить x + m рациональную функцию от x и радикала.

x + x +1 + Пример. dx.

(x +1)2 - x + x + Здесь дробно-линейная функция, в частности, свелась просто к x + линейной функции x+1. Полагаем t = x +1, x = t2 -1, тогда x + 1 + 2 (t + 2)tdt t + dx = 2 = 2 dt = t4 - t t3 - (x + 1)2 - x + 2 2t + 2 (t - 1)2 2 2t + = - dt = ln - arctg + C - 1 t2 + t + 1 t2 + t + t 3 где остается лишь подставить t = x +1.

dx а) Этот интеграл легко сводится к табличному, ес ax2 + bx + c ли выделить в трехчлене ах2+bх+c полный квадрат.

dx Пример x2 + 2x + x2+2x+5 = (x+1)2+ Отсюда, dx d(x +1) = = ln x +1+ x2 + 2x + 5 + C x2 + 2x + 5 (x +1)2 + Ax + B б) dx. В числителе дроби необходимо выделить производ ax2 + bx + c ную квадратного трехчлена.

A Ab (2ax + b) + B Ax + B 2a dx = 2a dx = ax2 + bx + c ax2 + bx + c A d(ax2 + bx + c) Ab dx = + (B - ) 2a 2a ax2 + bx + c ax2 + bx + c Пример (4x + 8) - 5x - dx = dx = 2x2 + 8x +1 2x2 + 8x + 5 4x + 8 dx = dx -13 = 2x2 + 8x +1 2x2 + 8x + 5 13 dx = 2x2 + 8x +1 - = 2 x2 + 4x + 5 13 = 2x2 + 8x +1 - ln x + 2 + x2 + 4x + + C 2 1.6.8.2.3. Тригонометрические и гиперболические подстановки В интегралах вида x, ax2 + bx + c dx можно выделить полный квадрат () R в трехчлене ах2+bx+c и свести их линейной заменой к интегралам вида R t, 1+ t dt, t, t2 -1 dt.

()()( ) R t, 1- t2 dt, R Для вычисления этих интегралов часто оказывается удобным использо вать тригонометрические подстановки t=sinu, t=cosu, t=tgu, а также гиперболические подстановки t=shu, t=chu, t=thu.

1- x Пример J = dx.

x Положим, x=sint, тогда dx=costdt и заданный интеграл принимает вид 1- sin2 t cos2 t cos2 t J = costdt = dt = sin tdt = sin t sin t sin2 t (cost > 0) cos2 td cost u2du 1- u2 du = - = - = du - = 1- cos2 t 1- u2 1- u2 1- u u = cost 1 1+ u 1 1+ cost = u - ln + C = cost - ln + C = 2 1- u 2 1- cost 1 1+ cos(arcsin x) = cos(arcsin x) - ln + C = 2 1- cos(arcsin x) 1 1+ 1- x = 1- x2 - ln + C = 1- 1- x 1+ 1- x = 1- x2 - ln + C x 1.6.8.2.4. Интегрирование биноминальных дифференциалов m x (a + bxn )p dx где а, b - любые постоянные;

m, n и p - рациональные числа. Рационали зирующая подстановка существует в трех случаях.

1. p - целое r ( ) R x, x dx, где r - наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел m и n.

r Подстановка t = x m + 2. - целое.

n m + Положим z=xn, обозначив -1 q, будем иметь n m x (a + bxn )p dx = (a + bz)p zqdz (q - целое).

n s Это есть интеграл вида z, a + bz dz, где s - знаменатель числа р. Ра ( ) R s ционализирующая подстановка имеет вид t = a + bz, или для исходного s интеграла t = a + bxn.

m + 3. +р - целое. Сначала положим z=xn n m x (a + bxn )p dx = (a + bz)p zqdz = n p 1 a a s = + b zp+qdz = R z, z + bdz.

n z m + Здесь p+q=p+ -1 - целое, поэтому рационализирующая подстанов n a s s каt = + b, или для исходного интеграла t = ax-n + b, где s - знамена z тель числа р.

Примеры.

3 1 1 1+ x - 1 1 2 1. dx = x 1+ x dx, m = -, n =, p = 2 4 x - + m + Так как = = 2, то имеем второй случай (знаменатель р n равен 3).

4 3 Положим t = 1+ x, x = (t3 -1), dx = 12t2(t3 -1) dt, тогда 3 1+ x 4 dx = 12 t6 - t3 dt = t4 4t3 - 7 + c = 1+ x 4 1+ x - 7 + c 2.

( ) ( )3 ( ) ( ) () 7 x dx = 1+ x4 4 dx.

( ) x 1+ x Здесь m=0, n=4, p = - ;

третий случай интегрируемости, так как m + n 1 1 + p = - = 0 - целое;

p = - ;

знаменатель р равен 4.

n 4 4 1 - 1+ x 4 4 3 Положим t = x-4 +1 = x = t4 -1 dx = -t t4 -1 dt ( ) ( ) x 4 1+ x4 = tx = t t4 -1, ( ) dx t dt 1 1 1 1 dt 1 t +1 = - = = ln - arctgt + c = 4 - dt - 1+ x4 t -1 4 t +1 t -1 2 t +1 4 t -1 1 x-4 +1 +1 = ln - arctg4 x-4 +1 + c 4 x-4 +1 - 1.6.9. Интегрирование тригонометрических функций 1.6.9.1. Интегралы вида R(sin x,cosx)dx, где R - рациональная функция 9.1. Такие интегралы приводятся к интегралам от рациональных функ ций с помощью универсальной тригонометрической подстановки x t = tg. В результате этой подстановки имеем x x 1- tg 2tg 2t 2 1- t sin x = = ;

cosx = = 2 x 1+ t x 1+ t 1+ tg2 1+ tg2 2 2dt x = 2arctgt;

dx = 1 + t 2t 1- t 2dt,.

R(sin x,cosx)dx = R t 2 2 1+ 1+ t 1 + t Пример.

2dt dx dt dt 1+ t = = 2 = = 4sin x + 3cos x + 3 2t 1- t 2(4t + 3) 4t + 4 + 3 + 2 1+ t 1+ t = ln 4t + 3 + c.

Возвращаясь к старой переменной, получим dx 1 x = - ln 4tg + 3 + c.

4sin x + 3cos x + 3 4 x Замечание. Универсальная подстановка t = tg во многих случаях при водит к сложным вычислениям, так как при ее применении sinx и cosx выражаются через t в виде рациональных дробей t2.

В некоторых частных случаях нахождение интегралов вида R(sin x,cosx)dx может быть упрощено.

1. Если R sin x,cosx - нечетная функция относительно sinx, т.е.

() R sin x,cosx = -R sin x,cosx, то интеграл рационализируется подстанов ( ) ( ) кой cosx=t.

2. Если R sin x,cosx - нечетная функция относительно cosx, т.е.

() R sin x,-cosx = -R sin x,cosx, то интеграл рационализируется с помощью () ( ) подстановки sinx=t.

3. Если R sin x,cosx - четная функция относительно sinx и cosx, т.е. если () R sin x,-cosx = R sin x,cosx,то следует применить подстановку tgx=t.

(- ) ( ) Примеры.

(sin x - sin3 x)dx = (sin x - sin3 x)dx 1.

cos 2x cos2 x - sin2 x Так как подынтегральная функция нечетна относительно sinx, то полага 22 ем cosx=t. Отсюда sin x = 1- t, cos2x = 2cos2 x -1 = 2t -1, dt = - sin dx.

Таким образом, (sin x - sin3 x)dx = - cos2 xd cos x t dt 1 1 dt = = - - = 2 dt cos 2x 2cos2 x -1 2t -1 2 2 2t -.

t 1 d(t 2) t 1 t 2 - = - = - ln + c 2 2 2 4 2 t 2 + ( 2t) - Следовательно, sin x - sin3 x 1 2 2 cos x - dx = cos x - ln + c.

cos 2x 2 2 cos x + cos x - cos3 x 2. dx.

cos 2x Здесь подынтегральная функция является нечетной относительно косинуса. Поэтому применяем подстановку sinx=t, тогда 2 cos2 x = 1- sin x = 1- t, cosxdx = dt.

Следовательно, 2 (cos x + cos3 x)dx = (1+ cos2 x)cos x (2 - t )dt = t - dx = dt = 2 2 cos 2x 1- 2sin x 1- 2t 2t - 1 2t - 4 1 3 dt t 3 d( 2t) = dt = - = - = 2 dt 2 2 2t -1 2 2 2t -1 2 ( 2t) - t 3 2t - = - ln + c 4 2 2t + Окончательно получим:

cos x - cos3 x 1 3 2 2 sin x - dt = sin x - ln + c.

cos 2x 2 2 sin x + Заметим, что в этом случае интеграл всегда может быть записан в виде () R * sin x,cos2 x cosxdx.

dx 3..

sin2 x + 2sin x cos x - 3cos2 x Здесь подынтегральная функция является четной относительно sinx и cosx, поэтому полагаем t=tgx.

Тогда tgx t x = arctgt, sin x = = 1+ tg2x 1+ t dt 1 dx =, cosx = = 1+ t 1 + tg2x 1+ t dt dx 1+ t = = 2 sin x + 2sin x cos x - 3cos2 x t 2t 1 + 2 2 1+ t 1+ t 1+ t 1+ t dt dt 1 t -1 1 tgx - = = + c 2 = ln + c = ln (t t + 2t - 3 -1)(t + 3) 4 t + 3 4 tgx + Замечание. То же преобразование можно сделать проще, если в исход ном интеграле числитель и знаменатель разделить на cos2x.

dx dx dtgx cos2 x = =.

2 sin2 x + 2sin x cos x - 3cos2 x tg x + 2tgx - 3 tg x + 2tgx - m 1.6.9.2. Интегралы вида x cosn xdx.

sin 1-й случай. По крайней мере один из показателей m или n нечетное це лое, положительное число.

Если n- нечетно, то применяется подстановка sinx=t, если же m- нечетно, то подстановка cosx=t.

Примеры.

1. x cos5 xdx sin Положим sinx=t, cosxdx=dt, тогда 2 4 sin4 x 1- sin x cosxdx = t4 1- t2 dt = () ( ) sin x cos5 xdx = 1 2 1 1 2 4 8 7 7 = dt - 2 t6dt + dt = t5 - t + t9 + c = sin5 x - sin x + sin x + c.

t t 5 7 5 7 2.

sin xdx -43 - = sin x cos xdx = 1 - cos2 x cos x sin xdx = () cosx3 cosx Положив cosx=t, -sinxdx=dt, получим:

4 4 2 1 -- - 3 3 3 3 = - 1- t2 t dt = - dt + dt = 3t + t + c = ( ) t t 3 =+ cos cos2 x + c.

cosx 2-ой случай. Показатели степеней m и n - четные положительные числа.

Здесь нужно преобразовать подынтегральную функцию с помощью фор мул.

sin x cosx = sin 2x sin2 x = (1- cos2x) cos2 x = (1+ cos2x) Пример.

sin x cos2 xdx.

Здесь sin2 x cos2 x = (sin x cosx)2 = sin 2x = 1 1 1- cos4x = sin 2x = = (1- cos4x).

4 4 2 Отсюда 1 1 (1- cos4x)dx = sin x cos2 xdx = 8 dx cos4xdx = 8 1 = x - sin 4x + C.

8 mm 1.6.9.3. Интегралы вида xdx (или xdx), где m - целое tg ctg положительное число При нахождении таких интегралов применяется формула 1 tg2x =-1 (ctg2x = -1), cos2 x sin x с помощью которой последовательно снижается степень тангенса и ко тангенса.

Пример.

tg7xdx = tg5x - 1dx = tg5xd(tgx) - tg5xdx = cos2 x tg6x 1 tg6x tg4x = - tg3x - 1dx = - + tgx - 1dx = 6 cos2 x 6 4 cos2 x tg6x tg4x tg2x = - + + ln cosx + C.

6 4 1.6.9.4. Интегралы вида sin mxcosnxdx, cosmxcosnxdx, sin mxsin nxdx.

Используя формулы sin cos = sin( + ) + sin( - ) [] cos cos = cos( + ) + cos( - ) [] sin sin = cos( - ) - cos( + ), [] представляем подынтегральную функцию в виде суммы косинусов или синусов.

Пример.

sin 2x cos5xdx = 2 [sin 7x + sin(-3x)]dx = 1 1 1 = 7xdx - 3xdx = - cos7x + cos3x + C.

sin sin 2 2 14 1.7. Определенный интеграл и его геометрические приложения 1.7.1. Интегрируемость функции на сегменте.

y Пусть функция f(x) задана на сег менте [a,b] (a

Точки x0,x1,...,xn называются точ a b ками разбиения Т. Пусть i - про x0 1 x1 2 x2 3 x3 n xn x извольная точка частичного сег Рис. мента [xi-1,xi]. Разность xi=xi -xi- будем называть длиной частич ного сегмента [xi-1,xi].

Определение 1. Число I xi, i, где { } n I xi, i = f(1)x1 + f(2)x2 +...+f(n )xn = f(i)xi { } i= называется интегральной суммой функции f(x), соответствующей дан ному разбиению Т сегмента [a,b] и данному выбору промежуточных то чек i на частичных сегментах [xi-1,xi].

Обозначим = max xi(i = 1, n) - диаметр разбиения Т сегмента [a,b].

i Геометрический смысл интегральной суммы I xi, i. Рассмотрим { } криволинейную трапецию - фигуру, ограниченную графиком функции f(x) (будем считать ее положительной и непрерывной), двумя ордината ми, проведенными в точках a и b оси абсцисс и осью абсцисс.

Интегральная сумма I xi, i - площадь ступенчатой фигуры (рис.1) { } Определение 2. Число I называется пределом интегральных сумм I xi, i при 0, если для >0 можно указать такое положительное { } число = (), что для любого разбиения Т сегмента [a,b], максимальная длина частичных сегментов которого <, независимо от выбора точек i на сегментах [xi-1,xi] выполнено неравенство I xi, i - I < { } Если интегральная сумма I xi, i при 0 имеет пределом число I, { } то будем записывать это так I = lim0I{xi,i}.

Определение 3. Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на [a,b], если существует конечный предел I интегральных сумм этой функ ции при 0. Указанный предел I называется определенным интегра лом функции f(x) по [a,b] и обозначается так:

b I = f(x)dx a Из рисунка видно, что определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, определяемой графиком функции f(x) на [a,b]. Справедлива следующая теорема. Неограниченная на [a,b] функция f(x) не интегрируема на этом сегменте.

Доказательство: Пусть функция f(x) неограничена на [a,b], тогда она неограничена на некотором частичном сегменте [xk-1,xk] любого данного разбиения Т сегмента [a,b]. Тогда слагаемое f(k )xk интегральной сум мы I xi, i, отвечающее этому разбиению Т за счет выбора т. k может { } быть сделано как угодно большим по абсолютной величине, т.е. инте гральные суммы I xi, i отвечающие любому разбиению Т, не ограни { } чены и поэтому не существует конечного предела интегральных сумм.

Итак, будем рассматривать лишь ограниченные на [a,b] функции.

Замечание: Отметим, что вообще говоря, не всякая ограниченная на [a,b] функция является интегрируемой на этом сегменте.

Проверить это положение для функции Дирихле (значения в рациональ ных точках 1, а в иррациональных - 0). Эта функция не интегрируема на [a,b].

1.7.2. Верхние и нижние суммы и их свойства.

Пусть функция f(x) - ограниченная на [a,b] функция, т.е. (m,M) (x[a,b]):[m f(x) M]. Т - разбиение [a,b] точками a=x0

Обозначим через Mi - точную верхнюю и через mi - точную нижнюю грани этой функции на [xi-1,xi].

n Суммы S = M1x1 + M x2 +...+M xn = M xi 2 n i i= n s = m1x1 + m2x2 +...+mn xn = mixi i= называются верхней и нижней суммами функции f(x) для данного раз биения Т сегмента [a,b].

Заметим, что любая интегральная сумма I xi, i данного разбие { } ния Т сегмента [a,b] заключена между верхней и нижней суммами S и s этого разбиения.

Геометрический смысл верхней и нижней сумм. Рассмотрим для про стоты положительную и непрерывную функцию f(x) и криволинейную трапецию, определяемую этой функцией.

y y f(x) f(x) M i M i mi mi a =x0 xi-1 xi b=xn x a =x0 xi-1 xi b=xn x Рис.1 Рис. Mi и mi в случае непрерывности функции представляют собой мак симальное и минимальное значения этой функции на частичном сегмен те [xi-1,xi] разбиения Т, S и s - площади заштрихованных ступенчатых фигур, изображенных на рисунках 1 и 2 соответственно.

Свойства верхних и нижних сумм подробно изложены в [2] (стр.

321-323), поэтому приведем лишь формулировки теорем и прокоммен тируем каждую из них с помощью рисунков.

Свойство 1. Для любого фиксированного разбиения Т и для любого > промежуточные точки i на сегментах [xi-1,xi] можно выбрать так, что интегральная сумма I xi, i будет удовлетворять неравенствам { } 0S-I xi, i <. Точки i можно выбрать и таким образом, что инте { } гральная сумма будет удовлетворять неравенствам 0I xi, i { }-s<.

На рисунке 3 изображена функция y f(x), заданная на сегменте [a,b]. i промежуточные точки на частичных сегментах [xi-1,xi] f(n) Преобразуем разность S-I xi, i = { } f( ) M M f( ) f(x) M M 1 1 2 2 i n M1x1 + M2x2 +... Mixi +...+ Mnxn - f( 1)x1- f( 2 )x2-...- f( ) i a=x x x x b=x x -f( i )xi -...- f( n )xn = 0 1 1 2 2 i i n n = [M1-f( 1)]x1+[M2-f(2 )]x2+...+ Рис. +[Mi- f(i )]xi+...+[Mn- f( n )]xn.

Здесь S - верхняя сумма. Каждое слагаемое последней суммы представляет собой площадь заштрихованного прямоугольника, поэтому S-I xi, i есть сумма площадей заштрихованных прямоугольников, ко { } торая, очевидно, может быть сколь угодно уменьшена за счет выбора точек i (если промежуточные точки i выбирать близкими к точкам сегментов [xi-1,xi], в которых функция f(x) принимает значения Mi).

Для нижних сумм рассуждения проводятся аналогичным образом.

Свойство 2. Если разбиение T сегмента [a,b] получено путем добавле ния новых точек к точкам разбиения Т этого сегмента, то верхняя сумма S разбиения Т не больше (S S) верхней суммы S разбиения Т, а ниж няя сумма s разбиения Т не меньше (ss ) нижней суммы s разбиения Т.

y y L M Q B C E A D K N a=x0 t1 x1 x2 t2 x3=b x a=x0 t1 x1 x2 t2 x3=b x Рис. 4 Рис. На рис. 4 точки x0, x1, x2, x3 - точки разбиения сегмента [a,b], соот ветствующие разбиению Т. Кружками отмечены новые точки t1, t2, кото рые вместе с точками xi дают новое разбиение Т сегмента [a,b].

Сегменты [x0,x1] и [x2,x3] поделились на сегменты [x0,t1], [t1,x1] и [x2,t2], [t2,x3], соответственно. Верхняя сумма на сегментах [x0,t1] и [x2,t2] уменьшилась на величину, равную площадям прямоугольников ABCD и KLMN, а на остальных частичных сегментах осталась без изменения, поэтому верхняя сумма S разбиения Т уменьшилась по сравнению с верхней суммой.

На рис.5 приведена аналогичная картина для нижних сумм.

Свойство 3. Пусть Т и Т любые два разбиения [a,b]. Тогда нижняя сумма одного из этих разбиений не превосходит верхнюю сумму друго го. Именно, если s,S ;

s,S соответственно нижние и верхние суммы разбиений Т и Т, то s S ;

s

y На рис. 6 одинарной штриховкой по казана верхняя сумма S разбиения Т сегмента [a,b] точками x0=a

Обозначим через I точную нижнюю грань множества S верхних { } сумм I = inf S, а через I точную верхнюю грань множества s нижних { } { } сумм I = sup s. Числа I и I называются соответственно нижним и верх { } ним интегралами Дарбу от функции f(x). Легко показать, что I I I I s S Свойство 5. Пусть разбиение Т [a,b] получено из разбиения Т добавле нием к последнему р новых точек, и пусть s,S ;

s, S - соответственно нижние и верхние суммы разбиений Т и Т. Тогда для разностей S-S и s -s может быть получена оценка, зависящая от максимальной длины частичных сегментов разбиения Т, числа р добавленных точек и точных верхней и нижней граней М и m функции f(x) на сегменте [a,b], а имен но: S-S (M-m)р и s -s (M-m)р y S S- =сумме площа дей В С прямоугольников M -m M A D m x0 1 x1 x2 x4=b x 2 x Рис. На рис.7 точки x0 = a < x1 < x2 < x3 < x4 = b соответствуют разбие нию Т сегмента [a,b], а две добавленные точки 1 и 2 образуют вместе с точками xi: x0=a<1

Одинарной штриховкой показана верхняя сумма S разбиения Т, а двойной штриховкой два прямоугольника, сумма площадей которых да ет уменьшение S до величины S. Если через М и m обозначить точные верхнюю и нижнюю грани функции f(x) на [a,b], а через максималь ную длину частичного сегмента [xi-1,xi] разбиения Т, то площадь прямо угольника ABCD, равная (M-m)x будет больше площади каждого из двух прямоугольников, заштрихованных двойной штриховкой, отсюда очевидна оценка: S-S (M-m)2 (здесь 2 - число добавленных точек).

Для нижних сумм может быть дана аналогичная интерпретация.

В заключение данной темы приведем без доказательства формули ровку теоремы, известной под названием леммы Дарбу, имеющей фунда ментальное значение для построения теории в теме “Определенный инте грал”.

Лемма Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу I и I от функции f(x) по сегменту [a,b] являются соответственно пределами верхних и нижних сумм при 0, т.е. lim S = I и lim s = I.

0 Замечание 1. Число I, например, называется пределом верхних сумм S при 0, если > 0 > 0 : T < S - I < ( )( ) ) [( ].

Замечание 2. В случае, когда I = I = I лемма Дарбу позволяет переходить к пределам в неравенствах вида s I xi, i S при стремлении к нулю { } диаметра разбиения Т сегмента [a,b]. При этом sI и SI, откуда I xi, i I.

{ } 1.7.3. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на сегменте.

Вышеперечисленные свойства верхних и нижних сумм позволяют доказать теорему об интегрируемости функции на сегменте.

Теорема. Для того, чтобы ограниченная на сегменте [a,b] функция f(x) была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы > 0 нашлось такое разбиение Т сегмента [a,b], для которого S - s.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, отметим лишь, что из неравенства S - s следует равенство I = I = I, что в силу замеча ния 2 гарантирует существование предела интегральных сумм I xi, i, { } равного I.

Определение. Число i = Mi - mi, где Mi и mi - точные верхняя и нижняя грани функции f(x) на [xi-1,xi] называются колебанием функции f(x) на сегменте [xi-1,xi]. Очевидно, что i > 0, ибо Mi mi.

После введенного определения колебания функции f(x) разность n n n n S - s = M xi - mixi = (M -mi )xi = ixi i i i=1 i=1 i=1 i= (так как все i 0 и хi >0) и последнюю теорему можно сформулиро вать так:

Для того, чтобы ограниченная на сегменте [a,b] функция f(x) была интегрируема на [a,b], необходимо и достаточно, чтобы для > 0 на n шлось такое разбиение Т сегмента, для которого ixi i= n f(x) B a, b f(x) L a, b > 0 T : ixi.

( )( ) { [ ] [ ]} i= 1.7.4. Равномерная непрерывность функции на множестве.

Пусть функция f(x)c x (непрерывна на множестве x ;

x - { } { } { } множество замкнуто или нет, конечно или бесконечно), т.е. она непрерывна в каждой точке этого промежутка х0 x. Это означает, что { } > 0 > 0 x x : x ( )( ) { } - x0 < f(x) - f(x0) < () [] y Отметим, что для фиксированного f(x1) число зависит не только от, но и от точки х0.

f(x0) Существует ли при заданном та 1 кое, которое годилось бы для всех то x0- x0 x0+ x чек х0 из этого промежутка?

Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на x, { } если для > 0 можно указать такое положительное число (=()) за висящее только от, что для любых двух точек x и x множества x, { } удовлетворяющих условию x - x <, выполняется неравенство |f(x'') - f(x')|< Пример 1. y=lnx равномерно непрерывна на полупрямой x 1. В самом деле, по теореме Лагранжа для любых x 1, x 1 (пусть для определен ности x

f(x) - f(x) = f () x - x = x - x < x - x, ибо x < Следовательно, по данному >0, если выбрать 0<, то из x - x < f(x) - f(x) < Пример 2. Функция f(x)=1 x на интервале (0,1) непрерывна, но не явля ется на нем равномерно непрерывной, т.е. для некоторого >0 нельзя выбрать >0 такое, что неравенство f(x) - f(x) < будет выполнено для всех x и x при условии, что x - x <.

Покажем это. Пусть >0, x =, x = 2, тогда x - x < 2, а вели чина f(x) - f(x) = 2 -1 = 1 может быть сделана сколь угодно боль шой.

y y 0 при y 2 y = y x 2 x Для непрерывной на сегменте функции справедлива следующая теорема.

Теорема (Кантора). Непрерывная на сегменте [a,b] функция f(x) равно мерно непрерывна на этом сегменте.

Теперь, с очевидностью, вытекает следствие: пусть функция f(x) непрерывна на [a,b], тогда для > 0 > 0 такое, что на каждом, при ( )( ) надлежащем сегменту [a,b] частичном сегменте [c,d], длина d-c которого меньше, колебание функции f(x) меньше. Сформулируем и дока жем следующую основную теорему.

Теорема. Непрерывная на сегменте [a,b] функция f(x) интегрируема на этом сегменте.

Пусть дано > 0. Так как f(x) равномерно непрерывна на сег ( ) менте [a,b] (теорема Кантора), то для положительного числа (b - a) можно указать такое >0, что при разбиении Т сегмента [a,b] на частич ные сегменты [xi-1,xi], длина максимального из которых <, колебание i функции f(x) на каждом из них меньше (b - a) (следствие из теоремы n n Кантора). Тогда для таких разбиений Т S - s = ixi < xi = и b - a i=1 i= выполняется достаточное условие интегрируемости функции f(x).

Замечание. Если f(x) имеет на [a,b] конечное число точек разрыва 1-го рода, то функция f(x) также интегрируема на этом сегменте. При этом, если, например, f(x) разрывна в одной точке x=c, то b c b f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx, и значение этих интегралов не зависит от зна a a c чения функции в точке с.

1.7.5. Основные свойства определенного интеграла.

a 1) f(x)dx = 0 (по определению).

a b a 2) f(x)dx = - f(x)dx (по определению, при a

a b b b 3) cf(x)dx = c f(x)dx (с = const).

a a b b b 4) f(x) ± g(x) dx = f(x)dx ± g(x)dx [] a a a b c b 5) f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx для произвольных с, при условии ин a a c тегрируемости функции f(x).

b 6) f(x)dx 0, если f(x) 0 x [a,b].

a 7) Если функция f(x) c[a,b], то свойство 6) можно уточнить при f(x) 0.

b b 8) f(x)dx g(x)dx если f(x) g(x) x [a,b].

a a b b 9) f(x)dx f(x) dx.

a a b b b 10) m g(x)dx f(x)g(x)dx M g(x)dx, a a a если g(x) 0 x [a,b], M = sup f(x), m = inf f(x).

[a,b] [a,b] 1.7.6. Первая и вторая формулы среднего значения.

Докажем формулу, которая называется первой формулой среднего зна чения.

Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на сегменте [a,b], и функция g(x) не меняет знака на этом сегменте. Если M = sup f(x), m = inf f(x), то [a,b] [a,b] существует число µ, удовлетворяющее неравенствам m µ M, такое, что справедлива формула b b f(x)g(x)dx =µ g(x)dx. (1) a a Если, в частности, f(x) непрерывна на сегменте [a,b], то [a,b], что бу дет выполняться равенство b b f(x)g(x)dx = f() g(x)dx. (2) a a Замечание. Формула (1) и (2) называется первой формулой среднего значения.

Доказательство. Будем предполагать, что g(x)0 (в случае g(x) 0 рас суждения аналогичные).

b а) Если g(x)dx = 0, то в силу свойства 10 определенного интеграла (см.

a тему 5) b f(x)g(x)dx = 0, a и тогда в качестве µ можно взять любое число.

b в) Пусть g(x)dx > 0, тогда из (10) a b b m f(x)g(x)dx g(x)dx M.

a a b b Обозначая через µ= f(x)g(x)dx g(x)dx, будем иметь формулу (1).

a a Формула (1) доказана.

Для доказательства формулы (2) нужно показать, что в случае не прерывной функции f(x) найдется такая точка [a,b], что f()=µ в фор муле (1). Однако это вытекает из того, что непрерывная на сегменте [a,b] функция достигает на этом сегменте как своих точных граней M и m, так и любого промежуточного между ними значения µ (m µ M).

Следствие. В частном случае, когда g(x)1, формула (1) принимает вид:

b f(x)dx = µ (b - a), a а (в предположении непрерывности функции f(x) на сегменте [a,b]) фор мула (2) превращается в b f(x)dx = f() (b - a) a Замечание. Если f(x) не является непрерывной, то формула (1) вообще говоря, неверна.

Пример.

f(x) g(x) 1 1 2 1 2 1 x 1 x 1 1 1, 0 x 2, 0 x f(x) = g(x) = 1, 1 < x 1 1 1 < x 2, b 12 1 1 1 3 f(x)g(x)dx = dx = µ + dx = µ ;

µ =.

1dx 2 2 2 4 a 0 0 и для [0,1] f()µ.

Сформулируем без доказательства теорему, позволяющую полу чить формулу, известную под названием второй формулы среднего зна чения, или формулы Бонне. Эта формула будет неоднократно использо ваться в разных разделах математического анализа, в частности, в разде ле “Несобственные интегралы”.

Теорема. Если на сегменте [a,b] функция g(х) монотонна, а f(x) интегри руема, то на этом сегменте существует такая точка, что b b f(x)g(x)dx = g(a) f(x)dx + g(b) f(x)dx a a - вторая формула среднего значения или формула Бонне.

1.7.7. Интеграл с переменным верхним пределом.

Одним из важных понятий для непрерывных и интегрируемых на сегменте [a,b] функций является понятие интеграла с переменным верх ним пределом, используя которое, можно получить основную формулу интегрального исчисления - формулу Ньютона-Лейбница.

Определение. Пусть функция f(x) интегрируема на любом сегменте [,](a,b) и пусть c - некоторая фиксированная точка, принадлежащая интервалу (a,b), тогда, каково бы ни было число х( a,b), функция f(x) интегрируема на [c,x], и на интервале (a,b) определена функция x F(x) = f(t)dt, которая называется интегралом с переменным верхним c пределом.

Теорема. Любая непрерывная на интервале (a,b) функция f(x) имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных является x функция F(x) = f(t)dt, где с - любая фиксированная точка интервала c (a,b).

F(x + x) - F(x) Достаточно доказать, что для (х x (a, b) lim = f(x) x0 x берем таким, чтобы (х+х)(a,b)). Рассмотрим разность x+x x x x+x x F(x + x) - F(x) = f (t)dt - f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt - f (t)dt = c c c x c x+x = f (t)dt = f ( )x, x где - некоторое число, заключенное между х и х+х (Здесь было ис пользовано свойство 6 определенного интеграла и первая формула сред него значения для непрерывной на сегменте функции).

Так как f(x) непрерывна в точке х, то при х0 f()f(x), и по F(x + x) - F(x) этому lim = f(x).

x0 x Замечание 1. Аналогично доказывается теорема для непрерывной на сегменте [a,b] функции f(x). В этом случае в качестве с можно взять точ x ку а и F(x) = f(t)dt.

a x d Замечание 2. Мы показали, что f(t)dt = f(x).

dx c Замечание 3. Если f(x) интегрируема на любом сегменте, содержащем ся в интервале (a,b), то интеграл с переменным верхним пределом пред ставляет собой непрерывную функцию на интервале (a,b) от верхнего предела. В самом деле x+x x F = F(x + x) - F(x) = f(t)dt - f(t)dt = µ x, c c M = sup f(x) [a,b] где m µ M m = inf f(x) [a,b] Отсюда lim F = lim (µ x) = 0, и в силу разностной формы усло x0 x вия непрерывности F(x) есть непрерывная на интервале (a,b) функция.

1.7.8. Основная формула интегрального исчисления или формула Ньютона-Лейбница.

В разделе “Неопределенный интеграл” было показано, что любые две первообразные функции f(x) на сегменте [a,b] отличаются лишь на константу. В предыдущей теме данного пособия была доказана теорема, x что интеграл с переменным верхним пределом F(x)= f(t)dt является од c ной из первообразных функции f(x) на сегменте [a,b] (с,х[a,b]), поэтому любая первообразная (х) непрерывной на сегменте [a,b] функции f(x) x может быть представлена в виде (x) = f(t)dt + c, где с - произвольная a постоянная. Используя свойство 1 определенного интеграла, имеем a (a) = f(t)dt + c = c. Очевидно также, что при х=b a b b b (b) = f(t)dt + c = f(x)dx + c, откуда f(x)dx = (b) - c.

a a a Подставляя вместо с Ф(а) в последнее равенство, получим формулу b f(x)dx = (b) - (a).

a b Для удобства записи разность (b)- (а) записывают в форме (x), и a b b f(x)dx =(x) - основная формула интегрального исчисления или фор a a мула Ньютона-Лейбница.

Примеры:

dx 3 1. = arctgx = arctg 3 - arctg1 = - = 1+ x2 3 4 1 1 cos2 - cos 2. 2xdx =- cos2x =- (-1-1 = = 2 ) sin 2 2 2 dx x 3. = arcsin = arcsin - arcsin 0 = 4 0 2 16 - x cosx 1 1 1 1 1 =- 1- 4 = 4. dx =- =- - ( ) sin2 x 2 sin2 x 2 sin2 sin2 2 1.7.9. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.

Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a,b]. Сегмент [a,b] является множеством значений некоторой функции x=g(t), определенной на сегменте t, причем g()=a, g()=b.

Пусть также g(t) непрерывна t [,]. Тогда справедлива фор b мула: f(x)dx = f[g(t)]g(t)dt - формула замены переменной под знаком a определенного интеграла.

Доказательство. Пусть (x) - некоторая первообразная функции f(x), b т.е. (x) = f (x) и f(x)dx = (b) - (a). Так как функции (х) и x=g(t) диф a ференцируемы на соответствующих сегментах, то сложная функция [g(t)] дифференцируема на сегменте [,]. Применяя правило дифферен цирования сложной функции, получим d [g(t)]= (g(t)) g (t), (1) dt где производная ' вычисляется по аргументу х: [g(t)]= (x), где x=g(t). Так как (x) = f (x), то при x=g(t) получим [g(t)]= f [g(t)]. Под ставляя это значение ' g(t) в правую часть (1), получим [ ] d g(t) = f g(t) g(t), откуда следует, что [g(t)] на сегменте [,] являет [ ] [ ] dt ся первообразной для функции f g(t) g(t). Поэтому по формуле Ньюто [ ] на-Лейбница f g(t) g(t)dt = g() g(), [ ] [ ]- [ ] а так как g()=b и g()=a, то окончательно получим f g(t) g(t)dt = b - a [ ] ( ) ( ) cosx Пример 1. Рассмотрим dx. Положим sinx=t, и, следовательно, 1+ sin2 x dt=cosxdx;

так как t=0 при x=0 и t=1 при x =, то cosx (1+ sin2 x)dx = dt (1+ t2) = arctgt 0 = 0 Пример 2. Вычислить x 1+ x2dx. Положим 1+х2=t, тогда dt=2xdx.

Поскольку t=4 при x = 3 и t=9 при x = 8, то 8 t 1 2 1 x 1 + x2dx = dt = t3 2 = 93 2 - 43 2 = () 2 2 3 4 3 Теорема. Если функции u(x) и v(x) на сегменте [a,b] имеют непрерыв ные производные, то справедлива следующая формула b b b u(x)v(x)dx = u(x)v(x) - u (x)v(x)dx, []a a a которая называется формулой интегрирования по частям для определен ных интегралов.

Доказательство. Поскольку u(x)v(x) = u (x)v(x) + u(x)v(x), то функция [] u(x)v(x) является первообразной для функции u (x)v(x) + u(x)v(x), отку [ ] b b да следует, что u (x)v(x) + u(x)v(x) dx = u(x)v(x). Используя свойства [] [ ]a a определенного интеграла, получим b b b u(x)v(x)dx = u(x)v(x) - u (x)v(x)dx.

[]a a a Замечание. Так как v(x)dx = dv и u (x)dx = du, то полученная формула b b b может быть записана в виде udv = uv - vdu.

( )a a a Пример 1. Вычислить x sin xdx. Полагая u=x, dv=sinxdx, получим du=dx, v = -cosx, тогда x sin xdx = -xcosx - (-cosx)dx = + sin x =.

1.7.10. Спрямляемость и длина дуги плоской кривой.

Пусть заданы функции (t) и (t), непрерывные на сегменте [,].

Множество M всех точек М, координаты х и у которых определяются { } x = (t) уравнениями называется простой кривой, если различ t y = (t) ным значениям параметра t из сегмента [,] отвечают различные точки этого множества.

y Будем называть точки А и В, отвечающие граничным значениям и параметра t гра A() ничными точками простой кривой. Простой x замкнутой кривой называется кривая L, ко торая образуется объединением двух про B() стых кривых L1 и L2 следующим образом:

1) граничные точки кривой L1, совпадают с граничными точками кривой L2;

2) любые не граничные точки кривых L1 и L2 различны.

Определение. Пусть (t) и (t) непрерывны на t. Уравнения { } x = (t) (1) y = (t) задают параметрически кривую L, если существует такая система сег ментов t, t, разбивающих множество t, что для значений t из каж {[ ]} { } i-1 i дого данного сегмента этой системы уравнения (1) определяют простую кривую. При этом точки кривой L рассматриваются в определенном по рядке в соответствии с возрастанием параметра t, т.е. если M1 соответст вует значению параметра t1, а М2 - t2, то M1 считаются предшествующей М2, если t1

Пример. Рассмотрим кривую L, задаваемую параметрически уравне ниями x = cost (2) y = sin t 0 t 4 - это не простая кривая, но если взять систему сегментов [0, ], [,2], [2,3], [3,4], разбивающих [0,4], то для значений t из каждого указанного сегмента данной системы уравнения (2) определяют простую кривую (полуокруж ность).

Кривая L - дважды обходимая окружность.

Итак, пусть кривая L задается параметрическими уравнениями x = (t) Пусть Т - произвольное разбиение [,] точками y = (t) t.

0=t0

Теорема (о достаточных условиях спрямляемости и длине дуги плоской кривой). Если функции x = (t) и y = (t) имеют на сегменте [,] непре рывные производные, то кривая L, определяемая параметрическими x = (t) уравнениями t, спрямляема, и длина l ее дуги может быть, [ ] y = (t) вычислена по формуле l = (t) + (t) dt (3) [ ] [ ] Поясним без детального обоснования схему доказательства данной теоремы.

Этап 1. Рассматривается выражение n 2 l(T) = (t ) - (t ) + (t ) - (t ) длины ломаной, вписанной в [] [ ] i-1 i i-1 i i= кривую L и отвечающей произвольному разбиению Т сегмента [,], и показывается ее ограниченность, т.е. кривая L - спрямляема. Длина кри вой L обозначается через l.

Этап 2. Показывается, что l(T) сколь угодно мало отличается от величи ны I = (t) + (t) dt при 0, где - диаметр разбиения Т сегмен [ ] [ ] та [,], а именно, l(T) - I < (4) Этап 3. Показывается, что среди ломаных, длины l(T) которых удовле творяют неравенству (4), имеются такие, длины которых мало отлича ются от длины l дуги кривой L, а именно, 0

Отсюда следует, что l - I <, и в силу произвольности l = I = (t) + (t) [ ] [ ] 1.7.10.1. Вычисление длины дуги плоской кривой при различных спо собах ее задания.

1) Если кривая L является графиком функции y=f(x) и f (x) непрерывна на [a,b], то кривая L спрямляема, и длина l ее дуги вычисляется по фор муле b l = 1+ f (x) dx.

[ ] a Доказательство. График функции представляет кривую, определяемую параметрическими уравнениями x=t, y=f(t), a t b, и выполнены усло вия теоремы о достаточных условиях спрямляемости и длине дуги пло ской кривой. Полагая (t)=t, (t)=f(t) и заменяя переменную интегриро b вания t на x, получим l = 1+ f (x) dx.

[ ] a 2) Кривая L определяется полярным уравнением r=r(),1 2 и r() имеет на [1, 2] непрерывную производную, тогда кривая L спрямляе ма, и длина l дуги L может быть найдена по формуле l = r2() + r () d [ ] Формула перехода от полярных координат к декартовым коорди x = r()cos натам, следовательно, L определяется параметрическими y = r() sin уравнениями, в которых функции = r()cos;

= r() sin удовлетворя ют условиям теоремы, откуда следует, что 2 l = (t) + (t) dt = (r cos - r sin)2 + (r sin + r cos)2 d = [ ] [ ] = r2 () + r() d [ ] Примеры. 1) Найти длину линии, заданной уравнениями x2 3 + y2 3 = x = cos3 t Перейдем к параметрическим уравнениям y = sin3 t y 2 l = 4 9cos4 t sin2 t + 9sin4 t cos2 tdt = 12 sin t cost cos2 t + sin2 tdt = 0 -1 1 x = 6 sin 2tdt = -3cos2t = - 2) Найти длину дуги полукубической параболы у2=х3, заключенной ме жду точками (0,0) и (4,8).

y M (4,8) 3 Так как х0, то y = x и 1+ y = 1+ x ( ) 2 x Следовательно, 3 9 4 2 9 1+ x 4 10 10 - l = 1+ xdx = = ( ) 4 9 3 4 0 3. Найти длину первого витка архимедовой спирали =а Первый виток архимедовой спирали образуется при изменении полярного угла от 0 до 2 2 Поэтому l = a 2 + a d = a 2 +1d = 0 = a 42 +1 + ln2 + 42 +1.

1.7.11. Квадратируемость и площадь плоской фигуры.

Определение 1. Плоской фигурой Q будем называть конечную часть плоскости, ограниченную простой замкнутой кривой L. Кривая L в этом случае называется границей фигуры Q.

Будем говорить, что многоугольник вписан в фигуру Q, если каж дая точка этого многоугольника принадлежит фигуре Q или ее границе.

Если все точки плоской фигуры и ее границы принадлежат некоторому многоугольнику, то го Si ворят, что указанный многоугольник описан во Sd круг фигуры Q. Очевидно, что площадь любого вписанного в фигуру Q многоугольника Si не больше площади любого описанного вокруг фигуры Q многоуголь ника Sd(SiSd). Обозначим через Si и Sd числовые множества пло { } { } щадей вписанных в фигуру Q и описанных вокруг плоской фигуры Q многоугольников. Множество Si ограничено сверху (площадью любо { } го описанного вокруг Q многоугольника), а множество Sd ограничено { } снизу (например, числом нуль). Обозначим через P = sup Si и { } P = inf Sd. Числа P и P называются нижней и верхней площадью пло { } ской фигуры Q соответственно.

Лемма. Нижняя площадь P фигуры Q не больше верхней площади P этой фигуры, т.е. P P sup Si = P P = inf Sd Доказательство: Предположим противное, т.е. P >P и положим P + P P - P 2 = > 0. Так как ( ) P + = P = sup Si, то найдется { } P + P такой вписанный в фигу P - = P P Sd Si ру Q многоугольник, площадь Si которого Si > P - = P - P ( ) (1) Так как P = inf Sd, то найдется такой описанный вокруг фигуры Q { } многоугольник, площадь которого Sd будет меньше числа P + Sd < P + = P + P 2 (2).

( ) Из неравенства (1) и (2) следует, что Sd

Определение 2. Плоская фигура Q называется квадрируемой, если верх няя площадь P этой фигуры совпадает с ее нижней площадью P. При этом число Р=P =P называется площадью фигуры Q.

Теорема (о необходимом и достаточном условии квадрируемости пло ской фигуры). Для того, чтобы плоская фигура Q была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа можно было указать такой описанный вокруг фигуры Q многоугольник и такой вписанный в фигуру Q многоугольник, разность Sd-Si площадей которых была бы меньше, Sd-Si< Доказательство. Необходимость. Пусть фигура Q квадрируема, т.е.

P =P =Р.

Так как P = sup Si и { } 2 P = inf Sd, то для любого > { } можно указать такой вписан P + P 2 ный в фигуру Q многоуголь Si P Sd ник, площадь Si которого удовлетворяет неравенству P - Si < (3) и такой описанный около фигуры Q многоугольник, площадь Sd которого удовлетворяет неравен ству Sd - P < (4).

Складывая неравенства (3) и (4) получим Sd-Si<.

Достаточность. Пусть Sd и Si площади многоугольников, для которых Sd-Si< и так как Si P P Sd, то P -P <. Так как - произвольное число, то P =P и фигура квадрируема.

sup Si = P inf Sd = P { } { } S S i d Теорема доказана.

Площадь криволинейной трапеции.

y Рассмотрим криволинейную трапе цию - фигуру, ограниченную графи ком непрерывной и неотрицательной функции f(x), заданной на сегменте [a,b], ординатами, проведенными в точках а и b и отрезком оси Ох меж ду точками а и b. Докажем теорему.

a =x0 x1 x2 xn=b x Теорема. Криволинейная трапеция представляет собой квадрируемую фигуру, площадь Р которой может быть вычислена по формуле b P = f(x)dx a Доказательство. Так как функция f(x)C[a,b], то эта функция интегрируема на этом сегменте, поэтому > 0 T : S - s <, где S и s - ( )( ) [ ] верхняя и нижняя суммы разбиения Т соответственно.

S=Sd и s=Si, где Sd и Si - площади ступенчатых многоугольников, причем многоугольник площади Sd содержит криволинейную трапецию, а пло щади Si - содержится в ней. Поскольку Sd-Si<, то из теоремы о необхо димом и достаточном условии квадрируемости плоской фигуры вытека ет, что криволинейная трапеция квадрируема. Поскольку b b lim S = lim s = f(x)dx и s p S, то p = f(x)dx.

0 a a Замечание 1. Если функция f(x) непрерывна и знакопеременна на сег менте y [a,b], то определенный интеграл b + + f(x)dx будет давать алгебраиче a c — d b x a скую сумму площадей, заключен ных между осью Ох, графиком функции f(x) и ординатами x=a, x=b. При этом площади над осью Ох будут получаться с положительным знаком, а под осью Ох с отрицательным.

Для того, чтобы получить сумму этих площадей в обычном смысле, b нужно вычислить f(x) dx. Так, сумма заштрихованных на рисунке пло a щадей равна c d b f(x)dx - f(x)dx + f(x)dx a c d Замечание 2. Площадь, заключенная между двумя кривыми:

y y1=f1(x), y2=f2(x) и двумя ординатами:

y2=f2(x) х=а, х=b в том случае, когда одна кри вая лежит над другой, т.е. f2(x)f1(x) на сегменте [a,b] выражается интегралом.

y1=f1(x) b P = f2(x) - f1(x) dx [] a a b x Если обе кривые лежат над осью Ох, то из чертежа видно, что b b b P = f2(x)dx - f1(x)dx = f2(x) - f1(x) dx [] a a a В общем случае, если кривые как угодно расположены относи тельно оси Ох, можно прийти к разобранному, если передвинуть ось Ох насколько вниз, чтобы обе кривые оказались над осью Ох. В этом случае к обеим функциям f2(x) и f1(x) прибавляется одно и то же постоянное слагаемое, причем разность f2(x)-f1(x) остается без изменения.

Площадь плоской фигуры в полярных координатах.

Пусть кривая L задана в полярной системе коор динат уравнением r=r(),[,]. Будем считать, Qi что r() непрерывна и неотрицательна на сегмен Qi Qi- те [,]. Криволинейным сектором называется плоская фигура, ограниченная кривой L и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы и. Сформулируем без доказательства следующую теорему.

Теорема. Криволинейный сектор представляет собой квадрируемую фигуру, площадь которой может быть вычислена по формуле P = r2()d Примеры.

1. Найти площадь фигуры, заключенной между кривыми y=5-x2 и y = 5 - x y=x-1. Решая совместно уравнения, получим - y = x x1 = -3 x2 = ;

. Следовательно, = -4 = y1 y 2 P = 5 - x2 - ( -1 dx = 6 - x - x2 dx = x ) ( ) () [ ] -3 - x2 x3 = - - = -3 2 x 6x 2 -3 2. Найти площадь фигуры, ограниченной одним лепестком кривой 2 = a cos2 (лемниската).

Правая часть уравнения данной кривой не отрицательна при тех значениях, для ко торых cos20, поэтому первый лепесток A B лежит в угле, где - 2, т.е.

0 C 2 -.

4 Следовательно, 2 1 a 1 aa POABC = a cos2d = sin 2 = (1 +1) = 2 2 2 4 1.7.12. Объем тела вращения.

Вычисление объема тела сводится также к вычислению определенного интеграла. Пусть рассматриваемое тело Е получается от вращения дан ной кривой y=f(x), заданной на сегменте [a,b], вокруг оси Ох. Обозначим через V объем данного тела. Разобьем тело поперечными сечениями, перпендикулярными к оси Ох, начиная от х=а и кончая х=b.

y Очевидно поперечные сечения - круги радиуса у. Рассмотрим один из эле E ментов Е, образованный сечениями с абсциссами х и х+х. Будем считать, a b что х достаточно мало и заменим x0 x0+x x объем тела Е объемом прямого ци линдра, высота которого х, а пло щадь ос нованияS(x)=f2(x) и, следовательно, для объема V тела получим приближенное выражение V S(x)x (суммирование берется по всем элементам, на которые наше тело разбито поперечными сечениями). При переходе к пределу, когда число элементов беспредельно возрастает и наибольшее из х0, напи санная сумма превращается в определенный интеграл, который дает точное значение объема V, b V = f (x)dx.

a Итак, приходим к следующей теореме.

Теорема. Объем тела, получаемого при вращении вокруг оси Ох кривой y=f(x), заключенный между ординатами х=а и х=b, выражается форму лой b b V = y2dx = f (x)dx a a Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг осей Ох и Оу фигуры, ограниченной ветвью параболы x = y и отрезком 1у4 оси координат.

y 1. Вычислим объем V тела образованного враще нием параболы вокруг оси Ох.

x = y (см. рис.1) Так как x = y, то y=x 1 2 x V = x4dx x5 = (32 -1) = 5 5 Рис. y 2. Если V1 - объем тела, образованного вращени ем параболы вокруг оси Оу (см. рис.2) y2 4 V1 = y dy = = (16 -1) = ( ) 2 2 -2 -1 1 2 x Рис. 1.8. Обобщение понятия определенного интеграла. Несобственные интегралы.

Введенное ранее понятие определенного интеграла не пригодно для неограниченной функции и для случая, когда подынтегральная функция не ограничена. Рассмотрим некоторые возможные обобщения понятия определенного интеграла.

1.8.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интег рирования Будем предполагать, что функция f(x) непрерывна на полупрямой аx<+, тогда она непрерывна на любом отрезке [a,b], где b>a и, следо вательно, существует интеграл b f(x)dx.

a Этот интеграл является функцией своего верхнего предела b b F(b) = f(x)dx, определенной на промежутке ab<+. Если при b+ a F(b) стремится к конечному пределу, то этот предел обозначают + f(x)dx и называют несобственным интегралом по бесконечному про a межутку (от а до бесконечности) от функции f(x). Таким образом, по оп ределению + b f(x)dx = lim f ( x)dx, b + a a если этот предел существует и конечен. В этом случае принято говорить, + f(x)dx что несобственный интеграл существует или сходится.

a В противном случае: если предел не существует или предел беско f(x)dx нечен, то символу никакого числового смысла не приписывают a и, называя его снова несобственным интегралом, говорят, что этот не собственный интеграл не существует или расходится.

Аналогичным образом для функции f(x), непрерывной на полу b f(x)dx прямой -

- b b f(x)dx = lim f ( x)dx При этом, если этот предел существует и a - a конечен.

Для функции f(x), непрерывной на всей числовой оси, несобствен ный интеграл определяется равенством:

+ c + f(x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx, - - c где с – любое число, а каждый из интегралов в правой части равенства + f(x)dx сходится. При этом несобственный интеграл называется схо - дящимся. (Его величина, очевидно, не зависит от числа с). Если хотя бы c + f(x)dx f(x)dx один из интегралов и расходится, то несобственный + c + f(x)dx интеграл называется расходящимся.

- Из сделанных выше определений сходящихся несобственных ин тегралов с бесконечными пределами интегрирования следует, что эти интегралы являются не пределами интегральных сумм, а пределами оп ределенных интегралов с переменными верхними или нижними преде лами при стремлении этих пределов к бесконечности.

Если функция f(x) непрерывна и неотрицательна на бесконечном b f(x)dx промежутке [a,+), то численно равен площади криволинейной a трапеции, ограниченной снизу отрезком [a,b] оси OX, сверху кривой y=f(x), слева и справа - прямыми x=a и x=b. При возрастании b прямая x=b, ограничивающая эту криволинейную трапецию, движется направо.

+ f(x)dx В случае, если при этом несобственный интеграл схо a дится, его величину естественно принять за площадь бесконечной поло сы, ограниченной снизу осью ОХ, сверху – графиком функции y=f(x), слева – прямой х=а (рис.).

Y y=f(x) X 0 а b Аналогичные рассуждения имеют место и для интегралов вида:

b + f(x)dx f(x)dx и.

- - Несобственные интегралы с бесконечными пределами иногда на зывают несобственными интегралами первого рода.

Рассмотрим несколько примеров несобственных интегралов пер вого рода:

Пример 1.

b b dx dx 1+ x2 = lim1+ x2 = lim arctgx = lim (arctgb - arctg0) =.

b b= 0 b+ Пример 2.

b b xdx xdx 1 d(x2 + 1)= ( ) 1 + x2 = lim 1 + x2 = lim 2 2 lim ln 1 + x2 = b b 1 + x2 b = lim(ln(1 + b2)- ln1)=, следовательно b xdx – расходится.

1 + x Пример 3.

+ b b cos xdx = limcos xdx = limsin x = lim(sin b - sin 0)– этот предел не суще b b b 0 ствует, значит xdx - расходится.

cos Пример 4.

Исследуем на сходимость интеграл, зависящий от параметра р:

dx.

p x 1. Если р=1, то имеем:

b dx dx b = lim = lim ln x = lim (lnb - ln1) = – интеграл расходится.

b+ b+ b+ x x 1 2. Если р1, то для любого b>0 имеем:

b b, если р > dx 1 dx = (b1- p - 1) и lim = p - p p b+ x - p x 1, если р < dx Таким образом, несобственный интеграл сходится при р>1 и p x расходится при р1.

Некоторые свойства несобственных интегралов Приведем без доказательства свойства несобственных интегралов первого рода.

1. Пусть f(x) – непрерывна на полупрямой [a,+), тогда интегралы + + f ( x)dx f ( x)dx а1>a, ведут себя одинаково относительно сходи и a a мости.

+ + 2. Если f ( x)dx сходится и равен S, то интеграл cf ( x)dx, где с – про a a извольное число, также сходится и равен сS.

+ + 3. Если интегралы f1 ( x)dx и f ( x)dx сходится и соответственно a a + равны S1 и S2, то интеграл 1 (f (x) + f (x))dx также сходится и равен a S1+S2.

Критерий Коши + Для сходимости интеграла f ( x)dx необходимо и достаточно, a чтобы для любого >0 можно указать А=А(), такое, что для любых R1 и R2, больших А, выполняется неравенство:

R f ( x )dx < R Необходимое условие сходимости несобственных интегралов + Если интеграл f ( x)dx сходится, то его частные интегралы огра a ничены, то есть существует такое число М>0, что для всех b>a выполня b ется неравенство f (x)dx < M a Это утверждение непосредственно вытекает из существования ко нечного предела частных интегралов при b.

Таким образом, если частные интегралы не ограничены, то несоб ственный интеграл расходится. Если же частные интегралы ограничены, то о сходимости несобственного интеграла еще ничего сказать нельзя: в одних случаях интеграл может сходиться, а в других – расходиться.

+ Например, у несобственного интеграла xdx частные интегра cos b b лы xdx = sin x = sin b ограничены, но они не имеют предела при cos b+ (так как sin b при b+ не имеет предела) и, следовательно, не + собственный интеграл xdx - расходится.

cos Несобственные интегралы от неотрицательных функций Если подынтегральная функция f(x) на полупрямой [a,+) непре рывна и неотрицательна, то ограниченность частных интегралов являет ся необходимым и достаточным условием сходимости интеграла + f (x)dx.

a Признак сравнения несобственных интегралов Если функции f(x) и g(x) непрерывны на полупрямой [a,+) и удовлетворяют на нем условию 0f(x)g(x), то из сходимости интеграла + g ( x)dx (1) a следует сходимость интеграла + f ( x)dx (2), a и обратно: из расходимости интеграла (2) следует расходимость инте грала (1).

Следствие:

Если f(x) и g(x) – непрерывные функции на полупрямой [a,+) и f (x) lim = R (где R – действительное число: 0

и 0 Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов Определение. Пусть f(x) – произвольная непрерывная на полу прямой [a,+) функция, необязательно знакопостоянная. Интеграл + f (x)dx называется абсолютной сходящимся, если сходится интеграл a + f (x) dx.

a + Теорема. Если сходится интеграл f (x) dx, то сходится и интеграл a + f (x)dx.

a Отметим, что сходимость несобственного интеграла от знакопере менной функции не влечет за собой его абсолютной сходимости, а для интегралов от знакопостоянных функций из сходимости интеграла сле дует его абсолютная сходимость.

+ + sin x sin x Например, интеграл dx (a>0) сходится, а интеграл dx x x a a + sin x расходится, то есть интеграл dx не является абсолютно сходящим x a ся. (Такие интегралы называют условно сходящимися).

+ sin x sin x Интеграл dx (a>0) сходится абсолютно, так как, и x2 x2 x a + dx интеграл сходится.

x a 1.8.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций Пусть теперь функция f(x) задана на полуинтервале [a,b). Точку b будем называть особой, если функция f(x) не ограничена на [a,b), но ог раничена на любом [a;

b-][a,b). Будем также предполагать, что на лю бом таком сегменте функция f(x) интегрируема.

В наших предположениях на [a;

b-] задана функция аргумента b F() = f (x)dx.

a Исследуем вопрос о правом предельном значении функции F(x) в точке =0, то есть вопрос о существовании предела:

b lim0 f (x)dx.

+ a При этом для обозначения этого выражения будем использовать b f(x)dx обозначение:. В дальнейшем этот символ будем называть несоб a ственным интегралом второго рода от функции f(x) по полуинтервалу [a;

b). Если указанный предел существует, интервал будем называть схо дящимся, если предел не существует или равен, то интеграл будем на зывать расходящимся.

Аналогично для функции f(x), непрерывной на полуинтервале (a;

b] и неограниченной вблизи а, вводится понятие несобственного интеграла b f(x)dx.

a b b f(x)dx = lim0 f (x)dx Полагают, что, если этот предел существует + a a+ и конечен.

Несобственный интеграл от функции f(x), непрерывной на интер вале (a;

b) и неограниченной вблизи его концов а и b, определяется ра венством:

b с b f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx, a a с где с – любая точка интервала (a;

b), если каждый из несобственных ин с b b f(x)dx f(x)dx f(x)dx тегралов и сходится. При этом несобственный a с a называется сходящимся, его величина не зависит от выбора числа с. если с b f(x)dx f(x)dx хотя бы один из интегралов и расходится, то несобст a с b f(x)dx венный интеграл называют расходящимся.

a Пусть теперь функция f(x) непрерывна на отрезке [a;

b] всюду, кроме некоторой точки с, a

b f(x)dx Несобственный интеграл определяется равенством a b с b f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx, если каждый из интегралов в правой части ра a a с венства сходится. Если хотя бы один из этих интегралов расходится, то b f(x)dx несобственный интеграл называется расходящимся.

a Аналогично определяется несобственный интеграл по отрезку [a;

b] от функции, непрерывной на нем всюду, кроме конечного числа точек, и неограниченной вблизи этих точек.

Рассмотрим несколько примеров несобственных интегралов вто рого рода.

Пример 1.

dx, где р>0.

p x Это несобственный интеграл второго рода, так как y =, где р>0, p x – неограниченная на (0;

1) функция: lim = +.

p x+ x, p > 1 dx dx При р1: = lim0 p = lim0 x1- p = p + + x x 1- p 1- p, p < 1 dx dx При р=1: = lim = lim ln x =.

+0 + x x dx Таким образом, несобственный интеграл сходится при р<1 и p x расходится при р1.

Пример 2.

1 dx dx = lim = lim arcsin x = arcsin1- arcsin 0 =.

1- x2 +0 1- x2 + 1.9. Функции нескольких переменных 1.9.1. Множества в евклидовом пространстве Rm Определение 1. Совокупность всех упорядоченных наборов из m дей ствительных чисел (х1,..., хm) (точек Rm) называется m-мерным евклидо вым пространством Rm, если расстояние между любыми двумя точками 0 P(x1,..., x0 ) и Qy1,..., y0 ) определяются формулой ( m m 2 0 0 P, Q = - y1 +...+ - y ( ) (x ) (x ) 1 m m Пример 1.

х m=2 m= y Q P Q x P x y х 0 x1 y 2 0 0 0 0 = - y1 + - y0 = x1 - y (x ) (x ) 1 2 Пример 2. Пусть M (x1,..., x0 ), M(x1,..., xm ) 0 m def m Q (M ) R (M,M) < - E - окрестность т. М 0 {M 0 } x m = 2 m = M M x (x 2 Q (M ) =, x2) R (x1 - x1 )2 + (x2 - x0)2 < 0 1 Q (M ) = (x1 R x1 - x1 < { } Пример 3. Пусть d1,..., dm - положительные числа def m Pd (M ) M R xi - x0 < d - прямоугольная окрестность т. М 0 i i {} (i = 1,..., m) х m=2 m= d x 2 d1 d d x х x Утверждение 1. Любая - окрестность т. М0 содержит некоторую пря моугольную окрестность этой точки;

любая прямоугольная окрестность точки М0, содержит - окрестность т. М.

Прежде всего заметим, что для m = 1 прямоугольные и - окрест ности совпадают. Для m = 2 содержание утверждения также очевидно.

Для всех m > 1 доказать этот факт можно только аналитически (хотя наглядные представления для двумерного случая несомненно это му помогают).

Доказательство: 1. Для фиксированного > 0 положим d1=d2=...= = dm =, тогда m 2 xi - x0 < i = 1,..., m (x1 - x1 )2 +...+(xm - x0 )2 < +...+ = () i m m m m m раз т.е.

точка, принадлежащая такой прямоугольной окрестности т. М0, принад лежит и - окрестности т. М0, иными словами - окрестность т. М0 со держит прямоугольную окрестность т. М0 с di = (i = 1,..., m). 2. Для m фиксированных d1,..., dm положим = min d1,...,d, тогда { } m 0 (x1 - x1 )2 +...+(xm - x0 )2 < min d1,...,d x1 - x1 < min d1,...,d {} {} m m m Анало x1 - x1 < d1.

гично xi - x0 < d (i = 1,..., m).

i i Таким образом, мы получим, что точка, принадлежащая - окре стности т. М0 (для = min d1,...,d ) принадлежит заданной прямо { } m угольной окрестности т. М0, т.е. прямоугольная окрестность содержит некоторую (мы указали, какую, например) E - окрестность т. М0.

Утверждение 1 доказано.

Определение 2. Точка М0 множества из Rm называется внутренней точ кой этого множества, если существует некоторая E - окрестность т. М0, целиком принадлежащая этому множеству М Определение 3. Точка М0 множества из Rm называется граничной точ кой этого множества, если любая Е - окрестность т. М0 содержит как точки принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему.

М 0 М М 0 прина длежит множеству М 0 не прина длежит множеству Определение 4. Множество из Rm называется открытым множеством или областью, если любая точка этого множества - внутренняя.

Примером открытого множества может служить открытый шар def m 0 QR (M ) M R (x1 - x1 )2 +...+(xm - x0 )2 < R.

0 {} m Это множество не является открытым R M Определение 5. Если каждая граничная точка множества принадлежит этому множеству, то множество называется замкнутым.

Примером может служить “замкнутый” шар def QR (M0) M Rm (x1 - x1 )2 +...+(xm - x0 )2 R2.

{} m Это множество не является ни за мкнутым, ни открытым.

R M Определение 6. Замкнутой областью называется объединение области и множества ее граничных точек.

Определение 7. Непрерывной кривой L в Rm назовем множество точек, координаты которых задаются параметрическими уравнениями x1 = 1(t);

...;

xm = m (t), t,, [ ] где i (t), (i = 1,..., m). При t =, получаем начало и конец кривой [ ] (Будем говорить, что начало и конец соединены непрерывной кривой).

Определение 8. Множество из Rm называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству.

связное множество множество не является связным Замечание. Часто в определение области включают требование связно сти.

Определение 9. Множество называется ограниченным, если оно содер жится в некотором шаре.

1.9.2. Последовательности точек из Rm.

Определение 1. Пусть каждому натуральному числу n поставлена в со ответствие некоторая точка Mn Rm (не обязательно различные точки для разных n). Тогда множество точек M1, M2,..., Mn,..., взятых в ука занном порядке, называется последовательностью M точек из про { } n странства Rm.

1 Пример 1., - последовательность точек из R n n x 1 M 1/2 M 0 1/2 1 x Определение предела последовательности точек из Rm по своей структуре не отличается от определения в одномерном случае:

последовательность M сходится к т. АRm, если начиная с некоторого { } n номера, все элементы последовательности попадают в любую наперед за данную окрестность т.А. (Точка А называется пределом последовательно сти, а последовательность - сходящейся). Используя логическую симво лику определение предела последовательности можно записать в сле дующей форме def Опр. 2 lim M = A > 0 + n > N M, A < ( ) ( ) () n (N ): n n 1 1 1 Пример 2. M = ;

;

= (0, 0) ;

lim n n n n n n x M M QE(0) 0 x На этом примере мы видим, что не только последовательность схо дится к началу координат, но и каждая координата Mn имеет нулевой предел. В общем случае справедливо ( Утв. 1 Для того, чтобы последовательность M x1n),...,x(n) { } n ( m ) { } сходилась к точке А(а1,..., аm) необходимо и достаточно, чтобы lim x(n) = a (i = 1, 2,..., m).

i i n Доказательство: 1) lim M = A lim x(n) = a (i = 1,..., m).

n i i n n def lim M = A > 0 + n > N M, A < ( ) ( ) () n (N ): n n 2 ( (n) Отсюда при n > N x1n) - a1 +...+ - a < и, в частности, (x ) ()m m ( x1n) - a1 <,..., x(n) - a < а это означает, что последовательности m m ( x1n),..., x(n) n { } { m } координат точек M сходится соответственно к а1,..., аm.

2) x(n) = a (i = 1,..., m) lim M = A n nlim i i n def lim x(n) = a > 0 + > N x(n) - a < ( ) i (N ):n i ii i i n m (i=1,..., m).

Положим N = max N, тогда для n>N выполнено неравенство i 1im 2 2 ( x1n) - a1 +...+ x(n) - a < +...+ = () () m m m m т.е. > 0 N + : n > N M, A <, и, следовательно, lim M = A ( ) ( ) () () n n n Утверждение 1 доказано.

Опр. 3 Последовательность M называется ограниченной, если все ее { } n элементы содержаться в некотором шаре.

Опр. 4 Пусть n1, n2,..., nk,... - произвольная строго возрастающая после довательность натуральных чисел, тогда последовательность M,M,..., M,... называется подпоследовательностью последова n1 n2 nk тельности M.

{ } n Замечание: Если последовательность имеет предел, то и любая ее подпоследовательность имеет предел.

Теорема 1. Из любой ограниченной последовательности точек из Rm можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Пример 3. M = (-1)n ;

0 0,M = (-1)n 2 M огра { } ( ) { } (1+ ) n {} n (1+ ) n ничена (но не имеет предела).

x M = (20) (20) ;

;

{ } { }n+ 2k M { } n 0 2 x M = (00) (00) ;

;

{ } { }n+ 2k+ 1.9.3. Понятие функции нескольких переменных Опр.1 Если каждой точке М множества M из Rm поставлено в соот { } n ветствие вещественное число u, то говорят, что на этом множестве опре делена функция u=f(M) (или u=f(x1,..., xm)). Множество M называется { } n областью определения функции.

Пример 1. u = a - x2 - y2. Область определения находим из условия a2-x2-y2 0 x2 + y2 a2.

y x a Mn { } Пример 2. u = ln (z - x2 - y2). Следовательно, область определения распо ложена над эллиптическим параболоидом z = x2 + y2.

Опр. 2 Графиком функции u=f(M) называется совокупность точек (M, f(M)), M M. График функции u=f(M) является гиперповерхно { } n стью в пространстве Rm+1.

Пример 3. z = x2 + y2 +1. График функции имеет вид z y x Опр. 3 Множество точек М(х1,..., хm) пространства Rm, удовлетворяю щих уравнению f(x1,..., xm) = C, где С - const, называется множеством уровня функции f.

Линии уровня (m = 2) и поверхности (m = 3) дают информацию о пове дении функции.

Пример 4. z = x2 +y2 +1. Линии уровня имеют вид:

y C= x2 + y2 +1 = C x x2+y2 = C- С= Пример 5. u = x2 + z2 - y2. Поверхности уровня имеют уравнения С = 0 x2 + z2 - y2 = 0 - конус С > 0 x2 + z2 - y2 = C - семейство однополостных гиперболоидов С < 0 x2 + z2 - y2 = C - семейство двухполостных гиперболоидов 1.9.4. Предел функции нескольких переменных Пусть функция u=f(M) определена на множестве M Rm и т.А { } n обладает свойством, что в любой ее окрестности есть точки из M (от { } n личные от А, если А M ). Сама точка А может не принадлежать об { } n ласти определения функции u=f(M).

Определение предела функции нескольких переменных по своей структуре не отличается от определения предела функции одной пере менной. Основное содержание его: если аргумент М мало отличается от А, то значение функции f(M) мало отличается от b (предела функции).

Определения предела функции нескольких переменных по Гейне и Коши имеют вид:

Опр. 1* def b = lim f(M) M : M M M A M A f(M ) b Число b { } { } () () [ n n n n ] n MA называется пределом функции u=f(M) при МА, если для любой после довательности M точек из M, сходящейся к т.А { } { } n (Mn A), соответствующая последовательность значений функции f(M ) сходится к b.

{ } n Опр. def b = lim f(M) > 0 > 0 : M M 0 < (M, A) < f(M) - b <.

( )( ) { } () [] MA Число b называется пределом функции u=f(M) при МА, если для любого >0 существует такое >0, что для всех точек М M, удовле { } творяющих условию 0<(M,A)<, справедливо неравенство f(M) - b <.

Замечание 1. Иногда пишут lim f(x1,..., xm ) = b.

x1a...

xma m U b+ b b x M { } Qz(A) A x На рисунке дана иллюстрация определения предела по Коши для случая m=2. Для любого >0 существует такая проколотая -окрестность т.А, значения функции в которой отличаются от b меньше, чем на (другими словами, график функции попадает в -полосу плоскости u=b).

14 Пример 1. u = x2 + y2. Проверим, что lim x2 + y2 = 0, для этого > () ( ) x y надо найти такое >0, что из неравенства 0 < (M,0) < + y2 - 0 < или (x ) 12 2 0 < + y2 < + y2 < (x ) (x ) Очевидно, можно положить =2.

Заметим, что если существует предел функции u=f(M) при МА, то существуют пределы f(М), когда М стремится к т.А вдоль любого лу ча, причем все эти пределы одинаковы и совпадают с пределом функ ции. Следовательно, если для функции удается указать, по крайней мере, два направления, вдоль которых пределы функций различны, то предела у функции нет.

Пример 2.

x2y при x4 + y4 u = x4 + y при x = y = Для этой функции вдоль осей Оx и Oy пределы существуют и рав ны 0 (на координатных осях функция равна 0), но вдоль оси y=kx x2y2 x2 k2y2 k lim = lim = зависит от k.

x x4 + y4 x0 x4 + k4 x4 1+ k y y=kx Отсюда получаем, что предела в нуле этой функции нет.

Возникает вопрос, будет ли функция нескольких переменных иметь предел, если все пределы вдоль лучей будут одинаковы? Ответ отрицательный, что видно из следующего примера.

Пример 3. Функция равна 1 на оси Ох и двух кругах радиуса 1, касающихся оси Ох в начале координат, в остальных точках она равна (см. рис.) 1 1 1 1 1 Любой луч, кроме Ох, идущий в начало координат, попадает в круг, а там функция равна 1, следовательно, предел вдоль любого луча равен 1. С другой стороны, есть последовательности точек, расположен 1 ных между осью Ох и окружностью, например, сходящиеся к ну n n лю, вдоль которых функция равна 0, и, следовательно, предел ее вдоль таких последовательностей равен нулю. Отсюда получаем, что предела в нуле функция не имеет.

Аналогично одномерному случаю можно дать определение преде ла функции при М (при этом М должно быть не ограниченным).

{ } Определение 2.

def lim f(M) = b > 0 > 0 : M M ( )( ) { } () M OM > f(M) - b <.

, ( ) [] Пример 4. lim e-x -y2 = 0. Запишем определение предела (xy), > 0 > 0 : x2 + y2 > e-(x +y2) <.

( )( ) Из неравенства e-(x +y2) < ( < 1), получаем e-(x +y2) < -(x2 + y2) < ln x2 + y2 > - ln x2 + y2 > ln.

Отсюда очевидно, что можно положить = ln.

Замечание 2. Для пределов суммы, разности, произведения и частного функций нескольких переменных справедливы те же формулы, что и в одномерном случае.

1.9.5. Непрерывность функции нескольких переменных Определение 1. Функция u=f(M) называется непрерывной в т. А, если lim f(M) = f(A).

MA Определение 2. Функция u=f(M) называется непрерывной на множестве M, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

{ } Условию непрерывности можно придать разностную форму. Пусть u f(x1,..., xm ) - f(a1,...,a ) f(a1 + x1,...,a + xm ) - f(a1,...,a ), m m m тогда условие непрерывности имеет вид:

lim u = 0.

x10,...,xm (В примере 1 предыдущей темы рассмотрена непрерывная в нуле функ ция.) Фиксируем все переменные, кроме одной, проложив, например, х2=а2,..., хm=аm, тогда получим функцию одной переменной f(x1,a2,...,am), которая будет непрерывной в т. х1=а1, если f(x1,...,xm) непрерывна в т. А (очевидно). Таким образом, из непрерывности функции нескольких переменных в точке следует ее непрерывность по каждой координате (при фиксированных остальных). Обратное утверждение неверно, что показывает пример 2 предыдущей темы:

x2y при x4 + y4 u = x4 + y при x = y = 0.

На координатных осях функция непрерывна (просто тождественно равна 0), но даже не имеет предела в т. (0,0). Непрерывности вдоль лучей также не достаточно для непрерывности в точке функции нескольких переменных. Это показывает пример 3 предыдущей темы.

1.8.9.1. Основные свойства непрерывных функций 1. Арифметические операции над непрерывными функциями приводят к непрерывным функциям (для частного знаменатель отличен от нуля).

2. Непрерывность сложной функции.

x1 = 1(t1,..., t ) k Пусть функции...

заданы на множестве Т Rk, тогда ка x = m (t1,..., t ) m k ждой точке (t1,...,tk) T ставится в соответствие число u по формулам u = f(1(t1,..., t ),..., m (t1,..., t )), т.е. на множестве Т определена функция, k k которую мы назовем сложной функцией.

Пример 1. u = ex+y ;

y=t ;

x=t+s, тогда сложная функция имеет вид u = et +t+s Теорема. Пусть имеет смысл сложная функция f(1,..., m). Если функ ции 1,..., k непрерывны в т. t1,..., t0 t(0), а функция f непрерывна в ( k ) т. x(0) 1(t(0) ),..., m (t(0) ) (), тогда сложная функция f(,..., k) непрерыв на в т. t(0).

По этой теореме функция et +t+s непрерывна при всех (t,s)R2.

3. Устойчивость знака непрерывной функции.

Теорема. Пусть функция u=f(M) непрерывна в т.А и f(A)0, тогда суще ствует такая -окрестность т.А, в которой f(M) имеет тот же знак, что и f(A).

4. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное зна чение.

Теорема. Пусть функция u=f(M) непрерывна на связном множестве M. Тогда для любых точек А, В M и для любой кривой, L, соеди { } { } няющей эти точки и лежащей в M, найдется точка на этой кривой, в { } которой функция принимает любое заданное промежуточное значение между f(A) и f(B).

u f(B) C f(A)Cf(B) f(A) KL, f(K)=C y A K B x L Условие связности существенно уже в одномерном случае:

u c 5. Теоремы Вейерштрасса.

Теорема 1. Функция, непрерывная на ограниченном замкнутом множе стве, ограничена на этом множестве.

Теорема 2. Функция, непрерывная на ограниченном замкнутом множе стве, достигает на этом множестве своих точных верхней и нижней гра ней. Для неограниченных или не замкнутых множеств эти утверждения неверны уже в одномерном случае.

1.9.6. Дифференцируемость функций нескольких переменных 1.9.6.1. Частные производные функции нескольких переменных Пусть М(х1, х2,..., хm) внутренняя точка области определения функции u=f(x1,..., xm). Пусть xk - приращение k-ой координаты в дан ной фиксированной т.М, ему соответствует частное приращение функ ции xk u f(x1,..., xk-1, xk+xk, xk+1,..., xm) - f(x1,..., xm).

xku Рассмотрим отношение, которое зависит от xk и определено xk при всех достаточно малых xk, отличных от нуля.

xk u Определение 1. Если существует lim, то он называется частной x0 xk производной функции u=f(x1,..., xm) в т. М(x1,..., xm) по аргументу xk и u f обозначается одним из символов:,, u, fx. Таким образом, k xk xk xk u xk u = lim.

xk x0 xk Замечание. Так как изменяется только xk + xk, т.е. k-я координата ар u гумента функции f, то частная производная является обыкновенной xk производной функции f как функции только k-й переменной (при фик сированных остальных переменных). Это позволяет вычислить частные производные по одной из переменных по обычным формулам диффе ренцирования, если зафиксировать все остальные переменные.

Пример 1. u = x2 + 3xy - y u вычисляем при условии, что y = const x u = 2x + 3y x u вычисляем при условии, что x = const y u = 3x - y Пример 2. u = ex -y u = ex -y2 (+2x) (при фиксированном у применима обычная тео x рема о производной сложной функции) Аналогично u = ex -y2 (-2y) y Выясним теперь, насколько полную информацию дают частные производные функции в данной точке о поведении функции в окрестно сти этой точки.

Сразу отметим, что частные производные в т.М0 могут дать ин формацию о поведении функции только на прямых, проходящих через т.М0 и параллельных координатным осям.

М Конечно, этой информации совсем не достаточно, чтобы судить о поведении функции в целой окрестности т.М0 (и, в частности, на других лучах, проходящих через т.М0).

x2y при x4 + y4 Пример 3. Функции u = показывает, что ча x4 + y при x = y = 0.

стные производные ее (x + x)2 02 x2 u u(x + x,0) - u(x,0) (x + x)4 + 04 x4 + 04 = lim = lim = (x,0) x0 x x x x u (аналогично 0 ) (0,y) y существуют и обращаются в нуль не только в т. (0,0), но и всюду на ко ординатных осях, а сама функция не имеет в т. (0,0) предела (см. тему 4).

Заметим, что в одномерном случае из существования производной сле довала непрерывность функции.

Таким образом, мы приходим к необходимости ввести более силь ное условие, чем существование частных производных, чтобы оно было аналогом дифференцируемости функции одной переменной. Это усло вие должно быть связано с полным приращением функции в точке.

1.9.6.2. Дифференцируемость функции нескольких переменных Определение 2. Функция u=f(x1,..., xm) называется дифференцируемой в точке M(x1,..., xm), если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде f(x1+x1,..., xm+xm) - f(x1,..., xm) u = A1x1 + A2x2 +... + Amxm + 1x1 +... + mxm, где А1, А2,..., Аm - некоторое, не зависящие от x1,..., xm, числа, а 1, 2,..., m - бесконечно малые при x10,..., xm0 функции, рав ные 0 при x1=x2=...=xm=0.

Если положить = x1 +...+x2, то условие дифференцируемости m может быть записано в виде:

u = A1x1 + A2x2 +... + Amxm + 0() (1) Оба представления эквивалентны и означают, что приращение функции представимо в виде линейной части (по x1,..., xm) и членов более высокого порядка (по x1,..., xm или ).

Теорема 1. Если функция u=f(x1,..., xm) дифференцируема в точке M(x1,..., xm), то в этой точке существуют частные производные по всем u аргументам, причем = A, где Аi определяются из условия диффе xi i ренцируемости.

Доказательство: Положим в условии дифференцируемости все прира щения, кроме xk, равными нулю, тогда для частного приращения спра ведливо представление xku = Akxk + k xk Отсюда xk u = A + k и т.к. k 0 при xk 0, то xk k xku u lim = = = A.

xk 0 xk xk k Следствие. Условие дифференцируемости функции в данной точке можно записать в виде:

u u u = x1+...+ = xm + 0() x1 xm Замечание 1. Существование частных производных в точке не доста точно для дифференцируемости функции в этой точке.

Пример 4. u = xy (0 + x,0) 0 - u(0 + x,0) - u(0,0) u (00) = lim = lim =, x x0 x x0 x 0(0 + y) - u(00 + y) - u(00) ;

, u (00) = lim = lim =, y y0 y y0 y Покажем, что эта функция не дифференцируема в т. (0,0). Этого следует ожидать, т.к. порядок приращения функции в нуле равен (u = x y ), а в условии дифференцируемости требуется, чтобы поря док приращения был не ниже первого.

Предположим, что приращение функции представляется в виде u = 0x + 0y + 0() Это означает, что 5 x y = 0() ;

= (x)2 + (y) т.е. должно выполняться условие x y lim = x0,y (x)2 + (y) Положив x = y, получим 5 x y (x) 1 lim = lim = lim x 5 = x (x)2 + (y)2 x0 2(x)2 x0 y x=y Отсюда следует, что x y не является 0(), т.е. функция не является дифференцируемой в нуле.

Замечание 2. Из дифференцируемости функции в точке следует ее не прерывность в этой точке. Действительно, из представления (1) следует, что lim x = 0.

x...

xm Обратное неверно даже в одномерном случае.

В предыдущем примере функция не является дифференцируемой, но является непрерывной. Действительно 2 2 x + y 2 5 x y = x y = () при 0.

a + b Здесь использовано неравенство ab, которое, очевидно, следует из неравенства (а-b)2 0.

1.9.6.3. Достаточное условие дифференцируемости Пусть функция u = f(x1,..., xm) имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности точки M (x1,..., x0 ), и эти частные 0 m производные непрерывны в самой точке М0, тогда эта функция дифференцируема в т. М0. Принимая утверждение без доказательства, мы только отметим, что здесь частные производные рассматриваются f как функции m переменных (x1,..., xm) в окрестности точки М0, xi причем эти функции непрерывны по совокупности переменных в т. М (и противоречия с примером 3 этой темы нет).

1.9.6.4. Геометрический смысл условия дифференцируемости функ ции двух переменных u=f(x,y) Определение 1. Касательной плоскостью к графику функции u=f(x,y) в точке (х0, y0, f(x0,y0)) называется такая плоскость, что разность ее апли каты и значения функции f(x,y) является величиной, бесконечно малой по сравнению с при 0, где = (x - x0)2 + (y - y0) Пусть u0 = f(x0,y0), u = f(x,y), тогда условие дифференцируемости в т. (x0,y0) этой функции записывается в виде u - u0 = A(x-x0)+B(y-y0)+0(), или u = u0 + A(x-x0)+B(y-y0)+0().

Рассмотрим следующую плоскость U-u0 = A(x-x0) + B(y-y0) (U - откладывается на той же оси Оz, что и u), тогда ее апликата U определяется равенством U = u0 + A(x-x0) + B(y-y0), и разность U-u = u0 + A(x-x0) + B(y-y0) - (u0+A(x-x0) + B(y-y0) + 0()) = 0().

Таким образом, если функция u=f(x,y) дифференцируема в т.

(x0,y0), то график этой функции в соответствующей точке (x0,y0, f(x0,y0)) имеет касательную плоскость, задаваемую уравнением f f z - f(x0,y0) = (x0, y0) (x - x0) + (x0, y0) (y - y0) x x Из аналитической геометрии известно, что нормальный вектор к этой касательной плоскости имеет координаты f f (x0,y0);

(x0,y0);

-1.

y x Уравнения нормали к касательной плоскости в т. (x0,y0, f(x0,y0)) имеют вид:

x - x0 y - y0 z - f(x0, y0) = = f f - (x0, y0) (x0, y0) x y Замечание. Касательная плоскость может быть определена также следующим эквивалентным образом.

Определение 2. Плоскость П, проходящая через точку N0 поверхности, называется касательной плоскостью в этой точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку N0 и любую точку N поверхности, стремится к нулю, когда точка N1 стремится к N0.

z N П N y x Пример 1. Дана функция z = 2x2 - 3xy + 4y2 - 2x + y и точка (1,1). Написать уравнение касательной плоскости в соответст вующей точке графика этой функции, а также уравнения нормали.

z z = 4x - 3y - 2 (1,1) = 4 - 3- 2 = - x x ;

z(11) = 2.

, z z =-3x + 8y +1 (1,1) =-3+ 8 +1 = y у Уравнение касательной плоскости z - 2 = -1(x-1) + 6(y-1) Уравнение нормали к графику функции в той же точке имеют вид:

x -1 y -1 z - = = -1 6 - 1.9.6.5. Дифференцирование сложной функции Пусть функция u = f(x1,..., xm) и система функций x1 = 1(t1,..., t ) k...

x = m (t1,..., t ) m k определяют сложную функцию, тогда справедлива следующая Теорема. Пусть функции i(t1,..., tk) (i = 1,..., m) дифференцируемы в точке A0(t1,..., t0 ), а функция u = f(x1,..., xm) дифференцируема в соот k 0 ветствующей точке M (x1, x0,..., x0 ), где x0 =i(t1,..., t0 ). Тогда сложная 0 2 m i k функция u = f(1(t1,..., tk ),...,m(t1,..., tk )) дифференцируема в точке А0. Для частных производных в т. А0 справедливы следующие формулы:

u u 1 u 2 u m = + +...+ t1 x1 t1 x2 t1 xm t u u 1 u 2 u m = + +...+ t2 x1 t2 x2 t2 xm t...

u u 1 u 2 u m = + +...+, t x1 t x2 t xm t kkk k u в которых частные производные (i = 1,..., m) берутся в точке М0, а ча xi i стные производные (i = 1,..., m;

s = 1,..., k) берутся в точке А0.

t s Идея доказательства такая же, как и в одномерном случае.

В условие дифференцируемости внешней функции u u u u = x1 + x2 +...+ xm + 0(), x1 x2 xm m где = (xi )2, i= подставляются не произвольные приращения переменных x1,..., xm, а приращения функции i (t1,..., t ) (i = 1,..., m), соответствующие прира k щениям аргументов t1,..., tk. Эти приращения представимы в виде (следует из условия дифференцируемости функций i (t1,..., t )(i = 1,..., m) ) k i i xi = i = t1 +...+ t + 0(), k t1 t k k где = (ts )2.

s= Выделяя затем линейную часть u относительно t1,..., tk, мы по лучаем выражения для частных производных сложной функции.

Заметим, что в случае, когда х1,..., хm зависят только от одной пе ременной t, производная по t сложной функции (обыкновенная) вычис ляется по формуле du u d1 u d2 u dm = + +...+ dt x1 dt x2 dt xm dt и если, кроме того, f зависит от одной переменной х, то формула прини du du d мает вид: =, т.е. совпадает с формулой для одномерного слу dt dx dt чая.

Пример 1. z = ex -y, где x=cost, y=sint.

dz z dx z dy = + = ex -y 2x (- sin t) + ex -y (-1) cost = dt x dt y dt здесь вместо х и у надо поставить их выражения через t 2 = ecos t-sin t 2cost(- sin t) - cost = -ecos t-sin t cost 2sin t +1.

[] [ ] z Пример 2. z = ln(t2 + x3), где x=sint. Вычислить.

t z = 2t (Здесь t и x считаются независимыми переменными) t t2 + x dz z z dx 2t 3x = + = + cost = dt t x dt t2 + x3 t2 + x (Здесь вместо х необходимо подставить его выражение через t) 2t 3sin2 t cost 2t + 3sin2 t cost = + =.

t2 + sin3 t t2 + sin3 tt2 + sin3 t Пример 3. z = x2 - y2, где x=t1t2, y=t1 -t2.

z z Вычислить,.

t1 t z z x z y = + = 2x t2 + (-2y) 1 = 2t1t2 t2 - 2(t1 - t2 ) = t1 x t1 y t = 2t1t2 + 2t2 - 2t1.

2 z z x z y = + = 2x t1 + (-2y) (-2t2 ) = 2t1t2 t1 + 4t2 (t1 - t2 ) = t2 x t2 y t = 2t1 t2 + 4t1t2 - 4t3.

1.9.6.6. Дифференциал функции нескольких переменных Дифференциал функции нескольких переменных определяется как линейная (относительно приращений аргументов) часть приращения дифференцируемой функции u u du = dx1+...+ dxm, x1 xm где dxi xi (i=1,..., m), если x1,..., xm - независимые переменные.

Как и в случае одной переменной первый дифференциал обладает свойством инвариантности его формы, т.е. выражение для первого диф ференциала имеет тот же вид и в случае, когда х1,..., хm являются функ циями некоторых переменных t1,..., tk. Свойство инвариантности формы первого дифференциала позволяет установить следующие формулы d(c u) = c du (c = const) d(u ± v) = du ± dv d(u v) = u dv + v du u v du - u dv d = v v Например, для дифференциала произведения рассуждаем следую щим образом. Рассмотрим функцию = uv двух переменных u, v. Диф ференциал этой функции равен d = du + dv, u v но = v = u, следовательно, u v d = vdu + udv.

Пример 1. u = xy -z. Найти полный дифференциал функции u u u du = dx + dy + dz x y z u = xy -z = (y2 - z) xy -z- ( ) x x u = xy -z = xy -z ln x 2y ( ) y y u = xy -z = xy -z ln x (-1) ( ) z z Таким образом, 22 du = (y2 - z) xy -z-1dx + xy -z ln x 2ydy - xy -z ln x dz Пример 2. z = ex +y, где x=cost, y=t2. Вычислить дифференциал слож ной функции.

Воспользуемся инвариантностью формы первого дифференциала z z dz = dx + dy x y Здесь z = ex +y 2x = ecos t+t2 2 cost;

dx = - sin t dt x z = ex +y 1 = ecos t+t2 ;

dy = 2t dt y 2 2 cos2 t+t dz = ecos t+t2 2 cost(- sin t)dt + ecos t+t2 2tdt = e (2t - sin 2t)dt.

1.9.6.7. Производная по направлению. Градиент Пусть задана функция двух переменных u=f(x,y) (для большего числа переменных все аналогично), которая определена в окрестности т.

(x0,y0) и дифференцируема в этой точке. Мы будем рассматривать нашу функцию на лучах, проходящих через т. (x0,y0). Луч задается начальной r точкой и направляющим единичным векторомe = cos;

cos, { } его параметрические уравнения имеют вид:

x = x0 + t cos t 0,+ (cos = sin ) [ ) y = y0 + t cos Подставляя эти выражения вместо аргументов функции u=f(x,y), мы получим функцию одной переменной u(t): u = f(x0 + tcos, y0 + tcos).

du Если u существует, то эту производную мы назовем t t=0 t= dt r производной функции u=f(x,y) в точке (x0,y0) в направлении вектора e u (обозначение ). Используя формулы для производных сложной функ r e ции, получаем (для точки t=0) u df(x0 + t cos;

y0 + t cos) f dx = = (x0,y0) + r e dt x dt f dy f f + (x0, y0) = (x0, y0) cos + (x0,y0) cos.

y dt x y f f Если ввести в рассмотрение вектор (x0,y0);

(x0,y0) (обозна y x r чаемый gradu), то выражение для производной в направлении вектора e, можно записать в виде u r u = (e, gradu) или = gradu cos e,gradu (r ) r r e e r Меняя направление вектора e, мы будем получать различные зна u чения. В частности:

r e u r r 1) = 0, если e gradu ((e,gradu) = 0).

r e u r gradu 2) = gradu, если e =, и это значение является наибольшим из r e gradu r возможных ((e,gradu) принимает наибольшее значение).

u r gradu r 3) = - gradu, если e = - ((e,gradu) принимает наименьшее r e gradu значение).

Таким образом, gradu определяет направление, в котором скорость возрастания функции является наибольшей.

u u=f(x,y) y gra du x Пример 1. Найти производную функции z = x2y3 в точке (1,2) в направ лении вектора, составляющего с положительным направлением оси Ох угол 450.

r r 1 Координаты вектора e имеют вид e = cos;

sin } = ;

{ 2 z z (12) = 2xy3 (12) = 28 = 16;

(12) = x2 3y2 (12) = 34 =,,,, x y z z z 1 1 = cos + sin = 16 +12 = = 14 r e x y 2 2 Пример 2. Найти grad(x2 - y) в точке (1,1) и вычислить производную функции в направлении градиента в этой точке z z gradz = ;

grad(x2 - y) = 2x;

-1 = 2;

-1.

{ } { } ;

(11) (11),, x y Производная функции в направлении градиента равна модулю градиен та.

z r gradu = gradz = 22 + (-1)2 = 5 ;

где e =.

r e gradu В трехмерном случае f f f f = cos + cos + cos, r e x y z r где cos, cos, cos - направляющие косинусы вектора e.

Соответственно, f f f gradu = ;

;

.

x y z 1.9.7. Частные производные и дифференциалы высших порядков функций нескольких переменных.

1.9.7.1. Частные производные высших порядков u Пусть частная производная (x1,..., xm ) функции u=f(x1,...,xm) су xi ществует в каждой точке некоторого множества M, т.е. представляет { } собой функцию переменных x1,..., xm.

Если эта функция имеет частную производную по переменной хk в некоторой точке М0, то она называется второй частной производной функции f(x1,..., xm) по переменным xi и xk и обозначается 2u, fxx.

i k xk xi Совершенно аналогично определяются и последующие частные производные функции f.

Таким образом, nu n-1u = xi xi... xi xi xi xi... xi xi n n -1 2 1 n n -1 2 Если не все индексы i1,..., in совпадают между собой, то частная производная называется смешанной.

Вычисляются частные производные по тем же правилам, что и обыкновенные производные. Необходимо только следить при каждом дифференцировании, чтобы все переменные, кроме одной, считались постоянными.

x y Пример 1. u = e Вычислить все частные производные второго порядка.

x x u 1 u -x y y = e ;

e x y y y x x x 2u u e -x e -x e y y y - = = = xy x y x y2 y3 y (Здесь y = const) x x x - x - u u y y e y = = = e + e yx y x y y y3 y (Здесь х = const) x x 2u 2u u 1 y = = e = ey xx x2 x x x y y (Здесь y = const) x x x 2u 2u u -x x2 2x y = = e = ey + ey yy y2 y y y y2 y4 y (Здесь х = const) 2u 2u Замечание. В этом примере =. Равенство смешанных произ xy yx водных будет иметь место не всегда, а при выполнении некоторых усло вий;

а именно, справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть функция u=f(x1,..., xm) определена в открытой m - мер ной области D и имеет в этой области всевозможные частные производ ные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D. Тогда значение любой к-ой смешанной производной не зависит от того поряд ка, в котором производятся последовательные дифференцирования.

В подавляющем большинстве конкретных задач условия теоремы вы полняются, и смешанную производную можно вычислять, не обращая внимания на порядок последовательных дифференцирований.

1.9.7.2. Дифференциалы высших порядков Пусть в некоторой области задана дифференцируемая функция u=f(x1,..., xm), тогда в каждой точке этой области определен дифферен циал u u du = dx1+...+ dxm x1 xm Здесь частные производные являются функциями от x1,..., xm. Если существуют непрерывные частные производные второго порядка для u, то du будет иметь непрерывные частные производные по x1,..., xm. Бу дем считать, что dx1,..., dxm постоянны, тогда можно определить диффе ренциал от первого дифференциала:

u u u u d(du) = d dx1+...+ dxm = d dx1+...+d dxm x1 xm x1 xm При вычислении дифференциалов от частных производных будем считать, что dx1,..., dxm имеют те же самые значения, что и в исходном дифференциале du.

2u 2u 2u d(du) = dx1 + dx2 +...+ dxmdx1 +...

x1 x1x2 x1xm 2u 2u 2u + dx1 + dx2 +...+ dxmdxm xmx1 xmx x m Полученное таким образом выражение мы назовем дифференциа лом второго порядка функции u 2u 2u 2u d2u = (dx1)2 +...+ (dxm )2 + 2 dx1dx2 +...

x1 x2 x1x m 2u 2u 2u + 2 dx1dxm + 2 dx2dx3 +...+2 dxm-1dxm x1xm x2x3 xm-1xm Точно так же мы определим и последующие дифференциалы функции u с помощью равенства kk- d u = d(d u) Пример 1. z = x2y3 Найти d2z 2 2 z z z z z = 2xy3;

= x2 3y ;

= 2y3;

= 6xy2 ;

= 6x2 y x y x2 xy y 2 2 z z z d z = (dx)2 + 2 dxdy + (dy)2 = 2y3 (dx)2 + 2 6xy2dxdy + V + 6x2 y(dy)2.

x2 xy y Развернутые выражения для дифференциалов высших порядков довольно громоздкие. Однако, символически они записываются очень компактно. Запишем дифференциал в символической форме.

du = dx1+...+ dxm u x1 xm u (u вносим в скобки и считаем u и получаем обычное выраже xi xi ние для du). Тогда d2u = dx1+...+ d xm u.

x1 xm Здесь выражение в скобках возводится по обычным правилам в квадрат и затем считаем, что 2u u xi x xix j j Выражение для дифференциала порядка к принимает вид:

k k d u = dx1+...+ dxm u.

x1 xm Пример 2. z = x2y3 Вычислить d3z d3z = dx + dy z = (dx)3 + 3 (dx)2 dy + x y x x y 2 + 3 dx(dy)2 + (dy)3 z = x y y 3z 3z 3z 3z = (dx)3 + 3 (dx)2 dy + 3 dx(dy)2 + (dy) x3 x2y xy2 y На основе примера 1 получаем 3z 3z = (2y3)x = 0;

= (6xy2 )x = 6y2;

x3 x2y 3z 3z = (6xy2 )y = 12xy;

= (6x2y)y = 6x2.

xy2 y Отсюда d3z = 36y2(dx)2dy + 312xydx(dy)2 + 6x2(dy)3.

Замечание. Дифференциалы высших порядков, вообще говоря, не обла дают свойством инвариантности их формы. Это имеет место уже для функций одной переменной. Однако, если x1,..., xm являются линейны ми функциями переменных t1,..., tk, то высшие дифференциалы можно вычислять по тем же самым формулам, которые мы только что рассмот рели. При этом, если xi = (1)t1+...+(k)t + i ((1),...,(k),i - константы), k ii i i то dxi = (1)dt1+...+(k)dt (i = 1,...,m).

k ii В частности, если все xi зависят от одной переменной t, то в фор мулы для дифференциалов надо подставлять dxi = idt.

Это обстоятельство используется при доказательстве формулы Тейлора.

1.9.8. Формула Тейлора.

Пусть функция f(x1,..., xm) задан и n+1 раз дифференцируема в не которой окрестности точки М0(x1,...,x0 ), тогда для всех точек М(х1,...,хm) m из этой окрестности справедлива формула n 0 f(x1,...,xm ) = f(x1,..., x0 ) + (x1 - x1 ) + (x2 - x0 ) +...

m k! x1 x k= k + (xm - x0 ) f(x1,...,x0 ) + Rn+1(x1,.., xm ), m m xm где Rn+1(x1,..., xm ) = (x1 - x1 ) + (x2 - x0 ) +...

(n + 1)! x1 x n+ 0 + (xm - x0 ) f(x1 + (x1 - x1 ),..., x0 + (xm - x0 )), 0 < < 1, m m m xm где зависит, вообще говоря, от М(х1,...,хm).

Заметим, что в принятых нами символических обозначениях k 0 k (x1 - x1 ) +...+(xm - x0 ) f(x1,..., x0 ) = d f(x1,..., x0 ), m m m x1 xm причем dx1 = x1 - x1, dx2 = x2 - x0,...,dxm = (xm - x0 ).

2 m Таким образом, формула Тейлора может быть записана более ком пактно:

k n d f(x1,...,x0 ) 0 m f(x1,...,xm ) = f(x1,...,x0 ) + + R (x1,...,xm ), m n+ k!

k= где n+1 0 R (x1,..., xm ) = d f(x1 + (x1 - x1 ),..., x0 + (xm - x0 )).

n+1 m m Замечание 1. При более слабых предположениях, а именно, если f(x1,...,xm) дифференцируема (n-1) раз в окрестности т.М0 и n раз в самой точке М0, для остаточного члена в формуле Тейлора Rn+1(x1,...,xm) спра ведливо представление Rn+1(x1,...,xm) = 0(n) (форма Пеано), где = (x1 - x1 )2 + (x2 - x0)2 +...+(xm - x0 ) 2 m Замечание 2. В случае двух переменных (u=f(x,y)) формула Тейлора второго порядка в развернутом виде записывается следующим образом:

f (x, y0) (x - x0) + fy(x0, y0) (y - y0) + f(x, y) = f(x0, y0) + 1! x + fxx (x0, y0 ) (x - x0 )2 + 2fxy (x0, y0 ) (x - x0 ) (y - y0 ) + ( 2!

+ fyy (x0, y0 ) (y - y0 )2 + 0(2 ), где = (x - x0 )2 + (y - y0 )2.

) Пример 1. Разложить по формуле Тейлора второго порядка в окрестно сти т. (1,1) функцию f(x,y) = x3 - 3xy3 + xy - y2 + 6x - y + f f = 3x2 - 3y3 + y + 6;

(1,1) = 3 - 3 + 1+ 6 = 7;

x x f f = -9xy2 + x - 2y - 1;

(1,1) = -9 + 1- 2 - 1 = -11;

y y 2f 2f 2f 2f = 6x;

(1,1) = 6;

= -9y2 + 1;

(1,1) = -9 + 1 = -8;

x2 x2 xy xy 2f 2f = -18xy - 2;

(1,1) = -18 - 2 = -20;

y2 y f(1,1) = 1- 3 + 1- 1+ 6 - 1+ 1 = 4;

f(x, y) = 4 + 7 (x - 1) - 11 (y - 1) + (6 (x - 1)2 - 2 8 (x - 1) (y - 1) - 20 (y - 1)2 + 0((x - 1)2 + (y - 1)2) = ) = 4 + 7(x - 1) - 11(y - 1) + 3(x - 1)2 - 8(x - 1)(y - 1) - 10(y - 1)2 + + 0((x - 1)2 + (y - 1)2) Пример 2. Разложить по формуле Маклорена до членов третьего поряд ка функцию u = 1- x2 - y2 (по формуле Тейлора с центром в т.М0(0,0)).

Последовательно находим дифференциалы функции u до третьего по рядка включительно.

1 u(x, y) = (1-x2-y2)2 ;

du = (1-x2-y2) (-2xdx - 2ydy);

1 - d2u = d(du) = d (1-x2 -y2 ) (-2xdx - 2ydy) = 1 1 - 1 2 = d (1-x2 -y2 ) (-2xdx - 2ydy) + (1-x2 -y2 ) d(-2xdx - 2ydy) = 2 3 1 - 2 = - (1-x2 -y2 ) (-2xdx - 2ydy)2 + (1-x2 -y2 ) (-2(dx)2 - 2(dy)2 ).

4 1 - d3u = d(d2u) = d (1-x2-y2) (-2xdx - 2ydy)2 + - 1 - + d (1-x2-y2) (-2(dx)2 - 2(dy)2) = 5 3 - 2 = (1-x2-y2) (-2xdx - 2ydy)3 - (1-x2-y2) 2(-2xdx - 2ydy) 8 1 1 (- 2(dx)2 - 2(dy)2)+ - (1-x2-y2) (-2xdx - 2ydy)(- 2(dx)2 - 2(dy)2) = 2 5 - 2 = -31-x2-y2) (xdx + ydy)3 - 31-x2-y2) (xdx + ydy)((dx)2 + (dy)2).

( ( Полагая здесь x=y=0, dx=x, dy=y, получаем u(0,0)=1;

du(0,0)=0;

d2u(0,0)= -(x2+y2);

d3u= и u(x,y) 1- x2 - y2 = 1- (x2 + y2) + 0(x2 + y2)2.

1.9.9. Неявные функции.

Пусть задано уравнение f(x,y)=0, где f - дифференцируемая функция переменных х и у. Возникает вопрос о том, при каких услови ях это функциональное уравнение однозначно разрешимо относитель но у, т.е. однозначно определяет явную функцию y=(x), и следующий вопрос о том, при каких условиях эта явная функция непрерывна и дифференцируема.

Трудность этих вопросов видна уже на простейшем примере урав нения y2 - x = 0. Это уравнение y y2 = x 0 x определяет при х0 бесконечно много явных функций.

Например, y = + x, y = - x и любая функция, равная + x для од них значений х, и - x для других значений.

y y y y = x 0 x 0 x 0 x y=- x Вопрос 1. При каких условиях существует единственная явная функция удовлетворяющая уравнению y2 = x. Фиксируем точку N0(x0,y0) на кри вой y2-x=0, отличную от начала координат.

Очевидно, что часть кривой, лежащая в достаточно малой окрест ности точки N0, однозначно проектируется на ось Ох.

y y y = x y = x N0(x0,y0) 0 [ x0 x N1(0,0) x x y = - x y = - x Аналитически это означает, что если рассматривать функцию f(x,y)=y2 - x только в этой достаточно малой окрестности точки N0, то уравнение f(x,y)=0 однозначно разрешимо относительно у и определяет единственную явную функцию y = + x для у0>0 (см. рис.) и y = - x для у0<0.

Если мы теперь рассмотрим точку N1(0,0), то часть кривой y2-x=0 не однозначно проектируется на ось ОХ (см. рис.). Аналитически это означает, что если рассматривать функцию f(x,y)=y2-x в любой окре стности т. N1(0,0), то уравнение f(x,y)=y2-x=0 не является однозначно разрешимым относительно у. Заметим, что в этой точке N1(0,0) частная f производная = 2y функции f(x,y)=y2-x обращается в нуль. В общем y случае это обстоятельство имеет принципиальное значение: для одно значной разрешимости уравнения f(x,y)=0 в окрестности т. (х0,у0) отно f сительно у требуется, чтобы (x0,y0) 0.

y В случае, когда рассматривается уравнение вида F(u, x1,..., xm)=0, имеют место те же трудности, что и в случае одной переменной: для од нозначной разрешимости этого уравнения относительно u нужно рас сматривать функцию F(u, x1,..., xm) в окрестности точки N0(u0, x1,..., x0 ) m f (для которой F(u0,x1,...,x0 ) = 0, и требовать, чтобы 0 в т. N0.

m u Формулировка теоремы о неявной функции имеет вид.

Теорема. Пусть функция F(u, x1,..., xm) дифференцируема в некоторой f 0 m+ окрестности точки N0(u0, x1,..., x0 ) R, причем (N0) 0 и m u F(u0,x1,...,x0 ) = 0. Тогда для любого достаточно малого >0 существует m 0 m такая окрестность точки M (x1,..., x0 ) R, в которой определена (един 0 m ственная) функция u=u(x1,..., xm) удовлетворяющая условию u-u0< и являющаяся решением уравнения F(u, x1,..., xm)=0.

Эта функция u=u(x1,..., xm) непрерывна и дифференцируема в окрестно сти т. М u Замечание 1. Частные производные вычисляются по формулам xi F u xi = - (i = 1,..., m).

F xi u Эти формулы получаются следующим образом: подставим неяв ную функцию u=u(x1,..., xm) в уравнение F(u, x1,..., xm)= получим F(u(x1,..., xm), x1,..., xm)=0.

Это равенство является тождеством по x1,..., xm. Вычислим част ные производные от обеих частей этого равенства по xi, используя тео рему о производной сложной функции, F u F u F F + = 0 = - u xi xi xi xi u Аналогично можно найти и высшие k-е производные неявной функции, если функция F(u, x1,..., xm) дифференцируема k раз.

Пример 1. Найти частные производные функции z, заданной неявно:

F z3 + x5 + y5 - 2xyz + 2x - 4 = 0.

F Уравнение разрешимо относительно z, если 0, т.е. 3z2 - 2xy 0.

z F z 5x4 - 2yz + x = - = - ;

F x 3z2 - 2xy z F z y 5y4 - 2xz = - = -.

F y 3z2 - 2xy z Теорема о неявной функции имеет следующие геометрические приложения:

Пусть задана поверхность уравнением F(x,y,z)=0.

Требуется написать уравнение касательной плоскости к этой по верхности и вычислить координаты нормального вектора к этой поверх ности в некоторой точке (x0,y0,z0). Предположим, что одна из частных F F F производных,, отлична от нуля в этой точке. Это значит, что x y z одна из переменных может быть выражена как функция двух других.

F Пусть, например, 0, тогда x = (y,z), а для такой функции, x уравнение касательной плоскости имеет вид x - x0 = (y - y0) + (z - z0).

y z Нормальный вектор имеет координаты:

r n = -1;

;

y z Подставляя сюда выражения для,, получим y z F F z - y - - z0), x - x0 = (y - y0) + (z F F x x F F F или (х - х0) + (y - y0) + (z - z0) = 0, а в качестве нормального век x y z тора к поверхности можем взять следующий:

r F F F n1 = ;

;

x y z Замечание: Если рассматривать поверхность уровня F(x,y,z)=C функции F F F u=F(x,y,z), то мы получим, что gradu ;

;

ортогонален поверх x y z ности уровня.

Пример 2. Дана поверхность x2 +4y2 +2z2 = 7. Написать уравнения каса тельных плоскостей к этой поверхности, которые параллельны плоско сти x+y+z= Здесь F(x,y,z) = x2 +4y2 +2z2 - 7, F F F = 2x;

= 8y;

= 4z.

x y z r Нормальный вектор к поверхности имеет координаты n = 2x,8y,4z {} он должен быть коллинеарен нормальному вектору к заданной плоско сти, т.е. вектору 111.

,, { } 2x 8y 4z Отсюда = = 1 1 x2 + 4y2 + 2z2 = Решив систему уравнений, находим координаты точек 2x = 8y = 4z 1 касания 2;

;

1 и -2;

- ;

-1.

2 Касательные плоскости имеют уравнения:

4(x - 2) + 4(y - ) + 4(z -1) = 0;

x + y + z - 3,5 = -4(x + 2) - 4(y + ) - 4(z +1) = 0;

x + y + z + 3,5 = 0.

1.9.10. Экстремум функции нескольких переменных.

Определение 1. Пусть функция f(x1,..., xm) определена на множестве m M R. Внутренняя точка M (x1,...,x0 ) M называется точкой ло { } { } 0 m кального максимума (минимума), если существует такая окрестность U(M0) точки М0, что для всех М(х1,..., хm) U(M0) выполняется нера венство f(M) f(M0) [f(M) f(M0)].

Определение 2. Точка М0 локального максимума или локального минимума называется точкой локального экстремума.

Теорема (Необходимое условие локального экстремума). Пусть функ ция f(x1,..., xm) определена в некоторой окрестности т. M (x1,..., x0 ), 0 m дифференцируема в точке М0, и имеет в этой точке локальный экстре мум, тогда все частные производные первого порядка функции f в т. М равны нулю:

f f (M ) =... = (M ) = 0 (или df (M ) = 0).

x1 0 xm 0 f Доказательство: Докажем, что (M0) = 0. Если точка M (x1,..., x0 ) яв 0 m x ляется локальным экстремумом функции f(x1,..., xm), то, очевидно, точка x1 является точкой локального экстремума функции f(x1, x0,..., x0 ) одной 2 m переменной x1. По теореме Ферма получаем (см. рис. 1) f df(x1, x0,..., x0 ) 2 m (M ) = 0 = 0.

x1=x x1 0 dx u x x x x1 x x1 M 0(, ) Рис. Пример 1. Найдем точки экстремума функции z = x2 + y2. Точки экстремума в силу доказанного находятся среди тех, для которых z z = = 0, x y 2x = т.е.. Система имеет единственное решение (0,0). Убедимся, что в 2y = этой точке действительно функция имеет экстремум. Для этого заметим, что в т. (0,0) z=0, во всех других точках z=x2+y2>0. Поэтому точка (0,0) является не только точкой локального минимума (но и “глобального” минимума) (см. рис.2).

Пример 2. Исследуем точки экстремума функции z=x2-y2.

Поступая аналогично предыдущему случаю, находим z z = 2x = 0;

= -2y = 0.

x y Решение (0,0), т.е. если функция z=x2-y2 имеет экстремум, то он может быть только в этой точке.

Исследуем, имеет ли функция z=x2-y2 в точке (0,0) локальный экс тремум. В т. (0,0) z=0. Однако здесь при у=0 и любых х0 z=x2>0, а при х=0 и любом у0 z=-у2<0. Поэтому точка (0,0) не является точкой ло кального экстремума функции z=x2-y2 вообще не имеет точек экстрему ма.

(см. рис.3).

z z x 0 y x y Рис.2 Рис. Точки, в которых обращаются в нуль все частные производные первого порядка функции f(x1,..., xm), называются стационарными точ ками этой функции.

Примеры 1 и 2 показывают, что в каждой стационарной точке тре буется дополнительное исследование на экстремум, т.е. нужны доста точные условия экстремума.

Прежде, чем их сформулировать, напомним некоторые сведения из теории квадратичных форм:

m Определение 3. Функция A(h1,..., h ) = a h h (aik = aki) (1) mik i k i,k= переменных h1,..., hm называется квадратичной формой.

Числа aik называются коэффициентами квадратичной формы.

Определение 4. Квадратичная форма (1) называется положительно оп ределенной (отрицательно определенной), если для любых значений пе ременных h1,..., hm, для которых выполняется условие h1 +...+h2 > 0, эта m форма имеет положительные (отрицательные) значения. Положительно определенные и отрицательно определенные формы объединяются об щим названием - знакоопределенные формы.

Сформулируем критерий знакоопределенности квадратичной фор мы - критерий Сильвестра.

Для того, чтобы квадратичная форма (1) была положительно опре деленной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства:

a11 a12 a13 a11 a12... a1m a11 a a11 > 0, > 0, a21 a22 a23 > 0,..., a21 a22... a2m > 0.

a21 a a31 a32 a33 am1 am2... amm Для того, чтобы квадратичная форма (1) была отрицательно опре деленной, необходимо и достаточно, чтобы имели место неравенства:

a11 a12 a13 a11 a12... a1m a11 a a11 < 0, > 0, a21 a22 a23 < 0,..., (-1)n a21 a22... a2m > 0.

a21 a...

a31 a32 a am1 am2... amm Пример 3. А(h1,h2) = h1 + h2 - положительно определенная квадратичная форма, т.к.

1 0 a11 a12 1 A = = = 1 > 0.

;

a11 = 1 > 0;

0 1 a a 0 21 Пример 4. А(h1,h2) = h1 - h2 не является знакоопределенной, т.к.

1 0 a11 a12 1 A = = = -1 < 0.

;

a11 = 1 > 0;

0 -1 a a 0 - 21 Вернемся теперь к рассмотрению функции f(x1,..., xm) и заметим, что второй дифференциал функции в т. M (x1,..., x0 ) представляет собой 0 m квадратичную форму относительно переменных dx1,..., dxm:

m 2f d2f(M ) = (M )dxidx 0 0 j xi i, j=1 j Замечание. Если функция f имеет непрерывные вторые частные произ водные, то второй дифференциал является квадратичной формой с сим метричной матрицей, т.к.

2f 2f aij === a ji xixj xjxj Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных.

Теорема. Пусть в некоторой окрестности стационарной точки M (x1,..., x0 ) определены частные производные второго порядка функ 0 m ции f(x1,..., xm), которые являются непрерывными в т. М0. Если в этой точке второй дифференциал d2f(M0) является знакоопределенной квад ратичной формой от dx1,..., dxm, то в т. М0 функция имеет локальный экстремум (локальный максимум, если d2f(M0) отрицательно определена, и локальный минимум, если d2f(M0) положительно определена), если же d2f(M0) знакопеременна, то в т. М0 экстремума нет.

Пример 5. Исследовать на экстремум функцию u = x2 + y2 + z2 +2x + 2y + 4z.

Находим стационарные точки u u u = 2x + 2;

= 2y + 2;

= 2z + 4, x y z 2x + 2 = 0 x = - Стационарная точка М0(-1, -1, -2).

2y + 2 = 0 y = - 2z + 4 = 0 z = - Вычисляем второй дифференциал функции в этой точке 2u 2u 2u 2u 2u 2u = 2;

= 0;

= 0;

= 0;

= 2;

= xy xz yz x2 z2 y d2u = 2(dx)2 + 2(dy)2 + 2(dz)2, матрица квадратичной формы имеет вид:

2 0 a11 a12 2 A = 2 0;

a11 = 2 > 0;

= = 4 > 0;

a a 0 0 0 2 21 a11 a12 a13 2 0 a a a = 0 2 0 = 8 > 0.

21 22 a a a 0 0 31 32 Квадратичная форма является положительно определенной, по этому в т. (-1, -1, -2) функция имеет локальный минимум (не трудно проверить, что он является и глобальным).

Замечание. Если второй дифференциал функции f(x1,..., xm) в т. М0 не является ни знакоопределенной, ни знакопеременной квадратичной формой (d2f(M0)0 всюду или d2f(M0)0 всюду, причем есть ненулевые наборы dx1,..., dxm, в которых d2f(M0)=0), т.е. является квазизнакоопределенной квадратичной формой, то ничего нельзя сказать о наличии или отсутст вии в этой точке локального экстремума, и требуется дополнительное исследование. Это показано на следующих двух переменных.

Пример 6. f(x,y) = x3 + y3.

f x = 3x2 = Стационарная точка (0,0) f = 3y2 = y 2f 2f 2f (00) = 6x = 0;

(00) = 6y = 0;

(00) = 0.

,,, (00) (00),, xy x2 y, d2f(00) = 0(dx)2 + 2 0 dx dy + 0(dy)2 0 - является квазизнакоопределен ной квадратичной формой. Экстремума в т. (0,0) нет, т.к. f(x,x)=2x3 ме няет знак вдоль прямой у=х при переходе через т. (0,0).

Пример 7. f(x,y) = x2 + 2xy + y f = 2x + 2y = x Стационарных точек - целая прямая y=-x f = 2x + 2y = y Рассмотрим т. (0,0):

2f 2f 2f = 2;

= 2;

= 2, x2 xy y d2f = 2(dx)2 + 2 2dxdy + 2(dy)2 = 2(dx + dy)2 0.

d2f является квазизнакоопределенной квадратичной формой (d2f =0 при dx=-dy). Заметив, что f(x,y)=(x+y)2 0, мы получаем, что т. (0,0) (не стро гий) минимум.

В частном случае двух переменных можно сформировать следую щее достаточное условие экстремума.

Теорема. Пусть функция f(x,y) определена и имеет непрерывные част ные производные второго порядка в окрестности точки (х0,у0), которая f f является стационарной для f(x,y), т.е. в ней = = x y Тогда если в этой точке 1) fxx fyy - (fxy )2 > 0, fxx > 0, то (х0,у0) - точка локального мини мума, 2) fxx fyy - (fxy )2 > 0, fxx < 0, то (х0,у0) - точка локального макси мума, 3) fxx fyy - (fxy )2 < 0, то в т. (х0,у0) нет экстремума, 4) fxx fyy - (fxy )2 = 0, то требуется дополнительное иссле дование.

Пример 8. Найти экстремум функции z = x2 + 2x + y2 +4y + 1.

f 2x + 2 = 0 x = - = x Стационарная точка (-1, -2) fy = 2y + 4 = 0 y = - fxx = 2;

fxy = 0;

fyy = 2;

fxx fyy - (fxy )2 = 22 - 0 = 4 > 0, fxx'' = 2 > 0.

Следовательно, в т. (-1, -2) локальный минимум.

1.9.11. Условный экстремум функции нескольких переменных.

Определение 1. Функция u=f(x1,..., xm) имеет условный максимум (ус ловный минимум) в точке M (x1,..., x0 ), если существует такая окрест 0 m ность U(M0) точки М0, что для всех точек M(x1,..., xm) этой окрестности, удовлетворяющих уравнениям связи F1(x1,..., xm ) =...

F (x1,..., xm ) = 0, s выполняется неравенство f(M0) f(M) (f(M0) f(M)).

То, что условный экстремум не совпадает, вообще говоря, с обыч ным экстремумом функции видно на следующем примере.

Пример 1. u = x2 + y2 при условии x+y-1= Безусловный экстремум этой функции достигается в точке (0,0) и равен 0.

Условный экстремум ищем при условии x+y-1=0, т.е. для функции u = x2 + y2 = x2 + (1-x)2 = 2x2 - 2x + 1 1 u (x) = 4x - 2 = 0 x = и y = 1- =, 2 2 1 u = 4 > 0, поэтому в т. локальный минимум.

2 Следовательно функция u = x2 + y2 имеет условный минимум в 1 1 т. ( ;

), который равен.

2 2 u u = x2+y y 1 ;

x 2 Задача нахождения условного экстремума сводится к исследова нию на обычный экстремум функции Лагранжа s L(x1,..., xm, 1,..., s) = f(x1,..., xm ) + Fk (x1,..., xm ).

k k= Параметры 1,..., s - называются множителями Лагранжа.

Необходимые условия условного экстремума записываются в виде системы L x (M) = 0 (i = 1,..., m) i L (M) Fk (M) = 0 (k = 1,..., s), k 0 из которой находятся x1,..., x0, 0,..., 0, где (x1,..., x0 ) - координаты точ m 1 s m ки, в которой возможен условный экстремум (для каждой такой точки получается свой (!) набор параметров 1,..., s ).

Достаточным условием условного экстремума является знакоопре деленность второго дифференциала функции L при 1 = 0,..., s = 0, вы 1 s численного в точке (x1,..., x0 ). При этом требуется знакоопределенность m второго дифференциала не для произвольных наборов dx1,...,dxm, а для наборов, связанных соотношениями:

m Fk (x1,...,x0 ) m dx = 0 (k = 1,2,..., s).

j xi j= (Эти соотношения получаются, если взять дифференциалы от уравнений связи).

Пример 2. Исследовать на условный экстремум функцию f(x,y)=xy при наличии связи x2+y2 =1.

Функция Лагранжа имеет вид:

L = xy + (x2 + y2 -1) L = y + 2x = x L = x + 2y = y x + y2 = - Решая эту систему, получим четыре решения:

x = ± = ± y = ± (+, если х,у разных знаков) (-, если х,у одного знака).

1 Рассмотрим, например, точку x1 = y1 = ;

= - 2 Для = - функция Лагранжа принимает вид:

L(x,y) = xy - (x2 + y2 -1).

2L 2L 2L = -1;

= 1;

= -1, xy x2 y 1 d2L( ;

) = -(dx)2 + 21dxdy - (dy)2 = -(dx - dy)2.

2 Этот дифференциал является квазизнакоопределенным для произ вольных dx и dy. Однако, dx и dy не являются независимыми, и из урав нения связи следует 1 x2 + y2 -1 = 0 2xdx + 2ydy = 0, и в т. ( ;

) получаем dx + dy = 0, или 2 dy = -dx.

1 Подставим это соотношение в d2L( ;

), получим 2 1 1 d2L ;

= - dx - (-dx = -(-2dx = -4 dx ) )2 ( ) () 2 1 Эта квадратичная форма отрицательно определена, и в т. ( ;

) ис 2 ходная функция f=xy имеет условный максимум.

Замечание. Для разыскания наибольшего (наименьшего) значения диф ференцируемой функции u = f(x1,..., xm) в замкнутой области D, ограни ченной гладкой кривой, поступаем следующим образом:

1) находим стационарные точки внутри D, решая систему f x =... ;

f = xm 2) находим стационарные точки функции Лагранжа для случая, когда уравнением связи является уравнение границы области D;

3) сравниваем значения функции f в полученных точках: наибольшее из них будет наибольшим значением функции в области D;

наименьшее - наименьшим значением функции в области D.

В предыдущем примере внутри круга x2 + y2 1 функция f(x,y)=xy имеет четыре стационарных точки 1 ± ;

± 2 Вычислив значения функции в этих точках, получим, что наи большее значение функции в круге равно и достигается в точках ( 1 1 1 1 ;

- ), ( ;

), а наименьшее значение равно -.

2 2 2 1.10. Двойные интегралы Двойные интегралы представляют собой одно из возможных обобщений понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных. К введению этого понятия естественным образом приводит решение задачи об объеме цилиндрического тела.

Рассмотрим тело V, которое сверху ограниченно поверхностью z=f(x,y), где f(x,y) – непрерывная функция, с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси z, наконец снизу – областью плоскости XOY ( - проекция поверхности S заданной управлением z=f(x,y) на плоскость XOY). Такое тело V будем называть цилиндрическим телом с основанием (рис. 1). В частных случаях боковая поверхность может отсутствовать, например: z= R - x2 - y2.

Z z=f(x,y) Y i X Рис. Требуется найти объем этого цилиндрического тела.

Для решения этой задачи применим обычный в интегральном исчислении метод, состоящий в разложении искомой величины на элементарные части, приближенному подсчету каждой части, суммированию и последующему предельному переходу. С этой целью разобьем область на n частей: 1, 2, …, n и рассмотрим ряд цилиндрических столбиков, которые имеют своими основаниями эти частичные области и в совокупности составляют данное тело. Напомним два принципа из которых мы исходим при определении объема тела:

1. Если разбить тело на части, то его объем будет равен сумме объемов всех частей.

2. Объем прямого цилиндра, т.е. цилиндрического тела, ограниченного плоскостью, параллельной плоскости XOY, равен площади основания, умноженной на высоту тела.

Для определения объема V1 столбца с основанием i возьмем в области i произвольную точку Pi(xi;

yi) и построим цилиндр с основанием i и высотой hi=f(xi;

yi) на i можно принять за приближенное значение объема Vi:

Vif(xi;

yi) i n Рассмотрим Vn=f(x1;

y1)1+ f(x2;

y2)2+…+ f(xn;

yn)n= (xi;

yi )i.

f i= Принимая объем V данного цилиндрического тела приближенно равному Vn, будем считать, что Vn тем точнее выражает V, чем больше n и чем меньше каждая из частичных областей.

Переходя к пределу при n, мы будем требовать, чтобы не только площадь каждой частичной области стремилась к нулю, но чтобы стремились к нулю все ее размеры.

Назовем диаметром области наибольшее расстояние между точками ее границы. Если диаметр области устремить к нулю, то сама область будет стягиваться в точку. Обозначим через максимальный из диаметров разбиения области на части 1, 2, …, n. Если при n стремлении к нулю (0) интегрирование суммы (xi;

yi )i имеют f i= конечный предел, то этот предел называют двойным интегралом от функции f(x,y) по области и обозначают символами:

f (x, y)d или f (x, y)dxdy Здесь f(x,y) – подынтегральная функция, - область интегрирования, x и у – переменные интегрирования, d(dx,dy) – элемент площади.

Таким образом, по определению n f f (x, y)d = lim (xi ;

yi )i, i= если этот предел существует и кончен.

Таким образом получим:

V= (x, y)d.

f Функцию f(x,y), для которой существует двойной интеграл будем называть интегрируемой в области.

1.10.1. Условия существования двойного интеграла и его свойства Очевидно, что интегрируемая в области функция должна быть ограничена в замкнутой области, т.к. в противном случае за счет выбора точек Pi интегральную сумму можно было бы сделать сколь угодно большой, по абсолютной величине, и это противоречит определению.

Приведем без доказательства достаточные условия существования двойного интеграла.

Теорема 1. Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой области, то двойной интеграл (x, y)d существует.

f Теорема 2. Если функция f(x,y) ограничена в замкнутой области и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно-гладких линий, то двойной интеграл (x, y)d существует.

f Пусть mi и Мi наименьшее и наибольшее значение функции f(x,y) на i. Сформулируем критерий существования двойного интеграла:

Теорема 3. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно n lim - mi )i = (Mi i= Приведем свойства двойного интеграла.

1. Двойной интеграл (x, y)dxdy не зависит от обозначения f переменных интегрирования.

2. Постоянный множитель подынтегральной функции можно выносить за знак двойного интеграла :

k f(x, y)d = kf(x, y)d 3. Двойной интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от слагаемых функций (f(x, y)± (x, y)±... ± g(x, y))d = f(x, y)d ± (x, y)d ±... ± g(x, y)d 4. Если область разбита на две не имеющие общих внутренних точек области 1 и 2, то:

f(x, y)d = f(x, y)d + f(x, y)d 1 5. Если во всех точках области функции f(x,y) и (x,y) удовлетворяют условию f(x,y)(x,y) то:

f(x, y)d > (x, y)d 6. Если f(x,y) во всех точках области интегрирования удовлетворяет неравенствам:

mf(x,y)M то mS y)d MS, f(x, где S – площадь области.

7. Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой области, то в этой области существует точка Р(a,b), такая, что f(x, y)d = f(a, b)S 1.10.2. Вычисление двойных интегралов Продолжая трактовать двойной интеграл геометрически, как объем цилиндрического тела, мы дадим здесь указания относительно его вычисления путем сведения к вычислению определенных интегралов.

Теорема. Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой оласти ограниченной линиями х=а, х=b (a

b], причем (x)g(x) на этом отрезке), то имеет место равенство y=g(x) Y y=(x) ab X g(x) b f(x, y)dxdy = f(x, y)dydx, () a (x) позволяющее свести вычисление двойного интеграла к последовательному вычислению определенного интеграла от определенного интеграла (или, что тоже, к вычислению повторного интеграла).

Повторный интеграл заданный в правой части равенства (), обычно записывается в виде:

b g(x) dx f(x, y)dy a (x) При вычислении двойного интеграла с помощью повторного по формуле (*) сначала вычисляется внутренний интеграл g(x) f (x, y)dy (x) при постоянном значении переменной х, в пределах изменения у (для области ), затем полученная функция от х интегрируется по х в максимальных пределах изменения переменной для области.

Рассмотрим пример. Вычислить интеграл (x - y)dxdy если область ограничена линиями y=0;

y=x3, x=1.

y=x Y X Так как область и функция f(x,y) удовлетворяют условиям теоремы получим:

y=x 1 x3 y (x - y)dxdy = dx(x - y)dy = xy - dx = 0 0 y= x6 x2 x7 1 1 = x4 - - - = = 2 = dx 5 14 5 14 Если область представляет собой криволинейную трапецию другого типа и ограничена линиями y=c;

y=d;

(c

x=g2(y) (cyd), (g1(y), g2(y) непрерывные на [c;

d] функции причем всюду на этом отрезке g1(y)g2(y)), то получим формулу g2 (y) d f (x, y)d = dy f (x, y) c g1(y) Замечание. Если контур области пересекается лишь в двух точках прямыми параллельными оси ординат, так и параллельными оси абсцисс (как, например, в случае, изображенном на рис. 2).

Y y=2(x) d y=g2(x) y=g1(x) с y=1(x) a b X Рис. 2.

то при выполнении указанных условий применимы обе упомянутые формулы. Из сопоставления их получается равенство:

2 (x) g2 (x) b d dx f (x, y)dy = dy f (x, y)dx a 1(x) c g1(x) Пример. Вычислить двойной интеграл xdxdy по области D D ограниченной линиями y=1-x, y=2, y=x2 + 1 (рис. 3).

Y y=х2+ y=1-х X Рис. 3.

Применяя формулу сведения двойного интеграла к повторному (условия теоремы выполнены), получим:

y- y- 2 2 2 x2 y -1 (1- y) dy = = xdxdy = dy xdx = 2 2 D 1 1-y 1 1-y 1 1 3y2 y3 = (-2 + 3y - y2 ) = - 2y + 2 - = 2 2 3 Пример. Найти пределы двукратного интеграла (x, y)dxdy для f D данных (конечных) областях интегрирования D.

1. x2+y21, x0, y0.

Решение. Полезно сделать чертеж, хотя ы грубо, чтобы получить общее представление об области.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.