WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 ||

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ ИМ. В.А. ТРАПЕЗНИКОВА А.А. Воронин, С.П. Мишин ОПТИМАЛЬНЫЕ ИЕРАРХИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ Москва 2003 УДК 519 ББК 22.183.43 + 65в641 В75 ...»

-- [ Страница 3 ] --

Рассмотрим g = {ai, a }V, i < j, тогда g,{ai}VD. Включим j ребро e = ({ai}, g) в ED. Снова имеем P(QG (g)) = (e). Для {ai}VD включим ребро e = (,{ai}) в ED, (e) = 0. По построению в каждую вершину D, кроме корня, входит ровно одно ребро. Все неэлементарные группы из набора f = { f1,, fm} входят в D. Все терминальные вершины G содержатся среди набора групп f = { f1,, fm}. Следовательно, все листья D также содержатся среди f1,, fm. В итоге получим поддерево D графа H, причем выполнено P(G) = (D) (см. опр. 4.3).

Обратно, пусть D = (VD, ED ) – поддерево H. Построим последовательную организацию G = (V, E) Op (f ) набора групп Под эквивалентностью задач подразумевается, что решение одной задачи можно преобразовать в решение другой и наоборот, причем сложность процедуры преобразования “несущественна” по сравнению со сложностью решения самих задач. Например, сложность построенных в доказательстве теоремы преобразований линейно зависит от числа вершин графа организации G или поддерева D.

f ={ f1,, fm} следующим образом. Определим множество вершин V = (VD {{a1}, {an}}) \ {}. В вершину g V, g 2 в дереве D входит одно ребро e = (h,g). Добавим к E ребра (h, g), (g \ h, g).

Вершина g \ h элементарна, то есть входит в V. Выполнено P(QG (g)) = (e). Очевидно, что получим последовательную организацию набора групп f = { f1,, fm}, причем P(G) = (D).

Итак, каждому поддереву D графа задачи H соответствует одна и только одна последовательная организация G Op (f ), причем стоимость организации равна весу соответствующего дерева. То есть задачи о последовательной организации минимальной стоимости о поддереве минимального веса эквивалентны. Теорема доказана.

Следствие 1. Задача об оптимальной на Op ( f ) последовательной организации одной группы f эквивалентна задаче поиска кратчайшего пути из в f в графе H.

Доказательство. Поддерево H с корнем в, содержащее f, единственным листом которого является f, есть путь из в f в графе H. Следствие доказано.

Следствие 2. Алгоритм, решающий задачу об оптимальной на Op ( f ) последовательной организации одной группы f, f = n 3, для структурного функционала P общего вида должен проанализировать n(2n-1 - (n +1) / 2) значений P.

Доказательство. Выполнено f = N, так как организуется только одна группа. По следствию 1 задача эквивалентна задаче о кратчайшем пути из в f в графе H. Вес каждого ребра соответствует значению функционала, причем вес каждого ребра может быть выбран независимо от других, так же как и функционал может быть определен на наборе подгрупп независимо от значений на других наборах. Докажем, что алгоритм должен в общем случае проанализировать веса всех ребер H, кроме ребер вида (,{a}).

Предположим, что существует алгоритм, решающий задачу и не анализирующий веса всех вышеуказанных ребер. Положим их стоимости равными 1. Любой путь из в f в H содержит ровно n ребер, вес любого пути равен n -1 (вес первого ребра вида (,{a}) нулевой). Алгоритм найдет некоторый путь, не проанализировав хотя бы одного ребра e. Если e не принадлежит пути, изменим его стоимость на 0, иначе на 2. В измененном графе будет найден тот же путь, что и в первом случае, так как измененное значение не анализировалось. Но он не будет оптимален. Условие n 3 необходимо для того, чтобы существовали как минимум два пути из в f.

Количество ребер H, за исключением ребер вида (,{a}), можно вычислить следующим образом: n(n -1)/ 2 + i=2,nCi (n -i) = n = n(2n-1 - (n +1) / 2) (последнее равенство получено с учетом i i соотношения iCn = nCn-1). То есть алгоритм должен - анализировать не менее n(2n-1 - (n +1) / 2) значений функционала.

Алгоритм, который решает задачу, анализируя стоимости всех ребер, кроме ребер вида (,{a}), строится очевидным образом.

Имея стоимости кратчайших путей до всех вершин данной мощности и просмотрев все выходящие из них ребра, найдем стоимости кратчайших путей до всех вершин следующей мощности. И так далее. Следствие доказано.

Следствие 2 дает алгоритм решения задачи об оптимальной на Op ( f ) последовательной организации одной группы, требую щий n(2n-1 - (n +1) / 2) вычислений функционала стоимости, и показывает, что более эффективного алгоритма не существует.

Для решения задачи об оптимальной последовательной организации произвольного набора групп необходимо найти оптимальное поддерево H (см. теор. 4.1). Следующие два пункта посвящены решению этой задачи.

2. Нормализация графа задачи.

Преобразуем граф задачи H (см. опр. 4.1) в так называемый нормализованный граф задачи, из каждой вершины которого выходит не более двух ребер. После этого докажем эквивалентность задач об оптимальном поддереве в исходном и нормализованном графах. Алгоритм решения задачи об оптимальном поддереве на нормализованном графе строится в следующем пункте.

Определение 4.4. Нормализованным графом задачи H = (Vnorm, Enorm ) назовем граф, который получается из графа norm задачи H = (VH, EH ) в результате следующей процедуры. Пусть g VH, k = R(g) 3, R(g) = {g1,, gk }, где через R(g) обозначено множество вершин, в которые идут ребра из g в графе H. Удалим ребра (g, gi ), i = 1,k. Добавим k1 = +1) / (k вершин, обозначив их g1,, g11, и ребра (g1(i+1) / 2, gi ), i = 1,k, вес которых k равен весу удаленных ребер (g, gi ). Если k1 3, то добавим 2 k2 = +1) / 2 вершин, обозначив их g1,, gk2, и ребра (k (g(i+1) / 2, g1,), i = 1,k1 нулевого веса. И так далее, на очередном i q q q q шаге добавим две вершины g1, g2 и ребра (g, g1 ), (g, g2 ) нулевого веса. Проделав такие шаги для всех g VH, R(g) 3, придем к графу H, из вершин которого выходит не более двух norm ребер. Для H = (Vnorm, Enorm ) определим задачу об norm оптимальном поддереве аналогично определению 4.3.

Рис. 4.2. Приведение к нормализованному графу задачи.

Описанное перестроение для k = 2q+1 изображено на рис. 4.2.

Суть его состоит в следующем. “Вилку” из k 3 ребер, выходящих из g, мы заменяем на “вилку” из двух ребер, идущих в дополнительные вершины, из которых в свою очередь выходит не более двух ребер, и так далее, в итоге “дойдем” до вершин g1,, gk, в которые в первоначальном графе шли ребра из g. То есть каждое ребро (g, gi ), i = 1,k заменилось на некоторый путь из g в gi, проходящий через добавленные вершины. Причем вес пути равен весу первоначального ребра (g, gi ).

Утверждение 4.1. Задача об оптимальном поддереве в H эквивалентна задаче об оптимальном поддереве в нормализованном графе задачи H.

norm Доказательство. Рассмотрим поддерево D = (VD, ED ) графа H = (VH, EH ). Построим поддерево D = (VD, ED ) графа H = (Vnorm, Enorm ). Добавим в VD все вершины из VD. Для norm g VD, R(g) 2 добавим в ED выходящие из g ребра. Рассмот рим g VD, R(g) = {g1,, gk }, k 3. Тогда в H есть вершины norm g1j,, gkjj, j = 1,q (см. опр. 4.4). Пусть в поддереве D из g выход ят l k ребер в gi1,, gil. Добавим в VD вершины g1(is +1) / 2, а в ED ребра (g1(is +1) / 2, gis ), s = 1,l. Для добавленных вершин добав им ведущие в них в графе H ребра 1 и соответствующие вер norm шины, и так далее, пока не добавим идущие из g ребра. Получим поддерево D графа H, причем по построению (D ) = (D).

norm Обратно, рассмотрим поддерево D = (VD, ED ) графа H.

norm Построим поддерево D = (VD, ED ) графа H. Добавим в VD все вершины из VD VH. Для g VD VH, R(g) 2 добавим в D ребра, выходящие из g в D. Для g VD VH, R(g) = {g1,, gk }, k 3 некоторые 0 l k вершин gi1,, gil принадлежат VD.

Тогда добавим в ED ребра (g, gis ), s = 1,l. Получим поддерево D графа H, причем по построению (D ) = (D).

Итак, каждому поддереву H соответствует поддерево H norm такого же веса и наоборот, что и доказывает утверждение.

В каждую такую вершину ведет ровно одно ребро по построению H.

norm 3. Построение алгоритма. Оценка сложности.

Доказательство следующей теоремы представляет собой алгоритм решения задачи об оптимальном поддереве в нормализованном графе H = (Vnorm, Enorm ). Как и для графа norm задачи H, через R(g) будем обозначать вершины H, в norm которые идут ребра из g Vnorm.

Теорема 4.2. Существует алгоритм, решающий задачу об оптимальном поддереве в H = (Vnorm, Enorm ) путем сравнения norm менее V2 (Hnorm )3m весов различных поддеревьев, где V2 (H ) = {g Vnorm : R(g) = 2} – число вершин H, из norm norm которых выходит ровно два ребра.

Доказательство. Искомое поддерево должно содержать все группы набора f = { f1,, fm}. Обозначим L = 2f \ {}. То есть L – множество непустых поднаборов набора { f1,, fm}. Поднаборы будем обозначать через s L. Рассмотрим s L и g Vnorm. Через (g,s) обозначим минимальный вес поддерева графа H с norm корнем в g, которое содержит все вершины набора s, листья которого содержатся среди вершин s. Если соответствующего дерева не существует, положим (g,s) = +.

Пусть R(g) = 0, то есть из g ребер не выходит. Если g f, то (g,s) = + для любого s L. Если g f, то (g,{g}) = 0, (g,s) = + для любого s {g}.

Пусть R(g) = 1, то есть из g выходит одно ребро e = (g, h).

Если g f, то для любого s L имеем (g,s) = (h,s) + (e).

Соответствующее (g,s) поддерево строится как объединение ребра e и поддерева веса (h,s). Если g f, то для любого s L, g s имеем (g,s) = (h,s) + (e);

а для любого s L, g s, s {g} имеем (g,s) = (h,s\{g}) + (e), так как g уже содержится в корне дерева. Для оставшегося случая s = {g} имеем (g,{g}) = 0.

Пусть R(g) = 2, то есть из g выходит два ребра e1 = (g,h1) и e2 = (g, h2 ). Рассмотрим s L. В поддереве, соответствующем величине (g,s), некоторый набор s1 s содержится в поддереве с корнем в h1, набор s2 = s \ s1 (или s2 = s \ (s1 {g}), если g s ) содержится в поддереве с корнем в h2. Если s1, s2, то (g,s) = (h1,s1) + (e1) + (h2,s2 ) + (e2 ). Если s1 =, s2, то (g,s) = (h2,s2 ) + (e2 ). Если s1, s2 =, то (g,s) = (h1,s1) + (e1). Если s1 =, s2 =, то s = {g} и s (g,s) = (g,{g}) = 0. Сравнив не более 2 вариантов разбиения s на s1 и s2, найдем минимальное значение (g,s). Для всех s L сравним не более i=1,mCi 2i < 3m вариантов.

m Для вершин, из которых ребра не выходят, для любого s L известны (g,s) и соответствующие поддеревья. Будем говорить, что для таких вершин задача о поддеревьях решена. В силу ацикличности H найдется g Vnorm, такая что ребра из g идут norm в вершины, для которых задача о поддеревьях решена. Тогда решим задачу для g, что потребует менее 3m сравнений весов поддеревьев. И так далее, в итоге решим задачу для всех вершин g Vnorm. Тогда (,f ) и соответствующее поддерево являются искомыми, что и доказывает теорему.

Следствие 1.1 Для структурного функционала общего вида существует алгоритм, решающий задачу об оптимальной последовательной организации путем сравнения менее (n +1)2n3m весов поддеревьев графа H = (Vnorm, Enorm ).

norm Доказательство. Для любой вершины g VH графа задачи H = (VH, EH ), k = R(g) 3 добавим в H не более 2k вершин norm (см. опр. 4.4). Из вершины мощности i в H выходит n - i ребер, i = 2, n - 3.2 Для всех вершин мощности i добавим в H не norm i более 2Cn (n - i) вершин. Из вершины {a }, j = 1,n -1 графа H j выходит n - j ребер. Для всех вершин мощности один добавим в H не более j=1,n-12(n - j) вершин. Для вершины добавим norm в H не более 2n вершин. Всего добавим вершин не более norm i=2,n-32Ci (n - i) + j=1,n-12(n - j) + 2n. С учетом равенства n Следствие 2 будет доказано ниже в пункте 3 §2.

Из вершин мощности n - 2 и n - 1 выходит не более двух ребер, следовательно для них дополнительные вершины в H не добавляются.

norm i i iCn = nCn-1, оценим последнее выражение величиной n2n. Так как - VH = 2n, то V2(Hnorm) Vnorm (n +1)2n, что и доказывает следствие.

Доказательство теоремы 4.2 дает алгоритм поиска оптимальной на Op (f ) последовательной организации произвольного набора групп f для структурного функционала общего вида. Пример найденной алгоритмом оптимальной организации приведен на рис. 5.3.

Следствие 1 дает верхнюю оценку сложности в худшем случае. Вершины графов H и H, которые не вложены ни в norm одну из групп набора f = { f1,, fm}, не могут входить ни в одно поддерево, так как все листья поддерева содержатся среди групп набора f. Таким образом, при поиске оптимального поддерева можно рассматривать не весь граф H, а только те его norm вершины, которые вложены хотя бы в одну из групп набора f. С учетом этой оговорки, оценим сложность в среднем следующим образом.

m \ n 45 6 2 78153 331 2 73724 101235 4 425710 1 104 5 17131 378263 6 3 0004 127 6 404 16 51054 766304 8 21 97529 949 40 149 76 173149 033424 10 186 598255 754 317 294 577 674837 763 1 576 12 - 2 232 954 2 799 913 4 729 690 6 465 469 8 650 14 - 19 327 169 24 272 855 39 182 355 55 710 417 71 441 16 - 172 996 106 217 376 355 346 835 503 479 629 550 615 392 18 - 1 551 740 086 1 942 858 319 3 114 855 925 4 317 150 636 5 466 045 20 - 13 952 535 549 17 446 863 109 28 016 474 70638 502 846 30748 954 320 Таблица 4.1. Оценка сложности алгоритма в среднем.

Сгенерируем случайным образом набор групп. Каждый элемент входит в группу с вероятностью 0,5. Вычислим количество вершин графа H, из которых выходит два ребра и norm которые вложены хотя бы в одну из групп набора f. По теореме 4.2 оценим сложность в среднем по 100 тестам. Результат приведен в таблице 4.1. В строках приведены значения для различных m от 2 до 20. В столбцах – для различных n от 4 до 15.

Если m, n 15, то сложность остается приемлемой.

Рассмотрим пример, поясняющий материал данного параграфа. Решим задачу об оптимальной на Op (f ) последователь ной организации набора f = { f1, f2} из двух групп f1 = {a1, a2, a3} и f2 = {a2, a3, a4}. Имеем N = f1 f2 = {a1, a2, a3, a4}. Построим граф задачи H (см. опр. 4.1). При этом ни в одно из поддеревьев H не входят группы, содержащие элементы a1 и a4, так как такие группы не являются подмножествами ни f1, ни f2. Интересующая нас часть графа H изображена на рис. 4.3.

{a1,a2,a3} {a2,a3,a4} {a1,a2} {a1,a3} {a2,a3} {a2,a4} {a3,a4} {a1} {a2} {a3} {a4} Рис. 4.3. Пример графа задачи H.

Согласно теореме 4.1, имея оптимальное поддерево H с корнем в и листьями в f1 и f2, построим соответствующую ему оптимальную последовательную организацию. Предположим, что веса всех ребер, кроме нижних, равны единице (все значения функционала равны единице). Тогда вес поддерева равен числу входящих в него ребер, не считая нижних. Очевидно, что в любое поддерево входят не менее трех таких ребер. В поддерево D = (VD, ED ) с множеством вершин VD = {,{a2},{a2,a3}, f1, f2} входят ровно три таких ребра, то есть оно оптимально. Вес D равен трем ( (D) = 3). Построим соответствующую оптимальную организацию G такой же стоимости2. Граф G содержит един ственную промежуточную вершину {a2, a3}, которая используется как для организации f1, так и для организации f2 (см. рис. 4.4).

Напомним, что под поддеревом подразумевается поддерево с корнем в, содержащее неэлементарные группы набора f, листья которого содержатся среди неэлементарных групп набора f.

Процедура построения последовательной организации по поддереву графа задачи H описана в доказательстве теоремы 4.1.

{a1, a2, a3} {a2,a3,a4} {a2, a3} {a1} {a2} {a3} {a4} Рис. 4.4. Оптимальная последовательная организация.

В общем случае оптимальное поддерево H строится с помощью нормализации графа. В примере на рис. 4.3 только из вершины выходит более двух ребер. Следовательно, при нормализации будут добавлены две вершины g1 и g1, в которые будут идти ребра из. Из g1 будут идти два ребра в {a1} и {a2}, из g1 – два ребра в {a3} и {a4} (см. опр. 4.4). По утверждению 4. поддереву D в H соответствует одно и только одно поддерево D в H такой же стоимости (например, если ребро (,{a1}) входит norm 1 в D, то вместо него в D входит путь (, g1), (g1,{a1}) и наоборот).

Задачу об оптимальном поддереве в H решает алгоритм norm теоремы 4.2. Поясним его на примере. Имеем L = 2f \{} = = {{ f1},{ f2},{ f1, f2}}. Для вершин f1 и f2, из которых не выходит ребер (см. рис. 4.3), задача о поддеревьях решена: ( f1,{ f1}) = 0, ( f2,{ f2}) = 0, остальные значения равны +, так как поддерев ом с корнем f1 можно покрыть только вершину f1 (то же верно и для f2). Решим задачу о поддеревьях с корнем в {a2, a3}. Найдем ({a2,a3},{ f1, f2}) следующим образом. Из {a2, a3} выходят два ребра в вершины f1 и f2. Часть набора { f1, f2} должна покры ваться деревом с корнем f1, оставшаяся часть – деревом с корнем f2. Очевидно, что единственный вариант разбиения { f1, f2}, стоимость которого не равна +, использует поддеревья, соответствующие величинам ( f1,{ f1}) и ( f2,{ f2}). То есть ({a2,a3},{ f1, f2}) = ( f1,{ f1}) +1+ ( f2,{ f2}) +1 = 2 (стоимости ребер равны единице). Аналогичным образом найдем ({a2,a3},{ f1}) = 1 и ({a2, a3},{ f2}) = 1. После этого задача о поддеревьях для {a2, a3} будет решена. Для остальных вершин H задача о поддеревьях решается аналогично.

norm §2. Оценка сложности задачи при функционале вида P( g1,, gk, g ). Алгоритм решения.

1. NP -полнота задачи.

В случае функционала вида P( g1,, gk, g ) оценим объем начальных данных задачи об оптимальной на Op (f ) последовательной организации произвольного набора групп f = { f1,, fm}. Во-первых, начальными данными будут сами множества fi N, i = 1, m, где N = {a1,,an} – множество элементов. Во-вторых, значения функционала. Для оценки их количества введем следующее обозначение.

Для j = 1, n -1 через Pj обозначим стоимость организации подгруппы g F мощности j с элементарной подгруппой {a} g, не входящей в g : Pj = P(g,{a}) = P( g, {a}, g {a}) = = P( j,1, j +1).

Величина Pj зависит только от мощности j группы g, а не от самой группы или от элементарной подгруппы {a}. То есть обозначение корректно. Для любой организации G = (V,E)Op (f) выполнено P(G) = hV \NG P(QG (h)) = hV \NG Ph, так как - QG (h) = {g,{a}} для некоторого {a} g.2 Таким образом, на стоимость последовательной организации влияют лишь величины P1,, PM -1, где M n – максимальная из мощностей групп набора f = { f1,, fm}: M = max( f1,, fm ). Все остальные значения функционала могут быть проигнорированы.

Итак, в случае функционала вида P( g1,, gk, g ) любая задача об оптимальной на Op (f ) последовательной организации произвольного набора групп f = { f1,, fm} однозначно определяется множествами f1,, fm и величинами P1,, PM -1.

Напомним, что F = 2N \ {} – множество всевозможных групп, то есть непустых подмножеств N.

Согласно замечаниям, сделанным в начале главы, рассматриваются последовательные организации без повторяющихся групп, следовательно любая неэлементарная группа h организуется из подгрупп g и {a}, {a} g.

Теорема 4.3. Для функционала вида P( g1,, gk, g ) задача об оптимальной на Op (f ) последовательной организации набора групп f = { f1,, fm} мощности три ( fi = 3) NP -полна для любых величин P1 > 0, P2 0.

Доказательство. Покажем принадлежность к классу NP. В оптимальной на Op (f ) организации элементы группы fi, i = 1, m организуются в некоторой последовательности (см. опр. 1.33).

Сгенерируем эту последовательность недетерминированной машиной Тьюринга для каждой fi. По известной последовательности элементов построим последовательную организацию Gi = (Vi, Ei ) Op ( fi ) каждой из групп fi. Затем по строим последовательную организацию G набора f = { f1,, fm} с помощью объединения организаций для каждой из групп:

G = G1 Gm. При этом если группа g принадлежит как минимум двум графам, то есть g Vi, g V для i < j, то считаем, j что в G входит один экземпляр g, причем QG (g) = QGi (g), то есть в группу g в графе G входят такие же ребра, как и в одном из графов G1,,Gm. Очевидно, что стоимость любой организации, в которой все группы fi организуются в найденной последовательности, не менее P(G). То есть получили оптимальную на Op (f ) организацию. Очевидно, что сложность построения оптимальной организации по заданным последователь ностям полиномиальна. Следовательно, задача решается недетерминированной машиной Тьюринга за полиномиальное время, то есть принадлежит классу NP.

Рассмотрим задачу о представителях в 2-множествах. Задано множество X = {x1,, xn} и двухэлементные подмножества Y1,,Ym X. Необходимо найти множество представителей Y X минимальной мощности, Y Yi 1 для i = 1, m.1 Задача о представителях в 2-множествах NP -полна [19]. Сведем ее к Фактически задача о представителях в 2-множествах представляет собой другую формулировку задачи о минимальном вершинном покрытии графа, то есть множестве вершин минимальной мощности, “задевающем” все ребра графа.

Формулировка задачи о представителях более удобна для доказательства.

поставленной в условии теоремы задаче, чем покажем ее NP -полноту.

Пусть Yi = {x, xki }, i = 1, m, 1 ji < ki n. Положим ji N = {a0, a1,, an}, fi = {a0, a, aki }, f = { f1,, fm}. Докажем, что ji множеству представителей минимальной мощности соответствует оптимальная на Op (f ) организация и наоборот. Для этого построим процедуры перехода от множества представителей к организации из Op (f ) и обратно.

a) Пусть задано множество представителей Y = {xl1,, xlq } X. Построим G = (V, E) Op (f ). Положим V = {{a0},{a1},,{an}, f1,, fm,{a0, al1},,{a0, alq }}. В E вклю чим ребра для организации групп {a0, al1},,{a0, alq } из элемен тарных подгрупп. Для Yi = {x, xki } выполнено x Y или ji ji xki Y, следовательно {a0, a }V или {a0,aki }V. С помощью ji одной из этих подгрупп организуем fi, добавив в E соответствующие ребра. В результате по q -элементному множеству представителей построили последовательную организацию G групп f1,, fm стоимости qP1 + mP2.

b) Обратно, пусть задана последовательная организация G = (V, E) Op (f ). Тогда P(G) = qP1 + mP2, где q – число групп мощности два в G. Рассмотрим g = {as, at}V, 1 s < t n. Из g может выходить ребро лишь в f = {a0, as, at }. Удалим g, а f организуем из {a0,as} и {at }, добавив, если нужно, вершину {a0,as}. Продолжая такие действия, найдем последовательную организацию G = (V, E ) Op (f ), которая содержит q групп {a0, al1},,{a0, alq } мощности два, P(G ) = q P1 + mP2, q q.

Тогда рассмотрим Y ={xl1,, xlq} X. Для fi = {a0,a,aki } выпол ji нено {a0, a }V или {a0, aki }V. То есть существует 1 t q, ji для которого a = alt или aki = alt. Следовательно, x = xlt или ji ji xki = xlt. Тогда Yi Y 1 в силу Yi = {x, xki }. В результате по ji последовательной организации G групп f1,, fm стоимости qP + mP2 построили множество представителей из q q элементов.

Обозначим решение задачи об оптимальной на Op (f ) организации через G, P(G) = qP1 + mP2. После этого согласно пункту b) за полиномиальное время найдем множество представ ителей Y из q элементов, q q. Если бы существовало множес тво представителей из q < q элементов, то согласно пункту а) существовала бы последовательная организация G Op (f ), P(G ) = q P1 + mP2 < P(G) в силу P1 > 0, что противоречит оптимальности G. Итак, построили множество представителей Y минимальной мощности q = q. То есть, решив задачу об оптимальной на Op (f ) организации, за полиномиальное время решим задачу о представителях в 2-множествах. Теорема доказана.

Кратко идею доказательства теоремы можно пояснить следующим образом. В любую организацию G Op (f ) входят группы f1,, fm мощности три, то есть в стоимость P(G) входит величина mP2. Стоимость различных последовательных организаций из Op (f ) может изменяться за счет числа промежуточных групп мощности два. Построено соответствие, при котором каждая такая группа определяет элемент некоторого множества представителей и наоборот, что и показывает эквивалентность задачи о представителях в 2-множествах и задачи об оптимальной последовательной организации.

Итак, если P NP, то не существует полиномиального алгоритма решения задачи на Op (f ), даже если мощности всех групп набора f не превосходят трех. Следующие пункты посвя щены модификации построенного в §1 алгоритма для функционал ов вида P( g1,, gk, g ). Такая модификация позволяет снизить сложность, пользуясь особым видом функционала.

2. Узловые группы.

В данном пункте доказываются утверждения, позволяющие для функционала вида P( g1,, gk, g ) анализировать не все организации из Op (f ), а лишь организации, удовлетворяющие условиям утверждений 4.2 и 4.3. Опираясь на этот факт, в пункте модифицируется алгоритм решения задачи на Op (f ) для функционалов вида P( g1,, gk, g ).

Определение 4.5.Назовем узловыми группами группы множ ества U ={fi1 fik :1 k m, 1 i1 < < ik m}\{{a1},,{an},}.

То есть под узловыми группами будем понимать неэлемен тарные группы, которые являются пересечением каких-либо групп набора f = { f1,, fm}. В частности, неэлементарные группы набора f принадлежат U. В примере (см. рис. 4.3) узловыми будут группы f1 = {a1, a2,a3}, f2 = {a2,a3, a4} и {a2, a3} = f1 f2.

Утверждение 4.2. Для функционала вида P( g1,, gk, g ) существует оптимальная на Op (f ) последовательная организация G, в которой любая вершина g с двумя или более выходящими ребрами ( RG (g) 2) является либо узловой, либо элементарной.

Доказательство. Пусть G = (V, E) – некоторая оптимальная на Op (f ) организация. Пусть из g V \ NG, g U выходят по крайней мере два ребра в h1 и l1, причем из g не существует пути ни в одну вершину, обладающую такими же свойствами. Через h1 - h2 - - hn1 обозначим путь из h1 в “ближайшую” узловую группу hn1 U. Через l1 - l2 - - ln2 обозначим путь из l1 в “ближайшую” узловую группу ln2 U. То есть единственными узловыми вершинами обоих путей будут последние вершины.

Такие пути существуют, так как все неэлементарные терминальные вершины графа G содержатся в наборе f, то есть являются узловыми.

Из каждой вершины hi, i = 1,n1 -1, l, j = 1,n2 -1 выходит j ровно одно ребро по определению g. Рассмотрим группу g = hn1 ln2. Имеем g g, следовательно g неэлементарна.

Тогда g U и выполнено строгое вложение g g, так как g U.

Группы набора f не содержатся среди h1,, hn1-1, l1,,ln2-1.

Удалим эти вершины и инцидентные им ребра. Пусть g \ g = {ai1,,aik }. Добавим в G вершины g = g {ai1,, ai j }, j j = 1, k и ребра (g, g ), ({ai j }, g ), где g0 = g. Аналогично j-1 j j последовательным образом “достроим” g до hn1 и ln2. В результате получим последовательную организацию G Op (f ).

Пути h1 - h2 - - hn1 и l1 - l2 - - ln2 не имеют общих вершин, так как в противном случае общая вершина организовыв алась бы из неэлементарных подгрупп, что противоречит определению последовательной организации. Вместо вершин h1,,hk и l1,,lk в G входят вершины g1,, gk такой же мощности. То есть P(G ) P(G). Мы не добавили в G ни одной неузловой вершины, из которой выходило бы более одного ребра.

Из g в G выходит на одно ребро меньше, чем в G. Проделываем вышеперечисленные действия до тех пор, пока из g не будет выходить одно ребро. В результате построим оптимальную на Op (f ) организацию, в которой число неузловых неэлементарных вершин с более чем одним выходящим ребром на одну меньше, чем в G. Продолжая такие действия, получим искомую оптим альную последовательную организацию. Утверждение доказано.

Утверждение 4.3. Для функционала вида P( g1,, gk, g ) существует оптимальная на Op (f ) организация G, удовлетворя ющая утверждению 4.2 и следующим условиям:

a) если в G найдется путь из узловой вершины g1 в узловую вершину g2, не содержащий других узловых вершин, то в U не существует “промежуточной” узловой группы g3 U, g1 g3 g2;

b) если в G узловой вершине g2 не подчинена никакая другая узловая вершина, то в U не существует “вложенной” узловой группы g3 U, g3 g2.

Доказательство. Рассмотрим оптимальную на Op (f ) организацию G = (V, E), для которой выполняются условия утверждения 4.2, и некоторый путь h1 - - hk в G, k 2, hk U, h1 U, h2,, hk -1 U. Каждая следующая вершина пути h1 - - hk представляет собой предыдущую, к которой добавлен некоторый элемент. Путь назовем неправильным, если в U существует группа g U, для которой h1 g hk. Также рассмотрим путь вида h1 = {al1},h2 = {al1al2 },, hk = {al1al2 alk } из элементарной вершины h1 в узловую вершину hk U, не содержащий других узловых вершин. Такой путь назовем неправильным, если в U существует группа g U, для которой g hk. В этом случае также выполнено h1 g hk.

Пусть h1 - - hk – неправильный путь. Тогда ему соответствует g U, h1 g hk. По утверждению 4.2 из каждой вершины h2,,hk -1 выходит ровно одно ребро в следующую вершину пути. Удалим вершины h2,,hk-1 из G. Пусть j g \ h1 = {ai1,,ais }. Добавим в G вершины h = h1 {ai1,, ai j }, j- j = 1, s, организовав hj из h и {aij }, где h0 = h1. Аналогично последовательным образом “достроим” g до hk. Получим новую организацию G Op (f ), причем P(G ) = P(G). Если неправилен путь из h1 в g, или из g в hk, то проделаем описанную процедуру для этих подпутей. И так далее. В итоге получим оптимальную на Op (f ) организацию, в которой любой подпуть пути из h1 в hk правилен. Следовательно, число неправильных путей по сравнению с G уменьшилось на единицу. Повторяя вышеописанные действия, получим оптимальную на Op (f ) организацию G*, в которой все пути правильны.

Рассмотрим в G* путь из узловой вершины g1 в узловую вершину g2, не содержащий других узловых вершин. Он правил ен, следовательно в U не существует “промежуточной” узловой группы g3 U, g1 g3 g2. То есть выполнено условие a).

Если в G* узловой вершине g2 не подчинена никакая другая узловая вершина, то существует путь вида h1 = {al1}, h2 = {al1al2 },, hk = {al1al2 alk } = g2, не содержащий других узловых вершин, кроме hk = g2. Путь правилен, следовательно в U не существует “вложенной” узловой группы g3 U, g3 g. То есть выполнено условие b). Утверждение доказано.

3. Модификация алгоритма для функционала вида P( g1,, gk, g ). Оценка сложности.

Для функционала вида P( g1,, gk, g ) приведем определение, аналогичное определениям 4.1 и 4.2 для функционала общего вида.

Определение 4.6. Графом задачи об оптимальной на Op (f ) последовательной организации для функционала вида ~ ~ ~ P( g1,, gk, g ) назовем ориентированный граф H = (VH, EH ):

~ ~ VH = U {}, ребро e = (g1, g2 ) принадлежит EH тогда и только ~ ~ тогда, когда g1, g2 VH, g1 g2 и не существует g3 VH, для ~ которой g1 g3 g2. Для любого ребра e = (g1, g2 ) EH положим (e) = Pg1 + Pg1 +1 + + Pg2 -1, где P0 = 0, P1,, Pn-1 – величины, введенные в пункте 1.

~ Таким образом, ребро в H идет из одной узловой группы g в другую узловую группу g2 при условии, что в U нет “промежуточной” узловой группы g3: g1 g3 g2. Ребро из в g2 идет в том случае, если в g2 не вложены другие узловые группы. Стоимость ребра e = (g1, g2 ) равна стоимости последовательной “достройки” g1 до g2. При этом порядок присоединения элементов при такой “достройке” не влияет на стоимость, так как функционал имеет вид P( g1,, gk, g ).

~ В примере (см. рис. 4.3) в H будут входить узловые группы f1 = {a1,a2, a3}, f2 = {a2,a3,a4}, {a2,a3} = f1 f2 и вершина.

Граф задачи, который в общем случае изображен на рис. 4.3, значительно упрощается (см. рис. 4.5). В нем остаются только узловые вершины, а последовательность “достройки” одной узловой вершины до другой не играет роли.

~ Задача об оптимальном поддереве в графе H определяется точно так же, как и задача об оптимальном поддереве в графе H ~ (см. опр. 4.3). То есть под поддеревом H подразумевается поддерево с корнем в, содержащее неэлементарные группы набора f = { f1,, fm}, листья которого содержатся среди групп набора f. Докажем теорему, аналогичную теореме 4.1.

{a1,a2,a3} {a2,a3,a4} P2 P {a2,a3} P ~ Рис. 4.5. Пример графа задачи H для функционала вида P( g1,, gk, g ).

Теорема 4.4. Для функционала вида P( g1,, gk, g ) задача об оптимальной последовательной организации эквивалентна ~ задаче об оптимальном поддереве в графе задачи H.

Доказательство. Пусть G = (V, E) Op (f ) – оптимальная на Op (f ) последовательная организация набора групп f = { f1,, fm}, которая удовлетворяет условиям утверждения 4.3. Сконструируем ~ ~ ~ поддерево D = (VD, ED ) графа H = (VH, EH ). Обозначим через VU множество узловых групп из V : VU = V U. Положим VD =VU {}. Построим множество ребер ED следующим образом.

Рассмотрим g VU. Пусть QG (g) = {g1,{ai1}}. Если g1 VU и g1 > 1, то рассмотрим QG (g1) = {g2,{ai2 }} и повторим рассужден ия для g2. И так далее, в итоге дойдем до gk VU или до элементарной группы gk, gk =1. Если gk элементарна, то вершине g в графе G не подчинена никакая другая узловая вершина. Следовательно, не существует g U, g g (см.

условие b утв. 4.3). Если gk VU, то из узловой вершины gk в узловую вершину g в графе G существует путь, не содержащий других узловых вершин. Следовательно, не существует g U, gk g g (см. условие a утв. 4.3). В первом случае ребро ~ ~ (, g) EH, во втором ребро (gk, g) EH. Добавим соответству Под эквивалентностью задач подразумевается, что решение одной задачи можно преобразовать в решение другой и наоборот, причем сложность процедуры преобразования “несущественна” по сравнению со сложностью решения самих задач. Например, сложность построенных в доказательстве теоремы преобразований линейно зависит от числа вершин графа организации G или поддерева D.

ющее ребро в ED. Вес добавленного ребра будет равен суммарной стоимости организации вершин gk-1, gk-2,, g1, g.

Покажем, что в результате действительно получим поддерево ~ D графа H. В каждую вершину D, кроме, входит ровно одно ребро. D содержит все неэлементарные группы набора f, так как они являются узловыми. Если некоторая группа h VU не является терминальной в G, то из нее в графе G существует путь в некоторую узловую вершину g, не содержащий других узловых вершин. При построении D будет добавлено ребро (h, g), то есть h не является листом D. Следовательно, листья D могут содержаться только среди терминальных вершин G, то есть среди групп набора f.

Покажем, что P(G) = (D). Пусть h V \ NG. Если h – узловая, то в нее в дереве D входит ребро e, вес которого (e) включает в себя стоимость P(QG (h)) организации h. Если h – не узловая, то h f и по утверждению 4.2 из h выходит ровно одно ребро. Следовательно, существует единственный путь из h в некоторую узловую вершину g, не содержащий других узловых вершин. В дереве D в g входит ребро e, вес которого (e) включает в себя стоимость P(QG (h)) организации h. Итак, стоим ость организации каждой неэлементарной подгруппы графа G входит в вес ребер D один и только один раз. Имеем P(G) = (D).

~ Обратно, пусть D = (VD, ED ) – поддерево графа H.

Построим последовательную организацию G = (V, E). Добавим в V вершины (VD {{a1}, {an}}) \ {}. Пусть g VD \ {}. В дереве D в нее входит ровно одно ребро e = (h, g). Пусть hj = h {ai1,,aij} g \ h ={ai1,,aik }. Тогда добавим в V вершины, j = 1,k -1 (кроме элементарной {ai1} при h = ), организовав hj из h и {aij }, где h0 = h. Группа g организуется из hk -1 и {aik }.

j- Сумма стоимостей организации g и добавленных в V вершин будет равна (e). В результате построим G Op (f ), так как D содержит все группы набора f, причем P(G) = (D).

~ Итак, каждому поддереву D графа задачи H соответствует одна и только одна последовательная организация G Op (f ), причем стоимость организации равна весу соответствующего поддерева. То есть задачи о последовательной организации минимальной стоимости и о поддереве минимального веса эквивалентны. Теорема доказана.

~ Задачу об оптимальном поддереве в H можно решить точно так же, как и задачу об оптимальном поддереве в H, то есть ~ нормализовав H (см. опр. 4.4) и применив теорему 4.2 к полученному нормализованному графу. Этот факт справедлив, так как пункты 2 и 3 §1 не используют никаких свойств графа H, ~ кроме ацикличности, то есть могут быть применены и к графу H.

Пример найденной алгоритмом оптимальной последовательной организации приведен на рис. 5.3.

~ Количество вершин графа H независимо от n ограничено величиной 2m, так как число узловых групп не превышает 2m -1.

Это позволяет пересмотреть верхнюю оценку сложности алгоритма (см. следствие 1 из теор. 4.2) для функционала вида P( g1,, gk, g ).

Следствие 2 (из теоремы 4.2). Для функционала вида P( g1,, gk, g ) существует алгоритм, решающий задачу об оптимальной последовательной организации путем сравнения менее 222m3m весов поддеревьев нормализованного графа задачи ~ ~ ~ H = (Vnorm, Enorm ).

norm ~ ~ ~ Доказательство. Граф H = (VH, EH ) содержит не более 2m вершин, из каждой выходит не более 2m -1 ребер. Следовательно, ~ ~ конструируя граф H, добавим к Vnorm не более 2m+1 - norm ~ вершин для каждой вершины из VH (см. опр. 4.4). Всего добавим ~ ~ не более 22m+1 - 2m+1 вершин. Итак, V2 (H ) Vnorm < 222m (см.

norm теор. 4.2), что и доказывает следствие.

Итак, для решения задачи об оптимальной последовательной ~ организации необходимо построить граф задачи H, нормализов ать его, найти оптимальное поддерево нормализованного графа, ~ перейти от него к оптимальному поддереву в H и построить соответствующую этому поддереву оптимальную организацию.

При этом только сложность первого и последнего этапов зависят от числа элементов n. Сложность последнего этапа несущественна (линейно зависит от числа вершин в графе организации), поэтому ~ считаем, что от n зависит лишь сложность построения H. При ~ построении H для поиска пересечения групп или для определения вложенности одной группы в другую можно проанализировать соответствующие группам двоичные вектора длины n.1 Число ~ вершин и ребер H от n не зависит.2 То есть сложность процедуры ~ построения H зависит от n линейно. Наибольшую сложность имеет этап поиска оптимального поддерева в нормализованном графе (алгоритм теор. 4.2). Таким образом, при увеличении n линейно возрастает меньшее слагаемое суммарной сложности, что позволяет решать задачу для больших значений n.

Аналогично пункту 3 §1 можно оценить сложность алгоритма в среднем, генерируя случайным образом набор групп (элемент входит в группу с вероятностью 0,5) и оценивая сложность по нескольким тестам. Как и в общем случае, сложность остается приемлемой, если m не превосходит полутора десятков, независимо от значения n. Кратко подведем итоги данной главы. Как показывает пункт 1 §2, даже для функционала вида P( g1,, gk, g ) и мощностей всех групп набора f = { f1,, fm} не более трех не существует полиномиального по m алгоритма, решающего задачу об оптимальной на Op (f ) последовательной организации (если P NP, см. теор. 4.3). Алгоритм с линейной оценкой сложности по числу элементов n и экспоненциальной оценкой сложности по числу групп m для функционала вида P( g1,, gk, g ) построен в пункте 3 §2. Алгоритм основан на поиске поддерева графа задачи ~ H, число вершин которого определяется структурой пересечений групп набора f (см. опр. 4.5 и 4.6). Таким образом, ”при более сложной” структуре пересечений сложность алгоритма возрастает и наоборот. В среднем сложность алгоритма приемлема при m независимо от значения n в пределах десятков тысяч.

i -я компонента вектора определяет, входит элемент ai в группу или нет.

Эти величины определяются структурой пересечений групп набора f = { f1,, fm}.

Имеется в виду “разумное” значение в пределах нескольких десятков тысяч.

Для случая структурного функционала общего вида задача значительно усложняется, так как на оптимальность последовательной организации могут влиять порядка n2n значений функционала вместо n значений для функционала вида P( g1,, gk, g ). Следствие 2 к теореме 4.1 показывает, что даже при m = 1 любой алгоритм должен вычислить порядка n2n значений P. В то же время вычисления такого количества значений достаточно для построения графа задачи H (см. опр.

4.1), а следовательно и для решения задачи (см. теор. 4.1). Пункты 2 и 3 §1 представляют собой построение алгоритма, порядок сложности которого в худшем случае n2n3m (см. следствие 1 к теор. 4.2). В среднем сложность алгоритма также зависит от “сложности” структуры пересечений групп набора f.

Тестирование алгоритма на различных наборах (см. таблицу 4.1) показывает, что при m, n 15 сложность остается приемлемой.

Таким образом, в настоящей главе построены алгоритмы и проанализирована сложность задачи об оптимальной на Op (f ) организации произвольного набора групп для структурных функ ционалов общего вида и для функционалов вида P( g1,, gk, g ).

Данная глава показывает, что задача об оптимальной организации нескольких групп весьма сложна. Если группы набора f пересекаются сложным образом, то необходимо выбирать промежуточные группы с учетом того, что они могут использоваться для организации нескольких групп набора f. То есть в общем случае при объединении оптимальных организаций для каждой из групп получим неоптимальную организацию набора групп. Для структурного функционала общего вида представ ляется сомнительным существование эффективных алгоритмов решения задачи об оптимальной организации набора групп на ~ ~ множествах O(f ), Or (f ), O(f ), Or (f ) даже для малых значений n и m. Поэтому перспективным направлением исследования является поиск классов структурного функционала, для которых задача упрощается. Например, для существенно выпуклых функ ционалов достаточно решить задачу на Op (f ), чтобы получить решение на всех вышеуказанных множествах (см. теор. 1.8).

Глава V. Модель управления структурными изменениями организационной системы.

Во введении к работе было дано неформальное определение организационной системы и присущей ей иерархической структуры. В данной главе рассматриваются некоторые вопросы моделирования структуры организационной системы.

Сначала остановимся на статических моделях поиска оптимальной структуры среди некоторого множества альтернатив.

Если структура описывается ориентированным ациклическим графом, то моделирование сводится к поставленной в главе I задаче об оптимальной иерархии. Таким образом, приведенные ранее примеры частных постановок (см. гл. II) одновременно являются примерами статических моделей, а весь аппарат глав I– IV может использоваться для статического моделирования в случае структурного функционала стоимости. Ключевым моментом при определении статической модели является выбор функционала. Для различных примеров организационных систем (например, для отраслей промышленности) накоплен огромный эмпирический материал, позволяющий определить некоторые агрегированные параметры структуры. Например, норма управляемости (максимальное число подчиненных) [3], численность управленческого персонала [25] и т. п. Такие исследования позволяют сравнивать некоторые “типичные” структуры и выбирать из них наиболее подходящую для конкретной системы. Тестирование функционалов на этих “типичных” вариантах позволяет уточнять их вид и параметры, исходя из эмпирических данных и результатов моделирования.

Ниже считаем, что функционал стоимости некоторым образом задан.

При переходе от статических моделей к динамическим будем считать, что функционал соответствует стоимости функционирования системы (затратам) в течение некоторой единицы времени. Если “ситуация” остается неизменной, то достаточно минимизировать затраты (найти структуру, минимизирующую функционал) для получения “наиболее эффективной” системы и модель сводится к статической. Если же “ситуация” изменяется, то старая структура может “не отвечать новым требованиям” и необходима реструктуризация (перестроение), требующая некоторых затрат. В этом случае в динамике может оказаться оптимальной “более дорогая”, но и “более гибкая” структура, требующая меньших затрат на перестроение.

Выбор структуры, оптимальной в динамике, является ключевой проблемой в некоторых моделях “устойчивого развития” организационных систем (см., например, [11]). Вопрос о выборе критерия оптимальности в динамике для организационных систем не имеет однозначного решения [5, 24]. В отсутствии исчерпывающего прогноза изменений внешней среды постановки оптимизационных задач неизбежно включают в себя элементы эмпирики. Ниже мы рассмотрим один из возможных эмпирических критериев, который при необходимости может быть модифицирован.

Ограничения на траектории структур (графов) могут описываться различным образом. В качестве одного из вариантов аппарата описания траекторий структурных изменений отметим приведенное в [1, 2] построение так называемых “уравнений графодинамики”. Ниже в §2 мы рассмотрим единственное ограничение на преобразования структуры – в каждый момент времени она должна быть графом организации некоторого набора групп (см. опр. 1.22), определяемого “внешней средой”.

Динамическая оптимизация напрямую связана и с проблемой выбора оптимального числа уровней иерархии в зависимости от внешних условий, которая обсуждается в большинстве работ (см., например, [44, 56]) лишь на качественном уровне. Излагаемая модель позволяет дать количественные оценки оптимального числа иерархических уровней (см. §3).

§1. Стоимость реорганизации структуры.

В данном параграфе строится один из возможных примеров содержательно интерпретируемой метрики на графах организации – стоимость реорганизации. За основу взята некоторая метрика на множестве групп (см. опр. 5.1). Далее построены метрики на множестве наборов групп и на множестве графов (см. опр. 5.2 и 5.3), причем аналогичное построение можно также провести на основе любой другой метрики на множестве групп. Таким образом, проиллюстрирован возможный подход к построению метрики общего вида. В последующих параграфах стоимость реорганизации используется для моделирования структурных изменений организационной системы.

1. Стоимость реорганизации групп.

Определение 5.1. Стоимостью реорганизации группы g F {}1 в группу h F {} назовем величину (g, h) = = ag \h (a) + ah\ g (a),2 где (a) 0 – заданная стоимость исключения элемента a из группы, а (a) 0 – заданная стоимость включения элемента a в группу. Величину (,h) назовем стоимостью организации h “с нуля”, величину (g,) – стоимостью деорганизации g.

Таким образом, предполагаем, что для любого элемента a N заданы стоимости включения и исключения a из группы.

Для организационной системы затраты на включение (исключ ение) могут соответствовать “налаживанию взаимодействия” элемента в новой группе, некоторому “обучению” и т. п.

Предполагаем, что стоимость включения (исключения) зависит лишь от самого элемента a, а не от той группы, в которую он включается (из которой исключается).

Определению 5.1 можно дать следующую содержательную интерпретацию. Для реорганизации группы g в группу h сначала последовательно исключаем те элементы g, которые не входят в h, а затем последовательно включаем те элементы h, которые не входят в g. Сумма (g,h) всех затрат и будет стоимостью реорганизации g в h. Если положить g =, то получим стоимость организации группы h “с нуля”, то есть стоимость включения всех элементов группы. Если положить h =, то получим стоимость деорганизации группы g, то есть стоимость исключения всех элементов группы.

Напомним, что через F обозначено множество групп (см. опр. 1.13), через F {} соответственно обозначено множество F с добавленной пустой “группой”. Под множеством групп ниже будем понимать множество с включенной пустой группой.

Сумму по пустому множеству полагаем равной нулю по определению.

Лемма 5.1. Если для всех a N выполнено (a) > 0 и (a) > 0, то для любых групп g, h F {} выполнена первая аксиома метрики: равенство (g, h) = 0 эквивалентно равенству g = h.

Доказательство. (g, h) = ag\h (a) + ah\g (a) = тогда и только тогда, когда g \ h = и h \ g = (в силу (a) > 0, (a) > 0), что эквивалентно условию g = h. Лемма доказана.

Лемма 5.2. Если для всех a N выполнено (a) = (a) = = (a), то для любых групп g, h F {} выполнена вторая аксиома метрики (симметричность): (g, h) = (h, g).

Доказательство. (g,h) = (a) + (a) = (a)+ (a) = ag\h ah\g ah\g ag\h = (h, g). Лемма доказана.

Лемма 5.3. Для любых групп f, g, h F {} выполнено неравенство треугольника: ( f, h) ( f, g) + (g, h).

Доказательство.Имеем (*) ( f,h) = af \h (a) +ah\ f (a), (**) ( f, g) + (g,h) = a f \ g (a) + ag \ f (a) + ag \h (a) + + ah\ g (a). Рассмотрим a f \ h. Имеем a f, a h. Слага емое (a) входит в выражение (*). Если a g, то a g \ h. Если a g, то a f \ g. В обоих случаях слагаемое (a) также входит в выражение (**). Рассмотрим a h \ f. Имеем a f, a h.

Слагаемое (a) входит в выражение (*). Если a g, то a g \ f.

Если a g, то a h \ g. В обоих случаях слагаемое (a) также входит в выражение (**). Итак, каждое слагаемое, входящее в левую часть неравенства ( f, h) ( f, g) + (g, h), входит и в правую его часть. Лемма доказана.

Утверждение 5.1. Если для всех a N выполнено (a) = (a) = (a) > 0, то стоимость реорганизации является метрикой на множестве групп F {}.

Доказательство следует из лемм 5.1-5.3. Утверждение доказано.

2. Стоимость реорганизации наборов групп.

В данном пункте на основании метрики на множестве групп, построенной в пункте 1, строится метрика на множестве наборов групп.

Определение 5.2. Стоимостью реорганизации произвольного набора групп Q11 в набор групп Q2 будем называть величину (Q1,Q2 ) = min i=1,k (gi, hi ), где k = max(Q1, Q2 ), набор меньшей мощности дополнен пустыми группами до мощности k, минимум берется по всевозможным разбиениям наборов Q1 и Q на пары (gi, hi ), i = 1,k. Если Q1 – пустой набор, то величину (,Q2 ) назовем стоимостью организации набора Q2 “с нуля”.

Если Q2 – пустой набор, то величину (Q1,) назовем стоимостью деорганизации набора Q1.

Задача о поиске разбиения на пары минимальной суммарной стоимости является задачей о назначениях. Таким образом, стоимость реорганизации эффективно вычисляется. Методы решения задачи о назначениях приведены, например, в работе [7].

Поясним определение. Предположим, что необходимо реорганизовать некоторый набор (множество) групп Q1 в набор Q2. Рассмотрим две группы: g Q1 и h Q2. Затраты на деорганизацию g и последующую организацию h “с нуля” составят (g,) + (, h). Затраты на непосредственную реорга низацию g в h составят (g,h). Второй способ предпочтительнее в силу неравенства (g, h) (g,) + (, h) (см. лемму 5.3).

Поэтому для реорганизации Q1 в Q2 разбиваем эти наборы на пары (g, h) Q1 Q2 и реорганизуем g в h. Если Q1 < Q2, то оставшиеся после разбиения на пары группы набора Q организуем “с нуля”. А если Q1 > Q2, то оставшиеся группы Набор групп Q – некоторое множество групп, в частности пустое. Q – количество групп в наборе (мощность). В наборе могут быть одинаковые (повторяющиеся) группы.

набора Q1 деорганизуем. Таким образом, набор с меньшей мощностью дополняем пустыми множествами до достижения мощности другого набора. Разбивая полученные наборы на пары и суммируя стоимость реорганизации первой группы пары во вторую, получим стоимость реорганизации набора Q1 в набор Q2.

Разбиение на пары производим таким образом, чтобы стоимость реорганизации была минимальна. Если Q1 – пустой набор, то получим стоимость организации набора Q2 “с нуля” (или сумму стоимостей организации всех групп набора “с нуля”), если Q2 – пустой набор, то получим стоимость деорганизации набора Q (или сумму стоимостей деорганизации всех групп набора).

Лемма 5.4. Добавление к любому из наборов групп Q1, Q произвольного числа пустых множеств не меняет значения (Q1,Q2 ).

Доказательство. Обозначим k1 = Q1, k2 = Q2, k = max(k1,k2).

При вычислении (Q1,Q2 ) к Q1 добавляется k - k1 пустых множеств, к Q2 добавляется k - k2 пустых множеств. Обозначим полученные после добавления наборы через Q1 и Q2. Далее выбираются пары (gi,hi ) Q1 Q2, i = 1,k так, чтобы i=1,k (gi, hi ) была минимальна.

Добавим к одному из наборов Q1, Q2 пустые множества.

Обозначим мощность полученного набора через k. Если k k, то при вычислении (Q1,Q2 ) снова получим наборы Q1 и Q2, то есть не изменим (Q1,Q2 ).

Если k > k, то при вычислении (Q1,Q2 ) получим наборы j Q1 и Q2, где Q получается из Qj добавлением k - k пустых множеств, j = 1, 2. Наборы Q1 и Q2 можно разбить на пары следующим образом: сохраним разбиение наборов Q1 и Q2, оставшиеся пары состоят из пустых множеств. Учитывая (,) = 0, получим, что (Q1,Q2 ) (Q1,Q2 ) = (Q1,Q2 ).

Рассмотрим разбиение наборов Q1 и Q2 на пары (gi,hi ) Q1 Q2, i = 1,k, при котором (Q1,Q2 ) = i=1,k (gi, hi ). Если в нем есть две пары вида (g,), (, h), g, h, то переформируем их в пары (g,h), (,). При таком разбиении снова получим (Q1,Q2), так как сумма не увеличилась в силу (g, h) (g,) + (, h) (см. лемму 5.3), (,) = 0. Повторяя такие действия, получим в результате разбиение, в котором нет двух пар вида (g,), (, h).

Такое разбиение может быть получено из некоторого разбиения наборов Q1 и Q2 добавлением пар, состоящих из пустых множеств. Таким образом, (Q1,Q2 ) = (Q1,Q2 ) (Q1,Q2 ). То есть (Q1,Q2 ) = (Q1,Q2 ). Лемма доказана.

Лемма 5.5. Если для любых групп f и g выполнена первая аксиома метрики, то и для любых наборов непустых групп Q1 и Q также выполнена первая аксиома метрики: равенство (Q1,Q2 ) = эквивалентно равенству Q1 = Q2.

Доказательство. (Q1,Q2 ) = 0 тогда и только тогда, когда Q1 = Q2 = k, так как иначе добавляются пустые множества, а (g,) > 0 и (, h) > 0 для любых непустых групп g и h. Далее имеем (Q1,Q2 ) = min i=1,k (gi, hi ) = 0 тогда и только тогда, когда наборы Q1 и Q2 разбиваются на пары (gi, hi ), для которых (gi,hi ) = 0, то есть на пары одинаковых множеств, что возможно лишь при Q1 = Q2. Лемма доказана.

Лемма 5.6. Если для любых групп выполнена вторая аксиома метрики, то и для любых наборов групп Q1 и Q2 также выполнена вторая аксиома метрики (симметричность): (Q1,Q2 ) = (Q2,Q1).

Доказательство. Добавим пустые множества так, чтобы наборы Q1 и Q2 содержали одинаковое количество k множеств.

Тогда имеем (Q1,Q2) = min i=1,k (gi, hi ) = mini=1,k (hi, gi ) = = (Q2,Q1). Лемма доказана.

Лемма 5.7. Для произвольных наборов групп Q1, Q2, Q выполнено неравенство треугольника: (Q1,Q3) (Q1,Q2) + (Q2,Q3).

Доказательство. Обозначим k = max(Q1, Q2, Q3 ). Добавим к Q1, Q2, Q3 пустые множества так, чтобы k = Q1 = Q2 = Q3. По лемме 5.4 это не изменит величин (Q1,Q3), (Q1,Q2 ), (Q2,Q3).

Предположим, что ( fi, gi ), i = 1, k – разбиение множеств Q1 и Q на пары, которое соответствует значению (Q1,Q2 ), а (gi,hi ), i = 1,k – разбиение множеств Q2 и Q3 на пары, которое соответствует значению (Q2,Q3), тогда имеем: (Q1,Q2)+ (Q2,Q3) = = i=1,k[ ( fi, gi ) + (gi,hi )] i=1,k ( fi,hi ) (Q1,Q3), где послед нее неравенство выполнено в силу того, что (Q1,Q3) соответст вует разбиению наборов групп Q1 и Q3 на пары с минимальной суммарной стоимостью реорганизации. Лемма доказана.

Утверждение 5.2. Если для всех a N выполнено (a) = (a) = (a) > 0, то стоимость реорганизации является метрикой наборах непустых групп.

Доказательство. По утверждению 5.1 стоимость реорганизации любых групп удовлетворяет первой и второй аксиомам метрики и неравенству треугольника. По леммам 5.5-5. этого достаточно для того, чтобы те же свойства выполнялись для любых наборов непустых групп. Утверждение доказано.

3. Стоимость реорганизации графов.

Определение 5.3. Для произвольных ориентированных графов G1 = (V1, E1) и G2 = (V2, E2 ), вершины которых являются группами (V1,V2 F {}), стоимостью реорганизации G1 в G назовем величину (G1,G2 ) = min i=1,k (QG1 (gi ),QG2 (hi )),1 где k = max(V1, V2 ), множество вершин меньшей мощности дополне но изолированными вершинами до мощности k, минимум берется по всевозможным разбиениям множеств V1 и V2 на пары (gi, hi ), i = 1, k. Если G1 = (,) – пустой граф, то величину (,G2 ) назовем стоимостью организации графа G2 “с нуля”. Если G2 = (,) – пустой граф, то величину (G1,) назовем стоимостью деорганизации графа G1.

Через QG (g) обозначено множество (набор) вершин, которые непосредственно подчинены g, то есть из которых идут ребра в g в графе G1. Аналогично QG (h) – вершины, непосредственно подчиненные h в G2.

Задача о поиске разбиения на пары минимальной суммарной стоимости является задачей о назначениях (см., например, [7]).

Таким образом, стоимость реорганизации эффективно вычисляется.

Поясним определение. Пусть G1 = (V1, E1) O(N) и G2 = (V2, E2 ) O(N) – графы организации над некоторым множ еством элементов N (см. опр. 1.19). Предположим, что G1 необ ходимо реорганизовать в G2. Рассмотрим вершины g V1 \ NG1 и h V2 \ NG2. Они организуются из наборов подгрупп QG1 (g) и QG2 (h) соответственно. Необходимо некоторым образом “пере строить” звено ZG1 (g) в звено ZG2 (h).1 Для подгрупп h1 QG1 (g) и h2 QG2 (h) проделаем следующее: освободим (деорганизуем) элементы из h1 \ h2 от участия в группе g, а затем привлечем (организуем) элементы из h2 \ h1 к участию в группе h. Аналоги чно поступаем и с другими парами групп из QG1 (g) QG2 (h).

Минимальная стоимость таких перестроений составит (QG1 (g),QG2 (h)) (см. опр. 5.2). Стоимость освобождения всех элементов от участия в g и привлечения к участию в h составит (QG1 (g),) + (,QG2 (h)), что не меньше (QG1 (g),QG2 (h)) в силу неравенства треугольника (см. лемму 5.7).

Таким образом, для реорганизации G1 в G2 разобьем множества V1 и V2 на пары (g,h) V1 V2 и реорганизуем QG1 (g) в QG2 (h). Если V1 < V2, то оставшиеся после разбиения на пары группы V2 организуем “с нуля” из соответствующих подгрупп. А если V1 > V2, то для оставшихся групп V1 “разрушим” их организацию из подгрупп. Таким образом, одно из множеств V или V2 дополняем изолированными вершинами до достижения мощности другого. Разбивая полученные множества вершин на пары и суммируя стоимость реорганизации соответствующих наборов подгрупп, получим стоимость реорганизации графа G1 в Звено состоит из вершины-центра, непосредственно подчиненных ей вершин и ребер, соответствующих этим подчинением (см. опр. 1.5).

граф G2. Разбиение на пары производим таким образом, чтобы стоимость реорганизации была минимальна.

На графах организации можно определить стоимость реорганизации как сумму по всем парам неначальных вершин. При этом, как показано в [31], стоимость реорганизации будет совпадать со стоимостью определения 5.3. Таким образом, понятие стоимости реорганизации может быть расширено на произвольные ориентированные графы.

Лемма 5.8. При добавлении к любому из графов G1 = (V1, E1) и G2 = (V2, E2 ) любого числа изолированных вершин стоимость реорганизации (G1,G2 ) не изменится.

Доказательство. Обозначим k1 = V1, k2 = V2, k = max(k1,k2 ).

При вычислении (G1,G2 ) к V1 добавляется k - k1 изолированных вершин, к V2 добавляется k - k2 изолированных вершин. Обозна чим полученные множества вершин через V1 и V2. Далее выбира ются пары (gi,hi )V1V2, i =1,k так, чтобы i=1,k (QG1(gi ),QG2 (hi )) была минимальна. Добавим к одному из множеств V1 или V изолированные вершины. Обозначим мощность полученного множества вершин через k, а соответствующие графы через G3 и G4. Если k k, то при вычислении (G3,G4 ) снова получим множества вершин V1 и V2, то есть (G3,G4 ) = (G1,G2 ).

Если k > k, то при вычислении (G3,G4 ) получим множества вершин V1 и V2, где Vj образуется из Vj добавлением k - k изолированных вершин, j = 1,2. Множества V1 и V2 можно разбить на пары следующим образом: сохраним разбиение для V1, V2, оставшиеся пары (g,h) состоят из изолированных вершин, следовательно (QG3 (g),QG4 (h)) = (,) = 0. Таким образом, (G3,G4 ) (G1,G2 ). Рассмотрим разбиение множеств V1 и V на пары (gi,hi ) V1 V2, i = 1,k, при котором (G3,G4) = = i=1,k (QG3 (gi ),QG4 (hi )). Если в нем имеются две пары вида (Q(g),) и (,Q(h)), где Q(g) и Q(h), то переформиру ем их в пары (Q(g),Q(h)) и (,). При таком разбиении снова получим (G3,G4 ), так как сумма не увеличилась в силу неравен ства треугольника (см. лемму 5.7) (Q(g),Q(h)) (Q(g),) + + (,Q(h)) и равенства (,) = 0. Повторяя такие действия, получим в результате разбиение, в котором нет двух пар вида (Q(g),) и (,Q(h)). Такое разбиение может быть получено из некоторого разбиения множеств V1 и V2 добавлением пар (g,h), состоящих из изолированных вершин, для которых (Q(g),Q(h)) = = (,) = 0. Таким образом, (G1,G2) (G3,G4). То есть (G1,G2 ) = (G3,G4 ). Лемма доказана.

Лемма 5.9. Если для любых наборов непустых групп выполнена первая аксиома метрики, то и для любых графов организации G1 = (V1,E1)O(N) и G2 = (V2,E2)O(N) без изолиро ванных вершин также выполнена первая аксиома метрики: равен ство (G1,G2) = 0 эквивалентно равенству G1 = G2 (V1 =V2 и E1 = E2).

Доказательство. Очевидно, что из G1 = G2 следует (G1,G2 ) = 0, докажем обратное. Пусть (G1,G2 ) = 0. При вычислении (G1,G2 ), добавив изолированные вершины, получим множества вершин V1 и V2 такие, что V1 = V2 = k. Тогда (G1,G2 ) = i=1,k (QG1 (gi ),QG2 (hi )), где (gi, hi ), i = 1,k – некото рое разбиение на пары множеств V1 и V2. Из (G1,G2 ) = 0 следует (QG1 (gi ),QG2 (hi )) = 0. Так как G1 и G2 – графы организации, то V1 и V2 содержат только непустые группы. Следовательно, QG1 (gi ) и QG2 (hi ) являются наборами непустых групп, поэтому QG1 (gi ) = QG2 (hi ). Для каждой неначальной вершины g V \ NG любого графа организации G выполнено g = h. В силу hQG (g ) QG1 (gi ) = QG2 (hi ) неначальные вершины из V1 и V2 разбиваются на пары gi = hi, причем в gi входят в графе G1 ребра из тех же вершин, что и в hi в графе G2. Начальные вершины G1 не могут соответствовать неначальным вершинам G2 в силу QG1 (gi ) = QG2 (hi ). Следовательно, множества неначальных вершин из G1 и из G2 совпадают. Из любой начальной вершины {a}V1 в графе G1 выходит хотя бы одно ребро (она не изолирована) в неначальную вершину g V1 \ NG1. Следовательно, g V2 и в G2 также имеется ребро ({a}, g). То есть {a}V2.

Обратное также верно. Имеем V1 = V2. Условие (g, h) E эквивалентно условию (g, h) E2 в силу того, что ребра G1, входящие в h, совпадают с ребрами G2, входящими в h. Таким образом, E1 = E2, из чего следует G1 = G2. Лемма доказана.

Лемма 5.10. Если для любых наборов групп выполнена вторая аксиома метрики, то и для любых графов G1 и G2 также выполнена вторая аксиома метрики (симметричность):

(G1,G2 ) = (G2,G1).

Доказательство. Добавим изолированные вершины так, чтобы графы G1 и G2 содержали одинаковое количество k вершин. Тогда имеем (G1,G2) = min i=1,k (QG1 (gi ),QG2 (hi )) = = min i=1,k (QG2 (hi ),QG1 (gi)) = (G2,G1). Лемма доказана.

Лемма 5.11. Для произвольных графов G1 = (V1, E1), G2 = (V2, E2 ), G3 = (V3, E3) выполнено неравенство треугольника:

(G1,G3) (G1,G2 ) + (G2,G3).

Доказательство. Обозначим k = max(V1, V2, V3 ). Добавим к V1, V2, V3 изолированные вершины так, чтобы k = V1 = V2 = V3.

По лемме 5.8 это не изменит величин (G1,G3), (G1,G2 ), (G2,G3). Пусть ( fi, gi ), i = 1,k – разбиение множеств V1 и V2 на пары, которое соответствует значению (G1,G2 ), а (gi, hi ), i = 1,k – разбиение множеств V2 и V3 на пары, которое соответствует зна чению (G2,G3). Тогда (G1,G2)+ (G2,G3) = i=1,k[ (QG1( fi),QG2 (gi))+ + (QG2 (gi ),QG3 (hi ))] i=1,k (QG1 ( fi ),QG3 (hi )). Последняя сумма больше или равна (G1,G3) в силу того, что (G1,G3) соответствует разбиению на пары с минимальной суммарной стоимостью реорганизации. Лемма доказана.

Утверждение 5.3. Если для всех a N выполнено (a) = (a) = (a) > 0, то стоимость реорганизации является метрикой на множестве графов организации без изолированных вершин.

Доказательство. По утверждению 5.2 стоимость реорганизации наборов непустых групп удовлетворяет первой и второй аксиомам метрики и неравенству треугольника. По леммам 5.9-5.11 этого достаточно для того, чтобы те же свойства выполнялись для любых графов организации без изолированных вершин. Утверждение доказано.

4. Некоторые свойства стоимости реорганизации.

Лемма 5.12. Для любых наборов групп Q и Q выполнено (g, g ) (Q,Q ), где g = h и g = h – группы, hQ hQ образующиеся в результате объединения групп каждого из наборов. Если наборы Q и Q содержат только неповторяющиеся элементарные группы, то вышеуказанное неравенство выполнено как равенство.

Доказательство. (g, g ) = ag\g (a) + ag\g (a).

Пусть a g \ g. Тогда существует группа h Q, для которой a h, и не существует группы h Q, для которой a h. При вычислении (Q,Q ) множество h входит в некоторую пару (h, h), где h Q или h =. В обоих случаях a h. Таким образом, слагаемое (a) входит в (h, h), которое, в свою оче редь, входит в (Q,Q ). Аналогично, если a g \ g, то слага емое (a) входит в (Q,Q ). То есть (g, g ) (Q,Q ).

Пусть Q = {{a} : a g } и Q = {{a}: a g }. Рассмотрим следующее разбиение наборов Q и Q на пары. Для каждого a g g включим в разбиение пару ({a},{a}). Остальные пары имеют один из трех видов: ({a },{a }), ({a },), (,{a }), где a g, a g. Рассмотрим a g \ g. Группа {a} войдет ровно в одну из пар указанного вида, следовательно величина (a) войдет в (Q,Q ) ровно один раз. Аналогично, для a g \ g величина (a) войдет в (Q,Q ) ровно один раз. Итак, при указанном разбиении наборов Q и Q на пары выполнено (g, g ) = = (Q,Q ). В силу доказанного выше неравенства величина (Q,Q ) не может быть меньше (g, g ). Следовательно, построенное разбиение является оптимальным. Лемма доказана.

Итак, для любых разбиений групп g и g на подгруппы стоимость (Q,Q ) реорганизации набора подгрупп Q в набор Q не меньше, чем стоимость (g, g ) реорганизации группы g в группу g. Причем равенство имеет место, если разбиение веерное, то есть каждая группа разбивается на входящие в нее элементарные подгруппы.

Утверждение 5.4. Для любой организации G = (V, E) O(f ) набора групп f = { f1,, fm} выполнено (,Gвеер ) (,G) и (Gвеер,) (G,), где Gвеер – веерная организация набора групп f (см. опр. 1.26).

Доказательство. (,G) = gV (,QG(g)) i=1,m (,QG( fi )).

Неравенство выполнено, так как группы f1,, fm входят в G (см.

опр. 1.22). По лемме 5. i=1,m (,QG ( fi )) i=1,m (, fi ).

Множество вершин графа Gвеер состоит из f1,, fm и неповторя ющихся элементарных вершин. В элементарную вершину {a} ребер не входит. Поэтому (,QGвеер ({a})) = (,) = 0 и для величины (,Gвеер ) имеем (,Gвеер) = i=1,m (,QGвеер ( fi )) = = i=1,m (, fi ), где последнее равенство выполнено в силу леммы 5.12, так как набор QGвеер ( fi ) содержит только неповторяющиеся элементарные группы, входящие в fi.

Неравенство (Gвеер,) (G,) доказывается аналогично с точностью до изменения порядка аргументов. Утверждение доказано.

Таким образом, среди всех организаций G O(f ) заданного набора групп f стоимость деорганизации и организации “с нуля” минимальна для веерной организации. Интуитивно ясно, что веерная организация “самая простая” и “дешевле всего” организуется и разрушается. Утверждение 5.4 показывает, что введенная стоимость реорганизации согласуется с этим интуитивным представлением.

§2. Динамика структуры организационной системы.

1. Определение структуры.

Не конкретизируя понятие организационной системы (см.

введение к главе), будем рассматривать ее на протяжении T единиц времени.

Определение 5.4. Множество конечных исполнителей (множество элементов) организационной системы обозначим через N = {a1,, an} и будем считать неизменным на протяжении рассматриваемого интервала времени.

t t Определение 5.5. Через f = { f1t,, fmt }, t = 1,T обозначим набор групп исполнителей, которые должны быть организованы на протяжении единицы времени t для выполнения организационной системой своих функций.

Определение 5.6. Структурой организационной системы на протяжении единицы времени t назовем любой граф организации t t Gt O(f ) набора групп f.

Содержательно определения 5.5 и 5.6 можно пояснить следующим образом. Функция системы (выпуск изделия, оказание услуги и т. п.) может быть реализована с помощью совместной работы некоторой группы конечных исполнителей. Считаем, что внешняя среда (например, конъюнктура рынка) определяет, что в течение единицы времени t система должна выполнить некоторое количество mt функций, причем их выполнение требует t t t организации набора групп f = { f1t,, fmt }. Граф Gt O(f ) t организации групп набора f определяет структуру управления исполнителями для координации их взаимодействия в нужных группах. Набор организуемых групп (выполняемых функций) может изменяться при изменении t, что влечет необходимость изменения структуры организационной системы Gt.

2. Пример содержательной интерпретации понятия “внешняя среда”.

В данном пункте приводятся неформальные рассуждения, которые дают содержательные интерпретации “внешней среды”, никак не влияя на дальнейшее изложение. Пункт поясняет разграничение тех параметров системы, которые мы относим к управляемым, и тех, которые заданы “извне”.

Как правило, выполнение тех или иных функций с течением времени становится более или менее выгодным, что и влечет t изменение набора организуемых групп f. Кроме того, одну и ту же функцию, вообще говоря, могут реализовать различные группы в силу взаимозаменяемости исполнителей. Таким образом, решение о прекращении реализации одних функций и начале реализации других, а также о том, какая группа исполнителей будет реализовывать новую функцию, принимает некоторый “управляющий орган”, который зачастую находится внутри организационной системы (руководит ей). Однако предмет исследования данной работы – структура. Поэтому решение “управляющего органа” мы относим к “внешним условиям”, считая что выбор структуры осуществляется по некоторым образом заданному набору групп. То есть задача оптимизации структуры решается отдельно от остальных задач управления организационной системой. Такой поход позволяет исследовать структурные явления “сами по себе” и возможно будет в какой-то мере способствовать построению общей модели оптимального управления организационной системой.

Приведем пример принятия “управляющим органом” решения о выполнении функций и создании соответствующих групп. Предположим, что система получает доход, выпуская некоторые изделия из заданного набора I1,, Iq, определяющего отрасль. В течение единицы времени t считаем неизменным t t вектор цен на реализуемые изделия pt = ( p1,, pq ). Набор операций (элементарных работ), необходимых для выпуска всех изделий, обозначим через e1,,er. Считаем заданной матрицу технологических коэффициентов W = {wk, j}, где wk, j 0 – количество единиц элементарной работы e, необходимое для j выпуска единицы изделия Ik, k = 1,q, j = 1,r. Обозначим через s (a) количество элементарной работы e, которое исполнитель j j a N способен выполнить за единицу времени. Вектор производительности исполнителя a обозначим через s(a) = (s1(a),, sr (a)).

Предположим, что “управляющий орган” принимает решение о выпуске изделий в объемах, определяемых вектором t t yt = (y1,, yq ). Тогда он должен определить, какую работу выполняет каждый исполнитель, причем суммарный объем выполненных работ должен быть достаточным для выпуска всех изделий. Для этого определяется доля 0 xtj (a) 1 единицы времени t, которую исполнитель a уделяет выполнению элементарной работы e, j=1,r xtj (a) 1. Вектор плана работ j t t исполнителя обозначим через xt (a) = (x1 (a),, xr (a)). Должны t выполняться неравенства k=1,q yk wk, aN s (a)xtj (a), j =1,r j j для выполнения работ в требуемых объемах.

“Управляющий орган” может поставить перед собой задачу максимизации полученной за единицу времени t выручки, то есть максимизировать величину y1 p1 + + yq pq при вышеуказанных t t ограничениях. Тогда планы выпуска yt = (y1,, yq ) и планы t t работ xt (a) = (x1 (a),, xr (a)) каждого исполнителя a N определяются в результате решения задачи линейного программирования. Обеспечив максимально возможную выручку, “управляющий орган” распределяет выполненный объем работ по t изделиям, определяя тем самым группы исполнителей f1t,, fmt, участвующие в выпуске каждого из изделий.

Возможно построение и более сложных моделей работы “управляющего органа”, в которых он может также некоторым образом изменять набор конечных исполнителей N (выбирать “кадровую политику”), учитывая не только выручку, но и затраты на содержание исполнителей, и максимизируя валовую прибыль.

Возможно подобные модели (см. [15]) при достаточно детальном исследовании смогут описать структурные изменения совместно с другими аспектами управления организационной системой. В данной работе моделируется только изменение набора t t организуемых групп f = { f1t,, fmt }. Приведенный пример t работы “управляющего органа” показывает, что изменение f может интерпретироваться как результат изменения вектора цен t t pt = ( p1,, pq ) (снижения цен на одни изделия и повышения цен на другие), в результате которого “управляющий орган” принимает решение о прекращении выпуска одних изделий и начале выпуска других.

3. Управление структурой.

Определение 5.7. Множество всевозможных наборов групп из F обозначим через F. Информацией о внешней среде, известной к началу единицы времени t, считаем наборы групп 1 t 1 T f,,f. Динамикой внешней среды назовем наборы f,,f.

Таким образом, к началу единицы времени t известно, какой t набор групп f нужно организовать, и какие наборы групп нужно было организовать на протяжении предыдущих единиц времени.

То есть известна “история” изменения внешней среды.

Определение 5.8. Управлением структурой организационной системы в момент времени t назовем отображение t-1 t t : F F O(f ) O(f ), первые t аргументов которого t представляют собой информацию о внешней среде, а последний – структуру системы на протяжении единицы времени t -1, t = 2,T.

Управлением в первый момент времени назовем отображение 1 : F O(f1). Совокупность управлений t на изучаемом отрезке времени обозначим через = (1,, T ) и назовем управлением структурой.

Определение 5.9. Управление структурой назовем t простейшим, если для любого t = 1,T выполнено t : F O(f ).

Управление структурой в момент времени t определяет t Gt O(f ) – граф организации заданного внешней средой набора t групп f, то есть структуру организационной системы на протяжении единицы времени t, исходя из известной информации о внешней среде и “текущей” структуры системы, то есть структуры на протяжении единицы времени t -1. Структура в первый момент времени выбирается из множества O(f ) без учета какой-либо информации, так как к этому моменту известен лишь набор групп f. Простейшее управление структурой выбирает Gt t из множества O(f ) без учета информации о состоянии внешней среды в предыдущие единицы времени и без учета “текущей” структуры системы.

Определение 5.10. Результатом управления структурой T назовем следующую величину1 R(f1, f, ) = = t =1,T [P(Gt ) + (Gt -1,Gt )], где Gt = t (f 1,,f t,Gt-1) для T t = 2, n, G0 = G1 = 1(f ). Первую и вторую часть результата 1 T обозначим соответственно через P(f, f, ) = t=1,T P(Gt ) и T 1 T (f, f, ) = t=1,T (Gt-1,Gt ). Если ясно, о какой динамике T внешней среды идет речь, то первые аргументы будем опускать, используя запись R(), P(), ().

Результат управления структурой при каждом t складывается из затрат на функционирование системы, определяемых функционалом P (см. введение к главе), и из затрат на реструктуризацию (Gt-1,Gt ) (см. §1), то есть из стоимости создания (построения) структуры Gt из сложившейся к началу единицы времени t структуры Gt-1. Считаем, что в первый момент времени структура G1 “уже имеется” и не требует затрат на построение (G0 = G1). Общий результат управления структурой В определении суммарные затраты делятся на T, то есть вычисляются удельные затраты на единицу времени. При фиксированном T это никак не влияет на оптимальность управления. Во введении и заключении затраты названы суммарными для краткости.

1 T зависит от динамики внешней среды f, f и от управления, определяющего структуры G1,,GT.

Определение 5.11. Оптимальным управлением назовем управление структурой, минимизирующее результат, то есть 1 T arg min R(f, f, ).

Таким образом, оптимальное управление минимизирует средние затраты на функционирование системы и на реструктуризацию на протяжении конечного числа единиц времени T. Оптимальное управление зависит от динамики 1 T внешней среды f, f, которая, как правило, заранее неизвестна.

Если имеется некоторый прогноз – вероятностное распределение динамики внешней среды, то можно определить управление, оптимальное в среднем.

Определение 5.12. Оптимальным в среднем управлением назовем управление структурой, минимизирующее средний 1 T результат, то есть arg min R(f, f, ), где математическое 1 T ожидание берется по динамике внешней среды f, f с известным распределением.

Задача об оптимальном управлении представляется весьма сложной для аналитического решения. Однако, если отображения 1,,T эффективно вычисляются, то результат управления 1 T структурой при заданной динамике внешней среды f, f также может быть эффективно вычислен. Таким образом, если рассматривается набор эффективно вычисляемых управлений, то среди них можно найти оптимальное. Оптимальное в среднем управление можно вычислить путем замены математического ожидания выборочным средним.

4. l -усечения как пример простейших управлений структурой.

Определение 5.13. Для произвольного графа организации G = (V, E) O(N ) уровнем LG (g) вершины g V назовем максимальную длину пути из g в терминальную вершину.

Уровень любой вершины конечен в силу ацикличности графа организации (см. опр. 1.19). Уровень терминальных вершин нулевой, уровень остальных вершин равен максимальной длине цепочки “начальников” данной вершины, то есть максимальной длине пути в терминальную вершину.

Определение 5.14. Уровнем L(G)1 графа организации G = (V, E) O(N ) назовем максимальный уровень вершины графа:

L(G) = max LG (g).

gV Далее в этой главе будем рассматривать множество O(f ) организаций различных наборов групп f с заданным структурным функционалом стоимости. Если в набор f = { f1,, fm-1,{a}} входит элементарная группа {a}, то в случае a f1 fm- удаление {a} из набора f не изменит графов O(f ), а в случае a f1 fm-1 после добавления к графам O({ f1,, fm-1}) изолированной вершины {a} получим графы из O(f ), причем стоимость не изменится в силу структурности функционала. В силу леммы 5.8 добавление изолированных вершин не изменяет также стоимость реорганизации. Таким образом, не ограничивая общности, ниже будем считать, что набор f содержит только неэлементарные группы.

Утверждение 5.5. Для произвольной организации G = (V, E) O(f ) набора групп f = { f1,, fm} выполнено L(G) = тогда и только тогда, когда G – веерная организация.

Здесь и далее одной и той же буквой L обозначается как уровень вершины графа, так и уровень самого графа, что не вызывает путаницы в силу различия аргументов L.

Доказательство. Пусть G – веерная организация. Тогда V состоит из групп f1,, fm и неповторяющихся элементарных групп вида {a}, где a f1 fm, причем ребра в f1,, fm могут идти только из элементарных групп (см. опр. 1.26). Все элементарные группы являются начальными. Все терминальные вершины G входят в набор f = { f1,, fm}. Если бы существовал путь длины два и более из начальной вершины {a} в терминаль ную вершину fi, то нашлась бы промежуточная вершина g, g > 1, с помощью которой организуется fi, что противоречит определению веерной организации. Таким образом, L(G) = 1.

Пусть L(G) = 1. Если неэлементарная вершина g V не принадлежит набору f, то g не является терминальной и из нее выходит по крайней мере одно ребро. В силу неэлементарности g в нее также входит ребро. То есть в G существует путь длины 2, что противоречит равенству L(G) = 1. Итак, V состоит из групп f1,, fm и элементарных групп вида {a}, где a f1 fm (элементарных групп другого вида быть не может, так как в этом случае найдется терминальная вершина, не входящая в f ). Если элементарная группа {a} повторяется, то хотя бы один из экземпляров {a} неначальный, в него входит ребро из другого экземпляра {a}. Кроме того, {a} f (f содержит лишь неэлементарные группы), следовательно {a} нетерминальная и из нее выходит хотя бы одной ребро. То есть в G существует путь длины 2, что противоречит равенству L(G) = 1. Итак, элементар ные группы не повторяются. Группа fi, i = 1, m организуется из элементарных подгрупп, так как иначе в G нашелся бы путь длины 2. То есть G – веерная организация. Утверждение доказано.

Таким образом, веерная организация и только она имеет минимальный уровень среди всех организаций множества O(f ).

Определение 5.15. Для произвольного графа организации G = (V, E) O(f) набора групп f = { f1,, fm} назовем l -усечением графа G, l 1 граф Gl O(f ), который получается в результате следующей процедуры. Удаляем из G неначальные вершины с уровнем, большим или равным l, вместе с инцидентными им ребрами. Получим граф G = (V,E ), где V = (V \{g : LG(g) l}) NG.

Если неначальная вершина g V не покрывается в G подгруппами из QG (g), то добавляем к E ребра ({a}, g) для всех a g \ h. Если для некоторого 1 i m fi V, то hQG (g) добавим к V группу fi, а к E ребра ({a}, fi ) для a fi. В результате получим граф Gl O(f ) организации набора групп f.

Если l > L(G), то никаких перестроений не происходит. При l L(G) в графе Gl останутся начальные вершины и вершины с уровнем l -1 и менее. Следовательно, уровень некоторых начальных вершин будет равен l, то есть выполнено L(Gl ) = l.

Таким образом, Gl получается из G с сохранением l старших уровней иерархии (с номерами от 0 до l -1) и удалением остальных неначальных вершин.

На рис. 5.1 приведен пример графа G организации двух групп f1, f2 и его 2-усечение G2. Выполнено LG ( f2 ) = 2, следовательно при построении G2 вершина f2 будет удалена, а затем организована из входящих в нее элементарных групп.

f1 = {a1,a2,...,a8} f1 = {a1,a2,...,a8} {a1,a2,a3,a4} {a5,a6,a7,a8} {a1,a2,a3,a4} {a5,a6,a7,a8} f2 = {a7,a8} {a1,a2} {a3,a4} {a5,a6} f2 = {a7,a8} {a1} {a2} {a3} {a4} {a5} {a6} {a7} {a8} {a1} {a2} {a3} {a4} {a5} {a6} {a7} {a8} Рис. 5.1. Граф G O({ f1, f2}) организации набора групп { f1, f2} и его 2-усечение G2.

На рис. 5.2 приведен еще один пример 2-усечения графа G O({ f1, f2}). Выполнено LG ({a3, a4}) = 2. Удаляем группу {a3, a4}. Она использовалась при организации групп f1 = {a1, a2, a3,a4} и {a3, a4,a5}. Соответственно, добавляем ребра ({a3}, f1) и ({a4}, f1) для организации группы f1 (группа {a1, a2} и ребро ({a1,a2}, f1) остаются без изменений). Группа {a3,a4, a5} в G2 организована из входящих в нее элементарных групп.

f1 = {a1,a2,a3,a4} f2 = {a3,a4,a5,a6} f1 = {a1,a2,a3,a4} f2 = {a3,a4,a5,a6} {a3,a4,a5} {a3,a4,a5} {a1,a2} {a3,a4} {a1,a2} {a1} {a2} {a3} {a4} {a5} {a6} {a1} {a2} {a3} {a4} {a5} {a6} Рис. 5.2. Граф G O({ f1, f2}) организации набора групп { f1, f2} и его 2-усечение G2.

Итак, для любого графа G O(f ) определение 5.15 дает ряд графов G1,G2,,GL(G) O(f ), первый из которых представляет собой “простейшую“ веерную организацию, последний совпадает с графом G. То есть в графах G1,G2,,GL(G) последовательно “появляются” новые уровни управляющих (неначальных) вершин до тех пор, пока не будет получена исходная организация G.

Определение 5.16. Для l 1 l -управлением структурой l назовем простейшее управление (см. опр. 5.9), которое в каждый t t момент времени t = 1,T имеет вид lt (f ) = Glt, где Glt O(f ) – t t t l -усечение оптимальной на O(f ) организации G* O(f ) набора t групп f, то есть организации, минимизирующей функционал P:

t G* = arg mint P(G).

GO(f ) В каждый момент времени 1-управление 1 определяет веерную организацию заданного внешней средой набора групп.

t-1 t Если в группах наборов f и f нет ни одного общего элемента (группы отличаются “максимально сильно”), то переход от структуры Gt-1 к Gt сопровождается деорганизацией Gt-1 и организацией Gt “с нуля”. По утверждению 5.4 для веерной организации стоимость деорганизации и организации “с нуля” минимальна. То есть в случае максимальных изменений наборов организуемых групп управление 1 минимизирует затраты на 1 T реорганизацию (вторую часть результата (f, f, 1)).

При достаточно большом l = l max управление l max определяет оптимальную (в статике) организацию заданного внешней средой набора групп. То есть управление l max минимизирует суммарные затраты на функционирование системы 1 T (первую часть результата P(f, f,l max )).

Итак, при минимальном и максимальном l получаем в некотором смысле противоположные управления, которые соответствуют минимуму и максимуму уровней иерархии.

Если стоимость реорганизации нулевая, то оптимально управление l max, если функционал P нулевой, то при максимальных изменениях наборов групп оптимально управление 1. В общем случае оптимально1 некоторое “промежуточное” управление l, 1 < l < l max, при котором структуры содержат l уровней иерархии. Таким образом, построен набор простейших управлений.

§3. Исследование модели управления структурными изменениями.

В данном параграфе проводится численное сравнение результатов l -управлений l и находится оптимальное управление lopt.

В главе IV разработаны алгоритмы поиска оптимальной на Op (f ) последовательной организации произвольного набора групп. Для существенно выпуклых функционалов они дают также и оптимальную на O(f ) организацию (см. теор. 1.8). В этом случае применяем вышеуказанные алгоритмы для вычисления l -управлений l. Аналогичным образом поступаем и в случае не существенно выпуклого функционала, используя оптимальную на t Op (f ) организацию для вычисления l -управления вместо t организации, оптимальной на O(f ), и комментируя полученные результаты соответствующим образом.

Имеется ввиду оптимальное среди всех l -управлений.

1. Параметры динамики внешней среды.

Для моделирования рассмотрим следующий пример. Количе ство исполнителей (элементов) n = 30, соответственно множество исполнителей N = {a1,, a30}. Определим тридцать групп f1 = {a1, a2,, a12}, f2 = {a2,a3,, a13},…, f30 = {a30, a1,a2,,a11}.

Группы f1,, f30 имеют мощность 12. Группа fi+1 отличается от группы fi тем, что в нее добавлен один исполнитель, а один наоборот убран.

Определим наборы групп f1 = { f1,, f10}, f2 = { f2,, f11}, …,f30 = { f30, f1,, f9}. То есть f1 включает группы с первой по десятую, f2 – со второй по одиннадцатую, и т. д. Рассмотрим орга низационную систему на протяжении тридцати единиц времени, T = 30. Введем параметр скорости изменения внешней среды 0 s 1. Тогда в качестве набора групп, организуемых в момент t времени t, определим следующий набор f = f1+s(t-1), t = 1,T.

При максимальной скорости s = 1 выполнено f = f1, 2 f = f2,…,f = f30, то есть внешней средой последовательно определяются наборы f1,,f30. При s = 0.5 последовательно определяются наборы f1, f1, f2, f2,,f15, f15. То есть содержа тельно s – количество новых групп, появляющихся в наборе в течение единицы времени, и количество старых групп, которые удаляются из набора в течение единицы времени. Причем максимальной скоростью изменения мы считаем появление и удаление одной группы по истечению каждой единицы времени.

При меньших скоростях в конце некоторых единиц времени организуемый набор не меняется, в конце остальных появляется и удаляется по одной группе.

Характер изложенных далее результатов вычислений не меняется, если вместо наборов f1,,f30 рассмотреть случайные наборы из 10 случайных групп мощности 12 (распределение равномерное, то есть вероятность появления всех групп одинакова). Общие тенденции останутся теми же. Таким образом, вместо оптимального управления, рассматриваемого ниже, можно вычислять оптимальное в среднем управление с сохранением характера результатов. Величины 10 и 12 определялись требованием достаточно быстрого поиска оптимальной последовательной организации.

Расчеты проводились при скоростях изменения внешней среды s = 0,04;

0,07;

0,1;

0,2;

;

1,0. При минимальной скорости набор организуемых групп меняется один раз на протяжении рассматриваемого промежутка времени t = 1,T. При максимальной скорости – тридцать раз.

В рассматриваемом примере уровень любой последователь t ной организации из Op (f ) равен 11, так как мощности всех организуемых (терминальных) групп равны 12. То есть для t t оптимальной последовательной организации G* Op (f ) выпол t t нено L(G* ) = 11. При l = l max = 11 l -усечение Glt организации G* t совпадает с G*. В результате получаем ряд управлений 1, 2,, 11, при которых структура организации имеет соответ ственно от одного до одиннадцати “управляющих” иерархических уровней.

Таким образом, в данном пункте описана динамика внешней среды. Ниже считаем ее заданной, обозначая через R(l ) результат l -управления, через P(l ) и (l ) – соответственно первую и вторую его части (см. опр. 5.10).

2. Параметры затрат на функционирование и реорганиза цию.

Как было отмечено во введении к данной главе, считаем, что затраты на функционирование (первая часть результата управления структурой, см. опр. 5.10) определяются функционалом стоимости P.

Проведем расчеты на примере функционала (I) (см. §2 гл. II), который имеет вид:

P(C(g1),,C(gk )) = [C(g1) + + C(gk ) - max(C(g1),,C(gk ))], где (0;

+) – параметр функционала. Считаем, что функция сложности имеет вид C(g) = ( ag C(a)1/ ), где (0,+) – параметр сложности, а C(a) 0 – заданные сложности исполнителей (элементов) a N. Положим C(a) = 1 для любого a N (всех исполнителей считаем однородными, то есть имеющими одинаковую сложность).

В последовательной организации любая неэлементарная группа g организуется из подгруппы h и элементарной подгруппы {a}. Стоимость такой организации P(C(h),C({a})) = = [C(h) + C({a}) - max(C(h),C({a}))] =1 в силу C(h) 1 = C(a). При l -усечении последовательной организации некоторые неэлемент арные группы g = {ai1,,aik } могут организовываться непосредст венно из входящих в них элементарных подгрупп {ai1},,{aik }.

Стоимость такой организации P(C({ai1}),,C({aik })) = (k -1).

Как отмечено в начале параграфа, при моделировании анализируются только оптимальные последовательные организации и их l -усечения. Следовательно, параметр сложности никак не влияет на стоимость анализируемых организаций.

Положим = 1. Ниже будем анализировать результаты при изменении параметра функционала от 0.25 до 2. Изменение влияет только на стоимость усечений и не изменяет стоимости последовательной организации. Напомним, что при функционал (I) – вогнутый, при 1 – существенно выпуклый (см. утв. 2.6), то есть при 1 найденная алгоритмом оптимальная последовательная организация будет оптимальна на t O(f ), при < 1 – вообще говоря нет.

f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f a a a a4 a16 a5 a6 a12 a24 a13 a a13 a2 a a20 21 a10 a a13 a14 a15 a16 a17 a a20 a21 a22 a23 a24 a25 a a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a19 a18 a17 a16 a a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a Рис. 5.3. Схема оптимальной последовательной организации групп f1,, f15 для функционала (I).

На рис. 5.3 приведен пример оптимальной на Op(f ) последовательной организации набора групп f = { f1,, f15} ( f1 = {a1, a2,, a12}, f2 = {a2,a3,, a13},…, f15 = {a15,a16,,a26}).

При 11 изображенная организация оптимальна также и на O(f ) в силу существенной выпуклости. Элементарные группы повторены несколько раз, так как иначе рисунок становится весьма громоздким. То есть рисунок представляет собой схему оптимальной последовательной организации.

Их рис. 5.3 видна последовательность организации элементов в каждой из групп f1,, f15. При последовательной организации группы fi, i = 1,15 необходимо организовать 10 промежуточных групп. Если все группы f1,, f15 организовывать независимо, то потребуется 150 промежуточных групп. Однако некоторые промежуточные группы могут быть использованы несколько раз.

За счет этого в найденной алгоритмом оптимальной организации содержится только 38 промежуточных групп, что снижает стоимость организации более, чем в три раза. Группы f1,, f7 и f8,, f15 организуются без использования общих промежуточных подгрупп (левая и правая части графа имеют только общие начальные вершины).

Стоимость реорганизации структуры определяется величинами (a) и (a) – стоимостями включения исполнителя (элемента) a N в группу и исключения a из группы. Всех исполнителей считаем однородными и симметричными по отношению к включению в группу и исключению из нее. То есть для всех a N положим (a) = (a) =, где > 0 – некоторая величина, определяющая масштаб стоимости реорганизации по отношению к стоимости функционирования (они должны быть соизмеримы).

Напомним (см. опр. 5.10), что результат управления структурой имеет вид R() = t =1,T [P(Gt ) + (Gt -1,Gt )]. При T достаточно большом (достаточно высокой стоимости реорга низации) первое слагаемое становится несущественным. Как было отмечено в пункте 4 §2, в этом случае при достаточной скорости изменения внешней среды оптимальным среди l -управлений Как отмечено выше, стоимость последовательных организаций не зависит от параметров и. То есть организация, изображенная на рисунке, оптимальна на Op (f ) при любых и.

становится управление 1, определяющее веерную структуру, стоимость организации и деорганизации которой минимальна (см.

утв. 5.4). Наибольшая скорость изменения внешней среды s = (см. п.1). Эмпирически установлено, что при (,Gвеер) = 2P(Gвеер) t (Gвеер O(f ) – веерная организация) в рассматриваемом примере значение s = 1 действительно приводит к оптимальности управления 1, а меньшие значения s приводят к оптимальности lopt при lopt > 1. То есть полагаем, что стоимость создания “с нуля” наиболее простой веерной организации в два раза превосходит затраты на ее функционирование в течение единицы времени.

t Выразим величину. Напомним, что набор f состоит из групп, мощность каждой из которых равна 12 (см. п.1).

Следовательно, P(Gвеер ) = 10 11. Стоимость создания Gвеер “с нуля” равна сумме стоимостей создания “с нуля” каждой из групп t набора f. То есть (,Gвеер ) = 10 12. Таким образом, имеем = 11 / 6. Данное соотношение, вытекающее из равенства (,Gвеер ) = 2P(Gвеер ), и будем понимать под “соизмеримостью” затрат на функционирование и на реорганизацию.

Таким образом, все параметры модели, кроме s и, строго описаны и зафиксированы. Ниже анализируются структурные изменения при различных s и.

3. Соотношение затрат на функционирование и реорганизацию при различном количестве уровней иерархии.

Зафиксируем = 1 и проанализируем поведение первой и второй части затрат P(l ) и (l ) при различных l -управлениях, l = 1,11.

Очевидно, что P(l ) не зависит от скорости s изменения внешней среды, так как для всех t = 1,T организуемый набор групп t f состоит из десяти групп мощности двенадцать с одинаковой структурой пересечений (см. п.1), все исполнители однородны.

Таким образом, кривая зависимости P(l ) от l никак не меняется при изменении s. Она изображена на рис. 5.4 толстой линией.

Кривая зависимости (l ) от l существенно трансформиру ется при изменении s. На рис. 5.4 приведены кривые для значений s = 0,04;

0,07;

0,1;

0,2;

;

1,0. При s = 0,04 затраты на реорганиза цию (l ) минимальны (нижняя кривая). При увеличении s кривая (l ) “поднимается” вверх и переходит в следующую кривую. Таким образом, тонкие расположенные друг над другом линии на рис. 5.4 соответствуют значениям s от 0,04 до 1.

Рис. 5.4. Кривые зависимости (l ) от l при различных s (тонкие линии) и кривая зависимости P(l ) от l (толстая линия) при = 1.

Из рис. 5.4 видно, что стоимость реорганизации возрастает при “усложнении” структуры, то есть при увеличении количества уровней иерархии, за исключением случая максимального l =11.

Величина (11) немного меньше, чем (10 ), то есть наблюдается некоторый “краевой эффект” при приближении количества уровней иерархии к критическому, то есть к максимально возможному.

Общий характер кривых (l ) позволяет заключить, что в рассмотренном примере они вогнуты. Максимальный рост затрат на перестроение наблюдается при увеличении l от 1 до 2, то есть при переходе от наиболее простой (веерной) организации к организации, которая имеет два уровня управления. При дальнейшем увеличении l рост затрат на перестроение замедляется.

Из рис. 5.4 видно, что затраты на функционирование P(l ) уменьшаются при усложнении структуры, то есть при увеличении количества уровней иерархии. Таким образом, в статике минимум затрат (максимум “эффективности”) достигается для последовательной организация с максимальным количеством уровней иерархии.

Общий характер кривой P(l ) позволяет заключить, что в рассмотренном примере она выпукла. Максимальное уменьшение затрат на функционирование наблюдается при увеличении l от до 2, то есть при переходе от наиболее простой (веерной) организации к организации, которая имеет два уровня управления.

При дальнейшем увеличении l падение затрат на функционирование замедляется.

Таким образом, кривые P(l ) и (l ) ведут себя в некотором смысле противоположным образом при увеличении количества уровней иерархии.

Для поиска оптимального управления структурой необходимо выбрать l = lopt, для которого результат R(l ) = P(l ) + (l ) минимален. Значение lopt на каждой кривой (l ) обозначено крестиком. При возрастании l от 1 до lopt возрастание (l ) компенсируется убыванием P(l ), после lopt – уже нет.

Увеличение скорости изменения внешней среды s соответствует переходу с более низких кривых (l ) на более высокие. Такой переход сопровождается убыванием lopt от 11 до 1 (перемещением крестика справа налево). Перейдя к соответствующим координатам, получим приведенную на рис. 5. зависимость оптимального числа lopt уровней иерархии от скорости изменения внешней среды (интенсивности внешних воздействий). Гиперболическое приближение (оптимальная по a и b в смысле среднеквадратичного отклонения кривая lopt(s) = a + b / s ) достаточно наглядно аппроксимирует получен ную эмпирическую зависимость и также приведено на рис. 5.5.

Из рис. 5.5 можно сделать следующий вывод: при жестких (интенсивных) внешних изменениях выгодно поддерживать простую (веерную) структуру системы, усложняя ее по мере смягчения внешних воздействий (увеличивая число уровней иерархии). Качественно это соответствует тому, что в нестабильной внешней среде могут “выживать” лишь организационные системы с максимально простой структурой за счет приспособляемости, в стабильной же среде наоборот доминируют системы со сложной иерархической структурой за счет высокой эффективности.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Рис. 5.5. Кривая зависимости lopt от s при 0 < s (толстая линия) и ее оптимальное гиперболическое приближение lopt(s) = a + b / s (тонкая линия) при = 1.

4. Оптимальное количество уровней иерархии при различных параметрах функционала и скоростях изменения внешней среды.

Кривые зависимости (l ) от l, приведенные на рис. 5.4, при изменении умножаются на постоянный коэффициент в силу изменения (чтобы затраты на функционирование и на реорганизацию оставались соизмеримыми, см. п.2), но характер кривых и взаимное расположения остаются неизменными. Кривая же зависимости P(l ) от l при изменении существенно трансформируется. Проанализируем ее поведение и, как следствие, изменение оптимального управления структурой.

На рис. 5.6 приведены кривые зависимости P(l ) от l при = 0,25;

0,5;

0,75;

0,95;

1. Они представляют собой расположенные друг над другом линии. Нижняя линия соответствует = 0,25, верхняя – = 1.

123456789 10 Рис. 5.6. Кривые зависимости P(l ) от l при различных 0,25 1.

Стоимость последовательной организации одинакова для любого (см. п.2). Поэтому при приближении к “критической точке” (максимально возможному количеству уровней иерархии) все кривые сходятся в одну точку (рис. 5.6 справа).

При < 1 функционал (I) вогнут. То есть последовательная организация, вообще говоря, неоптимальна даже в статике.

При минимальном = 0,25 вогнутость “ярко выражена”:

минимальна стоимость функционирования веерной организации, даже несмотря на то, что группы набора весьма существенно пересекаются (создание промежуточных групп не оправдано).

Таким образом, кривая P(l ) возрастает при увеличении количества уровней иерархии l от 1 до 11 (см. рис. 5.6 нижняя линия). Так как l = 1 доставляет также минимум второй части результата управления (l ) (см. рис. 5.4), то в этом случае lopt = 1 при любой скорости изменения внешней среды.

При = 0,5 введение промежуточного уровня иерархии уже дает выигрыш (промежуточные группы используются для t организации нескольких групп набора f ). Таким образом, минимум P(l ) достигается при l = 2. Аналогично, при = 0, минимум P(l ) достигается при l = 6, при = 0,95 – при l = (см. рис. 5.6).

При 1 в статике оптимальна последовательная организация. То есть минимум P(l ) достигается в “критической точке” l = 11. На рис. 5.6 верхняя кривая соответствует зависимости P(l ) от l при = 1. При дальнейшем увеличении кривая P(l ) более ”круто” возрастает при приближении l к 1, сохраняя свой монотонный характер.

В таблице 5.1 приведены значения lopt в зависимости от s и. В связи с их целочисленностью соответствующие кривые зависимости lopt от s, изображенные на рис. 5.7, имеют доста точно много общих участков. Чтобы не загромождать рисунок, приведены только четыре кривые при = 0,25;

0,5;

0,95;

2.

s\ 0,25 0,50 0,75 0,95 1,00 2, 0,04 1 2 6 11 11 0,07 1 2 6 6 11 0,1 1 2 4 6 11 0,2 1 2 4 6 6 0,3 1 2 4 6 6 0,4 1 2 2 4 6 0,5 1 2 2 4 4 0,6 1 2 2 2 4 0,7 1 2 2 2 4 0,8 1 2 2 2 2 0,9 1 1 2 2 2 1,0 1 1 1 1 1 Таблица 5.1. Значения lopt в зависимости от s и.

Более наглядную картину дают оптимальные гиперболические приближения кривых зависимости lopt от s, то есть гиперболы вида lopt(s) = a + b / s, в которых коэффициенты a и b подобраны так, чтобы минимизировать среднеквадратичное отклонение кривой от данных таблицы 5.1. При = 0,25;

0,5;

0,75;

0,95;

1;

2 гиперболические приближения изображены на рис. 5.8. Значение = 0,25 соответствует нижней линии, значение = 2 – верхней линии.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Рис. 5.7. Кривые зависимости lopt от s при = 0,25;

0,5;

0,95;

2.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Рис. 5.8. Гиперболические приближения кривых зависимости lopt от s при 0 < s 1 и различных = 0,25;

0,5;

0,75;

0,95;

1;

2.

При “ярко выраженной” вогнутости функционала ( = 0,25) “сложная” организация с несколькими уровнями иерархии в принципе не выгодна, даже при постоянной внешней среде.

Содержательно это можно интерпретировать, например, следующим образом. Уровень развития “организационных отношений” в системе таков, что наиболее эффективна ”стихийная” организацию исполнителей для выполнения каждой конкретной работы под руководством одного “управляющего звена” (веерная организация).

При ослаблении вогнутости ( = 0,5) “в статике” становится выгодным введение двух уровней управления, при которых минимизируется первая часть результата P(l ) (см. рис. 5.6). При s < 0,9 выполнено lopt = 2, то есть такая структура управления оптимальна и в динамике (см. таблицу 5.1). При максимальной скорости изменения внешней среды оптимальна веерная организация.

При дальнейшем ослаблении вогнутости ( = 0,75) в достаточно стабильной ситуации (s 0,3) становятся выгодными более сложные структуры управления (см. таблицу 5.1). Здесь “эффект” от координации взаимодействия исполнителей промежуточными звеньями уже превосходит “дороговизну” функционирования самих промежуточных звеньев.

Стоимость функционирования промежуточных звеньев уменьшается (относительно общего результата) при дальнейшем увеличении ( = 0,95), что при стабильной внешней среде делает выгодной уже последовательную организацию с максимальным количеством уровней иерархии (см. таблицу 5.1).

При 1 стоимость функционирования P становится существенно выпуклой, и организация с максимальным количеством уровней иерархии будет оптимальной не только при минимальных изменениях внешней среды, но и при больших s (см. таблицу 5.1). То есть по мере ”усиления выпуклости” возрастает “сопротивляемость” организации внешним изменениям и упрощение (“деградация”) происходит при более сильных внешних изменениях (см. рис. 5.7, 5.8 и таблицу 5.1).

Содержательно это можно интерпретировать, например, следующим образом. Уровень развития “организационных отношений” в системе достаточно высок, чтобы успешно противостоять нестабильности внешней среды за счет высокой эффективности системы управления, не допуская упрощения (“деградации”) организации.

В заключение главы кратко охарактеризуем полученные результаты. Построенная в §1 метрика на множестве графов организации также определена на произвольных ориентированных графах. Но для графов, отличных от графов организации, необходима содержательная интерпретация метрики. Разумеется, введенная метрика (стоимость реорганизации) не исчерпывает все возможные варианты метрики на множестве структур.

В §2 введено понятие внешней среды, которая в каждый момент определяет, какой набор групп должен быть организован.

Под структурой понимается граф организации заданного внешней средой набора групп. Управление структурой определено как произвольное отображение текущей структуры и известной информации об изменении внешней среды в новую структуру (структуру на следующем шаге). Результат управления – суммарные затраты на функционирование (функционал стоимости) и на реорганизацию (в смысле метрики §1) – минимален при оптимальном управлении. Введенное понятие оптимального управления структурой остается неизменным при замене стоимости реорганизации любой другой метрикой. Таким образом, оптимальное управление определено достаточно общо.

Далее введен ряд простейших управлений, которые названы l -усечениями, где l – количество уровней иерархии в структуре, определяемой соответствующим управлением.

В §3 приводится пример расчетов оптимального l -управления на одном из примеров функционала. Анализируется зависимость оптимального управления от параметра функционала (степени развития “организационных отношений”) и скорости изменения внешней среды, определенной как число вновь появляющихся групп в единицу времени. Результаты расчетов показывают, что построенная модель структурных изменений “улавливает” некоторые тенденции, наблюдаемые “на практике”.

Этот факт позволяет надеяться, что в дальнейшем разработанный аппарат оптимизации иерархических структур может быть использован при моделировании структуры реальных организационных систем.

Заключение.

Подводя итоги книги, кратко изложим основные результаты и выводы. Поставленная в начале работы общая задача поиска структуры (ориентированного ациклического графа), оптимальной в смысле произвольного критерия, для структурного функционала сведена к задаче на множестве графов организации (см. §2 гл. I). В §1 главы I требование структурности анализируется с содержательной точки зрения. Далее рассмотрена задача на множествах графов организации заданного набора групп. Доказана оптимальность дерева для монотонного функционала стоимости, 2-организации – для выпуклого функционала, веерной организации – для вогнутого функционала, последовательной организации – для существенно выпуклого функционала (см. §3 гл. I).

В главе II различные частные задачи: оптимальная организация технологического взаимодействия элементов, построение оптимального алфавитного кода, построение оптимальной структуры управления сетью доставки материальных потоков и др. сформулированы в терминах задачи оптимизации иерархической структуры. Предложены методы поиска оптимальной структуры организационной системы для ряда функционалов затрат на ее управление. Примеры функционалов предложены исходя из количественного описания стоимости организации взаимодействия людей в группе, которое на качественном уровне рассмотрено в различных работах по менеджменту. Полученные результаты схематично представлены на рис. 2.5-2.8. Видно, что в зависимости от параметров функционала оптимальны организации различного вида. В некоторых областях оптимальна 2-организация с максимальным числом управляющих центров (функционал – выпуклый), в других, напротив, оптимальна веерная организация одной группы – один управляющий центр (функционал – вогнутый). В некоторых областях свойство выпуклости усиливается и оптимальна последовательная организация – частный случай 2-организации (функционал – существенно выпуклый). Наиболее интересными с содержательной точки зрения являются области параметров, в которых функционалы не являются ни выпуклыми, ни вогнутыми (белые области на рис. 2.6-2.8). Найденные алгоритмами главы III деревья подтверждают сложность поведения оптимальной организации в этих областях (в частности, позволяют выдвинуть гипотезу существования областей оптимальности r -организации для любого r 2). По-видимому, в данных областях функционалы могут описывать структуру реальных организационных систем.

В главах III и IV для структурного функционала общего вида доказано отсутствие полиномиальных алгоритмов поиска оптимального дерева организации одной группы и поиска оптимальной последовательной организации произвольного набора групп, построены алгоритмы экспоненциальной сложности. Для одного класса функционалов построены полиномиальные алгоритмы. Предложены эвристические алгоритмы, проведено тестирование их точности. Данные главы по отношению к исследуемой задаче оптимизации структуры носят инструментальный характер, то есть позволяют создавать программы поиска оптимальных структур. Результаты работы упомянутых программ часто оказываются полезными при доказательстве аналитических результатов по поводу вида оптимальной структуры для исследуемого функционала.

В главе V построена динамическая модель структурных изменений организационной системы в ответ на изменения внешней среды. Предложена методика численного поиска управления, минимизирующего суммарные затраты на функционирование (функционал стоимости) и реструктуризацию (заданную метрику на множестве структур). Определены зависимости оптимального числа уровней иерархии от скорости изменения внешней среды и параметра функционала.

Проведенные расчеты подтверждают наблюдаемую на практике закономерность: при жестких (интенсивных) внешних изменениях выгодно поддерживать простую (веерную) структуру системы, усложняя ее по мере смягчения внешних воздействий (увеличивая число уровней иерархии). Качественно это соответствует тому, что в нестабильной внешней среде могут “выживать” лишь организационные системы с максимально простой структурой за счет приспособляемости, в стабильной же среде, наоборот, доминируют системы со сложной иерархической структурой за счет высокой эффективности. Кроме того, по мере увеличения параметра функционала (развития “организа ционных отношений”) увеличивается оптимальное количество уровней иерархии (за счет высокой эффективности система успешно “противостоит” более сильным внешним изменениям, не допуская упрощения (“деградации”)).

В заключение приведем актуальные, на наш взгляд, направления дальнейших исследований.

1. Изучение бесконечных иерархий, неструктурных функционалов стоимости, множеств графов, отличных от рассмотренных в книге. Данное направление диктуется, во первых, логикой математического исследования, а во-вторых, известными моделями иерархий с неструктурными функционалами (см. п.п. 4, 5 §2 гл. II).

2. Поиск аналитических условий оптимальности r -организации для r > 2 и структурного функционала, не являющегося ни выпуклым, ни вогнутым. В книге проанализированы в некотором смысле предельные случаи выпуклых и вогнутых функционалов, соответствующие максимуму и минимуму управляющих центров в оптимальной организации. По-видимому, большинство реальных организационных систем не описываются ни одним из этих крайних случаев, то есть им как раз соответствуют функционалы, не являющиеся ни выпуклыми, ни вогнутыми.

3. Исследование различных управлений структурными изменениями организационной системы (отличных от l -усечений).

Включение задачи управления структурой в состав общей задачи управления организационной системой.

4. Исследование “непрерывных” процессов или “траекторий” структурных преобразований, в том числе процессов пошагового перехода к оптимальной структуре. Здесь появляется большое количество чисто динамических задач, например, выяснение условий, при которых локально оптимальные перестроения в подсистемах приводят к глобально оптимальной структуре. В таких динамических задачах ключевым является теоретико игровое моделирование взаимодействия структурных элементов системы, каждый из которых оптимизирует свою целевую функцию, проводя локальное перестроение структуры по своей “инициативе”.

Литература.

1. Айзерман М.А., Гусев Л.А., Петров С.В. и др. Динамические подходы к анализу структур, описываемых графами (основы графодинамики). Часть 1 // Автоматика и телемеханика. 1979.

№7. С. 135–151.

2. Айзерман М.А., Гусев Л.А., Петров С.В. и др. Динамические подходы к анализу структур, описываемых графами (основы графодинамики). Часть 2 // Автоматика и телемеханика. 1979.

№9. С. 123–136.

3. Базилевич Л.А. Обоснование нормативов управляемости на модели трудоемкости руководства. – В кн.: Повышение эффективности управления объединениями и отраслями промышленности. Новосибирск, 1977.

4. Браверман Э.М., Дорофеюк А.А., Лумельянский В.Я. и др.

Диагонализация матрицы связей и выявление скрытых факторов. – В кн.: Проблемы расширения возможностей автоматов. Вып. 1. М., 1971.

5. Бурков В.Н., Кондратьев В.В. Механизмы функционирования организационных систем. М.: Наука, 1981.

6. Бурков В.Н. Основы математической теории активных систем.

М.: Наука, 1977.

7. Бурков В.Н., Заложнев А.Ю., Новиков Д.А. Теория графов в управлении организационными системами. М.: Синтег, 2001.

8. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Теория активных систем и задачи организационного управления / Труды международной научно практической конференции «Теория активных систем». Москва:

ИПУ РАН, 19–21 ноября 2001. Том 1. С. 12–16.

9. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Теория активных систем: состояние и перспективы. М.: Синтег, 1999.

10. Власюк Б.А., Моросанов Н.С. Синтез иерархической структуры управления в больших системах // Автоматика и телемеханика. 1973. №3.

11. Воронин А.А. Устойчивое развитие – миф или реальность? // Математическое образование. 2000. №1(12). С. 59–67.

12. Воронин А.А., Мишин С.П. Алгоритмы поиска оптимальной структуры организационной системы // Автоматика и телемеханика. 2002. №5. С. 120–132.

13. Воронин А.А., Мишин С.П. Математическое моделирование устойчивого развития организационных систем / Труды международной научно-практической конференции «Теория активных систем». Москва: ИПУ РАН, 19–21 ноября 2001.

Том 1. С. 28–29.

14. Воронин А.А., Мишин С.П. Моделирование структуры организационной системы. Об алгоритмах поиска оптимального дерева // Вестн. Волг. ун-та. 2001. Сер. 1:

Математика. Физика. С. 93–113.

15. Воронин А.А., Мишин С.П. Модель оптимального управления структурными изменениями организационной системы // Автоматика и телемеханика. 2002. №8. С. 136–150.

16. Губко М.В. Структура оптимальной организации континуума исполнителей // Автоматика и телемеханика. 2002. №12. С.

116–130.

17. Губко М.В., Мишин С.П. Оптимальная структура системы управления технологическими связями / Материалы международной научной конференции «Современные сложные системы управления». Старый Оскол: СТИ, 27– ноября 2002. C. 50–54.

18. Губко М.В., Новиков Д.А. Теория игр в управлении организационными системами. М.: Синтег, 2002.

19. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи: Пер. с англ. М.: Мир, 1982.

20. Дедиков Э.А., Ершов С.Г. Определение критериев формирования структур обработки информации // Управляющие системы и машины. 1973. №1.

21. Дементьев В.Т., Ерзин А.И., Ларин Р.М. и др. Задачи оптимизации иерархических структур. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1996.

22. Дорофеюк А.А. Алгоритмы автоматической классификации (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1971. №12.

23. Дружинин В.В., Конторов Д.С. Проблемы системологии. М.:

Сов. радио, 1976.

24. Дубовский С.В., Уздемир А.П. Критерии оптимальности и вариационные подходы в динамических моделях экономики // Автоматика и телемеханика. 1974. №6.

25. Лейбкинд А.Р., Рудник Б.Л., Чухнов А.И. Математические методы синтеза организационных структур управления.

Препринт. М., Всесоюзный научно-исследовательский институт системных исследований, 1978.

26. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. М.: Мир, 1973.

27. Миркин Б.Г. Задача классификации (обзор). – В кн.: Сложные системы. Новосибирск, 1975.

28. Миркин Б.Г. Модели качественного анализа социально экономической информации. – В кн.: Математика в социологии: моделирование и обработка информации. М., 1977.

29. Мишин С.П. Оптимальное управление структурой организационной системы / Сборник трудов международной научно-технической конференции «Современные сложные системы управления». Липецк, 12–14 марта 2002. С. 101–102.

30. Мишин С.П. Оптимизация иерархических структур / Материалы международной научной конференции «Современные сложные системы управления». Старый Оскол:

СТИ, 2002. C. 100–105.

31. Мишин С.П. Стоимость реорганизации структуры системы // Тр. кафедры математ. анализа и теории функций Волг. ун-та.

2002. С. 178–198.

32. Мишин С.П. Структура многоуровневой системы в изменяющейся внешней среде / Труды международной научно-практической конференции «Теория активных систем». Москва, 19–21 ноября 2001. Том 1. С. 54–55.

33. Наумчук О.Ф., Саввин Г.Г. Методы анализа сетей передачи и распределения информации. – В кн.: Сети передачи информации и их автоматизация. М., 1965.

34. Новиков Д.А. Механизмы функционирования многоуровневых организационных систем. М.: Фонд «Проблемы управления», 1999.

35. Новиков Д.А. Типология задач управления организационными структурами / Материалы международной научной конференции «Современные сложные системы управления».

Старый Оскол: СТИ, 27–29 ноября 2002. C. 110–115.

36. Новиков Д.А., Петраков С.Н. Курс теории активных систем.

М.: Синтег, 1999.

37. Овсиевич Б.И. Модели формирования организационных структур. Л.: Наука, 1979.

38. Поваров Г.Н. О структурной теории сетей связи. – В кн.:

Проблемы передачи информации. Вып. 1. М., 1959.

39. Рубинштейн М.И. Задачи синтеза иерархических систем управления. – В кн.: Согласованное управление. М., 1975.

40. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. М.:

Иностранная литература, 1948.

41. Цвиркун А.Д. Основы синтеза структуры сложных систем. М.:

Наука, 1982.

42. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.:

Высш. Шк., 2001.

43. Bensoussan A., Hurst E.G., Nslund B. Management applications of modern control theory. Amsterdam–Oxford–New York, 1974.

44. Carzo R.J., Janouzas J.N. Effects of flat and tall organization structure. – Administrat. Sci. Quart., 1969, vol. 14, no. 2.

45. Chapple E., Sayles L. The measure of management. N. Y., 1961.

46. Conrath D.W. Communications environment and its relationship to organizational structure. – Manag. Sci., 1974, vol. 20, no. 4.

47. Davies G., Smith M., Twigger W. Leading people: a model of choice and fate for leadership development. Leadership & organization development, 1991, vol. 12, no. 1, pp. 7–11.

48. Huffman D.A. A method for the construction of minimum redundancy codes. – Proc. IRE, 1952, no. 9, pp. 1098–1101.

49. Jago A.G., Vroom V.H. Perceptions of leadership style: superior and subordinate descriptions of decision-making behavior. In Leadership Frontiers, ed. Hunt J.G, Larson L.L. Carbondale:

Southern Illinois university press, 1975, pp. 103–120.

50. Manz C.C., Sims H.P. Leading workers to lead themselves: the external leadership of self-managing work teams. – Administrat.

Sci. Quart., 1987, pp. 106–129.

51. McMillan B. Two inequalities implied by unique decipherability. – IRE Trans., 1956. IT-2, no. 4, pp. 115–116.

52. Miller E.J. Technology, territory and time. – Human Relations, 1959, vol. 12.

53. Oldman G.R., Hackman J.R. Relationships between organization structure and employee reactions: comparing alternative frameworks. – Administrat. Sci. Quart., 1981, pp. 66–83.

54. Peters T. Thriving on chaos. N. Y.: Knopf, 1987.

55. Senge P. The fifth discipline: the art and practice of the learning organization. N. Y.: Doubleday/Currence, 1990.

56. Worthy J.C. Organization structure and employee morale. – Amer.

Sociol. Rev., 1950, vol. 15, no. 1.

Pages:     | 1 | 2 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.