WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 10 |

«Оглавление Введение................................... 11 I Введение в социально-экономическую статистику 15 1. Основные понятия 17 1.1. Краткая историческая справка.. ...»

-- [ Страница 2 ] --

2.2. Средние величины В финансовых расчетах аналогом темпа прироста капитала (величины типа запаса) выступает доходность на вложенный (инвестированный) капитал.

Пусть инвестированный капитал x0 в течение периода приносит доход. Тогд а капитал к концу периода становится равным x1 = x0 +, и доходность капитала за этот период определяется как x = = - 1, т.е. совпадает по форме с темпом прироста.

x0 x Средняя за период доходность в зависимости от поведения инвестора (субъекта, вложившего капитал) рассчитывается различным образом. Ниже рассматривается три возможные ситуации.

1) Если позиция инвестора пассивна, и он не реинвестирует полученные доходы в течение данного периода времени, то средняя доходность в единицу времени опре деляется простейшим способом:

=.

x Фактически это — средняя арифметическая простая, т.к. является общей до x ходностью за период времени. Такой способ расчета средней доходности наиболее распространен.

Эта формула используется и при < 1. Так, обычно доходности за разные периоды времени приводятся к среднегодовым, т.е. единицей времени является год. Пусть речь идет, например, о трехмесячном депозите. Тогда = 0.25, и среднегодовая доходность получается умножением на 4 доходности за 3 месяца.

x 2) Пусть доходность в единицу времени в течение рассматриваемого периода вре мени не меняется, но доходы полностью реинвестируются в начале каждой единицы времени. Тогда за каждую единицу времени капитал возрастает в 1+ раз, и для нахождения используется формула:

1+ = 1+, т.е. = 1+ - 1.

x0 x Эта формула справедлива при целых положительных. Действительно (предпола гается, что начало периода инвестирования имеет на оси времени целую координату), если <1, ситуация аналогична предыдущей, в которой используется формула про стой средней арифметической. Если не целое, то такая же проблема возникает для последней, неполной единицы времени в данном периоде.

Естественно предположить, что <1, тогд а 1+ > 1+ (что следует из раз ложения показательной функции в степенной ряд) и >.

x Это соотношение лучше интерпретировать «в обратном порядке»: если по усло виям инвестиционного контракта фиксирована и допускается реинвестирование 64 Глава 2. Описательная статистика доходов в течение периода, чем пользуется инвестор, то фактическая доходность на инвестированный капитал будет выше объявленной в контракте.

3) Пусть в течение данного периода времени доходы реинвестируются n раз через равные промежутки времени. Тогда для справедлива следующая формула:

n 1+ = 1+ x0 n (она совпадает с предыдущей в случае n = ).

Теоретически можно представить ситуацию непрерывного реинвестирования, ко гда n. В таком случае n = ln 1+, поскольку lim 1+ = e.

n x0 n В соответствии с введенной ранее терминологией, это — непрерывный темп при роста в единицу времени. Данную формулу можно использовать при любом (есте ственно, положительном).

Понятно, что средние доходности в единицу времени, полученные в рассмотренных трех случаях, находятся в следующем соотношении друг с другом:

1 > 1+ - 1 > ln 1+.

x0 x0 x пассивное дискретное непрерывное поведение реинвестирование реинвестирование Это соотношение при интерпретации в «обратном порядке» означает, что чем ча ще реинвестируется доход, тем выше фактическая доходность на первоначальный капитал. В финансовых расчетах для приведения доходностей к разным единицам времени используется 1-я формула.

Теперь рассматривается общий случай с N +1 моментом времени и расчетом сред ней доходности за N подпериодов.

1) Если позиция инвестора пассивна в течение всего периода времени, то средняя доходность в i-м подпериоде и в целом за период равны:

1 i i =, =, i x0 x N где i = xi - xi-1, = i = xN - x0 ( и i определены выше). Средняя i= доходность в целом за период удовлетворяет формуле средней взвешенной арифме тической:

i = ii, где i =.

2.2. Средние величины 2) Пусть теперь доходы реинвестируются в начале каждого подпериода времени.

1 i Тогда в течение i-го подпериода капитал вырастает в 1+ii раз, где i =.

i xi- Если предположить, что все подпериоды имеют одинаковую длину то в сред нем, /N за подпериод доход вырастает в 1+i раз, и это количество раз равно 1+. Поэтому /N = 1+i - 1.

Это формула простой средней приведенного выше общего вида f-1 1 f (xi), N где f =ln (1 +x).

Аналогичную формулу можно использовать и в случае подпериодов разной длины i:

1 N = 1+ii - 1, где = i.

N Фактически эти формулы являются вариантами формул простой средней геометри ческой.

3) Пусть теперь все i являются целыми положительными числами, и реинвести рование доходов происходит в начале каждой единицы времени. Тогда 1 i i i = 1+ - 1, = 1+ - 1.

xi-1 x Средняя в единицу времени доходность в целом за период равна средней взвешенной геометрической средних доходностей по подпериодам:

i i = 1+ i - 1, где i =.

4) Наконец, в теоретическом случае непрерывного инвестирования 1 i i = ln 1+, = ln 1+, i xi-1 x и средняя доходность за весь период, как и в первом случае, равна средней взвешен ной арифметической средних доходностей по подпериодам:

i = ii, где i =.

В заключение этого раздела следует отметить, что особую роль в статистике играют средние арифметические. Именно они выступают важнейшей характери стикой распределения случайных величин. Так, в обозначениях предыдущего пункта величину x = ixi можно записать как x = xifii или, при использовании теоретической функции плотности распределения, как x = xf(x) dx.

66 Глава 2. Описательная статистика Теоретическое арифметическое среднее, определенное последней формулой, называется в математической статистике математическим ожиданием. Матема тическое ожидание величины x обозначают обычно как E(x), сохраняя обозначе ние x для эмпирических средних (см. Приложение A.3.1).

2.3. Медиана, мода, квантили Мода и медиана, наряду со средней, являются характеристиками центра распре деления признака. Медиана, обозначаемая в данном тексте через x0.5, —величина (детерминированная), которая «делит» совокупность пополам. Теоретически она такова, что x0.5 + f (x) dx = f (x) dx =0.5, - x0. где f(x) — функция распределения (см. Приложение A.3.1).

По выборочным данным x1,..., xN, упоряд очен ным по возрастанию, за нее принимается x(N+1)/ в случае, если N нечетно, и (xN/2 + xN/2+1)/2, если F 0.5 N четно.

Fl– Значение медианы может быть уточнено, если по данным выборки построено эмпирическое распре zl–1 x0.5 zl деление частот zl, l =0,..., k, l, l, fl, Fl, l = (zl–1+l) = 1,..., k. Пусть l-й полуинтервал является меди анным, т.е. Fl-1 < 0.5 Fl. Тогда, линейно интер Рис. 2. полируя значения функции распределения F на этом полуинтервале, медиану определяют по следующей формуле:

0.5 - Fl- x0.5 = zl-1 +l.

l Ее смысл поясняется на графике (рис. 2.8). Этот график является фрагментом кумуляты.

o x Мода, обозначаемая в данном тексте через, показывает наиболее вероят ное значение признака. Это — значение величины в «пике» функции плотности распределения вероятности (см. Приложение A.3.1):

o x f =max f (x).

x 2.3. Медиана, мода, квантили Величины с унимодальным распределением имеют одну моду, полимодальные распределения характеризуются несколькими модами. Непосредственно по вы борке, если все ее значения различны, величину моды определить невозможно.

Если какое-то значение встречается в выборке несколько раз, то именно его — по определению — принимают за моду. В общем случае моду ряда наблюдений находят по данным эмпирического распреде ления частот.

Пусть l-й полуинтервал является модаль f ным, т.е. fl >fl-1 и fl >fl+1 (во избежание fl+ непринципиальных уточнений случай « »не рассматривается). Функция плотности веро fl– ятности аппроксимируется параболой, прохо x дящей через середины ступенек гистограммы, и ее максимум определяет положение искомой – моды. График (рис. 2.9) поясняет сказанное. zl–2 zl–1 zl 2 x2 zl+ – x2 m В случае если размеры полуинтервалов l-1, – o x x l и l+1 одинаковы и равны, такая про цедура приводит к определению моды по фор Рис. 2. муле:

o fl - fl- x.

= zl-1 + (fl - fl-1) +(fl - fl+1) В справедливости этой формулы несложно убедиться. Действительно, коэффициен ты a, b и c аппроксимирующей параболы ax2 + bx + c удовлетворяют следующей системе уравнений:

ax2 + bxl-1 + c = fl-1, l- a( +)2 + b( +) +c = fl, xl-1 xl- a( +2)2 + b( +2) +c = fl+1.

xl-1 xl- Если из второго уравнения вычесть первое, а затем третье, то получится более простая система из двух уравнений:

(a(2xl-1 +) +b) =fl - fl-1, (a(-2 - 3) - b) =fl - fl+1.

xl- Первое из этих уравнений дает выражение для b через a :

fl - fl- b = - a (2xl-1 +), а их сумма — выражение для определения параметра a :

-2a2 =(fl - fl-1) +(fl - fl+1).

68 Глава 2. Описательная статистика Очевидно, что a отрицательно, и поэтому парабола имеет максимум в точке -b 2a o x, и после подстановки (в этой точке производная 2ax+b равна нулю), т.е. = -b 2a сюда полученных выражений для b и a, учитывая, что xl-1 + = zl-1, получается искомая формула.

Все три характеристики центра распределения: мода, медиана, среднее — на ходятся в определенных соотношениях между собой.

В случае идеальной (теоретически) симметрии f (x0.5 +) =f (x0.5 - ) (2.5) при любом 0, все эти три характеристики совпадают.

Доказательство этого утверждения проводится для теоретической функции плотно сти распределения f(x), в предположении, что она является гладкой, т.е. непрерыв ной и непрерывно дифференцируемой.

Дифференцирование выражения (2.5) по в точке 0 дает условие f (x0.5) = = -f (x0.5), из чего, в силу непрерывной дифференцируемости f, след ует ра венство нулю производной в точке x0.5. И поскольку распределение унимодально, то мода совпадает с медианой.

Теперь доказывается совпадение математического ожидания с медианой. Для слу чайной величины x - x0.5 с той же функцией распределения плотности f(x), всилу + того, что f (x) =1, имеет место следующее тождество:

+ E (x) - x0.5 = (x - x0.5) f (x) dx.

Его правая часть разбивается на два слагаемых и преобразуется следующим образом:

x0.5 + E(x) - x0.5 = (x - x0.5) f (x) dx + (x - x0.5) f (x) dx = - x0. (в первом слагаемом производится замена переменных x - x0.5 = - и переста 0 + новка пределов интегрирования -, во 2-м слагаемом — замена пере + менных x - x0.5 =) + + = - f (x0.5 - ) d+ f (x0.5 +) d= 0 2.3. Медиана, мода, квантили (вводя соответствующие обозначения) = -A- + A+. (2.6) Поскольку выполнено условие симметричности распределения (2.5), A- = A+ и математическое ожидание (среднее) совпадает с медианой. Это завершает рас смотрение случая симметричных распределений.

Для асимметричных распределений указанные три характеристики различа ются, но так, что медиана всегда находится между средней и модой. При правой асимметрии o x

x В этом легко убедиться. Пусть речь идет, например, о правой асимметрии. Распреде ление скошено в сторону больших значений случайной величины-признака, поэтому A-

Условие A- f (x0.5 - ) (веса больших зна чений признака больше, чем веса равноудаленных от медианы малых значений).

Но тогда для малых, т.е. в окрестности медианы, должно иметь место обратное + + неравенство (поскольку f (x0.5 - ) d= f (x0.5 +) d=0.5):

0 f (x0.5 - ) >f (x0.5 +), o x а это означает, что мода смещена влево от медианы:

Проведенное рассуждение о положении моды относительно медианы не являет ся строгим, оно предполагает как бы «плавный» переход от симметрии к правой асимметрии. При строгом доказательстве существенную роль играет предположе ние об унимодальности распределения.

Случай левой асимметрии рассматривается аналогично.

Для больших выборок, как правило, подтверждается еще одно утверждение об относительном расположении трех рассматриваемых характеристик: при уме ренной асимметрии мода удалена от медианы на расстояние приблизительно в 2 ра за большее, чем среднее. То есть o x -x0.5 2 | x - x0.5 |.

70 Глава 2. Описательная статистика Для того чтобы легче запомнить приведенные здесь соотношения, можно ис пользовать следующее мнемоническое правило. Порядок следования среднего, ме дианы и моды (при левой асимметрии) такой же, как слов mean, median, mode в английском словаре (при правой асимметрии порядок обратный). Причем, как и соответствующие им статистические характеристики, слово mean расположено в словаре ближе к median, чемmode.

Квантилем называют число (детерминированное), делящее совокупность в определенной пропорции. Так, квантиль xF (используемое в данном тексте обо значение квантиля) делит совокупность в пропорции (верхняя часть к нижней) 1 - F к F (см. Приложение A.3.1):

x F P (x xF ) =F или F (xF ) = f (x) dx = F.

В эмпирическом распределении все границы полуинтервалов являются кван тилями: zl = xFl. По данным этого распределения можно найти любой квантиль xF с помощью приема, использованного выше при нахождении медианы. Если l-й полуинтервал является квантильным, т.е. Fl-1

l Иногда квантилями называют только такие числа, которые делят совокупность на равные части. Такими квантилями являются, например, медиана x0.5, д елящая совокупность пополам, квартили x0.25, x0.5, x0.75, которые делят совокупность на четыре равные части, децили x0.1,..., x0.9, процентили x0.01,..., x0.99.

Для совокупностей с симметричным распределением и нулевым средним (со ответственно, с нулевой модой и медианой) используют понятие двустороннего квантиля xF :

x F P (- x xF ) =F ( ) - F (- ) = f (x) dx = F.

xF xF xF xF 2.4. Моменты и другие характеристики распределения Моментом q-го порядка относительно c признака x называют величину (q и c — величины детерминированные) N m (q, c) = (xi - c)q, N i= 2.4. Моменты и другие характеристики распределения в случае, если она рассчитывается непосредственно по выборке;

k k m (q, c) = l ( - c)q = fl ( - c)q l, xl xl l=1 l= если используются данные эмпирического распределения частот;

+ µ (q, c) = f (x)(x - c)q dx = E((x - c)q) — для теоретического распределения вероятности (cм. Приложение A.3.1).

В эконометрии для обозначения теоретических или «истинных» значений ве личины (в генеральной совокупности) часто используются буквы греческого алфа вита, а для обозначения их эмпирических значений (полученных по выборке) или их оценок — соответствующие буквы латинского алфавита. Поэтому здесь в пер вых двух случаях момент обозначается через m, а в третьем случае — через µ.

В качестве общей формулы эмпирического момента (объединяющей первые два случая) будет использоваться следующая:

N m (q, c) = i (xi - c)q.

i= В принципе, моменты могут рассчитываться относительно любых c, од нако в статистике наиболее употребительны моменты, рассчитанные при c, равном нулю или среднему. В первом случае моменты называют начальными, во втором — центральными. В расчете центральных моментов используются величины xi - x, которые часто называют центрированными наблюдениями и обозначают через xi.

Средняя является начальным моментом 1-го порядка:

x = m (1, 0), E (x) =µ (1, 0).

Благодаря этому обстоятельству центральные моменты при целых q всегда можно выразить через начальные моменты. Для этого надо раскрыть скобки (воз вести в степень q) в выражении центрального момента.

Центральный момент 2-го порядка или 2-й центральный момент называется дисперсией и обозначается через s2 (эмпирическая дисперсия) или 2 (теорети ческая дисперсия):

s2 = m (2, x), 2 = µ (2, E (x)).

72 Глава 2. Описательная статистика При вычислении дисперсии иногда удобнее пользоваться начальным моментом 2-го порядка. Связь с ним устанавливается следующим образом:

x x s2 = i (xi - x)2 = ix2 - 2 ixi +2 = i -- x = ix2 - x2 = m (2, 0) - m2 (1, 0).

i Корень квадратный из дисперсии — s или —является среднеквадрати ческим отклонением, иногда (главным образом, в англоязычной литературе) его называют стандартным отклонением.

xi s Величины называют центрированными и нормированными наблюдени ями. Они измеряют значения признака в единицах среднеквадратического откло нения от среднего. Такая шкала измерения иногда называется стандартизованной или стандартизированной.

Дисперсия (и среднеквадратическое отклонение) является мерой абсолютного рассеяния или разброса значений признака в совокупности. В принципе такой ме рой мог бы служить 2-й момент относительно какого-то другого c, не равного x, но лежащего в центральной области распределения признака. Однако используют именно дисперсию, поскольку ее величина однозначно определена и, в некотором смысле, не зависит от c. Дисперсия минимальна среди всех 2-х моментов относи тельно c.

Действительно, производная 2-го момента по c d (x - c)2f(x)dx = -2 xf(x)dx - c f(x)dx = -2(E(x) - c) dc равна 0 в точке c = E(x). Это точка минимума, поскольку 2-я производная по c внейравна 2, т.е. положительна.

В статистике используются и другие показатели разброса. Примерами показа телей абсолютного разброса являются:

max xi - min xi — общий размах вариации, x1-F - xF — квантильный размах вариации, где F < 0.5 (достаточно часто используется квартильный размах вариации, то есть этот показатель при F =0.25), i |xi| — среднее линейное отклонение.

2.4. Моменты и другие характеристики распределения Среднее линейное отклонение имеет смысл рассчитывать не относительно сред него x, а относительно медианы x0.5, поскольку именно в таком случае оно при нимает минимально возможное значение.

Действительно, производная по c среднего линейного отклонения относительно c + c d (c - x) f (x) dx + (x - c) f (x) dx d |x - c| f (x) dx - c = = dc dc + c = f (x) dx - f (x) dx - c равна 0 при c = x0.5 (2-я производная в этой точке равна 2f(x0.5) и положительна по определению функции f ).

Для характеристики относительного разброса применяются различные фор мы коэффициента вариации. Например, он может рассчитываться как отношение среднего квадратичного отношения к среднему, общего или квантильного размаха вариации к медиане. Иногда его рассчитывают как отношения max xi к min xi или x1-F к xF (при F < 0.5).

Достаточно распространен еще один тип коэффициентов вариации, которые рассчитываются как отношения средней по верхней части совокупности к средней по нижней части совокупности.

Для того чтобы дать определение таким коэффициентам вариации, необходимо вве сти понятие среднего по части совокупности.

Математическое ожидание можно представить в следующей форме:

xF + 1 E (x) =F xf (x) dx +(1- F ) xf (x) dx = F 1 - F - xF = F EF (x) +(1- F ) E+ (x).

F Квантиль xF делит совокупность на две части, по каждой из которых определяется свое математическое ожидание:

EF (x) —понижнейчасти, E+ (x) — по верхней части совокупности.

F Приведенное тождество определяет связь между двумя этими математическими ожи даниями:

E+ (x) = (E (x) - F EF (x)).

F 1 - F 74 Глава 2. Описательная статистика По выборке аналогичные частичные средние рассчитываются следующим образом.

Пусть xi, i =1,..., N ряд наблюдений, упорядоченный по возрастанию. Тогда i Fi =, i =1,..., N — накопленные относительные частоты, N i xi = xi — i-я средняя по нижней части, i =1,..., N ( =0), x i i = N 1 x+ = xi = ( - Fi xi) — i-я средняя по верхней части, x i N - i 1 - Fi i =i+ i =0, 1,..., N x+ =0.

N Такой расчет не имеет необходимой иногда степени общности, поскольку позволяет найти частичные средние лишь для некоторых квантилей, которыми в данном случае являются сами наблюдения (xi = xF ). Для квантилей xF при любых F частич i ные средние находятся по данным эмпирического распределения (предполагается, что l-й полуинтервал является квантильным):

l- 1 xF = l xl +(F - Fl-1) (zl-1 + xF ) F l = — средняя по нижней части совокупности (здесь (zl-1 + xF ) — центр последне го, неполного полуинтервала, F - Fl-1 — его вес). После подстановки выражения для квантиля xF, полученного в предыдущем пункте, эта формула приобретает сле дующий вид:

l- 1 F - Fl- xF = l xl +(F - Fl-1) zl-1 + l.

F 2i l = При расчете средней по верхней части совокупности проще воспользоваться полу ченной выше формулой:

x+ = ( - F xF ).

x F 1 - F Для расчета квантильного коэффициента вариации совокупность делится на 3 ча сти: верхняя часть, объемом не более половины, нижняя часть такого же объема и средняя часть, не используемая в расчете. Данный коэффициент, называемый F 100-процентным (например, 15-процентным), рассчитывается как отношение средних по верхней и нижней части совокупности:

x+ - (1 - F ) x1-F x 1-F =, xF F xF E+ (x) E (x) - (1 - F ) E1-F (x) 1-F =, где F 0.5.

EF (x) F EF (x) 2.4. Моменты и другие характеристики распределения При использовании непосредственно данных выборки эта формула имеет другой вид:

x+ - (1 - Fi) xN-i N x N-i =, где i.

xi Fi xi Такие коэффициенты вариации называют иногда, как и соответствующие квантили, медианными, если F = 0.5, квартильными, если F = 0.25, децильными, если F = 0.1, процентильными, если F = 0.01. Наиболее употребительны децильные коэффициенты вариации.

При расчете коэффициентов вариации в любой из приведенных форм предпола гается, что характеризуемый признак может принимать только неотрицательные значения.

Существует еще один — графический — способ представления степени разброса зна чений признака в совокупности. Он исполь зуется для совокупностей объемных призна ков, принимающих положительные значения.

Это — кривая Лоренца или кривая концен Кривая трации. По абсциссе расположены доли на Лоренца копленной частоты, по ординате — доли на Накопленные относительные копленного суммарного признака. Она име частоты (%%) ет вид, изображенный на графике (рис. 2.10).

Чем более выпукла кривая, тем сильнее диф Рис. 2. ференцирован признак.

По оси абсцисс кривой Лоренца расположены значения величины F 100%, пооси ординат — в случае использования теоретического распределения — значения ве личины:

xF xf (x) dx 100% + xf (x) dx (предполагается, что x 0), или, используя введенные выше обозначения д ля ча стичных средних, EF (x) F 100%.

E (x) При использовании данных эмпирического распределения по оси ординат располо жены значения величины xF F 100%.

x ного признака (%%) Накопленные доли суммар 76 Глава 2. Описательная статистика При построении кривой непосредственно по данным ряда наблюдений сначала на гра фике проставляются точки xi Fi 100%, Fi 100%, i =1,..., N, x а затем они соединяются отрезками прямой линии.

В случае, если значение признака в совокупности не варьируется, средние по всем ее частям одинаковы, и кривая Лоренца является отрезком прямой линии (пунктирная линия на рис. 2.10). Чем выше вариация значений признака, тем более выпукла кривая. Степень ее выпуклости или площадь выделенной на рисунке области может являться мерой относительного разброса.

Кривую Лоренца принято использовать для иллюстрации распределения дохода или имущества в совокупностях людей, представляющих собой население отдельных стран или регионов. Отсюда ее второе название — кривая концентрации. Она вы ражает степень концентрации богатства в руках меньшинства.

В статистике центральные моменты q-го порядка обычно обозначаются через mq (µq — для теоретических величин):

mq = m(q, x) (µq = µ(q, E(x)).

Нормированный центральный момент 3-го порядка m3 µ d3 = 3 = s3 часто используется как мера асимметрии (скошенности) распределения. Если рас пределение симметрично, то этот показатель равен нулю. В случае его положи тельности считается, что распределение имеет правую асимметрию, при отрица тельности — левую асимметрию (см. Приложение A.3.1).

Следует иметь в виду, что такое определение левой и правой асимметрии может не соответствовать определению, данному в предыдущем пункте. Возможны такие ситуации, когда распределение имеет правую асимметрию, и среднее превышает медиану, но данный показатель отрицателен. И наоборот, среднее меньше медианы (левая асимметрия), но этот показатель положителен.

В этом можно убедиться, рассуждая следующим образом.

Пусть (x) — функция плотности вероятности симметричного относительно нуля распределения с дисперсией 2, т.е.

+ + + x (x) dx =0, x2 (x) dx = 2, x3 (x) dx =0, - - + (x) dx = (x) dx =0.5, (x) =(-x).

- 2.4. Моменты и другие характеристики распределения –a 0 x a Рис. 2. Рассматривается случайная величина x, имеющая функцию плотности вероятности f(x) =(x) +(x).

Функция вносит асимметрию в распределение x. Ее график имеет вид— сплошная линия на рисунке 2.11, а свойства таковы:

+ + (x) =-(-x), (x) dx =0, (x) dx = (x) dx =0.

- - Параметр не должен быть слишком большим по абсолютной величине, чтобы со хранялась унимодальность распределения (и, конечно же, неотрицательность функ ции плотности).

Можно обозначить + a - (x) dx = (a + x) dx = S > 0 и определить величины a1 и a2 :

+ a x (x) dx = -a1S, x (a + x) dx = a2S.

0 Понятно, что a1 — математическое ожидание случайной величины, заданной на от резке [0, a] и имеющей плотность распределения - (x), поэтому 0

S Аналогично, a2 — математическое ожидание случайной величины, заданной на от резке [0, ] с плотностью вероятности (a + x), поэтому 0

S 78 Глава 2. Описательная статистика Теперь легко видеть, что (вводя дополнительное обозначение a3) + + + a x=a+y x(x) dx = x(x) dx + x(x) dx = -a1S + a (a + y) dy + 0 0 a ------- --------- -a1S S + + y (a + y) dy = S (-a1 + a + a2) =a3 > 0.

----------- a2S Аналогичным образом можно доказать, что + x3 (x) dx = a4 > 0.

Прибавление к не меняет медиану, т.к.

+ + + f (x) dx = (x) dx + (x) dx =0.5, 0 0 ------ ------ 0.5 но сдвигает среднее (из нуля):

+ + + E (x) = xf (x) dx = x (x) dx + x (x) dx = - - ------ + = x (x) dx + x (x) dx =2a3.

- -------- --------- a3 a Таким образом, в соответствии с данным выше определением, если >0, распре деление имеет правую асимметрию (увеличивается плотность вероятности больших значений признака), и среднее, будучи положительным, выше медианы. Если <0, распределение характеризуется левой асимметрией, и среднее ниже медианы.

2.4. Моменты и другие характеристики распределения Теперь находится 3-й центральный момент:

+ µ3 = (x - E (x))3 f (x) dx = + + + = x3f (x) dx - 3E (x) x2f (x) dx +3E2(x) xf(x)dx - E3(x) = - - ------------------ 2E3(x) + + + + = x3(x)dx + x3(x)dx -3E(x) x2(x)dx + x2(x)dx + - - - ------- --------- ------- -------- 0 2a4 E(x)=2a +2E3(x) = 2(a4 - 3a32 +82a3 =2 (D + R), где D = a4 - 3a32, R =82a3.

Второе слагаемое в скобках — R — всегда положительно, и, если D (первое сла гаемое) неотрицательно, то введенный показатель асимметрии «работает» правиль но: если он положителен, то асимметрия — правая, если отрицателен, то — левая.

Однако D может быть отрицательным. Это легко показать.

a Пусть при заданном эта величина положительна (в этом случае > 1).

3a Сжатием графика этой функции к началу координат (пунктирная линия на рис. 2.11) всегда можно добиться смены знака данной величины.

Преобразованная (сжатая) функция асимметрии связана с исходной функцией следующим образом:

(x) = (kx), где k >1.

Свойства этой новой функции те же, что и исходной, и поэтому все проведенные выше рассуждения для новой случайной величины с функцией плотности + дадут те же результаты. Новая величина D, обозначаемая теперь D, связана с исходными величинами следующим образом:

1 D = 4 - 332 = a4 - 3a k2 k + + 1 kx=y, x= y, dx= dy k k 1 например, 3 = x (kx) dx = y (y) dy = a k2 k 0 a ипри k > > 1 она отрицательна.

3a 80 Глава 2. Описательная статистика Таблица 2. X -3 -2 -1 0 1 2 0.0625 0.125 0.1875 0.25 0.1875 0.125 0. 0 -1 1 0 -1 1 -0.2 -1 1 0 -1 1 0. В такой ситуации (если достаточно мал, и вслед за D отрицательно и D + R) 3-й центральный момент оказывается отрицательным при правой асимметрии и по ложительным при левой асимметрии.

Можно привести числовой пример совокупности с правой асимметрией, 3-й цен тральный момент которой отрицателен. Исходные данные приведены в таблице 2.1.

При =0.03 среднее равно 0.06 (превышает медиану, равную 0), а 3-й цен тральный момент равен -0.187. Но стоит немного растянуть функцию асимметрии от начала координат (последняя строка таблицы), как ситуация приходит в норму.

При том же среднее становится равным 0.108, а 3-й центральный момент равен +0.097.

Проведенный анализ обладает достаточной степенью общности, т.к. любую функцию плотности вероятности f можно представить как сумму функций и суказан ными выше свойствами (при этом =1). Эти функции определяются следующим образом (предполагается, что медиана для функции f равна 0):

1 (x) = (f (x) +f (-x)), (x) = (f (x) - f (-x)).

2 Таким образом, если асимметрия «сосредоточена» вблизи от центра распределения (функция асимметрии достаточно «поджата» к медиане), то 3-й центральный момент не может играть роль показателя асимметрии.

o ( - x x ) Надежным показателем асимметрии является величина или, учитывая s приведенную в предыдущем пункте эмпирическую закономерность в расположении 3(x - x0.5) моды, медианы и среднего,.

s Достаточно употребителен также квартильный коэффициент асимметрии, рас считываемый как отношение разности квартильных отклонений от медианы к их сумме:

(x0.75 - x0.5) - (x0.5 - x0.25) x0.25 + x0.75 - 2x0. =.

(x0.75 - x0.5) +(x0.5 - x0.25) x0.75 - x0. 2.4. Моменты и другие характеристики распределения Эти три коэффициента положительны при правой асимметрии и отрицатель ны при левой. Для симметричных распределений значения этих коэффициентов близки к нулю. Здесь требуется пояснить, что означает «близки к нулю».

Рассчитанные по выборке, значения этих коэффициентов — пусть они обо значаются через Kc (c — calculated) — не могут в точности равняться нулю, да же если истинное распределение в генеральной совокупности симметрично. Как и исходные для их расчета выборочные данные, эти коэффициенты являются слу чайными величинами K с определенными законами распределения. Эти законы (в частности, функции плотности вероятности) известны в теории статистики, если справедлива нулевая гипотеза, в данном случае — если истинное распределение симметрично. А раз известна функция плотности, то можно определить область, в которую с наибольшей вероятностью должно попасть расчетное значение коэф фициента Kc в случае справедливости нулевой гипотезы. Эта область, называе мая доверительной, выделяется квантилем KF с достаточно большим F. Обычно принимают F =0.95. В данном случае K могут быть как положительными, так и отрицательными, их теоретическое распределение (при нулевой гипотезе) сим метрично относительно нуля, и использоваться должен двусторонний квантиль.

Если расчетное значение Kc попадает в доверительную область, т.е. оно по абсолютной величине не превосходит KF, то нет оснований считать, что истинное распределение не симметрично, и нулевая гипотеза не отвергается. На основа нии этого не следует делать вывод о симметричности истинного распределения.

Установлено только то, что наблюдаемые факты не противоречат симметрично сти. Другими словами, если распределение симметрично, то расчетное значение попадает в доверительную область. Но обратное может быть не верным.

Если расчетное значение не попадает в доверительную область или, как гово рят, попадает в критическую область, то маловероятно, что величина K имеет принятое (при нулевой гипотезе) распределение, и нулевая гипотеза отвергается с вероятностью ошибки (1-го рода) 1 - F (обычно 0.05). Причем если Kc >KF, то принимается гипотеза о правой асимметрии, если Kc < -KF, то принимается гипотеза о левой асимметрии.

Границы доверительной (критической) области зависят от числа наблюдений.

Чем больше наблюдений, тем меньше KF, при прочих равных условиях, т.е. тем у же доверительная область — область «нуля». Это означает, что чем больше использовано информации, тем точнее, при прочих равных условиях, сделанные утверждения.

Таким образом, фраза «Kc близко к нулю» означает, что |Kc| KF.

Приведенные здесь рассуждения используются в теории статистики при про верке статистических гипотез, или тестировании (по англоязычной терминоло гии), а также при построении доверительных интервалов (областей).

82 Глава 2. Описательная статистика Подробнее о проверке гипотез см. Приложение A.3.3.

Нормированный центральный момент 4-го порядка m4 µ d4 = 4 = s4 называется куртозисом (от греческого слова o — горбатый). По его вели чине судят о высоковершинности унимодального распределения. Если распреде ление близко к нормальному, то этот показатель равен приблизительно 3 («при близительно» понимается в том же смысле, что и «близко к нулю» в предыдущем случае). Если r4 > 3, то распределение высоковершинное, в противном случае — низковершинное. На этом основании вводится показатель, называемый эксцессом (см. Приложение A.3.1):

d4 - 3 (4 - 3).

Его используют для оценки высоковершинности распределения, сравнивая с 0.

Граничным для куртозиса является число 3, поскольку для нормального распре деления он равен точно 3.

Действительно, плотность f(x) нормально распределенной с математическим ожи данием x и дисперсией 2 случайной величины x равна (x - x) 1 e.

В «Справочнике по математике» И.Н. Бронштейна и К.А. Семендяева (М., 1962) на стр. 407 можно найти следующую формулу:

n+ xne-ax dx =, при a >0 и n>1, n+ 2a где — гамма-функция, обладающая следующими свойствами:

(x +1) =x(x), (n) =(n - 1)!, при n целом и положительном, (x) x + = (2x).

2 22x- Отсюда легко установить, что при целом и четном q µq =1 · 3 · 5 ·... · (q - 1) q =(q - 1)!! · q и, в частности, µ4 =34.

О свойствах нормального распределения см. Приложение A.3.2.

В практике статистики моменты более высоких порядков используются крайне редко.

2.5. Упражнения и задачи 2.5. Упражнения и задачи Упражнение На основании данных о росте студентов курса построить ряд распределения, дать табличное и графическое его изображение (представив на графике гистограм му, полигон, кумуляту). Какие из графиков соответствуют эмпирической функции плотности распределения вероятности, а какие — эмпирической функции распре деления вероятности? Изобразить на графике гистограммы положение моды, ме дианы и средней арифметической. Подтвердить их соотношения расчетами харак теристик центра распределения. Найти дисперсию, коэффициент вариации, а так же показатели асимметрии и эксцесса. Оценить степень однородности элементов совокупности.

Задачи 1. Определить пункты, которые являются выпадающими из общего ряда.

1.1 а) частота, б) плотность, в) гистограмма, г) график;

1.2 а) арифметическое, б) геометрическое, в) алгебраическое, г) квадрати ческое;

1.3 а) мода, б) медиана, в) квантиль, г) квартиль;

1.4 а) бимодальное, б) нормальное, в) асимметричное, г) U-образное;

1.5 а) математическое ожидание, б) биномиальное, в) нормальное, г) сред нее;

1.6 а) момент, б) период, в) дисперсия, г) среднее;

1.7 а) центральный, б) начальный, в) исходный, г) момент.

2. Количественный признак принимает значения 2, 3, 4, 9. Какова плотность относительной частоты 2-го и 3-го элемента?

3. Распределение семей по доходам (в условных единицах в месяц) представлено в группированном виде количеством Nl семей, попавших в l полуинтервал (zl-1;

zl] (табл. 2.2).

Заполните в таблице недостающие характеристики.

Изобразите графики гистограммы, полигона и кумуляты.

4. Какова средняя хронологическая величин 1, 2, 5, 9, характеризующих по следовательность равных промежутков времени?

84 Глава 2. Описательная статистика Таблица 2. (zl-1;

zl] 500;

700 700;

900 900;

1100 1100;

1300 1300;

Nl 4 8 5 2 l Fl fl 5. На что нужно поделить y1 - y0, чтобы получить среднюю хронологическую на временном отрезке [0, 1] ?

6. Чему равны простые средние: геометрическая, арифметическая, гармониче ская чисел 1, 2, 4?

7. Три объекта характеризуются следующими относительными признаками:

6, 1 3, 4. Веса этих объектов по числителю равны 0.1, 0.2, 0.7, вес первого объекта по знаменателю — 0.15. Чему равен вес второго объекта?

8. Какая из двух величин (a + b + c), или 1 1 + + a b c больше и почему?

9. Капитал за первый год не изменился, за второй — вырос на 12%. Средне годовой коэффициент, одинаковый по годам, равен Каков темп роста 8.

среднегодового капитала?

10. За первое полугодие капитал вырос на 12.5%, за второе — в 2 раза. Ка кова среднегодовая доходность (в процентах), если позиция инвестора была пассивной, или если он реинвестировал доход в середине года?

11. Совокупность предприятий была разделена на группы в зависимости от вели чины стоимости реализованной продукции. Количество предприятий в каж дой группе и среднее значение стоимости реализованной продукции в каждой группе даны в таблице:

2.5. Упражнения и задачи Номер группы 1 2 3 4 Количество предприятий в группе (ед.) 4 4 5 7 Среднее значение стоимости реализован- 15 20 25 30 нойпродукции(ден. ед.) Определить среднюю стоимость реализованной продукции по совокупности предприятий в целом.

12. По металлургическому заводу имеются следующие данные об экспорте про дукции:

Вид продукции Доля вида продукции в Удельный вес продукции общей стоимости реали- на экспорт, % зованной продукции, % Чугун 25 Прокат листовой 75 Определить средний удельный вес продукции на экспорт.

13. Совокупность населенных пунктов области была разделена на группы в зави симости от численности безработных. Количество населенных пунктов в каж дой группе и средняя численность безработных в каждой группе даны в таб лице:

Номер группы 1 2 3 4 Количество населенных пунктов в группе 4 8 2 3 Средняя численность безработных 10 12 15 20 Определить среднюю численность безработных по совокупности населенных пунктов в целом.

14. В таблице даны величины стоимости основных фондов на конец года за ряд лет:

Год 0 1 2 3 Стоимость основных 100 120 125 135 фондов на конец года Предположим, что стоимость фондов на конец года t совпадает со стоимостью на начало года t +1. Среднегодовой коэффициент равен 0.3. Определить:

а) среднегодовую стоимость основных фондов в 1, 2, 3 и 4 году;

86 Глава 2. Описательная статистика б) среднегодовой темп прироста среднегодовой стоимости основных фон дов за период с 1 по 4 годы.

15. В первые два года исленность занятых в экономике возрастала в среднем на 4% в год, за следующие три — на 5% и в последние три года среднегодо вые темпы роста составили 103%. Определите среднегодовые темпы роста и базовый темп прироста численности занятых за весь период.

16. В первые три года численность безработных возрастала в среднем на 2% в год, за следующие три — на 4% и в последние два года среднегодовые темпы роста составили 103%. Определите среднегодовые темпы роста и базовый темп прироста численности безработных за весь период.

17. В таблице даны величины дохода (в %), приносимые капиталом за год:

Год 1 2 3 Доходность 10 12 8 Определить среднегодовую доходность капитала в течение всего периода, если:

а) позиция инвестора пассивна;

б) позиция инвестора активна.

18. В первом квартале капитал возрастает на 20%, во втором — на 15%, в тре тьем — на 10%, в четвертом — на 20%. Определите среднегодовую доход ность капитала, если:

а) позиция инвестора пассивна;

б) позиция инвестора активна, т.е. он ежеквартально реинвестирует доход.

19. Во сколько раз вырастает ваш капитал за год, вложенный в начале года под 20% годовых, если вы а) не реинвестировали проценты;

б) реинвестировали их один раз в середине года;

в) реинвестировали три раза в начале каждого очередного квартала;

г) реинвестировали в каждый последующий момент времени.

В первом квартале капитал возрастает на 12%, во втором — на 15%, в тре тьем — на 20%, в четвертом — на 15%. Определите среднегодовую доход ность капитала, если:

2.5. Упражнения и задачи 20. Объем продукции в 1995 г. составил 107% от объема продукции 1990 г., в течение последующих двух лет он снижался на 1% в год, потом за 4 года вырос на 9% и в течение следующих трех лет возрастал в среднем на 2% в год. На сколько процентов возрос объем продукции за вес период? На сколько процентов он возрастал в среднем в год в течение этого периода.

21. Дана функция распределения F (x) = 1/(1 + e-x). Найти медиану и моду данного распределения.

22. В эмпирическом распределении z0 = 0, все дельты = 1, F3 = 0.21, F4 =0.4, F5 =0.7, F6 =0.77. Чему равны медиана и мода?

23. Известна гистограмма бимодального ряда наблюдений. На каком отрезке лежит медиана?

24. Медиана больше моды, где лежит среднее?

Какая из трех характеристик центра распределения количественного призна ка является квантилем и каким?

Медиана и средняя равны, соответственно, 5 и 6. Каково вероятное значение моды? Почему?

25. На основе информации о возрасте всех присутствующих на занятиях (включая преподавателя) определить характер асимметрии функции распределения?

26. Дать определение 5%-го квантиля и написать интерполяционную формулу расчет 5%-го квантиля для эмпирического распределения. Привести графи ческое обоснование формулы.

27. В эмпирическом распределении z0 = 0, все дельты = 1, F4 = 0.4, F5 = 0.7, F6 = 0.8, среднее равно 4.3. Какова асимметрия: правая (+) или левая (-) ? Чему равен 75%-ый квантиль?

28. Найти значение 30%-го квантиля, если известно эмпирическое распределе ние:

Границы интерва- 10–15 15–20 20–25 25– лов Частоты 1 3 4 29. Для ряда 1, 2, 3, 6 найти медианный и квартильный коэффициент вариации.

30. Чему равна ордината кривой Лоренца при абсциссе для ряда 1, 2, 3?

31. Чему равен медианный коэффициент вариации для ряда 1, 2, 3?

88 Глава 2. Описательная статистика 32. Как посчитать децильный коэффициент вариации?

33. Задан ряд наблюдений за переменной x: 3, 0, 4, 2, 1. Подсчитать основ ные статистики данного ряда, среднее арифметическое, медиану, дисперсию (смещенную и несмещенную), показатель асимметрии и куртозиса, размах выборки.

34. Для представленных ниже комбинаций значений показателей асимметрии 3 и эксцесса 4 дать графическое изображение совокупности и указать на графике положение моды, медианы и средней арифметической:

а) 3 > 0, 4 > 3;

б) 3 < 0, 4 > 3;

в) 3 < 0, 4 < 3;

г) 3 > 0, 4 =3;

д) 3 =0, 4 > 3;

е) 3 < 0, 4 =3;

ж) 3 =0, 4 < 3.

Рекомендуемая литература 1. Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные математико-статистические по нятия и формулы в экономическом анализе. — М.: Статистика, 1979.

(Разд. 1–4, 6).

2. Догуерти К. Введение в эконометрику. — М.: Инфра-М, 1997. (Гл. 1).

3. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: Статистика, 1977.

Вып. 1. (Гл. 4, 5, 7).

4. (*) Коррадо Д. Средние величины. — М.: Статистика, 1970. (Гл. 1).

5. Judge G.G., Hill R.C., Griffiths W.E., Luthepohl H., Lee T. Introduction to the Theory and Practice of Econometric. John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 5).

Глава Индексный анализ До сих пор термин «индекс» использовался исключительно как указатель места элемента в совокупности («мультииндекс» — в сгруппированной совокупности).

В данном разделе этот термин применяется в основном для обозначения показате лей особого рода, хотя в некоторых случаях он используется в прежнем качестве;

его смысл будет понятен из контекста.

3.1. Основные проблемы В экономической статистике индексом называют относительную величину, по казывающую, во сколько раз изменяется некоторая другая величина при переходе от одного момента (периода) времени к другому (индекс динамики), от одного ре гиона к другому (территориальный индекс) или в общем случае — при изменении условий, в которых данная величина измеряется. Так, например, в советской ста тистике широкое распространение имел индекс выполнения планового задания, который рассчитывается как отношение фактического значения величины к ее плановому значению.

Значение величины, с которым производится сравнение, часто называют ба зисным (измеренным в базисных условиях). Значение величины, которое сравни вается с базисным, называют текущим (измеренным в текущих условиях). Эта тер минология сложилась в анализе динамики, но применяется и в более общей си туации. Если y0 и y1 — соответственно базисное и текущее значение величины, y то индексом ее изменения является 01 =.

y y 90 Глава 3. Индексный анализ В общем случае речь идет о величинах yt, измеренных в условиях t =0,..., T, ys и об индексах rs =, где r и s принимают значения от 0 до T, и, как правило, y yr r

При таком определении система индексов обладает свойством транзитивности или, как говорят в экономической статистике, цепным свойством (нижний индекс указатель опущен): rs = rt1t1t2 ·... ·tns, гд е r, s ивсе ti, i =1,..., n также находятся в интервале от 0 до T, и, как следствие, свойством обратимости:

rs =, поскольку tt =1.

sr Это — самое общее определение индексов, не выделяющее их особенности среди других относительных величин. Специфика индексов и сложность проблем, возникающих в процессе индексного анализа, определяется следующими тремя обстоятельствами.

1) Задача индексного анализа состоит в количественной оценке не только само го изменения изучаемой величины, но и причин, вызвавших это изменение. Необ ходимо разложить общий индекс на частные факторные индексы. Пусть (верхний индекс-указатель опущен) y = xa, (3.1) где y и x — объемные величины, a — относительная величина.

Примерами таких «троек» являются:

(a) объем производства продукта в стоимостном выражении, тот же объем производства в натуральном выражении, цена единицы продукта в на туральном выражении;

(b) объем производства, количество занятых, производительность труда;

(c) объем производства, основной капитал, отдача на единицу капитала;

(d) объем затрат на производство, объем производства, коэффициент удельных затрат.

В общем случае формула имеет вид n y = x aj, (3.2) j= где все aj являются относительными величинами.

Примером использования этой формулы при n =2 может явиться сочетание приведенных выше примеров (a) и (b). В этом случае y — объем производства 3.1. Основные проблемы продукта в стоимостном выражении, x — количество занятых, a1 — производи тельность труда, a2 — цена единицы продукта. Этот пример можно усложнить на случай n =3 : a1 — коэффициент использования труда, a2 — «технологиче ская» производительность труда, a3 —цена.

Дальнейшие рассуждения будут, в основном, проводиться для исходной ситуа ции ( n =1, нижний индекс-указатель у a1 опускается).

По аналогии с величиной rs, которую можно назвать общим индексом, рас y считываются частные или факторные индексы для x и a :

xs as rs =, rs =.

x xr a ar Первый из них можно назвать индексом количества, второй — индексом каче ства.

Оба частных индекса, как и общий индекс, транзитивны и обратимы. Кро ме того, вслед за (3.1) выполняется следующее соотношение (верхние индексы указатели опущены): y = xa, и поэтому говорят, что эти три индекса облада ют свойством мультипликативности. Таким образом, факторные индексы количе ственно выражают влияние факторов на общее изменение изучаемой величины.

2) Пока неявно предполагалось, что величины y, x, a и, соответственно, все рассчитанные индексы характеризуют отдельный объект, отдельный элемент со вокупности. Такие индексы называют индивидуальными, и их, а также связанные с ними величины, следует записывать с индексом-указателем i объекта (верх ние индексы-указатели t, r, s опущены): yi, xi, ai, yi, xi, ai. До сих пор этот индекс-указатель опускался. Никаких проблем в работе с индивидуальными индексами не возникает, в частности, они по определению обладают свойством транзитивности и мультипликативности.

Предметом индексного анализа являются агрегированные величины. Предпо лагается, что yi аддитивны, т.е. выражены в одинаковых единицах измерения, и их можно складывать. Тогда (верхние индексы-указатели опущены) N N y = yi = xiai.

i=1 i= N В дальнейшем выражения типа xiai будут записываться как (x, a), т.е. как i= скалярные произведения векторов x и a.

Благодаря аддитивности yi индексы rs рассчитываются однозначно и явля y ются транзитивными.

N Если xi также аддитивны, их сумму x = xi можно вынести за скобки i= и записать y = xa, гд е a — средняя относительная величина, равная (x, a), 92 Глава 3. Индексный анализ Таблица 3. r s ar as rs sr =1/rs x x a a a 1 0.3 0.7 1.25 1.0 0.8 1. 2 0.7 0.3 0.4 0.5 1.25 0. Итого 1.0 1.0 0.66 0.85 1.30 0. xi x.

xi = Такая ситуация имеет место в приведенных выше примерах (b), (c), (d), если объемы производства и затрат измерены в денежном выражении.

В этом случае все формулы, приведенные выше для индивидуальных индексов, остаются справедливыми. Индексы агрегированных величин обладают свойствами транзитивности и мультипликативности.

Индексы агрегированных величин или собственно индексы должны обладать еще одним свойством — свойством среднего. Это означает, что их значения не долж ны выходить за пределы минимального и максимального значений соответствую щих индивидуальных индексов. С содержательной точки зрения это свойство весьма желательно. Иногда индексы так и определяются — как средние индивидуальных индексов. Например, индексы динамики — как средние темпы роста.

Легко убедиться в справедливости следующих соотношений ( xi по-прежнему аддитивны):

r yi rs = r rs, где r =, y yi yi yi yr i xr i rs = r rs, где r =, x xi xi xi xr i s ar xi i rs = r rs, где r =.

a ai ai ai r ar xi i i Как видно из приведенных соотношений, индексы объемных величин являются средними индивидуальных индексов, т.к. суммы по i весов r и r равны едини yi xi це. Индекс же относительной величины этим свойством не обладает. В частности, он может оказаться больше максимального из индивидуальных индексов, если при переходе от условий r к условиям s резко возрастает вес xi объекта с высоким показателем rs. И наоборот, индекс средней относительной величины может ока a заться меньше минимального индивидуального индекса, если резко увеличивается вес объекта с низким относительным показателем.

Эту особенность индекса относительной величины можно проиллюстрировать следующим числовым примером при N =2 (см. табл. 3.1).

3.2. Способы построения индексов При переходе от r к s резко увеличивается (с 0.3 до 0.7) доля 1-го объекта с высоким уровнем относительного показателя. В результате значение итогового индекса — 1.43 — оказывается больше значений обоих индивидуальных индек сов — 0.8 и 1.25. При переходе от s к r ситуация противоположна (в данном случае индексы обратимы), и итоговый индекс меньше индивидуальных.

Характерно, что этот парадокс возникает в достаточно простой ситуации, когда объемы xi аддитивны.

3) Собственно проблемы индексного анализа возникают в случае, когда xi неаддитивны. Такая ситуация имеет место в приведенном выше примере (а). Имен но данный пример представляет классическую проблему индексного анализа. В его терминах часто излагается и сама теория индексов. Общий индекс, называемый в этом случае индексом стоимости, который рассчитывается по формуле (xs, as) rs =, y (xr, ar) необходимо разложить на два частных факторных индекса (представить в виде произведения этих частных индексов):

rs — индекс объема (физического объема) и x rs — индекс цен.

a В случае аддитивности xi аналогичные проблемы возникают для индекса не объемной величины y, который раскладывается на факторные индексы естествен y ным образом (как было показано выше), а относительной величины a =. Общий x индекс этой величины, называемый индексом переменного состава и удовлетво ряющий соотношению (s, as) x rs =, a (r, ar) x надо представить как произведение факторных индексов: rs — индекс структуры (структурных сдвигов) и rs — индекс индивидуальных относительных величин, (a) называемый индексом постоянного состава.

3.2. Способы построения индексов Возникающая проблема разложения общего индекса на факторные индексы может решаться различным образом. Возможны следующие подходы:

(xs, ar) (xs, as) (1) rs = = rsrs.

y x a (xr, ar) (xs, ar) 94 Глава 3. Индексный анализ Индекс объема считается как отношение текущей стоимости в базисных ценах к фактической базисной стоимости, а индекс цен — как отношение фактической текущей стоимости к текущей стоимости в базисных ценах.

(xs, as) (xr, as) (2) rs = = rsrs.

y x a (xr, as) (xr, ar) В этом случае индекс объема рассчитывается делением фактической текущей стоимости на базисную стоимость в текущих ценах, а индекс цен — делением ба зисной стоимости в текущих ценах на фактическую базисную стоимость.

Оба эти варианта имеют очевидный содержательный смысл, но результаты их применения количественно различны, иногда — существенно.

(3) Промежуточный вариант, реализуемый, например, если взять среднее гео метрическое с равными весами индексных выражений (1) и (2) :

(xs, ar) (xs, as) (xs, as) (xr, as) rs = = rsrs.

y x a (xr, ar) (xr, as) (xs, ar) (xr, ar) (4) Индекс объема можно рассчитать как некоторое среднее взвешенное ин дивидуальных индексов объема:

k rs = i (rs)k, i =1, x xi i i где k, как правило, принимает значение либо 1 (среднее арифметическое), ли бо 0 (среднее геометрическое), либо -1 (среднее гармоническое). А индекс цен rs y по формуле rs =, так чтобы выполнялось мультипликативное индексное вы a rs x ражение.

(5) Обратный подход:

k rs = i (rs)k, i =1, a ai i i rs y rs =.

x rs a Индекс объема в подходе (4) и инд екс цен в под ход е (5) можно находить и другими способами.

3.2. Способы построения индексов (6-7) Например, их можно взять как некоторые средние индексов, определен ных в подходах (1) и (2) (т.е. использовать другой вариант подхода (3)):

rs (xs, ar + as) y rs =, rs =, x a (xr, ar + as) rs x rs (xr + xs, as) y rs =, rs =.

a x (xr + xs, ar) rs a (8-9) Или рассчитать по некоторым нормативным ценам an и весам xn :

rs (xs, an) y rs =, rs =, x a (xr, an) rs x rs (xn, as) y rs =, rs =.

a x (xn, ar) rs a Подходы (4-5) при определенном выборе типа среднего и весов агрегирования оказываются эквивалентны подходам (1-2).

Так, если в подходе (4) индекс объема взять как среднее арифметическое инди видуальных индексов объема с базисными весами r, то будет получено индексное y выражение подхода (1), поскольку r r (xs, ar) yi rs yi xi = и, как прежде, r =.

yi (xr, ar) yr yr Аналогично, если в том же подходе (4) индекс объема рассчитать как сред нее гармоническое индивидуальных индексов с текущими весами s, то получится y индексное выражение подхода (2).

Подход (5) окажется эквивалентным подходу (1), если в нем индекс цен опре делить как среднее гармоническое индивидуальных индексов с текущими весами;

он будет эквивалентен подходу (2), если индекс цен взять как среднее арифмети ческое с базисными весами.

Здесь приведено лишь несколько основных подходов к построению мультипли кативных индексных выражений. В настоящее время известны десятки (а с неко торыми модификациями — сотни) способов расчета индексов. Обилие подходов свидетельствует о том, что данная проблема однозначно и строго не решается.

На этом основании некоторые скептики называли индексы способом измерения неизмеримых в принципе величин и ставили под сомнение саму целесообразность их применения. Такая точка зрения ошибочна.

Во-первых, индексы дают единственную возможность получать количествен ные макрооценки протекающих экономических процессов (динамика реального 96 Глава 3. Индексный анализ производства, инфляция, уровень жизни и т.д.), во-вторых, они и только они поз воляют иметь практические приложения многих абстрактных разделов макроэко номики как научной дисциплины. Так, например, даже самое элементарное макро экономическое уравнение денежного обмена PQ = MV, где P — уровень цен, Q — товарная масса, M — денежная масса, V —ско рость обращения денег, не имеет непосредственно никакого практического смысла, ибо ни в каких единицах, имеющих содержательный смысл, не могут быть измере ны P и Q. Можно измерить лишь изменения этих величин и — только с помощью техники индексного анализа. Например, измеримыми могут быть переменные урав нения денежного оборота в следующей форме:

0 Y 0101 = M1V, P Q где Y — валовой оборот (общий объем производства или потребления) базис ного периода в фактических ценах.

Проблема выбора конкретного способа построения индексов из всего множе ства возможных способов решается на практике различным образом.

В советской статистике был принят подход (1). Аргументация сводилась к сле дующему. Количественный (объемный) признак является первичным по отноше нию к качественному (относительному) и поэтому при переходе от базисных усло вий к текущим сначала должен меняться он (количественный признак):

x0, a0 x1, a0 x1, a1.

Первый шаг этого «перехода» дает индекс объема, второй — индекс цен. Внятных разъяснений тому, почему количественный признак первичен и почему именно пер вичный признак должен меняться первым, как правило, не давалось. Тем не менее, применение этого подхода делает весьма наглядным понятие объемов (производ ства, потребления,... ) в сопоставимых или неизменных ценах.

Действительно, пусть оценивается динамика в последовательные периоды вре мени t = 0,..., N, и индексы для любого периода t > 0 строятся по отно шению к одному и тому же базисному периоду t = 0. Тогда при использовании подхода (1) указанный выше «переход» для любого периода t > 0 принимает форму x0, a0 xt, a0 xt, at, и выстраивается следующая цепочка пока зателей физического объема: (x0, a0), (x1, a0),..., (xt, a0),..., (xN, a0). Оче видна интерпретация этих показателей — это объемы в сопоставимых (базисных) или неизменных ценах. Однако «наглядность» не всегда обеспечивает «правиль ность». Об этом пойдет речь в пункте 3.6.

3.2. Способы построения индексов В современной индексологии проблема выбора решается в зависимости от того, какому набору требований (аксиом, тестов) должны удовлетворять применяемые индексы. Требования — это свойства, которыми должны обладать индексы. Вы ше были определены три таких свойства: мультипликативности, транзитивности и среднего. Приведенные выше подходы к построению индексов с этой точки зре ния не одинаковы. Все они удовлетворяют требованию мультипликативности — по построению. А транзитивными могут быть, например, только в подходах (4-5), при k =0. Свойством среднего могут не обладать индексы цен подходов (4, 6, 8) и индексы объемов в подходах (5, 7, 9).

Иногда добавляют еще одно требование — симметричности. Это требование означает, что оба факторных индекса должны рассчитываться по одной и той же формуле, в которой лишь меняются местами переменные и нижние индексы с x на a или наоборот. Из всех приведенных выше подходов только (3) приводит к индексам, отвечающим этому требованию. Многие экономисты считают это тре бование надуманным. Так, например, даже при естественном разложении общего индекса, которое имеет место в случае аддитивности объемного признака, фактор ные индексы асимметричны.

При выборе способа расчета индексов полезно проводить математический ана лиз используемых формул. В некоторых случаях эти математические свойства та ковы, что результат расчета неизбежно будет содержать систематическую ошибку.

Пусть, например, речь идет о расчете индекса цен как среднего индивидуальных индексов (подход (5)), и веса взвешивания остаются неизменными во времени.

В данном случае (как и в ряде других случаев) имеет смысл проверить, как ведет себя индекс на осциллирующих рядах индивидуальных цен. Цены осциллируют — значит меняются циклически с периодом две единицы времени:

t, t+1 =, t =0, 1, 2,....

ai t+1, t+ ai Поэтому общий индекс цен за период времени, включающий четное количество временных единиц, всегда равен единице:

t, t+2T =1.

a Этот результат понятен, поскольку индивидуальные цены лишь колеблются, не из меняя своего общего уровня. Этот же общий индекс можно рассчитать по цепному правилу:

t, t+1t+1, t+2... t+2T -1, t+2T.

a a a Индекс в такой форме в дальнейшем будет называться цепным и обозначаться t, t+1,..., t+2T или tt+2T, гд е« » заменяет последовательность временных под a a периодов — единиц времени внутри общего периода.

98 Глава 3. Индексный анализ Рассчитанный таким образом индекс равен единице только при использовании сред него геометрического (при k =0) в расчете индексов за каждую единицу времени.

Это проверяется непосредственной подстановкой формулы среднего геометриче ского при неизменных во времени весах индивидуальных индексов. Из свойства мажорантности средних следует, что при использовании средних арифметических общий цепной индекс будет обязательно больше единицы, а при использовании средних гармонических — меньше единицы. Другими словами, результат будет ли бо преувеличен, либо преуменьшен. Причем ошибка будет тем выше, чем длиннее рассматриваемый период (чем больше T ). Из этого следует два вывода:

– при расчете общего индекса как среднего индивидуальных индексов веса не должны оставаться постоянными во времени, – общий индекс как среднее арифметическое индивидуальных индексов может преувеличить реальный рост изучаемой величины, а как среднее гармониче ское — преуменьшить его.

Формальный анализ индексного выражения позволяет выяснить, с какими по грешностями связано его использование при изучении реальных процессов.

Например, полезно исследовать, к каким погрешностям приводит нетранзитивность индексов.

Как уже отмечалось, в общем случае индексы всех приведенных выше подходов не об ладают свойством транзитивности. В частности, индекс цен подхода (1) не транзи тивен, т.к.

x1, a1 x2, a2 x2, a 012 = = = 02.

a a (x1, a0) (x2, a1) (x2, a0) Вопрос о том, какая из этих величин больше, сводится, как не сложно убедить ся, путем элементарных преобразований к вопросу о соотношении следующих двух возможных значений индекса 01 :

a x1, a1 x2, a и, (x1, a0) (x2, a0) которые можно обозначить, соответственно, через 01(1) и 01(2). Их, в свою a a очередь, можно представить как средневзвешенные индивидуальных индексов цен 01 (индексы-указатели опущены):

ai (1) = ( (1), ), (2) = ( (2), ), x1a0 x2a i i i i где i (1) =, i (2) =.

(x1, a0) (x2, a0) Для рыночной экономики характерно сокращение объемов покупок товара при росте цен на него. Если предположить, что динамика цен и объемов устойчива в рассматри ваемом периоде, и направленность их трендов (вверх или вниз) не меняется на нем 3.2. Способы построения индексов (такое предположение необходимо сделать, т.к. динамика цен на подпериоде связывается в данных индексах с динамикой объемов на подпериоде 12), то в таких условиях 01 (1) >01 (2).

a a Из этого следует, что для рыночной экономики значение цепного индекса 012 впод a ходе (1) больше значения соответствующего обычного индекса 02.

a Аналогичный анализ индексов цен подхода (2) показывает, что для них характерно противоположное соотношение: цепной индекс принимает меньшее значение, чем обычный индекс за период времени.

Несколько слов о терминах.

Факторные индексы, используемые в подходах (1-2), называются агрегатны ми. Такие индексы были предложены немецкими экономистами Э. Ласпейресом и Г. Пааше во второй половине XIX века. Индекс Ласпейреса строится так, чтобы в числителе и знаменателе неизменными оставались объемы или цены на базис ном уровне, поэтому знаменателем этого индекса является фактическая базисная стоимость, а числитель образован и базисными, и текущими значениями. Этот индекс является среднеарифметическим индивидуальных индексов с базисными весами. Таковыми являются индекс объема в подходе (1) и индекс цен подхо да (2).

В числителе и знаменателе индекса Пааше одинаковыми объемы или цены фиксируются на текущем уровне. Его числителем является фактическая текущая стоимость, знаменатель имеет смешанный состав. Такой индекс выступает средне гармоническим индивидуальных индексов с текущими весами. Это — индекс цен подхода (1) и индекс объема подхода (2).

В мультипликативном представлении общего индекса стоимости один из фак торных индексов — индекс Ласпейреса, другой — Пааше.

В 20-х годах XX века Фишером было предложено рассчитывать индексы как средние геометрические соответствующих индексов Ласпейреса и Пааше с равны ми весами. Потому индексы подхода (3) называются индексами Фишера. Фишер показал, что в его системе тестов (требований, аксиом) они являются наилучшими из всех возможных (им рассмотренных).

Индексы цен, рассчитанные каким-то способом, например, как в подходах (5), (7), (9), или заданные нормативно (при прогнозировании) с целью дальнейшего определения индексов объемов из требования мультипликативности иногда назы вают дефляторами стоимости (например, дефляторами ВВП — валового внутрен него продукта). А такой способ расчета индексов цен и объемов — дефлятирова нием.

100 Глава 3. Индексный анализ На практике при построении индексов цен часто используют нормативный под ход (9). Причем структуру весов обычно принимают облегченной — не по всем товарам (их, как правило, бывает много), а по товарам-представителям, кажд ый из которых представляет целую товарную группу. Такой характер имеют, например, индексы цен по потребительской корзине, в которую включаются от нескольких десятков до нескольких сотен основных потребительских продуктов.

Итак, рассмотрены основные проблемы и подходы, существующие при прове дении индексного анализа, с помощью которого изучается вопрос о том, во сколько раз меняется значение величины при переходе от одних условий к другим — в це лом и за счет отдельных факторов.

3.3. Факторные представления приростных величин Во многом схожие проблемы возникают и в анализе вопроса о том, на сколько и за счет каких факторов меняется значение изучаемой величины. В таком анализе общее изменение величины во времени или в пространстве требуется разложить по факторам, вызвавшим это изменение:

ys - yr =rs =rs +rs.

y x a В случае, когда y — результат (какая-то результирующая величина, напри мер, объем производства), x — затраты (например, основной капитал или занятые в производстве), a — эффективность использования затрат (отдача на капитал или производительность труда), то говорят о проблеме разложения общего прироста результирующей величины на экстенсивные и интенсивные факторы.

При изучении изменений относительной величины at = t, at во времени или в пространстве — в случае аддитивности объемных признаков xi — возни кает аналогичная проблема разделения прироста этой величины rs на факторы a изменения структуры rs и изменения индивидуальных относительных величин rs. Так, например, общее различие материалоемкости совокупного производства (a) между двумя регионами можно попытаться разбить на факторы различия отрасле вых структур производства и отраслевых материалоемкостей производства.

Эти проблемы можно решить так же, как и в подходах (1-3) индексного ана лиза.

(1 ) Вподходе (1) индексного анализа общий индекс rs умножается и делится y на величину (xs, ar), и после перегруппировки сомножителей получается искомое индексное выражение. Теперь, аналогично, к общему приросту rs прибавляется y и из него вычитается та же величина (xs, ar). После перегруппировки слагаемых 3.3. Факторные представления приростных величин образуется требуемое пофакторное представление:

rs =[(xs, ar) - (xr, ar)] + [(xs, as) - (xs, ar)] = y =(xs - xr, ar) +(xs, as - ar) =rs +rs.

x a (2 ) Теперь работает величина (xr, as) :

rs =[(xs, as) - (xr, as)] + [(xr, as) - (xr, ar)] = y =(xs - xr, as) +(xr, as - ar) =rs +rs.

x a (3 ) Берется среднее арифметическое пофакторных представлений (1 ) и (2 ) с равными весами:

ar + as xr + xs rs = xs - xr, +, as - ar =rs +rs.

y x a 2 Существует более общий подход, в рамках которого пофакторное представле ние общего прироста результирующей величины строится на основе определенного мультипликативного индексного выражения rs = rsrs.

y x a Для относительного прироста результирующей величины можно записать сле дующее тождество:

rs - 1 =(rs - 1) + (rs - 1) + (rs - 1)(rs - 1).

y x a x a Выражение для общего абсолютного прироста результирующей величины по лучается умножением обеих частей этого соотношения на yr, равный (xr, ar).

Первое слагаемое правой части этого тождества показывает влияние изме нения объемной величины (экстенсивные факторы), второе слагаемое — влияние изменения относительной величины (интенсивные факторы), а третье слагаемое — совместное влияние этих факторов. Эта ситуация иллюстрируется рисунком 3.1.

Общему изменению результирующей величины соответствует площадь фигу ры ABDF GH, влиянию объемного фак B C D тора — площадь ABCH, влиянию отно rs x сительного фактора — площадь GHEF, совместному влиянию факторов — пло A 1 E щадь HCDE. Вопрос получения искомо H го пофакторного представления общего прироста сводится к тому, как распреде G F лить между факторами «вклад» их сов rs a местного влияния. Здесь возможны три подхода.

Рис. 3. 102 Глава 3. Индексный анализ (1 ) Все совместное влияние факторов можно отнести на относительный фак тор:

rs - 1 =(rs - 1) + rs (rs - 1) = (rs +rs).

y x x a yr x a В этом случае влиянию относительного фактора соответствует на рисунке пло щадь GCDF, а влиянию объемного фактора — площадь ABCH.

( 2 ) Совместное влияние факторов относится на количественный фактор:

rs - 1 =(rs - 1) rs +(rs - 1) = (rs +rs).

y x a a yr x a Теперь влиянию объемного фактора соответствует на рисунке площадь ABDE, а влиянию относительного фактора — площадь GHEF.

Несложно убедиться в том, что в подходе (1 ) фактически к общему относи тельному приросту rsrs - 1 прибавляется и отнимается индекс объемной вели x a чины rs, а затем нужным образом группируются слагаемые;

в подходе (2 ) — x прибавляется и отнимается индекс относительной величины rs, а затем также a нужным образом группируются слагаемые. Другими словами, имеется определен ная аналогия с подходами (1 ) и (2 ). Можно сказать, что в подходе (1 ) сначала меняет свое значение объемный признак, а затем — относительный:

1 1 rs 1 rsrs, x x a и первый шаг в этом переходе определяет вклад объемного фактора, второй — относительного фактора. В подходе (2 ), наоборот, сначала меняется значение относительного признака, а затем — объемного:

1 1 1 rs rsrs, a x a и теперь первый шаг перехода дает вклад относительного фактора, второй — объ емного.

(3 ) Берется среднее арифметическое с равными весами пофакторных пред ставлений (1 ) и (2 ) :

1+rs 1+rs a x rs - 1 =(rs - 1) + (rs - 1) = (rs +rs).

y x a 2 2 yr x a В этом случае влияние объемного фактора выражает площадь трапеции ABDH, а влияние относительного фактора — площадь трапеции GHDF.

Итак, на основе каждого мультипликативного индексного выражения можно получить по крайней мере три пофакторных представления прироста изучаемой ве личины. Причем, если неопределенность (множественность подходов) построения 3.3. Факторные представления приростных величин индексного выражения связана с агрегированным характером изучаемой величины и неаддитивностью объемных факторных величин, то неопределенность пофактор ных представлений приростов имеет место и для неагрегированных величин. Это объясняется тем, что она (неопределенность) является следствием наличия ком поненты совместного влияния факторов, которую необходимо каким-то образом «разделить» между факторами.

Пусть, например, используется индексное выражение подхода (1). На его ос нове получается три следующих пофакторных представления общего прироста.

(1 - 1 ) rs =(xs - xr, ar), x rs =(xs, as - ar).

a Эти выражения получены в результате подстановки индексов подхода (1) в фор мулу подхода (1 ) и умножения на yr. Интересно, что результат совпадает с под ходом (1 ).

(xs, as) (1 - 2 ) rs =(xs - xr, ar), x (xs, ar) (xr, ar) rs =(xs, as - ar).

a (xs, ar) ar+as xs, (1 - 3 ) rs =(xs - xr, ar), x (xs, ar) xr+xs, ar rs =(xs, as - ar).

a (xs, ar) Теперь используется индексное выражение подхода (2).

(xr, ar) (2 - 1 ) rs =(xs - xr, as), x (xr, as) (xs, as) rs =(xr, as - ar).

a (xr, as) (2 - 2 ) rs =(xs - xr, as), x rs =(xr, as - ar).

a 104 Глава 3. Индексный анализ Этот результат аналогичен подходу (2 ).

ar+as xr, (2 - 3 ) rs =(xs - xr, as), x (xr, as) xr+xs, as rs =(xr, as - ar).

a (xr, as) При всем многообразии полученных пофакторных представлений прироста изу чаемой величины все они являются «вариациями на одну тему»: вклады объемного и относительного факторов определяются в результате различных скаляризаций, соответственно, векторов xs - xr и as - ar. Кроме того, несложно установить, что для индивидуальных (неагрегированных) величин подходы (1 ) (1-1 ) и (2-1 ) эквивалентны, также как подходы (1-2 ) и (2 ) (2-2 ) ипод ход ы (3 ), (1-3 ) и (2-3 ), т.е. различия между ними, по существу, связаны с разными способами разделения совместного влияния факторов.

3.4. Случай, когда относительных факторов более одного Теперь можно дать обобщение подходов (1 - 3), (1 - 3 ) и (1 - 3 ) на случай, когда относительных факторов в мультипликативном выражении (3.2) два или более. Пусть n =2, т.е.

yt = xtat at.

i 1i 2i i Для краткости будем далее использовать обозначение xt, at, at = xtat at.

1 2 i i 1i 2i Речь идет о построении индексного выражения rs = rsrsrs y x 1 в идеологии подходов (1 - 3), гд е rs и rs — индексы первого и второго отно 1 сительного признака.

Построение мультипликативного индексного выражения зависит от того, в ка кой последовательности факторные величины меняют свои значения от базисных к текущим. Пусть эта последовательность задана такой же, как и в исходном муль типликативном выражении, т.е. сначала меняет свое значение объемный признак, затем первый относительный признак и, в последнюю очередь, второй относитель ный признак:

(xr, ar, ar) (xs, ar, ar) (xs, as, ar) (xs, as, as).

1 2 1 2 1 2 1 3.4. Случай, когда относительных факторов более одного Тогда (xs, ar, ar) (xs, as, ar) (xs, as, as) 1 2 1 2 1 rs =, rs =, rs =.

x 1 (xr, ar, ar) (xs, ar, ar) (xs, as, ar) 1 2 1 2 1 Такой способ построения индексного выражения полностью аналогичен подхо ду (1). Пусть теперь последовательность включения факторных величин измени лась. Например, объемный признак по-прежнему меняет свое значение первым, затем — второй и, наконец, первый относительный признак:

(xr, ar, ar) (xs, ar, ar) (xs, ar, as) (xs, as, as).

1 2 1 2 1 2 1 Тогда (xs, ar, ar) (xs, as, as) (xs, ar, as) 1 2 1 2 1 rs =, rs =, rs =.

x 1 (xr, ar, ar) (xs, ar, as) (xs, ar, ar) 1 2 1 2 1 Общее количество возможных последовательностей включения факторных ве личин равно числу перестановок из 3 элементов: 3! = 6, т.е. имеется 6 возможных мультипликативных индексных выражений. Аналогом индексного выражения (3) является среднее геометрическое с равными весами указанных 6-ти вариантов.

Аналогичным образом строятся пофакторные представления типа (1 -3 ) ити па (1 - 3 ). Во 2-м случае, если принята исходная последовательность «включе ния» факторных признаков:

1 1 1 rs 1 1 rsrs 1 rsrsrs, x x 1 x 1 то rs = yr (rs - 1), rs = yrrs (rs - 1), rs = yrrsrs (rs - 1);

x x 1 x 1 2 x 1 если относительные признаки в принятой последовательности меняются местами:

1 1 1 rs 1 1 rs 1 rs rsrsrs, x x 2 x 1 то rs = yr (rs - 1), rs = yrrsrs (rs - 1), rs = yrrs (rs - 1), x x 1 x 2 1 2 x и общее количество вариантов таких представлений — 6. Аналогом представле ния (3 ) будет являться среднее арифметическое этих 6-ти вариантов с равными весами.

В общем случае при n относительных величин в мультипликативном представ лении результирующей величины имеется (n +1)! вариантов индексных выра жений, аналогичных (1-2), и пофакторных представлений, аналогичных (1 -2 ) 106 Глава 3. Индексный анализ и (1 -2 ) (в основном случае, рассмотренном в пунктах 3.1–3.2, n =1, иимелось по 2 таких варианта). Усреднение этих вариантов с равными весами дает результа ты, аналогичные, соответственно, подходам (3), (3 ) и (3 ).

В пунктах 3.1–3.4 рассмотрены проблемы, которые возникают в практике по строения индексных выражений и пофакторных представлений динамики резуль тирующей величины. Проведенный анализ можно назвать прикладным.

3.5. Индексы в непрерывном времени Для лучшего понимания проблем, возникающих при индексном анализе, и воз можностей решения этих проблем полезно рассмотреть их на примере индексов в непрерывном времени. Анализ индексов в непрерывном времени можно назвать теоретическим. В этом случае динамика объемных и относительных величин зада ется непрерывными дифференцируемыми функциями y(t), x(t), a(t), ивозможны три типа индексов: в момент времени t (моментные), сопоставляющие два мо мента времени t1 и t0 («момент к моменту») и два периода времени [t1, t1 + ] и [t0, t0 + ], |t1 - t0| («период к периоду»). Ниже рассматриваются эти три типа индексов.

1) Моментные индексы.

Индивидуальными индексами такого типа являются моментные темпы роста, рассмотренные в пункте 1.8 (нижние индексы-указатели объекта опущены):

d ln [ ] (t) d ln [ ] (t) [ ] (t) =exp, ln [ ] (t) = =[ ] (t), dt dt где [ ](t) — моментный темп роста, [ ](t) — моментный темп прироста, а на месте [ ] стоит либо y — для объемной результирующей величины (стоимости), либо x — для объемной факторной величины (объема), либо a — для относи тельной величины (цены).

Легко убедиться в том, что эти индивидуальные индексы вслед за (3.1) облада ют свойством мультипликативности или, как говорят, удовлетворяют требованию (тесту) мультипликативности (здесь и далее при описании моментных индексов указатель на момент времени (t) опущен):

d ln(xa) d ln x d ln a ln y = = + =ln x +lna, dt dt dt т.е. y = xa.

Вопрос о транзитивности моментных индексов обсуждается ниже в связи с пе реходом к индексам «момент к моменту». Понять, как перемножаются индексы 3.5. Индексы в непрерывном времени в бесконечной последовательности бесконечно малых моментов времени, можно только в интегральном анализе.

Агрегированный моментный индекс или собственно моментный индекс объ емной результирующей величины строится следующим образом (возвращаются нижние индексы-указатели объекта):

1 d yi 1 dyi 1 dyi ln y = = = i = i ln yi, y dt y dt yi dt yi где i =, т.е. y = i.

yi y Таким образом, индекс результирующей величины есть средняя геометриче ская индивидуальных индексов с весами-долями объектов в этой объемной резуль тирующей величине. Как видно из приведенного доказательства, это — следствие аддитивности результирующей величины.

Не сложно провести разложение общего индекса на факторные:

1 dxiai 1 dxi dai ln y = = ai + xi = y dt y dt dt 1 1 dxi 1 dai = yi + yi = i ln xi + i ln ai, y xi dt ai dt т.е.

y = i i, xi ai и, если факторные индексы определить как x = i, a = i, xi ai то получается искомое мультипликативное выражение y = xa.

Чрезвычайно интересно, что и факторный индекс объемной величины, которая может быть неаддитивной, и факторный индекс относительной величины, которая принципиально неаддитивна, рассчитываются так же, как общий индекс аддитивной результирующей величины — как средние геометрические индивидуальных индек сов. Причем во всех этих трех индексах используются одинаковые веса — доли объектов в результирующей величине.

Итак, моментные индексы мультипликативны, транзитивны, что будет показа но ниже, обладают свойством среднего и симметричны по своей форме. Следова тельно, обсуждаемые выше проблемы являются следствием не принципиальных особенностей индексов, а разных способов привязки их ко времени.

108 Глава 3. Индексный анализ 2) Индексы «момент к моменту» (индексы за период времени).

Индивидуальные индексы такого типа рассмотрены в пункте 1.8 как непрерыв ные темпы роста за период (нижние индексы-указатели объектов опущены):

t ln [ (t)dt [ ] (t1) t0 ] [ ] (t0, t1) =e =, [ ] (t0) где [ ](t0, t1) — индекс за период [t0, t1], а на месте [ ], как и прежде, стоит либо y — для объемной результирующей величины (стоимости), либо x —д ля объемной факторной величины (объема), либо a — для относительной величины (цены).

Это выражение, прежде всего, означает транзитивность моментных индексов.

Чтобы убедиться в этом, можно провести следующие рассуждения (указатель [ ] в этих рассуждениях опущен).

Пусть моментный индекс в периоде [t0, t1] неизменен и равен (t1), тогда, t вычислив ln (t)dt, можно увидеть, что t (t0, t1) = (t1)t1-t0, т.е. для того, чтобы привести моментные индексы к форме, сопоставимой с индек сами за период, надо их возводить в степень, равную длине периода.

Теперь, разбив общий период [t0, t1] на n равных подпериодов длиной t1 - t = и обозначив t(j) = t0 + j, можно записать исходное выражение n связи индекса за период с моментными индексами в следующем виде:

t (j) n ln (t0, t1) = ln (t) dt.

j= t(j-1) Пусть в каждом j-м подпериоде [t(j-1), t(j)] моментный индекс неизменен иравен (t(j)). Тогда из этого выражения следует, что n (t0, t1) = t(j).

j= В результате перехода к пределу при n получается соотношение, кото рое можно интерпретировать как свойство транзитивности моментных индексов.

Возведение цепного моментного индекса в степень необходимо, как было только что показано, для приведения его к форме, сопоставимой с индексом за период.

3.5. Индексы в непрерывном времени Индивидуальные индексы «момент к моменту» транзитивны по своему опреде лению:

t2 t1 t ln [ ] (t0, t2) = ln [ ] (t) dt = ln [ ] (t) dt + ln [ ] (t) dt = t0 t0 t =ln [ ] (t0, t1) +ln[ ] (t1, t2), т.е. [ ](t0, t2) =[ ](t0, t1) · [ ](t1, t2).

Их мультипликативность следует непосредственно из мультипликативности мо ментных индексов. Действительно:

t ln y (t0, t1) = (ln x(t) +lna(t)) dt =ln x(t0, t1) +lna(t0, t1), ----------- t0 ln x(t)a(t) ---- y(t) т.е.

y (t0, t1) =x (t0, t1) · a (t0, t1).

Теперь рассматриваются агрегированные индексы «момент к моменту» (воз вращаются нижние индексы-указатели объекта). Индексы такого типа были пред ложены в конце 20-х годов XX века французским статистиком Ф. Дивизиа, и по этому их называют индексами Дивизиа.

Как было показано выше, моментный индекс результирующей величины яв ляется средним геометрическим индивидуальных индексов. Для индекса Дивизиа результирующей величины такое свойство в общем случае не выполняется. Дей ствительно:

t ln y (t0, t1) = i (t)lnyi (t) dt, i t и, если бы веса i(t) не менялись во времени, их можно было бы вынести за знак интеграла и получить выражение индекса как среднего геометрического индивиду альных индексов. Однако веса меняются во времени, и такую операцию провести нельзя. Можно было бы ввести средние за период веса по следующему правилу:

i (t)lnyi (t) dt i (t0, t1) =, ln yi (t) dt и получить выражение ln y (t0, t1) = i (t0, t1)lnyi (t0, t1), (3.3) 110 Глава 3. Индексный анализ которое являлось бы средним геометрическим, если бы сумма средних за период весов равнялась единице. Но равенство единице их суммы в общем случае не гарантировано.

Имеется один частный случай, когда общий индекс является средним геомет рическим индивидуальных. Если индивидуальные моментные индексы не меняются /(t1-t0) во времени и, как было показано выше, равны (yi (t0, t1)), то их можно вынести за знак интеграла и получить выражение, аналогичное по форме (3.3):

ln y (t0, t1) = i (t0, t1)lnyi (t0, t1), t где теперь i (t0, t1) = i (t) dt — средние хронологические весов. Их сум t1 - t t ма равна единице, т.к. i (t) =1 :

t1 t 1 i (t0, t1) = i (t) dt = dt =1.

t1 - t0 t1 - t t0 t Тем не менее, индекс Дивизиа результирующей величины обладает свойством среднего в общем случае. В силу аддитивности yi, этот индекс является обычной средней относительной и, как отмечалось в пункте 2.2, может быть представлен как среднее арифметическое индивидуальных индексов с базисными весами (по знаменателю) или среднее гармоническое индивидуальных индексов с текущими весами (по числителю).

Вслед за мультипликативностью моментных индексов, индексы Дивизиа так же мультипликативны. В этом не сложно убедиться, если определить факторные индексы Дивизиа естественным образом:

t1 t ln x (t0, t1) = ln x (t) dt = i (t)lnxi (t) dt, t0 t t1 t ln a (t0, t1) = ln a (t) dt = i (t)lnai (t) dt.

t0 t Действительно:

t1 t1 t ln y (t0, t1) = ln x (t) a (t) dt = ln x (t) dt + ln a (t) dt = t0 y(t) t0 t =ln x (t0, t1) +lna (t0, t1), 3.5. Индексы в непрерывном времени т.е. y (t0, t1) =x (t0, t1) · a (t0, t1).

Факторные индексы не могут быть представлены как средние геометрические индивидуальных индексов — кроме частного случая, когда индивидуальные мо ментные индексы неизменны во времени. Это было показано на примере индекса результирующей величины. В случае аддитивности xi факторный индекс объема все-таки обладает свойством среднего (как и индекс результирующей величины).

В общем случае факторные индексы требованию среднего не удовлетворяют.

Непосредственно из определения индексов Дивизиа следует их транзитивность.

Но факторные индексы этим свойством обладают в специфической, не встречав шейся ранее форме. До сих пор при наличии транзитивности общий за период индекс можно было рассчитать двумя способами: непосредственно по соотноше нию величин на конец и начало периода или по цепному правилу — произведением аналогичных индексов по подпериодам:

(t0, tN ) = (t0, t1) · (t1, t2) ·... · (tN-1, tN ), t0

Именно выполнение этого равенства трактовалось как наличие свойства тран зитивности. Теперь (для факторных индексов Дивизиа) это равенство — определе ние общего индекса (t0, tn), т.к. другого способа его расчета — непосредственно по соотношению факторных величин на конец и начало общего периода — не су ществует. В частности, общий за период факторный индекс зависит не только от значений факторных величин на начало и конец периода, но и от всей внутрипери одной динамики этих величин.

Эту особенность факторных индексов Дивизиа можно проиллюстрировать в случае, когда моментные темпы роста всех индивидуальных величин неизменны во времени.

В этом случае, как было показано выше (указатели периода времени (t0, t1) опу щены), i i i y =, x =, a =, (3.4) yi xi ai где i — средние хронологические веса по результирующей величине y.

Пусть N = 2, тогда выражение для этих средних хронологических весов можно найти в аналитической форме. Для периода (0, 1) ( t0 = 0, t1 = 1, из таблицы dx x неопределенных интегралов: = - ln (b + ceax)):

b + ceax b ab y t 1 ln y1 (0) y y 1 =, (3.5) t t dt = y y1 (0) y1 + y2 (0) y ln y 112 Глава 3. Индексный анализ Таблица 3.2. Объемы производства и цены в три последовательных момента времени Моменты времени 0 1 i y x a y x a y x a 1 20 10 2 30/45 12/18 2.5 60 20 2 10 10 1 30 15 2 90 30 Итого 30 60/75 y t 1 ln y2 (0) y y 2 =, t dt = y y1 (0) (y1)t + y2 (0) y ln y где y, y1, y2 — общий (агрегированный) и индивидуальные индексы «момент к моменту» для результирующей величины y. Указанная особенность факторных индексов Дивизиа иллюстрируется на примере, исходные данные для которого при ведены в двух таблицах 3.21 и3.3.

Динамика физических объемов дана в 2 вариантах (через знак «/»). Физический объем 1-го продукта в момент времени « 1 » в варианте (а) составляет 12 единиц, в варианте (б) — 18. Это — единственное отличие вариантов.

Результаты расчетов сведены в двух таблицах 3.4 и 3.5.

Расчет средних хронологических весов за периоды (0, 1) и (1, 2) в 1-й результирую щей таблице проводился по формулам (3.5), индексы 2-й таблицы за периоды (0, 1) Физические объемы производства продуктов имеют разные единицы измерения (например, тон ны и штуки) и не могут складываться, т.е. x неаддитивен.

Таблица 3.3. Индексы наблюдаемых величин Периоды времени (0,1) (1,2) (0,2) i y x a y x a y x a 1 1.5/2.25 1.2/1.8 1.25 2/1.333 1.667/1.111 1.2 3 2 1. 2 3 1.5 2 3 2 1.5 9 3 Итого 2/2.5 2.5/2 3.5. Индексы в непрерывном времени Таблица 3.4. Веса индивидуальных индексов Варианты (а) (б) Моменты и периоды времени Моменты и периоды времени i 0 (0, 1) 1 (1, 2) 2 0 (0, 1) 1 (1, 2) 1 0.667 0.585 0.5 0.450 0.4 0.667 0.634 0.6 0.5 0. 2 0.333 0.415 0.5 0.550 0.6 0.333 0.366 0.4 0.5 0. Итого 1 1 1 1 1 1 1 1 1 и (1, 2) рассчитывались по формулам (3.4), а за период (0, 2) — в соответствии с определением по цепному правилу.

Данный пример показывает, что даже относительно небольшое изменение «внутрен ней» динамики — увеличение физического объема 1-го товара в «средний» момент времени « 1 » с 12 до 18 единиц — привело к увеличению индекса физического объ ема за весь период (0, 2) с 2.426 до 2.510 и к соответствующему снижению индекса цен с 2.061 до 1.992. «Концевые» (на начало и конец периода) значения факторных величин при этом оставались неизменными. В обоих вариантах факторные индексы транзитивны, поскольку индексы за период (0, 2) равны произведению индексов за периоды (0, 1) и (1, 2).

Можно сказать, что факторные индексы Дивизиа обладают свойством тран зитивности в усиленной дефинитивной форме, т.к. это свойство определяет сам способ расчета индексов за периоды, включающие подпериоды. Такая особенность факторных индексов в конечном счете является следствием того, что физический объем x(t), как таковой, и относительная величина a(t) в общем случае не на Таблица 3.5. Индексы Дивизиа Варианты (а) (б) Периоды y x a y x a (0, 1) 2.0 1.316 1.519 2.5 1.684 1. (1, 2) 2.5 1.843 1.357 2.0 1.491 1. (0, 2) 5.0 2.426 2.061 5.0 2.510 1. 114 Глава 3. Индексный анализ блюдаемы, и для их измерения, собственно говоря, и создана теория индексов, в частности индексов Дивизиа. Полезно напомнить, что индекс Дивизиа результи рующей величины и все индивидуальные индексы Дивизиа удовлетворяют требо ванию транзитивности в обычной форме.

Итак, индексы «момент к моменту» продолжают удовлетворять требованиям мультипликативности, транзитивности (в дефинитивной форме), симметричности, но теряют свойство среднего.

Факторные индексы Дивизиа обычно записывают в следующей форме:

t1 t ai (t) dxi (t) xi (t) dai (t) x (t0, t1) =exp, a (t0, t1) =exp.

xi (t) ai (t) xi (t) ai (t) t0 t В том, что это форма эквивалентна используемой выше, легко убедиться. Для этого достаточно вспомнить, что, например для индекса объемной величины:

xi (t) ai (t) d ln xi (t) 1 dxi (t) i (t) =, ln xi (t) = =.

xi (t) ai (t) dt xi (t) dt Индексы Дивизиа могут служить аналогом прикладных индексов, рассмотрен ных в пунктах 1–3 данного раздела, в случае, если речь идет о величинах x и y типа запаса, поскольку такие величины измеряются на моменты времени.

3) Индексы «период к периоду».

Чаще всего предметом индексного анализа является динамика величин типа потока, поэтому именно непрерывные индексы «период к периоду» являются наи более полным аналогом прикладных индексов, рассмотренных в пунктах 1–3 этого раздела.

Сначала необходимо определить следующие индивидуальные величины (здесь и далее нижний индекс-указатель объекта i опущен):

t+ y (t, ) = y t dt — результирующая величина в периоде [t, t + ], t t+ x (t, ) = x t dt — объемная величина в периоде [t, t + ], t t+ y (t, ) a (t, ) = = x t a t dt — относительная величина в периоде [t, t + ], x (t, ) t x (t ) где x (t ) = — временные веса относительной величины.

x (t, ) 3.5. Индексы в непрерывном времени Таким образом, при переходе к суммарным за период величинам проявилось принципиальное различие объемных и относительных величин. Первые аддитивны во времени и складываются по последовательным моментам времени, вторые — неаддитивны и рассчитываются за период как средние хронологические с весами, определенными динамикой объемной факторной величины. Именно с этим обсто ятельством связана возможная несимметричность факторных индексов, которая имеет место для большинства прикладных индексов, рассмотренных в пункте 3.2.

Индивидуальные индексы «период к периоду» строятся естественным спосо бом:

[ ] (t1, ) [ ] (t0, t1, ) =, [ ] (t0, ) где [ ](t0, t1, ) — индекс, сопоставляющий периоды [t1, t1 + ] (текущий) и [t0, t0 + ] (базисный), а на месте [ ], как и прежде, стоит либо y —д ляобъем ной результирующей величины (стоимости), либо x — для объемной факторной величины (объема), либо a — для относительной величины (цены).

Если динамика (траектория изменения) показателя [ ](t) в базисном и текущем периодах одинакова, то для любого t [t0, t0 + ] индекс «момент к моменту» [ ](t, t+t1-t0) неизменен и равен [ ](t0, t1). Тогда для любого t [t1, t1 + ] име ет место равенство [ ] (t) =[ ] (t - t1 + t0) [ ] (t0, t1), и индекс «период к периоду» объемной величины ( [ ] — есть либо y, либо x) можно представить следующим образом:

=[ ](t1,) --------------------- =const t1+ ----- [ ] (t - t1 + t0) [ ] (t0, t1) dt t [ ] (t0, t1, ) = = t0+ [ ] (t) dt t ----- =[ ](t0,) t1+ [ ] (t - t1 + t0) dt t = [ ] (t0, t1) = [ ] (t0, t1), t0+ [ ] (t) dt t ------------- = т.е. он совпадает с индексом «момент к моменту».

Для того чтобы такое же равенство имело место для индексов относительной величины, необходима идентичность динамики в базисном и текущем периодах времени не только самой относительной величины, но и объемной факторной ве личины. Иначе веса x(t) в базисном и текущем периодах времени будут различны 116 Глава 3. Индексный анализ и интегралы в числителе и знаменателе выражения индекса «период к периоду» относительной величины (после выноса a(t0, t1) за знак интеграла в числителе) не будут равны друг другу.

Тогда, если в базисном и текущем периодах времени одинакова динамика всех индивидуальных величин, то индексы «период к периоду» совпадают с индексами Дивизиа. Чаще всего считается, что различия в динамике индивидуальных величин в базисном и текущем периодах времени не существенны, и в качестве непрерыв ных аналогов прикладных индексов поэтому принимают индексы Дивизиа. Именно на таком допущении построено изложение материала в следующем пункте.

В случае, если указанные различия в динамике величин принимаются значимы ми, приходится вводить поправочные коэффициенты к индексам Дивизиа, чтобы приблизить их к индексам «период к периоду». Теоретический анализ таких индекс ных систем в непрерывном времени затруднен и не дает полезных для практики результатов.

3.6. Прикладные следствия из анализа индексов в непрерывном времени Теоретически «правильными» в этом пункте принимаются индексы Дивизиа.

Это предположение можно оспаривать только с той позиции, что внутренняя дина мика сопоставляемых периодов времени существенно различается. Здесь предпо лагается, что эти различия не значимы. Из проведенного выше анализа индексов Дивизиа следует по крайней мере три обстоятельства, важные для построения прикладных индексов.

1) Факторные индексы за период, включающий несколько «единичных» под периодов, правильно считать по цепному правилу, а не непосредственно из сопо ставления величин на конец и на начало всего периода. Для иллюстрации разумно сти такого подхода проведены расчеты в условиях примера, приведенного в конце предыдущего пункта. Результаты этих расчетов сведены в таблицу 3.6.

Из приведенных данных видно, что – во-первых, агрегатные индексы, рассчитанные в целом за период (по «кон цам»), не реагируют, по понятным причинам, на изменение внутренней ди намики и одинаковы для вариантов (а) и (б);

индекс Ласпейреса — особенно в варианте (а) — заметно преуменьшает реальный (по Дивизиа) рост физи ческого объема, индекс Пааше, наоборот, преувеличивает этот рост. В другой (числовой) ситуации индекс Ласпейреса мог бы преувеличивать, а индекс Па аше преуменьшать реальную динамику. Важно то, что оба эти индекса дают оценки динамики существенно отличные от реальной.

Прикладные следствия из анализа индексов Таблица 3. Варианты (а) (б) Индексы: y x a y x a Дивизиа 5.0 2.426 2.061 5.0 2.510 1. В целом за период — (02) (1) Ласпейрес—Пааше 5.0 2.333 2.143 5.0 2.333 2. (2) Пааше—Ласпейрес 5.0 2.500 2.000 5.0 2.500 2. (3) Фишер 5.0 2.415 2.070 5.0 2.415 2. По цепному правилу — (012) (1) Ласпейрес—Пааше 5.0 2.383 2.098 5.0 2.493 2. (2) Пааше—Ласпейрес 5.0 2.469 2.025 5.0 2.525 1. (3) Фишер 5.0 2.426 2.061 5.0 2.509 1. – во-вторых, рассчитанные по цепному правилу индексы имеют более реали стичные значения. Так, например, реальный рост физического объема в ва рианте (а), равный 2.426, заметно преуменьшенный индексом Ласпейреса в целом за период— 2.333, получает более точную оценку тем же индексом Ласпейреса, рассчитанным по цепному правилу, — 2.383. Цепные индексы дают более правильные оценки динамики. Но, вообще говоря, это свойство цепных индексов не гарантировано. Так, в варианте (б) физический рост 2. преуменьшен индексом Пааше в целом за период — 2.500 (хотя и в мень шей степени, чем индексом Ласпейреса — 2.333), и преувеличен этим же индексом по цепному правилу — 2.525.

Принимая предпочтительность цепного правила, следует с сомнением отне стись к принятым правилам расчета объемов в неизменных (сопоставимых) це нах: (x0, a0), (x1, a0),..., (xt, a0),..., (xN, a0) (см. п. 3.2). Правильнее считать физический объем в году t в ценах, сопоставимых с базисным периодом, как y001 ·... · t-1, t или yt/ 01 ·... · t-1, t. В этом случае теряется наглядность, x x a a но приобретается соответствие теории. Следует отметить, что в действующей сей час Системе национальных счетов, рекомендованных ООН в 1993 г. для использо вания национальными правительствами, при расчете индексов применяется цепное правило, но при расчете физических объемов в неизменных ценах — обычный под 118 Глава 3. Индексный анализ ход, основанный на индексах Пааше в целом за период. Это противоречие остается, по-видимому, для сохранения принципа наглядности.

2) Индексы Дивизиа рассчитываются как средние индивидуальных индексов с некоторыми весами, занимающими промежуточное положение между базисным и текущим моментами (периодами) времени. Из рассмотренных прикладных ин дексов такому подходу в большей степени удовлетворяют индексы Фишера.

Действительно, в рассматриваемом примере индекс физического объема Фи шера в целом за период— 0.415 — более точно отражает реальную динамику, чем индекс Пааше или Ласпейреса — в варианте (а). В варианте (б) более точным ока зывается индекс физического объема Пааше. Зато индексы Фишера, рассчитанные по цепному правилу, дают практически точное приближение к реальной динамике.

3) Если предположить (как это делалось в предыдущем пункте), что индиви дуальные моментные индексы всех величин не меняются во времени в отдельных периодах, то расчет индексов Дивизиа как средних геометрических индивидуаль ных индексов становиться вполне операциональным. Сложность заключается лишь в определении средних хронологических весов по результирующей величине. В слу чае двух продуктов соответствующие интегралы, как это показано в предыдущем пункте, берутся аналитически. В общем случае их всегда можно найти численным приближением. Однако такой подход вряд ли применим в практике, поскольку он достаточно сложен с точки зрения вычислений и не обладает наглядностью хоть в какой-нибудь степени. Возможен компромисс, при котором веса для средних гео метрических индивидуальных индексов находятся как средние базисных и текущих долей объектов в результирующей величине по формуле, более простой и нагляд ной, чем интеграл теоретической средней хронологической.

Для индекса результирующей величины, которая аддитивна по объектам, спра ведливы следующие соотношения:

rs = rrs =, y i yi s rs i yi где r, s — доли объектов в результирующей величине, соответственно, в ба i i зисном и текущем периодах времени.

Теперь рассчитываются два индекса результирующей величины rs (r), rs (s) y y как средние геометрические индивидуальных индексов по весам, соответственно, базисного и текущего периодов:

r s rs (r) = rs i, rs (s) = rs i.

y yi y yi По свойству мажорантности средних степенных:

rs (r)

rs 1-rs rs = rs (r) rs (s), y y y будет иметь решение 0

Тогда rs = rsr +(1- rs) s могут сыграть роль средних хронологических i i i весов в формулах индексов Дивизиа (соотношения, аналогичные (3.4)):

rs rs rs rs = rs i, rs = (rs)i, rs = (rs)i.

y yi x xi a ai Теперь эти соотношения являются формулами расчета прикладных индексов, обладающих всеми свойствами теоретических индексов Дивизиа: они мультиплика тивны, транзитивны (в дефинитивной форме), симметричны и являются средними индивидуальных индексов.

В прикладном анализе иногда используют похожие индексы, называемые по имени автора индексами Торнквиста. В их расчете в качестве rs всегда прини мают 0.5, и потому индекс результирующей величины Торнквиста не равен в общем случае его реальному значению. Предложенные здесь индексы можно назвать мо дифицированными индексами Торнквиста.

Для того чтобы оценить качество прикладных индексов, проводился численный эксперимент, в котором значения факторных признаков (объем и цена) задава лись случайными числами (случайными величинами, равномерно распределенны ми на отрезке [0, 1]), и определялись отклонения прикладных индексов от значения теоретического индекса Дивизиа (по абсолютной величине логарифма отношения прикладного индекса к теоретическому). Рассматривались три системы: 2 про дукта — 2 периода (как в приводимом выше примере), 2 продукта — 3 периода, 3 продукта — 2 периода. В случае двух продуктов значения модифицированного индекса Торнквиста и индекса Дивизиа совпадают, т.к. уравнение rs 1-rs rs = rs 1 rs y y1 y имеет относительно rs единственное решение. Поэтому в этих случаях индекс Дивизиа сравнивался с индексами Ласпейреса, Пааше и Фишера, рассчитанными в целом за период и по цепному правилу. В случае 3-х продуктов индекс Дивизиа, рассчитанный с использованием численной оценки интеграла среднехронологиче ских весов (для этого единичный период времени делился на 100 подпериодов), сравнивался также и с модифицированным индексом Торнквиста. В каждом из этих трех случаев проводилось около 1 000 000 численных расчетов, поэтому получен ные оценки вероятностей достаточно точны.

Оценки вероятности для случая «2 продукта — 2 периода» приведены в таб лице 3.7. В этой же таблице стрелочками вверх и вниз отмечено, как меняются 120 Глава 3. Индексный анализ Таблица 3.7. Вероятности того, что индекс в подлежащем дает большую ошибку, чем индекс в сказуемом таблицы (для индексов объемной факторной величины) В целом за период По цепному правилу Ласпейрес Пааше Фишер Ласпейрес Пааше В целом за период Пааше 0.500 0 — — — Фишер 0.415 0.415 0 — — По цепному правилу Ласпейрес 0.482 0.479 0.524 0 — Пааше 0.479 0.482 0.524 0.500 Фишер 0.052 0.052 0.060 0.053 0. соответствующие показатели при переходе к ситуации «2 продукта — 3 периода» ид алее«3 продукта — 2 периода».

По данным этой таблицы преимущество цепного правила проявляется не столь очевидно. Цепные индексы Ласпейреса и Пааше лишь в 48% случаев (чуть меньше половины) дают более высокую ошибку, чем те же индексы, рассчитанные в целом за период. Это преимущество растет (падает соответствующий показатель вероят ности) с увеличением числа объектов (продуктов) в агрегате и исчезает с увеличе нием числа периодов (при 3-х периодах соответствующие вероятности становятся больше 0.5). Зато преимущество индекса Фишера становится явным. Рассчитан ные в целом за период, эти индексы хуже соответствующих индексов Ласпейреса и Пааше только в 41.5% случаев, причем их качество повышается с ростом как числа объектов, так и количества периодов. Особенно «хороши» цепные индексы Фишера: они лишь в 5–6% случаев дают ошибку большую, чем любые другие ин дексы. К сожалению, с ростом числа объектов и количества периодов их качество снижается.

В ситуации «3 продукта — 2 периода» рассчитывались модифицированные индексы Торнквиста. Они оказались самыми лучшими. Вероятность того, что они дают более высокую ошибку, чем индексы Ласпейреса и Пааше, а также Фише ра, рассчитанного в целом за период, на 2–3% ниже, чем для цепного индекса Фишера.

Итак, можно сказать, что модифицированные индексы Торнквиста, рассчиты ваемые как средние геометрические индивидуальных индексов с особыми весами, Прикладные следствия из анализа индексов в наилучшей степени соответствуют теории. Тем не менее, в существующей практи ке статистики индексы как средние геометрические величины фактически не приме няются. В действующей (рекомендованной ООН в 1993 г.) Системе национальных счетов применение индексов Торнквиста (обычных, не модифицированных) реко мендуется лишь в весьма специфических ситуациях.

Индексы как средние геометрические индивидуальных применялись в прак тике статистики, в том числе в России и СССР, в первой трети ХХ века. Затем практически всеобщее распространение получили агрегатные индексы. Это про изошло по крайней мере по двум причинам. Первая: агрегатные индексы наглядны и поэтому понятны. Вторая: средние геометрические величины, если веса взве шивания принять за константы, весьма чувствительны к крайним значениям ин дивидуальных индексов. Так, например, очень большое значение какого-то одного индивидуального индекса приведет к существенному преувеличению общего ин декса (в крайней ситуации, когда базисное значение индивидуальной величины равно нулю, т.е., например, какой-то продукт в базисном периоде еще не про изводился, общий индекс окажется бесконечным). Наоборот, очень малое зна чение единственного индивидуального индекса существенно преуменьшит общий индекс (обратит его в ноль, если текущее значение соответствующей индивиду альной величины равно нулю — данный продукт уже не производится в текущем периоде).

Указанные доводы против среднегеометрических индексов вряд ли серьезны.

По поводу первого из них следует еще раз напомнить, что наглядность и понятность нельзя считать критерием истины. Второй доводне выдерживает критики, посколь ку резким изменениям могут подвергаться малые индивидуальные величины, ко торые входят в среднюю с малыми весами и поэтому не могут заметно повлиять на ее уровень. В крайних ситуациях, когда индивидуальный индекс по какому-то объекту принимает нулевое или бесконечное значение, такой объект вообще не должен участвовать в расчете общего индекса (его вес в среднем геометрическом равен нулю).

Действительно, (0,1) N i yi (1) y (0, 1) =, yi (0) i= yi (1) где по определению = yi (0, 1), а yi (0) t 1 (0) yi(1) yi yi(0) yi (0)1-t yi (1)t i (0, 1) = dt.

t dt = N N yi(1) yi (0) yi (0)1-t yi (1)t 0 yi(0) i=1 i= 122 Глава 3. Индексный анализ (0,1) i yi (1) Далее рассматривается только компонента i-го объекта (обознача yi (0) емая ниже yi), для которого либо yi(0), либо yi(1) равны нулю (продукт либо еще не производился в базисном моменте, либо уже не производится в текущем моменте времени).

Пусть период времени [0, 1] делится на n равных подпериодов, и tj — середи на j-го подпериода. Тогда рассматриваемую компоненту yi можно приближенно представить выражением (в силу аддитивности интеграла) j j yi (0)1-t yi (1)t N n j j n yi (0)1-t yi (1)t yi (1) i= yij, где yij =, yi (0) j= которое в пределе при n совпадет с исходным значением этой компоненты.

При конкретном n < и любом tj, которое в таком случае обязательно больше нуля и меньше единицы, yij 1, при yi(0) 0 или yi(1) 0. Это можно доказать аналитически, но проще показать численно. В первом случае ( yi(0) 0) указанная величина yij стремится к едини це сверху, во втором — снизу, т.е. в крайней ситуации, когда либо yi(0), либо yi(1) n равны нулю, yij равно единице. И в результате перехода в этом выражении j= к пределу при n оказывается, что компонента i-го объекта yi также равна единице. Это означает, что данный i-й объект не участвует в расчете среднегеомет рического индекса.

Индексы Дивизиа при гипотезе неизменности во времени всех индивидуальных моментных индексов, а вслед за ними — модифицированные индексы Торнкви ста — должны рассчитываться по сопоставимому набору объектов (продуктов).

В такой набор входят только такие объекты, которые существовали как в базисном, так и в текущем периодах времени (только те продукты, которые производились и в базисном, и в текущем периодах). Это правило выступает дополнительным аргументом в пользу цепных индексов, поскольку за длительные периоды време ни наборы объектов (продуктов) могут меняться заметно, тогда как их изменения за короткие единичные периоды не так существенны.

В заключение следует заметить, что мультипликативные индексные выражения, построенные на основе индексов Дивизиа и модифицированных индексов Торнкви ста, естественным образом обобщаются на случай более одного относительного фактора в мультипликативном представлении результирующей величины.

3.7. Факторные представления приростов в непрерывном времени 3.7. Факторные представления приростов в непрерывном времени Моментные приросты делятся на факторы естественным и однозначным обра зом:

d ln y (t) d ln x (t) d ln a (t) y (t) = = + =x (t) +a (t).

dt dt dt Принимая во внимание, что непрерывным за период темпом прироста y (t0, t1) является ln y (t0, t1), аналогично делятся на факторы и приросты за период (т.к. индексы «момент к моменту» мультипликативны):

y (t0, t1) =ln y (t0, t1) =ln x (t0, t1) +lna (t0, t1) = =x (t0, t1) +a (t0, t1).

В прикладном анализе такое правило деления приростов на факторы также вполне операционально, и его имеет смысл использовать.

Каждому мультипликативному индексному выражению rs = rsrs следует y x a сопоставить не три варианта факторных разложений (1 -3 ), как в пункте 3.3, а одно:

ln rs =ln rs +lnrs.

y x a rs y Однако, поскольку ln rs =, правильнее из этого факторного разложения y yr определять лишь доли экстенсивных и интенсивных факторов:

ln rs ln rs rs x rs a x =, a =, ln rs ln rs y y которые, в свою очередь, использовать в расчете вкладов факторов:

rs rs rs = x rs, rs = a rs.

x y a y Такой подход успешно работает при любом количестве относительных факторов в мультипликативном представлении результирующей величины.

3.8. Задачи 1. Определить пункты, которые являются выпадающими из общего ряда.

1.1. а) Ласпейрес, б) Пирсон, в) Фишер, г) Пааше;

1.2. а) Ласпейрес, б) Пааше, в) Фишер, г) Торнквист;

124 Глава 3. Индексный анализ 1.3. а) индекс, б) дефлятор, в) корзина, г) коробка;

1.4. а) Ласпейрес, б) транзитивность, в) мультипликативность, г) Пааше;

1.5. а) коммутативность, б) транзитивность, в) мультипликативность, г) симметричность;

1.6. а) Торнквист, б) цепное правило, в) транзитивность, г) Фишер;

1.7. а) прирост, б) экстенсивные, в) интегральные, г) интенсивные;

1.8. а) дефлятор, б) темп роста, в) индекс, г) темп прироста;

1.9. а) постоянного состава, б) относительная величина, в) структуры, г) стоимости;

1.10. а) цепное, б) обратимости, в) симметрии, г) среднего;

1.11. а) среднего, б) транзитивности, в) обратимости, г) цепное;

1.12. а) дефлятор, б) темп роста, в) симметрии, г) среднего;

1.13. а) частный, б) факторный, в) цен, г) стоимости;

1.14. а) непрерывность, б) Дивизиа, в) геометрическое, г) дискретность;

1.15. а) сопоставимый набор, б) цепное правило, в) Торнквист, г) Фишер.

2. Индексы стоимости и объема для совокупности из 2 товаров равны соответ ственно 1.6 и 1.0. Стоимость в текущий период распределена между това рами поровну. Индивидуальный индекс цен для одного из товаров равен 1.3, чему он равен для другого товара?

3. Объемы производства 2 товаров в базисном и текущем периодах равны 10, 20 и 30, 40 единиц, соответствующие цены — 2, 1 и 4, 3. Чему равны индексы объема Ласпейреса и Пааше? Чему равны те же индексы цен?

4. Объемы производства 2 товаров в базисном и текущем периодах равны 10, 20 и 30, 40 единиц, соответствующие цены — 2, 1 и 4, 3. Чему равен вес 1-го товара в индексе Торнквиста? Чему равны факторные индексы Дивизиа?

5. Объемы производства 2 товаров в базисном и текущем периодах равны 10, 20 и 20, 10 тыс. руб., материалоемкости их производства — 0.6, 0.5 и 0.7, 0.6. Чему равны индексы структурных сдвигов Ласпейреса и Пааше? Чему равны те же индексы постоянного состава?

6. Объемы производства 2 товаров в базисном и текущем периодах равны 10, 20 и 20, 10 тыс. руб., материалоемкости их производства — 0.6, 0.5 и 0.7, 0.6. Чему равны факторные индексы («количества» и «качества») в «трой ке»: материальные затраты равны объемам производства, умноженным на материалоемкость?

3.8. Задачи 7. В 1999 году ВВП в текущих ценах составил 200 млрд. руб. В 2000 году ВВП в текущих ценах вырос на 25%, а в сопоставимых снизился на 3%. Определите дефлятор ВВП.

8. Сумма удорожания продукции за счет повышения цен составила 200 млн.

руб., прирост физического объема продукции составил 300 млн. руб. На сколько процентов повысились цены и возрос физический объем продукции, если стоимость продукции в базисном периоде составила 3 млрд. руб.?

9. Физический объем продукции возрос на 300 млн. руб., или на 20%. Це ны снизились на 10%. Найти прирост стоимости продукции с учетом роста физического объема продукции и снижении цен.

10. Стоимость продукции в текущем периоде в текущих ценах составила млн. руб. Индекс цен равен 0.8, индекс физического объема — 1.2. Опре делить прирост стоимости продукции, в том числе обусловленный ростом физического объема продукции и снижением цен.

11. Расходы на потребительские товары составили 20 тыс. руб., что в текущих ценах больше соответствующих расходов прошлого года в 1.2 раза, а в сопо ставимых ценах на 5% меньше. Определите индекс цен на потребительские товары и изменение их физического объема (абсолютно и относительно).

12. По данным, приведенным в таблице, рассчитайте:

Базовый Текущий Показатель Продукт период период сталь 2400 Объем производства, тыс. т чугун 3700 сталь 1.5 3. Цена, тыс. руб./т чугун 1.0 0. а) индивидуальные и общие индексы изменения стоимости;

б) индексы Ласпейреса, Пааше, Фишера цен и физического объема.

13. По данным, приведенным в таблице:

Базовый Текущий Показатель Отрасль период период растениеводство 720 Валовый выпуск животноводство 600 растениеводство 200 Численность занятых животноводство 300 126 Глава 3. Индексный анализ а) рассчитайте производительность труда по отраслям и сельскому хозяй ству в целом;

б) рассчитайте одним из методов влияние изменения отраслевых показа телей численности занятых и производительности труда на динамику валового выпуска сельского хозяйства.

14. По данным, приведенным в таблице, рассчитайте:

ВВП Индексы дефляторы ВВП Годы (текущие цены, трлн. руб.) (в разах к предыдущему году) 1990 0.644 1. 1991 1.398 2. 1992 19.006 15. 1993 171.510 9. 1994 610.592 4. 1995 1630.956 2. а) ВВП России в 1991–1995 гг. в сопоставимых ценах 1990 г.;

б) базовые индексы-дефляторы.

15. Используя один из подходов, вычислите индексы товарооборота, физического объема и цен в целом по мясопродуктам на основании данных из таблицы.

Розничный товарооборот, млрд. руб.

Мясопродукты Индекс цен, % март апрель Мясо 1128 Колбасные изделия 2043 Мясные консервы 815 16. Вычислите общие индексы стоимости, физического объема и цен по закупкам мяса на основании данных из таблицы:

Мясо Год Говядина Свинина Баранина Количество проданного базисный 238 183 мяса, тыс. т отчетный 245 205 Закупочная цена базисный 35 30 за 1 т, тыс. руб.

Закупочные цены в отчетном году по сравнению с базисным возросли на говядину — на 160%, свинину — на 80%, на баранину — на 50%.

3.8. Задачи 17. По данным, приведенным в таблице, рассчитайте:

Базовый Текущий Показатель Регион период период Западная Сибирь 3600 Валовой выпуск Восточная Сибирь 2700 Западная Сибирь 2400 Производственные затраты Восточная Сибирь 2000 а) материалоемкость производства по регионам и Сибири в целом;

б) индексы переменного и постоянного состава и структурных сдвигов ма териалоемкости.

18. По данным, приведенным в таблице, рассчитайте:

Базовый Текущий Показатель Подразделение период период 1 й цех 80 Валовой выпуск 2 й цех 120 1 й цех 50 Основной капитал 2 й цех 240 а) фондоотдачу по цехам предприятия и заводу в целом;

б) индексы переменного и постоянного состава и структурных сдвигов фон доотдачи.

19. Используя один из подходов, вычислите общие индексы стоимости, физиче ского объема и цен по закупкам зерновых на основании следующих данных:

Зерновые Год пшеница рожь гречиха Количество проданного базисный 548 385 зерна, тыс. т отчетный 680 360 Закупочная цена отчетный 7.2 7.0 за 1 т, тыс. руб.

Закупочные цены в отчетном году по сравнению с базисным возросли на пшеницу — на 60%, рожь — на 40%, гречиху — 50%.

128 Глава 3. Индексный анализ Рекомендуемая литература 1. Аллен Р. Экономические индексы. — М.: «Статистика», 1980. (Гл. 1, 5).

2. (*) Зоркальцев В.И. Индексы цен и инфляционные процессы. — Новоси бирск: «Наука», 1996. (Гл. 1, 4–6, 15).

3. КёвешП. Теория индексов и практика экономического анализа. — М.: «Фи нансы и статистика», 1990.

Глава Введение в анализ связей Одна из задач статистики состоит в том, чтобы по данным наблюдений за при знаками определить, связаны они между собой (зависят ли друг от друга) или нет.

И если зависимость есть, то каков ее вид(линейный, квадратичный, логистический и т.д.) и каковы ее параметры. Построенные зависимости образуют эмпирические (эконометрические) модели, используемые в анализе и прогнозировании соответ ствующих явлений. Часто задача ставится иначе: используя данные наблюдений, подтвердить или опровергнуть наличие зависимостей, следующих из теоретических моделей явления. Математические методы решения этих задач во многом идентич ны, различна лишь содержательная интерпретация их применения.

В этой главе даются самые элементарные сведения об этих методах. Более развернуто они представлены в следующих частях книги.

4.1. Совместные распределения частот количественных признаков Пусть имеется группировка совокупности по n признакам (см. п. 1.9), где n > 1, и NI — количество объектов в I-й конечной группе (группо вая численность), т.е. частота одновременного проявления 1-го признака в i1-м полуинтервале, 2-го признака в i2-м полуинтервале и т.д., n-го признака в in-м полуинтервале (уместно напомнить, что I = i1i2... in, см. п. 1.9).

NI Как и прежде, I = — относительные частоты или оценки вероятности того, N 130 Глава 4. Введение в анализ связей что zi1-1, 1

Пусть ij(j) —д лина ij-го полуинтервала в группировке по j-му фактору, n I а I = ij(j). Тогд а fI = — плотности относительной частоты совмест I j= ного распределения или оценки плотности вероятности.

IK Очевидно1, что I =1, или I=I fII =1. (4.1) I i1 in Далее: FI = I (FI =... I — новая по сравнению с п. 1.9 опе I I i =1 i = n рация суммирования) или FI = fI I (4.2) I I — накопленные относительные частоты совместного распределения, или оценки вероятностей того, что xj zijj, j =1,..., n. F0 — оценка вероятности того, что xj

Введенные таким образом совместные распределения частот признаков яв ляются прямым обобщением распределения частоты одного признака, данного в пункте 2.1.

Аналогичным образом можно ввести совместные распределения любого под множества признаков, которое обозначено в пункте 1.9 через J, т.е. по группам более низкого порядка, чем конечные, образующим класс J. Для индексации этих групп в этом разделе будет использован 2-й способ (см. п. 1.9) — составной муль тииндекс I(J), в котором и из I, и из J исключены все. Так, инд екс 51(13) именует группу, в которой 1-й признак находится на 5-м уровне, 3-й — на 1-м, а остальные признаки «пробегают» все свои уровни. При 1-м способе (исполь зуемом в п. 1.9) и при n =3 эта группа именуется двумя мультииндексами и 13. Введенное выше обозначение длин полуинтервалов ij(j) построено по этому 2-му способу.

Распределение частот признаков множества J, т.е. по группам класса J опре деляется следующим образом.

Операция такого суммирования объясняется в пункте 1.9, тогда же через IK был обозначен мультииндекс, в котором все факторы находятся на последнем уровне;

в данном случае эту операцию k1 kn можно записать так:... I =1.

i1=1 in= 4.1. Совместные распределения частот количественных признаков NI(J) — частота, количество объектов, попавших в группу I(J). Если вер нуться к обозначениям пункта 1.9 для мультииндекса этой группы — I() (в пол ном мультииндексе I все те позиции, которые соответствуют не вошедшим в J признакам, заменены на, например: 51(13) 51, и воспользоваться введен ной в том же пункте операцией, то I() NI(J) = NI.

I() Но в данном случае обозначение этой операции следует уточнить. Пусть J — множество тех признаков, которые не вошли в J, а операция ‘ + ’ в соответствую щем контексте такова, что J + J = G через G в п. 1.9 было обозначено полное множество факторов {12... n} и I(J) +I(J) = I (например, 13 + 2 = и 51(13) +3(2) =531), тогда NI(J) = NI(J)+I(J), J где суммирование ведется по всем уровням признаков указанного под знаком сум мирования множества (далее операция будет пониматься именно в этом мн-во призн.

смысле).

NI(J) I(J) = — относительные частоты, которые, очевидно, удовлетворяют N условию: I(J) =1, J I(J) fI(J) = — плотности относительной частоты, где I(J) = ij(j) I(J) J (операция такого перемножения объясняется в п. 1.9), FI(J) = I накопленные относительные частоты, где I (J) —те (J) I (J) I(J) кущие («пробегающие») значения уровней признаков J.

Такие распределения по отношению к исходному распределению в полном мно жестве признаков называются маргинальными (предельными), поскольку накоп ленные относительные частоты (эмпирический аналог функции распределения ве роятностей) таких распределений получаются из накопленных относительных ча стот исходного распределения заменой в них на предельные уровни kj факторов, не вошедших в множество J:

FI(J) = FI(J)+IK (J). (4.3) Действительно, поскольку вслед за NI(J) I(J) = I(J)+I(J), (4.4) J 132 Глава 4. Введение в анализ связей то FI(J) = I = I (J)+I(J) = (J) I (J) I(J) I (J) I(J) J = I (J)+I (J)= FI(J)+IK (J).

I (J) I(J) I (J) IK(J) Кроме того, fI(J) = fI(J)+I(J)I(J), (4.5) J т.к. I =I(J)I(J).

Действительно:

I(J)+I(J) fI(J)+I(J)I(J) = I(J) = I(J)+I(J) = fI(J).

I(J)I(J) I(J) J J J Крайним случаем предельных распределений являются распределения частот отдельных признаков (см. п. 2.1), которые получаются, если множества J вклю чают лишь один элемент (признак) из j = 1,..., n. Для таких распределений I (J) ij (j).

В частном, но достаточно важном случае при n = 2 частоты распределения обычно представляют в таблице сопряженности, иликорреляционной таблице:

1 · · · i2 · · · k2 Y 1 N11 · · · N1i2 · · · N1k2 N1(1).....

..

.......

..

.....

i1 Ni11 · · · Ni1i2 · · · Ni1k2 Ni1(1).....

..

.......

..

.....

k1 Nk11 · · · Nk1i2 · · · Nk1k2 Nk1(1) Y N1(2) · · · Ni2(2) · · · Nk2(2) N 4.1. Совместные распределения частот количественных признаков В этом случае существует только два маргинальных распределения частот — отдельно для 1-го признака (итоговый столбец таблицы сопряженности) и для 2-го признака (итоговая строка). Для частот и других параметров этих распределений удобнее и нагляднее 1-й способ обозначения: вместо Ni1(1) и N12(2) использует ся, соответственно, Ni1 и Ni2. Этот способ обозначений удобен, если n мало, но описать общий случай, как это сделано выше, с его помощью весьма затрудни тельно. Формулы (4.3) в случае двух признаков принимают вид (после запятой эти же формулы даются в обозначениях 1-го способа):

Fi1(1) = Fi1k2, Fi1 = Fi1k2;

Fi2(2) = Fk1i2, Fi2 = Fk1i2.

Аналогично, для формул (4.5):

k2 k fi1(1) = fi1i2i2(2), fi1 = fi1i2i2;

i2=1 i2= k1 k fi2(2) = fi1i2i1(1), fi2 = fi1i2i1.

i1=1 i1= Если в таблице сопряженности разместить не частоты, а плотности относи тельных частот, и на каждой клетке таблицы построить параллелепипед высотой, равной соответствующему значению плотности, то получится трехмерный аналог гистограммы, который иногда называют стереограммой. Ее верхнюю поверхность называют поверхностью двухмерного распределения.

Если предположить, что N, k1, k2, допуская при этом, что z01, z02 -,а zk11, zk22,то f и F станут гладкими функциями f(x1, x2) и F (x1, x2), соответственно, распределения плотности вероятности и распре деления вероятности. Это — теоретические функции распределения. Формулы (4.1–4.3, 4.5) записываются для них следующим образом:

f (x1, x2) dx1dx2 =1, - x1 x F (x1, x2) = f x, x dx dx, 1 2 1 - F (x1) =F (x1, ), F (x2) =F (, x2), f (x1) = f (x1, x2) dx2, f (x2) = f (x1, x2) dx1.

- 134 Глава 4. Введение в анализ связей Легко представить возможные обобщения таблицы сопряженности на случай n > 2. Ее аналогом является n-мерный прямоугольный параллелепипед, в ито говых гранях которого (в таблице сопряженности таких граней две — итоговые столбец и строка) даны все возможные маргинальные распределения частот. Ито говые грани — крайние, предельные, маргинальные части параллелепипеда. Это дает еще одно объяснение используемому термину — «маргинальные распределе ния».

Исходное распределение и любое маргинальное распределение частот строятся по всей совокупности. Однако важное значение имеют и распределения, построен ные по отдельным частям выборки. Так, наряду с рассмотренным распределением частот признаков J по группам класса J, можно говорить о распределении частот признаков J (всех оставшихся признаков) по конечным группам в каждой отдель ной группе класса J. Это — условные распределения частот. Они показывают распределения частот признаков J при условии, что все остальные признаки J зафиксированы на определенных уровнях I(J). В таблице сопряженности тако выми являются распределения 1-го признака в каждом отдельном столбце, если J =2, и распределения 2-го признака в каждой отдельной строке, если J =1.

NI(J)+I(J) I(J) | I(J) = — относительные частоты условного распределения NI(J) признаков J по I(J). Если числитель и знаменатель правой части этой формулы поделить на N, то получится I(J)+I(J) I(J) | I(J) = или I(J) I(J) | I(J)I(J) = I(J)+I(J). (4.6) I(J) | I(J) fI(J) | I(J) = — плотности относительных частот условного распре I(J) деления. Если левую часть равенства (4.6) разделить на I(J)I(J), а правую— на I (оба этих делителя, как отмечено выше, равны), то получится аналогичное (4.6) равенство для плотностей:

fI(J) | I(J)fI(J) = fI(J)+I(J). (4.7) В случае двух признаков и при использовании 1-го способа индексации:

Ni1i2 1 Ni1i2 fi1 | i2 =, fi2 | i1 =, Ni2 i1 Ni1 i i1 и i2— результат использования первого способа индексации для i1(1) и i2(2);

fi1 | i2fi2 = fi1i2, fi2 | i1fi1 = fi1i2.

4.1. Совместные распределения частот количественных признаков В результате объединения двух последних равенств и перехода к непрерывному случаю получаются известные формулы математической статистики об условных распределениях:

f (x1 | x2) f (x2) =f (x1, x2) =f (x2 | x1) f (x1), из которых, в частности, следует тождество теоремы Байеса:

f (x1 | x2) f (x2) =f (x2 | x1) f (x1).

Далее, по определению, FI(J) | I(J) = I (J) | I(J) I (J) I(J) — накопленные относительные частоты условного распределения. Правую часть этого равенства можно преобразовать:

NI(J)+I (J) N NI(J)+I (J) FI(J)+I(J) FI(J) | I(J) = = =, NI(J) NI(J) I (J) I(J) N FI(J) I (J) I(J) т.е. для накопленных относительных частот получается соотношение такое же, как и для плотностей относительных частот f :

FI(J) | I(J)FI(J) = FI(J)+I(J). (4.8) В непрерывном случае для двух признаков:

F (x1 | x2)F (x2) =F (x1, x2) =F (x2 | x1)F (x1), F (x1 | x2)F (x2) =F (x2 | x1)F (x1).

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 10 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.