WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |

«УЧЕБНИК ДЛЯ ВУЗОВ Е.К. ВОЙШВИЛЛО, М.Г. ДЕГТЯРЕВ ЛОГИКА Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений Москва ВЛАДОС-ПРЕСС ИМПЭ ...»

-- [ Страница 3 ] --

Обратим внимание на то, что согласно определению свободной и связанной переменной одна и та же перемен ная в одной и той же формуле может быть свободной и связанной. Такова, например, переменная в формуле переменная является здесь свобод ной, но не связанной. Мы рассматриваем здесь только такие термы, в которых все переменные могут иметь лишь свобод ные вхождения и, значит, являются свободными переменны ми. Формула и терм, не содержащие свободных переменных, называются соответственно з а мкну т ой формулой и з амкнут ым термом (очевидно, что для рассмат риваемых здесь термов, если терм замкнут, то он вообще не содержит переменных).

• Упражнения 1. Указать, связанные и свободные вхождения перемен ных в следующие формулы:

в) 2. Укажите, какие переменные в формулах упр. 1 являют ся свободными и какие связанными в них.

СЕМАНТИКА ЯЗЫКА ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ Семантику языка, как мы видели при анализе естествен ного языка, составляет совокупность предметных значений и смысловых содержаний его выражений. Но в данном случае, поскольку речь идет не об анализе уже имеющегося языка, а о построении — в данном случае логического формализован ного языка — то семантикой называют совокупность правил приписывания значений выражениям этого языка. Точнее говоря, здесь даже не ставится задача построения какого-то определенного языка. Создается лишь некоторая схема язы ка определенного типа, в данном случае языка так называе мой классической логики предикатов первого порядка. Этот тип языка отличается от языков других типов, даже языков с тем же синтаксисом (например, языка интуиционистской ло гики предикатов, определенной системы релевантной логи ки) своей семантикой. Приписывание значений отдельным выражениям языка, составляющим дескриптивным терми нам, употребляемым при построении формул, осуществляет ся лишь в составе тех или иных формул и при этом различно от случая к случаю в зависимости от характера решаемых логических задач, (например, при переводе каких то выска зываний с естественного языка на данный формализован ный, при анализе логических отношений между формулами данного языка, при аксиоматизации некоторых теорий, а именно при формулировке их аксиом в языке данного типа).

Совокупность всех правил приписывания значений выраже ниям языка разбивается на следующие три группы (I, И, III).

I. Правила определения (задания) возможных значений предметных переменных и правила приписывания предмет ных значений дескриптивным постоянным в составе рас сматриваемых в том или ином случае формул — интерпрета ция выражений языка. II. Правила приписывания значений свободным переменным в составе тех или иных рассматри ваемых формулу. III. Правила приписывания истинностных значений интерпретированным формулам, не содержащим свободных переменных.

I. Интерпретация состоит, во-первых, в выборе некоторо го непустого множества D индивидов, предметов того или иного типа, к которым могут относиться образуемые из тех или иных формул языка высказывания. Индивиды — любые предметы в широком смысле этого слова, структура которых не учитывается и которые можно отличать друг от друга.

В качестве такой области D можно взять множество людей, растений, городов, чисел и т. д.;

возможно также объедине ние в одной области множеств различных предметов, напри мер, людей, городов, домов (положим, для выражения выска зываний о местах жительства людей). Но при этом все раз личные предметы рассматриваются именно как индивиды1.

Область D — это область возможных значений предметных переменных символы предметных переменных х, у, z, стано вятся именно переменными лишь при указании области их возможных значений.

Предполагается, что на области D определено некоторое множество свойств, отношений и характеристик предметно функционального типа (то есть возможных значений преди каторов и предметных функторов).

Второй момент интерпретации языка состоит в задании некоторой функции (интерпретационная функция) припи сывания значений дескриптивным постоянным (предметным константам, предметным функторам опять таки в составе рассматриваемых формул). Задание в каж дом конкретном случае представляет собой просто указание на то, какие значения должны быть приписаны упомянутым исходным символам языка в составе рассматриваемых фор мул. При этом предметным константам (простые постоянные термы) приписываются в качестве предметных значений определенные предметы из заданной области D. Предикатно му (л-местному) символу при л = 1 в качестве значения Здесь имеются в виду так называемые односортные языки, в которых все переменные — в нашем случае все предметные переменные — имеют одну и ту же область значений. В принципе можно употреблять языки с несколькими сортами переменных, различающимися областями значений, однако всегда можно объединить эти области в одно множество, отражая принадлежность тех или иных предметов, о которых речь идет в некото ром высказывании, к той или иной области в самих записях высказыва ний;

напоминаем, что эта возможность была разъяснена при общей харак теристике приписываются некоторые свойства а при п > 1 — п-местное отношение (между предметами Например, если область D есть множество целых положительных чисел, то предикат ному символу можно приписать в качестве значения свойство «четно», а предакатору отношение «больше» или «меньше». Предметному функтору в качестве пред метного значения функция приписывает какую-нибудь л-местную предметную функцию, определенную на обла сти D. Например, для области чисел таковыми могут быть си нус, (одноместные функции), сумма, произведение (двухместные функции), для области людей — одноместные (возраст, рост), для области материальных тел — объем, удельный вес.

Значения сложных термов, каковыми являются также предметы из области и приписывание которых составляет их интерпретацию, вычисляются в зависимости от припи санных уже значений их простым составляющим — пред метным константам, предметным функторам, а также и воз можным предметным переменным, значения которых при писываются по правилам II). Вычисление происходит в соот ветствии с правилами построения сложного терма. Сложные термы образуются, как мы видели, с применением предмет ных функторов и строятся индуктивно. Значение такого тер ма вычисляется последовательно в соответствии с порядком его построения.

Пример. Имеем терм Пусть область D — целые положительные числа, есть число 3, = = — сумма, — произведение.

Имея в виду языки экстенсионального типа, каковым является описы ваемый здесь язык классической логики предикатов, свойства и отноше ния отождествляются — ради достижения максимальной точности в описа нии семантики — с их объемами. Так, свойство рассматривается как мно жество предметов — некоторое подмножество предметной области. Отно шение местности, равной л (л-местное отношение), л > 2 — трактуется как множество последовательностей из л предметов (л-ок предметов). Однако мы здесь не прибегаем к такого рода отождествлениям, предполагая, что читателю ясно, что такое свойство и отношение (хотя бы из предшествую его анализа естественного языка).

Тогда II. Свободным переменным в той или иной формуле (а тем самым и в составе термов этой формулы) в качестве значений приписывают, также как и постоянным термам, предметы из области D. Такие приписывания осуществляют ся когда мы хотим получить из интерпретированной форму лы со свободными переменными высказывание нашего язы ка. Приписывание осуществляют заменой каждого вхожде ния некоторой свободной переменной какой-либо предмет ной константой с одновременной интерпретацией таковой, если она еще не была интерпретирована в формуле.

Будем говорить, что при осуществлении этих приписыва ний в добавление к уже имеющейся интерпретации форму лы, формула оказывается полностью интерпретированной.

Однако важно заметить, что формулы со свободными пе ременными нужны не только для образования высказываний из них. Они представляют собой особые высказывательные формы, называемые предикатами. Это сложные знаковые формы возможных свойств предметов заданной области и возможных отношений среди этих предметов. По типу их предметных значений они должны быть отнесены к катего рии предакаторов. Можно назвать их сложными предикато рами (в отличие от простых, указанных среди исходных сим волов). Надо отметить, что эти формы не выделяются и даже не замечаются в естественных языках. Они играют, однако, решающую роль в теории понятия (см. гл. IV, V). Имея тот или иной предикат, можно ставить вопрос, для каких пред метов, которые могут представлять свободные переменные, этот предикат выполняется или не выполняется. В таком слу чае мы просто указываем предметы для соответствующих переменных (не осуществляя указанных подстановок пред метных констант вместо них). Например, можно сказать, что предикат — выражающий свойство какого-то числа х из области натуральных чисел, состоящее в том, что «если это число больше 5 (знаками отношения «больше» и «5» является соответственно Р2 и то оно де лится без остатка (О2) на некоторое число выполняется для чисел 9 и т. д., но не выполняется для 7, 11 и др.

III. Приписывание истинностных значений полностью интерпретированным формулам.

Напомним, что полностью интерпретированная форму ла — это формула, в которой осуществлена интерпретация дескриптивных постоянных и приписано значение всем сво бодным переменным, если таковые имеются в ней. Каждая такая формула представляет собой определенное высказыва ние — с определенным смыслом и истинностным значени ем — но лишь при условии, если нам известны значения встречающихся в ней — явным или неявным образом — ло гических констант, (которые и определяются рассматривае мыми правилами III). Явным образом указываются — в сложных формулах — логические константы, перечислен ные в списке исходных символов. Простые (атомарные фор мулы видов..., по-видимому, не содержат логиче ских констант. Однако, неявным образом здесь присутствует логическое отношение принадлежности свойства Р некото рому предмету t при п = 1 или о наличии отношения меж ду предметами..., из области D.

Определение значений всех логических терминов, как явно обозначенных, так и неявно содержащихся в форму лах, осуществляется как раз посредством правил приписыва ния истинностных значений полностью интерпретирован ным формулам нашего языка (строго говоря, мы имеем здесь гак называемое неявное определение логических констант, по они достаточны для понимания того, какой именно смысл они придают нашим высказываниям).

Правила эти таковы. Значение простого (атомарного) вы сказывания..., п > определяется в зависимости от заданных значений термов... и предикатора Оно за висит от характера предметов данной предметной области.

Положим, имеем формулу: Р Предположим, что согласно заданной интерпретации D — множество лю дей: Р2 означает «больше»: /} «возраст»: — Петров, — Сидоров. Вся формула представляет собой высказывание «Возраст Петрова больше, чем возраст Сидорова». Высказы вание истинно или ложно в зависимости от того, имеет или не имеет место данное отошение между возрастами Петрова и Сидорова.

Заметим, что в части лексики мы перевели здесь высказыва ние, полученное из определенной формулы рассматриваемого язы ка (ЯКЛП), по существу на обычный естественный русский язык. В самом ЯКЛП знаковой формой его является упомянутая формула.

Подобные переводы обычно напрашиваются сами собой в силу того, что задание значений отдельных терминов — составляющих формулу — осуществляется посредством выражений естественно го языка. Мы говорим «значение Р2 — больше, и — соответ ственно Сидоров и Петров» и т. п.). Это значит, что приписывание предметных значений выражениям описываемого языка осуще ствляется методом перевода их в тот или иной естественный язык.

Может показаться, что при упомянутых переводах высказываний данного языка на естественный теряется та самая точность их вы ражений, ради достижения которой как раз и строятся формализо ванные языки. Однако точность здесь по сравнению с естествен ными языками достигается не за счет более точною употребления отдельных терминов, — достаточная точность их уже должна быть обеспечена при осуществлении интерпретации выражений форма лизованного языка — а за счет определенных, стандартных спосо бов построения высказываний и их логических форм. И она имен но сохраняется, или точнее сказать, должна сохраняться при ука занных переводах.

Для сложных формул имеем, предполагая, что все составляю щие их формулы полностью интерпретированы.

Формула вида А & имеет значение «истина» — при данной интерпретации и приписывании значений свободным перемен ным — е. т. е. Л имеет значение И и имеет значение И.

Формула A v В — истина е. т. е. значение А равно И или значе ние В равно И.

Формуле вида приписывается значение И е. т. е. А имеет значение Л или В имеет значение И.

Значением формул вида А является И е.т.е. значение А есть Л.

Формула вида имеет значение «истина» е. т. е. для вся кого предмета из D, — истина — результат заме щения всех свободных вхождений х в А{х) константой Согласно принципу предметности употребления знаков истинность формулы здесь определяется в зависимости от того, каков предмет под ставляется же вместо переменных сама константа то есть имя данно го предмета.

Формула вида имеет значение истина е. т. е. существует предмет а в области D такой, что истинна формула Если значение некоторой формулы не является И, то она имеет значение Л, но никакая формула не имеет одновременно значения И Л.

Как уже говорилось, правила приписывания истинностных зна чений полностью интерпретированным формулам неявным обра зом определяют также значения логических констант «&», «v», и кванторов V и 3 и вместе с тем и смыслы высказыва ний, образованных посредством соответствующих констант. На пример, высказывания вида A{x), А(х), относящиеся к неко торой области индивидов мы должны понимать, соответственно, как «для всякого предмета х из D верно и «существует пред мет х в D такой, что верно Нетрудно видеть, что v, z>, представляют собой здесь логические связки — знаки функций ис тинности, — определенные ранее в разделе «Логика высказыва ний», но теперь применительно к формулам ЯЛП.

• Примеры Определим значение формулы — а,) & у)) при условии, что область возможных значений переменных D есть множество целых положительных чисел, константам и приписаны соответственно числа 2 и свободной пе ременной у — значение 6;

предикатный символ Р2 имеет в качестве значения отношения «делится». Ясно, что при ука занной интерпретации данная формула выражает определен ное высказывание: в переводе на русский язык, «Для всяко го целого положительного числа х верно, что если оно делит ся на 2 и на то оно делится на 6». Ясно, что это высказы вание и соответственно наша формула истинны. Рассмотрим формулу х). Если D — множество людей, Р2 — отец, то она представляет собой высказывание «Для всякого человека х существует человек у такой, что он является от цом первого».

Как уже сказано, полностью интерпретированные фор мулы языка при учете правил III представляют собой выска зывания этого языка, а интерпретированные формулы со свободными переменными — предикаты (знаковые формы сложных свойств и отношений соответствующей области предметов D). Неинтерпретированные формулы, не содержа щие свободных переменных, — суть логические формы вы сказываний, а со свободными переменными — логические формы предикатов. Однако предикаты могут трактоваться и трактуются в процессах выводов и доказательств, а также в определении отношения логическою следования и законов логики как специфические высказывания с какими-то подра зумеваемыми значениями переменных, как это делается, на пример, в записи математических уравнений.

Возможность различных истолкований формул со свободными переменными указывает на существование различных истолкова ний или, как говорят, различных интерпретаций самих свободных переменных в формулах. Вообще различают три возможных ин терпретации свободных переменных в составе формул ЯКЛП.

1) Предикатная интерпретация. Она означает, что свободные пере менные в формуле рассматриваются как знаки пустых мест в предикате, на которые могут подставляться имена предметов из за данной области D для образования высказываний из предикатов.

2) Условная интерпретация. 3) Интерпретация всеобщности.

При второй и третьей интерпретации свободных переменных формула, содержащая эти переменные, трактуется как высказыва ние или логические формы таковых (в зависимости от того, явля ются они интерпретированными или нет). При условной интерпре тации некоторой переменной в нем эта переменная рассматривает ся как знак какого-то — одного и того же во всех своих вхождени ях — предмета из области D. А при интерпретации всеобщности какой-либо переменной она рассматривается как знак любого предметы из области но одного и того же во всех своих вхожде ниях в формулу. Иначе говоря, высказывание со свободными пере менными равносильно высказыванию, которое получается из дан ного посредством связывания всех его свободных переменных, взятых в условной интерпретации, квантором существования, а пе ременных, рассматриваемых в интерпретации всеобщности, кван тором общности. В предыдущем описании семантики мы подразу меваем предикатную интерпретацию свободных переменных. А высказывание, получаемое из предиката, — как результат приме нения этого предиката к предметам, имена которых подставляются вместо свободных переменных. Однако в дальнейшем, например при анализе понятия следования, формулы со свободными пере менными трактуются как высказывания с условной интерпрета цией этих переменных.

Подчеркнем еще раз значение интерпретации (совокупность правил I). При наличии правил III, то есть при заданном понима нии логических констант, определяющих тип языка, различные ин терпретации порождают из заданной синтаксической системы фактически различные языки данного типа (в которых использует ся каждый раз лишь какая-то часть исходных дескриптивных сим волов).

В заключение данного раздела, касающегося семантики языка, важно заметить, что хотя правила приписывания зна чений выражениям языка, составляющих в совокупности эту семантику, ориентированы на приписывание значений в ка ких-то конкретных случаях, их основное значение состоит в том, что они указывают общие принципы, общие способы превращения формул языка в осмысленные выражения. При таком истолковании указанных правил семантика представ ляет собой теорию оз начивания выраже ний данного языка (которую называют также теорией референ ции).

• Упражнения Для каждой из следующих формул укажите какую-ни будь интерпретацию (область D) значение дескриптивных постоянных, а также значения свободных переменных, при которых соответствующие формулы, соответственно, истин ны и такие, при которых они ложны:

а) б) у (у, х) Р (у, в) Зх А{х, у) Зх А(х, г) Зх А(х, у) Зх А(х, у).

Данные выше разъяснения относительно тех смыслов, которые формулы получают при интерпретации, указывают на принципы перевода высказываний языка логики предика тов на естественный язык. Однако в них можно усмотреть решение и обратной задачи — перевод с естественного на язык логики предикатов, хотя здесь требуются и определен ные дополнительные разъяснения. Прежде всего они связа ны с отсутствием в формулах ЯЛП общих имен. Общие име на здесь используются только для характеристики задавае мой каждый раз при выражении некоторого высказывания области D значений предметных переменных. В составе са мих формул общие имена — в предложениях обычного язы ка — заменяются предикаторами. Так, предложение «Все студенты пединститута готовятся стать преподавателями» может быть переведено на язык логики предикатов двояко в зависимости от выбора значений переменных. Мы можем взять в качестве таковой «множество студентов пединститу та». Обозначив тогда через свойство «готовятся стать пре подавателями», получим С учетом заданной об ласти это должно быть прочитано как «всякий студент пе динститута х готовится стать преподавателем». Для более полного выражения смысла высказывания можем взять в ка честве области «студенты» вообще, а общее имя «студент пе динститута» истолковать как предикатор, взяв для него, например, знак (предикатор) S1 получим V х ID Предложение звучит теперь так: «Для всякого студента х верно, что если он учится в пединституте, то он готовится стать преподавателем». Высказывание «Некоторые студенты пединститута готовятся стать преподавателями» при том же выборе области D и предикаторов запишется в виде Обратите внимание, когда высказывание предваряет квантор общности (то есть исходное высказывание является общим), то далее используется логическая связка в слу чае, когда таковым является квантор существования (выска зывание является частным), то для его записи на упо требляется связка &.

Для полной записи предложения «Во всяком государстве имеется город, который является его столицей» напрашива ется необходимость ввести предикаторы: государство с аргу ментом — х (возьмем для обозначения из исходных симво лов предикатор город с аргументом — у (обозначим его принадлежит — город у государству х (обозначим R2) и столица — город у государства х (обозначение В таком В дальнейшем, как это обычно делается, будем опускать верхние ин дексы — указатели местности предикаторов, учитывая, что перечисление следующих за предикаторами аргументов указывает на эту местность предикатора, конечно, при правильно построении формул (что будет пред полагаться).

случае возникает трудность с характеристикой области зна чений переменных х, у. Можно считать, что таковой являет ся множество населенных людьми территорий. Взяв в каче стве области D множество таких территорий и используя указанные предикаторы, получим запись нашего суждения в ЯЛП: & R{y, x) & x))). Буквальное произ несение его таково: «Для всякой населенной территории х верно, что если х есть государство, то существует населен ная территория у, такая, что у — город и у принадлежит го сударству х, а у есть столица х.

Как мы видели, высказывания естественного языка, под лежащие переводу на ЯЛП, определенным образом стандар тизируются, четко выделяются части классы или отдельные предметы, о которых нечто утверждается (или отрицается). Если это классы, то выясняется, ко всем предметам класса или лишь к части их относится утвержде ние или отрицание (соответственно употребляются кванторы общности V или существования 3). И наконец, определяется то, что именно в высказывании утверждается (или отрицает ся). Примеры таких высказываний есте ственного языка, осуществленные еще до записи их на ЯЛП, читатель может найти в самом начале данного параграфа.

• Упражнение 1. Выразите логические формы видов высказываний, при веденных на с. 133.

2. Укажите способ прочтения формул, полученных Вами в упр. 1, на языке логики предикатов.

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ Логика предикатов формируется аналогично тому, как это происходит относительно логики высказываний. При на личии определений логических констант — как логики вы сказываний, так и логики предикатов, — последняя опреде ляется введением понятий логического следования для фор мул ЯЛП и закона логики предикатов.

ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ Как и в логике высказываний, мы говорим, что для вы сказываний и (выраженных теперь в описанном языке логики предикатов), имеет место отношение логического следования если и только если оно имеет место для формул А и В1 представляющих собой логические формы указанных высказываний.

Последнее получается из и просто отвлечением от имеющихся значений их дескриптивных терминов. При этом возможно, что или а также и то и другое, содер жат свободные переменные и трактуются при этом как вы сказывания с неопределенными истинностными значениями, в которых подразумевается, что каждая свободная перемен ная имеет какое-то определенное значение (во всех местах, где она встречается в том или ином выводе или доказатель стве, или вообще в некотором рассуждении).

Очевидно, что в упомянутых высказываниях со свободными переменными эти переменные имеют условную интерпретацию, которой мы будем придерживаться и в дальнейшем, хотя не ис ключаем возможность употребления таких высказываний, напри мер в выводах и доказательствах с интерпретацией всеобщности их свободных переменных. Строго говоря, именно условная интер претация соответствует понятию логического следования. А в слу чае интерпретации всеобщности при построении выводов и дока зательств, требуются особые ограничения.

Отношение следования между формулами А В имеет место е. т. е. при любой интерпретации дескриптивных тер минов в А и В и при любых приписываниях значений сво бодным переменным при истинности первого истинно и вто рое, иначе говоря, ложно первое или истинно второе. Имеет ся в виду при этом, что, во-первых, если некоторый дескрип тивный термин каким-то образом интерпретирован в А, то таким же образом он интерпретирован и В (конечно, при наличии его в этой формуле), а, во-вторых, всем свободным вхождениям одной и той же переменной в А и В приписыва ется одно и то же значение.

А и В — метапеременные для формул ЯЛП.

Из множества высказываний следует высказывание если и только если это отношение имеет место соответствен между множеством формул Г и В, представляющих собой формы упомянутых высказываний. Последнее же отношение Г В имеет место, е. т. е. в составе Г имеется конечное подмножество формул..., {п > 1) такое, что... В. Последнее соотношение, как и в логике вы сказываний, равносильно тому, что из высказы ваний..., следует В, что в свою очередь указывает на отмеченное ранее — в логике высказываний — свойство отношения следования, состоящее в том, что если некоторое высказывание следует из какого-то множества высказыва ний, то оно является следствием также любого расширения этого множества.

ЗАКОН ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ Формула А описанного языка логики предикатов является законом данной логической системы, то есть А) е. т. е. при любой ее интерпретации и при любых приписываниях зна чений ее свободным предметным переменным в заданной области D. Получаемое высказывание является истинным.

Законы логики предикатов называются также универсально общезначимыми формулами логики предикатов.

• Формула А называется общезначимой в некоторой области D е. т. е. она истинна при любых приписываниях значений ее дескриптивным терминам и свободным переменным в этой об ласти D. Формула А называется выполнимой, если она истин на при какой-нибудь интерпретации и при каком-нибудь при писывании значений ее свободным предметным переменным.

В противном случае она называется невыполнимой.

Поскольку в язык логики предикатов, как это иногда де лается, мы не включаем пропозициональные переменные, никакая формула логики высказываний не является форму лой логики предикатов. Однако из любого закона логики вы сказываний получается закон логики предикатов при подста новке вместо пропозициональных переменных любых фор мул логики предикатов (при замене каждого вхождения ка кой-нибудь пропозициональной переменной одной и той же формулой логики предикатов;

хотя не исключается при этом замена разных пропозициональных переменных одной и той же формулой логики предикатов).

Так же, как и в логике высказываний, здесь введением указанных понятий — законов логики предикатов и логиче ского следования — в сочетании с определениями логиче ских констант задается бесконечное множество случаев от ношения логического следования и бесконечное множество законов логики. Однако в отличие от логики высказываний мы не имеем теперь общих процедур для решения вопросов о том, имеет ли место отношение логического следования между множеством формул Г и формулой В (или между дву мя формулами А и В) и является ли некоторая формула А за коном логики. Эта специфика логики предикатов характери зуется как нераз решимость этой теории относитель но универсальной общезначимости формул. Эта ограничен ность наших возможностей здесь является платой за отказ от принимаемых в логике высказываний абстракций относи тельно структур некоторых высказываний.

Как и в логике высказываний, мы имеем здесь связь между отношением следования и закона ми логики. Она позволяет сводить вопрос о наличии или отсутствии отношения следования для конечных множеств формул к вопросу о том, является ли некоторая формула универсально общезначимой. Имеется в виду связь е.т. е.

последняя же, как мы видели раньше, равносильна & — при любой расстановке скобок в конъюнкции согласно правилам построения формул.

В связи с отмеченной неразрешимостью логики предика тов особое значение приобретает здесь формализация поня тий следования и закона логики посредством построения ло гических исчислений. Именно исчисление дает возможность во многих случаях синтаксическим образом решать вопрос, является ли некоторая формула законом, или соответственно есть ли некоторое отношение следования, когда мы не мо жем решить этот вопрос посредством семантического анали за. Для логики высказываний исчисление высказываний, во обще говоря, не является необходимым. Оно скорее нужно как часть логического исчисления для формул ЯЛП.

ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ В основе исчисления предикатов лежит язык логики пре дикатов. В остальном оно является расширением исчисления высказываний.

Аксиоматическую систему исчисления предикатов мы по лучим, добавив к перечисленным выше схемам аксиомати ческого исчисления высказываний (имея в виду, конечно, переход к языку логики предикатов) следующие четыре схе мы и одно правило:

1. Vx А{х) з — схема 2. A(t) з 3 хА{х) — схема 3. С{х)) С(Х)) — схема введения V в кон секвент.

4. з В) з С{х) з — схема введения 3 в анте цедент.

A{t) — результат правильной подстановки терма t вместо х в В — не содержит х свободно.

Правило (правило введения квантора общности, иное A[t) название: правило обобщения): ——г (из А непосредственно выводимо Формально мы сохраняем прежнее определение вывода и доказательства (ясно, что, по существу, изменение состоит в том, что теперь могут использоваться новые аксиомы и но вое правило), однако, если мы хотим, чтобы отношение фор мальной выводимости было аналогом семантического поня тия следования, необходимо ограничить применение оно может применяться к некоторой формуле А[х) для обобще ния лишь по таким переменным которые не содержатся свободно в допущениях, от которых зависит эта формула.

Чтобы смысл этого ограничения был ясным, мы должны определить понятие зависимости некоторой формулы выво да от допущений (гипотез). Везде в дальнейшем будем иметь в виду выводы с анализом (то есть обоснованием каждого его шага ссылками либо на принадлежность формулы этого шага к множеству взятых гипотез или аксиом системы, либо на формулы, из которых она получатся, и используемые при этом правила).

Формула В данного вывода зависит от некоторого допу щения А, если и только если: а) она есть само допущение б) получается из некоторых формул по правилам системы (из В и С по т. р. или из С по какая-нибудь из кото рых зависит от А. Более простым образом понятие зависимо сти разъясняется в описываемой далее системе натурального вывода, значительно проще осуществляются там сами выво ды и доказательства.

НАТУРАЛЬНАЯ СИСТЕМА ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ Постулатами системы (исходными правилами) являются все правила натуральной системы исчисления высказываний и правила для кванторов. Как и раньше, мы используем по нятие зависимости формул в выводах от имеющихся в выво дах допущений;

точнее говоря, это понятие, определенное ранее для исчисления высказываний, расширяется в форму лировках правил для кванторов.

Правила вывода для выражений с кванторами:

В других системах — без характеристик зависимости — это правило формулируется в виде явно непрямого:, оно позволяет вместо вывода В из допущений Г, Зх Ах заключать о наличии нужной здесь выво димости на основании вспомогательного вывода, представляющего выводи мость Г, В, что значительно проще. Ситуация здесь аналогична той, что связана с правилом Понятие вывода и доказательства остаются формально теми же, которые были сформулированы в исчислении вы сказываний, разница лишь в том, что при ссылке на правила вывода теперь имеются в виду и вновь введенные правила для выражений с кванторами. К числу указанных в предыду щем параграфе эвристических принципов введения допуще ний может быть добавлен еще один.

Если в выводе получена формула и нужно вывес ти В, не выводимую непосредственно из имеющихся фор мул, вводим допущение А{х), применяя способ рассуждения согласно Рассмотрим несколько примеров выводов.

Схема доказательства формул вида: 3 хА{х) + 1. [1].

+ 2. А[х) 3. 3 хА{х) [21 — из 2, 4. — из 5. — из 6. [-] — Схемы доказательств рассмотренных в системе аксиом «введения V в консеквент» и «введения 3 в антецедент»:

Предполагается, что А не содержит х свободно.

+ 1.

2. А — из 4. В[х) [1, 2] — из Зи2, 5. 2) — 4, 6. — 7. B{X)) [-] — из 6, + 1. [1].

+ 2. [2].

+ 3. [3].

4. из 5. А [1, 3] — из 3, 4, 6. А [1, 2] 5, 7. [1] — из б, 8. (В{Х) А) (3 х В{х) А) — из 7, Сформулированное здесь исчисление, как и приведенная выше аксиоматическая система исчисления предикатов, представляет собой адекватную формализацию понятий ло гического следования и закона логики. Это значит, что для них справедливы теоремы:

Г В е. т. е. Г В и А е. т. е.

В заключение параграфа в дополнение к ранее сформу лированным эквивалентностям языка логики высказываний приведем схемы наиболее важных законов логики, относя щихся к языку логики предикатов, которые читатель может использовать также в качестве упражнений для выводов и I. Взаимовыразимость кванторов:

2.

II. Законы образования контрадикторной противополож ности:

1. ~ 2. ЗхА{х) ~ III. Законы пронесения кванторов:

1. ((VxA(x) & ~ Vx (А(х) 2. v ~ Зх 3. (Зх (А(х) & В(х)) (ЗхА(х) & Зх В(х))).

4. v 5. (Vx (A v если х не свободна в 6. (Зх (А & ~ В(х))), если не свободна в А.

7. (V* (А(х) IV. Перестановка кванторов V. Исключение квантора общности и введение квантора существования.

1. Vx A(x) A(t). 2. A(t) Зх А(х).

В обоих случаях A(t) есть результат правильной подста новки терма t вместо х в Законы устранения вырожденных кванторов.

1. Vx А ~ А. 2. Зх А ~ А, где А не содержит х свободно.

VII. Связь кванторов V и.

Vx А(х) Зх А{х).

Ясно, что приведенные эквивалентности также могут быть использованы в рассуждениях посредством эквивалент ных преобразований (см. § 10).

Пример эквивалентных преобразований формулы {Р{х) Зх Q(x)).

с использованием некоторых из указанных в этом и пред ыдущем параграфе схем Vx(P(x) Зх(Р(х) Q{x)) (Р{х) Зх Зх (Р(х) v V ЗХ (Р(Х) Зх (Р[х) (Р(х) Зх (Р(х) ОД) v Vx Р{х) v • Упражнение Укажите эквивалентности, применяемые на каждом шаге преобразований в вышеприведенном примере.

Разработанный в современной символической логике ме тод построения логических исчислений является важнейшим ее результатом. Его теоретическая и практическая значи мость состоит в том, что благодаря ему возникает возмож ность доказательства любой формулы, представляющей за кон логики, из бесконечного множества таких формул, а также осуществлять соответствующий вывод для любого слу чая — опять-таки из бесконечного множества случаев — от ношения логического следования. В основе логических ис числений, как мы видели, лежат специальные логические языки. Наряду с рассмотренными выше возможностями ис пользования этих языков для решения многих логических вопросов, и в первую очередь для точного определения ос новных понятий логики (логическое следование и закон ло гики), следует заметить, что в этих языках имеются, по су ществу, точные понятия логической формы и логического содержания мыслей, которые мы используем в дальнейшем.

Упражнения Постройте доказательства следующих формул:

а) A(x) з Зх б) Vx (A(x) з А(х) з Vx в) Зх А{х) з Vx г) Зх А(х) з Vx д) Ух А(х, у) з А(х, у).

Глава IV ТИПЫ ОБЪЕКТОВ ПОЗНАНИЯ И ИХ ВОЗМОЖНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ § 12. Возможные объекты познания (предметы мысли) Мы уже отмечали, что в каком-то смысле многообразие предметов познания шире, чем многообразие предметов дей ствительности. Неумение правильно оперировать с предмета ми мысли и неумение различать предметы разных типов может приводить к нелепым рассуждениям типа: «Человек произошел от обезьяны. Н. — человек, следовательно, Н. про изошел от обезьяны», или «Иванов — токарь, токарь — не слесарь, значит, Иванов — не токарь».

Относительно объектов познания читателю следует вспомнить то, что было сказано о предметных значениях знаков, в особенности, о предметных значениях единичных и общих имен (5 и 6 гл. И). Напомним, что предметами по знания могут быть не только вещи, явления, процессы реаль ного мира, но и их свойства, отношения, а также воображае мые объекты, продукты мыслительной деятельности и т. д., и т. п. Предметом в широком смысле слова, как мы помним, является все, что обозначено именем. Давая чему-либо имя, мы превращаем его в предмет мысли. Именем же можно обозначить все, что обладает некоторой качественной опре деленностью, то есть имеет какие-то характеристики или их совокупности, отличающие это нечто от всякого другого и позволяющие мысленно или, по крайней мере, чувственным образом выделить его и рассуждать о нем. Разнообразие объектов, как возможных предметов мысли, можно, по-види мому, свести к следующим основным видам:

Во-первых, мы делим их на эмпирические и теоретиче ские в зависимости от того, каким образом, за счет какого источника познания (орган чувств или мысленно-интеллек туальная деятельность) они вводятся в состав нашего знания.

Эмпирические объекты поз нания — это реальные, чувственно-воспринимаемые, наблюдаемые пред меты действительности.

Как объекты теории — это результаты наблюдения и во обще чувственной деятельности, хотя, как мы уже говорили, при характеристике эмпирического уровня познания они могут быть уже в той или иной степени «обработаны» на шим мышлением. Сюда относятся:

1. ВЕЩИ — индивиды (люди, реки, минералы), системы объектов (созвездия, планетные системы), более или менее цельные ситуации (противостояние планет, те или иные взаиморасположения планет, сезонные состояния природы и т. п.).

2. СОБЫТИЯ (явления) — гром, молния, солнечное затме ние и т. п.

3. ПРОЦЕССЫ — испарение, похолодание, рассвет, пере мещение материков и т. д.

Это различение, конечно, является примерным.

Эмпирические объекты познания иногда характеризуют как наблюдаемые объекты, а обозначающие их термины — как термины наблюдения.

Источником появления т е оре т иче с ких объек тов поз нания является наша мыслительная деятель ность.

К теоретическим объектам познания относятся:

1. Реальные — по крайней мере по предположению при их введении — объекты, то есть объекты, которые вводятся мышлением при построении объяснительных тео рий. Объясняя, например, тепловые явления, химические превращения, излучение или поглощение света, процессы и явления, связанные с изменением агрегатных состоянии тел, и другие явления в области физики макротел, вводятся такие объекты, как молекулы, а затем и атомы (особенно при объ яснении химических взаимодействий), далее — электроны и атомные ядра, нейтроны, протоны и т. д. Эти объекты, по крайней мере до некоторых пор в развитии теории, имеют гипотетический характер. Иногда оказывается, что какие-то из них не существуют в действительности и исключаются из сферы теории (флогистон, теплород, жизненная сила и т. п.).

2. Абстрактные объекты — два основных вида:

а) объекты, возникающие в познании при интенсиональ ном употреблении имен (см. § 8);

б) объекты, представляющие собой некоторые свойства или отношения (характеристики вообще) предметов действи тельности, превращенные в самостоятельные предметы мыс ли, — результаты из олирующег о абст раг ирова ния (упругость, электропроводность, теплопроводность и теплопроводность меди, вращение и вращение Земли, лю бовь, дружба, красота, числа, геометрические фигуры и ЗАМЕЧАНИЕ. Обратим внимание на одно широко распростра ненное в философии недоразумение. Утверждают часто, что объ ектами научного познания никогда не являются реальные приметы действительности. Даже в тех случаях, когда, по-видимому, мы изу чаем реальные предметы действительности (животные, растения, металлы), мы фактически имеем дело в теории уже с результатами определенной логической обработки этих предметов. И утвержде ния науки относятся к этим так называемым абстрактным объек там. В этом случае не различают: 1) мы можем оперировать объектами в процессе познания и то, 2) является объектами нашего изучения.

Пользуясь языком как средством познания, обозначая предме ты и их свойства и отношения посредством знаков языка, мы оп ределенным образом огрубляем их, поднимаем их, как выразился А. И. Герцен, из сферы частностей в сферу всеобщностей. Обоб щая предметы в понятиях уже даже на эмпирическом уровне по знания, мы представляем их (опять-таки в языке) в той или иной мере абстрактно, обобщаем их лишь по тем или иным общим для предметов некоторого класса признакам, отвлекаясь от имеющихся в этом классе различий (см § 15). В этом смысле мы всегда, конеч но, имеем дело не с конкретными предметами (во всей совокуп ности их признаков). Но данные представления предметов в языке являются лишь необходимым средством представления конкрет ных, реальных предметов действительности. И конечно, когда мы говорим, например, что все люди нуждаются в пище, пользуясь об щим понятием человека, в котором все люди определенным обра зом отождествляются, — мы говорим не об этих абстрактных лю дях, а о реальных — существующих в пространстве и времени: в пище нуждаются не абстрактные, а конкретные, живые люди!

Итак, в этом разделе мы говорим об объектах познания и лишь некоторые из них действительно являются абстрактными.

3. Идеализированные объекты познания — результаты определенного типа мысленной «обработки» предметов реальной действительности — идеализации (абсо лютно черное тело, идеальный газ, абсолютно упругое тело и т. п.). Мысленная «обработка» состоит здесь в том, что мы наделяем реально существующие предметы некоторыми свойствами, которых они в действительности не имеют (тело, поглощающее все падающие на него лучи — абсолютно чер ное тело), или лишаем их некоторых свойств, которыми они обладают в действительности (тело, абсолютно не прово дящее электрический ток). Впрочем, «лишение» и «наделе ние» — обычно операции относительные: лишение предмета одного свойства означает наделение его другим и наоборот (абсолютно гладкая плоскость — то же, что плоскость не вы зывающая трения;

тело, поглощающее все лучи — тело, не от ражающее никаких лучей, и т. д.).

Существуют объекты, которые одновременно являются и абстрактными и в то же время идеализированными объекта ми познания — таковы, например, геометрические фигуры, как они мыслятся в геометрии. Чтобы представить себе, на сколько широк круг идеализированных объектов в познании и даже в повседневной практике вспомните о том, как мы идеализируем наших друзей и любимых, об идеализации со бытий и фактов истории и т. д.

Особый вид идеализированных объектов составляют классы, множества как предметы мысли. В реальной дей ствительности класс тех или иных предметов, например, ме таллов, растений, животных — это совокупности в каком-то отношении качественно-однородных предметов, существую щих в разных местах, в разное время, обычно с постоянно изменяющимся составом. Превращая их в предметы мысли, мы мысленно «собираем» их в нечто единое, в единую сово купность как бы одновременно и в одном месте существую щих предметов. Но существующих отдельно и независимо друг от друга. Когда же предполагается какая-то связь между предметами множества, таких, например, как семья, фут больная команда, производственный коллектив, — тогда та кое множество называется агрегатом.

4. Идеальные объекты поз нания — резуль таты творческой деятельности мышления, не имеющие про образов в действительности.

Выделяются два вида идеальных объектов:

А. Мысли, знания, информация. Они имеют, безусловно, некоторые прообразы в действительности по содержанию, поскольку в них воспроизводятся какие-то аспекты действи тельности, но не имеют прообразов как особого рода объек ты познания.

Идеальными считают иногда также и формы, приемы по знания. Точнее, их скорее надо относить к числу абстракт ных объектов, хотя бы потому, что они не являются, как правило, продуктами нашего мышления.

Абстрактные и идеальные, идеальные и идеализирован ные объекты обычно вообще не различают, называя все их идеальными. Нужно признать, что различие этих видов, как впрочем и разграничение видов предметов в реальной дей ствительности — отнюдь не всегда теоретически простая за дача. Часто существенно лишь само знание о существовании объектов качественно различных типов.

Б. Объекты играющие чисто инструментальную роль в познании — системы координат, тензоры, векторы, паралле ли, меридианы и т. п.

В данном случае мы говорим здесь о них как об объектах познания в том смысле, что имеем дело с ними в процессе познания (хотя они могут быть и в ряде случаев являются также объектами изучения).

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ ПОЗНАНИЯ И ВОПРОС О НЕПУСТОТЕ ТЕРМИНОВ Проблема, которая здесь имеется в виду, относится к абстракт ным, идеализированным и особенно к идеальным объектам. Она заключается в вопросе о том, имеют ли обозначающие их термины предметные значения, то есть являются ли они пустыми или не яв ляются таковыми? Вопрос возникает в силу именно того, что иде альные объекты не имеют даже прообразов в действительности, абстрактные не существуют как самостоятельные, идеализирован ные не существуют как таковые. Мы обращаемся здесь к этому во просу потому, что нередко можно встретить мнение о том, что именно в этих случаях мы имеем дело с пустыми терми на.ми Однако мы уже раньше говорили о том, что пустые терми ны характеризуются тем, что высказывания, содержащие их, по крайней мере, в качестве логических подлежащих, лишены реаль ного содержания: они не истинны и не ложны и, значит, не явля ются осмысленными1. Однако, вводя в свои теории объекты ука занных типов, ученые в каждом случае определяют критерии ис тинности или ложности содержащих их высказываний. Установле ние таких критериев для абстрактных объектов не представляет обычно особых сложностей. Для идеализированных тем более, по скольку суждения, относящиеся к идеализированным объектам, — это случаи более или менее точного, приблизительного знания о реальных предметах действительности. Что касается идеальных, то активность нашего познания и специфика отражения мира в мыш лении в связи с этими объектами доходят до того, что они часто включаются даже в число реальных предметов действительности.

Примерами этого могут служить суждения «Полярная звезда нахо дится в одной из точек пересечения небесной оси с небесной сфе рой», «Москва находится между 54 и 55 параллелями северной ши роты» и т. п. Таким образом, рассматриваемые термины отнюдь не являются, конечно, пустыми. И очевидно, что истинность таких ут верждений нетрудно установить, зная, например, где «проходят» на Земном шаре соответствующие параллели.

Но истинность таких высказываний в проективной геометрии, что две параллельные прямые пересекаются в бесконечно удален ной точке и что через две бесконечно удаленные точки можно про Исключения составляют так называемые экзистенциальные высказы вания, в которых утверждается существование или несуществование, воз можность или невозможность тех или иных объектов (см. § 29). Указанное мнение о неосмысленности высказываний с пустыми терминами в каче стве логических подлежащих, разделяют не все логики. Существуют даже логически-дедуктивные теории, так называемые свободные логики (логики, свободные от экзистенциальных допущений), в которых допускаются вы сказывания (и выводы из них) именно с пустыми терминами и относящие ся к пустым областям предметов.

Поскольку возможны вообще рассуждения, оторванные от реальной деятельности, постольку имеет некоторое теоретическое значение описа ние их. Но по существу — это рассуждения, которые рождают лишь одни словосочетания из других. Они бесполезны как практически, так и теоре тически.

Иного рода системы представляют, например, так называемые силло гистические теории, в которых суждения с пустыми терминалами допуска ются наряду с обычными. При этом, стремясь придать таким суждениям некоторую осмысленность, сами авторы систем вводят конвенциальным образом те или иные критерии их истинности (см. § 36).

вести единственную прямую, а именно бесконечно удаленную, — это уже конвенциальные истины (то есть истины, при нимаемые по соглашению). Однако конвенция в составе системы утверждений и в соответствии с этой системой — это не просто произвол. А инструментальная роль таких идеальных объектов как бесконечно удаленные точки и бесконечно удаленная прямая состо ит в проективной геометрии лишь в том, чтобы придать общность основным утверждениям этой геометрии.

Это нужно для того, в частности, чтобы избегать таких, напри мер, оговорок для обычной эвклидовой геометрии, что общую точку имеют любые две прямые на плоскости кроме параллельных. Ана логична инструментальная роль таких идеальных объектов теории чисел и алгебры как мнимое число и комплексное число.

§ 13. Понятие признака. Виды признаков Наряду с множеством возможных предметов мысли су ществует также множество способов их мысленного выделе ния, обусловленное многообразием их возможных характе ристик. Речь идет прежде всего о некотором многообразии типов воз можных х а ра кт е рис т ик предметов или, как их принято называть в логике, типов признаков предметов. Знание этих типов позволяет, во-первых, уяснить многообразие мысленных способов выделения предметов (результатами такого выделения являются понятия), а, во-вторых, оно весьма существенно для понимания смыслов высказываний (суждений) о предметах.

Приз на ка ми в логике называют любые возможные характеристики предметов, все, что можно высказать о пред мете. В объектной действительности это все то, в чем одни предметы сходны между собой, другие — различны. Сход ство и различие предметов в самой действительности служат объектным основанием для отождествления и различения их по соответствующим признакам в процессе познания. При знаком может быть наличие или отсутствие у пред мета того или иного качества, свойства, состояния и т. п. или отношения предмета к другим предметам. Так, признаками металлов являются их кристалличность (качество), хорошая электропроводность (свойство), а также то, что они не явля ются сложными веществами (отсутствие качества);

призна ком Парижа является наличие у него такого отношения (к Франции как государству) как «быть столицей», а одним из признаков Лиона — отсутствие такого отношения.

Качественная определенность вещей позволяет характе ризовать их как некоторые системы признаков и мысленно выделять их таким образом, отличая от всего остального.

Каждый читатель без труда может, очевидно, указать множе ство характеристик своих друзей и известных ему предме тов, и при этом он заметит, что иногда характеристики сво дятся к наличию каких-то черт, а иногда — к их отсутствию.

В качестве упражнения предлагается здесь осуществить по добную процедуру хотя бы по отношению к самому себе, как наиболее знакомому для читателя предмету.

В истории философии и логики постоянно предпринима лись попытки выделения основных типов возможных харак теристик объектов. Аристотель, например, усматривал 10 ти пов таких характеристик, которые называл катег ория ми, а также предикабилиями: сущность или субстанция (че ловек, лошадь);

количество (в два локтя);

качество (белое);

отношение (двойное, большее);

место (на площади, в Ликее);

время (вчера);

положение (лежит, сидит);

состояние (обут);

действие (разрезает);

страдание (разрезается). Однако столь детальная дифференциация признаков едва ли необходима.

Перечень их у Аристотеля является к тому же неполным.

В современной логике все указанные характеристики, как и все другие характеристики отдельного предмета, обобщен но называют свойствами. Свойства, в данном широком смысле, то же самое, что признак, когда речь идет о характе ристиках именно отдельных предметов. Оно отличается от отношения, представляющего собой характеристику (при знак) не отдельного предмета, а характеристику некоторых систем — пар, троек, четверок, вообще, л-ок предметов. Тако вы отношения «брат», «отец», «сын», «находится между», «па раллельный» и т. п. Конечно, у читателя должен возникнуть вопрос, как же определить, что такое свойство и что такое от ношение? Ответ на этот вопрос можно дать, указав специфи ку представляющих их знаковых форм. Знаками свойств — в указанном широком смысле — являются о д но ме с т ные пре дика т ы. В формализованном языке — это вы сказывательные формы с одной свободной переменной1, то есть выражение типа: «город «твердый «электропро водник электропроводник «3 у отец {х, (свой ство быть отцом кого-то). В естественном языке формы тако го рода специально не выделяются, что затрудняет его приме нение для логического анализа. Однако при желании их мож но выделить, употребляя общие имена вместо специальных символов для переменных, при этом иногда с числовыми ин дексами для экземплификации предметов: «населенный пункт есть город», (мужчина), отец какого-то чело и т. п. Знаками отношений являются многоместные (двух-, трех- и т. д. — местные) предикаты, то есть высказыва формы более чем с одной свободной переменной.

Например, «столица (х, «мать (х, «отец (х, «нахо дится между у, z)» находится между у и z»).

В пределах введенного обобщенного понятия свойства полезно теперь выделить некоторые виды характеристик от дельных предметов (признаков данных предметов или, что то же, свойств предметов в широком смысле этого слова). Мы разделим при этом признаки отдельных предметов на про стые и сложные, а простые в свою очередь на положитель ные и отрицательные, атрибутивные и реляционные, пропо зициональные и предметно-функциональные. Среди послед них — выделим также характеристики качественного и ко личественного типа.

Простые и сложные признаки различаются по форме представляющих их предикатов. Простыми назовем та кие признаки, знаки которых (предикаты) не содержат логи ческих констант: &, v, В противном случае, признак называется сложным, например: «студент {х) & живет (х, Москва)» — человек явля ется студентом и живет в Москве;

«делится (х, 2) четно Следует различать предикаты и предикаторы. Последние являются составными частями предикатов (см. § 1, гл. III).

Ранее, в § 6 гл. II, мы характеризовали сами предикаторы как знаки ха рактеристик (свойств и отношений) предметов, а также знаки предметных функторов (характеристик предметно-функционального типа). Там име лись в виду характеристики общего плана — без соотнесения их к опреде ленным предметам. Здесь же рассматриваются типы характеристик имен но определенных, отдельных, данных предметов, и таким образом, — кон кретные формы таких применений. Все эти формы, как видно из рассмат риваемой классификации, представляют собой одноместные предикаты.

(х)» — число делится на 2 или не является четным. Ясно, что составляющие приведенных выражений являются простыми признаками (свойствами).

Дальнейшее деление признаков отдельных предметов осуществляется лишь для простых признаков.

Также по форме предикатов, представляющих простые признаки, делим их на положительные и отрицательные.

Признак называется положительным, если представ ляющий его предикат не содержит знаков отрицания (или содержит четное число таковых1). В противном случае — при наличии нечетного числа отрицаний — признак называ ется отрицательным. Например, столица (х, (где область значений х — города, а у — государства) — по ложительный признак;

в естественном языке — «город явля ется столицей некоторого государства». у столица {х, («город не является столицей какого-либо государства») — отрицательный признак.

Важное значение в процессе познания имеет различение атрибутивных и реляционных свойств (призна ков). Первые представляют собой характеристики предметов самих по себе, например, «является человеком», «жидкий», «способный», «неспособный» и т. п. Реляционные свойства указывают на наличие или отсутствие отношения данного предмета к каким-то другим предметам: «столица Кубы)», 3 у столица (х, («город является столицей Кубы», «город является столицей какого-нибудь государства»). Не трудно заметить, что одноместный предикат, который пред ставляет реляционное свойство, образуется из многоместно го — в последних двух случаях из предиката «столица {х, По закону логики — согласно которому эквивалентно Л — при наличии четного числа отрицаний в предикате все они могут быть исклю чены. А при наличии нечетного числа отрицаний можно исключить все, кроме одного.

Из предиката с некоторым числом мест более одного образуется пред икат с меньшим числом мест посредством устранения каких-то его свобод ных переменных. Устранить некоторую свободную переменную можно, либо связывая ее каким-то из кванторов, либо подставляя на места всех ее свободных вхождений в формулу имя какого-то предмета из области значе ний этой переменной (постоянного терма — терма, не содержащего пере менных). Из одноместного предиката таким образом получается высказыва ние (высказывание характеризуется иногда как ноль-местные предикаты).

Таким образом, реляционное свойство образуется всегда из некоторого отношения.

В другом плане, в зависимости от того, использованы ли для образования свойств пропозициональные или предмет но-функциональные характеристики ( 6, гл. мы получаем соответствующие им характеристики отдельных предметов и формы предикатов. Употребляя, например, предикаторы «ло гичный», «научный» (то есть характеристики пропозицио нального типа) можем образовать предикаты (признаки, свойства): «логично (где область значений х — рассуж дения;

в естественном языке — «рассуждение логично»);

«научно (возможные значения х — утверждения;

в есте ственном языке — «утверждение научно»). Читателю реко мендуется просмотреть примеры всех предшествующих де лений понятия признака для того, чтобы убедиться, что все они относятся к числу характеристик пропозиционального вида, то есть все они образованы из предикаторов — знаков свойств и отношений.

Используя теперь предметно-функциональные характери стики (знаки, представляющие собой предметные функто ры), например, «возраст» и «темперамент», получаем преди каты: «= (возраст 17 лет)»;

« (темперамент флегма тик»). Область х во всех случаях — люди. В естественном языке соответственно: «Возраст человека равен 17 годам», «по темпераменту человек относится к флегматикам». Обра тите внимание, что предикаты, образованные из предметно функциональных характеристик, представляют реляционные свойства. Все они образованы в конечном счете из двухмест ных предикаторов «больше», «меньше», «равно».

• Упражнение Образуйте простые одноместные предикаты, положитель ные и отрицательные, используя предметные функторы: пол, профессия, образование, местожительство, память (у челове ка), внимание, национальность, способность, рост, талант, партийность.

Здесь мы подошли к важному различению признаков: а именно к разделению признаков на такие, которые пред ставляют собой качественные характ ерист ики предметов и те, что являются ко л ич е с т в е нными характ е рист иками предметов. Эти различения име ют существенное значение в философии. В учении о диалек тике развития есть даже специальный закон «перехода коли чественных изменений в качественные», согласно которому всякое качественное изменение является результатом неко торого количественного изменения.

Количественные характеристики представляют предика ты, образованные из предметных функторов, значения кото рых допускают сравнения типа: «больше», «меньше», «рав но». Это значит, соответствующие этим характеристикам предикаты образованы посредством любого из этих отноше ний. При этом значения количественных предметных функ торов могут быть, и обычно являются, числа с некоторой размерностью или некоторые градации (степени) типа: сред ний, высокий, низкий — для характеристик роста, темпера туры;

высокая, низкая — для скоростей и т. п. Характеристи ки такого типа употребляются, в частности, в тех случаях, когда для значений соответствующих функторов не разрабо тана (или не применима по тем или иным причинам) проце дура измерения. Когда процедура разработана, функтор ста новится числовым. Функторы, представляющие количествен ные характеристики предметов, называются величинами.

Таким образом, признаки, представляющие собой коли чественные характеристики предметов, образуются с ис пользованием предметных функторов — величин (наряду с предикаторами «больше», «меньше», «равно»). Все другие, то есть не количественные характеристики, в том числе и про позициональные, называются качественными. Терми ны, представляющие собой величины, фиксируют и обоб щенно представляют такие именно стороны предметов, от носительно которых возможны указанные выше сравнения «больше», «меньше», «равно». Тогда как значения предмет но-функциональных терминов другого типа (националь ность, образование, пол, агрегатное состояние и т. п.) тако вы, что о них можно говорить только, что какой-то предмет обладает или не обладает этим свойством: человек — моск вич или не москвич;

мужчина или не мужчина;

образование у него высшее или не высшее. Аналогичным образом обсто ит дело относительно тех характеристик предметов, которые обозначают предикаторы: любая плоская, замкнутая фигура является квадратом или не является им;

дерево является хвойным или не является хвойным.

В философии среди качественных характеристик, кото рые представляют предикаторы, выделяют качества, с в ойс т в а (в узком смысле этого слова) и от ноше ния. В последнем случае имеется в виду отношение как ре ляционное свойство, то есть отношение не между какими-то предметами, а отношение данного предмета к каким-то пред метам.

Качеством называют нечто, присущее предмету са мому по себе (хотя оно возникло, возможно, в связи с други ми предметами). Качеством некоторого предмета является то, что он представляет собой металл, дерево, жидкость и т. п., а также то, что он имеет кристаллическое строение, что в его составе имеются свободные электроны (как у ме таллов). Свойство есть проявление некоторого качества во взаимодействии предмета с какими-либо другими предме тами. Так, наличие кристаллического строения у какого-либо вещества, то есть качества, проявляется при нагревании в том, что это вещество имеет определенную температуру плавления. Наличие свободных электронов при наличии электрического поля проявляется в том, что в веществе появ ляется электрический ток (поток электронов). Таким обра зом, наличие у вещества определенной температуры плавле ния, хорошая его электропроводность — это свойства. Точно так же цвет предмета есть его свойство, представляющее со бой проявление некоторого качества отражающей способно сти поверхности предмета, то есть проявляющееся во взаи модействии со световыми лучами. Качество иногда ризуют как структурное свойство предметов, однако это не всегда характеристика структурного характера. К качествен ным характеристикам человека относятся его характер, культурный и интеллектуальный уровень, наличие опреде ленных принципов и т. д., а свойствами, представляющими собой проявление указанных и иных качеств, являются, на пример, вежливость, честность, аккуратность и т. д.

Наконец, среди свойств — в указанном узком смысле этого слова — полезно выделить так называемые д и с п о зиционные предикаты. Это — способности пред метов вести себя определенным образом в определенных си туациях в силу некоторых имеющихся у них качеств. С по нятием диспозиционного предиката связывают обычно пред ставление о необходимости определенного поведения пред мета при определенных условиях (растворимое вещество необходимо растворяется при погружении в воду, упругое тело необходимо восстанавливает форму и размеры при устранении деформирующих его сил). «Спо собность» же предмета вести себя некоторым образом в определенных ситуациях может не исключать лишь возмож ность предмета вести себя определенным образом, но не не обходимо ведет себя так. Трусливый человек, например, мо жет при наличии опасности проявить малодушие, отступить перед нею, но не обязательно поведет себя таким образом.

В понятии свойства предмета подразумевается как необходи мость, так и возможность для этого предмета вести себя при определенных условиях определенным образом.

• Упражнение Определите, какие из характеристик предшествующего упражнения являются качественными, а какие — количес твенными. Обоснуйте свой ответ.

§ 14. Деление признаков по месту и роли в системе признаков. Сущность предметов До сих пор мы рассматривали виды признаков, имея в виду множество возможных признаков вообще. Однако можно говорить о множестве признаков того или иного кон кретного предмета или вида некоторых предметов (металлов, жидкостей, млекопитающих). Каждый предмет мыслится, во обще говоря, как некоторая субстанция. Однако его можно для некоторых научных целей рассматривать и как систему признаков (качеств, свойств, отношений, количественных характеристик). Более строго говоря, мы всегда имеем воз можность рассматривать предмет как систему (множество) известных — на данной ступени познания — признаков.

Среди таких признаков предмета прежде всего различаются случайные для него и неслучайные. Случайные обусловлены некоторыми внешними обстоятельствами и ни в какой мере не определяют качественную специфику пред мета. Случайными признаками металлов, например, являют ся наличие тех или иных примесей, та или иная их темпера тура в определенных ситуациях. То же можно сказать о воде. Для человека случайными могут быть — особенно при командно-бюрократической организации общества — то или иное его служебное положение, окружение и т. п.

Между неслучайными признаками существуют внутрен ние для данных предметов связи: одни из них обусловливают другие. Их множество представляет собой таким образом не которую систему. Для предметов некоторого вида, и тем бо лее для отдельных конкретных предметов, это множество бесконечно. Иное дело множество признаков этого рода, познанных на том или ином этапе развития знания. Оно всегда конечно, причем в определенных случаях — при от носительно завершенности процесса познания предметов на некотором этапе — это множество также представляет со бой определенную систему, по крайней мере когда речь идет о признаках некоторого вида предметов (вопрос о том, в какой мере это относится к признакам отдельных предметов, является для науки пока открытым). Одни при знаки здесь обусловливают другие, эти последние — третьи и т. д. В силу этих отношений субординации одни признаки системы можно охарактеризовать как более существенные, другие — как менее существенные.

Системами указанного типа являются, например, множе ства известных признаков металлов, жидкостей, признаков, характеризующих общественное устройство. Наличие ион ной кристаллической решетки у металлов обусловливает их ковкость, пластичность;

в силу наличия свободных электро нов в массе металла они являются хорошими проводниками электрического тока;

благодаря наличию кристаллического строения металлы, как и другие кристаллические вещества, имеют определенную температуру плавления.

Среди неслучайных признаков предметов можно выде лить совокупность некоторых наиболее существенных — основных признаков, обусловливающих все остальные, общие для данных предметов. Из этой совокупности, в соче тании с известными законами соответствующей области действительности, могут быть логически выведены все из вестные общие для данных предметов и неслучайные для них признаки, а для абстрактных объектов — в так называе мых полных теориях — вообще все признаки, общие для предметов вида.

• Совокупность основных существенных признаков того или иного вида конкретных предметов действительности называ ется их СУЩНОСТЬЮ.

Так, сущностью металлов, как химически простых ве ществ, является то, что они состоят из однородных атомов, а именно атомов с одним и тем же зарядом ядра, и атомы их обладают низким потенциалом ионизации, в силу чего легко теряют свои внешние электроны. Этим обусловлены общие для металлов химические свойства, особое строение их кристаллической решетки, хорошая электропроводность, пластичность и т. д.

Основным признаком общества (его сущностью) является господствующий в нем способ производства, характеризую щийся определенным уровнем развития производительных сил и типом производственных отношений, то есть тем, что называется экономическим базисом общества. Экономиче ский базис общества определяет характер господствующих в обществе политических взглядов, правовых отношений, идеологии, морали.

Сущность предметов некоторого качества (предметов не которого класса), выявленная на некотором уровне позна ния, является основой качественной специфики этих пред метов, но лишь в той мере, в какой эта специфика нам из вестна на данном этапе познания. Исходя из этой сущности мы можем объяснить известные общие, специфические для данных предметов (неслучайные) их признаки. В процессе дальнейшего развития знания о соответствующих предметах открываются новые качества, свойства предметов, отноше ния их к другим предметам, которые нельзя объяснить исхо дя из познанной сущности. В таком случае происходит — в результате поиска нужных объяснений — проникновение в «более глубокую» сущность предметов, открытие таких же признаков, исходя из которых могут быть объяснены все из вестные ранее и вновь открытые их особенности. Таким об разом, существуют сущности разных уровней или порядков.

В истории философии имело широкое распространение представление о том, что у предметов того или иного вида или даже отдельных предметов имеется некоторая абсолют ная сущность, основа всех его признаков. Эта «последняя сущность» должна быть, согласно этим представлениям, пределом познания соответствующих явлений. На такое по нимание наводит нередко встречающееся в философской литературе определение сущности как некоторого внутрен него содержания вещи, определяющего специфику ее много образных проявлений.

Однако исторический опыт развития знания указывает на другое, а именно на то, что сущность предмета в диалек тическом ее понимании — это есть лишь тот предел, до ко торого дошло познание предмета на данной ступени разви тия знания. Познание мира, как и отдельных его областей и явлений, есть бесконечный процесс углубления знания. А это означает, что сущность может быть менее и более глубо кой, и этим, в частности, объясняется смена одних теорий другими, — более высокого порядка.

Так, еще в недалеком прошлом свет в физике понимали как поток волн электромагнитного излучения определенного диапазона частоты. Но при этом не объяснялись некоторые открытые позже явления, например, явление фотоэффекта.

В настоящее время господствует уже корпускулярно-волно вая теория света, согласно которой свет представляет собой поток фотонов, обладающий как волновыми, так и корпуску лярными свойствами.

Окисление какого-либо вещества понималось до некото рых пор как присоединение к атомам данного вещества ато мов кислорода. В настоящее время этот механизм соедине ния атомов объясняется как результат взаимодействия внеш них электронов атомов. Вообще на некотором этапе от пони мания химических реакций как взаимодействий между ато мами веществ произошел переход к пониманию их как вза имодействия внешних электронов и образующихся при этом ионов веществ.

Совокупность основных, существенных признаков может быть выделена также, по-видимому, в любом случае, в мно жестве признаков, общих для абстрактных предметов того или иного вида, — геометрических фигур, чисел, алгебраи ческих систем и т. п. Для ромбов, например, это то, что ука зывается в определении фигур этого вида (и соответственно в содержании понятия ромба): плоская геометрическая фи гура, замкнутая, ограниченная четырьмя сторонами, все сто роны которой равны. В аксиоматической теории алгебраи ческих систем того или иного вида (теории групп, булевой алгебры и т. д. и вообще в теории некоторой структуры, на пример, в геометрии, как математической, формальной тео рии) эту совокупность признаков (и соответственно содер жание понятия рассматриваемой структуры) представляет множество аксиом. Однако эту совокупность признаков не правомерно, видимо, рассматривать как сущность структуры соответствующего вида, поскольку для одного и того же множества признаков, общих для структур некоторого вида, существует, вообще говоря, не одна такая совокупность. Так вместо указанной совокупности, основных существенных признаков ромба может быть другая, получающаяся из нее заменой признака «равносторонняя фигура» на «фигура, диагонали которой взаимно перпендикулярны и в точке пе ресечения делятся пополам». Известно также, что существу ют эквивалентные теории с различными составами аксиом.

Неестественно, конечно, было бы считать, что объекты одно го и того же типа имеют на одном и том же уровне позна ния различные сущности.

Специфическими являются случаи, когда дело касается предметов, созданных людьми для тех или иных определен ных целей. Обычно сущность такого рода предметов усмат ривают именно в их назначении, что отражается в определе ниях. Часы — это прибор, с помощью которого можно от считывать время;

термометр — прибор, служащий для изме рения температуры, и т. д. Назначением предмета определя ются и все его другие качества. Это и служит причиной того, что оно принимается за сущность. Хотя верно и другое: бла годаря наличию определенных качеств (особому устройству) та или иная вещь выполняет определенные функции. Качест ва вещи, предназначенной для определенной цели, вытекают из ее назначения логически. Способность же вещи служить определенной цели обусловлена ее качеством фактически, как действие — причиной. Но поскольку человек мысленно конструирует вещь прежде, чем создает ее, и при этом выво дит все ее качества именно из предназначения вещи, то это последнее оказывается решающим. Здесь, как видим, сущ ность вещей определяется практическими потребностями людей. Но это не указывает на субъективный характер дан ного понятия, поскольку сами вещи, которые здесь имеются в виду, создаются людьми именно для удовлетворения своих потребностей.

В любом случае основные существенные признаки пред метов некоторого вида составляют основу их качественной специфики, поскольку они обусловливают все другие общие и, в совокупности, специфические для данных предметов признаки. В случае конкретных предметов действительности обусловленность имеет причинный или целевой характер, в случае абстрактных объектов — структурный или функцио нальный характер. Но в том и другом случае из совокупно сти указанных основных признаков в сочетании с законами данной области действительности все другие неслучайные признаки предметов выводимы логически.

Сущность предметов того или иного вида составляют обычно признаки, недоступные наблюдению. Они выявляют ся теоретическим способом именно в результате построения и обоснования теории, объясняющей известные признаки изучаемых предметов. Кстати, именно в процессе построе ния такой теории прежде всего происходит отделение неслу чайных признаков от случайных. Случайные выделяются тем, что не поддаются объяснению и не вписываются в воз никающую при построении теории систему.

Еще в XVIII веке возник, например, вопрос о сущности воды. Речь шла именно о том, как объяснить известные в то время общие для всех случаев существования воды ее свой ства. Основой обобщения всех этих случаев под общим на званием — именем «вода» — являлось первоначально прак тическое использование воды и связанная с этим обобщени ем интуиция. Как обычно при построении теории возникло несколько гипотез. Одна из них, которая затем получила тео ретическое и экспериментальное подтверждение и стала об щепризнанной, — гипотеза Лавуазье о том, что вода есть хи мическое соединение кислорода и водорода. Эксперимен тальным подтверждением оказалось получение воды из «гре мучего газа». При этом как раз выяснилось, что наблюдае мые в различных случаях примеси воды не связаны с ее сущностью, то есть представляют собой случайные призна ки. Углублением знания сущности воды, указанной Лавуазье, стало в дальнейшем понимание того, что вода есть химиче ски сложное вещество, молекулы которого состоят из двух атомов водорода и одного атома кислорода. При этом уда лось объяснить и такое примечательное свойство воды, как сжатие ее при нагревании от 0°С до 4°С, обусловленное пе рестройкой молекулярной структуры воды в этом темпера турном промежутке.

Итак, в системе познанных признаков некоторого вида выделяются: 1) основные, существенные признаки для конкретных предметов действительности, составляющие их сущность;

2) произ водные — обусловленные основ ными, а также 3) случайные признаки. Явно несостоя тельным является также определение в философской и логи ческой литературе сущности предмета как того, что необхо димо принадлежит предмету, без чего он не может сущест вовать, не может быть тем, что он есть. Попытка применить его практически обнаруживает даже, что оно содержит скрытый круг. Попробуем, например, руководствуясь им, выделить существенные признаки квадрата. Для этого нужно установить, без каких признаков ту или иную фигуру нельзя отнести к квадратам. Но это уже требует знания существен ных признаков квадрата. Мы не назвали бы квадратом, на пример, четырехугольник, углы которого не являются пря мыми, а стороны равными, но именно потому, что знаем, что эти признаки являются существенными для квадрата.

Вообще, для решения вопроса о том, без каких признаков предмет не был бы тем, что он есть, надо знать, чем именно этот предмет является, какими существенными признаками выделяется из числа других предметов.

Если сущность предмета выявлена, то оказывается, что одни признаки необходимо принадлежат ему, потому что вы текают из сущности, другие являются случайными, потому что не связаны с нею. Из определения квадрата как прямоу гольного и равностороннего четырехугольника с необходи мостью что диагонали его равны, что они образуют со сторонами квадрата равные углы, что при пересечении их образуются равные треугольники и т. д. Все эти признаки необходимо принадлежат квадрату. Но, поскольку основные определяющие признаки не выводятся из чего-либо, не ясно, какой смысл может иметь утверждение об их необходимой принадлежности квадрату. Они могут быть необходимы лишь в том смысле, что необходимо обусловленным было по явление самих предметов данного качества, но это обуслов ленность какими-то внешними обстоятельствами, а не внут ри самого предмета.

Столь же не ясно, что имеют в виду, когда говорят, что без существенных признаков предмет «не может существо вать», если речь идет о предметах, уже существующих или существовавших. Если же объектом мысли является пред мет, который предполагается создать, например, корабль для межпланетных путешествий, то здесь имеет смысл обсуж дать вопрос не о том, без каких признаков предмет не смо жет существовать, а о том, без чего он не будет соответство вать своему назначению. Но сущность предмета составляют здесь скорее не эти признаки, а, как уже говорилось, само назначение предмета. Сущность шахматного коня, напри мер, состоит в его роли в игре, определяемой установленны ми для него правилами.

От введенного понятия существенности того или иного признака, в котором имеется в виду в определенной мере безотносительная существенность, то есть существенность для самого предмета, надо отличать относительную суще ственность. Относительно существенным яв ляется признак, который обусловливает тот или иной харак тер взаимодействия предмета с другими предметами, тот или иной способ его использования, например, в практической деятельности. Так, особенность воды, состоящая в том, что она имеет максимальную плотность при 4°С, существенна для нее как среды обитания водных животных. В силу имен но этой особенности воды в холодное время года вода в во доемах обычно не промерзает до дна, благодаря чему на дне водоемов сохраняется жизнь обитателей водных бассейнов.

В этом смысле многие признаки, не существенные для самих предметов, существенны для использования этих предметов человеком. Пластичность, гибкость меди при особенно хоро шей ее электропроводности существенны при использова нии ее в качестве электропроводов. При выборе артиста на некоторую роль существенны рост, фигура, а также то, явля ется ли он брюнетом или блондином.

Результатом того, что относительно существенные при знаки не отличают часто от признаков, существенных для предметов — того или иного качества — самих по себе, яв ляется распространенное в философской литературе мнение об относительности существенного и в том числе сущности вообще.

Один из наиболее видных представителей логики прагма тического направления Ф. Шиллер, писал, что «сущность», которую пытается установить каждое определение, является просто пунктом, который важно выяснить для данного вре мени» (в связи с данной целью, ради которой рассматривает ся предмет). «Отсюда следует, что сущности и определения вещей являются неизбежно множественными, изменчивыми, относительными...»1. Так, например, по Шиллеру, нет сущ ности человека как таковой. Каждый может ее усмотреть в различном в зависимости от того, с какой стороны его инте ресует человек. «Для теолога сущностью человека является то, что он имеет душу;

для врача — то, что он имеет тело;

для повара — что он имеет желудок. Все эти определения за кономерны... с различных точек зрения. Для существования человека одинаково существенно и то, что он делает деньги, и то, что он может любить? За сущность предмета люди принимают обычно, по мне нию Шиллера, то, что в нем больше всего бросается в глаза или является наиболее важным с точки зрения потребностей людей.

Следует иметь в виду, что в истории логики и философии слово «сущность» употреблялось и в смысле «нечто», «вещь», «предмет», «некая субстанция» (объект мысли).

В этом смысле Аристотель говорил о первых и вторых сущ ностях. (Первая сущность — отдельная вещь. Вторичные сущности — это так называемые универсалии — нечто, обозначаемое общими именами: «лошадь», «человек», «дере во» и т.д.) Если в этом смысле про вещь говорят, что она есть некая сущность, то, понимая сущность как основу ка чественной специфики вещи, правомерно поставить вопрос:

«Какова сущность этой сущности?», например, «Какова сущ ность человека?».

Schiller Formal Logic. — London, — P. 70.

Там же. — P. 54.

Глава V ПОНЯТИЕ КАК ФОРМА МЫШЛЕНИЯ §15. Понятие как форма мышления.

Общая характеристика Понятие обычно определяют как одну из основных форм этим подчёркивается важная роль его в позна нии. Переход от чувственной ступени познания к абстракт ному мышлению характеризуется прежде всего как переход от отражения мира в формах ощущений, восприятий и пред ставлений к отражению его в понятиях и на их основе в суждениях и теориях. Мышление, таким образом, может рассматриваться как процесс оперирования понятиями.

Именно благодаря понятиям мышление приобретает харак тер обобщенного отражения действительности.

Мышление, а именно абстрактное мышление, как мы уже определили, — это отражение действительности посред ством языка. Наиболее существенным моментом, определяю щим возможность познания действительности с помощью языка, является обобщение предметов некоторого класса, вида (например, животных, растений, металлов и т. д.) и мысленное выделение их при этом. Результатам таких обоб щений, по крайней мере, в нетривиальных случаях (когда предметы не могут быть отображены в чувственных обра зах) являются именно понятия. Более того, применение по нятий в мышлении необходимо всегда, когда к мышлению предъявляются требования определенности, точности и осо бенно доказательности. Специфика этой формы мышления состоит в том, что она прежде всего представляет собой ре зультат мысленного и, значит, словесно-языкового выделе ния предметов некоторого класса, то есть предметов, качест венно сходных в каком-то отношении. Выделение осуще ствляется по определенной совокупности признаков, отличи тельной для данных предметов, такой, что все признаки дан ной совокупности вместе достаточны, чтобы отличить эти предметы от всех остальных. Это означает, что каждый при знак из этой совокупности необходим для выделения данно го класса. Для выделения, например, класса студентов ис пользуются признаки: «человек», «учащийся», притом «уча щийся высшего или среднего специального гражданского учебного заведения». Аналогично «материальный предмет, который в процессах мышления и общения людей является представителем каких-либо других объектов» (знак), «целое положительное число, отличное от единицы и имеющее ров но два различных делителя» (простое число) и т. п. Но, для того чтобы выделить класс предметов по какой-то совокуп ности признаков, необходимо обобщить данные предметы по этим признакам. Обобщение состоит в том, что мы отвлека емся от всех индивидуальных и иных различий внутри клас са, от того, например, что есть студенты технических и гума нитарных вузов, есть хорошо и плохо успевающие и т. п.

В результате предметы мыслятся абстрактно: только как об ладающие указанной отличительной совокупностью призна ков. Таким образом, мы имеем мысленное образование: «Че ловек, являющийся учащимся высшего или среднего специ ального гражданского учебного заведения».

В силу обобщенного характера отражения предметов в понятии они мыслятся в понятии всегда в той или иной мере абстрактно. Но это не означает, как часто представляется, что сами мыслимые в них предметы всегда суть некоторые абстракции и что именно эти абстракции, а не конкретные предметы действительности являются объектом изучения науки. Верно, что в каждом понятии мы мыслим те или иные предметы в той или иной мере абстрактно, но использу ем понятия для утверждения о конкретных, обобщенных в них предметах. В понятиях: «металл», «растения», «атомы» и т. п. — имеются в виду в качестве элементов объема неко торые предметы действительности. Когда мы утверждаем, что все студенты обязаны сдавать экзамены, то, конечно, от носим эту обязанность к конкретным людям, а не к неким абстрактным объектам. Лишь в некоторых случаях предмета ми понятий являются те или иные идеализированные пред меты действительности («абсолютно упругая жидкость», «идеальный газ», «материальная точка» и т. п.);

идеальные предметы («земной меридиан», «сила»), абстрактные объек ты (характеристики реальных предметов или множеств пред метов, отвлеченные от них и ставшие самостоятельными объектами мысли, результаты изолирующего абстрагирова ния — пространство, время, упругость, числа, геометричес кие фигуры и т. п.) и, конечно, — в соответствии с широким пониманием термина «предмет» — предметами понятия, эле ментами его объема могут быть также и явления, события, процессы (восход солнца, революция, перестройка, механи ческое движение и т. п.).

Подводя итог изложенному, можно сказать, что понятие как форма мысли, или как мысленное образование, есть результат обобщения предметов некоторого вида и мыслен ного выделения соответствующего (множества) по определенной совокупности общих для предметов этого класса — совокупности отличительных для них — при знаков.

Характеристика понятия как формы познания, как спосо ба мыслительной деятельности явствует из данного опреде ления. Это — способ мысленного выделения классов предме тов посредством обобщения этих предметов. Этот процесс включает, как правило, более или менее широкое множество приемов познания. Наибольшую ценность в познании пред ставляют собой понятия, в которых предметы обобщаются по существенным признакам. Однако с гносеологической точки зрения мысль представляет собой понятие независимо от того, насколько существенными являются признаки, со ставляющие основу обобщения предметов, тем более, что для предметов одного и того же класса возможны, как мы уже говорили, и менее и более существенные признаки, су щественные для характеристики самих этих предметов или с какой-то точки зрения в связи с тем или иным использова нием предметов (см. § 14).

Понятие в строгом и не в строгом смысле. В гл. II отме чалось, что общие (как и единичные) имена употребляются интуитивно более или менее точно и без осознания того, по каким именно признакам выделяются или могут быть выде лены обозначаемые ими предметы. В этом случае не выявлен смысл соответствующих общих имен, а следовательно, стро го говоря, они не выражают понятий. Так, человек может словами «дерево», «человек», «болезнь», не умея отвечать на вопрос, что именно он имеет в виду, какие признаки специфичны для мыслимых здесь предметов. В од них случаях подобного рода со словами связываются лишь некоторые более или менее четкие представления (чувствен ные интуиции) и через посредство именно этих представле ний осуществляется связь слов с предметами действительно сти. В других — некоторые интеллектуальные интуиции, воз никшие в процессе усвоения языка. Первоначальной осно вой указанных интуитивных связей имен с обозначаемыми ими предметами является совместная практическая деятель ность людей и, конечно, общение их в процессе деятельно сти. Люди выделяют предметы некоторых классов и дают им общие названия благодаря способности этих предметов удовлетворять их определенные потребности.

В практике научного познания понятиями называют и те абстракции, которые представляют интуитивно употребляе мые имена. Таким образом, термин «понятие» употребляется в более широком, чем указано выше, смысле. Так, говорят, например, «дерево» — это понятие, «человек» — это поня тие, независимо от того, связываются или нет с этими слова ми знания о том, что представляют собой обозначаемые ими предметы, выделены ли в этих предметах те признаки, кото рые составляют основу их обобщения, или же имеются лишь более или менее ясные, нерасчлененные интуиции.

Иначе говоря, в этом значении термина назы вают просто любой предмет, ставший объектом мысли (сле довательно, названный и мыслимый в той или иной степени абстрактности). Часто в философии прошлого, для этого употреблялся термин «идея». Например, Д. Локк, используя этот термин, указывает, что под ним подразумевается «все, что является объектом мышления человека»1. Оперируя та ким понятием, человек может не иметь о нем понятия. Это парадоксальное на первый взгляд утверждение означает лишь то, что дважды употребленный в этой фразе термин «понятие» имеет в одном и другом случаях разные значения.

Локк Д. Избранные философские произведения: В 2 т. — М., 1960. — Т. 1. — С. 75.

Так, А. И. Герцен в письме «Эмпирия и идеализм» говорит о существовании в науках понятий, которые еще не понятны1.

Однако во всех случаях, где необходимо точное понимание смыслов утверждений, и особенно если возникает надо бность в доказательствах наших высказываний, мы не мо жем ограничиваться интуициями. В подобных ситуациях не обходимы понятия в строгом смысле этого слова, которых мы и будем придерживаться.

§ 16. Логическая структура и основные характеристики понятия Совокупность признаков, по которым обобщаются пред меты в понятии, называется содержанием данного по нятия, точнее было бы сказать основным содержа нием. Далее, мы будем различать основное и пол ное содержание понятия и в связи с этим различать само понятие просто как охарактеризованное выше обобщение предметов, то есть как смысл общего имени и как некото рую систему знаний. При корректном способе образования понятия основное содержание его — это совокупность при знаков, которые все вместе достаточны, а каждый необхо дим для того, чтобы выделить данный класс предметов, то есть отличить эти предметы от других. Например, добав ление перпендикулярности диагонали к содержанию указан ного понятия квадрата делает совокупность избыточной;

дан ный признак является производным — выводимым из основ ного содержания понятия квадрата. Класс обобщаемых в по нятии предметов называется его объемом. Мыслимые (обобщаемые в понятии) предметы — носители признаков, составляющих содержание понятия, — суть элементы объ ема этого понятия. Части объема — это виды предме тов, обобщенных в понятии, и выделение их означает выяв ление определенных различий внутри класса предметов.

Обобщая предметы в понятиях, как было сказано, мы отвле каемся от всяких различий внутри соответствующего класса предметов. Но когда понятие образовано, возникает обычно Герцен А. И. Избранные философские произведения. — 1948.

С. 93.

необходимость выявления их уже на основе полученного обобщения. Это выявление осуществляется в форме особой операции, называемой делением понятия, и представ ляет собой определенную конкретизацию данного понятия.

Утверждение о том, что некоторый предмет а составляет элемент класса К, представляющий объем некоторого поня тия, записывается в виде а Е К (Е — знак отношения принад лежности предмета классу). Обозначением утверждения о том, что некоторый класс предметов является частью (под множеством) некоторого класса К служит: К. « с » — знак включения класса в класс, когда и К различны;

когда же не исключается, что совпадает с К, употребляется знак Имеется связь между этими отношениями: утверждение Ясно, что если а Е К, где К — объем некоторого понятия, то а обладает всеми признаками, составляющими содержа ние этого понятия и наоборот.

Выше была указана совокупность признаков, составляю щая содержание понятия «студент». Объем этого понятия есть класс всех людей, обладающих этими признаками, то есть класс всех тех, кого мы называем студентами. Отдель ные люди этого множества — элементы его объема. Частями объема являются, например, множество студентов техниче ских вузов, а также гуманитарных, множество студентов вы пускников и начинающих обучение и т. д. Следует обратить внимание на то, что объем понятия в отличие от содержания понятия не является частью понятия как мысли. Он пред ставляет собой класс реально или, по крайней мере, симо от понятия существующих объектов. Указание на объ ем понятия при его характеристике есть указание именно на то, к чему относится данное понятие, на то, что обобщается в нем.

Для понимания структуры понятия существенно учиты вать, что выделение мыслимого в нем множества предметов осуществляется всегда в пределах некоторого более широко го класса. Интересующие нас предметы мы мыслим в поня тии как вид предметов некоторого рода, как нечто особенное в пределах чего-то общего. Так, треугольники мыслятся как знак равносильности.

вид плоских геометрических фигур;

механическое движе ние — как вид изменения (именно изменение положе ния тела в пространстве), деревья — как вид растений;

хоз расчет — как вид способов (методов) ведения хозяйства и т. д. В соответствии с этим среди признаков, составляю щих содержание понятия, выделяются родовые и те, что составляют видовые отличия мыслимых в понятии пред метов. Так, например, в формулировке понятия квадрата:

«Четырехугольник с прямыми углами и равными сторонами» или более развернуто: «Плоская, замкнутая, ограниченная четырьмя равными сторонами фигура, все стороны которой равны и углы прямые» — слова «плоская, замкнутая, ограни ченная четырьмя сторонами фигура» указывают родовые признаки понятия, а «прямоугольность» и «равносторон ность» составляют видимое отличие «квадрата», именно то, что выделяет квадраты в множестве четырехугольных гео метрических фигур. Род понятия составляет субстанционная часть, а видовое отличие — его атрибутивная часть.

Вместе с тем указанное разделение признаков на родо вые и видовые не является абсолютным. В зависимости от задач, с которыми связано образование понятия, в качестве рода может быть взят один или другой, более широкий класс. Те же квадраты мы можем мыслить и как вид четы рехугольников, и как вид замкнутых плоских геометриче ских фигур, относя «четырехугольность» в таком случае к видовому их отличию, а также вид геометрических фигур вообще. В каждом из указанных случаев мы получим различ ные понятия об одних и тех же предметах, более того, воз можно обобщение одних и тех же предметов в различных понятиях по различным совокупностям признаков вообще.

Металлы, например, можно мыслить как химически простые вещества с особой, ионной, кристаллической решеткой или как химически простые вещества, атомы которых обладают низким коэффициентом ионизации. Один и тот же класс треугольников может быть обобщен в понятиях «равносто ронний треугольник» и «равноугольный треугольник».

Надо иметь также в виду, что элементами объема поня тия могут быть отдельные предметы (индивиды) и некоторые системы объектов: пары, тройки и т. д. Например, в поняти ях «изотопы», «братья», «родственники» мыслятся некото рые пары этих предметов, обобщаемые по признакам, пред ставляющим собой двухместное отношение: «изотоп», «брат», «родственник» и т. д. Вообще, элементами объема по нятия могут быть системы, представляющие собой некото рые множества предметов с заданными на них отношениями (в математике называемых структурами). Таковы, например, группы, составляющие предмет теории групп, решетки, буле вы алгебры и т. д.

Необходимо заметить также, что совокупность призна ков, составляющих видовое отличие понятия, можно и по лезно мыслить как некоторый один признак, объединяющий все признаки в конъюнкцию. В таком случае видовое отли чие представляется в виде некоторого предиката — либо од номестного, либо многоместного, — в зависимости от того, являются ли элементами объема понятия индивиды или сис темы предметов.

Учитывая это, для выражения видовых отличий понятий можно использовать язык логики предикатов. Если при этом видовое отличие представляет одноместный предикат А(х), то структура понятия может быть представлена в виде хА[х).

Родовые признаки понятия в таком случае составляют ха рактеристику области D — возможных значений перемен ной х, а все выражение означает: «предмет х из об ласти D такой, что он обладает признаком А(х)». Например, «плоская геометрическая фигура, замкнутая, ограниченная четырьмя сторонами, имеющая равные стороны и прямые углы» (квадрат) можно представить в виде: хА{х), где область х — множество плоских геометрических фигур, а А(х) есть конъюнкция признаков: замкнутая, ограниченная четырьмя сторонами, имеющая равные стороны и прямые углы.

Понятие «изотопы» будет нами представлено в виде:

{х, у) А(х, у). Область х и у — химические элементы, а А{х, у) означает: заряд ядра атома х равен заряду ядра у. С лингвис тической точки зрения выражение хА{х), как и у) А(х, у) и (х, у, г) А у, представляют собой описательные общие имена. На их основе могут быть образованы единичные опи сательные имена с использованием оператора « ?» («тот..., который...»): если объем понятия хА{х) является единичным классом, то правомерно образовать единичное имя — ?хА(х) (тот предмет х из области D, который обладает свойством А(х)). Например, из общего понятия «небесное тело (D), вращающееся вокруг Солнца и являющееся ближайшим к Солнцу образуем: «то небесное тело, которое враща ется вокруг Солнца и является ближайшим к нему». Это описательное единичное имя планеты Меркурий. Смысл еди ничного описательного имени 7хА{х) — это своеобразное по нятие, которое в отличие от общего понятия хА(х) содержит дополнительную информацию о мыслимом предмете, о том, что этот предмет является единственным обладателем свой ства А{х). Такие понятия принято называть ми концептами.

• Упражнения 1. Проанализируйте следующие понятия (укажите содер жание, объем, какие-нибудь элементы и части — если мож но выделить таковые — объема, выделите родовые признаки и признаки, составляющие видовое отличие):

а) слово, обозначающее какое-нибудь действие или состо яние;

б) самый большой город Кубы;

в) город, который является столицей какого-нибудь госу дарства;

г) город, который является столицей Китая.

2. Укажите, из каких вышеприведенных понятий можно (осмысленным образом) образовать описательные единич ные имена. Образуйте такие имена.

3. Сформулируйте какие-нибудь понятия, относящиеся к физике, химии, географии, истории, литературе, и осуще ствите их анализ.

§ 17. Слово и понятие. Понятие и представление Как и всякая мысль, понятие выражается в определенной знаковой форме. Непосредственно такими формами в есте ственном языке являются общие описательные имена. Обыч но вместо них используются всякого рода сокращения («сту дент», «треугольник»). Понятия составляют смысл имен та кого рода и в силу указанной их функции — мысленного вы деления предметов — связывают эти имена с теми объекта ми, которые они должны представлять как знаки языка в процессах коммуникации и мышления.

Напомним, что смысл является категорией семиотики, конкретнее — семантики, и представляет собой одну из ха рактеристик знаков. Говоря о понятии, мы выходим за пред елы теории знаков, рассматривая понятие не как некоторую характеристику знаков, а как определенную форму отраже ния действительности на ступени абстрактного мышления, то есть на ступени познания действительности с помощью языка. То, что в семантике называется смыслами знаков, представляет собой определенные мысленные образования, результаты определенной мысленной переработки предметов действительности и фиксации их в языке. В этих образова ниях, как увидим далее, весьма различных по своим структу рам, находит выражение своеобразие и многообразие форм мыслительной, познавательной деятельности человека. В свя зи с вопросом о соотношении знаковой формы понятия и сокращающих слов следует различать два типа ситуаций.

1. В процессе той или иной научной деятельности или в повседневной жизни человек вводит некоторые понятия, вы деляя интересующий его класс предметов, и затем подбирает какое-нибудь сокращающее слово — общее имя для этих предметов.

2. Имеется уже более или менее точно интуитивно упот ребляемое в научном или повседневном обиходе некоторое имя, обозначающее предметы некоторого класса, и затем об разуется понятие о соответствующих предметах, отвечаю щее на вопрос, что представляют собой эти предметы. (Опе рацию такого рода называют «реальным» определением тер мина.) В первом случае понятие может быть сформулировано на основе нескольких или даже единичного наблюдаемого слу чая. Так, обнаружение вначале лишь одного химически про стого вещества — радия — с самораспадающимися атомами послужило основанием для создания общего понятия «ра диоактивное вещество».

Возможно даже, и часто это происходит в фундаменталь ной науке, образование понятий о предметах, существование которых только предполагается или допускается как возмож ное. На основе знания, например;

того, что атомы известных химически простых веществ состоят из положительно заря женного ядра и вращающихся вокруг него отрицательных частиц — электронов, ученые предположили возможность существования частиц, устроенных «наоборот», а именно со стоящих из отрицательно заряженного ядра и вращающихся вокруг него положительно заряженных частиц — позитро нов. Так возникло общее понятие антиатома.

Ясно, что объем образованного таким образом понятия может оказаться пустым. Впрочем, в науке вводятся и ис пользуются для определенных целей понятия и с пустыми объемами: например, понятие «вечный двигатель» (и даже вечный двигатель первого рода и второго рода). Оно приме няется для формулировки определенных законов термодина мики, а именно как раз для утверждения о невозможности вечного двигателя (как первого, так и второго рода).

Как правило, понятие является результатом сложного процесса мыслительной деятельности. В случаях же второго типа дело осложняется часто еще недостаточной четкостью предметных значений употребляемых слов, как знаков. Про цесс образования понятий здесь сочетается обычно с уточ нением этого значения путем просмотра того, в каких имен но контекстах (или, как бы сказал Витгенштейн, по каким правилам) употребляется слово в данном сообществе. Как правило, при этом выявляется даже многозначность употреб ления того или иного слова, например, слова «игра» как обо значение имитации некоторой деятельности ради удоволь ствия — детские игры, или отработки приемов некой дея тельности, или состязаний, или действий актеров и т. д.

И довольно неясно до сих пор, возможно ли некоторое обоб щение, по существу, всех этих отдельных ситуаций в едином понятии. Аналогичным образом дело обстоит со словом «бо лезнь» и многими другими.

Понятие и представление. Как уже отмечалось, обобщае мые в понятиях предметы первоначально могут быть даны в представлениях. Для класса чувственно воспринимаемых предметов возможны даже некоторые общие представления, некоторые «усредненные» образы этих предметов (напри мер, можно иметь некоторый «недетализированный» образ дерева, человека). Однако едва ли возможны подобные спо собы воспроизведения в сознании таких предметов, как рас тения, организмы, и тем более объектов, не относящихся к чувственно воспринимаемым («искривленное пространство», «свет», «электромагнитное поле» и т. п.).

С одной стороны, представления ближе к действительно сти, предметы отражаются в них в более или менее цельном, естественном виде. Понятие представляет собой в некотором роде схематическое, но, как правило, более глубокое отобра жение предметов. Отображение действительности в поняти ях обеспечивает неограниченные возможности познания действительности. Существенно в этом отношении то, что представления субъективны, а понятия и силу их фиксации в языке интерсубъективны. Представление более или менее конкретно, понятие абстрактно.

Однако и оперирование понятиями в той или иной мере связано с представлениями. Расчленяя в понятии предметы и явления на признаки, мы связываем, в свою очередь, обычно сами эти признаки с некоторыми представлениями. И даже имея дело с сугубо абстрактными предметами, человек стре мится ввести в свои рассуждения элементы наглядности, конструируя для этой цели некоторые представления — на глядные модели абстрактных объектов.

§ 18. Основные приемы образования понятий.

Значение понятий в познании Понятия — это результат более или менее сложной мыс лительной деятельности. В этой деятельности можно лить следующие наиболее важные и общие приемы.

Анализ предметов, данных в представлении, — разло жение их на отдельные признаки, выявление их связей и от ношений с другими предметами. Синтез — воспроизве дение предметов, расчлененных в процессе анализа на от дельные признаки, представляющее их как систему выделен ных свойств и отношений. Сравнение — выявление сходств и различий между предметами. Обобщение — объединение в одной мысли под одной знаковой формой множества предметов по сходным их чертам. Обобщение связано, как уже было замечено, с процессом абстраги рования.

Полезно напомнить читателю три вида абстрагирования.

Один из них состоит в том, что в предмете выделяются ка кие-то признаки, а все другие остаются за пределами внима ния. Другими словами, происходит отвлечение от всех дру гих признаков. Результат применения такого приема есть аб страктно мыслимый, характеризуемый лишь некоторой со вокупностью выделенных признаков предмет. Именно этот прием неразрывно связан с обобщением предметов некото рого класса и поэтому может быть назван обобщающе различающим абстрагированием.

Второй вид — отождествляющее абстраги рование. Прием состоит в том, что, выделяя некоторые признаки предмета, мы игнорируем все остальные как несу щественные с той или иной точки зрения. Это ведет к ото ждествлению всех предметов, обладающих выделенными признаками. Таким образом, например, выделяя те или иные слова по их структуре, мы игнорируем все различия, связан ные с их написанием или произношением, и рассматриваем все случаи употребления слова одной и той же структуры как различные экземпляры одного и того же слова.

И наконец, имеется так называемое изолирующее абстрагирование, состоящее в том, что отдельные признаки предметов, отдельные их характеристики мыслен но отделяются от самих предметов и становятся самостоя тельными предметами мысли. Результатом таких процессов являются так называемые абстрактные объекты и понятия:

«фигура», «качество», «количество», «талант», «объем», «дли на» и пр.

Следует различать (часто смешиваемые) такие приемы познания, как обобщающее абстрагирование и идеали зация. Идеализация состоит в том, что, имея в виду неко торые предельные случаи (предел уменьшения трения, уве личение упругости и т. д.), мы либо мысленно наделяем пред меты какими-то свойствами, которых они в действительно сти не имеют (например, физические тела — способностью восстанавливать при деформации свой объем или форму, в результате чего появляются понятия типа «идеально упругое тело» или «идеальная жидкость»), либо лишаем их каких-то свойств, которыми они в действительности обладают. Так возникают в нашем сознании «безразмерные» точки, линии, лишенные ширины, «идеальный газ» (молекулы которого при соударениях ведут себя как абсолютно упругие шарики).

Обобщенно говорят, что понятие является результатом ана лиза мыслимых в нем предметов.

• Итак, в понятии выделяются некоторые классы предметов по средством обобщения этих предметов. Результаты таких выде лений в понятиях представляют определенные «узлы» в поз наний, вокруг которых концентрируются все наши знания.

Так в процессе познания мы постоянно накапливаем зна ния о животных и растениях (и различных видах тех и дру гих), о металлах и металлоидах, об энергии и механическом движении, о государстве и классовой борьбе, о теплоте, электричестве, магнетизме и т. д., имея каждый раз в основе той или иной системы знаний определенные понятия. Су щественную роль играют понятия в формулировке законов науки, которые представляют собой, как известно, общие утверждения, относящиеся к тем или иным класса предме тов, обобщенных в понятиях. «Во всякой замкнутой системе энтропия возрастает» — это предложение имеет определен ный смысл и только в этом случае может быть истолковано как выражение закона природы, если определенный смысл имеют его части: «замкнутая система», «энтропия», «возрас тает». Эти смыслы суть понятия.

Представляя собой смыслы общих имен и имея таким об разом в качестве своих знаковых форм описательные общие имена, понятия по своим знаковым формам являются свое образными переменными естественного языка, для которых мы употребляем название «специфицированные перемен ные». Именно благодаря понятиям абстрактное мышление характеризуется как обобщенное отражение действительно сти. Всякий отдельный предмет, явление и т. д. познается здесь на основе некоторого общего понятия, как отдельное в чем-то общем (медь — как металл со своими особыми харак теристиками;

исторический роман — на основе понятия ли тературного произведения вообще).

Более того, понятия нужны не только для формулировок и объяснения законов, знание которых является результатом эмпирических обобщений (в частности, посредством попу лярной индукции). Для того чтобы объяснить, например, по чему давление газа на стенки сосуда увеличивается с умень шением его объема и с повышением температуры, надо иметь понятия, выражающие сущности самого газа, давле ния, температуры. Необходимо осознать, что газ представля ет собой совокупность хаотически движущихся молекул, что 7—2061 давление на определенную единицу площади сосуда есть со вокупная сила ударов молекул о соответствующий участок стенок сосуда и что температура газа — это показатель сред ней кинетической энергии движения молекул, от которой и зависит сила ударов молекул о стенки сосуда.

§ 19. Закон обратного отношения между объемами и содержаниями понятий. Логические и фактические объемы и содержания понятий Мы видели, что наряду с определением содержания поня тия как совокупности признаков, возможна характеристика его как некоторого предиката. Поскольку предикат представ ляет собой высказывательную форму, он выражает некото рую информацию о предметах, мыслимых в понятии. В силу этого представление содержания как предиката позволяет истолковать его как характеристику информативности поня тия. Различение понятий по информативности существенно для выяснения многих аспектов при анализе этой формы мышления. Оно приводит, в частности, к устранению многих недоразумений, которые возникали в прошлом, в частности, в связи с известным в логике законом обратного отношения между объемами и содержаниями понятий. В распростра ненной формулировке он гласит: объем и содержание поня тия находятся в обратном отношении: чем шире объем, тем уже содержание понятия, и наоборот. Более точно, имеется в виду отношение между объемами и содержаниями двух понятий хА(х) и хВ(х) с одним и тем же родом (область зна чений х — D). Согласно закону, если объем одного из этих понятий шире объема другого, то содержания их находятся в обратном отношении.

Может быть принята и более общая формулировка:

Если объем одного понятия составляет часть объема другого (с тем же родом), то содержание второго составляет часть со держания первого.

Кроме того, поскольку понятия имеют один и тот же род, отношение «часть — целое» между содержаниями понятий сводится к отношению между видовыми отличиями этих по нятий, то есть между предикатами А{х) и В(х).

Таким образом приходим к формулировке:

• Объем одного понятия составляет часть другого (с тем же ро дом), если и только если содержание второго составляет часть содержания первого.

Однако, если для объемов понятий мы уже имеем опреде ление отношения «объем одного понятия составляет часть объема другого» (см. § то аналогичное отношение для со держаний понятий определить не так просто. Первое, что напрашивается, это — сравнение содержаний понятий по количеству признаков. В таком случае для понятий «число, которое делится на 2 и на 3» и «число, которое делится на 3» вопрос решается просто: содержание первого шире, по скольку больше количество составляющих его признаков.

Однако сразу возникает неясность, когда мы рассматриваем понятия «число, которое делится на 2 или на 3» и «число, ко торое делится на 3». Кажется, что количество признаков в первом также больше, чем во втором, но объем первого так же шире, чем объем второго. В таких понятиях как «студент, сдавший все экзамены сессии на отлично» и «студент, сдав ший какие-нибудь экзамены сессии на отлично» количество признаков представляется даже одинаковым. Однако они явно различаются по своей информативности. «Сдал все эк замены» безусловно более информативно, чем «сдал некото рые и ясно, что объем первого понятия уже, чем объем второго. Ясно также, что «делится на 3» содержит больше информации, чем «делится на 2 или на 3». Кстати, «делится на 2 или на 3» — это один признак, он является об щим для чисел, обобщаемых в приведенном выше понятии (сравни «слово, обозначающее действие или состояние» сре ди приведенных выше упражнений).

В истории логики известен так называемый парадокс Больцано, по видимости, опровергающий закон обратного отношения. Формулируются два понятия: «Человек, знаю щий европейские языки» (имеются в виду, конечно, все ев ропейские языки) и «Человек, знающий живые европейские языки». Видимость такова, что содержание второго понятия шире, поскольку к характеристике языков добавляется при знак «живые», то есть действующие в настоящее время. Но и объем этого понятия также шире, чем объем первого.

Ясно, что всякий, знающий все европейские языки, знает, конечно, и все живые европейские языки, но не наоборот.

Отношения между объемами этих понятий может быть пред ставлено схемой:

А — человек, знающий все живые европейские языки В — человек, знающий все европей ские языки Из этой схемы очевидно, что людей, знающих все живые европейские языки, больше, чем людей, знающих все эти языки.

Для сравнения признаков по информативности может быть использовано понятие «логическое следование». Если из высказывания или формы А логически следует то есть В, но обратное неверно, тогда А более информативно, чем В. A В само по себе указывает на то, что информация В составляет часть информации Л. Обозна чим объемы понятий хА(х) и хВ[х) соответственно WxA{x) и WxB[x) читается: множество предметов х, облада ющих свойством А[х)). Тогда закон обратного отношения для двух понятий принимает вид: WxB(x) если и только если А[х) Ясно, что приведенные выше «парадоксальные случаи» легко разрешаются. Содержание (информация предиката) делится на 2 или на 3» составляет часть информации предиката делится на 2», поскольку имеет место следова ние А{х) A(x) В(х), вообще, из А следует Предикат сдавший все экзамены» информативнее, чем сдавший какие-нибудь экзамены». Логическая форма первого — у), второго — R{x, у). Второе есть следствие пер вого (вообще А{у) Зу А{у)). Предикат, составляющий содержание (видовое отличие) первого понятия в формули ровке парадокса имеет форму R(x, у) (где об ласть значений х — люди, у — европейские языки).

Видовое отличие второго понятия выражает предикат «Для всякого европейского языка, если он является живым, то х знает его» — (Р{у) у)). Нетрудно убедиться — и предлагаем это читателю, — что из первого логически сле дует второе: у) у у)).

Однако приведенных уточнений все-таки оказывается не достаточно. Возьмем, например, пары понятий «квадрат» и «квадрат с взаимно перпендикулярными или «число, делящееся на 2 и на 3» и «число, делящееся на 2, на 3 и на 6». Согласно понятию логического следования и вве денному определению отношения «часть» для содержаний между понятиями, содержание второго понятия в каждой из этих пар шире, чем содержание первого, однако объемы первого и второго в каждой паре совпадают. Для разреше ния трудностей этого рода необходимы определенные уточ нения понятий «содержание понятия», «объем понятия», а вместе с тем и формулировки самого закона. Необходимо различать логическое и фактическое содержание понятия и аналогично логический и фактический объемы понятий.

Лог ическое содержание, которое до сих пор, по существу, имелось в виду, — это имеющаяся в понятии ин формация относительно обобщаемых в нем предметов, зави сящая лишь от логической формы понятия. Фактиче ское содержание — это информация, которую мы имеем в понятии с учетом значений, имеющихся в его фор мулировке дескриптивных терминов (знаков предметов, свойств, отношений). «С учетом значений... дескриптивных терминов» означает «с учетом некоторой совокупности зна ний относительно предметов, свойств, отношений — значе ний этих терминов» в составе некоторой теории, в которой используется данное понятие.

Утверждение «фактическое содержание понятия хВ{х) от носительно совокупности знаний Г составляет часть факти ческого содержания понятия хА(х) относительно той же со вокупности знаний» определяется как Г, А(х) В(х).

Ясно, что если логическое содержание В — одного поня тия, составляет часть логического содержания А — другого понятия, то это же отношение существует и между их фак тическими содержаниями, ибо если А В, то согласно зако нам классической логики Г, А В для любого Г. Очевидно те перь, что фактические содержания А В упомянутых выше понятий «квадрат» и «квадрат с взаимно перпендикулярны ми сторонами» совпадают. Имеем Г, А В и Г, В А, где Г — множество из одного высказывания — теоремы геометрии:

«Во всяком квадрате диагонали взаимно перпендикулярны».

Аналогичным образом устанавливаем совпадение фактичес ких содержаний понятий «число, делящееся на 2 и на 3» и «число, делящееся на 2, на 3 и на 6», используя в качестве Г множество из 3 (истинных) утверждений арифметики: «Если некоторое число а делится на b и с, которые не имеют обще го делителя, отличного от единицы, то оно делится и на их произведение», «2 и 3 не имеют общего делителя, отличного от единицы», «Шесть есть произведение двух и трех».

Лог иче с кий объем понятия хА(х) составляет множество возможных предметов х, выполняющих предикат А без учета значений имеющихся в нем дескриптивных тер минов, то есть рассматриваемый лишь со стороны его логи ческой формы. Факт ический объем того же поня тия — это множество фактически существующих предметов, удовлетворяющих условию А с учетом значений его де скриптивных терминов.

Как уже упоминалось, объемы рассмотренных пар поня тий, а также следующих — «квадрат» и «квадрат с взаимно перпендикулярными диагоналями», «число, делящееся на 2 и на 3» и «число, делящееся на 2, на 3 и на б» равны. Теперь уточним: равны именно фактические их объемы. Что касает ся логических объемов, то для понятий каждой пары они различны. Именно: объем второго понятия в каждой паре уже, чем объем первого.

Действительно, если логическую форму первого понятия в первой паре, например, представить как а второго — х[Р(х) & 0{х)), то логические объемы их соответственно пред ставляют множество WxP(x) и Wx(P(x) & второе множе ство уже, поскольку оно равно WxP{x) n Как видим из анализа последнего примера, сравнение ло гических объемов, как, впрочем, и фактических, можно осу ществлять, подвергнув их предварительно разложению на некоторые составляющие.

Формулировка закона обратного отношения должна быть уточнена теперь с учетом проведенных различений факти ческих и логических содержаний и объемов понятий. Ясно, что если мы сравниваем фактические объемы (или содержа ния) двух понятий, то соответственно должны рассматри ваться отношения между фактическими содержаниями (или объемами). Отношению между логическими объемами (или содержаниями) соответствует отношение между логически ми же содержаниями (объемами). Приведенные выше при меры казались опровергающими закон обратного отношения потому, что рассматривая отношения между объемами, мы брали фактические объемы, а содержания при этом имели в виду логические!

По существу, мы имеем теперь два закона обратного от ношения: с одной стороны, для фактических содержаний и объемов, с другой — для логических. Приведенная выше формулировка относится именно к этому последнему зако ну. В качестве обобщающей их формулировки может быть принята следующая (закон обратного отношения):

WxA{x) WxB{x) А{х) г г где Г указывает на то, что сравнение объемов и содержаний осуществляется с учетом совокупности знаний Г. В{х)» есть то же, что и «Г, А[х) B(x)». Однако допускается, что Г может быть пустым множеством (при непустом Г имеем фактические относительно этого Г объемы и содержания, при пустом — логические).

Этот закон играет важную роль во многих процессах по знания. По существу, он является основой семантической теории информации. Само понятие с е ма нт иче с кой информации, например, информации того или иного вы сказывания А, определяют обычно как меру или показатель того, насколько принятие этого высказывания за истину огра ничивает некоторое множество исходных возможностей М.

Информативность А тем больше, чем сильнее это ограниче ние. Если мы, например, говорим, что данное вещество хими чески сложно, то ограничиваем множество химических ве ществ до химически сложных;

утверждение же о том, что это вещество является химически сложным и состоит из кисло рода и водорода, делает круг возможностей, к которому отно сится рассматриваемое вещество, еще более узким и, значит, является более информативным.

Наше утверждение относится, вообще говоря, не к дей ствительности в целом, например, не к миру вообще, а к не которым его состояниям в те или иные моменты или проме жутки времени, или, как говорят в логике, к возможным ми рам, которые представляют так называемые «описания со стояний». На этом основан широко применяемый в логике и теории информации способ оценки информативности логи ческих форм высказываний.

Информация при этом определяется относительно мно жества «возможных миров Логическая форма А некото рого высказывания тем более информативна, уже множество — «возможных миров», в которых истинно А.

В понятии множество исходных возможностей — это его род. Объем понятия — результат его ограничения за счет до бавления видового отличия. Степень этого ограничения и есть показатель информативности предиката, выражающего это видовое отличие.

Закон обратного отношения играет важную роль в извес тных операциях обобщения и ограничения понятий и в ана лизе отношений между понятиями.

• Упражнения 1. В каком отношении находятся содержания (фактиче ские и логические) следующих пар понятий и каково отно шение между их объемами:

а) плоский замкнутый четырехугольник с равными про тивоположными сторонами (параллелограмм) и плоский за мкнутый четырехугольник с равными сторонами (ромб) ?

б) число, делящееся на 6, и число, делящееся на 6 и на 3?

2. Известно, что всякая фигура, у которой противополож ные стороны параллельны, есть фигура, у которой противо положные стороны равны. Что можно заключить из данной характеристики отношений между фактическими объемами понятий об отношении их содержаний?

§ 20. Виды понятий Вопрос о видах понятий — это прежде всего вопрос о различных способах мысленного выделения и обобщения предметов в процессе познания. Знание видов понятий важ но прежде всего с гносеологической точки зрения, для пони мания процесса познания. Но оно имеет и немалую практи ческую значимость. А именно, оно важно для понимания смыслов тех или иных утверждений, а также для обеспече ния точности выражения мыслей. Таким образов, это знание является существенным моментом логической культуры мышления.

Различение видов понятий осуществляется с разных то чек зрения главным образом по трем основаниям:

1) по некоторым характеристикам объемов понятий;

2) по характеру признаков, составляющих видовое отли чие мыслимых предметов в понятии, точнее говоря, по ха рактеру предиката, выражающего это видовое отличие, то есть предиката А(х) в понятии 3) по характеру предметов, обобщаемых в понятии.

I. Среди всех возможных понятий обычно особо выделя ют пустые и непустые, а среди непустых — ничные и общие. Пустые понятия имеют в качестве объема пустой класс. Полезно различать понятия логически и фактически пустые. Понятие хА(х) является логически пус тым, если А(х) есть логически противоречивая характеристи ка предметов х. Ясно, что в силу законов логики пустым яв ляется любое понятие вида х(Р(х) & P{x)), например, «веще ство, которое является кристаллическим и не является тако вым». Понятие хА{х) фактически пусто, если фактически не существует предметов х с данной характеристикой А(х). Та ково, например, понятие «ворон белого цвета». Не существу ет также, как известно, атомов в том смысле, как их понима ли в Древней Греции, а именно как неделимых частиц. Одна ко особый и наиболее значимый случай фактической пусто ты понятия таков, когда существование предметов х с харак теристикой А{х) невозможно в силу законов той области действительности, к которой относится это понятие. Так, не возможны ромбы, в которых диагонали не являются взаимно перпендикулярными, невозможны неупрутие жидкости, ме таллы, не обладающие хорошей электропроводимостью, и невозможны вечные двигатели (двигатели, работающие без дополнительной затраты энергии).

Возможность появления пустых понятий объясняется тем, что в научном мышлении понятия возникают не только о тех предметах, которые имеются налицо. На основе познанных процессов, законов часто возникают предполо жения о существовании или возможности появления тех или иных явлений с заранее определенными признаками («анти атомы», «жизнь на кремниевой основе» — вместо известной нам имеющей углеродную основу — и т. п.). Здесь новые по нятия возникают на основе других понятий и знаний как проявления активного и творческого характера мышления.

Естественно, что в таких случаях могут возникать понятия, которым, как оказывается затем, ничего не соответствует в действительности. Но в некоторых случаях наука сознатель но использует пустые понятия, хотя бы для формулировок об утверждении о несуществовании соответствующих пред метов и явлений и даже иногда для формулировки некото рых законов. Читателю известны, вероятно, два закона тер модинамики: один из них гласит, что невозможны «вечные двигатели» 1-го рода, второй гласит то же самое о «вечных двигателях» 2-го рода.

Единичным является понятие, объем которого есть единичный класс, а общие понятия имеют в качестве объема класс, состоящий более чем из одного предмета.

Единичное понятие по сути своей представляет собой, как и всякое другое, некое обобщение и этим отличается от имени отдельного предмета. Мы не всегда при этом можем даже знать, что класс обобщаемых предметов является имен но единичным. Без дополнительных знаний не ясно, напри мер, является ли общим или единичным понятие «город, по родненный с Волгоградом». Возможно, не каждому известно, что в объем этого понятия входят 9 городов в разных стра нах мира.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.