WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права А.Н. Малахов Н.И. Максюков В.А. Никишкин Высшая математика (учебное пособие) Москва 2003 УДК – 517 ББК – 22.11 ...»

-- [ Страница 2 ] --

{ } () { } () () [] Замечание 2. Пусть {xn}m, и M и m- ее верхняя инижняя грани, тогда, обозначая A = max M, m, имеем | xn | A для всех элементов по { } следовательности { xn }. Наоборот, если для всех элементов последова тельности { xn } выполнено неравенство | xn | A, то справедливы нера венства -А xn А. Таким образом, определение ограниченной после довательности можно сформулировать следующим образом:

def xn m A > 0 A R xn xn : xn A.

{ } () { } () () [] Определение 3. Последовательность { xn } называется неограни ченной ({xn}m), если для любого положительного числа А найдется элемент xn последовательности {xn}, удовлетворяющий неравенству | xn |>А.

Примеры.

1. Последовательность {n3}=1, 8, 27,... ограничена снизу (нижняя грань- любое действительное число m 1) и неограничена сверху.

2.{1, -n}=1, -1, 1, -2, 1, -3,...,1, -n,... ограничена сверху и не ог раничена снизу, т.е. неограниченна, т.к. для любого положительного действительного числа А, среди элементов последовательности с чет ными номерами найдутся такие, для которых выполняется неравенство | xn |>А.

Определение 4. Последовательность { xn } называется бесконеч но большой последовательностью ({xn}Б), если для любого положи тельного числа А (сколь бы большим оно не было) можно указать такой номер n0 (в силу зависимости n0 от А иногда пишут n0= n0 (А)), что при n n0 все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравен ству | xn |>А def xn Б A > 0 A R n N xn xn : n n xn > A ) { } ()( { } () () ) [ -A 0 A В заштрихованной на рис. области содержится лишь конечное число членов последовательности {xn}.

Замечание 3.

Если ({xn}Б)( {xn}m). Действительно, def xn Б A > 0 n N xn xn : n n xn > A.

{ } ( )( ){ } () () ) [ Следовательно, найдется по крайней мере один такой элемент xn, что | xn |>А. Обратное, вообще говоря, неверно. Неограниченная по следовательность {1, - n} не является бесконечно большой, т.к. при А> для всех элементов xn с нечетными номерами неравенство | xn |>А не имеет места.

Определение 5. Последовательность {xn} называется бесконечно малой последовательностью ({xn}), если для любого положительного числа (сколь бы малым мы его ни взяли) можно указать номер n0 та кой, что при n n0 все элементы xn этой последовательности удовлетво ряли неравенству | xn |< def xn > 0 n N xn xn : n n xn <.

{ } ( )( ) { } () () [] Так как номер n0, вообще говоря, зависит от, то часто пишут n0=n0() - В незаштрихованной на рисунке области останется лишь конечное число элементов последовательности {xn}.

1.4.2.3. Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность n ± n.

{ } { } { } () () n n Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бес конечно малых последовательностей есть бесконечно малая последова тельность.

Теорема 2. Бесконечно малая последовательность ограниченна.

m.

{ } { } () () nn Теорема 3. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность является бесконечно малой по следовательностью xn m xn } ).

{ } { } { () ( n n Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последователь ностью.

Замечание 1. Частное двух бесконечно малых последовательно стей может быть последовательностью любого типа и даже может не иметь смысла:

1. Если, например, n = 1/n и n = 1/n, то все элементы последова тельности {n / n } равны 1.

2. Если n = 1/n, n = 1/n2, то {n / n }Б.

3. Если n = 1/n2, n = 1/n, то {n / n }.

При определении частного двух последовательностей предполага ется, что у последовательности {n } все элементы n отличны от нуля, начиная с некоторого номера.

Теорема 4. Если все элементы бесконечно малой последователь ности {n} равны одному и тому же числу с, то с= def = const c c = 0.

{ } ( ) nn Теорема 5. Если последовательность {xn} является бесконечно большой, то начиная с некоторого номера n определена последователь ность {1/xn}, которая является бесконечно малой. Если все элементы бесконечно малой последовательности {n} не равны 0, то последова тельность {1/n} является бесконечно большой.

xn Б n N n N : n n 1/ xn { } ()() { } () [ ] 0 1/ } Б.

{ } { () () nn n 1.4.2.4. Сходящиеся последовательности. Основные определения Определение 1. Последовательность {xn} называется сходящейся ({xn}с), если существует такое действительное число а, что последова тельность {xn - а} является бесконечно малой последовательностью def xn c a R : xn { } ( ) { - a.

() } [] Замечание. Исходя из этого определения следует, что всякая бес конечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом 0.

Определение 2.

def xn c a R > 0 n N xn xn : n n xn - a <.

{ } ( )( )( ) { } () () [] Очевидно, что неравенство | xn - а|< эквивалентно неравенствам -< xn -а < или а-< xn< а+, которое означает, что некоторый элемент xn последовательности { xn } принадлежит, окрестности числа а, поэтому определение сходящейся последовательности можно дать следующим образом:

xn a + a a Определение 3. Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует действительное число а такое, что в любой - окрест ности числа а находятся все элементы последовательности {xn} начиная с некоторого номера. Число а, фигурирующее в определениях, называет ся пределом последовательности {xn}.

Символическая запись существования предела последовательно сти {xn}, равного а, записывается так : lim xn = a, или {xn}а при n.

n Бесконечно большие последовательности иногда называются по следовательностями, сходящимися к бесконечности, поэтому если {xn}Б, то символически это записывается следующим образом: lim xn = n, или {xn} при n.

Если элементы бесконечно большой последовательности начиная с некоторого номера имеют определенный знак, то говорят, что {xn} сходится к бесконечности определенного знака lim xn = + n или lim xn = -.

n Замечание 1. Из определения 1 сходящейся последовательности вытекает, что последовательность {xn - а}. Обозначая элементы этой последовательности через n, n= xn -а, мы получим, что любой элемент xn сходящейся последовательности {xn}, имеющей пределом число а, может быть представлен в виде xn =a+n, где n - элемент бесконечно малой последовательности.

Замечание2. Из определения предела последовательности выте кает, что конечное число элементов не влияет на сходимость этой по следовательности и на величину ее предела.

Пример. Покажем, что последовательность {1+ (-1)n/n}сходится.

Пределом этой последовательности является число 1. Для доказательст ва достаточно показать, что последовательность {xn - а}= {(-1)n/n}. В 1 самом деле, если n n0, то n / n = <, поэтому по данному > (- ) n n следует выбрать номер n0 такой, чтобы выполнялось условие 1/n0 <, т.е.

n0 =[1/]+1, где [x]- целая часть числа x - т.е. наибольшее целое число, не превышающее x.

(Например, [6,187]=6;

[-5,87]=-6 ).

В качестве n0 можно взять и любой номер [1/]+к, где к>1.

Определение 4. Последовательность {xn} называется фундамен тальной ({xn}), если для любого положительного числа найдется номер n0 такой, что для всех номеров n, удовлетворяющих условию n n0, и для всех натуральных чисел р(р=1, 2,... ), все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству xn + p - xn < def xn > 0 n p xn xn : n xn + p - xn < { } ( )( )( ) { } () () 0 [n 0 ] Сформулируем без доказательства Критерий Коши о необходимом и достаточном условии сходимости последовательности.

Теорема. Для того, чтобы последовательность {xn} была сходя щейся, необходимо и достаточно, чтобы она былы фундаментальной.

xn c xn.

{ } { } () () 1.4.2.5. Основные свойства сходящихся последовательностей Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел xn c = lim xn b = lim xn a = b { } ( ) () a.

n n Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена xn c xn m.

{ } { } () () Замечание. Обратная теорема не имеет места, ибо ограниченная последовательность, вообще говоря, может и не быть сходящейся. Так, например, {xn}={1+(-1)n}=0, 2, 0, 2, 0, 2,... ограниченна, но не является сходящейся. Действительно, если бы {xn}с и lim xn = a, то {xn -a} и n {xn +1 - а}, тогда и {(xn -a)- (xn +1 - а)} (теорема 1,2,3).

Но {(xn -a)- (xn +1 - а)}={xn - xn +1} не является бесконечно малой, т.к.

|xn - xn +1| = 2 для nN.

1.4.2.6. Арифметические свойства сходящихся последовательностей Теорема 1. Если последовательности {xn} и {yn} сходятся, то сумма (разность), произведение и частное этих последовательностей (частное при условии, что предел последовательности {yn}0) есть схо дящиеся последовательности, пределы которых соответственно равны:

сумме (разности), произведению и частному пределов этих последова тельностей lim xn = a lim yn = b n n xn a lim xn ± yn = a ± b;

lim xn yn = ab;

lim = b () n n n yn b 1.4.2.7. Монотонные последовательности Определение 1. Последовательность {xn} называется невозрас тающей (неубывающей) последовательностью, если каждый последую щий член этой последовательности не больше (не меньше) предыдуще го, т.е. если для nN справедливо неравенство xn xn +1 (xn xn +1). Та кие последовательности называются монотонными последовательно стями.

Определение 2. Если для всех номеров n элементы последова тельности {xn} удовлетворяют неравенству xn > xn +1 (xn < xn +1), то такая последовательность называется убывающей (возрастающей). Убываю щие и возрастающие последовательности называются строго монотон ными.

Замечание. Отметим, что неубывающие и невозрастающие после довательности ограничены сверху и снизу соответственно своими пер выми элементами. Поэтому неубывающая (невозрастающая) последова тельность будет ограничена с двух сторон, если она ограничена сверху (снизу).

Введем следующие обозначения:

{xn} - невозрастающая последовательность {xn}, {xn} - неубывающая последовательность {xn}, {xn} - возрастающая последовательность{xn}, {xn} - убывающая последовательность {xn}.

Пример 1. Последовательность {n,n}=1,1,2,2,...n,n,... неубы вающая монотонная. Снизу она ограничена первым элементом - “1”, а сверху не ограничена.

n 1 2 3 n Пример 2. Последовательность =,,,...,,... возрас n +1 2 3 4 n + тающая. Снизу эта последовательность ограничена своим первым эле ментом, а сверху, например, своим пределом- единицей, т.е. эта по следовательность ограничена.

Теперь докажем основную теорему о сходимости монотонной последовательности.

Теорема. Если неубывающая (невозрастающая) последователь ность ограничена сверху (снизу), то она сходится.

[ ({xn } m )( {xn})]{xn } c, [ ({xn } m )( {xn})]{xn } c.

В силу замечания, сформулированного выше, неубывающие (не возрастающие), ограниченные сверху (снизу) последовательности явля ются ограниченными с обеих сторон. Поэтому последнюю теорему можно сформулировать так:

xn { } xn m xn c.

{ } { } { } xn Замечание 1. Условие ограниченности монотонной последова тельности есть необходимое и достаточное условие ее сходимости.

В самом деле, если монотонная последовательность ограничена, то в силу доказанной теоремы она сходится.

Если же монотонная последовательность (да и, вообще, любая последовательность) сходится, то она ограничена (см. теорему 2).

Замечание 2. Если последовательность сходится, то она может и не быть монотонной. Так, последовательность xn = (-1)n / n сходится { } { } и имеет пределом “0”. Однако эта последовательность не является моно тонной, т.к. знаки элементов этой последовательности чередуются.

1.4.2.8. Число е Рассмотрим пример последовательности, для нахождения преде ла которой будет использована вышеуказанная теорема (п. 2.7.) о преде ле монотонной последовательности.

n Пусть дана последовательность xn = 1+1 n { } ( ) { }, т.е. каждый эле n мент этой последовательности xn = 1+1 n. Покажем, что эта последо ( ) вательность возрастает и ограничена сверху.

Используя формулу бинома Ньютона n n(n -1) n(n -1)(n - 2) n n-1 n-2 n- a + b = a + na b + a b2 + a b3 +...+ ( ) 2! 3!

n(n -1)... n - (m -1) n(n -1)... n - (n -1) []a bm +...+nabn-1 + []b, n-m n + m! n!

получим 1 n(n -1) 1 n(n -1)(n - 2) xn = 1+ n + + +...+ n 2! n2 3! n n(n -1)(n - 2)... n - (n -1) [] + n n! n или n(n -1)(n - 2)... n - (n -1) 1 n(n -1) 1 n(n -1)(n - 2) 1 [], xn = 2 + + + +...+ 2! n n 3! n n n n! n n n...n или 1 1 1 1 21 1 2 n - xn = 2 + + +...+. (1) 1- 1- 1- 1- 1-... 1- 2! n 3! n n n! n n n Аналогично этому 1 1 1 1 1 1- 1- 1- 1-...1- n - xn +1 = 2 + + +...+ + 2! n +1 3! n +1 n +1 n! n +1 n + 1-...1- n + (n +1)! n +1 n + k k Очевидно, что 1) 1- < для любого k: 1 k n ;

1- n n + 2) все члены последовательности xn строго положительны;

{ } 3) xn+1 по сравнению с хn содержит лишний положительный член.

Поэтому хn

Используем неравенство 1 <, k 2. (2) k ! 2k - Действительно, 11 1 = = k ! 1234... k 12 2...2 2k -.

k k- Учитывая, что каждое выражение в круглых скобках формулы (1) строго меньше 1, и заменяя его поэтому единицей, получим, что 1 1 1 1 1 xn < 2 + + +...+ или xn < 2 + + +...+.

2! 3! n! 2 22 2n- Суммируя n-1 член убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 1 2, получим 1 - 2 2n-1 1 xn < 2 + = 2 +1- = 3 - < 3.

2n-1 2n- - Итак, последовательность xn возрастает и ограничена сверху.

{ } По доказанной теореме (п. 2.7.) эта последовательность имеет пре дел, который называют числом е.

n По определению e = lim1+.

n n 1.4.2.9. Предельный переход в неравенствах Покажем, что неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствую щие неравенства для пределов этих последовательностей.

Теорема 1. Если элементы сходящейся последовательности xn { } начиная с некоторого номера удовлетворяют неравенству xn b ( xn b ), то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству a b (a b ) (xn b) (a b) xn a n n0 n0 N :.

{ } () ( ) () (xn b) (a b) Замечание. Если элементы сходящейся последовательности xn { } удовлетворяют строгому неравенству xn>b, то предел а этой последова тельности может все же оказаться равным b.

Так, члены последовательности xn = 1 n строго положительны { } { } (1 n > 0), а предел этой последовательности равен нулю.

Следствие 1.

(xn yn ) (a b) xn a yn b n n0 n0 N :.

{ } { } () ( ) () () [] (xn yn ) (a b) Если элементы xn и yn сходящихся последовательностей xn и { } уn начиная с некоторого номера удовлетворяют неравенству xn yn { } ( xn yn ), то их пределы удовлетворяют такому же неравенству lim xn lim yn (lim xn lim yn ).

n n n n Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности xn начиная с некоторого номера находятся на сегменте [a,b], то и ее { } предел С также находится на этом сегменте.

xn c n n0 (n N) a xn b (a c b).

{ } () ( () ) [ {]} Теорема 2. Пусть последовательности xn и zn cходятся и име { } { } ют общий предел а. Пусть начиная с некоторого номера элементы по следовательности уn удовлетворяют неравенствам xn yn zn. Тогда { } последовательность уn сходится и имеет предел а.

{ } 1.4.2.10. Подпоследовательности числовых последовательностей Пусть x1, x2,.., xk,... некоторая числовая последовательность.

Рассмотрим произвольную возрастающую последовательность це лых положительных чисел n1, n2,.., nk,... и выберем из последовательно сти xk элементы с номерами n1, n2,.., nk,.... Расположим эти элементы в { } таком же порядке, как и числа n : xn, xn,..., xn,.... Полученную таким об k 1 2 k разом числовую последовательность будем называть подпоследователь ностью последовательности xk. В частности, сама последовательность { } может рассматриваться как подпоследовательность (в этом случае nk = k).

Замечание. Очевидно, что для любого номера k справедливо не равенство n k. Это видно из следующего примера:

k xk = x1, x2, x3,...,xk,... n = 3,8,9,10,15,17,20,...

{ } { } k Если k = 5, то nk = 15 и n k.

k Свойство 1. Если последовательность xk сходится и имеет сво { } им пределом число а, то и любая подпоследовательность этой последо вательности сходится и имеет пределом число а xk a xn xk a.

{ } { } () { } () k Свойство 2. Если все подпоследовательности данной последова тельности xk сходятся, то пределы всех этих подпоследовательностей { } равны одному и тому же числу а;

в частности, к этому же числу сходит ся и последовательность xk { } xn xk xn c xn a xk a { } { } { } { } ( ) () () ( { } ) [ ].

kk k Свойство 3. Каждая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также будет бесконечно большой xk Б xn Б.

{ } () { } () k Лемма 1. Из каждой сходящейся последовательности можно вы делить монотонную сходящуюся последовательность.

Замечание. Из каждой бесконечно большой последовательности можно выделить монотонную бесконечно большую последовательность.

1.4.2.11. Предельные точки последовательности Определение 1. Точка x бесконечной прямой называется предель ной точкой последовательности {xn}, если в любой - окрестности этой точки имеется бесконечно много элементов последовательности {xn}.

Лемма 1. Если x- предельная точка последовательности {xk}, то из этой последовательности можно выделить подпоследовательность {xnk}, сходящуюся к числу x.

Замечание. Справедливо и обратное утверждение. Если из после довательности {xk} можно выделить подпоследовательность, сходящую ся к числу x, то число x является предельной точкой последовательности {xk}. Действительно, в любой - окрестности точки x имеется беско нечно много элементов подпоследовательности, а стало быть и самой последовательности {xk}.

Из леммы 1 следует, что можно дать другое определение пре дельной точки последовательности, эквивалентное определению 1.

Определение 2. Точка x бесконечно прямой называется предель ной точкой последовательности {xk}, если из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к x.

Лемма 2. Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с пределом этой последователь ности.

Замечание. Если последовательность сходится, то она в силу леммы 2 имеет только одну предельную точку. Однако, если {xn} не яв ляется сходящейся, то она может иметь несколько предельных точек (и, вообще бесконечно много предельных точек). Покажем, например, что {1+(-1)n} имеет две предельные точки.

Действительно, {1+(-1)n}=0,2,0,2,0,2,... имеет две предельные точки 0 и 2, т.к. подпоследовательности {0}=0,0,0,... и {2}=2,2,2,... этой последовательности имеют пределами соответственно числа 0 и 2. Дру гих предельных точек у этой последовательности нет. Действительно, пусть x -любая точка числовой оси, отличная от точек 0 и 2. Возьмем >0 настолько - 0 x- x x+ 2- 2 2+ x малым, чтобы - окрестности точек 0, x и 2 не пересекались. В - окрестностях точек 0 и 2 содержатся все элементы последовательности и поэтому - окрестность точки x не может содержать бесконечно много элементов {1+(-1)n} и поэтому не является предельной точкой этой по следовательности.

Теорема. У всякой ограниченной последовательности существует хотя бы одна предельная точка.

Замечание. Ни одно число x, превосходящее x, не является пре дельной точкой последовательности {xn}, т.е. x - наибольшая предель ная точка последовательности {xn}.

Пусть x- любое число, превосходящее x. Выберем >0 настолько малым, x - x + x x x что x-> x.

Так как def x = inf x x - > x x1 x : x1 < x - { } () { } () () [x ], и x1 {x}, правее x1 лежит конечное число элементов последова тельности {xn} или их вовсе нет, т.е. x не является предельной точкой последовательности {xn}.

Определение. Наибольшая предельная точка x последовательно сти {xn} называется верхним пределом последовательности и обознача ется символом x = limxn. Из замечания следует, что у всякой ограничен n ной последовательности есть верхний предел.

Аналогично вводится понятие нижнего предела x = lim xn (как n наименьшей предельной точки последовательности {xn}).

Итак, мы доказали следующее утверждение. У всякой ограничен ной последовательности существует верхний и нижний пределы.

Сформулируем без доказательства следующую теорему.

Теорема. Для того, чтобы последовательность {xn} была сходя щейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной и чтобы ее верхний и нижний пределы x и x совпадали.

Результаты этого пункта приводят к следующей основной теореме Больцано-Вейерштрасса.

Теорема Больцано-Вейерштрасса. Из любой ограниченной по следовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Так как последовательность {xn} ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку x. Тогда из этой последова тельности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке x (следует из определения 2 предельной точки).

Замечание. Из любой ограниченной последовательности можно выделить монотонную сходящуюся последовательность.

1.4.3. Понятие функции. Предел функции. Непрерывность 1.4.3.1. Определение функции Определение 1.

Пусть даны два непустых подмножества {x}и {y}множества R.

Если каждому элементу x из {x} ставится в соответствие один элемент y из {y}, то y называется функцией f (отображением) аргумента x. Это записывается в виде:

.

y = f x x x, или y = f x, x x ( ) { } ( ) { } Другими словами, с помощью функции y=f(x) подмножество {x} отображается в подмножестве {y}, поэтому допустима запись x a f x, x x.

( ) { } Подмножество {x} или D(f) называется областью определения функции y, подмножество {y} или E(f) - множеством ее значений. Ар гумент x часто называют независимой переменной, функцию y зависимой переменной, а соответствие между ними- функциональной зависимостью.

Частным значением функции y=f(x) при x=a, a{x} называется то значение y, которое соответствует заданному значению x. Оно обозна чается через f(a), или y|x=a.

Функции могут быть заданы аналитически, графически и с по мощью таблиц.

1.4.3.2. Способы задания функций Функция задана аналитически, если функциональная зависи мость выражена в виде формулы, которая указывает совокупность тех математических операций, которые должны быть выполнены, чтобы по данному значению аргумента найти соответствующее значение функ ции.

Пример 1. Функция Дирихле 1 п ри xQ y = D x =.

( ) 0 п ри xQ Пример 2. (рис.1) y x 1 при х > - y = sgn x = 0 при x = 0 Рис. -1 при x < Определение 2. Графиком функции y=f(x), x{x} называется гео метрическое место точек на плоскости с координатами (x,f(x)), где x{x}.

Графический способ задания функции, помимо геометрического изображения функции, заданной уравнением, удобен тогда, когда функ цию трудно задать аналитически. Задать функцию графически - это зна чит задать ее график.

При табличном способе задания функции рядом с числовым значением аргумента выписывается соответствующее значение функ ции. Недостатком табличного способа задания функции является то, что в таблице могут быть указаны не все, а лишь отдельные значения аргумента и функции. Особенности изменения функции при этом могут быть искажены.

1.4.3.3. Монотонные функции Пусть функция y=f(x) определена на множестве {x} и точки x1,x2{x}любые точки, связанные соотношением x1< x2.

Тогда def ( ) def x1 < x2 f x1 f x2 f x не убывает ( ) ( ) () f x монотонна;

( ) def ( ) x1 < x2 f x1 f x2 f x не возрастает ( ) ( ) () def ( ) def x1 < x2 f x1 < f x2 f x возрастает ( ) ( ) () ( ) f x строго монотонна def ( ) x1 < x2 f x1 > f x2 f x убывает ( ) ( ) () 1.4.3.4. Сложная функция Функции, полученные в результате суперпозиции (или наложе ния) двух или нескольких функций, называются сложными.

Если функция y зависит от переменной x, т.е. y=f(x), x{x};

a x, в свою очередь, является какой-либо функцией от независимой перемен ной t, т.е. x=(t), t{t}, то переменная y называется функцией от функ ции (или сложной функцией от t) и записывается в виде y=f(x), x=(t);

или y=f((t)).

Область определения сложной функции - это множество тех зна чений t из {t}, для которых соответствующие значения x принадлежат области определения {x} функции y=f(x).

1.4.3.5. Обратная функция Пусть задана некоторая функция y=f(x), т.е. некоторое соответст вие между множествами D(f) и E(f). Предположим, для определенности, что D(f)=[a,b], a E(f)=[,]. Пусть далее каждому y[,] соответствует одно и только одно значение x[a,b], для которого f(x)=y (рис.2). Тогда на сегменте [,] можно определить функцию x=f-1 (y), ставя в соответ ствие каждому y из [,] то значение x из [a,b], для которого f(x)=y.

Функция x=f-1 (y) называется обратной для функции y=f(x).

y y=f(x) a x b Рис.2.

Замечание 1. Вместо сегментов [a,b] и [,] можно рассматривать интервалы (a,b) и (,). Можно допускать, что один или оба интервала (a,b) и (,) превращаются в бесконечную прямую или в открытую по лупрямую.

Замечание 2. Если x=f-1 (y) - обратная функция для y=f(x), то оче видно, функция y=f(x) является обратной для функции x=f-1 (y). Поэтому функции y=f(x) и x=f-1 (y) называются взаимно обратными.

Одна и та же кривая y=f(x) представляет собой график функции y=f(x) и график обратной функции x=f-1 (y) (если она существует), но в последнем случае значения аргумента рассматриваются на оси Oy, а значения функции - на оси Ox.

Если придерживаться стандартных обозначений и независимую переменную обозначать через x, а функцию через y, то функция, обрат ная по отношению к y=f(x), запишется в виде y=f-1 (x). В этом случае график функции y=f-1 (x) окажется симметричным графику функции y=f(x) относительно прямой x=y - биссектрисы Iи III координатных уг лов.

Для взаимно обратных функций имеют место следующие соот ношения: D(f)=E(f-1), E(f)=D(f-1), т.е. область определения данной функ ции совпадает с множеством значений обратной функции и наоборот.

1.4.3.6. Допустимые области определения функций Рассмотрим бесконечное множество {x}R и точку аR.

Определение. Точка а называется предельной для множества {x}, если в любой -окрестности т. а имеются точки множества {x}, отлич ные от а.

Замечание 1. Сама точка может принадлежать множеству {x}, а может и не принадлежать этому множеству.

[ ] 0 Пример 1. {x}=[0,1], a= Пример 2. {x}=(-1,1)\{0}, a= рис. Замечание 2. Множество (а-, а+)\{a}, где >0, называют проко $ лотой -окрестностью т. а. (Обозначение U a ).

( ) Мы будем рассматривать функции y=f(x), определенные на мно жестве {x}, для которого точка а является предельной.

1.4.3.7. Определение предела функции в точке Определение 1. Последовательность {x} называется последова тельностью Гейне (для точки а и множества {x}), если xn {x}, {x}a, xna.

Определение 2. (определение предела по Гейне) Число b называ ется пределом функции y=f(x) в точке a b = lim f(x) ( ), если для любой по xa следовательности Гейне {xn}соответствующая последовательность зна чений функций {f(xn)}сходится к числу b.

def b = lim f x xn xn x xn a xn a f xn b ( ) { } { } { } ( ) ( ) ( ) () () { } () [] xa Таким образом, для доказательства того, что функция y=f(x) не имеет предела в т. а (в смысле определения по Гейне), достаточно ука зать две последовательности Гейне {x1n}и {x11n}, для которых lim f x1 lim f x n n ( ) ( ) n n Пример 1. Функция Дирихле y=D(x) не имеет предела в т. =0.

Действительно, x1 Q, x1 0, D x1 = 1 lim D x1 = nn n n { } ( ) ( ) n x11 Q, x11 0, D x11 = 0 lim D x11 = 0.

nn n n { } ( ) ( ) n Пример 2. Функция y=sgnx не имеет предела в т. а=0.

1 x1 =, f x1 = 1 lim f x1 = 1;

x11 = -, f x11 = -1 lim f x11 = - nn nn n n ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n Определение 2. * (определение предела по Коши). Число b называется пределом функции y=f(x) в точке а, или при xa ( b = lim f x ), если для ( ) xa любого положительного числа найдется положительное число такое, что для всех значений аргумента x, удовлетворяющих условию 0

def b = lim f x > 0 > 0 : x x < x - a < f x b < ( ) ( )( ) { } ( ) () () [0 ].

xa Замечание 1. Условия xn a и 0

Замечание 2. Условие 0

y b+ y=f(x) b b a - a a+ x Рис. Замечание 3. В определении 2* достаточно найти = () только для малых >0. Так как из неравенства 1 < 2 и f(x)-b<1, очевидно, следует неравенство f(x)-b<2 для тех же значений x (и, следователь но, для (2)= (1)).

С другой стороны, если () найдено лишь для достаточно боль ших, то этого может быть недостаточно для существования предела функции (см. рис.5) y b+ y=f(x) b+ b b b- a -(1) a a +(2) x Рис. Очевидно, для 1>0 нельзя найти (1), для которого при всех x из проколотой (1) - окрестности т. а график попадал бы в 1 - полоску y=b.

(Для 2>0 такое (2) существует).

Замечание 4. Если в определении 2* по данному > 0 найдено = ()>0, то любое 1 : 0<1 <() такое можно взять в качестве. Действи тельно, 0 0.

Замечание 5. Определение 2* можно сформулировать следующим образом: b = lim f x, если для любой - окрестности точки b, существует ( ) xa такая - окрестность т. а, что для всех значений аргумента x, принадле жащих этой - окрестности и отличных от а, значение функции f(x) по падает в - окрестность т. b.

Замечание 6. В определении предела требуется существование симметричной окрестности (- окрестности) точки а, но для - окрест ности т. b, может существовать несимметричная большая окрестность.

(см. рис. 2).

Теорема. Определения 2 и 2*предела функции по Гейне и Коши эквивалентны.

Пример 3. Доказать по определению, что lim x3 + x = 10.

( ) x Запишем определение предела по Коши для данной функции.

> 0 > 0 : 0 < x ( )( ) - 2 < x3 + x -10 <.

() Задача состоит в том, чтобы по найти, при котором справедли ва эта импликация.

Рассмотрим неравенство x3 +x-10< и будем искать часть мно жества его решений вида x-2< h(), тогда h() можно будет взять в ка честве.

x3 + x-10= x3 - 8+ x-2=(x-2)(x2 +2x+4+1) x3 + x-10< E x-2x2 +2x +5<.

Рассмотрим сегмент [1, 3], на котором функция x2+2x+5 является ограниченной: x2 +2x+5 9+6+5=20, тогда x - 2 20 < x 1,3 x3 + x -10 < () ( [ ]) x - 2 < x 13 x3 + x -10 <.

, ( [ ]) Отсюда, в качестве можно взять = min,1. Число 1, т.к.

x[1,3]. Таким образом, условие ограниченности x2 +2x +5, а следова тельно, возможность сведения неравенства x3 +x-10< к более про стому x - 2 < повлекло за собой ограничение области изменения x, т.е. ограничение на величину сверху. Если мало (например, <1), то < 1 и =, т.е. ограничение 1 не является существенным. Далее 20 заметим, что даже при малых >0 число = не является наибольшим возможным (). Однако, как мы уже отмечали, наибольшее () в опре делении предела и не нужно.

1.4.3.8. Односторонние пределы Определение 1. (предел f(x) слева в т. а. Обозначение f(a-0)).

def b = lim0 f x > 0 > 0 : x x 0 < a - x < f x b <.

( ) ( )( ) { } ( ) () ( ) () xa Определение 2. (предел f(x) справа в т. а. Обозначение f(a+0)).

def b = lim0 f x > 0 > 0 : x x 0 < x - a < f x b <.

( ) ( )( ) { } ( ) () ( ) () xa + Пример 3. f(x)=sgn x, a=0, lim f x = lim 1 = 1 (т.к. f(x)=1 при x>0).

( ) x0+0 x0+ lim f x = lim -1 = -1 (т.к. f(x)=-1 при x<0).

( ) x0-0 x0- Односторонние пределы существуют, в то время как предел функ ции y=sgn x в точке 0 не существует.

Замечание. b = lim0 f x b = lim f x b = lim f x, т.е. справед ( ) ( ) ( ) () xa + xa xa - лива теорема: Если в точке а правый и левый пределы функции равны, то в точке а существует предел этой функции, равный указанным одно сторонним пределам.

Действительно, если неравенство f(x)-b< в определении пре дела справедливо при a 1.4.3.9. Пределы на бесконечности Определение 1. (предел f(x) при x).

def b = lim f x > 0 B > 0 : x x x > B f x b <.

( ) ( )( ) { } ( ) () ( ) () x Определение 2. (предел f(x) при x+).

def b = lim f x > 0 B > 0 : x x x > B f x b <.

( ) ( )( ) { } ( ) () ( ) () x+ Определение 3. (предел f(x) при x- ).

def b = lim f x > 0 B > 0 : x x x < -B f x b <.

( ) ( )( ) { } ( ) () ( ) () x Задача. Сформулировать определения 4-6 пределов по Гейне.

Замечание. Предел последовательности- частный случай предела функции {x}=N, x.

Замечание. Определения односторонних пределов получаются как частный случай определения предела функции, если область опреде ления функции {x} представляет собой правую (левую) полуокрест ность т. а (или, соответственно, правую (левую) полупрямую) (см. рис. п.1.4.3.6.).

1.4.3.10. Арифметические операции над функциями, имеющими пре дел Теорема 1. lim f x = b lim g x = c x x ( ) ( ) { } ( ) () ( ) xa xa lim f x ± g x = lim f x ± lim g x = b ± c (1) ( ) ( ) ( ) ( ) () xa xa xa lim f x g x = lim f x lim g x = b c (2) ( ) ( ) ( ) ( ) () xa xa xa lim f x ( ) f x ( ) b xa lim == c 0 (3) ( ) xa g x lim g x c ( ) ( ) xa Доказательство:

Пусть {xn}- произвольная последовательность Гейне, тогда lim g xn = c, lim f xn = b. Но по теоремам о пределах суммы, разности, ( ) ( ) n n произведения и частного для последовательностей следует f xn b ( ) lim f xn ± g xn = b ± c, lim f xn g xn = b c, lim = c 0.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () n n n g xn c ( ) Так как {xn}- произвольная последовательность Гейне, то по опре делению Гейне справедливы равенства (1)-(3).

Замечание. Доказательство для случаев x ±, x проводят ся по той же схеме.

x2 - Пример. Найти предел функции : lim.

x x3 - Теорема о пределе частного сразу не применима, т.к. lim x3 -1 = 0.

( ) x x ( -1 x + )( ) x2 -1 x +1 Но так как x1, то lim = lim = lim =.

x1 x1 x x3 -1 x2 + x + x ( -1 x2 + x + ) () 1.4.3.11. Бесконечно малые и бесконечно большие функции Пусть y=(x) определена на {x} и а - предельная точка для {x}.

Определение 1. Функция (x) называется бесконечно малой в точке а (при xа), если lim ( ) x = 0 (обозначение: (x)=0(x)).

xa Определение 2. (по Гейне). Функция (x) называется бесконечно малой функцией в точке а, если [({xn} a) (xn {x}) (xn a)] {(xn )} Определение 3. (по Коши).

def ( ) ( ) ( )( ) { } - a < ( ) x = 01 > 0 > 0 : x x 0 < x x <.

() () ( ) Замечание 1. Через (x0) будем обозначать класс бесконечно ма лых в точке x0 функций.

Теорема 1. Для того, чтобы функция y=f(x) имела равный b предел в точке a, необходимо и достаточно, чтобы функция (x)=f(x)-b являлась бесконечно малой в точке a.

Необходимость. Пусть lim f(x) = b, тогда рассмотрим функцию xa (x)=f(x)-b. Так как lim b = b, то lim (x) = lim f(x) - b = lim f(x) - b = 0, т.е.

[ ] xa xa xa xa (x)(a).

Достаточность. Пусть (x) = f(x) - b (x) (a), тогда f(x)= [ ] [ ] (x)+b и lim f(x) = lim (x) + b = lim (x) + b, т.е. lim f(x) = b.

[] xa xa xa xa Определение 4. Функция y=f(x) называется бесконечно большой в точке a (f(x)B(a)), если (B > 0)( > 0): (x {x})(0 < x - a < f (x) B).

Обозначение: lim f(x) =.

xa Аналогично даются определения lim0 f(x) =.

xa ± Пример. f(x) = является бесконечно большой в т. a=0.

x Действительно, следующая импликация определения очевидна:

B > 0 > x 0 x < > B.

( ) 1 :( ) 1 B B x Кроме того, lim = +, lim = -.

x0+0 x0- xx Определение 5. lim0 f(x) = - xa + B > 0 > 0 : x x 0 < x ( )( ) { } - a < f(x) < -B.

()[ ] Определение 6. lim f(x) = + x B > 0 A > 0 : x x x < ( )( ) { } -A f(x) > B.

()[ ] Аналогично даются определения:

lim f(x) = ±, lim f(x) =, lim f(x) = +, lim f(x) = ±, lim f(x) = -, x x xa +0 xa -0 x lim f(x) = ±.

x+ Пусть (x) и (x) - бесконечно малые в т. a функции, тогда 1) (x) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем (x) (x), если lim = 0 (Обозначения: (x)=0((x))). Читается: есть 0 ма xa (x) лое от.

2) (x) и(x) называются бесконечно малыми одного порядка в т.

(x) a, если lim = c 0 < c < (Обозначения (x)=0((x))). Читается: есть () xa (x) 0 большое от.

3) (x) и(x) называются эквивалентными бесконечно малыми в т.

(x) а, если lim = 1 (Обозначения: (x)~((x)).

xa (x) 4) Бесконечно малая в т. а функция (x) имеет порядок малости m относительно некоторой бесконечно малой в т. а функции (x), если (x) lim = c 0 < c <.

() m xa (x) [ ] (x) Замечание 2. Если не существует lim, то (x) и(x) называют xa (x) несравнимыми бесконечно малыми функциями.

Из определения 5 вытекают следующие утверждения:

1) 0()±0()=0();

2) =0() 0()±0()=0();

3) =0(1), =0(1) =0(),=0().

Докажем, например, утверждение 2). В силу утверждения 1) для этого достаточно доказать, что = 0() 0() = 0().

x ( ) Пусть =0(). Это значит, что lim = 0. Нужно доказать, что xa x ( ) x ( ) lim = 0. Доказательством является целая цепочка равенств xa x ( ) x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim = lim = lim lim = 0 0 = xa xa xa xa x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Докажем еще одно утверждение:

4) ~ =+0()=+0() Доказательство: а) ~ =+0() (см. теорему этого пункта) ( ) ( ) x x ( ) lim = 1 = 1+ 0(x) x = ( ) ( ) ( ) x + 0 x x xa ( ) ( ) x x В силу утверждения 3) 0(x)(x)= 0(), поэтому x = ( ) ( ) x + 0 x ( ) ( ) б) = + 0 ~ () 0 x 0 () ( ) () () = + 0 = 1+ lim = lim1+ = 1 + lim () xa xa xa ( ) x () Но lim = 0 в силу определения 0(), поэтому lim (x) 1.

= xa xa ( ) x Аналогично доказывается, что ~ =+ 0().

Таким образом, если (x)~(x), то (x) приближает функцию (x) при xа (и наоборот).

Замечание. Свойство 1) 0()-0()=0() означает следующее:

1=0(), 2=0() 1 - 2=0(). [1 - 2 0, вообще говоря, т.к. это разные функции, обозначенные одним символом 0()].

Аналогично бесконечно малым сравниваются бесконечно большие в данной точке функции.

Пусть тогда lim x = + и lim x = +, ( ) ( ) xa xa 1) А(x) имеет в т. а более высокий порядок роста, чем В(x), если A x ( ) lim = + xa Bx ( ) 2) А(x) и В(x) имеют в т. а одинаковый порядок роста, если A x ( ) lim = с 0< c < +.

() xa Bx ( ) 3) Бесконечно большая функция А(x) в точке а называется вели чиной к-го порядка относительно бесконечно большой функции В(x), если A x ( ) lim = с 0< c < +.

() k xa В x ( ) [ ] 4) А(x) и В(x) называются эквивалентными в точке а, если A x ( ) lim = 1.

xa Bx ( ) A x ( ), 5) Если не lim то А(x) и В(x) называются несравнимыми.

xa Bx ( ) Замечание 2. Эти определения сохраняются для бесконечно больших функций в точке а слева и справа.

Пример. 1) (x)=x3 - x5, (x)=5x3 +x4, x0. Эти функции беско нечно малые в т. x=0 одного порядка;

действительно, ( ) x3 - x5 x lim = lim = ( ) ( ) ( ) ( ) x = o x, x ~ / x, ( ) x0 x x 5x3 + x4 ( ) 2 + x 2) A x =, Bx = - бесконечно большие одинакового порядка ( ) ( ) x x роста при x0, действительно, 2 + x A x ( ) x lim = lim = 2.

x0 x Bx ( ) x 1.4.3.12. Предельный переход в функциональных неравенствах Пусть функции f(x), g(x), h(x) заданы в проколотой - окрестно $ сти т. а U a.

( ) ( ) Теорема 1.

f x c b c ( ) $ lim f x = b U a (рис.6) ( ) ( ) f x c b c () x xa ( ) Пусть функция f(x) имеет в т. а предел, равный b. Если в указан ной окрестности точки а (за исключением, может быть, самой точки) выполняется неравенство f(x)c (f(x) c), где с - некоторая константа, то предел функции f(x) в т. а удовлетворяет неравенству bc (bc).

y c y=f(x) b a - a a + x Рис. Доказательство:

Пусть {xn}- какая-нибудь последовательность Гейне, тогда по определению предела (по Гейне) функции f(x) в т. а : lim f xn = b, ( ) n причем f(xn)c. По теореме о предельном переходе для последовательностей lim f xn с. Но lim f xn = b, поэтому bс. Для ( ) ( ) n n случая f(x) c доказательство аналогично.

Следствие 1.

$ limf x = b limg x = c x U a f x g x b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () xa xa y y=g(x) c b y=f(x) a - a a + x Рис. Следствие 2.

$ lim f x = b x U a c f x d c b d ( ) ( ) ( ) () () xa y d b y=f(x) с a- a a+ x Рис. Теорема 2.

$ lim f x = limg x = b x U a f x h x g x lim h x = b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () xa xa xa y y=g(x) y=h(x) y=f(x) b a - a a + x Рис. Доказательство: В отличие от предыдущих утверждений, здесь нужно доказать существование предела h(x) при xа. Пусть {xn}- про извольная последовательность Гейне. Тогда lim f xn = lim g xn = b и, ( )( ) n n кроме того, f(xn)h(xn)g(xn). По теореме 2 п. 2.9 для последовательно стей существует lim h xn = b. Так как последовательность {xn}- произ ( ) n вольная последовательность Гейне и lim h xn = b, то по определению ( ) n предела (по Гейне) существует lim h xn = b. Терема доказана.

( ) xa 1.4.3.13. Определение непрерывности функции в точке и на множе стве Пусть {x} - область определения функции f(x), а{x} и любая - окрестность т. а содержит точки {x}, отличные от а.

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в т. а, если lim f x = f a. (Обозначение : f(x)С{a}).

( ) ( ) xa Определение 2.

def f x C a xn a xn x f xn f a.

( ) { } { } { } ( ) ( ) () () { } [] Определение 3.

def f (x) C{a} ( > 0)( > 0): (x {x})[x - a < f (x)- f (a) < ].

Замечание 1. В определении 2 нет условия xn а, в 3 - нет условия x-a>0. Эти определения (2 и 3) эквивалентны.

Определение 4. Функция f(x) непрерывна в т. а слева, если lim f x = f a.

( ) ( ) xa - Определение 5. Функция f(x) непрерывна в т. а справа, если lim f x = f a.

( ) ( ) xa + Замечание 2. Если функция непрерывна в т. а справа и слева, то она непрерывна в т. а. Это следует из замечания п.1.4.3.8.

Определение 6. Точки, в которых функция f(x) не обладает свой ством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.

Пример 1. f(x)=xn (nN) непрерывна в т. а (аR).

n.

lim x = a lim xn = lim x...lim = a.

xa xa xa xa Пример 2.

1, x > y = f x = sgn x = 0, x = 0 разрывна в т. x=0, ( ) -1, x < lim sgn x = -1, lim sgn x = 1 lim sgn x не существует y=sgnx раз x0-0 x0+0 x рывна в т. x=0. В остальных точках она непрерывна.

Пример 3. Функция Дирихле y=D(x) разрывна в каждой точке, т.к. нет предела в каждой точке. (Докажите это, построив последова тельность рациональных и последовательность иррациональных чисел, сходящихся к этой точке).

Определение 7. Функция f(x) непрерывна на множестве М(f(x)C(М)), если она непрерывна в каждой точке множества М.

Определение 8. Функция f(x) называется непрерывной на сегмен те [a,b], если она непрерывна в каждой внутренней точке этого сегмента и, кроме того, непрерывна справа в т. а и непрерывна слева в b (f(x) C[a,b]);

(для интервала f(x) C(a,b)).

1.4.3.14. Арифметические действия над непрерывными функциями Теорема. Пусть f(x) и g(x) заданы на множестве {x}. Если эти f x ( ) функции непрерывны в т. x=а, то функции f(x) ± g(x), f(x)g(x), не g x ( ) прерывны в точке x=а (частное при условии g(a)0) f x C a g x C a f x ± g x C a f x g x C a ( ) { } ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } () () ( ) ( ) f x ( ) C a g a { } ( ) () ( ) g x Доказательство:

f x C a g x C a lim f x = f a lim g x = g a.

( ) { } ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) xa xa По теореме о пределе разности, суммы, произведения и частного двух функций (теорема п.3.10) f x f a ( ) ( ) lim f x ± g x = f a ± g a, lim f x g x = f a g a, lim = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () xa xa xa g x g a ( ) ( ) (если g(а)0). Эти равенства и означают непрерывность в т. а f x ( ) функций f(x) ± g(x), f(x)g(x),.

g x ( ) 1.4.3.15. Сложная функция и ее непрерывность Пусть функция x=(t) задана на множестве {t}, и пусть {x}- мно жество ее значений. Допустим, что на множестве {x} задана функция y=f(x). Тогда на множестве {t} задана сложная функция y=f((t))=F(t).

Предположим, что a(t) является предельной точкой множества {t};

a(t);

b=(a) {x} является предельной точкой множества {x}.

Теорема. Пусть x=(t) C{a}, y=f(x) C{b}, где b=(a). Тогда y=f((t))=F(t) C{a}.

1.4.3.16. Замечательные пределы Первый замечательный предел sin x lim = x x Доказательство. Сначала установим справедливость неравенства 0

треугольники AOB и АОС и С сектор АОВ B Для них R SAOB

x 1 1 22 A R sin x R x R tgx.

2 2 Сокращая на R, получаем не равенства (1) рис. Пусть 0

x 1 sin x Из (1) деля на sinx, имеем 0<1< < или cosx< < 1.

sin x cosx x Эти неравенства справедливы и для значений x, удовлетворяющих sin x sin(-x) условиям - < x < 0, так как cosx=cos(-x) и =. Функция 2 x -x y=cosx - непрерывна на всей числовой оси (см., например, Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.- М.: Наука, 1971, ч.1, sin x гл.4, ?5, п.6, с.120) поэтому lim cosx = 1. Итак, для функции cosx, 1, в x x некоторой -окрестности точки x=0 выполняются все условия теоремы п.3.12. о предельном переходе в функциональных неравенст sin x вах(f(x)=cosx, g(x)=1, h(x)= и = ).

x sin x Следовательно, lim = lim cosx = 1.

x0 x x Второй замечательный предел n Число е было определено как lim1+ e n n x Можно доказать, что е=lim 1+ x.

( ) x 1.4.3.17. Точки разрыва функций Устранимый разрыв.

Определение 1. Точка а называется точкой устранимого разрыва функции y=f(x), если существует lim f x, но в т. а f(x) либо не опреде ( ) xa лена, либо f(а) lim f x.

( ) xa y Пример 1.

sin x п ри x 0 f x = ( ) x 0 п ри x= - 0 x Рис. sin x Так как lim = 1, то т. x=0 является для этой функции точкой x x устранимого разрыва.

Замечание 1. В точке а устранимого разрыва функции f(x) можно переопределить (или доопределить) так, чтобы она стала непрерывной, положив ее равной в т. а значению предела f(x) при xа. В примере достаточно положить f(0)=1 и f(x) станет непрерывной в т. x=0 (и на всей числовой прямой в силу теоремы п.1.4.3.14.).

Разрыв первого рода Определение 2. Точка а называется точкой разрыва первого рода, если lim0 f x lim0 f x lim0 f x lim0 f x ( ) ( ) ( ) ( ) () () ( ).

xa + xa - xa + xa sin x Пример 2. f x =. Точка а=0 является точкой разрыва первого ( ) x рода. Действительно, односторонние пределы в т. 0 существуют, но не равны между собой sin x sin x sin x sin x lim = lim = -1;

lim = lim = +1.

x0-0 x0-0 x0+0 x0+ x -x x x Разрыв второго рода Определение 3. Точка а называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x), если f(x) в этой точке не имеет хотя бы одного односто роннего предела или хотя бы один из односторонних пределов бесконе чен.

Пример 3. f x =, a = 0. Эта функция бесконечно большая при ( ) x x±0, следовательно, т. а=0 - точка разрыва второго рода.

sin п ри x Пример 4. f x = ( ) x 0 п ри x= y x -2 1 1 Рис. 12.

Эта функция в точке x=0, не имеет ни правого, ни левого преде лов.

В силу нечетности функции достаточно проверить, что нет пра вого предела. Построим две положительные последовательности, схо дящиеся к нулю, на которых соответствующие последовательности зна чений имеют разные пределы, тогда по определению Гейне функция не будет иметь правого предела в точке 0.

x1 =, f x1 = sin = sin n = 0 lim f x1 = nn n ( ) ( ) n n n 1 x11 =, f x11 = sin = sin + 2n = 1 lim f x11 = nn n ( ) ( ) n + 2n + 2n Таким образом, x=0 - точка разрыва 2-го рода.

sin п ри x> Пример 5. f x = ( ) x 1 п ри x не имеет только правого предела в т. 0. Точка x=0 - точка разрыва 2-го рода.

Определение 4. Функция f(x) называется кусочно непрерывной на сегменте [a,b], если эта функция определена всюду на сегменте [a,b], непрерывна во всех внутренних точках этого сегмента, за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых она имеет разрыв первого рода, кроме того, имеет правый предел в точке а и левый предел в точке b.

1.4.3.18. Свойства непрерывных функций Устойчивость знака непрерывной в точке функции Определение 1. Функция f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве {x}, если m R : x x f x f x m.

( ) ( ) { } ( ) ( ) () () ( ) Определение 2. Функция f(x) называется ограниченной на мно жестве {x}, если она ограничена на этом множестве сверху и снизу, т.е.

, m R : x x m f x.

() ( ) { } ( ) () Обозначения: f(x)B(x).

Теорема 1. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестно сти U точки а, непрерывна в точке а и f(а)0. Тогда существует такая - окрестность т. а, что для всех значений аргумента из указанной - окре стности функция f(x) не обращается в нуль и имеет знак, совпадающий со знаком f(а).

f a > f x > ( ) f x C a > 0 :x a -, a + ( ) { } ( ) ( )( ) () f x < 0.

( ) ( ) f a < Замечание 1. Теорема 1 справедлива для полуокрестностей точки а. (см. рис. 13.) b+ b y=f(x) b a- a a+ Рис. Теорема 2. (прохождение непрерывной функции через нуль при смене знаков).

Пусть непрерывная на сегменте функция принимает на концах этого сегмента значения разных знаков, тогда внутри сегмента найдется точка, в которой значение функции равно нулю.

f x C a, b f a f b < 0 a, b : f = 0.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( [ ]) () [ ] Теорема 3. Непрерывная на сегменте функция принимает все значения, заключенные между значениями этой функции на концах сег мента.

, [ ] [a, b]): f() = f x C a, b f a = f b = ( ) ( ) ( ) ( [ ]) () () ( () [ ], Доказательство. Если =, утверждение очевидно. Утверждение так же очевидно и в том случае, когда (=)(=). Теперь, не ограничивая общность, будем считать, что >, > >, (см. рис.14) f(a)= y =f(x) f(b)= a b Рис. Рассмотрим функцию (x)=f(x)-. Тогда x C a, b, a = f a = - > 0, b = f b = b - < 0.

( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) Таким образом, к функции (x) применима теорема 2. По этой теореме существует (a,b):()=0. Но тогда ()=f()-=0, т.е. f()=.

Теорема доказана.

Теорема 4. (Первая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на сегменте, то она ограничена на этом сегменте.

f x C a, b f x B a, b.

( ) [ ] ( ) [ ] Замечание 2. Для интервала или полусегмента утверждение тео ремы 4 неверно.

Пример 1. f x = непрерывна на (-1,0), но не является ограни ( ) x ченной на этом интервале : lim = -. Доказательство не пройдет для x0- x последовательности xn = - : xn 0- 0, f xn -, н о lim xn = 0.

( ) (-1, ) n n Определение 3. (рис.15). Число M (число m) называется точной верхней (точной нижней) гранью функции f(x) на множестве x, если { } выполнены два требования 1) x x f(x) M (f(x)m).

{ } 2) > 0 x0 x : f(x0 ) > M - (f(x0)

( ) { } ( ) Обозначения: M= sup f(x), m = inf f(x).

x { } x { } M y=f(x) f(x0) M x Рис. 15.

Таким образом, точные верхняя и нижняя грани функции - это точные верхняя и нижняя грани множества значений E(f) функции f(x) на множестве x. Следовательно, справедливо следующее утверждение.

{ } Если функция y=f(x) ограничена на множестве x сверху (снизу), то у { } нее существует на этом множестве точная верхняя грань (точная нижняя грань). Возникает вопрос, достигается ли на множестве x точная верх { } няя и точная нижняя грани, т.е. существует ли x0 x :

{ } f(x0 ) = sup f(x), f(x0 ) = inf f(x), x { } x { } Пример 2 (рис. 15).

x2 при 0 < x < 1, f(x) = 2 при x = 0 и x = 1, sup f(x) = 1, inf f(x) = 0, но эти точные грани не достигаются функ, [ ], [ ] цией на сегменте [0,1] y x Рис. 16.

Теорема 5 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция непре рывна на сегменте, то она достигает на этом сегменте своих точных верхней и нижней граней.

f(x) C a, b x1, x2 a, b : f(x1) = sup f(k) f(x2 ) = ia,bf f(k) n [ ] ( [ ]) [ ] a,b [ ] Замечание 3. Функции, не являющиеся непрерывными на данном сегменте, могут принимать точную верхнюю и точную нижнюю грани.

Пример - функция Дирихле.

Замечание 4. Утверждение теоремы 5, вообще говоря, не будет верным для интервала.

Пример: y=x на (0,1) (рис. 17).

y 0 1 x Рис. 1.5. Дифференциальное исчисление 1.5.1. Определение производной Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и пусть x - некоторая точка этой окрестности. Если существует предел f(x) - f(x0) отношения при xx0, то этот предел называется производной x - x функции y=f(x) в точке x0 и обозначается f (x0).

f(x) - f(x0) Итак, f (x0) = lim.

xx x - x Обозначив x-x0=x, y=f(x0+x)-f(x0)=f(x)-f(x0), y получим f (x0) = lim.

xx x Замечание 1. Условие непрерывности lim f(x) = f(x0) в принятых xx обозначениях можно записать в виде lim f(x0 + x) - f(x0) = 0 или ( ) x lim y = 0. Это равенство называется разностной формой условия непре x рывности функции в т. x0.

Если для некоторого значения x0 выполняется условие y y y lim = +;

lim = -;

lim =, то говорят, что для этого значения x0 x0 x x x x x0 существует бесконечная производная, равная соответственно +, -,.

В дальнейшем под выражением “функция имеет производную” мы будем понимать наличие конечной производной, если не оговорено про тивное.

Если функция y=f(x) определена в правосторонней ( левосторон ней) окрестности точки x0 и существует конечный или бесконечный f(x0 + x) - f(x0)f(x0 + x) - f(x0) предел отношения lim lim, то он x0+0 x0- x x называется, соответственно, конечной или бесконечной производной справа (слева) функции y=f(x) в точке x=x0 и обозначается f (x0 + 0) f (x0 0.

() Правая -и )левая производные называются односторонними произ водными.

Теорема. Функция y=f(x), определенная в некоторой окрестности точки x=x0, имеет производную f (x0) тогда и только тогда, когда f (x0 - 0) и f (x0 + 0) существуют и равны друг другу, т.е.

f (x0 - 0) = f (x0 + 0). В этом случае f (x0) = f (x0 - 0) = f (x0 + 0).

Доказательство теоремы следует из теоремы об односторонних преде лах.

Операция вычисления производной от функции называется опера цией дифференцирования.

1.5.2. Геометрический смысл производной Рассмотрим график функции y=f(x), определенной и непрерывной на некотором интервале (a,b). Точка M0 на графике (см. рис.) y соответствует значению аргумента x0(a,b),а точка M- (x=x0+x(a,b)), где M y x - некоторое приращение аргумента.

Прямая, проходящая через точки М0, М, M x называется секущей. Обозначим через ) (x0 (x) (x) угол, который образует секущая x0 x0+x x М0М с положительным направлением оси Оx.

Определение. Касательной к графику функции y=f(x) в точке М0 назы вается предельное положение секущей М0М при стремлении точки М к точке М0 по графику (или при x0 вследствие непрерывности y=f(x)).

y f(x0 + x) - f(x0) Очевидно, что tg(x) = =.

x x Докажем следующую лемму.

Лемма. Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке x=x0, тогда справедливы следующие два утверждения:

1) график функции y=f(x) имеет касательную в точке М0, соответствую щей значению аргумента x0;

2) угловой коэффициент касательной равен f (x0).

Доказательство.

Пусть x - любое, достаточно малое и отличное от нуля значение при y ращения аргумента x в точке x0, тогда (x) = arctg. Так как x y lim = f (x0) и функция u=arctgx непрерывна в любой точке x x y y x(-,+), - lim (x) = lim arctg = arctg lim = arctg(f (x0)), т.е. сущест x0 x0 x x x вует предельное значение (при x0) угла наклона секущей М0М, что доказывает существование касательной в точке М0.

Обозначим, далее, угол наклона касательной к оси Оx через 0, то гда 0 = arctgf (x0), откуда tg0 = f (x0).

1.5.3. Дифференциируемость функции Пусть функция y=f(x) определена на (a,b), x - некоторое фиксиро ванное значение аргумента x(a,b), x - любое приращение аргумента такое, что (x+x) (a,b).

Определение. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x, если приращение y этой функции в точке x, соответствующее прира щению аргумента x, может быть представлено в виде y=Аx+x, (1) где А - некоторая константа, не зависящая от x, а - функция от x ((x)), являющаяся бесконечно малой при x0.

Замечание 1. При x=0 функция (x), вообще говоря, не определена, поэтому в этой точке для удобства припишем значение (0), равное ну лю. В этом случае функция (x) станет непрерывной в точке x=0, и ра венство (1) можно распространить на значение x=0.

Замечание 2. Так как (x) и x - бесконечно малые функции в точке x=0, (x)x=0(x), тогда y=Ax+0(x). (2) Теорема 1. Для того, чтобы функция y=f(x) являлась дифференцируемой в точке x (символическая запись: f(x) C(x), необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

y Необходимость. Пусть функция y=f(x) C(x), тогда = A +.

x y Отсюда lim = lim (A + ) = A.

x0 x x Достаточность. Пусть функция y=f(x) имеет в данной точке x конечную y y производную, т.е. существует lim = f (x), тогда (x) = - f (x) - беско x x x нечно малая при x0 (см. теорему 1 п.3.11).

Отсюда y = f (x)x + x, где lim (x) = 0, и если f (x) обозначить через x А, то y=Аx+x.

Замечание 3. Доказанная теорема позволяет в дальнейшем отождеств лять понятие дифференциируемости функций в данной точке и наличие у этой функции в данной точке конечной производной.

Теорема 2. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x, то она не прерывна в этой точке.

f x C x f x C x.

( ) { } ( ) { } [] [] Доказательство.

Так как функция дифференцируема в точке x, y=Ax+x. Но тогда lim y = lim Ax + x = 0;

lim y = 0. В силу разностной формы усло () x0 x0 x вия дифференцируемости функция y=f(x) непрерывна в точке x (см. за мечание 1 п.4.1.) Замечание 4. Обратное утверждение, вообще говоря, места не имеет, т.е. непрерывная в точке x функция не является дифференцируемой в этой точке.

Пример. Рассмотрим функцию y=x.

Поскольку y=x+x-xx+x y x=x, и функция непрерыв lim y = x на в любой точке x(-,+). Покажем, y=x что эта функция не имеет в точке x= производной.

x 0 + x - 0 x 1, е с ли x > 0.

y Действительно, = = = x x x -1, е с ли x < 0.

1, е с ли x > y lim = и правая производная функции в точке x=0 от x x -1, е с ли x < лична от левой.

В остальных точках производная функции y=x существует и равна 1.5.4. Правила вычисления производных, связанные с арифметиче скими действиями над функциями Теорема. Пусть функции y1=f1(x) и y2=f2(x) имеют производные в точке x0. Тогда их сумма, разность, произведение и частное (частное при усло вии y20 в точке x=x0) также имеют производные в точке x=x0, причем 1. y1 ± y2 = y1 ± y2.

( ) 2. y1 y2 = y1y2 + y1y2.

( ) y1 y1y2 - y1y 3. =.

y y 1.5.5. Вычисления производных некоторых элементарных функций y 1. y=c (c= const) y=c-c lim = 0. Итак, с = 0.

x x Замечание 1. Производная произведения функции на постоянную равна произведению этой постоянной на производную функции, т.е. (cy) = cy.

Доказательство. (cy) = сy + cy = 0 y + cy = cy.

Замечание 2. Если n - любое фиксированное целое число, то c1y1 + c2y2 +...+cnyn = c1y1 + c2y2 +...+cny.

() n Следует из предыдущей теоремы с помощью метода математической индукции.

2. y=xn (степенная функция), где n - положительное целое число.

Если использовать формулу бинома Ньютона, получим n(n -1) n y = (x + x) - xn = xn + nxn-1x + xn-2x2 +... + xn - xn = 2!

n(n -1) = nxn-1x + xn-2x2 +... + xn.

2!

При x y n(n -1) = nxn -1 + xn-2x+...+xn-1.

x 2!

При x0 все слагаемые правой части, начиная со второго, стремятся к нулю, т.к. содержат x в некоторой положительной степени. Первое сла гаемое x не содержит, поэтому предел правой части при x0 равен nxn-1. Следовательно, существует предел левой части при x0, равный nxn-1. По определению производной указанный предел равен производ ной функции y=xn, т.е. y = xn = nxn -1.

( ) Данные рассуждения справедливы для любой точки x(-, +).

Кроме того, эту формулу можно обобщить на тот случай, когда n являет ся произвольным вещественным числом (доказательство этого положе ния см. в п. 4.6.).

3. y=sinx.

x x y = sin(x + x) - sin x = 2sin cosx +. При x x sin y x =cosx +. (1) x x В силу непрерывности функции cosx в любой точке x(-, +) x sin x lim cosx + = cosx. Если учесть также, что lim = 1 (см. п.3.16), x0 x x получим, что предел правой части равенства (1) существует и равен cosx (на основании теоремы 1 п.3.10), а тогда и предел левой части этого ра венства существует и равен cosx. По определению производной указан ный предел равен производной функции y=sinx, т.е. sin x = cosx.

( ) ( ) 4. Аналогичным образом можно показать, что сosx = - sin x.

5. y = loga x 0 < a 1. Пусть x(0,), и x - произвольное приращение ар () x гумента, такое что x

( ) x 1 x x x y 1 x x 1 x При x0 = loga 1+ = loga 1+ = loga 1+. Если x - x x x xx x x x x 1+ фиксировано, то при x 0 lim = e и на основании непрерыв x x ности функции loga x в любой точке полупрямой (0,) и, в частности, в x x 1 x точке x = e lim loga x = loga e lim loga 1+ = loga e. По () получим, что xe x x xx этому существует предел правой части равенства при y 1 y x 0 lim = loga e. Но по определению, lim = loga x, поэтому ( ) x0 x x x x loga x = loga e. В частности, при а=е ( ) x имеем ln x =.

( ) x См., например: Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.- -М.: Наука, 1971 (и последующие издания), ч.1.

cos2 x - sin x sin x (- ) 6. y=tgx, tgx = = = (см. теорему 1 п.3.10) ( ) sin x cosx cos2 x cos2 x tgx =.

( ) cos2 x - 7. y=ctgx. Аналогично этому (ctgx) =.

sin x Прежде, чем вычислять производные других элементарных функ ций, докажем теорему о производной обратной функции.

Теорема.

Пусть функция y=f(x).

1) определена, непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки x0.

2) в точке x0 существует отличная от 0 производная f x0 0. Тогда и ( ) - обратная функция x = f y имеет производную в точке y0 = f x0, при ( ) ( ) - чем y0 =.

( ) [f ] f x ( ) Раскроем геометрический смысл этого положения.

Рассмотрим в окрестности x=x0 график функции y=f(x). Если провести касательную к графику в точке М(x0,y0), то f x0 = tg ( ( ) y0 M - угол наклона касательной к положитель - x0 x ному направлению оси Оx). y0 = tg (- ( ) [f ] угол наклона той же касательной к положительному направлению оси Оy).

- Поскольку + =, формула = ( ) [f y0 ] 1 выражает очевидный 2 f x ( ) факт: tg =.

tg Используя эту теорему, можно получить производные следующих элементарных функций, являющихся строго монотонными в области их определения.

x x 8. y = a 0 < a 1 Функция y = a < x < + является обратной для лога () ( ) рифмической функции x = loga y, определенной на полупрямой y>0. По скольку в окрестности любой точки y выполнены условия теоремы, то 1 1 y x x x x (a ) = = = = a ln a. Итак, a = a ln a. При а=е, по ( ) (loga y) 1 loga e loga e y лучим ex = ex.

( ) 9. y=arcsinx, - y п ри -1 x 1 и x = siny. Будем рассматривать ин 2 тервал - < y < п ри -1< x < 1. В этом случае arcsin x = =.

() 2 sin y ( ) cosy cosy = 1- sin2 y > 0, иб о - < y < cosy, 2 Так как 1 arcsin x = = () 1- sin y 1- x Итак, arcsin x =.

() 1- x 10. Аналогично этому arcс osx = -.

() 1- x 11. y=arctgx и - < y <, если -< x <+;

x=tgy, тогда 2 arctgx = = cos2 y = = ( ) 1+ tg2y 1+ x tgy ( ) arctgx =.

( ) 1+ x 12. По аналогии с предыдущим arcctgx = -.

() 1 + x Сведем теперь в единую таблицу производные элементарных функций.

( = const.

) 1. (x ) = x -1, в частности, = - и x = ( ) x x 2 x 2. loga x = loga e x > 0, 0 < a 1. В частности ln x =.

( ) 1 () ( ) x x x x 3. a = a ln a 0 < a 1. В частности ex = ex.

() ( ) ( ) 4. sin x = cosx.

( ) 5. cosx = - sin x.

( ) 6. tgx == 1+ tg2x, + k, k = 0, ±1, ± 2,....

( ) 1 x cos2 x 7. ctgx = - = - 1+ ctg2x, x k, k = 0, ±1, ± 2,....

( ) 1 () () sin2 x 8. arcsin x =, x < 1.

() 1- x 9. arccosx = -, x < 1.

() 1- x 10. arctgx =.

( ) 1+ x 11. arcctgx = -.

() 1 + x По определению, гиперболическим синусом (shx), косинусом (chx), тангенсом (thx) и котангенсом (cthx) называются функции ex - e-x ex + e-x shx ex - e-x chx ex + e-x shx = ;

chx = ;

thx = = ;

cthx = =, 22 chx ex + e-x shx - e-x ex производные которых вычисляются по следующим формулам:

13. shx = chx ( ) 14. chx = shx ( ) 15. thx = ( ) ch x 16. cthx = - (x0).

( ) sh x 1.5.6. Правило дифференцирования сложной функции Теорема. Пусть 1) задана сложная функция y = f t, где x=(t) и y=f(x), ( ) [ ] 2) функция x=(t) дифференцируема в точке t0, а функция y=f(x) диф ференцируема в соответствующей точке x0=(t0). Тогда сложная функ f t0 = f x0 t.

( ) ( ) ( ) { [ ]} ция f t дифференцируема в точке t0, причем ( ) [ ] Замечание. Обычно формулу для производной сложной функции f x0 = f x0 x ( ) ( ) ( ).

{ [ ]} [ ] записывают в виде Пример 1. Найти производную функции y = 5arctgt. Имеем y = 5x, где 1 5arctgt x=arctg t. Поэтому (5arctgt ) = (5x) (arctgt) = 5x ln 5 = ln 5.

1+ t2 1+ t Пример 2. Найти производную функции y =x R, = const, x (0,) ( ) y = x = (eln x) = e ln x ( ) y = (et ) t = ln x ln x = et = e ln x = x-1 = x- x t = ln x x 1.5.7. Дифференциал функции Пусть y=f(x)C1(x), тогда y=x+(x)x (1.) Если А0, то слагаемое Аx есть линейная и однородная относительно Ax x функция.* При x0 lim = A 0 и поэтому Аx бесконечно ма x x лая того же порядка, что и x.

( ) x x lim = 0 и x=0 x, т.е. второе слагаемое x при x ( ) x x есть бесконечно малая более высокого порядка, чем x. Итак, при А первое слагаемое Аx является главной частью приращения дифферен цируемой функции.

Определение. При А0 дифференциалом функции y=f(x) в данной толчке x, соответствующим приращению аргумента x, называют глав ную линейную относительно x часть приращения этой функции в точке x. Символическое обозначение дифференциала функции y = f(x) dy.

Итак, по определению, dy=Ax или dy = df x = f x x (вытекает из тео ( ) ( ) ремы 1 п.4.3.).

Если А=0, то первое слагаемое Ax равенства (1) перестает быть главной частью приращения дифференцируемой функции, ибо Ax=0, а x0 однако, по договоренности и в этом случае считают dy= Ax=0.

1.5.8. Геометрический смысл дифференциала функции y Пусть дана кривая y=f(x). Точка М на P кривой соответствует значению аргу y k мента x, а точка Р-(x+x). МТ - каса dy M тельная к кривой y=f(x) в точке М.

x N Очевидно, что y=PN и dy = f x x = KN, откуда вытекает, что ( ) T x x x x+ величины PN и KN, вообще говоря, различны, ибо если y есть прира- щение ординаты кривой, то dy является соответственным приращением ординаты касательной.

1.5.9. Дифференциал независимой переменной * Функция y=Ax+B, где A0 -линейная функция аргумента x, где A и B- некоторые постоянные. Если В=0, то линейная функция называется однородной.

Под дифференциалом dx независимой x понимают любое, не зави сящее от x число, поэтому, по определению, дифференциалом независи мой переменной x называют ее приращение x, т.е. полагают, что dx=x.

Введенное определение оправдывается следующими рассужде ниями.

Рассмотрим независимую переменную x как функцию вида y=x, тогда dy = dx = f x x = 1 x и dx = x.

( ) Таким образом, если аргумент x функции y=f(x) является независимой dy переменной, то dy = f x x = f x dx и f x =.

( ) ( ) ( ) dx dy Замечание. f x ( )- есть число, а - отношение неопределенных чисел dx dy и dx, которые изменяются пропорционально c коэффициентом про порциональности f x.

( ) 1.5.10. Инвариантность формы первого дифференциала В предыдущем пункте было показано, что если x -есть независи мая переменная функции y=f(x), то dy=f(x)dx. Покажем, что эта форму ла справедлива и в том случае, когда аргумент x является дифференци руемой функцией некоторой новой переменной t. Это свойство диффе ренциала называется инвариантностью его формы.

Итак, пусть дана функция y = f x c x, и x = t c t. Рассмот ( ) ( ) ( ) ( ) рим сложную функцию y=f[(t)]. Если рассматривать здесь t как незави симую переменную, то по определению дифференциала функции dy = f t dt. (1) ( ) { [ ]} Аналогично этому dx = t dt. (2) ( ) Используя теорему о сложной функции : f t = f x t равенство ( ) ( ) ( ) { [ ]} (1) можно переписать в виде dy = f x t dt, и из (2) имеем, ( ) ( ) чтоdy = f x dx.

( ) Итак, в любом случае дифференциал функции y=f(x) может быть запи сан в форме dy = f x dx. будет ли x независимой переменной или нет;

( ) разница будет в том, что если за независимую переменную выбрано t, то dx означает не произвольное приращение x, а дифференциал x как функции от t.

1.5.11. Производные высших порядков Определение 1. Пусть функция y=f(x) определена на (a,b), f x c a,b и x0 a, b. Производная функции f x в точке x0 называ ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ется второй производной функции f и обозначается f x0 или f x0, т.е ( ) ( ) f x = f x или y = y.

( ) ( ) ( ) [ ] x=x Аналогично определяется производная y(n) любого порядка n=1, 2,...

Если существует производная y(n -1) (n-1)-го порядка, то по определению n - y(n) =. При этом производная нулевого порядка - сама функция [y ] y(0) = y, а производная первого порядка - производная y. Символическая запись производной n-го порядка функции y=f(x) на x :f x c(n) x.

{ } ( ) { } [ ] Определение 2. Функция называется n раз дифференцируемой на {x}, если на {x} она имеет производные до порядка n включительно.

Сформулируем (без доказательства) теорему о вычислении n-ой производной произведения и суммы двух функций, имеющую большое прикладное значение.

Теорема.

Пусть функции y1=f1(x) и y2=f2(x) определены в некоторой окрест ности точки x0, имеют производные n-го порядка в точке x0, тогда функ ции y1 + y2 = f1 x + f2 x и y1y2 = f1 x f2 x также имеют производные n-го ( ) ( ) ( ) ( ) n порядка в точке x0, причем y1 + y2 ) = y1(n) + y2(n), ( )( n n n - ( ) n i y1y2 = y1(n)y2 + ny1(n -1)y2(1) + y1(n -2)y2(2) +...+y1y2(n) = y1(n -i)y2i По ( )( ) c n 2!

i= следняя формула называется формулой Лейбница. n ( ) Пример. Вычислить y(n) = x2ex. Обозначим y1 = ex и y2 = x2.

( ) Очевидно, что y1( k) = ex;

y2 = 2x, y2 = 2, y2(3) = y(IY) =... = y(n) =... = n n - ( )e 2 = e(x) + 2nx + n(n -1) x Поэтому, y(n) = exx2 + nex 2x + [x ].

2!

1.5.12. Дифференциалы высших порядков Доказательство см.: Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. -М.:

Наука, 1971 (и последующие издания) ч.1.

Для удобства проведения дальнейших выкладок для обозначения дифференциала наряду с символом d будем употреблять также символ (x и y).

Пусть f x c1 x0 -, x0 +, тогда dy = f x dx. Дифференциал ( ) ( ) ( ) {} функции dy есть функция двух переменных: точки x и переменной dx.

Пусть, далее, y1 = f x c1 x0 -, x0 +, и dx имеет одно и то же фикси ( ) ( ) {} рованное значение для x x0 -, x0 +, тогда ( ) S dy = f x dx = f x dx x = f x0 dxx = f x0 dx2.

( ) ( ) ( ) x=x0 ( ) ( ) [] [] x=x Определение. Значение (dy) дифференциала от первого дифференциа ла dy в некоторой точке x0, взятое при x=dx, называют вторым диффе ренциалом функции y=f(x) (в точке x0) и обозначают символом 2 d y, т.е. d y = f x0 dx2.

( ) Замечание 1. Из определения следует, что d2x=0, т.к. приращение x=dx считается постоянным.

Аналогично определяются дифференциалы более высоких поряд ков.

Предположим, что производная (n-1)-го порядка y(n -1) дифференци руема в окрестности точки x0 (т.е. функция y=f(x) имеет в точке х0 про изводную n-го порядка), тогда дифференциалом n-го порядка dny функ n - ции y=f(x) в точке х0 называется дифференциал d y от дифференциа ( ) ла (n-1)-го порядка dn-1y, взятый при х=dx, т.е.

nn - d y = d y.

( ) x=dx Методом математической индукции можно получит, что n n ( ) d y = f x0 dxn (1) ( ) n d y n ( ) или f x0 = (2) ( )dxn Замечание 2. Формулы (1) и (2) справедливы при n>1 лишь в том слу чае, когда x является независимой переменной, т.е. второй и последую щие дифференциалы не обладают, вообще говоря, свойством инвари антности формы. Действительно, пусть y = f x c2 x и x = t c2 t, ( ) { } ( ) { } [ ] [ ] тогда d2y = dy = f x dx = f x dx xx=dx = f x dxxx=dx + ( ) ( ) ( ) ( ) [] [] [ ] x=dx x=dx +f x dx xx=dx = f x dx2 + f x d2x ( ) ( ) ( ) [ ] и мы имеем дополнительный, отличный от 0 член f x d x.

( ) 1.5.13. Дифференцирование функции, заданной параметрически Пусть функции x=(t) и y=(t) определены в некоторой окрестно сти точки t0. Пусть одна из функций, например, t : t c t0 -,t0 + t, тогда t = -1 x и в некоторой окре ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) {} ( ) () стности точки x0 (x0 -, x0 + ), имеет смысл функция y = -1 x ( ) [ ].

- Функция y = x ( ) [ ]называется заданной параметрически форму лами x=(t) и y=(t) функцией.

Лемма.

t c1 t0 t c1 t0 t0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () ( ) t ( ).

y = -1 x x0 = t0 y = ( ) ( ) ( ) () ( [ ]c x0 ) x t ( ) Если x=(t) и y=(t) имеют в точке t0 производные и если - t0 0, то y= t ( ) ( ) [ ] имеет в точке x =(t0) производную, причем t ( ) y = (1) x t ( ) Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции и обратной функции имеем:

1 (t ) -1 y = x = t = =.

( ) { [ ]} xx t x t =t +1 t =t0 t xt (t ) t =t0 Для вычисления второй производной y следует представить ее в виде xx d y = y и воспользоваться формулой (1) и правилом дифференциро ( ) xx x dx вания частного.

1.5.14. Свойства дифференцируемых функций 1.5.14.1. Возрастание (убывание) функций в точке. Локальный экс тремум.

1. Рассмотрим функцию y=f(x), определенную в некоторой окрестности U(c) точки С.

Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в точке С, если существует - окрестность точки c(U(c)) такая, что U (c) U(c) x U (c)x > c f(x) > f(c).

() ( )x < c f(x) < f(c) Определение 2. Функция f(x) называется убывающей в точке С, если существует - окрестность точки c(U(c)) такая, что U (c) U(c) x U (c)x > c f(x) < f(c).

() ( )x < c f(x) > f(c) Определение 3. Точка с называется точкой локального максимума (ло кального минимума) функции f(x) (f(x) имеет локальный минимум в точ ке С), если существует такая - окрестность точки c(U(c)) такая, что U (c) U(c) x U (c) f(x) f(c), () ( ) U (c) U(c) x U (c) f(x) f(c).

() ( ) Определение 4. Будем говорить, что функция y=f(x) имеет в точке С ло кальный экстремум, если эта функция имеет в точке С либо локальный максимум, либо локальный минимум (рис.1) y y=f(x) c1 c2 x Рис. Функция f(x) имеет в точке с1 локальный максимум, в точке с2 - локаль ный минимум. Заметим, что f(с1)

Теорема 1. (лемма Ферма) (достаточное условие возрастания (убывания) функции в точке). Пусть функция f(x) дифференцируема в точке с и f (c) > 0(f (c) < 0), тогда y=f(x) возрастает (убывает) в точке С.

Замечание 1. Положительность (отрицательность) производной f (c) не является необходимым условием возрастания (убывания) дифференци руемой в точке С функции y=f(x).

Пример 1. (рис.2). f(x)=x3 возрастает в точке С=0, но y = 3x2 = x=0 x= y y=x x Рис. Теорема 2. (необходимое условие экстремума дифференцируемой в данной точке функции) (теорема Ферма).

Пусть функция f(x) дифференцируема в точке С и имеет в этой точке локальный экстремум, тогда f (c) = 0 (рис. 3).

Доказательство. По условию теоремы существует f (c). Так как функ ция y=f(x) имеет в точке С локальный экстремум, она не может в этой точке ни возрастать, ни убывать. Следовательно, по теореме 1 f (c) не может быть ни положительной ни отрицательной, т.е. f (c) = 0.

Теорема доказана.

y y=f(x) x Рис. Замечание 2. Как показано на рис. 3 касательная к графику дифферен цируемой функции в точке экстремума горизонтальна.

Пример 2. y=x3, y(0) = 0, но функция не имеет экстремума, т.е. необхо димое условие (теорема 2) экстремума не является достаточным.

1.5.14.2. Теорема о нуле производной Теорема (теорема Ролля).

Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента, а значения функции на концах сег мента одинаковы, тогда внутри сегмента найдется такая точка, в которой значение производной f () обращается в нуль.

f(x) C a, b x (a,b)f (x) f(a) = f(b) (a,b):f () = 0.

() ( ) ( [ ]) [ ] [] Доказательство. f(x) C[a,b] (по второй теореме Вейерштрасса) f(x) достигает на [a,b] своих точных верхней и нижней граней (M и m соот ветственно). Могут представиться два случая:

1) M=m;

2) M>m. Рассмотрим оба этих случая.

1) M=mf(x)=M=m=constf (x) 0 x [a,b].

2) M>m. Так как f(a)=f(b), хотя бы одно из двух значений M и m достига ется во внутренней точке сегмента [a,b]. Но тогда функция f(x) имеет в точке локальный экстремум. По необходимому условию экстремума (теорема Ферма см. п.5.1) f () =0. Теорема доказана.

Замечание 3. Кратко можно сказать, что между двумя равными значе ниями дифференцируемой функции обязательно лежит нуль производ ной, то есть существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции горизонтальна (рис.1).

y y=f(x) a b x Рис. Приведем несколько примеров, когда при нарушении хотя бы одного из условий теоремы утверждение теоремы не имеет места.

а) Функция f(x)=x-E(x) (E(x) - целая часть от x) на сегменте [0,1] не явля ется непрерывной (рис.2). И хотя все остальные условия теоремы вы полнены, однако на (0,1) не существует точки такой, чтобы f () =0.

Рис. б) Нарушено условие дифференцируемости на (а, b) x, 0 x y f(x) = 2 - x, 1 < x 2.

0 1 2 x Рис. в) Нарушено условие f(a)=f(b).

Для функции f(x)=x на [0, 1] (рис.4) нет точки (0, 1), в которой значе ние производной обращалось бы в 0.

y 0 1 x Рис. 1.5.14.3. Формула конечных приращений (теорема Лагранжа) Теорема. Если функция определена и непрерывна на [a,b] и дифферен цируема на (a,b), то внутри сегмента [a,b] найдется точка такая, что справедлива формула f(b)-f(a)=f () (b-a).

f(x) C[a, b] x a, b f (x) (a,b):f(b) - f(a) = f () (b - a) () ( ) ] () [ [] (Формула f(b)-f(a)=f () (b-a) называется формулой Лагранжа или фор мулой конечных приращений).

Доказательство. Рассмотрим на сегменте [a,b] вспомогательную функ цию (рис.1) f(b) - f(a) F(x) = f(x) - f(a) - (x - a).

b - a Проверим, что для функции F(x) выполнены все условия теоремы Ролля.

1) F(x)C[a,b] (как разность f(x) и линейной функции);

f(b) - f(a) 2) F (x) = f (x) - x (a, b) ;

b - a 3) F(a)=F(b)=0.

По теореме Ролля (a, b):F () = 0, т.е.

f(b) - f(a) f () = = 0 f(b) - f(a) = f () (b - a).

b - a Теорема доказана.

y C B A a b x Рис. Замечание 1. Напишем уравнение прямой l, проходящей через точки A(a, f(a)) и B(b,f(b)).

x - a y - f(a) l: =.

b - a f(b) - f(a) f(b) - f(a) Отсюда l:y = f(a) + (x - a).

b - a Вычитая эту функцию из f(x), получим F(x), для которой F(a)=F(b)=0.

f(b) - f(a) Угловой коэффициент построенной прямой l равен. Теорема b - a Лагранжа утверждает, что найдется такая точка (a,b), в которой угло вой коэффициент касательной f () совпадает с угловым коэффициентом прямой l, т.е. касательная к графику функции в точке С(,f()) парал лельна прямой l, проходящей через точки A и В.

Замечание 2. Другой вид формулы Лагранжа.

Пусть х0 -любое значение аргумента из [a,b], а х- произвольное прира щение аргумента, но такое, что x0 + x a, b. Тогда формула Лагранжа ( ) [ ] для сегмента [x0,x0+ х] имеет следующий вид: f x0 + x - f x0 = x f, ( ) ( ) ( ) где - некоторая точка из интервала (x0,x0+ х) (см. рис.2).

x0 x0 + x Рис. Можно утверждать, что найдется такое число (0<<1), зависящее от х, что = x0+ х, тогда f x0 + x - f x0 = x f x0 + x, где-некоторое ( ) ( ) ( ) число: 0<<1.

Этот вид формулы оправдывает термин “формула конечных прираще ний”, ибо дается выражение для приращения функции через вызвавшее его произвольное конечное приращение х аргумента.

Следствие 1.

f x x a,b f x 0x a,b f x = const ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () [] Доказательство. Пусть x0 (a,b)- фиксированна, x (a,b)- произвольная точка. На [x0, x] (и [x, x0] соответственно) f(x) дифференцируема. При меним теорему Лагранжа на этом сегменте:

x0,x x, x0 :f x - f x0 = f x - x0. Но ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [] f = 0 f x = f x0, т.е. f x = const.

( ) ( ) ( ) ( ) 1.5.14.4. Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши).

Теорема. (теорема Коши) f x C a, b g x C a, b x a, b f x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( [ ]) ( [ ])( ) ( ) ( ) x a, b g x ( ) ( ) () - f a f f b ( ) ( ) ( ) a, b : = ( )g b - g a g () ( ) ( ) ( ) f b - f a f ( ) ( ) ( ) (Формула = называется обобщенной формулой конечных g b - g a g ( ) ( ) ( ) приращений (формулой Коши)).

Доказательство.

1) Докажем, что g(a)g(b). Предположим, что g(a)= g(b), тогда к функции y=g(x) применима теорема Ролля на сегменте [a,b], по этой теореме a, b :g = 0. Противоречие с условием теоремы g x 0 x a, b.

( ) ( ) ( )( ) Таким образом, g(a)g(b).

2) Рассмотрим вспомогательную функцию f b - f a ( ) ( ).F x = f x - f a - g x - g a.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [] g b - g a ( ) ( ) Для функции F(x) выполнены на сегменте [a,b] все условия теоремы Ролля, действительно:

1) F x C a, b ;

( ) [ ] f b - f a ( ) ( ) 2) x a, b F x :F x = f x - g x ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g b - g a ( ) ( ) 3) f b - f a ( ) ( ) F a = f a - f a - g a - g a = 0, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [] g b - g a ( ) ( ) f b - f a ( ) ( ) F b = f b - f a - g b - g a = 0.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [] g b - g a ( ) ( ) a, b :

( ) По этой теореме f b - f a f b - f a f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F = 0 f - g = 0 = ( ) ( ) ( ) g b - g a g b - g a g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Теорема доказана.

Замечание. Формула Лагранжа является частным случаем формулы Коши для g(x)=x. (Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа лишь формально, так как доказательство теоремы Лагранжа основано на теореме Ролля).

1.5.14.5. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя).

Раскрытие неопределенностей вида.

f x ( ) Будем говорить, что представляет собой при xa неопределенность g x ( ) вида, если lim f x = lim g x = 0.

( ) ( ) xa xa Теорема. (первое правило Лопиталя).

Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в про колотой окрестности U(a) точки а. Пусть, кроме того, lim f x = lim g x = ( ) ( ) xa xa f x ( ) и g (x) 0 x U(a). Тогда, если существует lim (конечный или бес xa g x ( ) f x ( ) конечный), то существует lim, причем справедливо равенст xa g x ( ) f x f x ( ) ( ) воlim = lim xa xa g x g x ( ) ( ) [(x U(a))(( f (x)) ( g (x)) (g (x) 0))] f (x) (lim (x) lim f = lim g(x) = 0) g xa xa xa (x) f (x) f (x) f (x) = lim lim xa xa xa g(x) lim g(x) g (x) Замечание 1. Предел отношений производных может не существовать, в то время, как предел отношения функций существует.

Пример 1. а=0, f x = x2 cos, g x = sin x ( ) ( ) x x2 cos f x ( ) x x lim = lim = lim lim x cos = xa x0 x0 x g x sin x sin x x ( ) 1 1 2xcos + sin 2xcos f x ( ) x x x lim = lim не существует, так как lim = xa xa x g x cosx cosx ( ) sin x, а lim не существует (см. пример 4 п.3.17.).

x cosx Замечание 2. Если производные f x и g x обладают теми же свойст ( ) ( ) вами, что и функции f(x) и g(x), то правило Лопиталя можно применить повторно f x f x f x ( ) ( ) ( ).

lim = lim = lim xa xa xa g x g x g x ( ) ( ) ( ) Пример 2.

1- cosx sin x cosx lim = lim = lim = x0 x x2 x0 2x 2 Замечание 3. Правило Лопиталя для неопределенности справедливо для случаев 1) ха+0, 2) ха-0, 3) х, 4) х -, 5) х +.

Раскрытие неопределенностей вида.

f x ( ) Будем говорить, что представляет собой при ха неопределенность g x ( ) вида, если lim f x =, lim g x =.

( ) ( ) xa xa Теорема 2. (второе правило Лопиталя).

Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в про € € колотой окрестности U(a) точки а и, кроме того, g (x) 0 U(a). Пусть, да лее, lim f x =, lim g x =. Тогда, если существует (конечный или бес ( ) ( ) xa xa f x ( ) конечный предел) lim = A, то существует xa g x ( ) f x f x f x ( ) ( ) ( ).

lim и lim = lim xa xa xa g x g x g x ( ) ( ) ( ) Замечание 4. Второе правило Лопиталя также имеет место для случаев 1) ха±0, 2) х, 3) х±. Изменения в доказательстве аналогичны теореме 1.

ln x x Пример 3. lim = lim = -2 lim x = 0.

1 x0+0 x0+0 x0+ x 2 x - Раскрытие неопределенностей других видов.

Кроме неопределенностей и, часто встречаются неопреде ленности вида: 0., -, 1, 0, 00. Все эти неопределенности сводятся к изученным выше двум неопределенностям. Рассмотрим неопределен ность вида -. Пусть имеем выражение f(x)-g(x), причем 1 g x f x 1 1 ( ) ( ), а это lim f x = + и lim g x = +, тогда f x - g x = - = ( ) ( ) ( ) ( ) xa xa 1 1 1 f x g x f x g x ( ) ( ) ( ) ( ) неопределенность вида.

Рассмотрим теперь неопределенности типа 1, 00, 0. Каждая из этих не определенностей имеет вид y=f(x)g(x), где при xa f(x)1;

0;

, a g(x) ;

0;

а. Логарифмируя это выражение (считая, что f(x)>0), получим lny=g(x)lnf(x). В любом из трех случаев это выражение представляет со бой при ха неопределенность вида 0.

Покажем теперь, как сводить эту неопределенность к виду и.

Итак, пусть z=(x) (x), причем lim (x) = 0, lim (x) = xa xa (x) (x) z = (x) (x) - =. Это неопределенности и.

1 (x) (x) ln x Пример 4. lim x-2x. Здесь y=x-2x, тогда ln y = -2xln x = - x0+ x ln x x lim ln y = lim (-2) = -2 lim = 2 lim x = 0 lim x-2x = 1.

x0+0 x0+0 x0+0 x0+ -1 x2 x0+ x 1.5.14.6. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха-Роша) Теорема. (Тейлора). Пусть функция f(x) имеет в некоторой окрестности точки а производную порядка n+1 (где n - любой фиксированный но мер). Пусть х - любое значение аргумента из указанной окрестности, р - произвольное положительное число. Тогда между точками а и х найдет ся точка такая, что справедлива следующая формула:

(2) (n) f (a) f (a) f (a) f(x) = f(a) + (x - a) + (x - a)2 +...+ (x - a)n + R (x), (1) n + 1! 2! n !

p n + x - a ( - x ) (n +1) где R (x) = f (). (2) n + x - n!p Формула (1) называется формулой Тейлора с центром в точке а, а Rn+1(x) - остаточный член в общей форме (форме Шлемильха-Роша).

Замечание.

1) Независимо от расположения точки x относительно а (справа или p x - a слева от точки а) > 0 и для любого p>0 определено x - a.

x - x - 2) Функция f(x) и ее производные непрерывны до порядка n включи тельно.

1.5.14.7. Остаточный член в форме Лагранжа, Коши, Пеано Запишем остаточный член в общей форме:

p n + x - a ( - x ) n + R (x) = f (), где a< Очевидно, найдется такое число ( зависит от x, n, p): 0<<1, что -a=(x-a). Отсюда =a+(x-a), x-=(x-a) - (x-a)=(x-a)(1-) и p n+ (x - a [] x - a)(1- ) (n +1) R (x) = f a + (x - a).

[] n + (x - a)(1- ) n!p (x - a)n=1(1- )n- p+ (n+1) Итак, Rn+1 (x) = f [a + (x - a)].

n! p (x - a)n +1 (n +1) 1. Пусть p=n+1, тогда R (x) = f a + (x - a) - остаточный член [] n + (n +1)!

в форме Лагранжа.

(x - a)n+1(1- )n (n +1) 2. Если p=1, то R (x) = f a + (x - a) - остаточный член в [] n + n!

форме Коши.

Отметим, что в этих формулах значения, вообще говоря, считаются различными, так как зависит от р, которое различно в этих формулах.

Сформулируем без доказательства следующую теорему.

Теорема. Пусть функция f(x) имеет производные до порядка (n-1) в не которой окрестности точки а и производную порядка n в самой точке а, тогда справедливо равенство R (x) = 0 - a)n (бесконечно малая при [(x ] n + ха более высокого порядка малости, чем (x - a)n ). Последняя формула есть остаточный член в форме Пеано.

Замечание. Запишем формулу Тейлора в несколько ином виде:

(2) (n) f (a) f (a) f (a) f(x) = f(a) + (x - a) + (x - a)2 +...+ (x - a)n + 1! 2! n!

p - a (x - )n +1 (n+1) x + f ().

x - n!p Пусть а=х0, х-а=х. Остаточный член запишем в форме Лагранжа, (2) (n) (n +1) f (x0) f (x0) f (x0) f (x0 + x) тогда f(x) - f(x0) = x + x2 +...+ xn + x, 1! 2! n! (n +1)!

где 0<<1. При n=0 приходим к формуле Лагранжа:

f(x) - f(x0) = f (x0 + x)x. Таким образом, формула Тейлора является обобщением формулы Лагранжа.

1.5.14.8. Формула Маклорена Формулой Маклорена называют формулу Тейлора с центром в точке а=0, т.е. формула Маклорена дает представление функции в окре стности точки х=0. Формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа, Коши и Пеано имеет вид:

(2) f (0) f (0) f (0) f(x) = f(0) + x + x2 +...+ xn + R (x), n + 1! 2! n !

где xn +1 (n +1) 1) R (x) = f (x) (0<<1) (остаточный член, запи n + (n +1)!

санный в форме Лагранжа).

xn +1(1- )n (n +1) 2) R (x) = f (x) (0<<1) (остаточный член, запи n + n!

санный в форме Коши).

3) R (x) = 0(xn ) (остаточный член, записанный в форме Пеано) n + 1.5.14.8.1. Оценка остаточного члена в форме Лагранжа.

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрест (n) ности точки х=0 и существует М>0 такое, что n N f (x) M x u, тогда n + x R (x) M.

n + (n +1)!

n + (n +1) f (x)xn +1 x (n +1) Действительно, R (x) = = f (x).

n + (n +1)! (n +1)!

(n +1) Здесь (0<<1), xuxu f (x) M, поэтому n + x R (x) M. (1) n + (n +1)!

n + x Замечание 1. lim = 0 при любом фиксированном x.

n (n +1)!

Докажем это. Положим n n + x x yn =, тогда yn +1 =.

n! (n +1)!

Так как х фиксированно, n0 N n N n n0 x < n +1.

()() ) ( Пусть nn0, тогда n + x n ! x yn + = = < 1 yn +1 < yn, yn (n +1)!x n n + т.е. начиная с номера n0 последовательность yn является убывающей.

{ } Так как, кроме того, эта последовательность ограничена снизу ( напри мер, числом нуль), то по теореме п.2.7. она имеет предел y.

Для нахождения предела заметим, что n +1 n x x x x yn +1 = = = yn.

(n +1)! n ! n +1 n + Переходя к пределу при n, получим y=0y, т.е. y=0.

n + x Таким образом, lim = 0 (2) n (n +1)!

Замечание 2. Из условий (1) и (2) следует. что, выбирая достаточно большой номер n, мы можем сделать Rn+1(x) как угодно малым. Таким образом, если заменить значение f(x) приближенным, равным (n) f (0) f (0) f(0) + x+...+ xn, 1! n!

то ошибка Rn+1(x) по абсолютной величине может быть сделана сколь угодно малой, если только в формуле Маклорена взято достаточно боль шое число членов.

1.5.14.8.2. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций 1) f(x)=ex, f(n)(x)= ex, f(n)(0)=1 nN, x x2 xn ex = 1+ + +...+ + R (x).

n + 1! 2! n !

Остаточный член в форме Лагранжа равен xn + R (x) = ex (0 < < 1).

n + (n +1)!

На любом сегменте [-r, r] (r>0) в силу того, что ex er < er, получим следующую оценку остаточного члена:

n + r R (x) < er.

n + (n +1)!

(n) 2) f(x)=sinx. Поскольку f (x) = sin(x + m ) (доказывается методом мате матической индукции), 0 для m = 2k (m) f (0) = sin m = k = 01,... (1), k (-1) для m = 2k + Формула Маклорена имеет вид:

x3 x5 x7 x2n + sin x = x - + - +...+(-1)n + R (x).

2n + 3! 5! 7! (2n +1)!

Мы записали R2n+3(x), а не R2n+2(x), т.к. все члены разложения с четны ми номерами в силу (1) равны нулю.

sinx + (2n + 3) 2 x2n + R (x) = x2n +3 = (-1)n +1 cosx.

2n + (2n + 3)! (2n + 3)!

2n + r На любом сегменте [-r, r] (r>0) R (x).

2n + (2n + 3)!

(m) 3) f(x)=cosx. Поскольку f (x) = cos(x + m ), 0 для m = 2k + (m) f (0) = cosm = k = 01,... (2), k (-1) для m = 2k Формула Маклорена имеет вид:

x2 x4 x6 x2n cosx = 1- + - +...+(-1)n + R (x).

2n + 2! 4! 6! (2n)!

Мы записали R2n+2(x), а не R2n+1(x), т.к. следующий за последним выпи санным слагаемым член многочлена Тейлора в силу (2) равен нулю.

cosx + (2n + 2) 2 x2n + R (x) = x2n +2 = (-1)n cosx 2n + (2n + 2)! (2n + 2)!

2n + r На любом сегменте [-r, r] R (x).

2n + (2n + 2)!

4) f(x)=ln(1+x) f (x) = = (1+ x)-1;

f (x) = (-1)(1+ x)-2;

f (x) = (-1)(-2)(1+ x)-3;

...;

1+ x (n -1)!

(n) (n) f (x) = (-1)n -1 ;

f(0) = 0, f (0) = (-1)n -1(n -1)!.

(1+ x)n Формула Маклорена имеет вид:

x2 x3 x4 xn ln(1+ x) = x - + - +...+(-1)n -1 + R (x).

n + 2 3 4 n Остаточный член запишем в формах Лагранжа и Коши (-1)n xn + R (x) = (в форме Лагранжа). (3) n + (n +1)(1+ x)n + (1- )n R (x) = (-1)n xn +1 (в форме Коши). (4) n + (1+ x)n + Пусть x(0, 1], тогда xn +1 R (x) < (следует из (3)), n + (n +1)(1+ x)n +1 n + т.к. x>0, < 1 (x = 0 R (0) = 0).

n + n + + x Оценим теперь R (x) на [-r, 0], где 0

n + Будем исходить из формы Коши для Rn+1(x).

Перепишем этот остаточный член в виде n 1- xn + R (x) = (-1)n.

n + 1+ x 1+ x 1- Заметим, что < 1 для x[-r, 0], 0- x+>0 (x+1)>0 x>- (что верно по предположению) n + r R (x) <.

n + 1- r Таким образом, Rn+1(x)0 при n x[-r, 1], где r<1.

5) f(x)=(1+x), где - вещественное число (n) f (x) = ( -1)...( - n +1)(1+ x)-n, (n) f (0) = ( -1)...( - n +1).

Формула Маклорена имеет вид:

( -1) ( -1)( - 2)...( - n +1) (1+ x) = 1+ x + x2 +...+ xn + R (x), n + 1! 2! n !

где остаточный член в форме Лагранжа равен ( -1)...( - n) R (x) = (1+ x)-(n +1) xn +1.

n + (n +1)!

В частном случае, когда =n - целое число, Rn+1(x)=0 и мы получим фор мулу бинома Ньютона n n(n -1) (1+ x)n = 1+ x + x2 +...+xn и 1! 2!

n 2 n x n x n(n -1) x x 1+ n n (a + x)n = a = a 1+ + +...+ a 1! a 2! a a или n n(n -1) n n -1 n - (a + x)n = a + a x + a x2 +...+xn.

1! 2!

Итак, общий случай бинома Ньютона является частным случаем форму лы Маклорена.

1.5.14.8.3. Приложения формулы Маклорена Приближенное вычисление числа е n def e lim1+. Ранее были установлены оценки 2 е<3. Положим в фор n n муле Маклорена для ex, х=1 и r=1, получим 1 e = 1 + +...+ + R (1), n + 1! n !

e где R (1) <.

n + (n +1)! (n +1)!

Выбирая номер n достаточно большим, получим приближенное значение e с любой наперед заданной точностью.

1.5.14.8.4. Вычисление пределов с помощью формулы Маклорена Из полученных нами ранее разложений по формуле Маклорена элемен тарных функций легко следуют более грубые разложения (с остаточным членом в форме Пеано).

x2 xn ex = 1+ x + +...+ + 0(xn ), 2! n !

x3 x5 x2n + sin x = x - + +...+(-1)n + 0(x2n +2), 3! 5! (2n +1)!

x2 x4 x2n cosx = 1- + -...+(-1)n + 0(x2n +1), 2! 4! (2n)!

x2 x3 x4 xn ln(1+ x) = x - + - +...+(-1)n -1 + 0(xn ), 2 3 4 n ( -1) ( -1)...( - n +1) (1+ x) = 1+ x + x2 +...+ xn + 0(xn ).

1! 2! n !

Эти разложения могут быть использованы при вычислении пределов функций при x0.

esin x - etgx Пример. Вычислить lim.

x x3(1+ sin3 x) Так как в знаменателе старшая степень x - третья, то в числителе нужно учитывать степени, не выше третьей.

Получим разложения функций, входящих в числитель, до членов с x3.

z2 z ez = 1+ z + + + 0(z3), 2! 3!

(sin x)2 (sin x) esin x = 1+ sin x + + + 0 x)3 (1) [(sin ].

2! 3!

sin x Так как lim = 1, 0[(sinx)3]=0(x3), x x далее, x sin x = x - + 0(x4).

3!

Подставляя это разложение в (1) будем иметь x3 x (x - + 0(x4 ))2 (x - + 0(x4 )) x 3! 3!

esin x = 1+ (x - + 0(x4 )) + + + 0(x3).

3! 2! 3!

Раскрывая скобки и учитывая, что xk0(xm)=0(xm+k)=0(xm), получим 1 1 esin x = 1+ (x - x3) + x2 + x3 + 0(x3), 6 2 esin x = 1+ x + x2 + 0(x3).

Получим теперь разложение tgx sin x x3 x tgx = = (x - + 0(x3)) (1- + 0(x3))-1 = cos x 6 x3 x = (x - + 0(x3))1+ (-1)(- + 0(x3)) + 0(x3) = 6 Здесь использовано разложение (1+z)-1=1-z+0(z) x3 x2 x3 x3 x = (x - + 0(x3))(1+ + 0(x3)) = x - + + 0(x3) = x + + 0(x3) 6 2 6 2 x3 1 1 1 etgx = 1+ (x + ) + x2 + x3 + 0(x3) = 1+ x + x2 + x3 + (x3).

3 2 6 2 Подставляя в заданную функцию полученные разложения, будем иметь 1 1 esin x - etgx 1+ x + x2 + 0(x3) - (1+ x + x2 + x3 + 0(x3)) 2 2 lim = lim = x x3(1+ sin3 x)x0 x3(1+ sin x) - x3 + 0(x3) = lim = -.

x x3(1+ sin3 x) В этом примере использование правила Лопиталя было бы затрудни тельным, в то время как применение формулы Маклорена опиралось только на известные разложения элементарных функций.

1.5.15. Исследование поведения функций с помощью производных.

1.5.15.1. Условие постоянства функций.

Теорема 1.

Пусть функция f(x) определена, дифференцируема на интервале Х, и f x = 0 на Х. Тогда функция f(x) является постоянной на Х.

( ) Доказательство. Пусть x0 - некоторая фиксированная точка из Х и х любая другая точка из Х. Для сегмента [x0, x] (или [x, x0]) удовлетворе ны все условия теоремы Лагранжа, следовательно, между точками х0 и х найдется точка, такая что f x - f x0 = f x0 - x. Так как f()=0, то для ( ) ( ) ( )( ) x X f x = f x0, т.е. значение функции f(x) в любой точке хХ равно ( ) ( ) ее значению в фиксированной точке х0, т.е. постоянна всюду в Х.

Замечание. Геометрический смысл теоремы: если касательная в каждой точке некоторого участка графика функции y=f(x) параллельна оси ОХ, то этот участок есть отрезок прямой, параллельный оси ОХ.

y y=f(x) x 0 a b 1.5.15.2. Признак монотонности функции Теорема. (Достаточное условие возрастания (убывания) функции на ин тервале Х).

Пусть функция f(x) 1) определена на интервале Х;

2) имеет на Х конечную производную f x ;

( ) 3) f x >0 ( f x <0) на Х.

( ) ( ) Тогда f(x) является возрастающей (убывающей) на интервале Х.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда f x <0 на Х. Возьмем лю ( ) бые два значения х1 и х2 из Х такие, что х1 < х2, тогда на сегменте [х1, х2] f(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, поэтому справед ливо равенство f x2 - f x1 = f x2 - x1, где - некоторая точка из (х1, ( ) ( ) ( )( ) х2): х1<< х2. Так как х2> х1, и f < 0, то fx2 < f x1, что означает убы ( ) ( ) ( ) вание функции на множестве Х.

Для случаев f x >0 на Х доказательство проводится аналогично.

( ) Замечание 1. Положительность (отрицательность) производной f x на ( ) Х не является необходимым условием возрастания (убывания) функции f(x), т.е. если на некотором участке функция возрастает (убывает), то отсюда не следует, вообще говоря, что на этом участке производная этой функции всюду положительна (отрицательна).

y y=x x Рис. Например, для возрастающей на всей числовой оси функции y = x3 про изводная в точке х=0 обращается в 0:y = 3x2 = 0 (рис.1).

x=0 x= Замечание. Геометрическая интерпретация теоремы: поскольку произ водная функции представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции, то знак производной показывает острый (если f x ( ) >0) или тупой (если f x <0) угол с положительным направлением оси ( ) ОХ составляет касательная к f(x). В соответствии с этим, кривая идет вверх (функция f(x) возрастает) или вниз (функция f(x) убывает). В от дельных точках при этом касательная может быть параллельной оси ОХ, что соответствует обращению в нуль производной функции f(x) (рис.2,3) y y.

Рис.2 Рис. 1.5.15.3. Экстремум дифференцируемой функции Необходимое условие экстремума функции в точке : если f(x) дифференцируема в точке С и имеет в этой точке локальный экстремум, то f c = 0. Таким образом, экстремум дифференцируемой функции сле ( ) дует искать лишь в тех точках, где производная равна нулю. Такие точки называются стационарными. Заметим, что если точка стационарна, то отсюда, вообще говоря, не следует, что в этой точке функция достигает экстремума, т.е. указанное необходимое условие экстремума функции не является достаточным (для f(x)=x3 в точке х=0 экстремума нет, однако f 0 = 3x2 = 0 ).

( ) x= Теорема 1. (первое достаточное условие экстремума дифференцируемой функции).

Пусть функция y=f(x).

1) дифференцируема всюду в некоторой окрестности т. С.

2) т. С - стационарная, т.е. f (c) = 0, тогда а) если существует окрест ность, в которой производная f (х) положительна (отрицательна) слева от точки С и отрицательна (положительна) справа от точки С, то функ ция f(x) имеет в т. С локальный максимум (минимум) (рис. 1,2);

б) если же производная f (х) имеет один и тот же знак слева и справа от точки С, то экстремума в т. С нет (рис.3,4).

y y y y ма кс.

экстр. нет экстр.нет f (x) > 0 f (x) < 0 f (x) < 0 f (x) > f (x) > 0 f (x) < f (x) > 0 f (x) < мин.

c x с x c x c x Рис.1 Рис.2 Рис.3 Рис. Доказательство. Докажем теорему для точки максимума. Пусть f (х) положительна в окрестности слева от точки С и отрицательна справа от точки С. f x > 0 x < C и f x < 0 x > C. Обозначим через х0 -любое ( ) ( ) значение аргумента из окрестности х0>С. На сегменте [C,x0] функция f(x) дифференцируема, следовательно, и непрерывна, поэтому по теоре ме Лагранжа f C - f x0 = f C - x0, (1) ( ) ( ) ( )( ) где - некоторое значение аргумента между точками С и х0.

Аналогично рассматривается случай х0

При х0>С f < 0, C - x0 < 0, поэтому f(C)>f(x0). Это и означает, что ( ) в точке С f(x) имеет локальный максимум.

Теорема 2. (второе достаточное условие экстремума).

Пусть функция y=f(x) 1) имеет производную всюду в некоторой окрестности т. С;

2) т. С - стационарная: f (c)=0;

3) имеет конечную вторую производную в т. С.

Тогда, если f C < 0, то в т. х=С f(x) имеет локальный максимум, ( ) если же f C > 0, то в точке х= С f(x) имеет локальный минимум.

( ) Замечание. Теорема 2 не дает ответ о наличии экстремума в том случае, когда f C = 0 или не существует в т. х= С. В этом случае поведение ( ) функции в т. С следует изучить с помощью первого достаточного усло вия экстремума.

x Пример. Найти экстремум функции y = 4x + x2 - - x3. Вычислим про изводную: y = 4 - 3x2 - x3 + 2x. Производная определена и дифференци руема на всей числовой оси. Найдем стационарные точки, решив урав нение y x = 0. 4-3x2 - x3 + 2x = 0 или x + 3x2 - 2x - 4 = 0. Рассматриваем ( ) делители свободного члена : ±1;

±2. Отсюда получаем корень х1=-1.

Деля x3 + 3x2 - 2x - 4 на х+1,получим: x3 + 3x2 - 2x - 4 = x +1 x2 + 2x - ( ) () x3+3x2-2x-4 x+ Решая квадратное уравнение x2+2x-4=0, по x3+x2 x2+2x- лучим x2=-1+ 5, x3=-1- 2x2-2x- 2x2+2x Итак, имеем:

-4x- y(x) = -(x +1+ 5)(x +1)(x +1- 5) -4x- Определим участки возрастания и убывания функции и исследуем функцию на экстремум.

+ + — — -1- 5 -1- - x - (-,-1- 5 ) -1- 5 (-1- 5,-1) (-,-1+ 5 ) -1+ 5 (-1+ 5,+) + 0 + 0 — 0 + y y 4 лок. лок. лок.

Рис. макс. мин. макс.

y -1- 5 -1+ -1 x Пример 2. Найти экстремум функции y = x3 - 3x2 - 4. Находим произ водную y = 3x2 - 6x = 3x x - 2. Стационарные точки х1=0 и х2=2. Вычис ( ) лим y = 6x - 6 = 6 x -1. Так как y 0 = -6 < 0 и y 2 = 6 > 0, то в т. х=0 - ( ) ( ) ( ) локальный максимум, а в точке х=2- локальный минимум.

y 2 x - - 1.5.15.4. Экстремум функции, недифференцируемой в данной точке Теорема. Пусть функция у=f(x).

1) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки С, за исклю чением, быть может, самой точки С;

2) непрерывна в точке С.

Тогда, если существует окрестность точки С, в пределах которой производная f x положительна (отрицательна) слева от точки С и от ( ) рицательна (положительна) справа от точки С, то функция f(x) имеет в точке С локальный максимум (минимум). Если же производная f x ( ) имеет один и тот же знак слева и справа от точки С, то экстремума в точке С нет.

Замечание. Требование 2) непрерывности функции в точке С сущест венно, ибо отсутствие этого требования может привести к функциям (см. рис. 1), не имеющим экстремума в т. С.

y • c x Рис.1.

Пример. Найти точки экстремума функции y = x3.

Эта функция непрерывна на всей y бесконечной прямой (см.рис.2), y = x дифференцируема всюду на этой прямой, за исключением точки х=0.

0 x Производная функции при x 0 y =. В точке х=0 эта про 33 x Рис изводная имеет разрыв 2-го рода.

. Поскольку при x < 0 y < 0, а при x > 0 y > 0, то, следовательно, в си лу теоремы в точке х=0 функция имеет минимум.

Замечание. Сформулируем общую схему нахождения точек экстрему ма.

Пусть функция f(x).

1) непрерывна на множестве Х;

2) производная f x существует и непрерывна внутри Х всюду, кроме ( ) быть может, конечного числа точек;

3) пусть производная f x обращается в 0 внутри Х лишь, может быть, ( ) для конечного числа точек.

Обозначим через х1,х2,...хn точки, в которых производная не суще ствует или равна нулю, а через a и b - концы Х (a и b могут быть и бес конечными).

a x1 x2 x3 xi xi+1 xi+2 b x На каждом интервале (а1х1),(х1х2),...(xi-1xi),...)(xnb) производная f x в ( ) силу условий 1)-3) сохраняет постоянный знак. Поэтому вопрос о нали чии экстремума в каждой точке хi может быть решен при помощи рас смотренных достаточных условий.

1.5.15.5. Направление выпуклости графика функции Пусть функция f(x) дифференцируема в любой точке интервала (а,b), тогда через любую точку М(х, f(x)) этого графика функции можно провести касательную к графику функции f(x), причем эта касательная не параллельна оси OY, т.к. ее угловой коэффициент конечен, ибо равен производной f x.

( ) Определение. Говорят, что график функции f(x) имеет на (a,b) выпук лость направленную вниз (вверх), если график этой функции в пределах (a,b) лежит не ниже (см. рис 1,2) (не выше) любой своей касательной.

y y a b x a b x Рис.1 Рис. Теорема 1. Пусть функция y=f(x) имеет на интервале (a,b) конечную вторую производную, тогда если f x 0 x a, b f x 0 x a, b, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) то график функции y=f(x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную вниз (вверх).

( ) ( ) Замечание. Если f x = 0x (a, b), то y= f x - линейная функция, т.е. ее графиком является прямая линия. В этом случае направление выпукло сти можно считать произвольным.

Пример. f x = x3 - 3x2 - 4;

f x = 3x2 - 6x = 3x x - 2 ;

f x = 6x - 6 = 6 x - ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Таким образом, при x > 1 f x > 0, а при x<1 f x < 0 и, следовательно, при -< х<1 график функции имеет выпуклость вверх, а при 1<х< вниз (см. рис.4).

y 1 2 x - - - Рис. 1.5.15.6. Точки перегиба графика функции Предположим, что график функции y=f(x) имеет определенное направ ление выпуклости на каждом из интервалов (а,с) и (с,b), где числа а,b,c связаны неравенствами a

Пусть график функции y=f(x) •M имеет перегиб в точке М(с,f(c)) и функция y=f(x) имеет в точке С не прерывную вторую производную то c x гда f (с)=0.

Рис. Замечание1. Равенство нулю второй производной не является доста точным условием перегиба. Например, для функции y=x4 в точке (0,0) нет перегиба, однако y 0 = 12x2 = 0. (см. рис. 2) ( ) x= Замечание 2. Все точки перегиба дважды y непрерывно дифференцируемой функции находятся среди точек, в которых вторая производная равна нулю.

0 x 1.5.15.7. Теоремы о достаточных условиях перегиба графика функции Теорема 1. (первое достаточное условие перегиба).

Пусть функция f(x) 1) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки С;

2) f с = 0, тогда, если существует окрестность, в пределах которой ( ) вторая производная f x имеет разные знаки слева и справа от точки C, ( ) то график этой функции имеет перегиб в точке М(с,f(с)).

Замечание 1. Сформулируем обобщение теоремы 1. При определении точки перегиба будем считать, что касательная к графику функции в рассматриваемой точке может быть параллельной оси 0y (т.е.f с = ± ).

( ) Пусть функция f(x): 1) имеет конечную вторую производную всюду в некоторой окрестности точки С, за исключением, быть может, самой точки С;

2) функция f(x) непрерывна в точке С;

3) график функции име ет касательную в точке М(с,f(с))(может быть и параллельно оси 0y). То гда, если существует окрестность точки С, в пределах которой f x ( ) имеет разные знаки слева и справа от точки С, то график функции y=f(x) имеет перегиб в точке М(с,f(с)).

Замечание 2.

Пункт 2 в условии теоремы ис y y ключает случай, приведенный на рис. 1, а пункт 3 - на рис. M (слева от точки С график функ M ции касается прямой х=С в точ ке М, а справа касания нет) C x C x Рис. 1 Рис. Пример. Найти точки перегиба графика функции y = x.

Так как y x = x2, то в точке х= ( ) y y = + и график функции касается в точке (0,0) оси ОУ. y x = - и поэтому ( ) 93 x ( ) y x > 0 при x < 0 и y < 0 при x > 0, а в 0 x точке х=0 y x =.

( ) x= Рис. Отсюда следует, что точка (0,0) является точкой перегиба;

слева от этой точки график функции имеет выпуклость вниз, а справа вверх.

1.5.15.8. Асимптоты графика функции Определение 1. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой гра фика функции y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений lim f x и lim f x равно + или -.

( ) ( ) xa +0 xa- Пример. y =. Так как y x lim = - и lim = +, то прямая х=0 - x0-0 x0+ xx x вертикальная асимптота графика функ ции y =. (см. рис. 1) x Рис. Определение 2. Пусть функция y=f(x) определена для всех x>a (x

Прямая Y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при х + (х - ), если функция f(x) представима в виде f x = kx + b + ( ) x, г де lim ( ) x = 0 lim ( ) x = ( ) ( ).

x+ x Теорема. Для того, чтобы график функции y=f(x) имел при х + (х -) наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы суще ствовали два предела:

f x f x ( ) ( ) lim = k xlim = k и lim f x - kx = b lim f x - kx = b ( ) ( ) [] [] ().

x+ - x+ x x x Доказательство. Необходимость. Пусть график функции y=f(x) имеет асимптоту, для определенности, при х +, т.е. f(x) может быть пред ставлена в виде f x = kx + b + ( ) ( ) x, lim x = ( ) x+ f x kx + b + ( ) x ( ) x ( ) b lim = lim = lim + + = k k x x x+ x+ x+ x x lim f x - kx = lim b + ( ) x = b ( ) [] [] x+ x+ f x ( ) Достаточность. Пусть существует lim = k и lim f x - kx = b, тогда ( ) [] x+ x+ x f(x)-kx=b+(x) и lim ( ) x = 0. Отсюда следует, что f(x)=kx+b+(x), где x+ (x) - бесконечно малая функция при х +.

Замечание. Расположение графика относительно асимптоты при боль ших х определяется знаком разности =f(x)-kx-b >0 <0 меняет знак при сколь угодно больших х.

При х - аналогично >0 <0 меняет знак при сколь угодно больших по абсолютной величине х.

Расположение графика относительно вертикальных и наклонных асим птот позволяет проверить исследование функции на экстремум, а также на направление выпуклости графика.

1.5.15.9. Примеры построения графиков функций Будем проводить построение графиков функций, последовательно отвечая на вопросы, сформулированные ниже.

1. Построить график функции y = x2 x - ( ) 1. Область определения:

- < х < +;

2. Периодичность: функция не периодическая;

3. Четность: функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку f(x) f(-x) и f(x) -f(-x);

4. Точки пересечения с осями ОХ и OY.

x = x = 0 x = с осью ОХ: с осью OY: ;

y = y = 0y = 5. Непрерывность: функция непрерывна х(-,+);

6. Асимптоты: функция не имеет ни вертикальных, ни наклонных асим птот;

7. Участки монотонности функции, нахождения экстремума.

y x = 2x x - 4 + 2x2 x - 4 = 2x x - 4 x + x - 4 = 4x x - 4 x - ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Стационарные точки функции: х1=0, х2=2, х3=4.

Составим таблицу x 0 (0, 2) 2 (2, 4) (-, 0) (4, ) — 0 + 0 — 0 + y лок.

Рис. лок. макс. лок.

мин. мин.

y 0 16 Здесь и означают убывание и возрастание функции на со ответствующих интервалах.

Примерный график функции представлен на рис.1.

y 8. Нахождение точек перегиба:

участки выпуклости вверх и вниз графика функции. Вычисляем y x.

( ) y x = 4 x - 2 x - 4 + x x - 4 + x x - ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ] 0 1 2 x = 4 x2 - 6x + 8 + x2 - 4x + x2 - 2x = () Рис. = 4 3x2 -12x + () 2 3 ± ( ) Приравняем нулю y x : 3x2 -12x + 8 = 0;

x12 - = 21± ( ), 3 2 3 2 Таким образом y x = 4x - 2 + x - 2 - ( ) 3 Составим таблицу 2 3 2 2 x 2 3 2 3 2 2 + -,2 - 2 - -,2 + 3 2 3 3 3 2 + 3,+ y + 0 — 0 + Рис. • • 64 y 9 Окончательный график функции представлен на рис. 2.

y x 0 2 x1 x Рис. x3 + x2 - 3x + 3. Построить график функции y = x2 - 1. Область определения: х±1.

2. Четность: функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Периодичность: функция не является периодической.

4. Точки пересечения с осями координат: x3 + x2 - 3x +1 = x1 = 1, x2 = -1- 2, x3 = -1+ Так как х 1, то точки пересечения x = -1- 2 = -1+ x x3+x2-3x+1 x- C осью ОХ y = 0 y = x3-x2 x2+2x- x = 2x2-3x+ С осью OY.

2x2-2x y = - -x+ -x+ 5. Непрерывность: функция имеет разрывы в точках х=±1.

Исследуем характер точек разрыва x ( -1 x2 + 2x - ) ( ) x3 + x2 - 3x + lim = lim = + x-1-0 x-1- x2 -1 x ( -1 x + )( ) х=-1;

x2 + 2x - () x3 + x2 - 3x + lim = lim = x-1+0 x-1+ x2 -1 x + ( ) Точка х=-1 - точка разрыва 2-го рода Пусть х= x3 + x2 - 3x +1 x2 + 2x - lim = lim = x±0 x± x2 -1 x + Точка х=1 - точка устранимого разрыва.

6. Асимптоты.

х=-1 - вертикальная асимптота.

Наклонные асимптоты.

1 3 1+ - + f x ( ) x3 + x2 - 3x + x x2 x3 k = lim = lim = lim = x x x x x x2 - ( ) 1 x x3 + x2 - 3x -1 x3 + x2 - 3x +1- x3 + x b = lim f x - kx = lim - x = lim = ( ) [] x x x x2 -1 x2 - 1 x ) x2 - 2x +1 ( - x = lim = lim = lim = x x x x2 -1 x ( -1 x +1 )( ) 1 + x Уравнение наклонной асимптоты у=х+1.

7. Участки монотонности, локальный экстремум функции.

3x2 + 2x - 3 x2 -1 - x3 + x2 - 3x +1 2x ()( ) ( ) x3 + x2 - 3x + y = = = x2 - x2 - ( ) 3x2 + 2x - 3 x -1 x +1 - 2x x -1 x2 + 2x - ( )( ) ( ) () () = = 2 x ( -1 x + ) ( ) x ( -1 x2 + 2x + ) () 3x3 + 5x2 - x - 3 - 2x3 - 4x2 + 2x x3 + x2 + x - = = = = 2 2 x ( -1 x +1 x )( ) ( -1 x +1 x )( ) ( -1 x + )( ) x2 + 2x + = x + ( ) x2 + 2x + x3+x2+x-3 x- Итак, y x = ( ) x + x3-x2 x2+2x+3 ( ) 2x2+x- Отсюда следует, что 2x2-2x x y x 0 и стационарных ( ) 3x- точек функция не имеет.

3x- 0 При х=-1 y x не существу ( ) ет.

Составим таблицу x (-, -1) - (-1, ) y + не сущ. + Рис.

8. Нахождение точек перегиба;

участки выпуклости вверх и вниз графи ка функции.

x + 2x + 3 2x + 2 x +1 - x2 + 2x + 3 2 x + ( )( ) ( ) () y x = = = ( ) 2 x +1 x + ( ) ( ) 2 x +1 - 2 x2 + 2x + ( ) () - 2x +1- x2 - 2x - 3 x = = 2 = x + ( ) x +1 x + ( ) ( ) y x > 0 x ( ) (-,-1 и y x < 0 x ) ( ) (-1, ) y x 0x ( ) (-,- ) (-1, ) Составим таблицу x (-, -1) - (-1, ) y + — Рис.

x3 + x2 - 3x + График функции y = приведен на рис. 2x2 - y 2 -1- 1 1+ 1 x - Рис. 1.6. Неопределенный интеграл 1.6.1. Первообразная функция Пусть функция f(x) определена на множестве М, которое является либо интервалом (конечным или бесконечным), либо сегментом.

Замечание. Рассмотрение сегмента необходимо для применения неоп ределенного интеграла в дальнейшем для вычисления определенного интеграла.

Определение. Функция F(x) называется первообразной (функцией) для функций f(x) на множестве М, если она дифференцируема в каждой точ ке х множества М и F (x) = f(x) x M.

Замечание. В концевых точках сегмента рассматриваются односторон ние производные.

Пример. f(x)=2x F(x) = x2 x (-,+) Действительно:

F (x) = 2x x (-+), Очевидно, что если F(x) является первообразной для функций f(x) на множестве М, то F(x)+C (C = const) также является первообразной для f(x) на множестве М F(x) + C = F (x) = f(x).

[] Теорема 1. Пусть F1(x) и F2(x) - любые первообразные для функции f(x) на множестве М, тогда F1(x) - F2(x) = С x M, где С = const.

Доказательство. Положим, G(x)= F1(x) - F2(x), тогда G(x) дифференци руема на М (в случае сегмента в концевых точках существуют односто ронние производные) и G (x) = F1(x) - F2(x) = F1 (x) - F2(x) = f(x) - f(x) = 0 x M, () откуда следует, что G(x)=C =const x M, т.е.

F1(x) - F2(x) С=const x M.

Теорема доказана. Таким образом показано, что любые первообразные для одной и той же функции на множестве М могут отличаться лишь на константу.

Следствие. Если F(x) - одна из первообразных для f(x) на множестве М, то любая первообразная (х) для f(x) на М представляются в виде (х)=F(x)+C, где С - некоторая константа.

1.6.2. Неопределенный интеграл Определение. Совокупность всех первообразных функций f(x) на мно жестве М называется неопределенным интегралом от функции f(x) (на этом множестве) и обозначается символом f(x)dx В этом обозначении знак называется знаком интеграла, выра жение f(x)dx - подынтегральным выражением, а функция f(x) - подынте гральной функцией.

Если F(x) - одна из первообразных функций для функции f(x) на множестве М, то в силу следствия из теоремы п.1.1.

f(x)dx = F(x) + C (1) где С - любая постоянная. Это равенство следует понимать как равенст во двух множеств, точнее следовало бы записать так:

f(x)dx = {F(x) + C}.

Пример.

cosdx = sin x + C - < x < +.

Замечание. Если F(x) - первообразная функции f(x) на множестве М, то в формуле (1) под знаком интеграла стоит дифференциал функции F(x), действительно: dF = F (x)dx = f(x)dx.

Будем считать по определению, что (2) f(x)dx F (x)dx dF(x) 1.6.3. Основные свойства неопределенного интеграла 10. Пусть функция F(x) дифференцируема на М, тогда dF(x) = F(x) + c или F (x)dx = F(x) + c Cправедливость этих равенств вытекает из соотношений (1), (2) п.1.2.

20. Пусть функция f(x) имеет первообразную на множестве М, тогда d f(x)dx = f(x)dx Здесь под интегралом f(x)dx понимается любая первообразная F(x) функции f(x). Справедливость этой формулы очевидна в силу определе ния первообразной: так [ ] f(x)dx = F(x) + c df(x)dx = d F(x) + c = dF(x) = F (x)dx = f(x)dx.

30. Если функции f1(x) и f2(x) имеют первообразные на М, то и функция f1(x) + f2(x) также имеет первообразную на М, и f1 x + f2 x dx = x dx + x dx (1) ( ) ( ) [] 1 f ( ) f ( ) Это равенство означает совпадение двух множеств функций, т.е., что сумма каких-либо первообразных для функций f1(x) и f2(x) является пер вообразной для функции f1(x) + f2(x), и наоборот, всякая первообразная для функции f1(x) + f2(x) является суммой некоторых первообразных для функций f1(x) и f2(x).

Доказательство. Пусть x dx = F1 x + c1, x dx = F2 x + c2;

( ) ( ) 1 f ( ) f ( ) Положим F(x)=F1(x)+F2(x), тогда F(x) дифференцируема на М и F x = F1 x + F2 x = F1 x + F2 x = f1 x + f2 x x M, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () т.е F(x) является первообразной функции f1(x) + f2(x) на М. Таким обра зом, f1 x + f2 x dx = F x + c = F1 x + F2 x + c, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () f (x)dx + f (x)dx = F1(x) + c1 + F2(x) + c2 = F1(x) + F2(x) + c1 + c Так как с1+с2 - также произвольная постоянная, то множества F1 x + F2 x + c1 + c2 и F1 x + F2 x + c совпадают.

( ) ( ) ( ) ( ) {} {} Свойство 30 доказано. Аналогично доказывается, что f1 x - f2 x dx = x dx - ( ) ( ) ( ) [] 1 f ( ) f x dx.

40. Если функция f(x) имеет первообразную на М и аR, то функция аf(x) также имеет на М первообразную, причем а0 имеет место равен ство (2) af(x)dx = af(x)dx Доказательство. Пусть ( ) f(x)dx = F(x) + c, тогда aF(x) = aF (x) = af(x).

Таким образом a () f(x)dx = a F(x) + c = aF(x) + ac, af(x)dx = aF(x) + c1.

Так как а0, то ас также является произвольной постоянной, и множест ва aF x + ac, aF x + c совпадают. Свойство 40 доказано.

( ) ( ) {} {} Свойства 30 и 40 выражают свойства линейности неопределенного инте грала относительно подынтегральной функции.

Вопрос о существовании первообразных остается пока открытым.

1.6.4. Таблица основных неопределенных интегралов Ранее мы получили таблицу. Каждая формула таблицы производ ных простейших элементарных функций, устанавливающая, что та или иная функция F(x) имеет производную f(x), приводит нас, в силу опре деления неопределенного интеграла, к соответствующей формуле инте грального исчисления f(x)dx = F(x) + c Таким образом, приходим к следующей таблице интегралов.

1.

0dx = c 2. = x + c 1dx x+ x dx = + c ( -1) 3.

+ П > 0 ln x = ln x и lnx =.

ри x ( ) dx x 4. = ln x + c x П < 0 ln x = ln и ln = - = ри x (-x ) (-x ) (- ) [ ] xx x a x x 5. dx = + c 0 < a 1, dx = ex + c a ln a () e 6. xdx = -cosx + c sin 7.

cosxdx = sin x + c dx 8. = tgx + c + n, n x cos2 x dx 9. = -ctgx + c x n, n () sin2 x arcsin x + c dx 10. = (-1

1+ x3 = -arcctgx + c dx 12. = ln x + x2 ±1 + c (x>1 в случае знака “-“) x2 ± dx 1 1+ x 13.

( ) 1- x2 = ln 1- x + c x 14.

shxdx = chx + c 15.

chxdx = shx + c dx 16. = thx + c ch2x dx 17. = -chx + c sh x Замечание 1. Доказательство формул 12 и 13 следует провести непо средственным дифференцированием правых частей и проверкой совпа дения результата с подынтегральными функциями слева.

Замечание 2. Операция дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций, однако можно доказать, что интегралы от неко торых элементарных функций уже не являются элементарными функ циями, например, -x e dx - интеграл Пуассона.

Теорема 2. Пусть функция (х) определена и дифференцируема на множестве М. Пусть, далее, для функции g(u) существует первообразная функции G(u) на множестве U = x x M,т.е ( ) { } g(u)du = G(u) + c.

Тогда на множестве М для функции g x x существует первообраз ( ) ( ) ( ) ная, равная G[(x)], т.е.

( ) ( ) g (x) (x)dx = G (x) + c или (1) ( ) u= x g (x) (x)dx = g(u)du ( ) Доказательство. По теореме о производной сложной функции имеем d G x = G u x.

( ) ( ) ( ) ( ) {} u u = x ( ) dx Но G u по определению первообразной есть g(u), поэтому ( ) u d G x = g u x = g x x.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) {} u = x ( ) dx Таким образом, G((x)) является первообразной функции g x x на ( ) ( ) ( ) множестве М, и формула (1) доказана.

Существует два варианта метода замены переменной.

а) Метод подведения под знак дифференциала.

Пусть требуется вычислить интеграл f(x)dx. Предположим, что существует дифференцируемая функция (х) и функция g(u) такие, что подынтегральное выражение f(x)dx может быть записано в виде f x dx = g x x dx = g x d x = g u du ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (это преобразование называется подведением (х) под знак дифферен циала). По теореме 2 имеем ( ) u = x f(x)dx = g (x) (x)dx = g(u)du ( ) Поэтому вычисление f(x)dx сводится к вычислению интегралаg(u)du (который может оказаться проще исходного) и последующей подста новке u=(x).

Пример.

u4 sin4 x 33 u =sin x u =sin x sin x cosxdx = sin xd sin x = u du = + c = + c Пример.

d x2 + x d x2 + x - ( ) ( ) 2x +1 du dx = = == u =x2 +x- x2 + x - 3 x2 + x - 3 x2 + x - 3 u = ln u + c = ln x2 + x - 3 + c.

u =x2 +x- б) Метод подстановки. Пусть требуется вычислить интеграл f(x)dx.

Введем новую переменную u формулой x=(u), где (u) строго моно тонная, дифференцируемая функция.

Подставим x=(u) в исходное подынтегральное выражение, полу чим f x dx = f u u du = g u du ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) По теореме 2 справедливо равенство ( ) f(x)dx = f (u) (u)du = g(u)du u =-1(x) u =-1 x ( ) т.е. вычисление интеграла f(x)dx сводится к вычислению интеграла g(u)du (который может оказаться проще исходного) и последующей подстановке u=-1(x) 1+ x Пример 1+ x dx, x>0. Положим x=u2 u(0,+);

u2 строго монотонна на этом множестве dx = u2 du = 2udu, u = -1(x) = x, откуда ( ) 1+ x u + u du du = 2 - u + 2)du - 4 = 1+ x dx = 2(u u +1 u + 1 = u - u2 + 2u - 4 ln u +1 + c = 2 ( ) u = x 3 1.

= 2 x3 2 - x + 2x1 2 - 4 ln x +1 + c ( ) 3 Конечно, такой прием применим не ко всякому интегралу. Кроме того, следует подчеркнуть, что выбор правильной подстановки в значи тельной мере определяется искусством вычислителя.

Рассмотрим еще один пример, который позволит нам расширить таблицу интегралов x d dx 1 dx 1 1 du a = = = x 2 2 2 2 1+ u2 = u = a + x2 a a a x x a 1+ 1 + a a 1 1 x 1 x = arctgu + c = arctg + c = - arcctg + c x u= a a a a a a Аналогично вычисляются следующие интегралы:

dx 1 x - a = ln + c x2 - a 2a x + a dx x x.

= arcsin + c = -arccos + c, x < a a a - x2 a dx = ln x + x2 ± a + c x2 ± a 1.6.5. Интегрирование по частям Теорема. Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы на множестве М и, кроме того, на этом множестве существует первообразная для функ ции v(x)u (x). Тогда на множестве М существует первообразная для функции u(x)v(x) и справедлива формула v(x)u (x)dx (1) u(x)v(x)dx = u(x) v(x) - Замечание 1. В концевых точках множества М (если М - сегмент) рас сматриваются односторонние производные.

Замечание 2. Определение дифференциала и свойство инвариантности его формы позволяют записать эту формулу в виде udv = u(x)v(x) - vdu Доказательство теоремы. Запишем формулу для производной произ ведения функций u(x) и v(x).

u(x)v(x) = u(x)v(x) + u (x)v(x);

u(x)v(x) = u(x)v(x) - u (x)v(x).

[] [] Умножим последнее равенство на dx и возьмем интеграл от обеих час тей полученного равенства. Так как по условию на М существует v(x)u (x)dx, и [u(x)v(x)] dx = u(x)v(x) + c, то на М существует u(x)v(x)dx и справедлива формула u(x)v(x)dx = u(x) v(x) + c - u (x)v(x)dx Включая произвольную постоянную С в (x)v(x)dx, получим формулу u (1).

Формула (1) сводит вопрос о вычислении интеграла к вы udv числению интеграла. В ряде конкретных случаев этот последний vdu интеграл проще исходного.

Вычисление интеграла посредством применения формулы udv (1) называют интегрированием по частям.

Примеры:

n 10. J = ln xdx (n -1) x dx xn + u=lnx, dv=xndx;

du =, v = x n + xn +1 1 xn +1 J = ln x - xndx = + C ln x - n +1 n +1 n +1 n + dx x 20. J = xarctgxdx;

u = arctgx, dv = xdx;

du = 1+ x2, v = (1+ x2) - x2 1 x2 x2 1 [ ]dx = J = arctgx 1+ dx = arctgx - 2 2 x2 2 2 1+ x x2 1 1 1 x2 +1 x = arctgx - dx + 1+ dx = 2 arctgx - + C 2 2 2 x2 30. J = cosxdx = d sin x = x2 sin x - 2 sin xdx = x x x Еще раз применим формулу интегрирования по частям = x2 sin x + 2 xd cosx = x2 sin x + 2xcosx - 2sin x + C x 40. J = cosxdx;

u = ex, dv = cosxdx;

du = exdx, v = sin x e x J = ex sin x - sin xdx e Еще раз применим формулу интегрирования по частям u = ex, dv = sin xdx;

du = exdx, v = -cosx J = ex sin x + ex cosx - J Это равенство понимается как равенство множеств (т.е. как равен ство представителей множеств J и exsinx+excosx-J) c точностью до про извольной постоянной, поэтому отсюда получаем sin x + cosx J = ex + C -x 2 50. J = a - x2dx;

u = a - x2, dv = dx;

du =, v = x a - x x2dx 2 J = a - x2dx = x a - x2 + a - x Добавим и вычтем а2 в числителе подынтегральной функции интеграла, стоящего в правой части равенства;

тогда, произведя деление на a - x2, будем иметь 2 x2dx a - (a - x2)2 dx x 2 = dx = a - a - x2dx = a arcsin - J Под 2 2 a a - x2 a - x2 a - x ставим это выражение в формулу (2), получим x 2 J = x a - x2 + a arcsin - J a Отсюда x ax 2 J = a - x2dx = a - x2 + arcsin + C 22 a 60. Проводя аналогичные вычисления, легко получить, что a 2 2 a ± x2dx = x a ± x2 ± ln x + a ± x2 + C P(x) Теорема 3. Пусть - правильная рациональная дробь с веще Q(x) ственными коэффициентами, знаменатель которой имеет вид:

11 n m Q(x) = (x - b1)...(x - bm ) (x2 + p1x + q1)...(x2 + pnx + q ) n Тогда для этой дроби справедливо следующее разложение на сумму простейших дробей:

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.