WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 10 |
-- [ Страница 1 ] --

Оглавление Введение................................... 11 I Введение в социально-экономическую статистику 15 1. Основные понятия 17 1.1. Краткая историческая справка..

.................. 17 1.2. Предмет статистики.......................... 18 1.3. Экономические величины и статистические показатели....... 20 1.4. Вероятностная природа экономических величин........... 22 1.5. Проблемы измерений......................... 24 1.6. Специфика экономических измерений................ 27 1.7. Адекватность экономических измерений............... 29 1.8. Типы величин, связи между ними................... 32 1.9. Статистические совокупности и группировки............ 36 1.10. Задачи.................................. 45 2. Описательная статистика 48 2.1. Распределение частот количественного признака.......... 2.2. Средние величины........................... 2.3. Медиана, мода, квантили....................... 4 Оглавление 2.4. Моменты и другие характеристики распределения.......... 2.5. Упражнения и задачи.......................... 3. Индексный анализ 3.1. Основные проблемы.......................... 3.2. Способы построения индексов.................... 3.3. Факторные представления приростных величин........... 3.4. Случай, когда относительных факторов более одного........ 3.5. Индексы в непрерывном времени................... 3.6. Прикладные следствия из анализа индексов в непрерывном времени........................ 3.7. Факторные представления приростов в непрерывном времени... 3.8. Задачи.................................. 4. Введение в анализ связей 4.1. Совместные распределения частот количественных признаков... 4.2. Регрессионный анализ......................... 4.3. Дисперсионный анализ......................... 4.4. Анализ временных рядов........................ 4.5. Упражнения и задачи.......................... II Эконометрия — I:

Регрессионный анализ 5. Случайные ошибки 5.1. Первичные измерения......................... 5.2. Производные измерения........................ 5.3. Упражнения и задачи.......................... 6. Алгебра линейной регрессии 6.1. Линейная регрессия.......................... 6.2. Простая регрессия........................... 6.3. Ортогональная регрессия....................... 6.4. Многообразие оценок регрессии................... Оглавление 6.5. Упражнения и задачи.......................... 7. Основная модель линейной регрессии 7.1. Различные формы уравнения регрессии............... 7.2. Основные гипотезы, свойства оценок................. 7.3. Независимые факторы: спецификация модели............ 7.4. Прогнозирование............................ 7.5. Упражнения и задачи.......................... 8. Нарушение гипотез основной линейной модели 8.1. Обобщенный метод наименьших квадратов (взвешенная регрессия)........................ 8.2. Гетероскедастичность ошибок..................... 8.3. Автокорреляция ошибок........................ 8.4. Ошибки измерения факторов..................... 8.5. Метод инструментальных переменных................ 8.6. Упражнения и задачи.......................... 9. Целочисленные переменные в регрессии 9.1. Фиктивные переменные........................ 9.2. Модели с биномиальной зависимой переменной........... 9.2.1. Линейная модель вероятности, логит и пробит........ 9.2.2. Оценивание моделей с биномиальной зависимой переменной........................... 9.2.3. Интерпретация результатов оценивания моделей с биномиальной зависимой переменной........... 9.3. Упражнения и задачи.......................... 10.Оценка параметров систем уравнений 10.1. Невзаимозависимые системы..................... 10.2. Взаимозависимые или одновременные уравнения.......... 10.3. Оценка параметров отдельного уравнения.............. 10.4. Оценка параметров системы идентифицированных уравнений... 10.5. Упражнения и задачи.......................... 6 Оглавление III Эконометрия — I:

Анализ временных рядов 11.Основные понятия в анализе временных рядов 11.1.Введение................................ 11.2. Стационарность, автоковариации и автокорреляции........ 11.3. Основные описательные статистики для временных рядов..... 11.4. Использование линейной регрессии с детерминированными факторами для моделирования временного ряда........... 11.4.1. Тренды............................. 11.4.2. Оценка логистической функции................ 11.4.3. Сезонные колебания...................... 11.4.4. Аномальные наблюдения................... 11.5. Прогнозы по регрессии с детерминированными факторами..... 11.6. Критерии, используемые в анализе временных рядов........ 11.6.1. Критерии, основанные на автокорреляционной функции.. 11.6.2. Критерий Спирмена...................... 11.6.3. Сравнение средних....................... 11.6.4. Постоянство дисперсии.................... 11.7. Лаговый оператор........................... 11.8. Модели регрессии с распределенным лагом............. 11.9. Условные распределения........................ 11.10. Оптимальное в среднеквадратическом смысле прогнозирование: общая теория................... 11.10.1. Условное математическое ожидание как оптимальный прогноз.................. 11.10.2. Оптимальное линейное прогнозирование.......... 11.10.3. Линейное прогнозирование стационарного временного ряда....................... 11.10.4. Прогнозирование по полной предыстории.

Разложение Вольда...................... 11.11. Упражнения и задачи......................... 12.Сглаживание временного ряда 12.1. Метод скользящих средних...................... Оглавление 12.2. Экспоненциальное сглаживание................... 12.3. Упражнения и задачи.......................... 13.Спектральный и гармонический анализ 13.1. Ортогональность тригонометрических функций и преобразование Фурье........................ 13.2. Теорема Парсеваля........................... 13.3. Спектральный анализ......................... 13.4. Связь выборочного спектра с автоковариационной функцией... 13.5. Оценка функции спектральной плотности.............. 13.6. Упражнения и задачи.......................... 14.Линейные стохастические модели ARIMA 14.1. Модель линейного фильтра...................... 14.2. Влияние линейной фильтрации на автоковариации и спектральную плотность....................... 14.3. Процессы авторегрессии........................ 14.4. Процессы скользящего среднего................... 14.5. Смешанные процессы авторегрессии — скользящего среднего.. 14.6. Модель ARIMA............................. 14.7. Оценивание, распознавание и диагностика модели Бокса—Дженкинса...................... 14.8. Прогнозирование по модели Бокса—Дженкинса.......... 14.9. Модели, содержащие стохастический тренд............. 14.10. Упражнения и задачи......................... 15.Динамические модели регрессии 15.1. Модель распределенного лага: общие характеристики и специальные формы структур лага................. 15.2. Авторегрессионная модель с распределенным лагом........ 15.3. Модели частичного приспособления, адаптивных ожиданий и исправления ошибок......................... 15.4. Упражнения и задачи.......................... 16.Модели с авторегрессионной условной гетероскедастичностью 16.1. Модель ARCH............................. 8 Оглавление 16.2. Модель GARCH............................ 16.3. Прогнозы и доверительные интервалы для модели GARCH..... 16.4. Разновидности моделей ARCH.................... 16.4.1. Функциональная форма динамики условной дисперсии... 16.4.2. Отказ от нормальности.................... 16.4.3. GARCH-M........................... 16.4.4. Стохастическая волатильность................ 16.4.5. ARCH-процессы с долгосрочной памятью.......... 16.4.6. Многомерные модели волатильности............. 16.5. Упражнения и задачи.......................... 17.Интегрированные процессы, ложная регрессия и коинтеграция 17.1. Стационарность и интегрированные процессы............ 17.2. Разложение Бевериджа—Нельсона для процесса I(1)....... 17.3. Ложная регрессия........................... 17.4. Проверка на наличие единичных корней............... 17.5. Коинтеграция. Регрессии с интегрированными переменными.... 17.6. Оценивание коинтеграционной регрессии:

подход Энгла—Грейнджера...................... 17.7. Коинтеграция и общие тренды..................... 17.8. Упражнения и задачи.......................... IV Эконометрия — II 18.Классические критерии проверки гипотез 18.1. Оценка параметров регрессии при линейных ограничениях..... 18.2. Тест на существенность ограничения................. 18.2.1. Тест Годфрея (на автокорреляцию ошибок)......... 18.2.2. Тест RESET Рамсея (Ramsey RESET test) на функциональную форму уравнения............ 18.2.3. Тест Чоу (Chow-test) на постоянство модели......... 18.3. Метод максимального правдоподобия в эконометрии........ 18.3.1. Оценки максимального правдоподобия............ Оглавление 18.3.2. Оценки максимального правдоподобия для модели линейной регрессии...................... 18.3.3. Три классических теста для метода максимального правдоподобия......................... 18.3.4. Сопоставление классических тестов............. 18.4. Упражнения и задачи.......................... 19.Байесовская регрессия 19.1. Оценка параметров байесовской регрессии............. 19.2. Объединение двух выборок...................... 19.3. Упражнения и задачи.......................... 20.Дисперсионный анализ 20.1. Дисперсионный анализ без повторений................ 20.2. Дисперсионный анализ с повторениями............... 20.3. Упражнения и задачи.......................... 21.Модели с качественными зависимыми переменными 21.1. Модель дискретного выбора для двух альтернатив.......... 21.2. Оценивание модели с биномиальной зависимой переменной методом максимального правдоподобия............... 21.2.1. Регрессия с упорядоченной зависимой переменной..... 21.2.2. Мультиномиальный логит................... 21.2.3. Моделирование зависимости от посторонних альтернатив в мультиномиальных моделях.......... 21.3. Упражнения и задачи.......................... 22.Эффективные оценки параметров модели ARMA 22.1. Оценки параметров модели AR(1)................... 22.2. Оценка параметров модели MA(1).................. 22.3. Оценки параметров модели ARMA(p, q)............... 22.4. Упражнения и задачи.......................... 23.Векторные авторегрессии 23.1. Векторная авторегрессия: формулировка и идентификация..... 23.2. Стационарность векторной авторегрессии.............. 10 Оглавление 23.3. Анализ реакции на импульсы..................... 23.4. Прогнозирование с помощью векторной авторегрессии....... 23.5. Причинность по Грейнджеру...................... 23.6. Коинтеграция в векторной авторегрессии.............. 23.7. Метод Йохансена............................ 23.8. Коинтеграция и общие тренды..................... 23.9. Упражнения и задачи.......................... A. Вспомогательные сведения из высшей математики A.1. Матричная алгебра........................... A.1.1. Определения.......................... A.1.2. Свойства матриц........................ A.2. Матричное дифференцирование.................... A.2.1. Определения.......................... A.2.2. Свойства............................ A.3. Сведения из теории вероятностей и математической статистики.. A.3.1. Характеристики случайных величин............. A.3.2. Распределения, связанные с нормальным.......... A.3.3. Проверка гипотез....................... A.4. Линейные конечно-разностные уравнения.............. A.4.1. Решение однородного конечно-разностного уравнения... A.5. Комплексные числа.......................... B. Статистические таблицы Введение Данный учебник написан на основе курсов, читаемых на экономическом фа культете Новосибирского государственного университета. С середины 1980-х го дов читался спецкурс, в котором излагались основы классической эконометрии, относящиеся к регрессионному анализу. В это же время в рамках «Общей теории статистики» достаточно развернуто начал изучаться материал анализа временных рядов. На базе этих дисциплин в начале 1990-х годов был создан единый курс «Эко нометрия», который, постоянно совершенствуясь, читается как обязательный до настоящего времени. Во второй половине 1990-х годов был разработан и введен в практику преподавания обязательный курс «Эконометрия-II» для магистрантов.

В конце 1990-х годов на экономическом факультете был восстановлен — на прин ципиально новом уровне — курс «Общая теория статистики», дающий начальное представление об эмпирических исследованиях.

Эконометрия (другой вариант термина в русском языке — эконометрика) — это инструментальная наука, позволяющая изучать количественные взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математических и статистиче ских методов и моделей. Дословно этот термин означает «экономическое изме рение».

Эконометрия связывает экономическую теорию, прикладные экономические исследования и практику. Благодаря эконометрии осуществляется обмен инфор мацией между этими взаимодополняющими областями, происходит взаимное обо гащение и взаимное развитие теории и практики.

Эконометрия дает методы экономических измерений, а также методы оценки параметров моделей микро- и макроэкономики. При этом экономические теории выражаются в виде математических соотношений, а затем проверяются эмпириче ски статистическими методами. Кроме того, эконометрия активно используется для прогнозирования экономических процессов и позволяет проводить планирование как в масштабах экономики в целом, так и на уровне отдельных предприятий.

В экономике (как и в большинстве других научных дисциплин) не существует и не может существовать абсолютно точных утверждений. Любое эмпирическое утверждение имеет вероятностную природу. В частности, экономические измерения содержат различного рода ошибки. Таким образом, в прикладных экономических исследованиях требуется использовать статистические методы.

Методы эконометрии, позволяющие проводить эмпирическую проверку тео ретических утверждений и моделей, выступают мощным инструментом развития самой экономической теории. С их помощью отвергаются одни теоретические кон цепции и принимаются другие гипотезы. Теоретик, не привлекающий эмпирический материал для проверки своих гипотез и не использующий для этого эконометриче 12 Введение ские методы, рискует оказаться в мире своих фантазий. Важно, что эконометриче ские методы одновременно позволяют оценить ошибки измерений экономических величин и параметров моделей.

Экономист, не владеющий методами эконометрии, не может эффективно ра ботать аналитиком. Менеджер, не понимающий значение этих методов, обречен на принятие ошибочных решений.

Эта книга адресована студентам, магистрантам и аспирантам экономических факультетов классических университетов. Она соответствует требованиям госу дарственного образовательного стандарта по дисциплине «Эконометрика». Кроме того, издание будет полезно преподавателям эконометрии, исследователям, рабо тающим в области прикладной экономики, специалистам по бизнес-планированию и финансовым аналитикам.

Учебник предполагает определенный уровень базовой математической подго товки читателя, владение им основами линейной алгебры, математического анали за, теории вероятностей и математической статистики в объеме курсов для немате матических специальностей вузов. Некоторые наиболее важные сведения из этих разделов высшей математики приведены в приложении к учебнику.

Необходимость в создании учебника по эконометрии вызвана отсутствием оте чественного варианта, который бы охватывал все основополагающие позиции со временной эконометрической науки. Появившиеся в последние годы учебные изда ния лишь частично покрывают программу курса, читаемого на экономическом фа культете Новосибирского государственного университета. В частности, эти учеб ники, посвященные в основном регрессионному анализу, не уделяют достаточного внимания теории временных рядов. При создании настоящего учебника авторы стремились систематизировать и объединить в рамках одного источника различ ные разделы экономической статистики и эконометрии.

Структура учебника примерно соответствует учебному плану экономическо го факультета НГУ. Соответственно, он состоит из четырех частей: «Введение в социально-экономическую статистику», «Эконометрия-I: регрессионный ана лиз», «Эконометрия-I: анализ временных рядов», «Эконометрия-II». Каждая часть покрывает семестровый курс. Соответствующие разделы читаются в качестве обя зательной дисциплины во втором, четвертом и пятом семестрах бакалавриата и в первом семестре магистратуры. Полный курс эконометрии на ЭФ НГУ (вклю чая «Введение в социально-экономическую статистику») рассчитан на 152 часа аудиторных занятий (45% лекций, 55% семинарских занятий).

В первой части «Введение в социально-экономическую статистику» представ лен материал, который более глубоко раскрывается в других частях учебника.

В данной части рассмотрены особенности экономических величин, изложены про Введение блемы экономических измерений, приводится обсуждение основных описательных статистик, рассмотрен индексный анализ, дан обзор основ анализа связей.

Вторая часть посвящена классическому регрессионному анализу. Здесь рас сматривается метод наименьших квадратов в разных вариантах (включая орто гональную регрессию), приведена основная модель линейной регрессии, излага ются методы оценки параметров регрессии в случаях, когда нарушаются требо вания основной модели (мультиколлинеарность, автокорреляция и гетероскеда стичность, наличие ошибок в переменных), рассматриваются способы включения в регрессионное уравнение качественных переменных как для факторов (фик тивные или псевдопеременные), так и для зависимой переменной (модели логит и пробит). Большое внимание уделяется применению основных критериев про верки статистических гипотез в регрессионном анализе (тестированию): крите рии Стьюдента, Фишера и Дарбина—Уотсона. Завершается вторая часть изло жением некоторых проблем и методов оценки параметров одновременных систем уравнений. Особенность этого раздела учебника состоит в использовании матрич ного подхода, позволяющего достичь общности и лаконичности изложения мате риала.

Третья часть посвящена анализу временных рядов. В ней рассматривается как классический инструментарий — выделение трендов, спектральный и гармониче ский анализ, модели Бокса—Дженкинса, так и более современные методы — ди намическая регрессия, ARCH- и GARCH- процессы, единичные корни и коин теграция, которые недостаточно освещены в отечественной литературе. Классиче ские методы излагаются исходя из стремления дать математическое обоснование множеству утверждений, которые в существующих учебниках просто констатиру ются, что существенно затрудняет восприятие материала.

Заключительная четвертая часть содержит разделы, в большинстве своем неиз вестные русскоязычному читателю, однако без их знания практически невозмож но проведение качественного эконометрического исследования. Это классические критерии проверки гипотез, метод максимального правдоподобия, дисперсионный анализ, основы байесовских методов, модели с качественными зависимыми пере менными и более сложные разделы анализа временных рядов, в частности, вектор ная авторегрессия и подход Йохансена к анализу коинтеграционных связей.

Учебник содержит большое количество задач и упражнений. Кроме того, в каж дой главе приведен список литературы, которая может быть использована в каче стве дополнения к материалу главы.

Подготовка ученика осуществлялась при финансовой и методической поддерж ке программ TEMPUS (TACIS) JEP 08508–94: «Перестройка и совершенство вание подготовки экономистов в НГУ» (1994–1997гг.) и «Совершенствование 14 Введение преподавания социально-экономических дисциплин в вузах» в рамках «Инноваци онного проекта развития образования (2002–2004гг.)».

В списке литературы после каждой главы звездочкой отмечены основные ис точники.

Авторский коллектив благодарит всех, кто помогал в работе над учебником.

Особая благодарность Владимиру Шину, который осуществил верстку оригинал A макета в формате LTEX, а также Марине Шин, проделавшей большую работу по редактированию и согласованию различных частей учебника.

Авторы будут признательны читателям за любые комментарии, сообщения о недочетах и опечатках в этом учебнике.

Часть I Введение в социально-экономическую статистику Это пустая страница Глава Основные понятия 1.1. Краткая историческая справка Практика статистики зародилась давно, по-видимому, вместе со становлением элементов государственности. Не случайно во многих языках статистика и госу дарство — однокоренные слова. Государству в лице представителей госаппарата всегда надо было хотя бы приблизительно знать численность населения страны, ее экономический потенциал, фактическое состояние дел в разных сферах обществен ной жизни. Иначе нельзя сколько-нибудь эффективно собирать налоги, проводить крупные строительные работы, вести войны и т.д.

Статистическая теория возникла как результат обобщения уже достаточно раз витой статистической практики. Начало ее становления обычно связывают с рабо тами английских политических арифметиков XVII века и, прежде всего, с именем Вильяма Петти (1623–1687). В XVIII веке статистическая теория развивалась под флагом государствоведения, зародившегося в Германии. Именно германские уче ные в конце XVIII века стали использовать термины «статистика», «статистик», «статистический» в смысле, близком к современному. Хотя слово «статистик» на много старше, его — в ином смысле — можно найти в произведениях Шекспира (начало XVII века). Эти слова, по-видимому, происходят более или менее косвенно от латинского слова «status» в том его смысле, который оно приобрело в средне вековой латыни, — политическое состояние.

Германские авторы, и вслед за ними известный английский ученый сэр Джон Синклер, использовали термин «статистика» в смысле простого изложения заслу 18 Глава 1. Основные понятия живающих внимание данных, характеризующих государство. Причем форма из ложения являлась преимущественно словесно-текстовой. Для того времени такое понимание было достаточно естественным, т.к. достоверных числовых данных было еще очень мало. Лишь спустя несколько десятилетий с термином «статистика» ста ли связывать изложение характеристик государства численным методом. Нод аже после образования в Англии Королевского статистического общества в 1834 году такое понимание статистики еще не стало обычным.

Одним из ярких представителей статистики XIX века является бельгийский ученый Адольф Кетле (1796–1874) — создатель первого в мире центрального го сударственного статистического учреждения в Бельгии, организатор и участник первых международных статистических конгрессов. Он установил, что многие мас совые явления (рождаемость, смертность, преступность и т.д.) подчиняются опре деленным закономерностям, и применил математические методы к их изучению.

В России первым общегосударственным органом статистики явилось Статисти ческое отделение Министерства полиции (1811), а затем — Министерства внут ренних дел (1819). Его начальником был один из первых российских статистиков Герман К.Ф. (1767–1838) — автор первого русского оригинального труда по тео рии статистики — книги «Всеобщая теория статистики» (1809).

Корни современной теории статистики, прежде всего математической стати стики, могут быть прослежены в работах Лапласа и Гаусса по теории ошибок на блюдения, но начало расцвета самой науки относится только к последней четверти XIX века. Значительную роль на этом этапе сыграли работы Гальтона и Карла Пирсона.

1.2. Предмет статистики В статистике собираются и систематизируются факты, которые затем анали зируются и обобщаются в «содержательных» общественных науках. Поэтому не всегда бывает просто провести границу между собственно статистикой и той об щественной наукой, которую она «снабжает» информацией. И многие статистики склонны расширять рамки своей дисциплины за счет «содержательной» тематики.

Это — их право, но в строгом смысле статистика является наукой о методах ко личественного (численного) отражения фактов общественной жизни. Именно так понимается статистика в данной книге.

Требуется пояснить, почему в данном определении статистики она связывается именно с науками об обществе.

Любая наука, основываясь на наблюдениях за реальными фактами, стремится их систематизировать, обобщить, выявить закономерности, найти законы, постро ить теоретические модели, объясняющие наблюдаемую действительность. Други 1.2. Предмет статистики ми словами, наука стремится выявить и затем количественно определить структуру причинно-следственных связей. Но события реальной жизни происходят под вли янием многих причин, и простое пассивное наблюдение далеко не всегда дает возможность найти эти причины. Более того, такое наблюдение может привести к выводам, прямо противоположным действительности. «Не верь глазам своим» — фраза, резюмирующая многовековой опыт подобных наблюдений.

Однако, в так называемых точных науках научились проводить наблюдения так, чтобы однозначно и, как правило, в количественной форме определять причинно следственные связи. Такая организация наблюдения называется экспериментом.

Ученые — физики, химики, биологи могут провести «натурный» эксперимент, на входе которого фиксируются одна-две величины и определяется в результате, на что и как они влияют «при прочих равных условиях». В точных науках ана лизируются и обобщаются, как правило, наблюдения-результаты экспериментов, т.е. «рафинированные» экспериментальные данные. Прогресс в этих науках самым непосредственным образом связан с целенаправленным развитием возможностей экспериментирования, с развитием «синхрофазотронов».

Возможности проведения управляемых экспериментов в общественной жизни крайне ограничены. Поэтому общественные науки вынуждены опираться на неэкс периментальные данные, т.е. на результаты пассивных наблюдений, в потоке кото рых трудно уловить, а тем более количественно определить причинно-следственные связи. И статистика как раз и занимается методами сбора и подготовки таких дан ных к анализу, методами их первичного анализа, методами проверки теоретических гипотез на основе таких данных.

Конечно, и во многих необщественных сферах знания остается большое поле для статистики. Метеоролог строит свои прогнозы, основываясь в конечном сче те на статистических данных;

возможности управляемого эксперимента все еще ограничены в биологии и т.д. Но главным объектом статистики все-таки является общественная жизнь.

Статистикой называют не только науку о методах организации пассивного наблюдения, методах систематизации и первичного анализа таких наблюдений, но и сами массивы этих наблюдений. Статистика рождаемости и смертности, ста тистика выпуска продукции и т.д. — это совокупности чисел, характеризующих количество рождений и смертей, объемы выпуска продукции и т.д. В этом смысле термин «статистика» эквивалентен термину «информация».

Английским эквивалентом слова «статистика» в указанных смыслах является «statistics», т.е. слово во множественном числе. Это слово используется в ан глийском языке и в единственном числе — «statistic», как определенное число, являющееся результатом некоторого статистического расчета. В этом смысле сло во «статистика» используется и в русском языке: статистика Фишера, статистика 20 Глава 1. Основные понятия Стьюдента, статистика Дарбина-Уотсона — это определенные числа, полученные в результате достаточно сложных расчетов, по величине которых судят о разум ности тех или иных статистических гипотез. Например, гипотезы о наличии связи между изучаемыми величинами. Термин «статистики» (во множественном числе), используемый также в русском языке, относится к совокупности таких чисел.

1.3. Экономические величины и статистические показатели Экономическая величина — есть некоторое количество определенного эконо мического «качества». Обычно экономические величины обозначают буквами ла тинского, реже — греческого алфавита. Когда говорят, что x — объем произ водства или объем затрат, или объем капитала, то подразумевают, что эта буква обозначает некоторое количество произведенной продукции, осуществленных за трат, наличного капитала. Обозначенные таким образом экономические величины используются обычно как переменные и параметры математических моделей эко номики, в которых устанавливаются зависимости между экономическими величи нами. Примером такой модели может являться межотраслевой баланс:

X = AX + Y, где X и Y — вектор-столбцы объемов производства валовой и конечной продук ции по отраслям;

A — квадратная матрица коэффициентов материальных затрат.

Или в покомпонентной записи:

xi = aijxj + yi для всех i, j где aij — коэффициент затрат продукции i-го вида на производство единицы про дукции j-го вида.

Эта модель определяет зависимость между валовой, промежуточной и конеч ной продукцией, а именно: валовая продукция является суммой промежуточной и конечной продукции. Кроме того, в этой модели определяется прямо пропорцио нальная зависимость текущих материальных затрат от валового выпуска.

Одна из возможных форм зависимости между выпуском продукции и использу емыми ресурсами устанавливается производственной функцией Кобба—Дугласа:

X = aCL, где X — выпуск продукции;

C — затраты основного капитала;

L —затраты труда;

a,, — параметры функции.

1.3. Экономические величины и статистические показатели В этих записях экономические величины выступают, прежде всего, как некие теоретические понятия, то есть именно как «количества определенного эконо мического качества». Вопрос об измеримости этих величин непосредственно не ставится, но предполагается, что этот вопрос в принципе разрешим.

Статистическим (экономическим) показателем является операциональное определение экономической величины. Такое определение представляет собой ис черпывающий перечень операций, которые необходимо провести, чтобы измерить данную величину. Этот перечень включает обычно и операции по сбору первичной информации — первичных наблюдений. Операциональные определения экономи ческих величин-показателей, особенно обобщающего характера, таких как валовой внутренний или валовой национальный продукт, являются сложными методиками расчетов, далеко не все этапы которых безоговорочно однозначны. Эти операци ональные определения являются предметом изучения и построения в социально экономической статистике.

Одной экономической величине могут соответствовать несколько статистиче ских показателей, которые раскрывают разные стороны соответствующего теоре тического понятия. Так, например, понятию «цена» на практике соответствуют:

основные цены, цены производителей, оптовые и розничные цены, цены покупа телей и т.д. Даже такая, казалось бы, простая величина, как население, имеет несколько «конкретизаций»: население на момент времени или в среднем за пери од, население постоянное или наличное.

Статистическим показателем называют также конкретное число — результат измерения экономической величины, характеризующей определенный объект в определенный момент времени. Например, чистая прибыль такого-то предприя тия в таком-то году составила столько-то миллионов рублей. В этом случае эконо мическая величина «чистая прибыль» характеризует данное предприятие в данном году. С этой точки зрения понятно, почему в статистике экономические величи ны в привязке к объекту и времени иногда называют признаками этого объек та. В свою очередь статистический показатель-число называют статистическим наблюдением. Все множество величин-признаков или показателей-наблюдений можно обозначить следующим образом:

X = {xtij}, где t — индекс времени, i — индекс объекта, j — индекс признака, то есть но мер экономической величины в перечне всех экономических величин, которые могут характеризовать изучаемые объекты.

Итак, экономическая величина-признак — теоретическое понятие, статисти ческий показатель-определение обеспечивает практическую измеримость теоре тической величины, статистический показатель-наблюдение — результат изме рения величины-признака конкретного объекта в конкретный момент времени.

22 Глава 1. Основные понятия 1.4. Вероятностная природа экономических величин Статистическое исследование строится в предположении, что все экономиче ские величины без исключения являются случайными с вполне определенными, часто неизвестными, законами распределения вероятности. Наблюдаемые значе ния суть реализации соответствующих случайных величин, выборки из каких-то генеральных совокупностей. Такое отношение к экономическим величинам долгое время отрицалось в отечественной (советской) науке на том основании, что в соци алистической экономике, которая сознательно и планомерно организуется, не мо жет быть места случайной компоненте. В настоящее время такую позицию никто практически не занимает, но определенные сомнения в вероятностной природе экономических величин высказываются.

Некоторые экономисты не склонны признавать вероятностный характер не массовых, единичных и уникальных событий. На том основании, что такой немас совый, нерегулярно повторяющийся характер имеет большинство экономических явлений, «отец» кибернетики Норберт Винер вообще отрицал возможность при менения количественных методов в экономических и социальных науках. Многие ученые-статистики отрицают необходимость вероятностного подхода к изучению даже массовых явлений, если для них можно провести сплошное наблюдение и по лучить в свое распоряжение — как они считают — полную генеральную совокуп ность. Они работают в рамках особого раздела статистики, который называется анализом данных.

Нельзя не видеть, что высказываемые сомнения в вероятностной природе эко номических явлений имеют основания. Понятие вероятности, вероятностные под ходы к анализу зарождались и развивались в естественных науках, а мир физических величин очень сильно отличается от «материи» экономической. В физике, химии генеральные совокупности очень велики, многие из них, по-видимому, можно счи тать бесконечными. Очень велики и исследуемые выборки, и, что чрезвычайно важно, их, как правило, можно неограниченно увеличивать в управляемом экс перименте, воспроизводя нужные условия в специальных физических установках, в химической аппаратуре. В такой ситуации совершенно естественным кажется определение вероятности как предела относительной частоты появления нужного признака.

Но и в физическом мире многие явления представляются единичными и уни кальными, со всеми вытекающими отсюда трудностями для классического, «объ ективистского», «частотного» понимания вероятности. Например, как может от ветить на вопрос о том, какова вероятность жизни на Марсе, «объективист частотник»? Если он относится к Марсу как к уникальному явлению, единственной в своем роде планете во вселенной, то в лучшем случае его ответ будет 0 или 1.

1.4. Вероятностная природа экономических величин Если жизнь есть — 1, если ее нет — 0. Но, скорее всего, он просто отметит некор ректность этого вопроса, поскольку для него вероятность — это характеристика совокупности, а не единичного явления.

В экономике подобных нарушений классических условий появления вероят ности — масса. Можно сказать, что вся экономика состоит из таких нарушений.

Мир людей, если к нему относиться «сильно материалистично», без некоторой раскованности в мышлении, уникален и ограничен. Генеральные совокупности ко нечны и малы, так что многие массивы данных можно интерпретировать как исчер пывающие генеральные совокупности. Ряды наблюдений весьма коротки. И, что сильно отличает экономику от физики, невозможно проведение натурных экспери ментов с воспроизводимыми условиями.

В таком положении полезным и продуктивным, по крайней мере внешне, пред ставляется подход субъективной вероятности. Субъективная вероятность — это мера доверия исследователя к утверждению, степень уверенности в его справед ливости, наконец, мера готовности действовать в ситуации, связанной с риском.

«Субъективист» может давать вероятности любым, даже уникальным событиям, включая их тем самым в строгий анализ. Основываясь на своих знаниях, опыте, интуиции, он может определить вероятность жизни на Марсе, вероятность вхож дения России в число развитых стран, вероятность экологической катастрофы на планете или мировой войны к середине столетия. Конечно, его оценки индивиду альны и субъективны, но если их несколько и даже много, то после своего согла сования они, несомненно, приобретут элемент объективности. Полезно понимать, что и в таком случае подход к вероятности совершенно отличен от классического «объективистски-частотного».

Направления субъективной и объективной вероятности развивались парал лельно. Если формальное определение объективной вероятности дано впервые Пуассоном во второй четверти прошлого века (1837 год), то Бернулли еще в на чале XVIII века (1713 год) предположил, что вероятность — это степень доверия, с которой человек относится к случайному событию, и что эта степень доверия за висит от его знаний и у разных людей может быть различной. Во второй половине прошлого века Байес доказал известную теорему об условной вероятности и ин терпретировал используемые в ней параметры вероятности как степени уверенно сти. Эти идеи легли в основу современной теории принятия решений в условиях неопределенности и, вообще, подхода субъективной вероятности, который часто называется байесовским.

Бурное развитие этого направления началось в XX веке в связи с усилением ин тереса к наукам об обществе, к экономической науке. Следует назвать по крайней мере двух ученых, внесших фундаментальный вклад в становление теории субъек тивной вероятности и связанных с ней теорий полезности — это Джон М. Кейнс и Фрэнк П. Рамсей. В СССР в 40-х годах прошлого столетия проходила дискуссия 24 Глава 1. Основные понятия о началах теории вероятностей. Представители субъективной школы потерпели поражение.

Существует подход, объединяющий в определенном смысле идеи субъективной и объективной вероятности. Он основан на понимании многовариантности разви тия общества вообще и экономики в частности. Имеется множество возможных состояний экономики и путей ее развития, наблюдаемые факты в полном своем объеме являются лишь выборкой из гипотетической генеральной совокупности, образованной этим множеством. В рамках такого подхода снимается ряд проти воречий частотного понимания вероятностей в экономике. Так, например, вероят ность вхождения России в число развитых стран к 2050 году есть относительная частота возможных вариантов развития страны, при которых «вхождение» состо ялось к 2050 году, в общем числе возможных вариантов. Вопрос остается толь ко в том, как можно найти эти варианты или хотя бы посчитать их количество, т.е. как можно практически работать с гипотетическими генеральными совокуп ностями.

Современная экономическая наука располагает соответствующим инструмен тарием: это математическое моделирование. Всякая математическая модель пред ставляет бесконечное пространство возможных состояний экономики, расчет по модели дает точку или траекторию в этом пространстве. Модель выступает инструментом проведения экономических экспериментов почти в таком же смыс ле, как и в естественных науках. Конечно, главным при этом является вопрос об адекватности модели. Но все это — темы других курсов.

По-видимому, «субъективист», хотя бы в некоторых ситуациях приписывая вероятности тем или иным событиям, пользуется неявно частотным подходом при менительно к некоторым гипотетическим генеральным совокупностям. При этом конструировать эти гипотетические совокупности и работать с ними помогают ему его знания, опыт и интуиция.

1.5. Проблемы измерений Методы измерения развивались на протяжении всей истории человеческой ци вилизации вместе с развитием математики и естественных наук. В прошлом веке математизация социальных и экономических наук дала новый импульс этим про цессам. Проводилось серьезное переосмысление феномена измерений, осуществ лялись продуктивные попытки разработать общие теории измерения. Шел интен сивный поток литературы, посвященной этой проблематике. Следует назвать таких ученых, как Н.Р. Кэмпбел, один из родоначальников современных теорий измере ния;

С.С.Стивенс, одна из его книг, 2-х томная «Экспериментальная психология», в 1969 г. опубликована на русском языке;

И. Пфанцагль, книга которого в соавтор 1.5. Проблемы измерений стве с двумя другими учеными «Теория измерений» вышла в нашей стране в 1971 г.;

П. Суппес и Дж.Л. Зинес, их работа «Основы теории измерения» опубликована у нас в 1967 г. Существенный вклад в теорию экономических измерений внесен работой Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое по ведение», вышедшей у нас в 1970 г. Характерно, что все эти исследователи, кроме Кэмпбела, разрабатывали проблематику нефизических измерений.

Если взять «Большую Советскую Энциклопедию» или «Математическую Эн циклопедию» более позднего издания, то можно узнать, что измерение — это про цесс сопоставления измеряемого явления с единицей измерения. Такое определе ние достаточно поверхностно, оно не раскрывает существа возникающих проблем.

В настоящее время практически всеобщим признанием пользуется репрезен тативная теория, в соответствии с которой измерение есть процесс присваива ния числовых выражений объекту измерения для его репрезентации (представле ния), т.е. для того, чтобы осмысленно выводить заключения о свойствах объекта.

Это определение дано Кэмпбелом. Он делает акцент на целях измерения. Измере ние осуществляется не ради самого измерения, а с тем, чтобы можно было извлечь пользу из его результатов.

По Стивенсу, измерение — это приписывание чисел вещам в соответствии с определенными правилами. Он акцентирует внимание на измерительных опе рациях. Теорию измерения, развиваемую им, можно было бы назвать операцио нальной.

Следует привести также определение формальной теории, которое вытекает из теории математических моделей А. Тарского. Измерить — значит установить однозначное (гомоморфное) отображение эмпирической реляционной структуры в числовую реляционную структуру. Реляционная структура — это множество объ ектов вместе со всеми отношениями и операциями на нем. В соответствии с этим определением, если объекты находятся в реальной действительности (в эмпириче ской реляционной структуре) в некоторых отношениях друг с другом (одинаковы, больше, меньше, лучше, хуже, являются суммой или разностью), то в этих же отношениях должны находиться числа, приписанные им в результате измерения (числовая реляционная структура). Это определение находится в русле репрезен тативной теории.

Множества чисел, в которых проводится измерение, образуют измерительные шкалы. В концептуальном отношении Стивенсом выделено 4 основных типа шкал.

1) Номинальная шкала, шкала наименований, шкала классификаций. Объ ектам приписываются любые числа, которые играют роль простых имен и исполь зуются с целью различения объектов и их классов. Примеры: номера футболистов, числовые коды различных классификаторов. Основное правило такого измерения:

не приписывать одно число объектам разных классов и разные числа объектам 26 Глава 1. Основные понятия одного класса. В этой шкале вводится только два отношения: «равно» и «не рав но». В ней измеряются объекты, которые пока научились или которые достаточно только различать. Понятно, что в данном случае речь идет об измерении в очень слабом смысле. Результаты измерения X в этой шкале всегда можно изменить, подвергнув их взаимнооднозначному преобразованию f. Говорят, что математиче ская структура этой шкалы определяется преобразованием f, таким что f =0.

2) Ординальная или порядковая, ранговая шкала. В этой шкале измеряются объекты, которые одинаковы или предпочтительнее друг друга в каком-то смысле.

Принимаются во внимание только три отношения, в которых могут находиться чис ла этой шкалы: «равно», «больше», «меньше». Математическая структура шкалы определяется монотонно возрастающим преобразованием f : f > 0. Пример та кой шкалы дает теория порядковой полезности.

3) Интервальная шкала. Шкала используется для измерения объектов, отно сительно которых можно говорить не только больше или меньше, но и на сколько больше или меньше. Т.е. в ней введено расстояние между объектами и, соответ ственно, определены единицы измерения, но нет пока нуля, и бессмысленнен во прос о том, во сколько раз больше или меньше. Математическая структура шкалы:

f = aX + b, гд е a >0 (a — коэффициент изменения единицы измерения, b — «сдвиг» нуля). В этой шкале измеряются некоторые физические величины, напри мер, температура. Если ночью по Цельсию было 5 градусов тепла, а днем — 10, то можно сказать, что днем теплее на 5 градусов, но утверждение, что днем в 2 ра за теплее, чем ночью, бессмысленно. В шкале Фаренгейта или Кельвина данное отношение совсем другое.

4) Шкала отношений. В ней, по сравнению с предыдущей шкалой, введен ноль (естественное начало шкалы) и определено отношение «во сколько раз больше или меньше». Математическая структура шкалы: f = aX (a — коэффициент изменения единицы измерения), a >0. Это обычная шкала, в которой проводится большинство метрических измерений.

Первые два типа шкал неметрические, они используются в нефизическом из мерении (в социологии, психологии, иногда в экономике), которое в этом случае называется обычно шкалированием. Метрическими являются шкалы двух послед них типов. Экономические величины измерены, как правило, в шкале отношений.

Существуют различные виды измерений. С точки зрения дальнейшего изло жения важно выделить два вида: прямые или первичные, которые в физических измерениях иногда называют фундаментальными, икосвенные или производные.

Измерения 1-го вида сводятся к проведению эмпирических операций в непосред ственном контакте с измеряемым объектом. Это — опрос, анкетирование, наблю дение, счет, считывание чисел со шкал измерительных приборов. Измерения 2-го 1.6. Специфика экономических измерений вида связаны с проведением вычислительных операций надпервично измеренными величинами.

Таким образом, в измерении используются и эмпирические, и вычислительные операции. Некоторые теоретики измерения склонны минимизировать роль вы числения и отделить собственно измерение, как преимущественно эмпирическую операцию, от вычислений. Однако грань между этими двумя понятиями достаточно расплывчата, особенно при экономических измерениях.

1.6. Специфика экономических измерений Специфические особенности экономических измерений можно свести в 5 групп:

1) Измеряться могут только операционально определенные величины. В эко номике разработка операциональных определений величин — это сложный и не однозначный исследовательский процесс теоретического характера. Теоретики по стоянно дискутируют на темы измерения общих итогов экономического развития, экономической эффективности, производительности общественного труда, эконо мической динамики, инфляционных процессов, структурных сдвигов и т.д. Не вы работано строгой и единой системы операциональных величин, однозначно пред ставляющих эмпирическую экономическую систему. Одно из следствий такого по ложения, как уже говорилось, заключается в том, что каждому теоретическому понятию, как правило, соответствует несколько операциональных величин, отра жающих различные точки зрения и используемых с разными целями.

Очень сильно различались системы статистического учета, сложившиеся в СССР и в мировой практике. В России к концу прошлого столетия в целом завер шен переход на западные стандарты, но нельзя не видеть положительных моментов, имевшихся и в отечественной системе статистики. В мировой практике статистики к настоящему времени сложилась более или менее устойчивая, хотя и имеющая национальные особенности, система статистического отображения экономической действительности: Национальные счета на макроуровне, Бухгалтерский учет в фир мах. И эти вопросы не являются предметом активных дискуссий теоретиков. Но нет сомнений, что подвоздействием накапливаемых изменений в общественной жизни «взрывы» таких дискуссий ожидают нас впереди.

Таким образом, экономические измерения, в отличие от многих физических, в очень большой степени обусловлены теоретическими моментами.

2) Специфику экономических измерений создают и те особенности экономики, которые обсуждались выше в связи с пониманием особенностей статистики как науки и вероятностной природой экономических явлений. Короткие ряды наблюде ний и неэкспериментальный характер данных очень затрудняют процесс измерения и нередко ставят под сомнение научную значимость его результатов.

28 Глава 1. Основные понятия В процессе управляемого эксперимента можно изменить значение некото рой величины и определить, на что и каким образом она влияет, т.к. остальные величины-факторы остаются неизменными. Неэкспериментальные данные исклю чают возможность анализа «при прочих равных». В потоке наблюдений за «всеми сразу» величинами, как уже отмечалось, трудно уловить структуру взаимосвязей и измерить их интенсивность. Чисто эмпирически это, пожалуй, невозможно сде лать. Это обстоятельство еще в бо льшей степени увеличивает нагрузку на теорию, «силу абстракции» исследователя. И оно не добавляет надежности результатам измерения.

3) В экономике не существует таких объектов и не изобретено таких «линеек», совмещение которых позволило бы путем считывания чисел со шкалы определить объем валового внутреннего продукта или темп инфляции. Экономические изме рения почти всегда косвенные, производные. Экономические величины опреде ляются путем расчета, исчисления, формула которого задается операциональным определением величины. Более того, первичные измерения, имеющие в физике фундаментальное значение, в экономике, как правило, экономического характе ра не имеют. Это — счет, физические измерения веса, объема, д лины, первичная регистрация цен, тарифов и т.д. Экономический характер они приобретают лишь после своей свертки в экономические величины.

4) В естественных науках единицы измерения: килограмм, метр, джоуль, ватт и т.д. — четко и однозначно определены. Специфические единицы экономических измерений: цены, тарифы, ставки, единицы полезности — постоянно меняются.

Важно даже не то, что они меняются во времени, а то, что их изменения зависят от объема и пропорций тех величин, которые они призваны измерять. Если в струк туре производства или в потребительском наборе доля какого-то продукта умень шается, то его цена или полезность, как правило, растет. И наоборот. Учет такого рода зависимостей и изменчивости единиц измерения — очень сложная проблема, совершенно неизвестная в физических измерениях.

5) В процессе измерения инструмент взаимодействует определенным образом с объектом измерения, вследствие чего положение этого объекта может изме ниться, и результатом измерения окажется не та величина, которая имела место до самого акта измерения. Пример: если попытаться в темной комнате на ощупь определить положение бильярдного шара на столе, то он обязательно сдвинется с места. Эта проблема так или иначе возникает в любых измерениях, но только в экономических и, вообще, социальных измерениях она принимает угрожающие масштабы.

Экономические величины складываются под воздействием определенной дея тельности человека и каким-то характеризуют образом эту деятельность. Поэтому люди, как те, кто измеряет, так и те, чья деятельность измеряется, обязательно заинтересованы в результатах измерения. Взаимодействия в процессе измерения, 1.7. Адекватность экономических измерений возникающие по этим причинам, могут приводить к огромным отличиям получае мых значений измеряемых величин от их действительных значений. В физических измерениях влияние этого субъективного фактора практически отсутствует.

1.7. Адекватность экономических измерений Под адекватностью измерений обычно понимают степень соответствия изме ренных значений действительным или истинным. Разность этих значений образует ошибку измерения. Теория ошибок, основанная на теории вероятностей и матема тической статистике, изучается в следующей части книги. Здесь рассматривается значение учета ошибок экономических измерений, причины этих ошибок и приво дятся некоторые примеры.

Любые измерения, а экономические в особенности, содержат ошибки. Точ ные величины суть не более чем теоретические абстракции. Это происходит хотя бы в силу случайного характера величин. Исследователи располагают выбороч ными значениями величин и могут лишь приблизительно судить об их истинных значениях в генеральной совокупности. Измерения без указания ошибки доста точно бессмысленны. Фразу: «Национальный доход равен 10 600 млрд. руб.» — если она не содержит сведений о точности или не подразумевает таких знаний у читателя (например, судя по количеству приведенных значащих цифр, ошибка составляет ±50 млрд. руб.), — всегда можно продолжить: «или любой другой ве личине». К сожалению, понимание этого элементарного факта в экономике пока еще не достигнуто. Например, можно встретить такие статистические публикации, в которых численность населения бывшего СССР дается с точностью до одно го человека. Кстати, «точные» науки знают меру своей неточности, и результаты физических измерений обычно даются с указанием возможной ошибки.

Ошибки обычно подразделяют на случайные и систематические. Для экономи ки можно ввести еще один класс ошибок: тенденциозные. Случайные ошибки — предмет строгой теории (см. гл. 5), здесь внимание сосредоточено на систематиче ских и тенденциозных ошибках.

В чем причины этих ошибок экономических измерений?

В предыдущем разделе приводились 5 особенностей экономических измере ний. Каждая из них вносит в ошибку свою лепту, и немалую, сверх «обычной» ошибки физических измерений.

1) Ошибки теории. Операциональные определения экономических величин — продукт теории. И если теория неверна, то, как бы точно в физическом смысле не проводились измерения исходных ингредиентов, какими бы совершенными вы числительными инструментами не пользовались, ошибка — возможно очень боль шая — обязательно будет присутствовать в результатах измерения.

30 Глава 1. Основные понятия О величине этих ошибок в практике нашей статистики можно судить лишь косвенно. Если сравнивать показатели совокупного производства, которые ис пользовались в СССР и используемые в мировой практике, то можно отметить две основные компоненты ошибки. В мировой практике используются показатели типа конечной продукции, в советской статистике — типа валовой продукции, которые сильно искажаются повторным счетом и другими «накрутками», содержащимися в промежуточном продукте. И второе: в советской статистике расчет этих показа телей проводился только по так называемой материальной сфере. Бо льшая часть продукта, создаваемого в нематериальной сфере, не попадала в итоги.

2) Ошибки инструмента, в данном случае — принятых статистических проце дур расчета. Наибольшим дефектом в советской статистике страдали процедуры оценки динамики цен. Они скрывали реальные темпы инфляции.

Пример. На практике применяется два метода расчета национального дохода или валового внутреннего продукта (ВВП): потребительский — для определения использованного национального дохода как суммы фактических объемов накопле ния и непроизводственного потребления, и производственный — для расчета про изведенного национального дохода как суммы чистой продукции (добавленной сто имости) по отраслям производства. Эти показатели жестко связаны между собой:

их разница равна величине потерь и сальдо экспорта-импорта. Такая зависимость выдерживалась в государственной статистике только в текущих ценах. В сопостави мых ценах произведенный национальный доход устойчиво обгонял использованный ежегодно на несколько миллиардов рублей. Если начать отсчет с начала 70-х годов, то к концу 80-х разрыв между произведенным и используемым национальным дохо дом достигал последнего. Эти 100 - 150 млрд. руб. разрыва — одна из оценок ошибки расчета национального дохода в сопоставимых ценах.

В настоящее время в государственной статистике возникла в некотором смыс ле обратная проблема. ВВП, рассчитанный по производству, оказывается заметно меньшей величиной, чем рассчитанный по использованию. Причем разрыв также достигал в отдельных случаях ВВП. Это происходит потому, что часть продук ции производится в так называемой «теневой» экономике и не находит отражения в официальной статистике. Использование же продукции учитывается в более пол ных объемах.

Страдали и страдают несовершенством и другие статистические процедуры.

Еще один пример — из области международных сопоставлений динамики итоговых показателей развития. Если известны темпы роста национального дохода, напри мер, СССР и США, то можно легко установить, как менялось соотношение этих показателей и насколько успешно СССР «догонял» США. Независимо от этого в советской статистике проводились прямые сопоставления национальных доходов, показывающие, какую часть национального дохода США составляет национальный доход СССР. Долгое время оставался незамеченным факт серьезного несоответ 1.7. Адекватность экономических измерений ствия результатов этих двух расчетов: по данным динамики национального дохода СССР догонял США гораздо быстрее, чем по данным прямых сопоставлений. Мож но не сомневаться в том, что искажены были и те и другие данные, но динамика национального дохода была искажена в большей степени.

3) Тенденциозные ошибки. Являются следствием субъективного фактора в процессе измерения. Искажение и сокрытие информации — элемент рациональ ной стратегии экономического поведения. Это общепризнанный факт, но в СССР, в силу значительной идеологической нагрузки на статистику, искажение инфор мации, особенно итоговой, достигало удручающе больших размеров. По оценкам Г.И. Ханина, реально национальный доход за период с начала 1-й пятилетки (кон ца 20-х годов прошлого столетия) до начала 80-х годов прошлого века вырос не в 90 раз, как по официальной статистике, а всего в 7–8 (что тоже, кстати, очень неплохо).

В современной официальной статистике в России такие ошибки также имеют место. Но если во времена СССР совокупные объемы производства преувеличи вались, то теперь они занижаются. Это — результат «бартеризации» экономики, выведения хозяйственной деятельности из-подналогообложения. Косвенным под тверждением этих фактов является то, что при резком сокращении общих (офи циальных) объемов производства в последнем десятилетии прошлого века объемы потребления электроэнергии, топлива, тепла, объемы грузоперевозок уменьши лись гораздо в меньшей степени.

4) Ошибки единиц измерения. Имеется серьезное отличие понимания точ ности в физическом и экономическом измерении. Даже если измерения точны в физическом смысле, т.е. правильно взвешены и измерены первичные величины, использована бездефектная теория для свертки этих величин, ошибки в экономи ческом смысле могут присутствовать и, как правило, присутствуют. Дело в том, что практически всегда искажены по сравнению со своими истинными значениями наблюдаемые экономические единицы измерения: цены, тарифы и т.д. Особенно велик масштаб этих деформаций был в централизованной экономике. Влияние их на результаты измерения и далее на процессы принятия решений в СССР было огромным. Это стало особенно очевидным в конце горбачевской «перестройки», когда разные республики и территории бывшего СССР начали выдвигать взаим ные претензии, рассуждая на тему о том, кому, кто и сколько должен. Если взять Западную Сибирь, то по официальным данным на конец 80-х годов XX века ее сальдо вывоза-ввоза было хоть и положительно, но очень невелико. Расчеты же в равновесных ценах давали цифру плюс 15–20 млрд. руб., а в ценах мирового рынка — плюс 25–30.

Доля ошибок такого рода была велика и в реформируемой России, когда це новые пропорции были неустойчивы и быстро менялись, значительно рос общий 32 Глава 1. Основные понятия уровень цен. Сложной и не решаемой однозначно оказывается проблема «очистки» итоговых за год показателей от факторов инфляции.

1.8. Типы величин, связи между ними Экономические величины могут быть двух типов: экстенсивные, или объем ные, и интенсивные, или относительные. Первые обладают единицами измере ния, и их можно складывать, т.е. агрегирование проводится обычным сложени ем;

вторые не имеют единиц измерения, а могут обладать только определенной размерностью, и они не аддитивны, их агрегирование проводится путем расчета средневзвешенных величин.

Экстенсивные величины, в свою очередь, могут иметь тип запаса или потока.

Величины типа запаса регистрируются на конкретный момент времени и имеют элементарные единицы измерения: рубль, штука, тонна, метр и т.д. Примеры: ос новные фонды, материальные запасы, население, трудовые ресурсы. Величины типа потока определяются только за конкретный период времени и имеют размер ность «объем в единицу времени»: рубль в год, штука в час и т.д. К этим величинам относятся выпуск продукции, потребление, затраты, инвестиции, доходы и т.д.

Величины запаса и потока жестко связаны между собой:

Sb[v] +Pi[v t]t = Se[v] +Po[v t]t, где Sb и Se — запасы на начало и конец периода (v — единица измерения), Pi и Po — потоки по увеличению и уменьшению запаса (t — период).

Это соотношение лежит в основе большинства балансовых статистических таблиц. Например, в балансе движения основных фондов по полной стоимости Sb и Se — основные фонды на начало и конец года, Pi и Po — ввод и выбытие основных фондов;

в балансе (межотраслевом) производства и потребления продук ции Sb и Se — материальные запасы на начало и конец года, Pi — производство и импорт продукции, Po — текущее потребление (производственное и непроиз водственное), инвестиции и экспорт.

Интенсивные величины являются отношениями экстенсивных или интенсив ных величин. Они могут иметь разное содержание, разную размерность или быть безразмерными.

Примеры интенсивных величин как отношений объемных величин:

– в классе P/S: производительность труда, фондоотдача, коэффициенты рож даемости и смертности населения;

– в классе S/P : трудо- и фондоемкость производства;

1.8. Типы величин, связи между ними – в классе S/S: фондовооруженность труда;

– в классе P/P: материало- и капиталоемкость производства, коэффициенты перевода капитальных вложений во ввод основных фондов.

Размерность этих величин определяется формулой их расчета. Интенсивные величины, получаемые отношением величин одного качества (экстенсивных или интенсивных), размерности не имеют. К ним относятся темпы роста и прироста, коэффициенты пространственного сравнения, показатели отраслевой и террито риальной структуры. Такие безразмерные относительные величины могут даваться o в процентах или промиллях (если a — относительная величина, то a · 100 /o — o ее выражение в процентах, a · 1000 /oo — в промиллях).

Если две величины y и x связаны друг с другом, то одним из показателей y x этой связи является их отношение: — средний коэффициент связи (например, трудо-, материало-, фондоемкость производства).

Иногда пользуются приростным коэффициентом (например, капиталоемкость y где y производства как приростной коэффициент фондоемкости):

x, и x — приросты величин y и x за определенный период времени.

Если величины y и x связаны гладкой непрерывной функцией, то непрерыв dy ным (моментным) приростным коэффициентом является производная dx.

В этом же ряду находится так называемый коэффициент эластичности, пока зывающий отношение относительных приростов:

y x xy y x : = = ·.

y x yx x y Непрерывным (моментным) коэффициентом эластичности является показа тель степени при степенной зависимости y от x :

dy y dy x y = ax, т.к. = ax-1 =, откуда = ·.

dx x dx y При наличии такой зависимости y от x моментный коэффициент эластичности ln(y ) a рассчитывается как.

ln x Это — примеры относительных величин, имеющих размерность. Далее приво дятся примеры безразмерных относительных величин.

Пусть y = yi. Например, y — совокупный объем производства на опреде i ленной территории, yi — объем производства (в ценностном выражении) в i-й отрасли;

или y — общий объем производства какого-то продукта в совокупности 34 Глава 1. Основные понятия yi y регионов, yi — объем производства продукта в i-м регионе. Тогда — коэф фициент структуры, отраслевой в первом случае, территориальной (региональной) во втором случае.

Если yi и yj — значения некоторого признака (объемного или относитель ного) двух объектов (i-го и j-го), например, двух отраслей или двух регионов, yi yj то — коэффициент сравнения, межотраслевого в первом случае, простран ственного (межрегионального) во втором случае.

Пусть yt — значение величины (объемной или относительной) в момент вре мени t. Для измерения динамики этой величины используются следующие пока затели:

yt = yt+1 - yt (или yt+1 = yt+1 - yt) — абсолютный прирост, yt+1 y — темп роста, t yt yt = yt+1 yt - 1 — темп прироста.

В случае, если динамика y задана гладкой непрерывной функцией y(t), то непрерывным темпом прироста в момент времени (моментным темпом при d ln y(t) d ln y роста) является, поскольку =, а непрерывным (моментным) аб dt dy y dy(t) dy(t) солютным приростом выступает. Последнее следует пояснить (почему dt dt выступает моментным абсолютным приростом в единицу времени). Пусть единич ный периодвремени [t, t +1] разбит на n равных подпериодов, и в каждом из них одинаков абсолютный прирост. Тогда абсолютный прирост в целом за единичный период равен y t + - y (t) n, n dy(t) и предел его при n, по определению производной, как раз и равен.

dt d ln y(t) /dt Непрерывным (моментным) темпом роста является e (e — основа ние натурального логарифма). Действительно, пусть опять же единичный период времени [t, t +1] разбит на n равных подпериодов, и темпы роста во всех них одинаковые. Тогда темп роста за этот период (единицу времени) окажется равным n y t + n, y (t) 1.8. Типы величин, связи между ними Таблица 1. За период (единичный) Моментный Темп дискретн. непрерывный t+ yt+1 d ln y (t ) y (t +1) d ln y (t) Роста exp dt = exp dt y (t) dt yt t t+ yt+1 d ln y (t ) y (t +1) d ln y (t) 1 dy (t) Прироста - 1 dt =ln = yt dt y (t) dt y dt t и переходом к пределу при n будет получено искомое выражение для мо ментного темпа роста. Проще найти предел не этой величины, а ее логарифма.

То есть ln y t + - ln y (t) n lim.

n n d ln y (t) По определению производной, это есть, т.е. моментный темп при dt роста. Следовательно, как и было указано, моментным темпом роста является e d ln y (t) в степени.

dt Непрерывный темп роста за период от t до t +1 определяется следующим образом:

t+ d ln y(t ) dt dt t e.

В этом легко убедиться, если взять интеграл, стоящий в показателе:

t+ t+ d ln y (t ) y (t +1) dt =ln y t =ln, dt y (t) t t и подставить результат (его можно назвать непрерывным темпом прироста за еди ничный период времени) в исходное выражение непрерывного темпа роста за пе риод:

y (t +1) ln y (t +1) y (t) e =.

y (t) 36 Глава 1. Основные понятия Построенные относительные показатели динамики сведены в таблице 1.1.

Относительные величины, с точки зрения их измерения, являются производ ными, т.е. их размер определяется путем расчета. Такой характер относительные величины имеют и в других предметных науках. Но в экономике существуют интен сивные величины особого типа, имеющие первичный или фундаментальный харак тер. Это экономические единицы (измерения): цены продукции, тарифы за услуги, ставки заработной платы, ставки процента, дивиденды, а также особые управля ющие параметры-нормативы, например, ставки налогов и дотаций. Эти величины имеют разную размерность или безразмерны, но регистрируются они как величины запаса — на определенные моменты времени.

1.9. Статистические совокупности и группировки Статистической совокупностью, или просто совокупностью, называют множе ство объектов, однородное в определенном смысле. Обычно предполагается, что признаки объектов, входящих в совокупность, измерены (информация имеется) или по крайней мере измеримы (информация может быть получена). Полное мно жество величин-признаков или показателей-наблюдений было обозначено выше как {xtij}. Совокупность объектов — это его подмножество по i.

Об однородности совокупности можно говорить в качественном и количествен ном смысле.

Пусть Ji — множество признаков, которые характеризуют i-й объект.

Совокупность однородна качественно, если эти множества для всех входящих в нее объектов идентичны или практически идентичны. Такие совокупности обра зуют, например, сообщества людей, каждого из которых характеризуют имя, дата и место рождения, пол, возраст, вес, цвет глаз, уровень образования, профессия, место проживания, доход и т.д. В то же время понятно, что, чем большие сооб щества людей рассматриваются, тем менее однородны они в этом смысле. Так, например, совокупность, включающая европейцев и австралийских аборигенов, не вполне однородна, поскольку набор признаков для последних включает такие характеристики, которые бессмысленны для первых (например, умение бросать бумеранг), и наоборот.

Совокупность промышленных предприятий качественно достаточно однородна.

Но более однородны совокупности предприятий конкретных отраслей, поскольку каждая отрасль имеет свою специфику в наборе всех возможных признаков.

Чем меньше общее пересечение множеств Ji, тем менее однородна в качествен ном смысле совокупность i-х объектов. Объекты, общее пересечение множеств признаков которых мало, редко образуют совокупности. Так, достаточно бессмыс 1.9. Статистические совокупности и группировки ленна совокупность людей и промышленных предприятий, хотя все они имеют имя, дату и место «рождения», возраст.

Допустимая степень неоднородности совокупности зависит, в конечном счете, от целей исследования. Если, например, изучаются различия средней продолжи тельности жизни различных представителей животного мира, то в исследуемую совокупность включают и людей, и лошадей, и слонов, и мышей.

Количественная однородность зависит от степени вариации значений призна ков по совокупности. Чем выше эта вариация, тем менее однородна совокупность в этом смысле. В разных фрагментах количественно неоднородных совокупностей могут различаться параметры зависимостей между величинами-признаками. Такие совокупности иногда также называют качественно неоднородными. Для них невоз можно построить единой количественной модели причинно-следственных связей.

Так, например, люди с низким уровнем дохода увеличивают спрос на некоторые то вары при снижении своего дохода (малоценные товары) или/и при росте цен на эти товары (товары «Гиффена»). Люди с высоким уровнем дохода реагируют на такие изменения обычным образом — снижают спрос.

Однородные совокупности обычно имеют простое и естественное название:

«люди» или «население», «промышленные предприятия». Выделяются эти сово купности с целью изучения, соответственно, человеческого сообщества, промыш ленности и т.д.

Массив информации по совокупности часто называют матрицей наблюде ний. Ее строкам соответствуют объекты и/или время, т.е. наблюдения, столб цам — величины-признаки или переменные. Обозначают эту матрицу через X, ее элементы — через xij, гд е i — индекс наблюдения, j — индекс переменной признака.

В конкретном исследовании все множество признаков делится на 2 части: фак торные признаки, илинезависимые факторы, — экзогенные величины и резуль тирующие (результативные) признаки, илиизучаемые переменные,—эндоген ные величины. Целью исследования обычно является определение зависимости ре зультирующих признаков от факторных. При использовании развитых методов ана лиза предполагается, что одни результирующие признаки могут зависеть не только от факторных, но и от других результирующих признаков.

В случае, если факторных признаков несколько, используют методы регресси онного анализа, если наблюдениями являются моменты времени, то применяются методы анализа временных рядов, если наблюдения даны и по временным момен там, и по территориально распределенным объектам, то целесообразно применить методы анализа панельных данных.

Если наблюдений слишком много и/или совокупность недостаточно однород на, а также для изучения внутренней структуры совокупности или при применении 38 Глава 1. Основные понятия особых методов анализа связи, предварительно проводится группировка совокуп ности. Группировка — деление совокупности на группы по некоторым признакам.

Наиболее естественно проводится группировка по качественным признакам.

Такие признаки измеряются обычно в шкале наименований или в порядковой шка ле. Например, признак «пол»: 1 —мужской, 2 — женский (или -1 и 1, 0 и 1, 1 и 0 и т.д.);

«академическая группа»: 1 — студент 1-й группы, 2 —студ ент 2-й группы и т.д. (это — примеры использования шкалы наименований);

«обра зование»: 1 — отсутствует, 2 — начальное, 3 — среднее, 4 — высшее (номи нальная шкала с элементами порядковой);

оценка, полученная на экзамене: 1 — неудовлетворительно, 2 — удовлетворительно, 3 — хорошо, 4 — отлично (по рядковая шкала с элементами интервальной).

Качественный признак принимает определенное количество уровней (напри мер: «пол» — 2 уровня, «образование» — 4 уровня), каждому из которых при сваивается некоторое целое число. Перестановка строк матрицы наблюдений по возрастанию или убыванию (если шкала данного признака порядковая, то обыч но — по возрастанию) чисел, стоящих в столбце данного фактора, приводит к груп пировке совокупности по этому фактору. В результате строки матрицы, соответ ствующие наблюдениям-объектам с одинаковым уровнем данного качественного фактора, оказываются «рядом» и образуют группу.

Группировка по количественному (непрерывному или дискретному) признаку производится аналогичным образом, но после переизмерения этого признака в по рядковой (или интервальной) шкале. Для этого проводятся следующие операции.

Пусть xij, i =1,..., N — значения j-го количественного признака в матри це N наблюдений, по которому проводится группировка — деление совокупности на kj групп. Весь интервал значений этого признака [z0j, zkjj], гд е z0j min xij, i а zkjj max xij, делится на kj полуинтервалов [z0j, z1j], (zij-1, j, zijj], i ij =1,..., kj. Первый из них закрыт с обеих сторон, остальные закрыты справа и открыты слева. Количество и размеры полуинтервалов определяются целями ис следования. Но существуют некоторые рекомендации. Количество полуинтервалов не должно быть слишком малым, иначе группировка окажется малоинформатив ной. Их не должно быть и слишком много, так, чтобы большинство из них были не «пустыми», т.е. чтобы в них «попадали» хотя бы некоторые значения количе ственного признака. Часто размеры полуинтервалов принимаются одинаковыми, но это не обязательно.

Теперь j-й столбец матрицы наблюдений замещается столбцом рангов наблю дений по j-му признаку (рангов j-го признака), которые находятся по следующему правилу: i-му наблюдению присваивается ранг ij, если xij принадлежит ij-му по луинтервалу, т.е. если zij-1, j

Сама группировка осуществляется также перестановкой строк матрицы на блюдений по возрастанию ранга данного признака. В результате ij -ю группу об разуют наблюдения-объекты, имеющие ij-й ранг, а группы в матрице наблюдений располагаются по возрастанию ранга от 1 до kj.

Группы, полученные в результате группировки по одному признаку, могут быть разбиты на подгруппы по какому-нибудь другому признаку. Процесс деления со вокупности на все более дробные подгруппы по 3-му, 4-му и т.д. признаку может быть продолжен нужное количество раз — в соответствии с целями конкретного исследования. Перестановка строк матрицы наблюдений при группировке по каж дому последующему признаку осуществляется в пределах ранее выделенных групп.

Некоторые пакеты прикладных программ (электронные таблицы, базы данных) имеют специальную операцию, называемую сортировкой. Эта операция перестав ляет строки матрицы наблюдений по возрастанию (или убыванию) значений ранга (уровня) сначала 1-го, потом 2-го, 3-го и т.д. указанного для этой операции при знака. В этом смысле термины группировка и сортировка эквивалентны.

Признаки, по которым группируются объекты совокупности, называются груп пирующими. Если таких признаков больше одного, группировка называется мно жественной, в противном случае — простой.

Пусть группирующими являются первые n признаков j =1,..., n, и j-й при знак может принимать kj уровней (может иметь ранги от 1 до kj ). По этим при n знакам совокупность в конечном итоге будет разбита на K групп, где K = kj.

j= Это — так называемые конечные или заключающие группы. Последовательность группирующих признаков определяется целями проводимого исследования, «важ ностью» признаков. Чем ближе признак к концу общего списка группирующих признаков, тем более младшим он считается. Однако с формальной точки зрения последовательность этих признаков не важна, от нее не зависит характер группи ровки, с ее изменением меняется лишь последовательность конечных групп в мат рице наблюдений.

Общее число полученных групп существенно больше количества конечных групп. Каждый j-й признак по отдельности разбивает совокупность на kj групп, вместе с признаком j —на kjkj групп, вместе с признаком j —на kjkj kj 40 Глава 1. Основные понятия групп и т.д. Поэтому, не сложно сообразить, общее число групп, включая саму совокупность, равно (1 + kj).

j Действительно:

(1 + kj) =1 +k1 + k2 + · · · + k1k2 + k1k3 + · · · + k1k2k3 + · · · + k1k2... kn, j — слагаемые правой части показывают количества групп, выделяемых всеми воз можными сочетаниями группирующих признаков.

Конечные группы можно назвать также группами высшего, в данном случае n-го порядка, имея в виду, что они получены группировкой по всем n признакам.

Любое подмножество группирующих признаков, включающее n элементов, где 0

таний из n по n, равное, как известно, ). Группой нулевого порядка n !(n - n )!

является исходная совокупность. Общее число всех групп от нулевого до высшего порядка, как отмечено выше, равно (1 + kj).

j Дальнейшее изложение материала о группировках будет иллюстрироваться примером, в котором при n = 2 первым группирующим признаком является «студенческая группа» с k1 = 4 (т.е. имеется 4 студенческие группы), вторым группирующим признаком — «пол» с k2 = 2, а при n = 3 добавляется третий группирующий признак — «оценка», полученная на экзамене, с k3 = 4. В этом примере (при n =3 ) имеется 32 конечные группы (третьего порядка), образую щие класс с именем (все элементы которого имеют имя) «студенты». Существуют 3 класса групп 2-го порядка (C3 =3 ). Класс А1, образуемый подмножеством группирующих признаков (12), включает 8 групп с именем «юноши или девушки такой-то студенческой группы», А2 — образуемый подмножеством (13), включа ет 16 групп с именем «студенты такой-то группы, получившие такую-то оценку», и А3 — образуемый подмножеством (23), включает 8 групп с именем «юноши или девушки, получившие такую-то оценку на экзамене». Классов групп первого порядка имеется также 3 (C3 =3 ). Класс Б1, образуемый подмножеством (1), включающий 4 группы с именем «такая-то студенческая группа», Б2 — подмно жеством (2), включающий 2 группы с именем «юноши или девушки», и Б3 — под множеством (3), включающий 4 группы с именем «студенты, получившие такую-то оценку на экзамене».

1.9. Статистические совокупности и группировки Каждой конечной группе соответствует конкретное значение так называемо го мультииндекса I порядка n (состоящего из n элементов), который имеет следующую структуру: i1i2... in (I = i1i2... in ). Для всех наблюдений конечной группы, имеющей такое значение мультииндекса, первый группирующий признак находится на уровне (имеет ранг) i1, второй группирующий признак — на уровне i2 и т.д., последний, n-й — на уровне in. Линейная последовательность (последо вательность в списке) значений мультииндекса совпадает с последовательностью конечных групп в матрице наблюдений. На первом месте стоит значение I1, все элементы которого равны единице (конечная группа, для всех наблюдений которой все группирующие признаки находятся на первом уровне). Далее работает прави ло: быстрее меняются элементы мультииндекса, соответствующие более младшим группирующим признакам. Так, в иллюстрационном примере при n =2 последо вательность значений мультииндекса такова: 11, 12, 21, 22, 31, 32, 41, 42.

Последним значением мультииндекса является IK = k1k2... kn. Поскольку по I следовательность значений мультииндекса однозначно определена, означает I =I суммирование по всем значениям мультииндекса от I1 до I.

В некоторых случаях мультииндексы групп называют кодами групп. После за вершения группировки столбцы группирующих признаков часто исключаются из матрицы наблюдений, т.к. содержащаяся в них информация сохраняется в муль тииндексах-кодах.

Если из «полного» мультииндекса порядка n вычеркнуть некоторые элементы признаки, то получается мультииндекс более низкого порядка n, который именует определенную группу порядка n. Операция вычеркивания проводится заменой в исходном мультииндексе вычеркиваемых элементов символом « » (иногда ис пользуется символ точки или какой-нибудь другой). Это необходимо для того, чтобы сохранить информацию о том, какие именно признаки вычеркнуты из мультииндек са. В иллюстративном примере группы класса А1 имеют мультииндекс со звездоч кой на третьем месте, а класса Б2 — на первом и третьем местах. Для того чтобы подчеркнуть принадлежность мультииндекса I к конечным группам, мультииндек сы групп более низкого порядка можно обозначать I().

Теперь вводится еще один специальный мультииндекс J, который в «полном формате» (при порядке n ) представляет собой последовательность целых чисел от 1 до n и обозначается G. В этом мультииндексе J все элементы, которые заме нены звездочкой в мультииндексе I(), также заменены на звездочку. Пусть J — последовательность из n звездочек (все элементы заменены на « »). Для индек сации групп можно использовать пару индексов I, J (в этом случае к I излишне приписывать () ). В этом случае из этих мультииндексов можно в действительности вычеркнуть все звездочки, т.к. информация о вычеркнутых признаках сохраняет ся в J. Так, например, группа «студенты второй группы, получившие «отлично» 42 Глава 1. Основные понятия на экзамене» именуется мультииндексом I(), равным 24, или парой мультиин дексов I, J — 24, 13. Второй способ удобен, когда речь идет о группах низких порядков. В данном изложении будет использоваться первый способ индексации.

Группа I() (с мультииндексом I() ) является объединением конечных групп с такими значениями мультииндекса I, что: а) все те их элементы, которые соот ветствуют элементам, не вычеркнутыми из I(), совпадают с ними;

б) все элемен ты, соответствующие вычеркнутым из I() элементам, пробегают все свои зна чения. Такую операцию объединения естественно обозначить. Так, например, I() группа 14 является объединением групп 114 и 124, а группа 42 — объедине нием групп 421, 422, 423 и 424. Если I() =J, объединяются все конечные группы и образуется исходная совокупность, а сам I(), равный J, формально выступает мультииндексом всей совокупности.

Через J обозначается класс групп, образованных подмножеством признаков, не замененных в J звездочками. Так, продолжая пример, А2 является классом 13, а Б2 — классом 2. Количество групп в J-классе KJ является произве дением kj c такими j, которые не заменены звездочками в J ;

такую операцию произведения естественно обозначить. При J = G оно равно количеству ко J нечных групп K, апри J = J принимается равным 1 (исходная совокупность — одна).

Пусть NI — число наблюдений-объектов в конечной группе I. Тогда число на блюдений в группе более низкого порядка I(), которое можно обозначить NI(), равно NI, где операция выполняется аналогично операции. Эти числа I() I() I() называются групповыми численностями, все они больше либо равны нулю, в слу чае равенства нулю соответствующая группа пуста. Если I() =K,то NI() = N.

Каждому наблюдению-объекту можно также поставить в соответствие муль тииндекс порядка n +1, имеющий структуру IiI, гд е I мультииндекс конечной группы, к которой принадлежит данное наблюдение, а iI — номер данного на блюдения в этой группе. Так, в иллюстрационном примере 3125 — мультииндекс пятой девушки в списке девушек третьей группы, получивших на экзамене «удо влетворительно». Исходный линейный индекс i наблюдения с мультииндексом IiI I равен NI + iI, гд е I- — значение мультииндекса конечной группы, предше I =I ствующее I в последовательности всех значений мультииндекса. Так, в примере значение мультииндекса 423 предшествует значению 424, а значение 314 — значению 321.

Мультииндекс, в котором (n +1)-й элемент замещен звездочкой, обозначает все множество наблюдений группы. Так, 13 мультииндекс списка всех студентов первой группы, получивших на экзамене «хорошо».

1.9. Статистические совокупности и группировки Результаты группировки применяются для решения задач 3-х типов.

1) Используя информацию о групповых численностях, анализируют распреде ление частот или эмпирических вероятностей признаков, теоретическим обоб щением которых являются функции распределения вероятностей и плотности вероятностей случайных величин. Потому такие распределения частот иногда называют эмпирическими функциями распределения вероятностей и плотностей вероятностей признаков. Если группировка является множественной, то говорят о совместном распределении признаков (группирующих), которое может исполь зоваться в анализе зависимостей между этими признаками. В таком случае груп пирующие признаки делятся на факторные и результирующие. Так, в иллюстра ционном примере можно изучать зависимость оценки, полученной на экзамене, от факторов «студенческая группа» и «пол». Приемы построения эмпирических распределений вероятностей и простейшие методы анализа связей с помощью сов местных распределений изучаются в этой части книги.

При решении задач этого типа группирующие признаки являются, как правило, количественными.

2) Все группирующие признаки выступают факторными, и исследуется их вли яние на некоторые другие — результирующие признаки xj, j > n. В этом случае группирующие (факторные) признаки являются обычно качественными, и исполь зуются методы дисперсионного анализа, элементарные сведения о котором дают ся в главе 4 этой части (более основательно эти методы рассматриваются в III-й части книги). В иллюстрационном примере при n =2 признак «оценка» не входит в число группирующих, и если взять его в качестве результирующего, то можно также исследовать влияние факторов «студенческая группа» и «пол» на оценку.

В пункте 1) говорилось о других методах изучения этого влияния.

3) Анализируются зависимости между признаками внутри выделенных групп и/или между группами, т.е. внутригрупповые и/или межгрупповые связи. Во вто ром случае в анализе используются средние значения признаков в группах. В обоих случаях факторные и результирующие признаки не входят во множество группи рующих признаков. Методы регрессионного анализа, используемые для анализа связей, и методы проверки гипотез о существенности различий параметров свя зей между различными группами изучаются во II-й и III-й частях книги. В главе настоящей части даются общие сведения о некоторых из этих методов.

Особенность рассмотренных методов группировки заключается в том, что деле ние на группы всякий раз проводится по значениям строго одного признака. В одну группу попадают наблюдения-объекты с близкими (или — для качественных при знаков — совпадающими) значениями признака. Каждый последующий признак лишь «дробит» ранее выделенные группы. Между тем, существуют методы выде ления групп сразу по нескольким признакам. При таких группировках используются 44 Глава 1. Основные понятия различные меры близости векторов. Наблюдения i и i попадают в одну группу, если по выбранной мере близки вектора xij и xi j, j =1,..., n. Методы таких группировок используются в кластерном анализе (кластер — класс). Существуют и обратные задачи, когда новое наблюдение-объект надо отнести к какому-то из вестному классу. Такие задачи решаются методами распознавания образов, они возникают, например, при машинном сканировании текстов или машинном вос приятии человеческой речи.

Признаки также образуют совокупности разной степени однородности, пони маемой в этом случае только в качественном смысле. Как и в анализе совокупности объектов можно обозначить через Ij множество объектов, обладающих j-м при знаком. Степень однородности совокупностей признаков тем выше, чем больше общее пресечение этих множеств для признаков, входящих в совокупность. Одно родные совокупности признаков часто называют системами, акцентируя внимание на наличии связей между признаками совокупности.

Совокупности признаков обычно также группируются. Особенностью их груп пировок является то, что они имеют строго иерархический характер, т.е. после довательность групп признаков разного порядка строго определена. Когда же речь идет о группировках наблюдений-объектов, то их иерархия (последовательность групп от низших порядков к высшим) условна, она всегда может измениться при изменении порядка группирующих признаков. Группы признаков обычно называют классами и подклассами или классами разного уровня (иерархии).

На нулевом уровне иерархии признаков размещается имя всей совокупности признаков, например, «показатели развития промышленных предприятий». Далее следуют классы первого уровня с их именами, например, «материальные ресур сы», «затраты», «результаты», «финансовые пассивы», «финансовые активы» и т.д. Эти классы детализируются на втором уровне: например, «материальные ресурсы» делятся на «основной капитал», «запасы готовой продукции», «произ водственные запасы», «незавершенное производство». На третьем уровне иерар хии «запасы готовой продукции», например, делятся по видам продукции. И так далее. Разные направления иерархии могут иметь разное количество уровней де тализации (иерархии). Например, «материальные ресурсы» могут иметь 4 уровня, а «финансовые активы» — 3. В исходной матрице наблюдений только признаки низшего уровня иерархии (классов высшего порядка) имеют числовые значения (после группировки признаков и обработки матрицы наблюдений могут быть вве дены столбцы со значениями итоговых показателей по некоторым или всем классам и подклассам признаков).

Сама группировка формально может быть проведена так же, как и группировка объектов (но с некоторыми отличиями). Разным классам одного уровня, образу ющим один класс предыдущего уровня, присваиваются различные целые числа ранги, т.е. классы «измеряются» в номинальной шкале. Как видно, «измерение» 1.10. Задачи классов одного уровня зависит от результатов «измерения» классов предыдущего уровня, чего не было при группировке совокупностей объектов. Далее, в матрицу наблюдений вводятся строки «классы первого уровня», «классы второго уровня» и т.д. с рангами, присвоенными соответствующим классам, в столбцах признаков.

И, наконец, осуществляется перестановка столбцов матрицы наблюдений по воз растанию рангов сначала классов первого уровня, потом второго уровня и т.д.

Ранги классов образуют мультииндексы или коды признаков. После завершения группировки введенные строки классов можно убрать.

Обычно эти операции не проводятся, т.к. признаки группируются уже при со ставлении матрицы наблюдений.

Как исходные массивы и матрицы наблюдений, так и результаты их группировок или других обработок могут изображаться в виде таблиц и графиков. Таблица — это визуализированный двухмерный массив с общим названием-титулом, назва ниями строк и названиями столбцов. Первый столбец (столбцы), в котором разме щены названия строк, называется подлежащим таблицы, первая строка (строки) с названиями столбцов — сказуемым таблицы. Подлежащее и сказуемое часто включают мультииндексы-коды соответствующих объектов или признаков. В титул обычно выносится общее имя совокупности элементов (объектов или признаков) сказуемого и/или подлежащего.

Существует несколько вариантов таблиц для массивов типа {xtij}, имеющих 3 размерности: время t, объекты i и признаки j. Если в подлежащем — время, а в сказуемом — объекты, то в титул должно быть вынесено имя признака;

если в подлежащем — объекты, в сказуемом — признаки, то в титуле должно быть указано время и т.д. Всего таких вариантов — 6.

Если в табулируемой матрице не произведено группировок, то таблица явля ется простой с простыми именами строк и столбцов. Если строки и/или столбцы сгруппированы, то их имена в таблице являются составными: кроме индивидуаль ных имен строк и столбцов они включают и имена их групп и классов.

В случае, когда столбцов таблицы не слишком много, информация может быть представлена (визуализирована) графиком. Ось абсцисс соответствует обычно подлежащему таблицы, а ось ординат — сказуемому. Сами значения показателей признаков изображаются в виде различных графических образов, например, в виде «столбиков». Если в подлежащем размещены моменты времени, график выражает траектории изменения показателей.

1.10. Задачи 1. Определить пункты, которые являются выпадающими из общего ряда.

1.1 а) отношений, б) порядковая, в) количественная, г) классификаций;

1.2 а) Пуассон, б) Рамсей, в) Бернулли, г) Байес;

46 Глава 1. Основные понятия 1.3 а) темпы роста, б) относительные, в) производные, г) первичные;

1.4 а) Кейнс, б) Байес, в) Синклер, г) Бернулли;

1.5 а) фондоемкость, б) материалоемкость, в) трудоемкость, г) срок окупа емости инвестиций;

1.6 а) Стивенс, б) Кэмпбел, в) реляционная структура, г) Тарский;

1.7 а) капитал, б) население, в) инвестиции, г) внешний долг;

1.8 а) Пуассон, б) Рамсей, в) Бернулли, г) Байес;

1.9 а) Суппес, б) Стивенс, в) Пуассон, г) Пфанцагль;

1.10 а) величина-признак, б) величина-показатель, в) показатель-определе ние, г) показатель-наблюдение;

1.11 а) Герман, б) Кетле, в) Моргенштерн, г) Синклер;

1.12 а) Тарский, б) операциональная, в) репрезентативная, г) Кэмпбел;

1.13 а) Зинес, б) Суппес, в) Моргенштерн, г) Петти;

1.14 а) статистика, б) statistics, в) информация, г) statistic;

1.15 а) наименований, б) интервальная, в) ординальная, г) шкалирование;

1.16 а) Суппес, б) интервальная, в) Стивенс, г) порядковая;

1.17 а) Бернулли, б) субъективная, в) Байес, г) объективная;

1.18 а) Пфанцагль, б) Зинес, в) Нейман, г) Кэмпбел;

1.19 а) управляемый эксперимент, б) пассивное наблюдение, в) статистика, г) операциональное определение;

1.20 а) Кетле, б) Кейнс, в) Петти, г) Герман;

1.21 а) производственные мощности, б) выпуск продукции, в) затраты, г) амортизационные отчисления;

1.22 а) Пуассон, б) Рамсей, в) Бернулли, г) Байес;

1.23 а) кластер, б) класс, в) группа, г) совокупность;

1.24 а) абсолютная, б) относительная, в) экстенсивная, г) интенсивная;

1.25 а) дискретный, б) непрерывный, в) моментный, г) интервальный;

1.26 а) подлежащее, б) предлог, в) сказуемое, г) таблица.

2. Какой тип — запаса или потока — имеют следующие величины: а) инвести ции;

б) население;

в) основные фонды;

г) активы?

3. К какому классу относятся и какую размерность имеют следующие интен сивные величины: а) фондоемкость;

б) материалоемкость;

в) трудоемкость;

г) фондоотдача?

1.10. Задачи Таблица 1. Абсолютное Объем Абсолютный Темп Темп роста значение Год производства, прирост, прироста (годовой) 1% прироста, млрд. руб. млрд. (годовой), % млрд.

1 2 3 4 5 1992 1993 1. 1994 7. 1995 164. 1997 9.9 1. 4. Пусть yt — значение величины в момент времени t. Запишите формулу моментного темпа прироста и непрерывного темпа роста.

5. Имеются данные об объеме производства в отрасли (табл. 1.2).

Вычислить и вставить в таблицу недостающие показатели.

6. Была проведена группировка студентов НГУ по трем признакам:

1-й признак: место постоянного жительства (город;

село);

2-й признак: средний балл в аттестате (выше 4.5;

от 3.5 до 4.5;

ниже 3.5);

3-й признак: средний балл за вступительные экзамены (выше 4.5;

от 3. до 4.5;

ниже 3.5).

Определите:

а) общее число групп и число групп высшего порядка;

б) количество классов групп 1-го, 2-го и 3-го порядка;

в) количество групп в классах 2, 13, 23;

г) число конечных групп в каждой группе класса 2, 13, 23.

д) Число элементов конечной группы 221 равно 5, в остальных конечных группах по 2 элемента. Каково значение линейного индекса второго элемента конечной группы 232?

е) Сколько всего элементов в совокупности?

Глава Описательная статистика Исходный массив наблюдений может достигать значительных размеров, и непо средственно по его информации трудно делать какие-либо содержательные заклю чения о свойствах изучаемых совокупностей. Задача описательной статистики — «сжать» исходный массив, представить его небольшим набором числовых характе ристик, которые концентрированно выражают свойства изучаемых совокупностей.

Граница между описательной статистикой, с одной стороны, и математической ста тистикой, эконометрией, анализом данных, с другой стороны, достаточно расплыв чата. Обычно в описательной статистике даются элементарные сведения, достаточ ные для проведения начальных этапов экономико-статистического исследования, которые более углубленно и более строго рассматриваются в других научных дис циплинах статистического ряда (в последующих разделах книги).

2.1. Распределение частот количественного признака Пусть имеются наблюдения xi, i =1,..., N за некоторой непрерывной ко личественной величиной-признаком, т.е. матрица наблюдений имеет размерность N 1. Такую матрицу наблюдений обычно называют рядом наблюдений. В ста тистике совокупность этих значений иногда называется также вариационным ря дом. Пусть проведена группировка совокупности по этому признаку с выделением k групп. В соответствии с обозначениями предыдущей главы мультииндексом груп пы является I, равный i1, гд е i1 — индекс группы. В этом и ряде последующих 2.1. Распределение частот количественного признака пунктов (при n =1) в качестве индекса группы будет использоваться не i1, что бы не путать его с линейным индексом i наблюдения, а l. Соответственно, zl, l =0, 1,..., k — границы полуинтервалов, Nl — групповые численности, ко торые в этом случае называют частотами признака. Следует иметь в виду, что x — случайная величина, но все z — детерминированы.

Размеры полуинтервалов, l = zl - zl-1, обычно берут одинаковыми. При выборе размера полуинтервалов можно исполь зовать одно из следующих правил:

=3.5sN-1/3 (правило Скотта) или =2 IQR N-1/3 (правило Фридмена—Диакониса), где s — среднеквадратическое отклонение, IQR = x0.75 -x0.25 — межквартиль ное расстояние (определение величин s, x0.25 и x0.75 дается ниже). В литературе также часто встречается правило Стёрджесса для количества групп:

k =1 +log2 N 1+1.44 ln N, однако было показано, что оно некорректно, поэтому использовать его не реко мендуется. В качестве значения признака на l-м полуинтервале можно принять среднее значение признака на этом полуинтервале:

xl = xl Nl (использовано введенное в предыдущей главе обозначение xl всех наблюдений, попавших в l-ю группу). Однако, как правило, в качестве этого значения прини мается середина полуинтервала:

1 l xl = (zl + zl-1) =zl-1 +, 2 Nl l =, N — относительные частоты признака или оценки вероятностей (эмпиричес кие вероятности) попадания значений признака в l-й полуинтервал, то есть 1 = P (z0 x z1), l = P (zl-1

l fl = (2.1) l — плотности относительной частоты или оценки плотности вероятности.

50 Глава 2. Описательная статистика Очевидно, что f, F l =1, или fll =1. (2.2) Далее:

кумулята l l Fl = l, или Fl = fl l, (2.3) l =1 l = — накопленные относительные частоты или оценки вероятностей того, что значение признака не превысит zl, т.е. Fl = P (x zl).

гистограмма Крайние значения этих величин равны 0 и 1:

полигон F0 =0, Fk =1.

Числа l, fl, Fl (l =1,..., k) характеризу ют разные аспекты распределения частот количе ственного признака. Понятно, что, если размеры полуинтервалов одинаковы, l и fl различают Рис. 2.1. Графическое изображение ся с точностью до общей нормировки и являются плотностей частоты одинаковыми характеристиками распределения.

Графическое изображение плотностей частоты называется гистограммой, ана копленных частот — кумулятой. Поскольку плотности частот неизменны на каж дом полуинтервале, гистограмма ступенчатая функция (точнее, график ступенча той функции). Накопленные частоты линейно растут на каждом полуинтервале, поэтому кумулята — кусочно-линейная функция. Вид этих графиков приведен на рисунке 2.1.

Еще один графический образ плотностей частоты называется полигоном. Этот график образован отрезками, соединяющими середи ны ступенек гистограммы. При этом первый F отрезок соединяет середину первой ступень ки с точкой z0 оси абсцисс, последний от резок — середину последней ступеньки с точ f кой zk.

Теоретически можно представить ситуа Рис. 2. цию, когда N и k, при этом следует допустить, что z0 -, а zk +. Вре зультате функции f(z) и F (z), графиками которых были гистограмма и кумулята, станут гладкими (рис. 2.2). В математической статистике их называют, соответ ственно, функцией плотности распределения вероятности и функцией распре деления вероятностей случайной величины (см. Приложение A.3.1).

2.1. Распределение частот количественного признака Формулы (2.1–2.3) преобразуются, соответственно, в + z dF (z) = f (z), f (z) dz =1, F (z) = f z dz.

dz - Обычно функции f и F записываются с аргументом, обозначенным символом слу чайной величины: f(x) и F (x). При этом предполагается, что в такой записи x есть детерминированный «образ» соответствую щей случайной величины (в математической статистике для этого часто используют со ответствующие прописные символы: f(X) и F (X)). Такие функции являются теорети ческими и выражают различные законы рас Рис. 2. пределения, к которым лишь приближаются эмпирические распределения.

Наиболее распространенным в природе является так называемый закон нор мального распределения, плотность которого в простейшем случае (при нулевом математическом ожидании и единичной дисперсии) описывается следующей функ цией:

1 x f (x) = e Ее график, часто называемый кривой Гаусса, изображен на рисунке 2.3.

асимметрия правая левая идеальная Наиболее вероятное значение величи идеальная ны, имеющей такое распределение, — нуль.

Распределение ее симметрично, и вероят ность быстро падает по мере увеличения ее абсолютной величины. Обычно такое рас пределение имеют случайные ошибки изме рения (при разной дисперсии).

Различают несколько типов распределе ний признака (случайной величины).

На рисунке 2.4 показаны асимметрич Рис. 2. ные или скошенные распределения: с пра вой и левой асимметрией, идеальная правая и идеальная левая асимметрия. При правой (левой) асимметрии распределение скошено в сторону больших (меньших) 52 Глава 2. Описательная статистика значений. При идеальной правой (левой) асимметрии вероятность падает (увели чивается) с ростом значения величины на всем интервале ее значений, наиболее вероятно ее минимальное (максимальное) значение. В данном случае идеальными названы распределения с предельной асимметрией.

На рисунке 2.5 приведен вид высоко или островершинных и низко- илиплоско вершинных распределений. В первом слу чае основная часть значений признака со предельное остро островершинное средоточена в узкой центральной области вершинное распределения, во втором — центральная плоско вершинное область распределения «размыта». Плос ковершинное распределение в пределе пре равномерное вращается в равномерное, плотность кото рого одинакова на всем интервале значений.

Предельным островершинным распределе нием является вертикальный отрезок еди ничной длины — распределение детермини Рис. 2. рованной величины.

Распределения с одним пиком плотности вероятности называют унимодальны ми. На рисунке 2.6 приведен пример бимодального распределения и предельного бимодального распределения, называемого U-образным. В общем случае распре деление с несколькими пиками плотности называют полимодальным.

В математической статистике множе ство всех теоретически возможных значе- бимодальное U-образное ний случайной величины x, характеризу емое функциями f и F, называют гене ральной совокупностью, а ряд наблюде ний x1,..., xN — выборочной совокуп ностью, иливыборкой.

Вообще говоря, гистограмму и кумуляту Рис. 2. можно построить непосредственно по дан ным ряда наблюдений без предварительной группировки. Если предположить для простоты, что все значения в ряде наблюдений различны, то k принимается равным N. В качестве границ полуинтервалов zi, i =1,..., N - 1 принимаются полу суммы двух соседних значений в ряде наблюдений, упорядоченном по возрастанию (строго говоря, само упорядочение является операцией группировки в простейшем случае):

zi = (xi + xi+1).

2.2. Средние величины В качестве z0 и zN естественно принять, соответственно, 2x1 - z и 2xN - zN-1, так что первое и последнее значение в ряде наблюдений оказы ваются в точности на середине своих полуинтервалов. Относительные частоты для всех полуинтервалов одинаковы и равны. Однако плотность частоты раз N личается: она тем выше, чем короче полуинтервал, т.е. чем плотнее наблюдения расположены на числовой оси.

2.2. Средние величины Средние величины, или просто средние, являются особым подклассом интен сивных величин, т.к. рассчитываются как отношения других величин. Они выступа ют наиболее общими характеристиками совокупности объектов. Каждая средняя рассчитывается по конкретному признаку, характеризующему объекты совокупно сти, и является качественно такой же величиной, имеет те же единицы измерения или ту же размерность (или она безразмерна), что и усредняемый признак. Характер средних по объемным и относительным величинам несколько различается. Ниже рассматриваются сначала средние объемные и на их примере — виды средних, затем — средние относительные величины.

Пусть xi — некоторый объемный признак i-го объекта, 1,..., N, то есть количество объектов в совокупности равно N, как и прежд е, x = xi, тогда i расчет среднего по совокупности значения данного объемного признака, который обычно обозначается тем же символом, но без индекса объекта и с чертой над символом, осуществляется по следующей формуле:

1 x = x = xi.

N N i Это — среднее арифметическое (среднеарифметическое) простое или сред няя арифметическая (среднеарифметическая) простая. Оно является отноше нием двух объемных величин: суммарного по совокупности признака и количества объектов в совокупности.

Пусть теперь вся совокупность делится на k групп, Nl — количество объектов в l-й группе, N = Nl, значение признака внутри каждой группы не варьируется l и равняется xl. Тогд а 1 Nl x = Nlxl = lxl, где l =, l =1 —весl-й группы.

N N l l Это — среднее арифметическое (среднеарифметическое) взвешенное (сред неарифметическая взвешенная).

54 Глава 2. Описательная статистика К аналогичной формуле для средней по исходной совокупности можно придти и иначе. Пусть, как и сначала, признак варьирует по всем объектам совокупности, а xl — среднеарифметическое простое по l-й группе. Очевидно, что x = Nlxl, и x = lxl.

По такой же формуле производится расчет средней по данным эмпирического распределения частот признака (см. предыдущий пункт). В качестве xl в таком случае принимают не среднее по l-й группе, а, как отмечалось выше, середину l-го полуинтервала.

Предполагая, что все объекты совокупности имеют разные веса (вес i-го объ екта равен i), среднее по совокупности записывается как взвешенное:

x = ixi.

Это — более общая формула среднеарифметического: при равных весах, то есть в случае, если i = для всех i, она преобразуется в формулу средне N арифметического простого.

Для нахождения средней величины типа запаса за некоторый период време ни используется среднее арифметическое взвешенное, называемая средним хро нологическим (или средней хронологической). Смысл этой величины поясняется рисунком 2.7.

Среднюю хронологическую x надо найти так, что x(t) бы площадь ABCD подлинией динамики x(t) (BC), x C т.е. сумма значений показателя за период, равнялась _ E x площади прямоугольника AEF D подлинией средней F EF (см. рис. 2.7).

B Другими словами, для расчета средней хронологи ческой используется формула:

A D t площадь ABCD Рис. 2. x =.

длина AD На практике в дискретном случае этот расчет можно провести следующим об разом.

Пусть x0, x1,..., xN — значения некоторой объемной величины типа запаса в моменты времени t0, t1,..., tN, и i = ti - ti-1, i = 1,..., N, = i (длина AD).

Если предположить, что на каждом временном отрезке i динамика показателя xi + xi- линейна, то его суммарное значение на этом отрезке рассчитывается как i, 2.2. Средние величины и для общей средней хронологической справедливо соотношение:

N x = i (xi + xi-1).

i= В выражении этой величины как среднеарифметической взвешенной веса име ют следующие значения:

1 i + i+1 N 0 =, i =, i =1,..., N - 1, N =.

2 2 Их сумма равна единице.

Если все временные отрезки i одинаковы, то веса первого и последнего x в средней хронологической будут равняться, а веса всех промежуточных 2N «x-ов» —.

N На практике чаще всего рассчитывают средние величины типа запаса за период времени (обычно за год) по данным на начало и конец этого периода (года). Т.е. ре шается задача нахождения средней хронологической x за некоторый период, для которого известно значение показателя на начало — x0 и конец периода — x1.

Эта величина, чаще всего, находится как средневзвешенное арифметическое:

x =(1 - ) x0 + x1, или x = x0 +, или =x1 - x0.

Если динамика показателя равномерна (линейна), то = если более 2;

интенсивные сдвиги в величине показателя происходят в 1-й половине периода, 1 то > в противном случае — < В советской статистике при расче 2;

2.

те, например, среднегодовых основных фондов принимался в интервале от 0. до 0.4, поскольку в плановой экономике вводы и выбытия фондов обычно сдвига ются к концу года — к моменту отчета по плану. Этот параметр иногда называют среднегодовым коэффициентом.

При предположении, что на данном отрезке времени неизменным остается от носительный прирост (моментный темп прироста), и динамика имеет экспоненци альный характер, справедливы следующие выражения (как и прежде, —д лина данного временного отрезка, — прирост показателя за период):

x1 t xt = x0, при 0 t, x x0 x1 t x1 - x x = dt = =.

x0 ln x1 - ln x0 ln 1+ x 56 Глава 2. Описательная статистика В знаменателе этого выражения для средней хронологической находится непре рывный темп прироста за период (см. п. 1.8), т.е. средняя хронологическая опре деляется делением абсолютного прироста на относительный прирост за пери од. Это — особый вид средней, которую иногда и называют собственно хро нологической.

Чтобы лучше понять ее смысл, полезно найти ее предельное значение при 0.

Для этого логарифм в знаменателе раскладывается в степенной ряд:

2 3 1 1 ln 1+ = - + - + · · ·, x0 x0 x0 2 x0 4 x0 затем сокращается в числителе и знаменателе, и он () приравнивается нулю.

Искомый предел равен x0. Таким образом, на бесконечно малых отрезках времени значение этой величины равно самому показателю, а на конечных отрезках — его среднему значению при предположении, что темп роста на этом отрезке остается неизменным.

Возвращаясь к общему случаю N +1 временной точки, среднюю хронологи ческую при предположении неизменности темпа роста внутри каждого временного периода можно рассчитать следующим образом:

N 1 xi - xi- x = i.

ln xi - ln xi- i= Несложно убедиться в том, что в случае, если средние в единицу времени темпы xi i роста на всех временных отрезках одинаковы и равны среднему в едини xi- xN цу темпу роста за весь период, среднее хронологическое рассчитывается x только по двум крайним значениям:

xN - x x =.

ln xN - ln x Расчет средних хронологических величин типа запаса является необходимой операцией для приведения этих величин к форме, сопоставимой с величинами ти па потока, имеющими другое качество. Так, например, производительность труда рассчитывается как отношение выпуска продукции за определенный период вре мени к средней хронологической занятых в производстве за этот же период. Если величины типа запаса и потока имеют одно качество (потоки выражают измене ние запасов за период времени), то используются и показатели отношения потока к запасу на начало или конец периода (или наоборот). Так, например, отношение 2.2. Средние величины выбывших в течение года основных фондов к основным фондам на начало года называется коэффициентом выбытия фондов, а отношение годового ввода фондов к фондам на конец года — коэффициентом обновления фондов.

Среднеарифметическое является частным случаем так называемого средне степенного или среднего степенного, которое рассчитывается по следующей фор муле:

x = ixk k.

i Следует обратить внимание, что эта величина существует не при всех k, если некоторые из xi отрицательны. Чтобы избежать непринципиальных уточнений, в дальнейшем предполагается, что все значения признака положительны.

При k =1 среднее степенное превращается в обычное среднеарифметическое, при k =2 это — среднеквадратическое, используемое для оценки степени вари ации признака по совокупности, при k = -1 —сред неегармоническое, примеры использования которого приводятся при рассмотрении средних относительных ве личин, при k =0 —сред неегеометрическое.

Последнее утверждение доказывается путем нахождения предела среднего степен ного при k 0. Для того чтобы сделать такой предельный переход, обе части формулы среднего степенного возводятся в степень k, затем xk ивсе xk представ i ляются разложением в степенные ряды:

k ln x (k ln x)2 k ln xi (k ln xi) 1+ + + · · · = i(1 + + + · · · ), 1! 2! 1! 2!

далее в обеих частях полученного выражения сокращаются единицы (1 = i), и эти обе части делятся на k. Теперь при k =0 получается следующее равенство:

ln x = i ln xi, i откуда x = x, что и требовалось доказать.

i Средние геометрические используются при построении некоторых специаль ных индексов. Но это тема следующей главы. Простые примеры использования средней геометрической дает производственная функция.

Пусть в производственной функции Кобба—Дугласа так называемая отдача на мас штаб постоянна, т.е. сумма показателей степеней в выражении функции равна еди нице, и при увеличении использования ресурсов в одинаковое количество раз выпуск продукции растет в такое же количество раз:

X = aCL1-, 58 Глава 2. Описательная статистика или в более развернутой форме:

X =(CaC)(LaL)1-, где aC — коэффициент фондоотдачи при нормальном соотношении между основ ным капиталом и трудом, aL — коэффициент производительности труда при тех же нормальных условиях.

Нормальное соотношение труда и капитала определяется сложившимся организа ционно-технологическим уровнем производства. Это — фиксированная величина:

C sn =.

L Откуда aC = a (sn)-1, aL = a (sn).

Таким образом, в общем случае (при любых соотношениях ресурсов) выпуск про дукции является средневзвешенной геометрической потенциального выпуска, ко торый мог бы быть обеспечен основным капиталом при нормальном соотношении его с трудом (величины CaC ), и потенциального выпуска, который обеспечивает ся трудом при нормальном его соотношении с капиталом (LaL). Коэффициент a в исходной записи производственной функции равен a a1-, и он может называть C L ся коэффициентом общей производительности ресурсов, поскольку является также среднегеометрической нормальной фондоотдачи и нормальной производительности труда.

Более общая форма связи между выпуском и ресурсами дается производственной функцией с постоянной эластичностью замены ресурсов. В развернутом виде она записывается следующим образом:

- X = (CaC)- +(1- )(LaL)-.

Это — пример использования среднего степенного при нецелочисленных значениях параметра степени, поскольку (равный -k в общей формуле среднего степен ного) может принимать любые значения на отрезке [-1, +] (при 0, в силу приведенного выше доказательства, производственная функция с постоянной эла стичностью замены преобразуется к форме Кобба—Дугласа). От величины это го параметра зависят возможности взаимного замещения ресурсов, допускаемые в данной модели производства. Чем выше его величина, тем более затруднено это замещение.

Такое свойство производственной функции с постоянной эластичностью замены эк вивалентно известному свойству среднего степенного: оно увеличивается с ростом k.

Среднее степенное увеличивается с ростом k, в частности, по возрастанию средние степенные располагаются в следующем порядке: гармоническое, геомет рическое, арифметическое, квадратическое. Это свойство иногда называют мажо рантностью средних.

2.2. Средние величины Пусть x(k) — среднее степенное, пусть далее k2 > k1, и требуется доказать, что x(k1) > x(k2).

Эти средние можно записать в следующем виде:

1 k1 k1 k1 k k2 k 2 x (k1) = i xk, x (k2) = ixk, i i и ввести промежуточные обозначения (чтобы не загромождать изложение):

yi = xk, i k q =, k f (y) =yq, d2f v = = q (q - 1) yq-2, dy a1 = if(yi), a2 = f iyi.

В этих обозначениях утверждение, которое следует доказать, записывается следую щим образом:

1 k1 k a2 >a1.

Далее рассматривается три возможных случая:

1) k2 >k1 > 0, 2) k2 > 0 >k1, 3) 0 >k2 >k1.

Впервомслучае q <1, v <0, т.е. функция f вогнута (выпукла вверх) и a2 >a по определению такой функции. После возведения обеих частей этого неравенства в положительную степень знак его сохраняется, что и завершает доказатель k ство в этом случае.

Во втором и третьем случаях v >0, ифункция f выпукла (выпукла вниз). Поэто му a2 < a1, и после возведения обеих частей этого неравенства в отрицательную степень оно меняет знак, приобретая тот, который нужно для завершения k доказательства.

Свойство мажорантности средних выражается и в том, что предельные зна чения среднего степенного при k = ± равны, соответственно, максимальному и минимальному значению признака в выборке.

60 Глава 2. Описательная статистика Для доказательства этого факта в выражении среднего выносится за скобки x1 :

k k N xi x = x1 1 + i.

x i= xi x Если xi упорядочены по возрастанию и x1 =min xi, то 1, ипри k k выражение в скобках стремится к i, гд е k — число объектов, для которых i= усредняемый признак минимален (если минимум =1), единственный, то k т.е. ко нечно. Это выражение возводится в степень, которая стремится к нулю при k k -. Следовательно, среднее степенное при k -равно минимальному значению усредняемых признаков.

Предположив теперь, что xi упорядочены по убыванию, аналогичным образом мож но доказать, что среднее степенное при k + равно максимальному значению признака по совокупности.

Существует наиболее общая запись средневзвешенного:

x = f-1 if(xi). (2.4) Если f — степенная функция xk, то речь идет о средней степенной, если f — логарифмическая функция ln x, то это — средняя логарифмическая, которая является частным случаем средней степенной при k =0, если f — показательная функция ax, то это — средняя показательная и т.д.

Особенностью средних относительных величин является то, что они, как пра вило, рассчитываются как средние взвешенные.

Пусть i-й объект, i = 1,..., N характеризуется зависимыми друг от друга объемными величинами yi и xi. Показателем этой зависимости является отно yi xi сительная величина ai =. Это может быть производительность, фондово оруженность труда, рентабельность и т.д. Понятно, что средняя по совокупности объектов относительная величина a (знак черты над символом, обозначающим среднее относительное, часто опускается) рассчитывается по следующей формуле:

yi a =, xi которая легко преобразуется в формулу средней взвешенной:

xi a = xai, где x =, или i i xi 1 y a =, где y = i.

y i i yi ai 2.2. Средние величины Таким образом, если веса рассчитываются по структуре объемных величин, стоящих в знаменателе, то средняя относительная является средней взвешенной арифметической, если эти веса рассчитываются по объемным величинам, стоящим в числителе, то она является средней взвешенной гармонической.

Формально можно рассчитать простую среднюю (например, арифметическую) a = ai, N но содержательного смысла она иметь не будет. Это становится понятным, как толь yi xi к общему знаменателю.

ко осуществляется попытка привести слагаемые Тем не менее, такая средняя также может использоваться в анализе. Например, ее иногда полезно сравнить с фактической средней a для выявления некоторых ха рактеристик асимметрии распределения признака по совокупности. Если a >a, то в совокупности преобладают объекты с повышенной величиной ai, и, по видимому, имеет место правая асимметрия, в противном случае в совокупности больший удельный вес занимают объекты с пониженной ai (левая асимметрия).

Однако в статистике имеются более четкие критерии асимметрии распределения.

Особое место среди средних относительных занимают средние темпы роста.

Темпы роста величин типа потока выражают отношение потока за единицу (пе риод) времени к потоку за некоторую предыдущую единицу (предыдущий период) времени. Темпы роста величин типа запаса показывают отношение запаса в момент времени к запасу в некоторый предыдущий момент времени. Такой же смысл имеют и средние темпы роста. Средние за период темпы роста рассчитываются обычно как средние геометрические.

Пусть x0, x1,..., xN значения некоторой объемной величины в моменты времени t0, t1,..., tN, если эта величина типа запаса, или в последнюю еди ницу времени, соответственно, 0-го, 1-го и т.д., N-го периода времени, если речь идет о величине типа потока (t0 — последняя единица времени 0-го периода, [ti-1 +1, ti] — i-й период). Как и прежде, i = ti - ti-1, i =1,..., N, = i.

Предполагается, что i — целые положительные числа.

Тогда xi i = — темп роста за i-й период времени, xi- N xN = = i — общий темп роста.

x0 i= Если все периоды одинаковы и равны единице (i =1), то средний в единицу времени темп роста определяется по формуле:

N xN N = = i, x 62 Глава 2. Описательная статистика т.е. он равен простому среднему геометрическому темпу по всем периодам.

В общем случае (при разных i) данная формула приобретает вид средневзве шенной геометрической:

xN = = i, i x i где i = i/ — средний за единицу времени темп роста в i-м периоде, i i =.

Для величин типа запаса имеется еще одна форма средних темпов роста: от ношение средней хронологической за период времени к средней хронологической за некоторый предыдущий период. Такую форму средних можно рассмотреть на сле дующем примере.

Пусть x0, x1, x2 — значение величины типа запаса в три момента времени:

на начало первого периода, конец первого периода, который одновременно яв ляется началом второго периода, конец второго периода. Оба периода времени одинаковы. Средние хронологические за первый и второй периоды времени равны, соответственно, x1 =(1 - ) x0 + x1, x2 =(1 - ) x1 + x2.

x2 x можно выразить через Темп роста средней величины типа запаса = x1 x средние взвешенные темпов роста за каждый из двух периодов времени 1 =, x2 x 2 = следующим образом:

(1 - ) x0 x = 11 + 12, где 1 =, 1 =, 2 + 1 =1, или 1 2 x1 2 x1 1 1 (1 - ) x1 x =, где 2 =, 2 =, 2 + 2 =1.

2/1 + 2/2 x2 2 x2 1 1 Таким образом, темп роста средней хронологической является средней взве шенной арифметической темпов роста за отдельные периоды, если веса рассчиты ваются по информации первого периода, или средней взвешенной гармонической, если веса рассчитываются по информации второго периода.

Если коэффициент, представляющий внутрипериодную динамику, различа ется по периодам, т.е. динамика величины в разных периодах качественно различна, то темп роста средней хронологической перестает быть средней арифметической или гармонической темпов роста по периодам, т.к. сумма весов при этих темпах роста не будет в общем случае равняться единице.

В разных ситуациях средние темпы роста могут рассчитываться различным об разом, что можно проиллюстрировать на простых примерах, взятых из финансовых расчетов.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 10 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.