WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ ИМ. В.А. ТРАПЕЗНИКОВА А.А. Воронин, С.П. Мишин ОПТИМАЛЬНЫЕ ИЕРАРХИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ Москва 2003 УДК 519 ББК 22.183.43 + 65в641 В75 ...»

-- [ Страница 2 ] --

Добавим в D q = l - l(gi ) экземпляров группы gi,1 обозначив их через gi,, giq. Удалим ребро (gi, g). Вместо него создадим цепь gi - g1 - - giq - g, то есть добавим ребра (gi, gi ), i (g1, gi2),…,(giq-1, giq ), (giq, g). После этого для всех вершин i h QD (g) величина l(h) будет одинакова и равна l. Проделав такие преобразования для всех вершин g V \ ND, получим дерево D D ( f ), в котором длина пути в вершину g из любой L подчиненной начальной группы {a} g одинакова. В силу j K (1) = 0 такое преобразование не изменит стоимости. Тогда оптимальному на DL ( f ) дереву D* соответствует дерево D* D ( f ), для которого P(D*) = P(D*). В силу L D ( f ) DL( f ) дерево D* оптимально на D ( f ). Утверждение L L доказано.

Таким образом, решив задачу об оптимальном дереве на D ( f ), найдем решение и на DL ( f ). Обратно, решив задачу на L DL ( f ), преобразуем решение в оптимальное дерево на D ( f ) так, L как указано в доказательстве утверждения 2.4. То есть при j K (1) = 0 задачи на D ( f ) и DL ( f ) эквивалентны. В этом случае L разработанные в [21] методы могут быть использованы для решения задачи на DL ( f ) с неструктурным функционалом P (при достаточно большом L эти же методы решают задачу и на D( f )).

Множество V может содержать повторения, то есть добавляемые группы не отождествляются.

Поставленная задача в [21] называется однородной, если j функция затрат одинакова на всех уровнях: K () = K(). В этом случае функционал стоимости структурен. Разработанные в главе III общие алгоритмы поиска оптимального дерева на D( f ) могут быть модифицированы для решения задачи на DL ( f ) (см.

соответствующие сноски главы III). Тогда при K (1) = 0 общие алгоритмы позволяют решать однородную задачу. Но, разумеется, алгоритмы, разработанные в [21] для конкретного функционала стоимости, более эффективны.

Утверждение 2.5. Если для однородной задачи функция K() вогнута и не убывает, K(0) = 0, то функционал стоимости P вогнут.

Доказательство. Рассмотрим набор групп {g1,, gk } и его произвольное разбиение на поднаборы {h1,,hi} и {hi+1,,hk }, k 3, 1 < i < k. Обозначим h = h1 hi. Тогда P(g1,, gk ) = K(k), P(h1,,hi ) = K (i), P(h,hi+1,,hk ) = = K(k - i +1). Тогда неравенство b) определения 1.30 перепишется в виде K(k) K(i) + K (k - i +1). Из вогнутости и условия K(0) = по лемме 2.1 имеем K(x + y) K (x) + K(y), то есть K (k +1) K(i) + K (k - i +1), а в силу неубывания K (k) K (k +1).

Утверждение доказано.

Из следствия к теореме 1.6 вытекает, что при условиях утверждения веерная организация оптимальна на множестве D( f ), а следовательно и на множествах DL ( f ) и D ( f ). Таким образом, L из теоремы 1.6 следует один из результатов, полученных в [21].

5. Задачи с неструктурным функционалом и сложными ограничениями.

В предыдущем пункте приведен пример задачи, в которой лишь при определенных условиях функционал структурен и множество графов сводится к исследованным в данной работе вариантам множеств. Таким образом, необходима разработка общих методов решения для неструктурных функционалов и множеств различного типа. Приведем еще несколько примеров известных задач, в которых нарушается структурность или исследуется множество графов сложной конфигурации.

В [37] поставлена задача оптимизации на множестве K Гn D( f ) деревьев над n элементами (n = f ), которые имеют K уровней иерархии (максимальный путь из листа в корень имеет длину K ). Кроме того, допускаются прочие ограничения произвольного вида, то есть задача решается на множестве K Г Гn. При этом функционал стоимости дерева D = (V, E) Г имеет очень простой вид: P(D) = V \ ND = V \ND1. То есть минимизируется количество управляющих центров (неначальных вершин). На множестве D( f ) задача решается тривиально – оптимальна веерная организация (один центр). Для различных частных случаев множества Г методы решения предложены в [37]. Также в [37] поставлена в некотором смысле обратная задача – на подмножестве деревьев с A управляющими центрами ищется дерево с минимальным количеством уровней иерархии.

В [39] рассмотрена задача надстройки структуры управления над технологическим графом, но вид функционала стоимости отличен от описанного в пункте 1. Задана “сила взаимосвязи” d(a, a ) элементов a, a N. И рассматриваются m -уровневые деревья из D( f ), в которых все пути из начальных вершин в корень имеют одинаковую длину m. Обозначим такое дерево через D = (V, E). В нем все начальные вершины имеют уровень 1, подчинены управляющим вершинам уровня 2, те, в свою очередь, управляющим вершинам уровня 3, и так далее, вершины уровня m -1 подчинены корню f.

Для каждой группы h V \ ND уровня l, l = 2, m ее стоимость определяется следующим образом: ФD(h) = = hdg(g, g), где “сила взаимосвязи” D QD(h) (QD (h) -1) g,g QD ( ), g dD (g, g ) групп g и g рекурсивно определяется как средняя “сила взаимосвязи” групп, которые непосредственно подчинены группам g, g (и так далее, “сила взаимосвязи” групп первого уровня задана). Таким образом, стоимость ФD (h) зависит не только от групп из QD (h), которые непосредственно подчинены h, но и от всего поддерева с корнем h.

Общая стоимость дерева записывается как m 1 Ф(D) = Ф(lh), где kl – количество вершин уровня m -1l=2 kl hV уровня l. То есть Ф(D) – некоторая средняя сила взаимосвязи всех управляющих центров дерева. Задача об оптимальной иерархии представляет собой задачу поиска дерева вышеуказанного вида, для которого достигается максимум Ф(D), то есть задачу на определенном подмножестве D( f ) с неструктурным функционалом1. Как указано в [39], при m = 3 и фиксированном k эта задача сводится к широко известной задаче классификации, то есть разбиения множества объектов на заданное число классов по критерию “близости” объектов, оказывающихся внутри одного класса, и “удаленности” объектов, находящихся в разных классах (используется в теории распознавания образов). То есть даже в сугубо частном случае задача весьма сложна (см., например, [4, 22, 27, 28]). В общем случае в [39] построены лишь эвристические алгоритмы решения.

§2. Примеры структурных функционалов стоимости.

1. Сложность группы. Свойства функционала стоимости.

Примеры (функционалы (I)-(IV)).

Во многих практически важных случаях (см., например, §1) можно считать, что структурный функционал P(g1,, gk ) зависит не от самих подгрупп g1,, gk, а от некоторых числовых характеристик C(g1),,C(gk ) организуемых подгрупп и характеристики C(g) группы g = g1 gk. Приведем формальные определения.

Очевидно, что задача на максимум легко сводится к задаче на минимум с помощью рассмотрения функционала стоимости P(D) = C -Ф(D), где C – достаточно большая константа.

Определение 2.1. Сложностью группы назовем произвольную неотрицательную монотонную функцию группы C : F [0,+),1 C(g) C(h) при g h.

Определение 2.2. Структурный функционал стоимости назовем анонимным, если для любых подгрупп g1,, gk F его можно представить в виде P(C(g1),,C(gk ),C(g)),2 где g = g1 gk – организуемая группа.

Сложность монотонна, то есть не убывает при расширении группы3. Если функционал не зависит от C(g), то последний аргумент в определении 2.2 будем опускать. Далее в этом параграфе считаем функционал стоимости анонимным. Если при росте любого из аргументов анонимного функционала значение стоимости не убывает, то функционал монотонен (в силу монотонности сложности).

Можно привести следующий пример функции сложности.

Пусть для всех a N заданы произвольные величины C(a) 0, то есть сложности элементов. Тогда для произвольной группы g F определим ее сложность следующим образом:

(2.2) C(g) = ( ag C(a)1/ ), где (0,+) – параметр сложности. При = 1 сложность группы равна сумме сложностей составляющих ее элементов, при > 1 – больше этой суммы (усложняющий параметр), при < 1 – меньше (упрощающий параметр). Некоторые результаты этого параграфа будут касаться произвольной функции сложности, остальные справедливы для функции сложности вида (2.2).

F – множество групп, см. опр. 1.13.

Здесь и далее одной и той же буквой P обозначается функционал, зависящий от набора групп, и от набора сложностей, что не приводит к путанице в силу различия аргументов функционалов.

Такие функции множества обычно называют емкостью, однако, исходя из некоторых содержательных интерпретаций, в данной работе термин “сложность” более уместен.

Определение 2.3. Анонимный функционал стоимости назовем однородным, если для любых величин x, C1,,Ck, C 0, C max(C1,,Ck ) выполнено P(xC1,,xCk, xC) = (x)P(C1,,Ck,C), где () – произвольная функция, (0) = 0, (x) > 0 при x > 0.

Для функции сложности вида (2.2) однородность функционала гарантирует независимость оптимальных графов организации от масштаба сложностей элементов C(a), a N, то есть от того, в каких “единицах” выражена сложность. Другими словами, при умножении C(a) на константу x > 0, одинаковую для любого a N, стоимость всех иерархий умножится на (x) > 0.

Таким образом, требование однородности выглядит вполне разумным с содержательной точки зрения. Далее в этом параграфе приводятся примеры однородных функционалов.

Определение 2.4. Анонимный функционал стоимости назовем корректным в нуле, если для любых 0 C C выполнено P(C,0,,0,C ) = 0, то есть стоимость организации какой-либо группы с группами нулевой сложности равна нулю.

Если функционал не корректен в нуле, то стоимость “присоединения” подгрупп нулевой сложности может не равняться нулю. Содержательно это соответствует, например, некоторым начальным затратам, присутствующим при организации любой группы, независимо от ее сложности.

Рассмотрим следующие варианты функционала стоимости:

(I) P(C(g1),,C(gk )) = [C(g1) + + C(gk ) - max(C(g1),,C(gk ))] ;

(II) P(C(g1),,C(gk )) = [C(g1) + + C(gk )] ;

(III) P(C(g1),,C(gk ),C(g)) = [C(g) / max(C(g1),...,C(gk )) -1] ;

(IV) P(C(g1),,C(gk ),C(g)) = [ i=1,k C(g) - C(gi )], где группа g = g1 gk организуется из подгрупп g1,, gk, (0;

+) – параметр функционала.

Ниже считаем, что если max(C(g1),...,C(g )) = 0, то значение функционала (III) k равно + независимо от значения C(g). То есть расширим область значений функционала бесконечной точкой.

Функционалы (I)-(IV) были предложены, исходя из возможных содержательных интерпретаций1.

Очевидно, что функционалы (I)-(IV) однородны, то есть не зависят от масштаба сложности.

Функционал (I) корректен в нуле и монотонен. Стоимость организации определяется суммой сложностей подгрупп, организуемых с самой сложной.

Функционал (II) монотонен, но не корректен в нуле.

Стоимость организации определяется суммой сложностей организуемых подгрупп.

Функционал (III) корректен в нуле при функции сложности вида (2.2), но не монотонен. Стоимость организации – относительный показатель – определяется отношением сложности группы к максимальной сложности подгруппы.

Содержательно функционалы (I)-(IV) описывают затраты руководителя (менеджера) на управление группой. Основой для исчисления затрат служит "сложность" элемента группы, содержательно описывающая сложность или объем выполняемой им работы (ее также можно соотнести с квалификацией работника).

Различные виды функционалов соответствуют нескольким "типовым" видам внутригруппового взаимодействия и взаимодействия руководителя и управляемой им группы. Эти виды взаимодействия описаны во многих работах по менеджменту на качественном уровне (см., например, [47, 53, 55]). Введенные функционалы позволяют количественно измерять затраты руководителя на управление группой.

Так, функционал (I) соответствует группе с "полулидером" [50], который не требует затрат на руководство собой. Таким образом, затраты определяются суммой сложностей всех элементов группы, за исключением "полулидера", то есть максимально "сложного" элемента.

Функционал (II) соответствует группе без лидера, в которой все затраты на координацию берет на себя управляющий центр. То есть его затраты определяются суммой сложностей всех элементов группы.

Функционал (III) соответствует группе с лидером, конструктивная роль которого приводит к снижению затрат управляющего центра на координацию взаимодействия [49]. Чем больше сложность лидера, тем больше координирующих функций он может взять на себя, снизив тем самым затраты управляющего центра.

Функционал (IV) соответствует затратам в процессе индивидуальной работы руководителя с членами группы [54] (например, при обучении). Затраты определяются разностями между сложностью результата групповой деятельности (соизмеримой со "сложностью" руководителя) и сложностями элементов (подгрупп).

Функционал (IV) не корректен в нуле и не монотонен.

Стоимость организации – абсолютный показатель – определяется разностью между сложностью группы и сложностями подгрупп.

Разработанный в главе I аппарат далее в этом параграфе используется для поиска оптимальных организаций при функционалах (I)-(IV). Для доказательства соответствующих утверждений используются следующие неравенства:

(2.3) (x1 +...+ xn) x1 +...+ xn для любых x1 0,, xn 0 при 1, (2.4) (x1 +...+ xn) x1 +...+ xn для любых x1 0,, xn 0 при 1.

Неравенства (2.3) и (2.4) представляют собой частный случай неравенства Минковского (см., например, [40]).

2. Вид оптимальной организации для функционала (I).

Утверждение 2.6. Функционал (I) при 1 – вогнутый, при 1 – выпуклый, а при функции сложности вида (2.2) и 1, 1 – существенно выпуклый.

Доказательство. Рассмотрим произвольный набор групп {g1,, gk }. Обозначим через P1 левую, через P2 – правую часть в неравенствах определения 1.30.

Пусть 1. Рассмотрим произвольное разбиение набора {g1,, gk } на поднаборы {h1,, hi} и {hi+1,,hk }, 1 < i < k, h = h1 hi. Введем обозначения x = C(h ), x = max(x ), j j j j = 1,i, ys = C(hs ), y = max(ys ), s = i +1, k, X = x1 + + xi, Y = yi+1 + + yk. Тогда P1 = (X + Y - max(x, y)), P2 = (X - x) + + (C(h) + Y - max( y,C(h))). При 1 в силу (2.4) P2 (X + Y + C(h) - x - max( y,C(h))). Для доказательства неравенства P1 P2 осталось показать, что x + max(y,C(h)) C(h) + max(x, y). При y C(h) неравенство, очевидно, выполнено. При y > C(h) неравенство перепишется в виде x + y C(h) + max(x, y), что выполнено в силу x C(h) (сложность монотонна). Таким образом, при 1 выполнено P1 P2, то есть неравенство b) определения 1.30. Следовательно, функционал (I) – вогнутый.

Пусть 1. Обозначим xi = C(gi ), i = 1,k. Без ограничения общности считаем, что x1 = max(x1,, xk ).1 Положим {h1,h2} = = {g1, g2}, {h3,, hk } = {g3,, gk }. Имеем P1 = (x2 + + xk ), P2 = x2 + (x3 + + xk ). В силу (2.3) при 1 выполнено P1 P2, то есть неравенство a) определения 1.30. Следовательно, функционал (I) – выпуклый.

Пусть функция сложности имеет вид (2.2) и 1, 1.

Рассмотрим набор неэлементарных групп {g1, g2}. Пусть C(g1) C(g2 ). Обозначим через P1 левую, через P2 – правую часть в неравенстве a) определения 1.32: P1 = P(g1, g2 ), для a g P2 = P(g1 \ {a}, g2 ) + P((g1 \ {a}) g2,{a}). Обозначим x = C(g1), y = C(g1 \ {a}), z = C({a}). Имеем P1 = x, P2 = y + z.

Неравенство P1 P2 с учетом x = ( y1/ + z1/ ) имеет вид:

(y1/ + z1/ ) (y1/ ) + (z1/ ). Последнее выполнено в силу (2.3) при 1. В случае C(g1) C(g2 ) выполнение неравенства b) определения 1.32 доказывается аналогично с точностью до замены g1 на g2. Следовательно, функционал (I) – существенно выпуклый. Утверждение доказано.

Утверждение 2.7. Последовательные организации одной группы f, в которых на первом месте стоит2 элемент максимальной сложности, оптимальны на Op ( f ) при функционале (I).

Доказательство. Рассмотрим произвольную организацию G Op ( f ). Введем величину Pmin = C({a1}) + + C({an}) - - max(C({a1}),,C({an})) и покажем, что P(G) Pmin. В G элементы расположены в некотором порядке ai1,,ain (см. опр.

1.33). Обозначим g = {ai1,, ai j }, C = C({ai j }), j =1,n. Если для j j j = 1,n -1 выполнено C(g ) C, то P(G) = C2 + + Cn, то j j+ есть P(G) Pmin. Иначе найдем минимальное k, для которого C(gk ) < Ck+1. Тогда C(g ) C при j = 1,k -1. Следовательно, в j j+ Иначе можно изменить нумерацию групп g1,, gk.

Cм. опр. 1.33.

P(G) входит величина P1 = j=2,k+1P(Q (g )) = C2 + +Ck +C(gk ).

G j В силу монотонности сложности для j = 1, k выполнено C C(gk ) < Ck+1. Поставим aik +1 на первое место, порядок j остальных элементов сохраним. Получим последовательную организацию G. При этом стоимость организации групп g2,, gk+1 изменится на стоимость организации соответствующих групп g2,, gk +1. То есть в P(G ) вместо величины P1 будет входить величина P2 = j=2,k +1 P(QG (gj )) = C1 + + Ck.

P(G) - P(G ) = P1 - P2 = C(gk ) - C1 0. В G k увеличилось по крайней мере на единицу, P(G ) P(G). Продолжая такие действия с G вместо G, в итоге придем к последовательной организации G*, для которой C(g ) C при j = 1, n -1. Таким j j+ образом, для любой организации G Op ( f ) выполнено P(G) P(G*) = C2 + + Cn Pmin. Если на первом месте в последовательной организации стоит элемент с максимальной сложностью, то стоимость организации равна Pmin, то есть она оптимальна. Утверждение доказано.

В результате по поводу решения задачи об оптимальной организации одной группы f для функционала (I) можно сделать следующие выводы:

a. На Op ( f ) решением будет любая последовательная организация, в которой на первом месте стоит элемент максимальной сложности (см. утв. 2.7), то есть задача на этом множестве решена аналитически.

b. При 1, 1 и функции сложности вида (2.2) функционал существенно выпуклый (см. утв. 2.6). Тогда (см. теор. 1.8) ~ решение на Op ( f ) будет решением и на O( f ), O( f ), Or ( f ), ~ Or ( f ), то есть в силу пункта a) задача на этих множествах решена аналитически.

c. При 1 функционал выпуклый (см. утв. 2.6). С учетом монотонности решение на D2 ( f ) будет решением и на O( f ), ~ ~ O( f ), Or ( f ), Or ( f ) (см. следствие 2 к теор. 1.5), то есть задача на этих множествах решается с помощью алгоритмов поиска оптимального 2-дерева (см. гл. III).

d. При 1 функционал вогнут (см. утв. 2.6), следовательно (см.

теор. 1.6 и следствие) веерная организация оптимальна на O( f ) ~ и O( f ), то есть задача на этих множествах решена аналитически. В силу монотонности решение на Dr ( f ) будет решением и на Or ( f ) (см. следствие к теор. 1.4), то есть задача на этих множествах решается с помощью алгоритмов поиска оптимального r -дерева (см. гл. III).

Таким образом, задача об оптимальной организации одной группы для функционала (I) во многих случаях решена аналитически, в остальных случаях решается с помощью алгоритмов поиска оптимального r -дерева.

По поводу решения задачи об оптимальной организации произвольного набора групп f = { f1,, fm} для функционала (I) можно сделать следующий вывод. При 1, 1 и функции сложности вида (2.2) функционал существенно выпуклый (см. утв.

2.6), следовательно (см. теор. 1.8) решение задачи на Op (f ) будет ~ ~ решением и на O(f ), O(f ), Or (f ), Or (f ), то есть задача на этих множествах решается с помощью алгоритмов поиска оптимальной последовательной организации (см. гл. IV).

На рис. 2.5 полученные результаты для функционала (I) и функции сложности вида (2.2) изображены схематично. По горизонтальной оси отложено значение, по вертикальной – значение. При 1 – область с вертикальной штриховкой – на O( f ) оптимальна веерная организация одной группы (функционал – вогнутый). При 1 – область с перекрестной штриховкой – на O(f ) оптимальна 2-организация произвольного набора групп f = { f1,, fm} (функционал – выпуклый). При 1, 1 – область с горизонтальной штриховкой – результат усиливается. В этом случае на O(f ) оптимальна последовательная организация.

Если набор f = { f } состоит из одной группы, то на O( f ) оптимальна последовательная организация, в которой на первом месте стоит элемент максимальной сложности, остальные расположены в любом порядке (правая часть графа в области с горизонтальной штриховкой).

Рис. 2.5. Оптимальные организации для функционала (I).

3. Вид оптимальной организации для функционала (II).

Утверждение 2.8. Функционал (II) при 1 вогнут, а при функции сложности вида (2.2) и > 1, 1 вогнут на наборах непересекающихся групп1.

Доказательство. Рассмотрим набор групп {g1,, gk } и его произвольное разбиение на поднаборы {h1,,hi} и {hi+1,,hk }, 1 < i < k, h = h1 hi. Обозначим через P1 левую, через P2 – правую часть в неравенствах определения 1.30. Обозначим X = C(h1) + + C(hi ), Y = C(hi+1) + + C(hk ), тогда P1 = (X + Y), P2 = X + (C(h) + Y ). При 1 в силу (2.4) P1 X + Y P2.

В случае >1, 1 можно подобрать пересекающиеся группы, при которых нарушается неравенство b) в опр. 1.30, а при <1, >1 можно подобрать и непересекающиеся группы, обладающие тем же свойством. То есть утверждение неулучшаемо.

Если среди h1,,hi нет пересекающихся групп и функция сложности имеет вид (2.2), то C(h) = (C(h1)1/ + + C(hi )1/ ).

При 1 в силу (2.3) C(h) X, следовательно P2 (X + Y ) = P1.

Утверждение доказано.

Утверждение 2.9. Последовательная организация, в которой элементы расположены в порядке неубывания сложности1, оптимальна на Op ( f ) при функционале (II) с функцией сложности вида (2.2) и параметрами 1 или > 1, 1. Доказательство. Рассмотрим оптимальную на Op ( f ) организацию G. В G элементы расположены в некотором порядке ai1,,ain. Обозначим g = {ai1,, ai j }, C = C({ai j }), j = 1, n.

j j Пусть для некоторого k Ck > Ck+1. Поменяем местами aik и aik +1.

Получим последовательную организацию G. Если k = 1, то P(G ) = P(G). Иначе в P(G) входила величина P1 = (C(gk -1) + Ck ) + (C(gk-1 {aik }) + Ck+1). Вместо P1 в P(G ) входит величина P2 = (C(gk-1) + Ck+1) + (C(gk-1 {aik +1}) + Ck ).

1/ Обозначим z = C(gk-1)1/, x = Ck, y = Ck/ 1. Тогда x > y, + P1 = (z + x ) + ((z + x) + y ), P2 = (z + y ) + ((z + y) + x ).

Первое слагаемое P2 не превосходит первого слагаемого P1.

Докажем, что при 1 для вторых слагаемых выполняется то же.

Для этого достаточно показать неотрицательность величины = (z + x) + y - (z + y) - x. Рассмотрим как функцию z.

Тогда (0) = 0, (z) = (z + x) -1 - (z + y) -1. При 1 с учетом x > y имеем (z) 0. Следовательно, (z) монотонно не убывает. Имеем (z) 0, то есть P2 P1.

Остался случай < 1, 1. Для доказательства неравенства P1 P2 рассмотрим разность этих величин как функцию от y и покажем ее неотрицательность:

См опр. 1.33.

При <1, >1 можно привести пример, при котором утверждение неверно. То есть оно неулучшаемо.

(y) = (z + x ) - (z + y ) + ((z + x) + y ) - ((z + y) + x ) Вычислим производную: ( y) = (-(z + y ) -1 y -1 + + ((z + x) + y ) -1 y -1 - ((z + y) + x ) -1(z + y) -1). Первое слагаемое по модулю не меньше второго в силу z + y < (z + x) + y и условия 1. Следовательно, ( y) 0.

Выполнено (0) > 0, (x) = 0, то есть функция (y) монотонно убывает до нуля при увеличении y от нуля до x. Имеем (y) 0, то есть P2 P1.

Итак, при условиях утверждения P2 P1, следовательно P(G ) P(G) и организация G оптимальна. Продолжая такие перестроения, получим в итоге оптимальную на Op ( f ) организацию, в которой элементы расположены в порядке неубывания сложности. Утверждение доказано.

В результате по поводу решения задачи об оптимальной организации одной группы f для функционала (II) можно сделать следующие выводы:

a. На Op ( f ) при функции сложности вида (2.2) и 1 или >1, 1 решением будет последовательная организация, в которой элементы расположены в порядке неубывания сложности (см.

утв. 2.9), то есть задача на этом множестве решена аналитически.

b. При 1 или при функции сложности вида (2.2) и > 1, функционал вогнут (см. утв. 2.8), следовательно в силу монотонности (см. теор. 1.6 и следствие) веерная организация ~ оптимальна на O( f ), O( f ), то есть задача на этих множествах решена аналитически.

c. В силу монотонности решение на D( f ) и Dr ( f ) будет соответственно решением на O( f ) и Or ( f ) (см. теор. 1.4 и следствие), то есть задача на этих множествах решается с помощью алгоритмов поиска оптимальных деревьев (см. гл.III).

d. При функции сложности вида (2.2) и = 1, = 1 функционал (II) совпадает с функционалом (2.1) (см. п.2 §1), если положить C(ai ) = pi. Условие i=1,n pi = 1 не ограничивает общности, так как (II) однороден (см. опр. 2.3) и решение задачи об оптимальной иерархии не зависит от масштаба сложностей. То есть при произвольных сложностях элементов можно положить pi = C(ai ) /(C(a1) + + C(an )). Таким образом, функционал (II) описывает, в частности, алфавитное кодирование. В силу монотонности решение на Dr ( f ) будет решением и на Or ( f ), то есть задача на этих множествах решается с помощью алгоритмов теории кодирования со сложностью порядка n log n (см. п.2 §1). Априори представляется разумным использовать эти алгоритмы и в качестве эвристических при 1 или 1.

Рис. 2.6. Оптимальная организация для функционала (II).

На рис. 2.6 полученные результаты для функционала (II) и функции сложности вида (2.2) изображены схематично. По горизонтальной оси отложено значение, по вертикальной – значение. В случае 1 или > 1, 1 – область с вертикальной штриховкой – на O( f ) оптимальна веерная организация одной группы (функционал – вогнутый). В этой же области на Op ( f ) оптимальна последовательная организация, в которой элементы расположены в порядке неубывания сложности (от “меньшего” к “большему”). При < 1, > 1 – белая область – функционал не является ни выпуклым, ни вогнутым1.

Аналитическое решение задачи в этой области на данный момент отсутствует. В пункте 3 §1 главы III (см. рис. 3.5) приведен пример использования алгоритмических методов решения, из которого можно сделать вывод, что в вышеуказанной области оптимальная организация ведет себя сложным образом при изменении параметров и.

4. Вид оптимальной организации для функционала (III).

Утверждение 2.10. Функционал (III) – существенно выпуклый при 1. Доказательство. Сначала докажем выпуклость. Рассмотрим произвольный набор групп {g1,, gk }, k 3 и его разбиение на поднаборы {h1, h2} = {g1, g2}, {h3,,hk } = {g3,, gk }. Без ограничения общности считаем C(g1) = max(C(g1),,C(gk )). Обозначим h = h1 h2;

x = C(g1 gk ) ;

y = C(h);

z = C(h1).

Сложность монотонна, следовательно z y x. Через P обозначим левую, через P2 – правую часть в неравенствах определения 1.30. Тогда P1 = (x / z -1), P2 = (y / z -1) + + (x / y -1) (y / z -1+ x / y -1) в силу (2.3) и 1.4 Для доказательства неравенства P2 P1 достаточно показать, что:

x / z -1- y / z +1- x / y +1 = (xy + yz - y2 - xz) / yz = (x - y)(y - z)/ yz 0, что, очевидно, верно. Таким образом, функционал (III) – выпуклый.

Рассмотрим набор неэлементарных групп {g1, g2}. Пусть C(g1) C(g2 ). Обозначим x = C(g1 g2 ), z = C(g2 ), P1 и P2 – Можно подобрать сложности, при которых нарушаются оба неравенства в опр.

1.30.

При <1 можно подобрать сложности, при которых нарушается неравенство а) в опр. 1.30. То есть утверждение неулучшаемо.

Иначе можно изменить нумерацию групп g1,, gk.

При z = 0 P1 = + по определению функционала (III), следовательно выполнено неравенство P1 P2. Далее считаем z > 0.

соответственно левая и правая части неравенства a) определения 1.32. Имеем P1 = P(g1, g2 ) = (x / z -1). Рассмотрим a g1, тогда P2 =P(g1 \{a},g2)+P((g1 \{a})g2,{a}). Обозначим y =C((g1 \{a})g2), тогда P2 = ( y / z -1) + (x / y -1). Выше было показано, что P1 P2 при z y x, что выполнено в силу монотонности функции сложности. В случае C(g1) C(g2 ) выполнение неравенства b) определения 1.32 доказывается аналогично с точностью до замены g1 на g2. Следовательно, функционал (III) – существенно выпуклый. Утверждение доказано.

Докажем две вспомогательные леммы и утверждение 2.11 с целью выяснения вопроса об оптимальной на Op ( f ) последовательной организации одной группы для функционала (III).

Лемма 2.2. При функционале (III) с функцией сложности вида (2.2) существует оптимальная на Op ( f ) последовательная организация одной группы f, в которой элементы расположены в таком порядке ai*,, ai*,1 что при k = 1,n -1 выполнено 1 n C({ai* }) C({ai*,, ai* }).

k +1 1 k Доказательство. Пусть G Op ( f ) – оптимальная на Op ( f ) организация с порядком элементов ai1,,ain. Обозначим g = {ai1,, ai j }, y = C(g ), C = C({ai j }), j =1,n. Найдем j j j j минимальное k, для которого yk < Ck+1. Если такого k нет, то G – искомая организация. Иначе для j = 1,k -1 выполнено y C.

j j+ / Обозначим x =C1+ 1. В P(G) входит величина P = j=2,k+1P(Q (gj))= k 1 G = (y2 / y1 -1) + (y3 / y2 -1) + + (yk / yk -1 -1) + ((x + y1/ ) / x -1).

k Переставим элемент aik +1 на первое место, порядок остальных сохраним. Получим последовательную организацию G. С учетом монотонности сложности выполнено Ck +1 > yk y C для j j См. опр. 1.33.

j = 1,k. Следовательно, вместо P1 в P(G ) входит следующая 1/ 1/ величина: P2 = ((x + y1 ) / x -1) + ((x + y1/ ) /(x + y1 ) -1) + + + ((x + y1/ ) /(x + y1/ 1 ) -1).

k k Покажем, что P2 P1 индукцией по k. При k =1 выполнено P2 = P1. Обозначим P1 и P2 при k = q через P1(q) и P2 (q).

Предположим, что выполнено P2 (q) P1(q). Докажем, что P2 (q +1) P1(q +1). Можно записать P2(q +1) = P2(q) + + ((x + y1/ 1) /(x + y1/ ) -1), P(q +1) = P(q) +((x + y1/ 1) / x -1) - q+ q 1 1 q+ - ((x + y1/ ) / x -1) + ( yq+1 / yq -1). Обозначим y = y1/ 1, q q+ z = y1/, тогда выполнено z y.1 Необходимо показать:

q ((x + y) /(x + z) -1) ((x + y) / x -1) - ((x + z) / x -1) + ( y / z -1), ((x + z) / x -1) + ((x + y) /(x + z) -1) ((x + y) / x -1) + ( y / z -1).

Первое слагаемое слева не превосходит первого справа в силу z y. Неравенство для вторых слагаемых можно записать следующим образом (x + y) /(x + z) y / z. Упростим выражение:

xz + yz xy + zy, что выполнено в силу z y.

Итак, P2 P1, следовательно G оптимальна на Op ( f ).

Рассмотрим G вместо G. Тогда y C при j = 1,k. Повторяя j j+ при необходимости вышеуказанные действия с числом k > k, в итоге придем в искомой организации. Лемма доказана.

Лемма 2.3. Для произвольных величин 1 u v при 1 и 12 выполнено неравенство:

(u -1) + ((1 + (v -1) / u) -1) (v -1) + ((1+ (u -1) / v) -1).

Доказательство. Рассмотрим разность правой и левой частей как функцию от u : f (u) = (v -1) - (u -1) + + ((1+ (u -1) / v) -1) - ((1+ (v -1) / u) -1). Тогда выполнено f (1) = f (v) = 0. Докажем вогнутость функции f (u), то есть При z = 0 последнее слагаемое P1 равно + по определению функционала (III), следовательно выполнено неравенство P1 P2. Ниже считаем z > 0.

Для =1 и = 2 лемма доказывается элементарными преобразованиями при произвольном > 0. Численные эксперименты подтверждают выполнение леммы при 1 независимо от значения > 0. То есть можно предположить справедливость леммы при 0 < < 1, но строго эта гипотеза не доказана.

неравенство f (u) 0 при 1 < u < v. В этом случае f (u) лежит не ниже оси абсцисс, то есть f (u) 0 и неравенство доказано.

Вычислим первую производную:

f (u) = - (u -1) -1u -1 + ((1+ (u -1) / v) -1) -1(1 + (u -1) / v) -1 / v + + ((1 + (v -1) / u) -1) -1(1 + (v -1) / u) -1(v -1) / u Множитель не влияет на знак второй производной. Игнорируя его, вычислим вторую производную и проведем некоторые преобразования. Получим:

f (u) = ( -1)[((1+ (u -1)/ v) -1) -2 (1+ (u -1) / v)2 /(u + v -1)2 - - (u -1) -2 u2 /u2 - ((1+ (v -1) / u) -1) -2 (1+ (v -1) / u)2( -1) (v -1)2 / u4 ] + + ( -1)[ ((1+ (u -1) / v) -1) -1(1+ (u -1)/ v) /(u + v -1)2 - (u -1) -1u /u2 - ((1+ (v -1)/ u) -1) -1(1+ (v -1) / u) -2 (v -1)2 / u4 ] - 2[((1+ (v -1) / u) -1) -1(1+ (v -1) / u) -1(v -1) / u3] Рассмотрим вторую квадратную скобку и первые два ее слагаемых. Выполнено u > 1+ (u -1) / v в силу 1 < u < v. Таким образом, при 1 второе слагаемое по модулю не меньше первого. Третье слагаемое неположительно. То есть неположительна вся вторая квадратная скобка. В силу положительной в выражении для f (u) может быть только первая квадратная скобка. Покажем, что ее первое слагаемое по модулю меньше второго, чем докажем лемму. Соответствующее неравенство имеет вид:

((1+ (u -1) / v) -1) -2 (1+ (u -1) / v)2 /(u + v -1)2 (u -1) -2u2 /u Можно переписать:

((1+ (u -1) / v) -1) -1((1+ (u -1) / v) -1)-1(1+ (u -1)/ v)2 /(u + v -1) (u -1) -1(u -1)-1u2 /u В силу 1 и u > 1+ (u -1) / v первая скобка слева не превосходит первой справа. Сократим неравенство и проведем некоторые преобразования. Получим:

u -1 (1+ (u -1) / v) -1 u + v - u u2 (1+ (u -1) / v) Проведем замену x = u, y = 1+ (u -1) / v. Тогда 1 < y < x и (u + v -1) / u = (x -1)y /[(y -1)x], получим:

2( -1) (x -1) /[x2( -1) (x -1)2 ] ( y -1) /[y ( y -1)2 ].

Рассмотрим левую часть как функцию g() от x. Справа стоит такая же функция от y. С учетом 1 < y < x осталось показать невозрастание g(x) при x 1. Вычислим производную:

g (x) = [ x3( -1)(x -1)2 - 2( -1)x2( -1)-1(x -1)(x -1)2 - - 2(x -1)x2( -1)(x -1)]/[x2( -1)(x -1)2]2 Сократив в полученном неравенстве знаменатель и множитель (x-1)x2( -1)-1, будем иметь: x (x-1) -2( -1)(x -1)(x-1)-2x(x -1) или x [ (1-x)-2]+2 (x-1)+20. Преобразуем: (x-1)(2-x ) 2(x -1).

Выполнено 2 - x 1, тогда, сократив неравенство, получим (x -1) 2(x -1). Рассмотрим разность правой и левой частей как функцию h() от x. Тогда h(1) = 0 и h (x) = (2x -1 -1) 0 в силу 1 и x 1. Таким образом, h(x) 0, что и доказывает неравенство g (x) 0. Лемма доказана.

Утверждение 2.11. При функционале (III) с функцией сложности вида (2.2) и 1, 11 среди последовательных организаций, в которых второй и последующие элементы расположены в порядке неубывания сложности2, найдется организация, оптимальная на Op ( f ).

Доказательство. Пусть G Op ( f ) – оптимальная на Op ( f ) организация с порядком элементов ai1,,ain, удовлетворяющим условиям леммы 2.2. Обозначим y = C({ai1,, ai j }), j = 1, n.

j Тогда P(G) = (y2 / y1 -1) + + (yn / yn-1 -1). Пусть в G для некоторого j = 2, n -1 имеет место C({ai j }) > C({ai j+1}).

Обозначим x = C({ai j })1/, y = C({ai j+1})1/. Поменяем местами {ai j } и {ai j+1}, чем изменим лишь два слагаемых в P(G). Получим последовательную организацию G. При этом в силу Условия 1 и 1 необходимы лишь для выполнения леммы 2.3. Как отмечено в сноске к формулировке леммы 2.3, она выполнена при =1 и = для любых > 0, что позволяет предположить справедливость леммы при 1 и 0 < < 1. Таким образом, выполнение утверждения в этой области является гипотезой.

См. опр. 1.33.

y C({ai j }) > C({ai j+1}) условие леммы 2.2 будет справедливо и j- после перестановки. Тогда можно записать:

= P(G) - P(G ) = (y / y -1) + (y / y -1) - j j-1 j+1 j - ((y1/ 1 + y) / y -1) - ( y /(y1/ 1 + y) -1) j- j -1 j +1 j Обозначим z = y1/ 1, тогда y = (z + x), y = (z + x + y).

j- j j+ Условие 0 примет вид:

((z + x) / z -1) + ((z + x + y) /(z + x) -1) ((z + y) / z -1) + ((z + x + y) /(z + y) -1) Обозначим u = 1+ y / z, v = 1+ x / z.1 Тогда 1 u < v и неравенство примет вид:

(v -1) + ((1+ (u -1) / v) -1) ((u -1) + ((1+ (v -1) / u) -1), что выполнено при 1 и 1 в силу леммы 2.3. То есть 0, следовательно P(G ) P(G). Получили оптимальную последовательную организацию, для которой выполнены условия леммы 2.2 и неравенство C({ai j }) C({ai j+1}). Продолжая такие действия, в итоге придем к оптимальной на Op ( f ) организации, в которой второй и последующие элементы расположены в порядке неубывания сложности. Утверждение доказано.

В результате по поводу решения задачи об оптимальной организации одной группы f для функционала (III) можно сделать следующие выводы:

a. Для функции сложности вида (2.2) и 1, 1 найти организацию, оптимальную на Op ( f ), можно следующим образом: поставим на первое место поочередно каждый элемент, остальные расположим в порядке неубывания сложности, выберем из полученных n организаций организацию минимальной стоимости, она и будет искомой (см. утв. 2.11). То есть на Op ( f ) оптимальна одна из n организаций.

b. Функционал – существенно выпуклый при 1 (см. утв. 2.10).

Тогда (см. теор. 1.8) решение на Op ( f ) будет решением и на z > 0 в силу z x > y 0.

~ ~ O( f ), O( f ), Or ( f ), Or ( f ). В силу пункта a) при функции сложности вида (2.2) и 1 задача на этих множествах решается путем сравнения стоимостей n организаций.

По поводу решения задачи об оптимальной организации произвольного набора групп f = { f1,, fm} для функционала (III) можно сделать следующий вывод. Функционал – существенно выпуклый при 1 (см. утв. 2.10), следовательно (см. теор. 1.8) ~ решение задачи на Op (f ) будет решением и на O(f ), O(f ), Or (f ), ~ Or (f ), то есть задача на этих множествах решается с помощью алгоритмов поиска оптимальной последовательной организации (см. гл. IV).

На рис. 2.7 результат утверждения 2.10 изображен схематично. По вертикальной оси отложено значение. Значение, отложенное по горизонтальной оси, никакой роли не играет (результат верен для любой функции сложности) и сохранено для аналогии с рис. 2.5, 2.6. При 1 – область с горизонтальной штриховкой – на O(f ) оптимальна последовательная организация произвольного набора групп f = { f1,, fm} (функционал – существенно выпуклый). Если набор f = { f } состоит из одной группы, то при функции сложности вида (2.2) и 1, 1 на O( f ) оптимальна последовательная организация, в которой элементы, начиная со второго, расположены в порядке неубывания сложности (правая часть графа в области с горизонтальной штриховкой).

Рис. 2.7. Оптимальная организация для функционала (III).

При < 1 – белая область – функционал не является ни выпуклым, ни вогнутым1. Аналитическое решение задачи в этой области на данный момент отсутствует. В пункте 1 §1 главы III (см. рис. 3.2) приведен пример использования алгоритмических методов решения, из которого можно сделать вывод, что в вышеуказанной области оптимальная организация ведет себя сложным образом.

5. Вид оптимальной организации для функционала (IV).

Утверждение 2.12. Функционал (IV) – выпуклый при 1. Доказательство. Рассмотрим произвольный набор групп {g1,, gk } и его разбиение на поднаборы {h1,h2} = {g1, g2} и {h3,, hk } = {g3,, gk }. Обозначим h = h1 h2;

y = C(h);

xi = C(gi ), i = 1,k ;

x = C(g1 gk ) ;

P1 и P2 – соответственно левая и правая части в неравенствах определения 1.30. Тогда P2 = (2y - x1 - x2) + ((k -1)x - y i=3,k xi ), P1 = (kx - i=1,k xi ).

Из (2.3) и 1 следует P2 (2y - x1 - x2 + (k -1)x - y i=3,k xi ).

Для доказательства неравенства P2 P1 достаточно показать, что y + (k -1)x i=1,k xi kx - i=1,k xi. Последнее неравенство имеет вид y x, что выполнено в силу монотонности функции сложности. Утверждение доказано.

Покажем, что функционал (IV), вообще говоря, на является существенно выпуклым при 1. Например, пусть m =1 и необходимо организовать группу f = {a1,, a4}, функция сложности имеет вид (2.2), C(a1) = = C(a4 ) = 1, = 1, = 1.

Тогда стоимость последовательной организации равна 9.

Стоимость дерева, в котором f организуется из промежуточных Можно подобрать сложности, при которых нарушаются оба неравенства в опр.1.30.

При <1 можно подобрать сложности, при которых нарушается неравенство а) в опр. 1.30. То есть утверждение неулучшаемо.

групп {a1, a2} и {a3,a4}, равна 8. Таким образом, функционал (IV) – выпуклый, но не существенно выпуклый (см. теор. 1.8).

Утверждение 2.13. Последовательная организация, в которой элементы расположены в порядке неубывания сложности, оптимальна на Op ( f ) при функционале (IV) с функцией сложности вида (2.2) и = 1. Доказательство. Рассмотрим некоторую организацию G Op ( f ). В G элементы расположены в некотором порядке ai1,,ain. Обозначим g = {ai1,, ai j }, C = C({ai j }), j = 1, n.

j j Тогда P(G) = (2C(g ) - C(g ) - C ) = C(g ) - j j-1 j j j =2,n j =2,n- - C + 2C(gn). От порядка элементов зависит лишь первое j j =1,n слагаемое. При изменении порядка элементов ak и ak +1 слагаемое 1/ 1/ C(gk ) изменится на (C(gk )1/ - Ck + Ck +1 ). Если Ck > Ck+1, то стоимость P(G) уменьшится. Следовательно, оптимальной на Op ( f ) может быть лишь организация, в которой элементы расположены в порядке неубывания сложности. Утверждение доказано.

В результате по поводу решения задачи об оптимальной организации одной группы f для функционала (IV) можно сделать следующие выводы:

a. На Op ( f ) при функции сложности вида (2.2) и = 1 решением будет последовательная организация, в которой элементы расположены в порядке неубывания сложности (см. утв. 2.13), то есть в этом случае задача на Op ( f ) решена аналитически.

b. Функционал выпуклый при 1 (см. утв. 2.12), следовательно ~ ~ решение на D2 ( f ) будет решением и на O( f ), Or ( f ) (см.

следствие 1 к теор. 1.5), то есть задача на этих множествах Возможно, утверждение выполнено и при 1. Однако в общем случае оптимальная на Op ( f ) организация не будет оптимальна на O( f ) и даже на D( f ), что делает неактуальным громоздкое уточнение вида оптимальной последовательной организации.

решается с помощью алгоритмов поиска оптимального 2-дерева (см. гл. III).

c. Если функция сложности имеет вид (2.2) и = 1, = 1, то стоимость организации двух подгрупп для функционалов (II) и (IV) совпадают. Для структурных функционалов искать оптимальное 2-дерево на D2 ( f ) можно среди деревьев без повторяющихся групп (см. теор. 1.7). В таких деревьях каждая неэлементарная группа организуется ровно из двух подгрупп (см. лемму 1.4), то есть на D2 ( f ) функционалы (II) и (IV) равны. Таким образом, функционал (IV), также как и (II), описывает бинарное алфавитное кодирование (см. п.2 §1 и п. §2). Задача на D2 ( f ) решается с помощью алгоритма Хаффмана с порядком сложности n log n (см. п.2 §1). В силу ~ ~ пункта b алгоритм Хаффмана дает решение и на O( f ), Or ( f ).

Априори представляется разумным использовать этот алгоритм и в качестве эвристического при 1 или 1.

Рис. 2.8. Оптимальная организация для функционала (IV).

На рис. 2.8 результат утверждения 2.12 изображен схематично. По вертикальной оси отложено значение. Значение, отложенное по горизонтальной оси, никакой роли не играет (результат верен для любой функции сложности) и сохранено для аналогии с рис. 2.5, 2.6. При 1 – область с перекрестной штриховкой – на O(f ) оптимальна 2-организация произвольного набора групп f = { f1,, fm} (функционал – выпуклый). При < – белая область – функционал не является ни выпуклым, ни вогнутым1. Аналитическое решение задачи в этой области на данный момент отсутствует. В пункте 2 §1 главы III (см. рис. 3.4) приведен пример использования алгоритмических методов решения.

Кратко подведем итоги главы II. В §1 различные частные задачи: оптимальная организация технологического взаимодействия элементов, построение оптимального алфавитного кода, построение оптимальной структуры системы управления сетью доставки материальных потоков и др. сформулированы в терминах задачи оптимизации иерархической структуры. При этом многие задачи (см. п.п.1-4 §1) описываются структурным функционалом стоимости. К таким задачам применимы рассмотренные в данной работе общие методы решения. Вполне естественно, что для конкретных задач могут существовать более эффективные частные методы. Однако универсальность общих методов позволяет проанализировать каждую новую частную задачу “в первом приближении”, а затем при необходимости учитывать ее специфику. В пунктах 4 и 5 §1 приводятся примеры задач с неструктурным функционалом стоимости, что иллюстрирует необходимость дальнейшего изучения общей задачи и в этом случае.

Соответствие выпуклости и вогнутости функционала “классическим“ определениям выпуклой и вогнутой функции затрат описано в пункте 1 §1.

В пункте 2 §1 приведен пример сведения “классической” задачи дискретной оптимизации, встречающейся в теории кодирования, к общей задаче об оптимальном r -дереве организации. Сложность задачи построения оптимального дерева в общем случае не ограничена полиномом (см. гл. III). Однако пункт 2 §1 показывает, что для конкретного вида функционала (см.

формулу (2.1)) существуют вполне эффективные алгоритмы решения.

В §2 определены так называемые анонимные функционалы стоимости, то есть структурные функционалы, которые зависят не от самих организуемых групп, а от некоторой их характеристики – сложности. Введены понятия однородности (независимости от Можно подобрать сложности, при которых нарушаются оба неравенства в опр.1.30.

масштаба сложности) и корректности в нуле (стоимость добавления подгруппы нулевой сложности нулевая) анонимного функционала. Исходя из возможных содержательных интерпретаций, предложены примеры однородных функционалов (I)-(IV). Функционалы (I), (II) монотонны, (III), (IV) – нет.

Функционалы (I), (III) корректны в нуле, функционалы (II), (IV) – нет. Далее в §2 исследуется выпуклость, вогнутость, существенная выпуклость функционалов (I)-(IV) и из общих теорем 1.4-1. делаются соответствующие выводы по поводу вида оптимальной организации. Полученные результаты схематично представлены на рис. 2.5-2.8. Для ряда наборов параметров функционалы не являются ни выпуклыми, ни вогнутыми. Аналитическое решение задачи в этих областях на данный момент отсутствует. На рис. 3.2, 3.4, 3.5 приведены примеры использования алгоритмических методов решения, из которых можно сделать вывод, что в указанных областях оптимальная организация ведет себя сложным образом.

Глава III. Алгоритмы поиска оптимального дерева.

В данной главе рассматриваются методы решения задачи об оптимальных на D( f ) и Dr ( f ) деревьях организации одной группы f = N = {a1,, an} для структурного функционала стоимости. Для монотонных функционалов по теореме 1.4 и следствию найденные деревья также будут и оптимальными организациями одной группы на O( f ) и Or ( f ).

Согласно теореме 1.7 существуют оптимальные на D( f ) и Dr ( f )1 деревья организации, которые не содержат повторяющихся групп. Ниже в данной главе считаем, что во множества D( f ) и Dr ( f ) входят только такие деревья. Найденные графы будут оптимальными и на первоначальных множествах D( f ) и Dr ( f ). Таким образом, для любой вершины g V \ ND произвольного дерева D = (V, E) D( f ) выполнено QD (g) 2 и любая подгруппа h QD (g) строго вложена в g : h g (см. лемму 1.4). То же считаем выполненным и для D Dr ( f ). Ниже эти свойства специально не оговариваются.

В §1 оценивается сложность и строятся алгоритмы точного решения задачи об оптимальном дереве. При этом пункты 1 и посвящены структурному функционалу общего вида, а пункты 3 и 4 – функционалу вида P( g1,, gk, g ), зависящему не от состава подгрупп g1,, gk, организуемых в группу g, а лишь от их мощностей g1,, gk, g. Например, для определенного в главе II анонимного функционала с функцией сложности вида (2.2) требование P(C(g1),,C(gk ),C(g)) = P( g1,, gk, g ) эквивален тно условию равенства сложностей элементов: C(a1) = = C(an ).

Очевидно, что если функционал имеет вид P( g1,, gk, g ) и группы g и h равномощны – g = h, то стоимости оптимальных на D(g) и D(h) деревьев организации g и h будут равны. То же верно и для множеств Dr (g) и Dr (h). Ниже при разработке 1 ~ Напомним, что для одной группы f множество O( f ) организаций без пересечений и множество D( f ) деревьев организации совпадают (см. утв. 1.2). То ~ же верно и для множеств Or ( f ) и Dr ( f ).

методов решения подразумеваем этот факт, не оговаривая его каждый раз специально.

В §2 строятся эвристические алгоритмы решения задачи для функционала общего вида (см. п.3 и п.4) и для функционала вида P( g1,, gk, g ) (см. п.1 и п.2)1. Сложность эвристических алгоритмов ниже минимально возможной сложности точных алгоритмов. Как показано в §1, в худшем случае погрешность таких алгоритмов сколь угодно велика. Поэтому необходимо тестировать “качество работы” эвристических алгоритмов для конкретных функционалов. В §2 приведены примеры тестирования.

Все построенные в данной главе алгоритмы основаны на следующем принципе динамического программирования. Пусть дерево D = (V, E) D( f ) оптимально на D( f ). Обозначим через Dg поддерево D с корнем в некоторой промежуточной группе g V / ND. Тогда очевидно, что Dg – оптимальное на D(g) дерево (в противном случае при замене поддерева Dg на поддерево меньшей стоимости уменьшилась бы стоимость D, что невозможно). То есть любое поддерево оптимального дерева оптимально. Ниже при построении алгоритмов этот факт специально не оговаривается.

§1. Точное решение задачи об оптимальном дереве.

1. Оценка сложности общей задачи на D( f ). Переборный алгоритм.

Через q(n, r) обозначим количество способов нетривиального разбиения группы из n элементов не более чем на r непересекающихся подгрупп, n 2, r 2. Через q(n) = q(n, n) обозначим общее число способов нетривиального разбиения группы из n элементов.

Очевидно, что для любого r > n выполнено q(n, r) = q(n, n) = q(n), так как нельзя разбить группу из n Такой порядок пунктов определяется удобством изложения эвристических алгоритмов.

То есть группа разбивается на две или более подгруппы.

элементов более чем на n непересекающихся подгрупп. Ниже (см.

леммы 3.1 и 3.2) при вычислении q(n, r) ограничимся величинами 2 r n, так как после их вычисления величина q(n, r) для больших r получается тривиально.

Следующее утверждение дает нижнюю оценку количества вычислений функционала стоимости любым точным алгоритмом.

Утверждение 3.1. Алгоритм, решающий задачу об оптимальном дереве на D( f ), f = n 3 для структурного функционала P общего вида, должен проанализировать не менее q(n) значений P. Любой алгоритм, анализирующий менее q(n) значений P, может выдать решение, стоимость которого сколь угодно больше стоимости оптимального дерева.

Доказательство. Зададим функционал P (g1,, gk ) стоимости организации подгрупп g1,, gk в группу g = g1 gk следующим образом:

0, при g f (3.1), P (g1,, gk ) = y, при g = f где y > 0 – произвольное число.

Тогда любое дерево D D( f ) имеет стоимость y.

Предположим, что алгоритм, решающий задачу об оптимальном дереве на D( f ), анализирует менее q(n) значений P. Применим его для решения задачи с функционалом P. Обозначим полученное дерево через D D( f ). Алгоритм не проанализирует хотя бы одного варианта организации f из непересекающихся подгрупп. Обозначим их через h1,, h, f = h1 hj. Если j QD ( f ) {h1,,h }, то зададим функционал P следующим j образом:

0, при g f или при k = j, g1 = h1,,g = hj j (3.2).

P (g1,, gk ) = y, в противном случае Если QD ( f ) = {h1,, h }, то, выбрав произвольное z > y, зададим j P следующим образом:

0, при g f z, при k = j, g1 = h1,, g = hj (3.3).

P (g1,, gk ) = j y, в остальных случаях Применим алгоритм для решения задачи с функционалом P.

Мы изменили значение функционала только на наборе подгрупп h1,, h. Это значение алгоритм не анализировал. Следовательно, j в качестве решения опять будет выдано дерево D.

При первом варианте выбора P деревья из D( f ), в которых группа f организуется из подгрупп h1,,h, имеют нулевую j стоимость, а P(D ) = y. При втором варианте выбора P в силу n 3 в D( f ) существует по крайней мере одно дерево, в котором группа f организуется не из подгрупп h1,,h. Стоимость такого j дерева равна y, а P(D ) = z. В обоих случаях стоимость выданного решения может быть сколь угодно большей, чем стоимость оптимального дерева. Утверждение доказано.

Следствие. Не существует полиномиального по n алгоритма решения задачи об оптимальном на D( f ) дереве организации со структурным функционалом общего вида.

Доказательство. Выполнено q(n) q(n,2) = 2n-1 -1.

Следствие доказано.

Доказательство следующего утверждения дает алгоритм поиска оптимального дерева на D( f )1 и его сложность. Будем называть построенный алгоритм переборным.

Утверждение 3.2. Существует алгоритм, решающий задачу об оптимальном дереве организации на D( f ), f = n для структурного функционала P общего вида за s(n) = i=2,nC i q(i) n вычислений P.

Если стоит задача поиска оптимального на D( f ) дерева с уровнем, не превышающим L (максимальная длина пути из начальной вершины в f не более L ), то алгоритм может быть очевидным образом модифицирован. Пусть для некоторого 2 i n и для всех 1 l L известны оптимальные деревья организации всех групп мощности менее i с уровнем не более l. Если ищем такое же дерево для группы g мощности i, то уровень оптимальных деревьев организации всех подгрупп не должен превосходить l -1. Оптимальное дерево с такими характеристиками нам известно. Следовательно решим задачу для g.

Сложность такого алгоритма превосходит сложность аналогичного алгоритма утв.

3.2 не более, чем в L раз.

Доказательство. Предположим, что для некоторого 2 i n известны оптимальные деревья организации всех групп мощности менее i и их стоимость. Разобьем группу g мощности i на подгруппы всевозможными способами, их q(i).

Пусть в очередном варианте группа g разбивается на подгруппы g1,, gk. Мощность подгрупп не превосходит i -1.

Следовательно, для них известны оптимальные деревья организации. Сложим их стоимости, прибавим P(g1,, gk ).

Получим стоимость некоторого дерева организации g. В оптимальном дереве g организуется из некоторых подгрупп g1,, gk. Вариант с такой стоимостью будет найден, следовательно найдем оптимальное дерево организации g. Всего i имеется Cn групп мощности i. Вычислив для каждой из них функционал стоимости q(i) раз, перейдем к группам большей мощности. В итоге, вычислив s(n) значений P, решим задачу для f. Утверждение доказано.

f f f {a1,a2} {a2,a3} {a1,a3} f {a1} {a2} {a3} {a1} {a2} {a3} {a1} {a3} {a2} {a1} {a2} {a3} Рис. 3.1. Множество D( f ) деревьев организации группы f = {a1,a2,a3}.

Приведем пример. Пусть f = {a1, a2, a3}. Существует один способ разбиения f на три подгруппы и три способа разбиения f на две подгруппы. То есть q(3,2) = 3, q(3,3) = q(3) = 4.

Неэлементарные подгруппы f имеют мощность два, следовательно разбиваются на подгруппы единственным способом. Следовательно, имеем 4 варианта дерева организации f, изображенные на рис. 3.1.

Суть утверждения 3.1 состоит в том, что если хотя бы один из четырех вариантов разбиения f не будет проанализирован, то как раз этот вариант может оказаться оптимальным, а алгоритмом будет найдено дерево большей стоимости.

Поясним переборный алгоритм (см. док-во утв. 3.2). Сначала найдем оптимальные деревья организации всех групп мощности 2.

Таких групп три: {a1, a2}, {a2, a3}, {a1,a3}. Дерево организации каждой такой группы единственно. Вычислим его стоимость. Это потребует 3q(2) = 3 вычислений функционала. Разобьем f на всевозможные подгруппы. Например, рассмотрим рис. 3.1 слева.

Вычислим значение P({a1, a2},{a3}), прибавим известную стоимость P({a1},{a2}) дерева организации {a1, a2}. Результатом будет стоимость дерева организации f при разбиении на {a1, a2} и {a3}. Таким образом, вычислив еще q(3) = 4 значения функционала, найдем стоимости четырех деревьев организации f.

Дерево минимальной стоимости и будет оптимально. Всего вычислим s(3) = 3q(2) + q(3) = 7 значений функционала.

Для вычисления q(n, r) введем следующие вспомогательные величины. Через A(n, r) обозначим количество способов разби ения группы из n элементов ровно на r непересекающихся подгрупп с учетом их порядка, n 1, 1 r n. Учет порядка означает, что разными считаются варианты с одними и теми же, но переставленными местами подгруппами.

Лемма 3.1. Для n 1 и 1 r n выполнено равенство n 1 2 r- A(n, r) = r - Cr A(n, r -1) - Cr A(n, r - 2) - - Cr A(n,1).

Доказательство. При разбиении группы g = {a1,, an} на r подгрупп элемент a1 можно поместить в первую, вторую, и так далее, в r -ю подгруппу. Так как порядок подгрупп учитывается, то получим r вариантов размещения a1. Элемент a2 также можно разместить r вариантами, независимо от размещения a1. И так n далее, все n элементов можно разместить по r подгруппам r способами. В эту величину входят и те варианты, в которых некоторые подгруппы остаются пустыми. Подсчитаем число вариантов с одной пустой подгруппой. Выбрать пустую подгруппу можно Cr = r способами. Число вариантов разбиения g на r - оставшихся подгрупп равно A(n, r -1). Всего получаем Cr A(n, r -1) вариантов с одной пустой подгруппой. Аналогично, число вариантов с двумя пустыми подгруппами равно Cr A(n, r - 2). И так далее, число вариантов с r -1 пустой r- подгруппой будет равно Cr A(n,1). Вычтя “лишние” варианты из n r, докажем лемму.

Лемма 3.2. Для n 2 и 2 r n выполнено равенство q(n, r) = A(n, r) / r!+A(n, r -1) /(r -1)!+ + A(n,2) / 2!.

Доказательство. q(n, r) – количество способов нетривиального разбиения группы g = {a1,, an} на r или менее подгрупп без учета порядка. Число вариантов разбиения ровно на r подгрупп равно A(n, r) / r!, так как отождествляются варианты с одними и теми же, но переставленными местами подгруппами.

Аналогично, число вариантов разбиения ровно на r -1 подгруппу равно A(n, r -1) /(r -1)!. И так далее, число вариантов разбиения на две подгруппы (минимальное количество подгрупп в нетривиальном разбиении) равно A(n,2) / 2!. Просуммировав все варианты, получим q(n, r). Лемма доказана.

Выполнено A(n,1) = 1. Далее можно по формуле леммы 3. последовательно вычислить величины A(n,2),, A(n, n). После этого по формуле леммы 3.2 вычисляются величины q(n, r). В силу q(n) = q(n, n) вычислим и величину q(n).

n q(n) n q(n) n q(n) 1 - 8 4 139 15 1 382 958 2 1 9 21 146 16 10 480 142 3 4 10 115 974 17 82 864 869 4 14 11 678 569 18 682 076 806 5 51 12 4 213 596 19 5 832 742 205 6 202 13 27 644 436 20 51 724 158 235 7 876 14 190 899 321 21 474 869 816 156 Таблица 3.1. Минимальная сложность q(n) точного алгоритма поиска оптимального дерева на D( f ).

Итак, сложность наилучшего алгоритма, решающего задачу об оптимальном дереве на D( f ), лежит между q(n) и s(n).

Значения q(n) приведены в таблице 3.1. Значения s(n) и их отношение к q(n) приведены в таблице 3.2. Решать переборным алгоритмом задачи с размерностью больше 20 не представляется возможным. С другой стороны, если некоторый алгоритм решает задачу хотя бы с ограниченной погрешностью, то его сложность может быть ниже не более, чем на порядок (так как s(20) / q(20) < 10). Таким образом, имеет смысл построение эвристических алгоритмов, которые решают задачу с приемлемой погрешностью для некоторых функционалов стоимости (см. §2).

s(n) / q(n) n s(n) s(n) / q(n) n s(n) s(n) / q(n) n s(n) 1 - - 8 20 891 5.05 15 10 480 109 379 7. 2 1 1 9 115 463 5.46 16 82 864 804 268 7. 3 7 1.75 10 677 546 5.84 17 682 076 675 087 8. 4 36 2.57 11 4 211 549 6.21 18 5 832 741 942 913 8. 5 171 3.35 12 27 640 341 6.56 19 51 724 157 711 084 8. 6 813 4.02 13 190 891 130 6.91 20 474 869 815 108 175 9. 7 4 012 4.58 14 1 382 942 161 7.24 21 4 506 715 736 350 170 9. Таблица 3.2. Сложность s(n) переборного алгоритма поиска оптимального дерева на D( f ).

Приведем пример найденного алгоритмом оптимального на D( f ) дерева организации группы f = {a1,, a12} из двенадцати элементов (n = 12) для функционала (III) с функцией сложности вида (2.2) (см. §2 гл. II). Для примера положим = 1 и = 0.8, то есть рассмотрим точку из области, в которой функционал не является ни выпуклым, ни вогнутым (см. рис. 2.7). Сложности элементов: C(a1) = 1,C(a2 ) = 2,,C(a12 ) = 12.

f a1 a2 a3 a4 a5 a6 a9 a8 a10 a11 a7 a Рис. 3.2. Оптимальное на D( f ) дерево организации группы f = {a1,, a12}.

Оптимальное дерево изображено на рис. 3.2. Оно содержит три промежуточные группы. Группа f организуется из подгруппы {a7, a8, a10,a11, a12} и семи элементарных подгрупп. Таким образом, в отличие от случая 1, не только последовательная организация, но и 2-дерево не будет оптимальным. При приближении к нулю значение функционала стремится к единице, то есть стоимость графа стремится к количеству неэлементарных групп. Следовательно, при достаточно малом будет оптимальна веерная организация, содержащая единственную неэлементарную группу. В вышеуказанном примере при 0. оптимальна веерная организация, но при другом выборе сложностей элементов могут требоваться все меньшие для оптимальности веерной организации. В результате можно сделать вывод, что разработанных аналитических методов недостаточно для поиска оптимальных деревьев при функционале (III) с < 1, но можно использовать алгоритмические методы, изложенные в настоящей главе.

2. Оценка сложности общей задачи на Dr ( f ). Переборный алгоритм.

Следующее утверждение представляет собой аналог утверждения 3.1 для Dr ( f ).

Утверждение 3.3. Алгоритм, решающий задачу об оптимальном r -дереве на Dr ( f ), r 2, f = n 3 для структур ного функционала P общего вида, должен проанализировать не менее q(n, r) значений P. Любой алгоритм, анализирующий менее q(n, r) значений P, может выдать решение, стоимость которого сколь угодно больше стоимости оптимального r -дерева.

Доказательство. Зададим функционал P (g1,, gk ) стои мости организации подгрупп g1,, gk в группу g = g1 gk в соответствии с формулой (3.1) (см. утв. 3.1). Тогда любое r -дерево D Dr ( f ) имеет стоимость y. Предположим, что алгоритм, решающий задачу об оптимальном r -дереве на Dr ( f ), анализирует менее q(n, r) значений P. Применим его для решения задачи с функционалом P. Обозначим полученное r -дерево через D Dr ( f ). Алгоритм не проанализирует хотя бы одного варианта организации f из j непересекающихся подгрупп, 2 j r.

Обозначим их через h1,, h, f = h1 hj. Если j QD ( f ) {h1,,h }, то зададим функционал g в соответствии с j формулой (3.2), иначе, выбрав произвольное z > y, зададим P в соответствии с формулой (3.3) (см. утв. 3.1).

Применим алгоритм для решения задачи с функционалом P.

Мы изменили значение функционала только на наборе подгрупп h1,, h. Это значение алгоритм не анализировал. Следовательно, j в качестве решения опять будет выдано r -дерево D. При первом варианте выбора P r -деревья из Dr ( f ), в которых группа f организуется из подгрупп h1,,h, имеют нулевую стоимость, а j P(D ) = y. При втором варианте выбора P в силу n 3 в Dr ( f ) существует по крайней мере одно r -дерево, в котором группа f организуется не из подгрупп h1,, h. Стоимость такого r -дерева j равна y, а P(D ) = z. В обоих случаях стоимость выданного решения может быть сколь угодно большей, чем стоимость оптимального r -дерева. Утверждение доказано.

Следствие. Для любого r 2 не существует полиномиаль ного по n алгоритма решения задачи об оптимальном на Dr ( f ) r-дереве организации со структурным функционалом общего вида.

Доказательство. Выполнено q(n, r) q(n,2) = 2n-1 -1.

Следствие доказано.

Доказательство следующего утверждения дает алгоритм поиска оптимального r -дерева на Dr ( f )1 и его сложность. Будем называть построенный алгоритм переборным.

Утверждение 3.4. Существует алгоритм, решающий задачу об оптимальном r -дереве организации на Dr ( f ), r 2, f = n для структурного функционала P общего вида за s(n, r) = = i=2,nCi q(i, r) вычислений P.

n Доказательство. Предположим, что для некоторого 2 i n известны оптимальные r -деревья организации всех групп мощности менее i и их стоимость. Разобьем группу g мощности i на r или менее непересекающихся подгрупп всевозможными способами, их q(i, r). Пусть в очередном варианте группа g разбивается на подгруппы g1,, gk, 2 k r. Мощность подгрупп не превосходит i -1. Следовательно, для них известны оптимальные r -деревья организации. Сложим их стоимости, Аналогичным образом строится алгоритм поиска оптимального на Dr ( f ) дерева с уровнем не более L (см. сноску перед утв. 3.2).

прибавим P(g1,, gk ). Получим стоимость некоторого r -дерева организации g. В оптимальном r -дереве g организуется из некоторых подгрупп g1,, gk, 2 k r. Вариант с такой стоимостью будет найден, следовательно найдем оптимальное i r -дерево организации g. Всего имеется Cn групп мощности i.

Вычислив для каждой из них функционал стоимости q(i, r) раз, перейдем к группам большей мощности. В итоге, вычислив s(n, r) значений P, решим задачу для f. Утверждение доказано.

В примере на рис. 3.1 только три дерева, изображенные слева, будут 2-деревьями. Рассматриваем q(3,2) = 3 варианта разбиения группы f = {a1,a2, a3} на две подгруппы. В остальном переборный алгоритм на Dr ( f ) полностью аналогичен алгоритму на D( f ) (см. утв. 3.2). В итоге вычислим s(3,2) = 6 значений функционала.

Способ вычисления q(n, r) приведен выше (см. леммы 3.1 и 3.2). По этим величинам можно вычислить s(n, r). Итак, слож ность наилучшего алгоритма, решающего задачу об оптимальном r -дереве на Dr ( f ), лежит между q(n, r) и s(n, r). Примеры значений q(n, r) и s(n, r) для r = 2 приведены в таблице 3.3.

n q(n,2) s(n,2) n q(n,2) s(n,2) n q(n,2) s(n,2) 1 - - 8 127 3 025 15 16 383 7 141 2 1 1 9 255 9 330 16 32 767 21 457 3 3 6 10 511 28 501 17 65 535 64 439 4 7 25 11 1 023 86 526 18 131 071 193 448 5 15 90 12 2 047 261 625 19 262 143 580 606 6 31 301 13 4 095 788 970 20 524 287 1 742 343 7 63 966 14 8 191 2 375 101 21 1 048 575 5 228 079 Таблица 3.3. Минимальная сложность q(n,2) точного алгоритма поиска оптимального 2-дерева на D2 ( f ) и сложность переборного алгоритма.

s(n,2) Видно, что при n 20 сложность переборного алгоритма поиска оптимального 2-дерева остается приемлемой. В то же время она существенно превосходит нижнюю оценку сложности алгоритма. С другой стороны, как показывает таблица 3.4, при увеличении r нижняя оценка довольно быстро приближается к сложности переборного алгоритма. Видно, что при n = 15 и r сложность переборного алгоритма превосходит нижнюю оценку не более чем на порядок.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 r s(15,r) / q(15,r) 435 74 28 15 10 8.7 7.9 7.6 7.6 7.6 7.6 7.6 7.6 7. Таблица 3.4. Отношение сложности переборного алгоритма поиска r -дерева s(n,r) к минимально возможной сложности точного алгоритма q(n, r) при n =15.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Рис. 3.3. Сложность s(15, r) переборного алгоритма поиска r -дерева при 2 r 15.

Рис. 3.3 показывает, что при росте r от 2 до n сложность переборного алгоритма поиска оптимального r -дерева быстро возрастает примерно до r = n / 2, после чего остается практически неизменной, близкой к s(n) (см. таблицу 3.2). То есть сложность s(n / 2,n) переборного алгоритма при n > 20 неприемлемо высока.

f a10 a11 a1 a2 a3 a6 a12 a13 a14 a7 a8 a15 a16 a17 a4 a5 a9 a Рис. 3.4. Оптимальное на D2 ( f ) 2-дерево организации группы f = {a1,,a18}.

Приведем пример найденного алгоритмом оптимального на D2 ( f ) 2-дерева организации группы f = {a1,,a18} из восемнадцати элементов (n = 18) для функционала (IV) с функцией сложности вида (2.2) (см. §2 гл. II). Для примера положим = 1 и = 0.5, то есть рассмотрим точку из области, в которой функционал не является ни выпуклым, ни вогнутым (см.

рис. 2.8). Сложности элементов определим следующим образом C(a1) = 1,C(a2 ) = 2,,C(a18 ) = 18. Оптимальное 2-дерево изображено на рис. 3.4.

3. Оценка сложности задачи на D( f ) при функционале вида P( g1,, gk, g ). Алгоритм решения.

Как было отмечено в начале главы, если функционал имеет вид P( g1,, gk, g ), то стоимость организации подгрупп в группу зависит только от их мощностей, но не от состава. То есть варианты разбиения g на подгруппы одинаковой мощности имеют одинаковую стоимость. Приведем формальные определения.

Определение 3.1. Для любого нетривиального1 разбиения группы g на непересекающиеся подгруппы Q = {g1,, gk }, k 2, g = g1 gk вектором длин, соответствующим набору Q, назовем вектор v = (v1,,v ), i -я компонента vi которого равна g - количеству подгрупп мощности i, входящих в Q, i = 1, g -1.

Определение 3.2. Два нетривиальных разбиения Q1 и Q группы g назовем существенно различными, если различаются векторы длин, соответствующие Q1 и Q2.

Если наборы Q1 = {g1,, gk } и Q2 = {h1,,hk }, g = g1 gk = h1 hk не являются существенно различными, то очевидно, что наборы чисел g1,, gk и h1,, hk одинаковы с точностью до перестановки, следовательно выполнено соотношение P(Q1) = P( g1,, gk, g ) = P( h1,, hk, g ) = P(Q2 ).

Таким образом, при поиске оптимального дерева переборными алгоритмами (см. утв. 3.2 и 3.4) можно анализировать не все То есть группа разбивается на две или более подгруппы.

разбиения, а лишь те, которые существенно различны. Перефор мулируем пункт 1 для функционала вида P( g1,, gk, g ).

~(n,r) Через q обозначим количество способов нетривиального разбиения группы из n элементов на существенно различные ~(n) ~(n, наборы из r или менее подгрупп, n 2, r 2. Через q = q n) обозначим общее число способов нетривиального разбиения группы из n элементов на существенно различные наборы подгрупп. Очевидно, что для любого r > n выполнено ~(n, ~ ~(n) q r) = q(n, n) = q, так как нельзя разбить группу из n элементов более чем на n непересекающихся подгрупп.

Утверждение 3.5. Алгоритм, решающий задачу об оптимальном дереве на D( f ), f = n 3 с функционалом вида ~(n) P( g1,, gk, g ), должен проанализировать не менее q значений функционала P. Любой алгоритм, анализирующий менее ~(n) q значений P, может выдать решение, стоимость которого сколь угодно больше стоимости оптимального дерева.

Доказательство. Зададим функционал P (g1,, gk ) стоимо сти организации подгрупп g1,, gk в группу g = g1 gk следующим образом:

0, при g f (3.4), P ( g1,, g ) = k y, при g = f где y > 0 – произвольное число.

Тогда любое дерево D D( f ) имеет стоимость y. Предполо жим, что алгоритм, решающий задачу об оптимальном дереве на ~ D( f ), анализирует менее q(n) значений P. Применим его для решения задачи с функционалом P. Обозначим полученное дерево через D D( f ). Найдется такой набор подгрупп h1,,h, j f = h1 hj, что все варианты организации f, стоимость которых проанализирует алгоритм, будут существенно отличаться от h1,, h. Если в D набор QD ( f ) существенно отличается от j h1,, h, то зададим функционал P следующим образом:

j 0, при g f или при k = j и несуществе нном (3.5) P (g1,, gk ) = различии g1,, gk и h1,,h j y, в противном случае Если в D набор QD ( f ) не отличается существенно от h1,,h, j то, выбрав произвольное z > y, зададим функционал P следую щим образом:

0, при g f z, при k = j и несуществе нном (3.6) P (g1,, gk ) = различии g,, gk и h1,,hj y, в остальных случаях Применим алгоритм для решения задачи с функционалом P.

Мы изменили значения функционала только для тех вариантов организации f, которые несущественно отличаются от h1,, h.

j Эти значения алгоритм не анализировал. Следовательно, в качестве решения опять будет выдано дерево D.

При первом варианте выбора P деревья из D( f ), в которых группа f организуется из подгрупп h1,,h, имеют нулевую j стоимость, а P(D ) = y.

При втором варианте выбора P в силу n 3 в D( f ) существует по крайней мере одно дерево, в котором группа f организуется из набора подгрупп, существенно отличающегося от h1,, h. Стоимость такого дерева равна y, а P(D ) = z.

j В обоих случаях стоимость выданного решения может быть сколь угодно большей, чем стоимость оптимального дерева.

Утверждение доказано.

Лемма 3.3. Если функционал имеет вид P( g1,, gk, g ) и при каждом i = 2,n для некоторой группы g мощности i известно ее разбиение Q(g) в некотором оптимальном дереве Dg D(g) организации g, то можно построить оптимальное на D( f ) дерево организации f, f = n, не вычисляя значений функционала стоимости.

Доказательство. Для группы мощности два существует единственное дерево организации, построить которое можно, не Изменить значение функционала только на наборе подгрупп h1,, h нельзя, так j как P имеет вид P( g1,, gk, g ) и при изменении стоимости P(h1,, h ) j автоматически изменится стоимость всех вариантов, которые несущественно отличаются от h1,, h.

j вычисляя P. Введем индуктивное предположение, что для всех групп мощности меньше s можно построить оптимальные деревья их организации без вычисления P (2 < s n).

Рассмотрим произвольную группу h = {al1,, als } мощности s. Известно некоторое разбиение Q1 = {g1,, gk } группы g мощ ности s в оптимальном дереве Dg D(g). Обозначим мощности групп g1,, gk через j1,, jk, j1 + + jk = s. Построим разбиение группы h на подгруппы Q2 = {h1,, hk } следующим образом: h1 ={al1,,alj1},h2 ={alj1+1,,alj1+ j2},…,hk ={alj1+ + jk-1+1,,als}.

То есть отнесем к подгруппе h1 первые j1 элементов h, ко второй – следующие j2 элементов h, и т. д. Наборы Q1 и Q2 не являются существенно различными, следовательно P(Q1) = P(Q2 ).

Мощность групп h1,, hk меньше s, следовательно по индуктивному предположению для каждой h, j = 1, k можем j построить оптимальное дерево организации h, не вычисляя P.

j Стоимость такого дерева будет равна стоимости оптимального дерева организации g в силу g = h. Тогда можно построить j j j дерево Dh D(h) организации h, проведя в h ребра из корней оптимальных деревьев организации групп h1,,hk. Имеем P(Dh ) = P(Dg ) в силу равенства стоимостей поддеревьев и условия P(Q1) = P(Q2 ). То есть, опираясь на индуктивное предположение, построили оптимальное дерево организации группы h, не вычисляя P. В итоге по индукции доказана возможность такого построения для группы мощности n, то есть для f. Лемма доказана.

Доказательство следующего утверждения дает алгоритм поиска оптимального дерева на D( f )1 с функционалом вида P( g1,, gk, g ) и его сложность.

Утверждение 3.6. Существует алгоритм, решающий задачу об оптимальном дереве организации на D( f ), f = n с Аналогичным образом строится алгоритм поиска оптимального на Dr ( f ) дерева с уровнем не более L (см. сноску перед утв. 3.2).

~(n) ~ функционалом вида P( g1,, gk, g ) за s = i=2,n q(i) вычислений P.

Доказательство. Предположим, что для фиксированного 2 i n при каждом j = 1,i -1 для некоторой группы g j мощности j известно ее разбиение Q(g ) в некотором оптималь j ном дереве Dg j D(g ) организации g и стоимость этого дерева j j P(Dg j ).1 Рассмотрим некоторую группу gi мощности i и ~ проанализируем все q(i) вариантов существенно различного разбиения gi на подгруппы.

Пусть в очередном варианте группа gi разбивается на подгруппы Q (gi ). Мощность подгрупп из Q (gi ) не более i -1. По предположению для подгрупп такой мощности известна стоимость оптимального дерева организации (стоимость оптимальных деревьев организации всех подгрупп одинаковой мощности одинакова в силу вида функционала). Вычислим P(Q (gi )), прибавим стоимости оптимальных деревьев организации подгрупп из Q (gi ). Получим стоимость некоторого дерева организации gi.

В оптимальном дереве D* D(gi ) группа gi организуется из некоторых подгрупп h1,, hk. Будет проанализировано разбиение Q (gi ) группы gi, которое несущественно отличается от h1,, hk.

Тогда P(h1,,hk ) = P(Q (gi )), соответствующие подгруппы в наборах Q(gi ) и h1,,hk имеют одинаковую мощность.

Следовательно, стоимость оптимального на D(gi ) дерева и соответствующее ей разбиение Q (gi ) будут найдены алгоритмом.

Что позволяет перейти к следующему значению i.

~ Для каждого i = 2, n вычислим функционал стоимости q(i) ~(n) раз. В итоге, вычислив s значений P, при каждом i = 2, n для некоторой группы gi мощности i найдем ее разбиение Q(gi ) в некотором оптимальном дереве Dgi D(gi ). После этого по лемме 3.3 построим оптимальное дерево организации f без При минимальном i = 2 предположение очевидно выполнено, так как оптимальное дерево организации элементарной группы состоит из одной изолированной вершины и имеет нулевую стоимость.

дополнительных вычислений функционала стоимости.

Утверждение доказано.

Поясним определения 3.1 и 3.2, утверждения 3.5 и 3.6 на примере (см. рис. 3.1). Три варианта разбиения f = {a1,a2,a3}, изображенные слева, не являются существенно различными, так как в них f разбивается на подгруппу мощности 1 и подгруппу мощности 2 (всем вариантам соответствует один и тот же вектор длин (1,1)). Стоимости соответствующих деревьев равны. Поэтому все три варианта анализировать не нужно, достаточно выбрать любой из них. Кроме того, необходимо вычислить стоимость организации f при разбиении, изображенном справа (см. рис. 3.1).

Ему соответствует вектор (3,0), и этот вариант существенно отличается от всех остальных. Всего при анализе разбиений f ~(3) вычислим q = 2 значения функционала. Согласно утверждению 3.5 это минимально возможное количество вычислений точным ~(2) алгоритмом. Еще q = 1 раз вычислим функционал для нахождения стоимости дерева организации группы мощности 2.

~(2) ~ Всего потребуется ~(3) = q + q(3) = 3 вычисления.

s ~(n) ~ Алгоритм вычисления величины q. Через qi, j обозначим количество способов нетривиального разбиения группы мощности i на существенно различные наборы подгрупп ~ мощности j или более, i = 1, n, j = 1,i, qi,i = 0. Предположим, что ~ ~ ~ для всех допустимых j известны величины q1, j, q2, j,…, qi-1, j. И, ~ ~ ~ кроме того, известны величины qi,i, qi,i-1,…, qi, j+1. То есть известны те элементы матрицы (3.7), которые расположены выше ~ или правее элемента qi, j (все элементы на главной диагонали равны нулю).

~ q1, ~ ~ q2,1 q2, ~ ~ ~ q3,1 q3,2 q3, (3.7)....

~ ~ ~ qn,1 qn,2.. qn,n ~ Тогда найдем qi, j следующим образом. Обозначим через k количество подгрупп мощности j, которое может содержать группа мощности i, чтобы мощность оставшейся части была нулевой или большей, чем j. Тогда имеем:

0,, / j -1, при i mod j i (3.8) k = 0,,i / j - 2,i / j, при i mod j = Поясним формулу (3.8). Если i не делится нацело на j, то в группе мощности i может содержаться не более / j подгрупп i мощности j. Но если содержится ровно / j подгрупп, то i мощность оставшейся части больше нуля и меньше j, что недопустимо. Таким образом, в первой строке (3.8) вычитаем 1 из i / j. Если i делится нацело на j, то в группе мощности i может содержаться от 0 до i / j подгрупп мощности j. Но если содержится i / j -1 подгруппа, то мощность оставшейся части равна j, что недопустимо.

По формуле (3.8) выберем некоторое количество k подгрупп мощности j. При k = 0 ни одной подгруппы мощности j не выбрано, следовательно “оставшуюся часть” мощности i необходимо разбивать на подгруппы мощности j +1 или более.

~ Количество таких вариантов обозначим через w(0) = qi, j+1. При k > 0 оставшуюся часть мощности i - kj можно вообще не разбивать или разбить на подгруппы мощности j +1 или более.

~ Количество вариантов w(k) = qi-kj, j+1 +1. Тогда можно записать ~ (3.9) qi, j = w(k), где сумма берется по всем возможным k значениям k из соотношения (3.8). Равенство справедливо, так как любые наборы, содержащие разное количество подгрупп мощности j, существенно различны, и рассмотренными вариантами исчерпываются все возможности разбиения группы мощности i на существенно различные наборы подгрупп мощности j или более.

Таким образом, в матрице (3.7) можно последовательно вычислить строки сверху вниз, вычисляя каждую из строк справа налево по формуле (3.9). Проведя вычисления в таком порядке, ~ ~ ~ найдем все qi, j. Тогда выполнено q(n) = qn,1. Алгоритм построен.

~ Значения q(n) приведены в таблице 3.5. Из таблицы можно ~(n) ~ сделать вывод, что при увеличении n отношение q / q(n -1) уменьшается. Этот факт позволяет предположить, что порядок минимальной сложности точного алгоритма меньше an для ~(n) любого a > 1. То же самое можно сказать и про сложность s построенного алгоритма. Вопрос теоретического доказательства приведенной гипотезы остается открытым. Также открыт вопрос о ~ существовании полиномиальной по n оценки величин q(n), ~(n).

s ~ ~ ~ ~ ~ ~ n q(n) q(n) q(n) q(n) q(n) q(n) n n ~ ~ ~ q(n -1) q(n -1) q(n -1) 20 626 1.28 50 204 225 1.18 80 15 796 475 1. 30 5 603 1.23 60 966 466 1.16 90 56 634 172 1. 40 37 337 1.20 70 4 087 967 1.15 100 190 569 291 1. ~(n) Таблица 3.5. Минимальная сложность q точного алгоритма поиска оптимального дерева на D( f ) при функционале вида P( g1,, gk, g ).

~(n) s ~(n) ~(n) n ~(n) ~(n) ~(n) n s n s s s s ~ ~ ~ q(n) q(n) q(n) 20 2 693 4,30 50 1 295 920 6,35 80 123 223 558 7, 30 28 598 5,10 60 6 639 288 6,87 90 465 672 458 8, 40 215 267 5,76 70 30 053 883 7,35 100 1 642 992 467 8, ~(n) Таблица 3.6. Сложность s алгоритма поиска оптимального дерева на D( f ) при функционале вида P( g1,, gk, g ).

~(n) Значения s приведены в таблице 3.6. Из таблицы видно, что построенный алгоритм имеет приемлемую сложность для n 100. Кроме того, сложность алгоритма превосходит минимально возможную сложность точного алгоритма не более, ~(100) < 10).

чем на порядок (~(100) / q С другой стороны, нижняя s ~(n) оценка q сложности точного алгоритма неприемлемо высока при n существенно большем 100. Таким образом, имеет смысл построение эвристических алгоритмов, которые решают задачу с приемлемой погрешностью для некоторых функционалов стоимости (см. §2).

Приведем пример найденного алгоритмом оптимального на D( f ) дерева организации группы f = {a1,, a70} из семидесяти элементов (n = 70) для функционала (II) с функцией сложности вида (2.2) (см. §2 гл. II). Для примера положим = 0.5 и = 1.5, то есть точку из области, в которой функционал не является ни выпуклым, ни вогнутым (см. рис. 2.6). Для того, чтобы функционал имел вид P( g1,, gk, g ), то есть зависел только от мощностей подгрупп, сложности элементов должны быть равны:

C(a1) = = C(a70 ). В силу однородности функционала масштаб сложности не влияет на оптимальность организации. Положим сложности элементов равными единице: C(a1) = = C(a70 ) = 1.

f a21 a22 a23 a24 a29 a30 a31 a32 a56 a57 a58 a59 a60 a66 a67 68 a69 a a25 a26 a27 a28 a51 a52 a53 a54 a55 a61 a62 a63 a64 a a17 a18 a19 a a37 a38 a39 a40 a46 a47 48 a49 a a5 a6 a7 a8 a13 a14 a15 a a41 a42 a43 a44 a a9 a10 a11 a12 a33 a34 a35 a a1 a2 a3 a Рис. 3.5. Оптимальное на D( f ) дерево организации группы f = {a1,, a70}.

Оптимальное дерево изображено на рис. 3.5. При n = 25, n = 125 и n = 6251 оптимально симметричное 5-дерево, в котором каждая управляющая вершина имеет 5 подчиненных. При рассмотренном значении n = 70 элементы a1,,a40 группируются в четверки, элементы a41,, a70 группируются в пятерки. То есть все элементы подчиняются шестнадцати управляющим вершинам нижнего уровня, которые затем группируются в f с помощью симметричного 4-дерева.

При приближении к единице функционал “приближается” к вогнутому и становится оптимальной веерная организация. При увеличении становится оптимальной 2-организация (в При n = 125 и n = 625 решение найдено эвристическим алгоритмом пункта 2 §2.

рассматриваемом примере при 3). Следовательно, численные эксперименты позволяют предположить, что для любого r можно подобрать такое, при котором будет оптимальна симметричная r -организация (для n = ri, то есть для соответствующего количества элементов).

Таким образом, построенные алгоритмы позволяют анализировать закономерности поведения оптимального дерева организации в зависимости от параметров функционала.

4. Оценка сложности задачи на Dr ( f ) при функционале вида P( g1,, gk, g ). Алгоритм решения.

Следующее утверждение представляет собой аналог утверждения 3.5 для Dr ( f ).

Утверждение 3.7. Алгоритм, решающий задачу об оптимальном r -дереве на Dr ( f ), f = n 4 с функционалом вида ~(n,r) P( g1,, gk, g ), должен проанализировать не менее q значений функционала P. Любой алгоритм, анализирующий менее ~(n,r) q значений P, может выдать решение, стоимость которого сколь угодно больше стоимости оптимального r -дерева.

Доказательство. Зададим функционал P (g1,, gk ) стоимо сти организации подгрупп g1,, gk в группу g = g1 gk в соответствии с формулой (3.4) (см. утв. 3.5). Тогда любое r -дерево D Dr ( f ) имеет стоимость y. Предположим, что алгоритм, решающий задачу об оптимальном r -дереве на Dr ( f ), ~(n,r) анализирует менее q значений P. Применим его для решения задачи с функционалом P. Обозначим полученное r -дерево через D Dr ( f ). Найдется такой набор подгрупп h1,,hj, f = h1 hj, j r, что все варианты организации f, стоимость которых проанализирует алгоритм, будут существенно отличаться от h1,, h. Если в D набор QD ( f ) существенно отличается от j h1,, h, то зададим функционал P в соответствии с формулой j (3.5), иначе, выбрав произвольное z > y, зададим функционал P в соответствии с формулой (3.6) (см. утв. 3.5).

Применим алгоритм для решения задачи с функционалом P.

Мы изменили значения функционала только для тех вариантов организации f, которые несущественно отличаются от h1,, h.

j Эти значения алгоритм не анализировал. Следовательно, в качестве решения опять будет выдано r -дерево D. При первом варианте выбора P r -деревья из Dr ( f ), в которых группа f организуется из подгрупп h1,,h, имеют нулевую стоимость, а j P(D ) = y. При втором варианте выбора P в силу n 41 в Dr ( f ) существует по крайней мере одно r -дерево, в котором группа f организуется из набора подгрупп, существенно отличающегося от h1,, h. Стоимость такого r -дерева равна y, а P(D ) = z. В j обоих случаях стоимость выданного решения может быть сколь угодно большей, чем стоимость оптимального r -дерева.

Утверждение доказано.

Лемма 3.4. Если функционал имеет вид P( g1,, gk, g ) и при каждом i = 2,n для некоторой группы g мощности i известно ее разбиение Q(g) в некотором оптимальном r -дереве Dg Dr (g) организации g, то можно построить оптимальное на Dr ( f ) r -дерево организации f, f = n, не вычисляя значений функционала стоимости.

Доказательство проводится повторением доказательства леммы 3.3 с точностью до замены слов “дерево” на “r -дерево” и множества D( f ) на Dr ( f ). Лемма доказана.

Доказательство следующего утверждения дает алгоритм поиска оптимального r -дерева на Dr ( f )2 с функционалом вида P( g1,, gk, g ) и его сложность.

Утверждение 3.8. Существует алгоритм, решающий задачу об оптимальном r -дереве организации на Dr ( f ), f = n с При n = 3 и r = 2 все варианты разбиения группы мощности три на две подгруппы не являются существенно различными, так как одна подгруппа имеет мощность один, другая – мощность два (см. рис. 3.1).

Аналогичным образом строится алгоритм поиска оптимального на Dr ( f ) дерева с уровнем не более L (см. сноску перед утв. 3.2).

~(n, ~ функционалом вида P( g1,, gk, g ) за s r) = i=2,n q(i,r) вычислений P.

Доказательство. Проводится повторением доказательства утверждения 3.6 с точностью до замены слов “дерево” на ~(i) ~(n) “r -дерево”, множества D( f ) на Dr ( f ), величин q и s ~(i,r) ~(n, соответственно на q и s r), ссылки на лемму 3.3 ссылкой на лемму 3.4. Утверждение доказано.

Поясним утверждения 3.7 и 3.8 на примере (см. рис. 3.1).

Предположим, что необходимо найти оптимальное 2-дерево. Тогда подходят только три варианта разбиения f = {a1, a2, a3}, изображенные слева. Все эти три варианта имеют одинаковую стоимость, поэтому функционал можно не вычислять вообще, а выбрать любое дерево в качестве оптимального. По этой причине в утверждении 3.7 введено условие f = n 4, которое гарантирует, что при разбиении f найдутся по крайней мере два существенно различных варианта. Построенный алгоритм (см. утв. 3.8) ~(3,2) = q + q(2,2) = ~(3,2) ~ вычислит s значения функционала и найдет стоимость оптимального дерева.

Утверждение 3.9. Выполнено неравенство ~(n, r) < nr.

s ~ Доказательство. q(n,r) – количество способов нетривиального разбиения группы из n элементов на существенно различные наборы из r или менее подгрупп. Выбирая всевозможным образом мощности подгрупп i1,,ir, переберем все существенно различные наборы из r или менее подгрупп. При ~(n,r) этом i1 + + ir = n, 0 i < n для j = 1, r. Тогда оценим q j следующим образом: имеется n вариантов выбора i1, n вариантов выбора i2, и так далее, n вариантов выбора ir-1. После этого вычислим ir = n - i1 - - ir-1. Всего имеем nr-1 вариантов. При этом очевидно, что многие их них не будут допустимы (может быть ir < 0 ), варианты с одними и теми же, но переставленными местами мощностями, считаются разными. Таким образом, nr-1 – ~(n,r) верхняя оценка величины q. Далее имеем ~(n, r) = ~ ~ s i=2,n q(i, r) (n -1)q(n, r) < nr. Утверждение доказано.

Из утверждений 3.8 и 3.9 можно сделать вывод, что при каждом r существует полиномиальный по n алгоритм поиска оптимального r -дерева на Dr ( f ) с функционалом стоимости вида P( g1,, gk, g ). Однако при большом r степень полинома может быть высокой.

§2. Приближенное решение задачи об оптимальном дереве на D( f ). 1. Эвристический алгоритм со сложностью порядка n при функционале вида P( g1,, gk, g ).

Описание алгоритма. Последовательно рассмотрим значения i = 2, n. Предположим, что при каждом t = 1,i -12 для некоторой группы gt мощности t известно ее разбиение Q(gt ) в некотором дереве Dt D(gt ) организации gt и стоимость этого дерева P(Dt ). Рассмотрим группу gi = {a1,,ai} мощности i. Для l = 1,i -1 через h обозначим подгруппу h = {a1,,al} мощности l, а через h обозначим подгруппу h = {al+1,,ai} мощности i - l. Проанализируем следующие существенно различные варианты разбиения gi на подгруппы:

a) Если l < i -1, то известно разбиение Q(gi-l ) группы gi-l мощности i - l в дереве Di-l. Построим разбиение {h1,,hs} группы h, которое несущественно отличается от Q(gi-l ). Рассмот рим вариант разбиения gi на подгруппы Q (gi ) = {h, h1,,hs}.

Мощность всех подгрупп h, h1,, hs меньше i. Для всех групп такой мощности известны стоимости некоторых деревьев Все алгоритмы данного параграфа можно использовать для решения задачи на Dr ( f ), рассматривая в процессе поиска решения лишь разбиения группы на r или менее подгрупп и игнорируя остальные варианты. Описание таких алгоритмов повторяет настоящий параграф почти дословно.

При минимальном i = 2 предположение выполнено, так как дерево организации элементарной группы состоит из одной изолированной вершины и имеет нулевую стоимость.

организации P(D ), P(D ),, P(D ).1 Тогда можно вычислить h h1 hs стоимость P = P(Q (gi )) + P(D ) + P(D ) + + P(D ) дерева h h1 ht организации gi, в котором gi разбивается на подгруппы Q (gi ).

b) Если l i / 2, то рассмотрим вариант разбиения gi на подгруппы Q (gi ) = {h, h }2 и вычислим стоимость соответству ющего дерева P = P(Q (gi )) + P(D ) + P(D ).

h h При каждом возможном l сравним значения P, P, для которых реализуются соответствующие случаи a), b), и выберем минимальное по всем l значение Pmin. Положим Pk = Pmin и запомним соответствующее разбиение Q(gi ) группы gi.

Проделав вышеуказанные действия последовательно для всех i = 2, n, найдем разбиения Q(g2 ),,Q(gn ) групп g2,, gn в некоторых деревьях D2,, Dn и стоимости P(D2 ),, P(Dn ) этих деревьев. После этого по аналогии с доказательством леммы 3. можно, не вычисляя функционала стоимости, построить дерево организации f, f = n со стоимостью P(Dn ). Это дерево и считаем решением задачи. Алгоритм построен.

{a1,,ai} {a1,,ai} {a1,,al} {al +1,,ai} {a1,,al} h1 h2 … hs Рис. 3.6. Варианты разбиения, анализируемые эвристическим алгоритмом.

Рис. 3.6 поясняет построенный алгоритм и его отличия от точного алгоритма (см. утв. 3.6), в котором анализируются все существенно различные варианты разбиения группы gi = {a1,,ai}. Эвристический алгоритм анализирует все существенно различные варианты разбиения {a1,, ai} на две подгруппы (см. п. b в описании алгоритма и рис. 3.6 слева). Кроме того, для каждого l < i -1 известно разбиение h1,,hs группы {al+1,, ai} мощности i - l на подгруппы в некотором дереве Di-l, Если P(Dt ) – стоимость некоторого дерева организации группы мощности t, то для всех остальных групп такой же мощности существуют деревья их организации со стоимостью P(Dt ) в силу вида функционала.

Не рассмотрев такие случаи, мы проанализируем лишь варианты организации g из трех и более подгрупп.

найденном на предыдущих шагах. Эвристический алгоритм анализирует вариант разбиения {a1,, ai} на {a1,, al} и h1,,hs (см. п. a в описании алгоритма и рис. 3.6 справа).

Утверждение 3.10. Построенный алгоритм требует не более (n -1)(3n - 2) / 4 вычислений функционала стоимости.

Доказательство. Для каждого i алгоритм требует не более (3i / 2) - 2 вычислений функционала P. Просуммируем по i :

3( i=2,ni)/ 2 - 2(n -1) = (n -1)(3(n + 2)/ 4 - 2). Утверждение доказано.

Утверждение 3.11. Построенный алгоритм находит оптимальное дерево для выпуклого на наборах непересекающихся групп функционала стоимости1.

Доказательство проведем индукцией по мощности организуемой группы. Если мощность равна двум, то алгоритм найдет оптимальное дерево, так как оно единственно.

Предположим, что для любой группы мощности t < i алгоритм находит оптимальное дерево организации. Рассмотрим группу gi мощности i.

Если функционал выпуклый на наборах непересекающихся * групп, то существует оптимальное на D(gi ) 2-дерево D * организации gi (см. следствие 1 к теор. 1.5). В D2 группа gi организуется из двух подгрупп с мощностями s и i - s для некоторого 1 s i / 2. Алгоритм проанализирует вариант организации gi, который не существенно отличается от QD* (gi ) (см. описание алгоритма). По предположению для подгрупп мощности s и i - s известны оптимальные деревья организации и их стоимость. Следовательно, будет найдена стоимость P(Di ) * некоторого дерева Di D(gi ), причем P(Di ) = P(D2 ). То есть алгоритм в итоге найдет оптимальное дерево организации группы gi. Утверждение доказано.

Построенный алгоритм вычисляет меньше значений функционала стоимости, чем минимально возможное количество При этом найденное оптимальное дерево может не быть 2-деревом, так как в общем случае могут существовать и оптимальные деревья другого вида.

~(n) q вычислений точным алгоритмом (см. утв. 3.5).

Следовательно, в общем случае погрешность алгоритма сколь угодно велика. Поэтому при его использовании необходимо тестирование алгоритма для конкретного функционала. Для выпуклого функционала алгоритм находит точное решение (см.

утв. 3.11). Для вогнутого функционала веерная организация оптимальна на D( f ) (см. следствие к теор. 1.6). Таким образом, тестирование алгоритма целесообразно проводить для функционала, который не является ни выпуклым, ни вогнутым.

Например, это функционал (II) с функцией сложности вида (2.2) в области параметров < 1, > 1 (см. §2 гл. II). Ниже приведем пример тестирования алгоритма в этой области.

Ограничимся значениями n = 5, 6,, 30 и диапазоном (, ) [0,5;

1) (1;

2], разбив его сеткой с узлами (, ) = ( 1/(1+ 0,1i);

1 + 0,1j ), i, j = 1,10.1 Для того, чтобы функционал имел вид P( g1,, gk, g ), должно выполняться C(a1) = = C(an ) (см. §2 гл. II). Функционал (II) однороден, поэтому при изменении масштаба сложностей стоимости всех деревьев умножаются на константу (см. опр. 2.3), что не меняет относительной погрешности. Поэтому считаем сложности всех элементов равными единице.

Обозначим стоимость найденного эвристическим алгоритмом дерева через Pэвр (n), стоимость оптимального дерева через Pопт(n), погрешность алгоритма через (n) =100 %(Pэвр(n) - Pопт(n))/ Pопт(n).

Среднюю по всем тестируемым вариантам погрешность обозначим через, среднеквадратичное отклонение – через, максимальную погрешность – через max. Через ( ;

) max max обозначим значения параметров, при которых погрешность максимальна. Результаты приведены в таблице 3.7.

На рис. 3.7 приведен график изменения погрешности при n = 2,50 для параметров ( ;

). Как видно из рисунка, при max max росте n погрешность, достигнув своего максимума, уменьшается, что позволяет предположить такое же поведение при дальнейшем При описании некоторой реальной задачи параметры функционала определяются с некоторой погрешностью. Следовательно, значения параметров можно привязать к узлам некоторой сетки, что оправдывает тестирование алгоритма без оценки колебаний погрешности между узлами.

росте n. Максимальная погрешность алгоритма в тестируемой области не превосходит 10%. В то же время максимум погрешности достигается на границе области при = 2. При увеличении погрешность нарастает. Допустимость использования эвристического алгоритма определяется в каждом конкретном случае, исходя из максимально допустимой погрешности.

max, %, % ( ;

), % max max 9,696 1,449 2,250 (0,714;

2) Таблица 3.7. Относительная погрешность алгоритма для функционала (II).

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 Рис. 3.7. Относительная погрешность алгоритма при возрастании n, %.

2. Эвристический алгоритм со сложностью порядка n2 log n при функционале вида P( g1,, gk, g ).

Описание алгоритма. Последовательно рассмотрим значения i = 2,n. Предположим, что при каждом t = 1,i -11 и каждом j = 1, / t для некоторой группы gt мощности t известно ее разбиение Qt, j на подгруппы мощности не менее j в некотором дереве Dt, j D(gt ) организации gt, а также стоимость этого дерева P(Dt, j ).

Рассмотрим группу gi = {a1,,ai} мощности i и последовательно для всех j от / i до 1 построим разбиения Q i, j При минимальном i = 2 предположение выполнено, так как дерево организации элементарной группы состоит из одной изолированной вершины и имеет нулевую стоимость.

следующим образом. При разбиении gi на подгруппы мощности не менее j используется некоторое количество k подгрупп с мощ ностью, равной j. Возможные значения k определяются соотно шением (3.8) (см. п.3 §1). Выбрав k, обозначим через l = i - kj мощность оставшейся подгруппы и проанализируем следующие существенно различные варианты разбиения gi на подгруппы:

a) Если l = 0, то рассмотрим разбиение Q (gi ) группы gi на k подгрупп с одинаковой мощностью j. Каждая из подгрупп Q (gi ) имеет мощность j < i, следовательно ее можно организо вать с помощью дерева D, стоимость которого по предположе j, нию нам известна. Тогда существует дерево организации gi со стоимостью P = P(Q (gi )) + kP(D ).

j, b) Если 0 < l < i, то рассмотрим разбиение Q (gi ) группы gi на k подгрупп с одинаковой мощностью j и подгруппу мощности l. Тогда существует дерево организации gi со стоимостью P = P(Q (gi )) + kP(D ) + P(Dl,1) (мощность подгрупп из Q (gi ) j, менее i ).

c) Если j +1 / l, то рассмотрим разбиение Q (gi ) = {h1,, hk } Ql, j+1 группы gi на k подгрупп h1,,hk мощности j и подгруппы Ql, j+1 мощности j +1 или более, из которых организуется группа мощности l в дереве Dl, j+1. Тогда существует дерево организации gi со стоимостью P = P(Q (gi )) + + kP(Dj,1) + hQ P(Dh ) (мощность подгрупп из Q(gi ) менее i ).

, l, j+ d) При j = 1 также рассмотрим разбиение Q (gi ) группы gi на две подгруппы с мощностями s и i - s для s = 1, / 2 Тогда i.

существует дерево организации gi со стоимостью P = P(Q (gi))+ + P(Ds,1) + P(Di-s,1) (мощность подгрупп из Q (gi ) менее i ).

При каждом возможном k сравним значения P, P, P, для которых реализуются соответствующие случаи a), b), с), и выберем минимальное по всем k. В случае j = 1 сравним найденное значение со значениями P. Выберем минимальное значение Pmin. Набором Qi, j считаем набор, соответствующий значению Pmin. Тогда существует дерево Di, j организации группы gi, в котором gi разбивается на подгруппы Qi, j, причем стоимость дерева P(Di, j ) = Pmin нам известна.

Проделав вышеуказанные действия последовательно для всех j = / 2 и для всех i = 2, n, найдем разбиения Q2,1,Q3,1,,Qn, i, групп g2, g3,, gn в некоторых деревьях D2,1, D3,1,, Dn,1 и стоимости P(D2,1), P(D3,1),, P(Dn,1) этих деревьев. После этого по аналогии с доказательством леммы 3.3 можно, не вычисляя функционала стоимости, построить дерево организации f, f = n со стоимостью P(Dn,1). Это дерево и считаем решением задачи.

Алгоритм построен.

Построенный алгоритм анализирует большее количество вариантов, чем алгоритм пункта 1. Кроме всевозможных вариантов существенно различного разбиения группы мощности i на две подгруппы (см. рис. 3.6 слева и п. d описания), алгоритмом при каждом j от / 2 до 1 выбирается допустимое число k i подгрупп мощности j, а оставшаяся часть мощности l разбивается на подгруппы мощности j +1 и более. При этом используется разбиение в дереве Dl, j+1, найденном на предыдущих шагах (см. п. с описания алгоритма). Также анализируется вариант разбиения на k подгрупп мощности j и оставшуюся подгруппу мощности l (см. п.п. a и b описания алгоритма).

Утверждение 3.12. Порядок сложности1 построенного алгоритма не превосходит n2 log(n).

Доказательство. Для фиксированных i, j > 1 алгоритм вычисляет не более 2(i / j) значений функционала. При j = функционал вычисляет не более 3i = i + 2(i / j) значений функционала. Суммируя по j, имеем i + 2i 1/ j j =1, / i. Тогда, суммируя по i от 2 до n, получим, i(1 + 2j =1, / 2 1/ j) n что общее количество вычислений функционала не превосходит (1+ j=1,n/ 21/ j)(n + 2)(n -1)/2. Учитывая логарифмический порядок Под сложностью алгоритма подразумевается количество вычислений функционала стоимости.

роста суммы гармонического ряда при увеличении n, оценим порядок сложности алгоритма величиной n2 log(n). Утверждение доказано.

Утверждение 3.13. Построенный алгоритм находит оптимальное дерево для выпуклого или вогнутого на наборах непересекающихся групп функционала стоимости1.

Доказательство проведем индукцией по мощности организуемой группы. Если мощность равна двум, то алгоритм найдет оптимальное дерево, так как оно единственно.

Предположим, что для любой группы gt мощности t < i стоимость найденного алгоритмом дерева Dt,1 D(gt ) равна стоимости оптимального дерева на D(gt ). Рассмотрим группу gi мощности i.

Если функционал выпуклый на наборах непересекающихся * групп, то существует оптимальное на D(gi ) 2-дерево D * организации gi (см. следствие 1 к теор. 1.5). В D2 группа gi организуется из двух подгрупп с мощностями s и i - s для некоторого 1 s i / 2. При j = 1 согласно пункту d) описания алгоритма будет проанализирован вариант организации gi, который не существенно отличается от QD* (gi ). По предположению для подгрупп мощности s и i - s известны стоимости оптимальных деревьев организации. Следовательно, для найденной алгоритмом стоимости P(Di,1) дерева Di,1 D(gi ) * выполнено равенство P(Di,1) = P(D2 ). В результате алгоритм найдет оптимальное дерево организации группы gi.

Если функционал вогнутый на наборах непересекающихся групп, то веерная организация группы gi оптимальна. При j = 1 и k = i будет выполнено l = 0. Следовательно, согласно пункту a) описания алгоритма будет проанализирован вариант организации gi из i элементарных подгрупп, то есть веерная организация gi.

Найденная алгоритмом стоимость P(Di,1) дерева Di,1 D(gi ) будет, таким образом, равна стоимости веерной организации. В При этом найденное для выпуклого или вогнутого функционала оптимальное дерево может не быть соответственно 2-деревом и веерной организацией, так как в общем случае могут существовать и оптимальные деревья другого вида.

результате алгоритм найдет оптимальное дерево организации группы gi. Утверждение доказано.

Как и для алгоритма пункта 1, погрешность построенного алгоритма в общем случае сколь угодно велика. Поэтому при его использовании необходимо тестирование для конкретного функционала. Для выпуклого или вогнутого функционала алгоритм находит точное решение (см. утв. 3.13). Таким образом, тестирование алгоритма целесообразно проводить для функционала, который не является ни выпуклым, ни вогнутым.

Как и в пункте 1 проведем тестирование для функционала (II) с функцией сложности вида (2.2) в области < 1, > 1 (см. §2 гл.

II). Параметры тестирования алгоритма аналогичны описанным в пункте 1. Аналогичные таблице 3.7 результаты приведены в таблице 3.8.

max, %, % ( ;

), % max max 1,159 0,0142 0,0670 (0,556;

1,8) Таблица 3.8. Относительная погрешность алгоритма для функционала (II).

Как видно из таблицы, построенный алгоритм дает много лучшие результаты, чем алгоритм пункта 1 (максимальная погрешность снижается на порядок), несмотря на незначительное увеличение порядка сложности (n2 log n по сравнению с n2). При этом, в отличие от алгоритма пункта 1, максимальная погрешность достигается не на границе исследованной области параметров, а внутри ее ( = 0,556, = 1,8). При ( ;

) max max max max погрешность отлична от 0 лишь при n = 7, 19, 22, 23, 25 в диапазоне изменения n от 2 до 50. То есть можно аналогично пункту предположить невозрастание максимальной погрешности при дальнейшем росте n.

3. Первый эвристический алгоритм решения общей задачи.

В данном пункте описывается эвристический алгоритм для функционала общего вида, аналогичный алгоритму пункта 1 для функционала вида P( g1,, gk, g ). Отличия состоят в том, что для каждой подгруппы строится дерево ее организации (а не для одной подгруппы на каждую мощность), кроме того анализируются произвольные варианты разбиения группы, а не только существенно различные.

Описание алгоритма. Последовательно рассмотрим значения i = 2, n. Предположим, что при каждом t = 1,i -11 для всех групп h мощности t известно некоторое дерево Dh D(h) организации h и его стоимость P(Dh ). Рассмотрим группу g мощности i и все варианты нетривиального2 разбиения g на две непересекающиеся подгруппы g1 и g2. Мощность g1 и g2 меньше i, следовательно для них известны деревья Dg1 и Dg2 и их стоимости P(Dg1 ) и P(Dg2 ). Проанализируем следующие варианты разбиения g :

a) Рассмотрим Q (g) = {g1, g2}. Этому разбиению соответствует дерево организации g со стоимостью P = P(Q (g)) + P(Dg1 ) + P(Dg2 ).

b) Если g1 > 1, то рассмотрим Q (g) = {g2} QDg1 (g1).

Этому разбиению соответствует дерево организации g со стоимостью P = P(Q (g)) + hQ(g ) P(Dh ).

c) Если g2 > 1, то рассмотрим Q (g) = {g1} QDg2 (g2 ).

Этому разбиению соответствует дерево организации g со стоимостью P = P(Q (g)) + hQ(g) P(Dh ).

Для каждой пары подгрупп g1 и g2 сравним значения P, P, P, для которых реализуются соответствующие случаи a), b), с), и выберем минимальное по всем парам значение Pmin. В результате найдем дерево Dg D(g), стоимость которого P(Dg ) = Pmin.

Проделав вышеуказанные действия для всех групп мощности i, перейдем к следующему значению i. И так далее. В итоге последовательно решим задачу для всех i = 2, n. После этого При минимальном i = 2 предположение верно, так как дерево организации элементарной группы состоит из одной изолированной вершины и имеет нулевую стоимость.

То есть группа разбивается на две или более подгруппы.

дерево D считаем решением задачи об оптимальном дереве f организации f, f = n. Алгоритм построен (назовем его первым эвристическим).

Утверждение 3.14. Количество sэвр1(n) вычислений функционала стоимости первым эвристическим алгоритмом оценивается величиной sэвр1(n) i=2,nCi q(i,2) = 3s(n,2).

n i Доказательство. При каждом i алгоритм анализирует Cn групп g мощности i. Существует q(i,2) вариантов нетривиального разбиения g на две подгруппы. Для каждого варианта вычислим функционал стоимости не более 3 раз.

Утверждение доказано.

Таким образом, сложность первого эвристического алгоритма поиска оптимального дерева на D( f ) не более чем в три раза превосходит сложность переборного алгоритма поиска оптимального 2-дерева на D2 ( f ) (см. таблицу 3.3).

Утверждение 3.15. Первый эвристический алгоритм находит оптимальное дерево для выпуклого на наборах непересекающихся групп функционала стоимости1.

Доказательство проведем индукцией по мощности организуемой группы. Если мощность равна двум, то алгоритм найдет оптимальное дерево, так как оно единственно.

Предположим, что для любой группы мощности t < i алгоритм находит оптимальное дерево организации. Рассмотрим группу g мощности i.

Функционал выпуклый на наборах непересекающихся групп, * то есть существует оптимальное на D(g) 2-дерево D * организации g (см. следствие 1 к теор. 1.5). В D2 группа g организуется из некоторой пары подгрупп g1 и g2. В силу пункта a) описания алгоритма будет проанализирован вариант организации g из g1 и g2. По предположению для g1 и g При этом найденное оптимальное дерево может не быть 2-деревом, так как в общем случае могут существовать и оптимальные деревья другого вида.

известны оптимальные деревья организации и их стоимость.

Следовательно, найденное алгоритмом дерево Dg D(g) оптима * льно: P(Dg ) = P(D2 ). В итоге алгоритм найдет оптимальное дерево организации группы f. Утверждение доказано.

Построим еще один эвристический алгоритм, после чего совместно протестируем работу обоих алгоритмов (см. таблицу 3.9).

4. Второй эвристический алгоритм решения общей задачи.

В данном пункте описывается эвристический алгоритм для функционала общего вида, в некотором смысле аналогичный алгоритму пункта 2 для функционала вида P( g1,, gk, g ).

Описание алгоритма. Последовательно рассмотрим значения i = 2,n. Предположим, что при каждом t = 1,i -1 для каждой группы h мощности t известны некоторые деревья Dh, j D(h), j = 1,t -1 организации h и их стоимости P(Dh, j ). Таким образом, для каждой группы мощности t известно t - дерево организации2. Рассмотрим группу g мощности i.

Последовательно выберем j от i -1 до 1. При каждом j рассмотрим всевозможные подгруппы g1 g мощности j.

Обозначим оставшуюся подгруппу через g2 = g \ g1.

Проанализируем следующие варианты разбиения g :

a) Положим Q (g) = {g1, g2}. Этому разбиению поставим в соответствие дерево организации g со стоимостью:

P = P(Q (g)) + P(Dg1,1) + P(Dg2,1).

b) Если g2 > 1, то для всех s = 1, g2 -1 положим Qs (g) ={g1}QDg2,s (g2). Этим разбиениям поставим в соответствие При минимальном i = 2 считаем известным дерево Dh,1 нулевой стоимости, состоящее из одной изолированной элементарной вершины h.

Способ построения деревьев конкретизируется ниже при описании алгоритма.

деревья организации g стоимости Ps = P(Qs (g)) + hQ(g) P(Dh,1).

s Для всевозможных подгрупп g1 g мощности j сравним значения P, Ps при s = 1, g2 -1 и выберем минимальное по всем подгруппам g1 g значение. При j < i -1 сравним его со стоимостью найденного на предыдущем шаге дерева Dg, j+1 и выберем минимальную стоимость Pmin. Соответствующее дерево и примем в качестве дерева Dg, j D(g), P(Dg, j ) = Pmin. Проделав вышеуказанные действия последовательно для всех j от i -1 до 1, найдем деревья Dg,i-1, Dg,i-2,…, Dg,1. После этого находим аналогичные деревья для следующей группы мощности i. И так далее. Построив деревья для всех групп мощности i, перейдем к следующему значению i. В итоге последовательно решим задачу для всех i = 2, n. После этого дерево D считаем решением f, задачи об оптимальном дереве организации f, f = n. Алгоритм построен (назовем его вторым эвристическим).

Утверждение 3.16. Количество sэвр2 (n) вычислений функционала стоимости вторым эвристическим алгоритмом i оценивается величиной sэвр2 (n) i=2,n Cnq(i,2)i.

i Доказательство. При каждом i алгоритм анализирует Cn групп g мощности i. Для каждой группы g при всех j от i -1 до 1 последовательно выберем всевозможные подгруппы g1 g мощности j. Общее количество таких подгрупп 2i - 2 = 2q(i,2).

Для каждой выбранной подгруппы рассмотрим не более i вариантов разбиения g, то есть вычислим функционал стоимости не более i раз. Утверждение доказано.

Таким образом, выполнено sэвр2 (n) < 2ns(n,2). То есть сложность второго эвристического алгоритма поиска оптималь ного дерева на D( f ) не более чем в 2n раз превосходит сложность переборного алгоритма поиска оптимального 2-дерева на D2 ( f ) (см. таблицу 3.3). При n 20 выполнено sэвр2 (n) < 10sэвр1(n). То есть в том диапазоне, где сложность алгоритмов остается приемлемой, второй эвристический алгоритм не более чем на порядок сложнее первого.

Утверждение 3.17. Второй эвристический алгоритм находит оптимальное дерево для выпуклого на наборах непересекающихся групп функционала стоимости1.

Доказательство. Второй эвристический алгоритм, также как и первый, анализирует все варианты организации группы из двух подгрупп. Следовательно, доказательство полностью аналогично доказательству утверждения 3.15. Утверждение доказано.

Первый и второй эвристические алгоритмы вычисляют меньше значений функционала стоимости, чем минимально возможное количество q(n) вычислений точным алгоритмом (см.

утв. 3.1). Следовательно, в общем случае погрешность алгоритмов сколь угодно велика. Поэтому при их использовании необходимо тестирование для конкретного функционала. Для выпуклого функционала алгоритмы находят точное решение (см. утв. 3.15, 3.17). Для вогнутого функционала веерная организация оптимальна на D( f ) (см. следствие к теор. 1.6). Таким образом, тестирование алгоритма целесообразно проводить для функционала, который не является ни выпуклым, ни вогнутым.

Как и в пунктах 1 и 2, протестируем алгоритмы для функционала (II) с функцией сложности вида (2.2) (см. §2 гл. II) в области параметров (, ) [0,5;

1) (1;

2]. Разобьем диапазон сеткой с узлами (, ) = ( 1/(1 + 0,1i);

1 + 0,1 j ), i, j = 1,10.2 Для тестирования используем значение n = 8.

Величины C(a1),,C(an ) (см. формулу (2.2)) выбираем следующим образом. Рассмотрим четыре отрезка: [1;

2], [1;

10], [1;

100], [1;

1000]. На каждом отрезке исследуем: равномерное распределение сложностей элементов;

группировку в пары C(a1) = C(a2), C(a3) = C(a4),,C(an-1) = C(an), значения сложностей При этом найденное оптимальное дерево может не быть 2-деревом, так как в общем случае могут существовать и оптимальные деревья другого вида.

При описании некоторой реальной задачи параметры функционала определяются с некоторой погрешностью. Следовательно, значения параметров можно привязать к узлам некоторой сетки, что оправдывает тестирование алгоритма без оценки колебаний погрешности между узлами.

пар распределим равномерно на отрезке;

группировку в тройки;

и так далее до n -1 (если n не делится целиком на нужное число, то оставшиеся значения сложности считаем неполной группой).

Соответствующие максимальной погрешности значения параметров обозначим через ( ;

) и (dmax ;

gmax ), где dmax max max обозначает номер диапазона (1 – [1;

2], 2 – [1;

10], 3 – [1;

100], 4 – [1;

1000]), а gmax – число группируемых сложностей (1 для равномерного распределения).

Обозначим стоимость найденного эвристическим алгоритмом дерева через Pэвр (n), стоимость оптимального дерева через Pопт(n), погрешность алгоритма через (n) =100 %(Pэвр(n) - Pопт(n))/ Pопт(n).

Среднюю по всем тестируемым вариантам погрешность обозначим через, среднеквадратичное отклонение – через, максимальную погрешность – через max, минимальную погрешность – через min. Результаты тестирования приведены в таблице 3.9.

min,% max,%, % ( ;

) (dmax ;

gmax ), % max max Веерная организация 4,368 104787,77 2638,5 8458,599 (0,50;

2,00) (4;

5) Последовательная организация 12,546 240,253 78,369 43,175 (0,91;

1,10) (1;

5) 2-организация 3,418 162,068 54,939 35,559 (0,91;

1,10) (1;

2) 1-й эвристический 0,000 3,293 0,079 0,305 (0,67;

2,00) (1;

5) 2-й эвристический 0,000 3,817 0,165 0,474 (0,59;

2,00) (1;

1) Таблица 3.9. Относительная погрешность алгоритмов для функционала (II).

Для иллюстрации разброса стоимости различных деревьев в таблице приведена информация об отличии стоимости оптимального на D( f ) дерева от стоимости веерной организации и от стоимости деревьев, оптимальных на Op ( f ) и D2 ( f ). Для представления этих результатов в виде погрешности считаем, что первый “алгоритм” в таблице выдает веерную организацию в качестве решения, второй – оптимальную последовательную организацию1, третий – оптимальную 2-организацию. Видно, что оптимальное на D2 ( f ) дерево может иметь значительно большую Для поиска оптимальной последовательной организации одной группы использовался алгоритм, описанный в главе IV.

стоимость, чем оптимальное на D( f ) дерево. Тем более это относится к последовательной организации. Веерная организация в большинстве случаев будет неприемлема.

Второй эвристический алгоритм, несмотря на увеличение сложности, дает в худшем случае большую погрешность, чем первый. На рис. 3.8 слева приведен график роста погрешности первого эвристического алгоритма при параметрах худшего случая ( ;

), (dmax ;

gmax ) для n от 2 до 10. График позволяет max max предположить, что погрешность при увеличении n нарастает. На рис. 3.8 справа приведен аналогичный график для второго эвристического алгоритма. Исходя из графика, можно предположить, что погрешность при увеличении n не нарастает. В протестированном случае это существенное преимущество второго эвристического алгоритма.

4 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 Рис. 3.8. Относительная погрешность эвристических алгоритмов при возрастании n, %.

Кратко подведем итоги данной главы. Рассмотрены методы поиска оптимальных на D( f ) и Dr ( f ) деревьев организации одной группы f, f = n для структурного функционала общего вида. В общем случае не существует полиномиальных по n алгоритмов, дающих точное решение на D( f ) и Dr ( f ) (см.

следствия к утв. 3.1 и 3.3). Причем погрешность любого полиномиального алгоритма может быть сколь угодно велика. В то же время построены переборные алгоритмы (см. утв. 3.2 и 3.4), сложность которых не намного превышает нижнюю оценку сложности точного алгоритма (при тех n, для которых точные алгоритмы остаются реализуемыми, см. табл. 3.2, 3.4).

Как показывает пункт 2 §1 главы II, существуют функционалы стоимости, для которых задача об оптимальном дереве на Dr ( f ) решается полиномиальным по n алгоритмом (см.

функционал (2.1), функционалы (II) и (IV) при = 1, = 1). В связи с этим интересна задача поиска классов функционалов, для которых задача на Dr ( f ) решается полиномиальным алгоритмом.

Как показано в пункте 4 §1, таким классом являются, например, функционалы вида P( g1,, gk, g ), для которых построен ~(n,r) < nr алгоритм решения задачи на Dr ( f ) со сложностью s (см. утв. 3.9). Построен алгоритм и проанализирована сложность решения задачи на D( f ) для функционалов такого вида. Однако вопрос о полиномиальности алгоритма остается открытым (см.

п.3 §1).

На рис. 3.2, 3.4, 3.5 приведены примеры результатов работы алгоритмов для функционалов (II)-(IV) в тех областях, в которых они не являются ни выпуклыми, ни вогнутыми (см. рис. 2.6-2. гл. II).

В связи с достаточно высокой сложностью точных алгоритмов представляет интерес построение эвристических алгоритмов меньшей сложности. В общем случае такие алгоритмы могут давать сколь угодно большую погрешность (см. утв. 3.1, 3.3, 3.5, 3.7), однако их можно использовать для конкретного функционала после предварительного тестирования. В § построены эвристические алгоритмы решения задачи на D( f ). Как отмечено в сноске к названию §2, эвристические алгоритмы решения задачи на Dr ( f ) строятся почти дословным повторением.

Для функционала общего вида построены два эвристических алгоритма. Сложность первого (см. п.3 §2) превышает s(n,2) не более, чем в три раза (см. утв. 3.14), что гораздо ниже сложности s(n) переборного алгоритма поиска оптимального дерева (см.

таблицы 3.2 и 3.3). Сложность второго эвристического алгоритма (см. п.4 §2) превышает s(n,2) не более чем в 2n раз (см. утв. 3.16), что также значительно эффективнее переборного алгоритма. Для функционала вида P( g1,, gk, g ) построены эвристические алгоритмы со сложностью порядка n2 (см. п.1 §2) и n2 log n (см.

п.2 §2).

Доказано, что для определенных классов функционалов (выпуклых и вогнутых) эвристические алгоритмы дают точное решение (см. утв. 3.11, 3.13, 3.15, 3.17). Вне этих классов необходимо тестирование “качества работы” алгоритма. Приведен пример такого тестирования для функционала (II) (см. §2 гл. II) в той области, в которой он не является ни выпуклым, ни вогнутым.

Сделаны эмпирические выводы о величине средней и максимальной погрешности, о нарастании погрешности при росте n (см. таблицы 3.7, 3.8, 3.9, рис. 3.7, 3.8). В результате тестирования можно сделать выводы о том, какой алгоритм предпочтительнее использовать для конкретного функционала.

Еще раз подчеркнем, что проведенный эмпирический анализ относится к функционалу (II). Аналогичным образом эвристические алгоритмы могут тестироваться и для других функционалов, но выводы могут отличаться от полученных для (II).

Кроме того, в таблице 3.9 приведен пример эмпирического анализа самого функционала на классе деревьев D( f ). Из таблицы можно сделать вывод о том, насколько отличается стоимость деревьев, оптимальных на D2 ( f ) и Op ( f ), от стоимости оптимального на D( f ) дерева. Отличие стоимости веерной организации от стоимости оптимального на D( f ) дерева иллюстрирует, насколько организация “наиболее простого вида” может быть дороже оптимальной. То есть приведен пример разброса стоимости различных деревьев для конкретного функционала. Аналогичные численные эксперименты могут проводиться и на более сложных классах организаций.

Полученные с помощью такого анализа результаты могут помочь в выявлении некоторых закономерностей функционала (например, выпуклости или вогнутости).

Глава IV. Алгоритмы поиска оптимальной последовательной организации.

В данной главе рассматриваются методы решения задачи об оптимальной на Op(f ) последовательной организации произвольного набора групп f = { f1,, fm}.

Согласно теореме 1.7 существует оптимальная на Op (f ) организация, которая не содержит повторяющихся групп. Ниже считаем, что в Op (f ) входят только такие организации. Найденные графы будут оптимальными и на первоначальном множестве Op (f ). Таким образом, для любой вершины g V \ NG произвольной организации G = (V, E) Op (f ) выполнено QG (g) = {h,{a}}, где h = g \ {a}, {a} – некоторая элементарная подгруппа (см. лемму 1.4). В последовательной организации одной группы элементы “присоединяются друг к другу” в некотором порядке (см. опр. 1.33, рис. 1.8).

Рассматриваемые последовательные организации (без повторяющихся групп) не содержат пересечений, следовательно по теореме 1.8 для существенно выпуклых функционалов найденное алгоритмами решение будет оптимальной организацией ~ ~ и на множествах O(f ), Or (f ), O(f ), Or (f ).

В §1 оценивается сложность и строятся алгоритмы решения задачи об оптимальной последовательной организации для функционала общего вида. В конце параграфа приводится пример, поясняющий изложенный материал. В §2 построенные алгоритмы модифицируются для решения задачи c функционалом вида P( g1,, gk, g ), который зависит не от состава подгрупп g1,, gk, организуемых в группу g, а лишь от их мощностей g1,, gk, g. Например, для определенного в §2 главы II анонимного функционала с функцией сложности вида (2.2) требование P(C(g1),,C(gk ),C(g)) = P( g1,, gk, g ) эквивалентно условию равенства сложностей элементов: C(a1) = = C(an ).

Также в §2 оценивается сложность задачи об оптимальной последовательной организации с функционалом вида P( g1,, gk, g ) (доказывается NP -полнота).

§1. Алгоритм решения общей задачи.

1. Эквивалентность задач о поддереве минимального веса и об оптимальной на Op (f ) организации.

Напомним, что вершинами графов G Op (f ) могут быть произвольные группы элементов. Все множество групп обозначается через F (см. опр. 1.13). Выполнено F = 2N \ {}, где N = {a1,, an} = f1 fm, f = { f1,, fm} – набор групп, которые обязательно должны присутствовать в каждом графе G Op (f ). Определим вспомогательный граф.

Определение 4.1. Графом задачи об оптимальной на Op (f ) последовательной организации назовем ориентированный граф H = (VH, EH ) : VH = F {}, EH = EH EH EH, где EH = {(,{ai}) : i = 1,n}, EH = {({ai},{ai, a }) :1 i < j n}, j EH = {(g, g {ai}) : g V, g 2,ai g,i = 1,n}.

Определение 4.2. Назовем весом ребер графа H = (VH, EH ) функцию : EH R+, которая определяется следующим образом.

Для ребер из EH положим вес равным нулю. Для любого ребра из EH EH вида e = {g, g {ai}} положим (e) = P(g,{ai}).

На рис. 4.1 приведена схема графа задачи. Рассмотрим некоторое ребро e = (g, h) EH EH, то есть любое ребро, кроме n нижних ребер. Тогда ребро e ведет из группы g в группу h = g {a}, где {a} – некоторая элементарная группа, не входящая в g. То есть ребро e соответствует организации подгрупп {a} и g в группу h. Вес (e) ребра e равен стоимости P({g},{a}) такой организации. Любой путь из вершины в некоторую группу g в графе задачи соответствует некоторой последовательной организации одной группы g (определяет последовательность элементов, см. опр. 1.33). Причем суммарный вес ребер пути равен стоимости организации.

{a1, a2,, an-1,an} P({a1,a2,, an-2, an-1},{an}) P({a1, a3,, an-1, an},{a2}) P({a1, a2,, an-2, an},{an-1}) P({a2, a3,, an-1, an},{a1}) {a1, a2,, an-2, an-1} {a1, a2,, an-2, an} … {a1, a3,, an-1, an} {a2, a3,,an-1, an} … … … … … … … … … … … … {a1, a2} {a1, a3} {a1, a4} … {an-2, an-1} {an-2,an} {an-1, an} P({a1},{a2}) P({a1},{a4}) P({an-2},{an})......................................................................................

P({a1},{a3})....................................................................................................

..................................................................................

P({an-2},{an-1}) P({an-1},{an}) {a1} {a2} {a3} … {an-2} {an-1} {an} 0 0 0 0 0 Рис. 4.1. Граф H = (VH, EH ) задачи об оптимальной последовательной организации.

Рассмотрим поддерево D графа задачи H с корнем в, содержащее неэлементарные группы из f1,, fm, листья которого содержатся среди неэлементарных групп из f1,, fm.2 Далее, если не оговорено противное, под поддеревом понимаем поддерево указанного вида, не оговаривая каждый раз требования к поддереву.

Определение 4.3. Задачу поиска поддерева минимального веса назовем задачей об оптимальном поддереве в H. Под весом (D) поддерева D будем понимать сумму весов ребер D.

Под поддеревом H с корнем в понимается подграф, в каждую вершину которого, кроме корня, входит ровно одно ребро.

Считаем, что в наборе f1,, f есть хотя бы одна неэлементарная группа, иначе m оптимальна вырожденная организация, состоящая из изолированных элементарных групп.

Теорема 4.1. Для структурного функционала общего вида задача об оптимальной последовательной организации эквивален тна1 задаче об оптимальном поддереве в графе задачи H.

Доказательство. Пусть G = (V, E) Op (f ) – последователь ная организация набора групп f = { f1,, fm}. Построим поддерево D = (VD, ED ) графа H.

Определим множество вершин VD следующим образом VD = VD VD {}, где VD = {g V, g 2}, VD = {{ai}: j > i, {ai, a }V}. То есть включим в VD все группы графа G, мощность j которых больше или равна двум. В G каждая группа {ai, a } j мощности два организуется из подгрупп {ai} и {a }, i < j. Тогда j для каждой группы {ai,a } в VD включаем только подгруппу {ai} j с меньшим номером элемента.

Определим множество ребер ED следующим образом.

Рассмотрим g V, g 3, тогда QG (g) = {h,{ai}}, g, h VD.

Включим ребро e = (h, g) в ED, при этом имеем P(QG (g)) = (e).

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.